guia exani ii 2012 seleccion as

8/3/2019 Guia Exani II 2012 Seleccion as

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Matemtica: Es el estudio de patrones en las estructuras de entes abstractos y en las relacionesentre ellas. Algunos matemticos se refieren a ella como la Reina de las Ciencias.

Segn los Sabios, se dice que la matemtica abarca tres mbitos:

Aritmtica.

Geometra, incluyendo la Trigonometra y las Secciones cnicas.

nlisis matemtico, en el cual se hace uso de letras y smbolos, y que incluye el lgebra,la geometra analtica y el clculo.

Aritmtica

Aritmtica es la parte de las matemticas que estudia los nmeros y las operaciones hechas conellos.

Las cuatro operaciones bsicas de la Aritmtica son:

Suma

Resta

Multiplicacin

Divisin

Operaciones bsicas: suma, resta, multiplicacin y divisin

Todas estas operaciones se verifican a travs de su operacin inversa: la suma con la resta, lamultiplicacin con la division

Suma

Se utiliza para juntar, agregar, unir, etc, 2 o mas cantidades contables de la misma magnitud(categora)

La suma o adicin es una operacin aritmtica definida sobre conjuntos de nmeros (naturales,enteros, racionales, reales y complejos) y tambin sobre estructuras asociadas a ellos, comoespacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos nmeros o funciones que tengansu imagen en ellos.

En el lgebra moderna se utiliza el nombre suma y su smbolo "+" para representar la operacinformal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operacin de un mduloque dota al mdulo de estructura de grupo abeliano. Tambin se utiliza a veces en teora degrupos para representar la operacin que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estoscasos se trata de una denominacin puramente simblica, sin que necesariamente coincida estaoperacin con la suma habitual en nmeros, funciones, vectores...

Propiedades de la suma

Propiedad conmutativa: si se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado, de

esta forma, a+b=b+a. Propiedad asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c

Elemento neutro: 0. Para cualquier nmero a, a + 0 = 0 + a = a.

Elemento opuesto. Para cualquier nmero entero, racional, real o complejo a, existe unnmero a tal que a + (a) = (a) + a = 0. Este nmero a se denomina elemento opuesto,y es nico para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los nmeros naturales.

Estas propiedades pueden no cumplirse en casos de sumas infinitas.

Notacin


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Si todos los trminos se escriben individualmente, se utiliza el smbolo "+" (ledo ms). Con esto, lasuma de los nmeros 1, 2 y 4 es 1 + 2 + 4 = 7.

Tambin se puede emplear el smbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los

trminos, se indican los nmeros omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer losnmeros omitidos. Por ejemplo:

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 es la suma de los cien primeros nmeros naturales.

2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2.

En sumas largas e incluso sumas infinitas se emplea un nuevo smbolo, que se llama sumatorio yse representa con la letra griega Sigma mayscula (). Por ejemplo:

es la suma de los cien primeros nmeros naturales.

es la suma de las diez primeras potencias de 2.

Suma de fracciones

Hay dos casos:

Fracciones que tienen el mismo denominador; Fracciones que tienen el distinto denominadorPrimer caso: la suma de dos ms fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla,slo hay que sumar los numeradores y se deja el denominador comn.

Segundo caso: la suma de dos o ms fracciones con distinto denominador es un poco menossencilla.

Pasos

1. Se haya el mnimo comn mltiplo de los dos denominadores

2 Se calcula el numerador con la frmula: numerador antiguo x denominador comn y dividido pordenominador antiguo

3 Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mimos denominador)

Resta

Se utiliza para restar, descontar, disminuir, etc., 2 o mas cantidades contables de la mismamagnitud (categora)

La resta o substraccin es una de las cuatro operaciones bsicas de la aritmtica, y se tratabsicamente de la operacin inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c-b=a.

En la resta, el primer nmero se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultadode la resta se denomina diferencia.

En el conjunto de los nmeros naturales, N, slo se pueden restar dos nmeros si el minuendo esmayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sera un nmero negativo, que por definicinestara excluido del conjunto. Esto es as para otros conjuntos con ciertas restricciones, como losnmeros reales positivos.

En matemticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras,no se tiene a - b sino a + (-b), donde -b es el elemento opuesto de b respecto de la suma

Resta de fracciones


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Resta de fracciones que tienen el mismo denominador

Para restar dos ms fracciones que tienen el mismo denominador, slo hay que restar losnumeradores y se deja el denominador comn. Ejemplo:

Resta de fracciones con distinto denominador

1. Se haya el mnimo comn mltiplo de los dos denominadores:

(mnimo comn mltiplo de 4 y 2)

2. Se calculan los numeradores con la frmula: numerador antiguo (6) x denominador comn (4) ydividido por denominador antiguo (4)

( 6*4/4=6 )

Numerador antiguo (1) x denominador comn (4) y dividido por denominador antiguo (2)

( 1*4/2= 2 )

3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las fraccionestienen el mismo denominador)

Multiplicacin

Se utiliza para resolver problemas donde se suman n veces las mismas cantidades.

El producto o la multiplicacin es una operacin aritmtica que se puede explicar como unamanera de sumar nmeros idnticos.

El resultado de la multiplicacin de nmeros se llama producto. Los nmeros que se multiplican sellaman factores o coeficientes, e individualmente como multiplicando (nmero a sumar) ymultiplicador (veces que se suma el multiplicando).

La multiplicacin se suele indicar con el aspa o el punto centrado . En ausencia de estoscaracteres se suele emplear el asterisco *, sobre todo en computacin

Definicin

La multiplicacin de dos nmeros enteros n y m se define como:

sta no es ms que una forma de simbolizar la expresin "sumar m a s mismo n veces". Puedefacilitar la comprensin el expandir la expresin anterior:

mn = m + m + m +...+ m


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tal que hay n sumandos. As que, por ejemplo:

52 = 5 + 5 = 10

25 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1043 = 4 + 4 + 4 = 12

m6 = m + m + m + m + m + m

Utilizando esta definicin, es fcil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicacin.Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos nmeros esirrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dosnmeros cualesquiera x e y:

xy = yx

La multiplicacin tambin cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres nmeroscualesquiera x, y y z, se cumple:

(xy)z = x(yz)

En la notacin algebraica, los parntesis indican que las operaciones dentro de los mismos debenser realizadas con preferencia a cualquier otra operacin.

La multiplicacin tambin tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:

x(y + z) = xy + xz

Asimismo:

(x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz

Tambin es de inters que cualquier nmero multiplicado por 1 es igual a s mismo:

1x = x

es decir, la multiplicacin tiene un elemento identidad que es el 1.

Qu ocurre con el cero? La definicin inicial no ayuda mucho porque 1 es mayor que 0. Dehecho, es ms fcil definir el producto por cero utilizando la segunda definicin:

m0 = m + m + m +...+ m

donde hay cero sumandos. La suma de cero veces m es cero, as que

m0 = 0

sin importar lo que valga m, siempre que sea finito.

El producto de nmeros negativos tambin requiere reflexionar un poco. Primero, considrese elnmero -1. Para cualquier entero positivo m:

(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

ste es un resultado interesante que muestra que cualquier nmero negativo no es ms que unnmero positivo multiplicado por -1. As que la multiplicacin de enteros cualesquiera se puederepresentar por la multiplicacin de enteros positivos y factores -1. Lo nico que queda por definires el producto de (-1)(-1):

(-1)(-1) = -(-1) = 1

De esta forma, se define la multiplicacin de dos enteros. Las definiciones pueden extenderse aconjuntos cada vez mayores de nmeros: primero el conjunto de las fracciones o nmerosracionales, despus a todos los nmeros reales y finalmente a los nmeros complejos y otrasextensiones de los nmeros reales.

el producto vaco, es decir, multiplicar cero factores, vale 1.


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Una definicin recursiva de la multiplicacin puede darse segn estas reglas:

x0 = 0

xy = x + x(y-1)donde x es una cantidad arbitraria e y es un nmero natural. Una vez el producto est definido paralos nmeros naturales, se puede extender a conjuntos ms grandes, como ya se ha indicadoanteriormente.

Division

Se utiliza para determinar n partes iguales de una cantidad determinada, dividir una magnitud enpartes iguales.

En matemticas, especificamente en aritmtica elemental, la divisin es una operacin aritmticaque es la inversa de la multiplicacin y a veces puede interpretarse como una resta repetida.

En otras palabras, consiste en averiguar cuntas veces un nmero (el divisor) est contenido enotro nmero (el dividendo). En la divisin de nmeros enteros adems del dividendo y el divisor

intervienen otros nmeros. As al resultado entero de la divisin se le denomina cociente y si ladivisin no es exacta, es decir, el divisor no est contenido un nmero exacto de veces en eldividendo, la operacin tendr un resto, donde:

resto = dividendo - cociente divisor

Orden de Operaciones

Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritmticas:

1. Primero resolver todo lo que est dentro de simbolos de agrupacin.

2. Evaluar las expresiones exponenciales.

3. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.

4. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.

Ejemplo:

Propiedades de los Nmeros Reales:


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Conmutativa de adicin:

La conmutatividad implica que no importa el orden de operacin, el resultado

siempre es el mismo.

Por ejemplo:

4 + 2 = 2 + 4

Conmutativa de multiplicacin:

Por ejemplo:

4 . 2 = 2 . 4

Asociativa de adicin:

La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo.

Por ejemplo:

(4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)

Asociativa de multiplicacin:

Por ejemplo:

4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9

Distributiva de multiplicacin sobre adicin:

Por ejemplo:

4 . (2 + 9) = 4 . 2 + 4 . 9

Reglas de los Signos:

1. En suma de nmeros con signos iguales, se suman los nmeros y el resultado lleva elmismo signo. Si los nmeros tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signodel mayor.

Ejemplo:

5 + 8 = 13


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5 + -8 = -3

2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signosdiferentes, se suman los nmeros y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:

5 - 8 = -3

5 - (-8) = 13

3. En multiplicacin y divisin de nmeros con signos iguales el resultado es positivo. Si losnmeros son signos opuestos, el resultado es negativo.

Ejemplo:

5 x 8 = 40

5 x -8 = -40

Clculo de porcentajes, regla de tres, potencias y races

Porcentaje

Un porcentaje es una forma de expresar una proporcin o fraccin como una fraccin dedenominador 100, es decir, como una cantidad de centsimas. Es decir, una expresin como"45%" ("45 por ciento") es lo mismo que la fraccin 45/100.

"El 45% de la poblacin humana..." es equivalente a: "45 de cada 100 personas..."

Un porcentaje puede ser un nmero mayor que 100. Por ejemplo, el 200% de un nmero es eldoble de dicho nmero, o un incremento del 100%. Un incremento del 200% dara como resultadoel triple de la cantidad inicial. De esta forma, se puede apreciar la relacin que existe entre elaumento porcentual y el producto.

Confusin en el uso de los porcentajesSurgen muchas confusiones en el uso de los porcentajes debido a un uso inconsistente o a un malentendimiento de la aritmtica elemental.

Cambios

Debido a un uso inconsistente, no siempre est claro por el contexto con qu se compara unporcentaje. Cuando se habla de una subida o cada del 10% de una cantidad, la interpretacinusual es que este cambio es relativo al valor inicial de la cantidad: por ejemplo, una subida del 10%sobre un producto que cuesta 100$ es una subida de 10$, con lo que el nuevo precio pasa a ser110$. Para muchos, cualquier otra interpretacin es incorrecta.

En el caso de los tipos de inters, sin embargo, es prctica comn utilizar los porcentajes de otramanera: supongamos que el tipo de inters inicial es del 10%, y que en un momento dado sube al

20%. Esto se puede expresar como una subida del 100% si se calcula el aumento con respecto delvalor inicial del tipo de inters. Sin embargo, mucha gente dice en la prctica que "los tipos deinters han subido un 10%", refirindose a que ha subido en un 10% sobre el 100% adicional al10% inicial (20% en total), aunque en la expresin usual de los porcentajes debera querer deciruna subida del 10% sobre el 10% inicial (es decir, un total del 11%).

Para evitar esta confusin, se suele emplear la expresin "punto porcentual". As, en el ejemploanterior, "los tipos de inters han subido en 10 puntos porcentuales" no dara lugar a confusin,sino que todos entenderan que los tipos estn actualmente en el 20%. Tambin se emplea laexpresin "punto base", que significa la centsima parte de un punto porcentual (es decir, unaparte entre diez mil). As, los tipos de inters han subido en 1000 puntos base.

Cancelaciones


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Un error comn en el uso de porcentajes es imaginar que una subida de un determinadoporcentaje se cancela con una cada del mismo porcentaje. Una subida del 50% sobre 100 es 100+ 50, o 150, pero una reduccin del 50% sobre 150 es 150 - 75, o 75. En general, el efecto final de

un aumento seguido de una reduccin proporcionalmente igual es:(1 + x)(1 - x) = 1 - x

es decir, una reduccin proporcional al cuadrado del cambio porcentual.

Los que tenan acciones punto como en el momento de la crisis acabaron comprendiendo que,aunque una accin haya cado un 99%, puede volver a caer otro 99%. Adems, si sube por unporcentaje muy grande, seguir perdindolo todo si un da la accin reduce su valor en un 100%,porque entonces no valdr nada.

Regla de tres

La regla de tres es una relacin que se establece entre tres (o ms) valores conocidos y unaincgnita. Normalmente se usa cuando se puede establecer una relacin de linealidad(proporcionalidad) entre todos los valores involucrados (anlogo para proporcionalidad inversa).

Normalmente se representa de la siguiente forma:

A - B

X - C

Siendo A, B y C valores conocidos y X la incgnita cuyo valor queremos averiguar. Esto se lee dela siguiente manera: A es a B como X es a C. La posicin de la incgnita puede variar, porsupuesto.

As por ejemplo para pasar 60 grados a radianes podramos establecer la siguiente regla de tres:

360 - 2

60 - X

potencia y raizNotacin Exponencial

La notacin exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo nmero. Es laelevacin a la ensima potencia (n) de una base (X).

Ejemplos:

Raz cuadrada

En matemticas, la raz cuadrada de un nmero real no negativo x es el nmero real no negativoque, multiplicado con s mismo, da x. La raz cuadrada de x se denota por x. Por ejemplo, 16 = 4,ya que 4 4 = 16, y 2 = 1,41421... . Las races cuadradas son importantes en la resolucin deecuaciones cuadrticas.

La generalizacin de la funcin raz cuadrada a los nmeros negativos da lugar a los nmerosimaginarios y al campo de los nmeros complejos.


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El smbolo de la raz cuadrada se emple por primera vez en el siglo XVI. Se ha especulado conque tuvo su origen en una forma alterada de la letra r minscula, que representara la palabra latina"radix", que significa "raz".

PropiedadesLas siguientes propiedades de la raz cuadrada son vlidas para todos los nmeros positivos x, y:

para todo nmero real x (vase valor absoluto)

La funcin raz cuadrada, en general, transforma nmeros racionales en nmeros algebraicos; xes racional si y slo si x es un nmero racional que puede escribirse como fraccin de doscuadrados perfectos. Si el denominador es 1 = 1, entonces se trata de un nmero natural. Sinembargo, 2 es irracional.

La funcin raz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.

Propiedades de los nmeros

Un nmero es un smbolo que representa una cantidad. Los nmeros son ampliamente utilizadosen matemticas, pero tambin en muchas otras disciplinas y actividades, as como de forma mselemental en la vida diaria.

El nmero es tambin una entidad abstracta con la que se describe una cantidad. Los nmeros

ms conocidos son los nmeros naturales 0, 1, 2, ..., que se usan para contar. Si aadimos losnmeros negativos obtenemos los enteros. Cocientes de enteros generan los nmeros racionales.Si incluimos todos los nmeros que son expresables con decimales pero no con fracciones deenteros, obtenemos los nmeros reales; si a stos les aadimos los nmeros complejos,tendremos todos los nmeros necesarios para resolver cualquier ecuacin algebraica. Podemosampliar an ms los nmeros, si aadimos los infinitos y los transfinitos. Entre los reales, existennmeros que no son soluciones de una ecuacin polinomial o algebraica. Reciben el nombre detranscendentales. El ejemplo ms famoso de estos nmeros es (Pi), otro ejemplo fundamental eigual de importante es e, base de los logaritmos naturales. Estos dos nmeros estn relacionadosentre si por la identidad de Euler, tambin llamada la frmula ms importante del mundo.

Existe toda una teora de los nmeros. Se distinguen distintos tipos de nmeros:

Nmeros naturales . conjunto de numeros que utilizamos para contar cantidades enteraspositivas

o Tiene como primer elemento el cero

o Cualquier numero puede ser escrito con los numero del sistema decimal

o Es un conjunto infinito

o Todos los numeros tienen su siguente

o No existen numeros intermedios entre un numero y sus siguiente

o Todos los numeros naturales cumplen con las relaciones de orden y comparacin.

Nmero primo

Nmeros compuestos


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Nmeros perfectos

Nmeros enteros

Nmeros pares Nmeros impares

Nmeros racionales

Nmeros reales

Nmeros irracionales

Nmeros algebraicos

Nmeros trascendentes

Nmeros complejos

Cuaterniones

Nmeros infinitos

Nmeros transfinitos

Nmeros fundamentales: y e

El estudio de ciertas propiedades que cumplen los nmeros ha producido una enorme cantidad detipos de nmeros, la mayora sin un inters matemtico especfico. A continuacin se indicanalgunos:

Narcisista: Nmero de n dgitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de susdgitos. Ejemplo: 153 = 1 + 5 + 3.

Omirp: Nmero primo que al invertir sus dgitos da otro nmero primo. Ejemplo : 1597 y 7951 sonprimos.

Vampiro: Nmero que se obtiene a partir del producto de dos nmeros obtenidos a partir de susdgitos. Ejemplo: 2187 = 27 x 81.

Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificacin de los nmeros, surge otro, msprctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. Elsistema que se ha impuesto universalmente es la numeracin de posicin gracias al invento delcero, con una base constante.

lgebra

El lgebra es la rama de las matemticas que tiene por objeto de estudio la generalizacin delclculo aritmtico mediante expresiones compuestas de constantes (nmeros) y variables (letras).

Etimolgicamente, proviene del rabe (tambin nombrado por los rabes Amucabala) (yebr)

(al-dejaber), con el significado de reduccin, operacin de ciruga por la cual se reducen los huesosluxados o fraccionados (algebrista era el mdico reparador de huesos).

El lgebra lineal tiene sus orgenes en el estudio de los vectores en el plano y en el espaciotridimensional cartesiano. Aqu, un vector es un segmento, caracterizado por su longitud (omagnitud) y direccin. Los vectores pueden entonces utilizarse para representar ciertasmagnitudes fsicas, como las fuerzas, pueden sumarse y ser multiplicados por escalares, formandoentonces el primer ejemplo de espacio vectorial real.

Hoy da, el lgebra lineal se ha extendido para considerar espacios de dimensin arbitraria oincluso de dimensin infinita. Un espacio vectorial de dimensin n se dice que es n-dimensional. Lamayora de los resultados encontrados en 2 y 3 dimensiones pueden extenderse al caso n-dimensional. A mucha gente le resulta imposible la visualizacin mental de los vectores de ms detres dimensiones (o incluso los tridimensionales). Pero los vectores de un espacio n-dimensional


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pueden ser tiles para representar informacin: considerados como n-tuplas, es decir, listasordenadas de n componentes, pueden utilizarse para resumir y manipular informacineficientemente. Por ejemplo, en economa, se pueden crear y usar vectores octo-dimensionales u

8-tuplas para representar el Producto Interno Bruto de 8 pases diferentes. Se puede simplementemostrar el PIB en un ao en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo,(Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, Espaa, India, Japn, Australia), utilizando unvector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada pas est en su respectiva posicin.

Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemosprobar teoremas, es parte del lgebra abstracta, y est bien integrado en ella. Por ejemplo, con laoperacin de composicin, el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial en s mismo(endomorfismos) tiene estructura de anillo, y el subconjunto de las aplicaciones lineales que soninvertibles (los automorfismos) tiene estructura de grupo. El lgebra Lineal tambin tiene un papelimportante en el clculo, sobre todo en la descripcin de derivadas de orden superior en el anlisisvectorial y en el estudio del producto tensorial (en fsica, buscar momentos de torsin) y de lasaplicaciones antisimtricas.

Un espacio vectorial se define sobre un cuerpo, tal como el de los nmeros reales o en el de losnmeros complejos. Una aplicacin (u operador) lineal hace corresponder los vectores de unespacio vectorial con los de otro (o de l mismo), de forma compatible con la suma o adicin y lamultiplicacin por un escalar definidos en ellos. Elegida una base de un espacio vectorial, cadaaplicacin lineal puede ser representada por una tabla de nmeros llamada matriz. El estudiodetallado de las propiedades de las matrices y los algoritmos aplicados a las mismas, incluyendolos determinantes y autovectores, se consideran parte del lgebra lineal.

En matemticas los problemas lineales, aquellos que exhiben linealidad en su comportamiento, porlo general pueden resolverse. Por ejemplo, en el clculo diferencial se trabaja con unaaproximacin lineal a funciones. La distincin entre problemas lineales y no lineales es muyimportante en la prctica.

Algunos Teoremas tiles

Todo espacio lineal tiene una base (Esta afirmacin es lgicamente equivalente al Axioma deeleccin)

Una matriz A no nula con n filas y n columnas es no singular (inversible) si existe una matriz B quesatisface AB = BA = I donde I es la matriz identidad.

Una matriz es inversible si y solo si su determinante es distinto de cero.

Una matriz es inversible si y solo si la transformacin lineal representada por la matriz es unisomorfismo (vea tambin matriz inversible para otras afirmaciones equivalentes)

Una matriz es positiva semidefinida si y solo si cada uno de sus eigenvalores son mayores oiguales a cero

Una matriz es positiva definida si y solo si cada uno de sus eigenvalores son mayores a cero.

Literales y exponentes

Una literal es una representacin general de una cierta magnitud.

Por ejempo: el area de un rectangualo es igual a : A= bh donde A, b y H son literales.

Expresiones Algebraicas

Las expresiones algebraicas se clasifican segn su nmero de trminos.

monomio = un solo trmino.

Por ejemplo:


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binomio = suma o resta de dos monomios.

Por ejemplo:

trinomio = suma o resta de tres monomios.

Por ejemplo:

polinomio = suma o resta de cualquier nmero de monomios.

Reglas de los Exponentes:

Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentesson enteros positivos diferentes.

Ejemplo:

Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente sequeda igual.

Ejemplo:

En divisin, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, serestan los exponentes. Las variables m y n son enteros positivos , m > n.

Ejemplo:

En suma y resta, solo se procede si son trminos similares, en otras palabras lo que difierees su coeficiente numrico.

Productos notables y factorizacin

Productos Notables


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Cuadrado de la suma de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad ms el

doble de la primera cantidad por la segunda ms el cuadrado de la segunda cantidad.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos eldoble de la primera cantidad por la segunda ms el cuadrado de la segunda cantidad.

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primeracantidad menos el cuadrado de la segunda

Cubo de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad mas el triple delcuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera masel segundo al cubo.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el tripledel cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primeramenos el segundo al cubo.

Cocientes Notables

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las

cantidades

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas entre la suma de las cantidades esigual a la diferencia de las cantidades.

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a lasuma de las cantidades.

Factorizacin de Polinomios

Factorizar un polinomio es el primer mtodo para obtener las races o ceros de la expresin. Parafactorizar se comienza con una regla que te permite desarrollar la destreza, para aplicarla aejercicios de mayor dificultad. Se buscan dos factores o nmeros cuyo producto sea el ltimo

trmino y a la vez sumados o restados den como resultado el coeficiente del trmino del medio.Esta regla aplica solo a ecuaciones cuadrticas cuyo coeficiente de la variable elevado al cuadradoes 1. Si el coeficiente de la variable elevada al cuadrado no fuese 1, la manera de factorizar seratanteando hasta poder lograr la factorizacin. Muchas veces la factorizacin es simplementereconocer factores comunes.

Se puede utilizar tambin la inversa de las frmulas de productos especiales. O sea, expresamosel polinomio como una multiplicacin o un producto, usando las frmulas a la inversa.

Completando el Cuadrado

Completando el cuadrado es el segundo mtodo para obtener las races o ceros de un polinomio.El proceso es el siguiente:


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1. Primero mueves el tercer trmino con signo opuesto al lado contrario de laigualdad.

2. Luego, vas a calcular el trmino que te permite crear tu cuadrado de la siguiente

forma: selecciona el coeficiente de la variable que est elevada a la 1, se divideentre dos y elevarlo al cuadrado.

3. Este resultado lo sumars a ambos lados de la expresin.

4. Despus, la raz cuadrada del primer trmino, el operador (signo) del medio y laraz cuadrada del ltimo termino, todo elevado al cuadrado es igual a la suma de laderecha.

5. Luego, sacas raz cuadrada a ambos lados, observando que hay dos posiblessoluciones, el caso positivo y el caso negativo.

6. Por ltimo despejas por la variable y esas son las races o ceros del polinomio.

Como ejemplo vamos a utilizar el ejercicio .

Casos de factorizacin

Caso 1 - Factor comn

Cuando se tiene una expresin de dos o ms trminos algebraicos y si se presenta algn trminocomn, entonces se puede sacar este trmino como factor comn.

Caso 2 - Factor por agrupacin de trminos

En una expresin de dos, cuatro, seis o un nmero par de trminos es posible asociar por mediode parntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al nmero detrminos de la expresin original. Se debe dar que cada uno de estos parntesis que contiene dos,o tres o mas trminos se le pueda sacar un factor comn y se debe dar que lo que queda en los


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parntesis sea lo mismo para todos los parntesis o el factor comn de todos los parntesis sea elmismo y este ser el factor comn.

Caso 3 - Trinomio cuadrado perfecto

Una expresin se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres trminos donde elprimero y tercer trminos son cuadrados perfectos (tienen raz cuadrada exacta) y positivos, y elsegundo trmino es el doble producto de sus races cuadradas.Se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trmino y se separan estas races por el signo delsegundo trmino. El binomio as formado se eleva al cuadrado.

Caso 4 - Diferencia de cuadrados perfectos

Dos cuadrados que se estn restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar estaexpresin se extrae la raz cuadrada de los dos trminos y se multiplica la resta de los dos trminospor la suma de los dos.

Caso especial: Se puede presentar que uno o los dos trminos de la diferencia contenga mas deun trmino.

Caso especial: Se puede dar una expresin de cuatro trminos donde tres de ellos formen untrinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado y combinado con el cuarto trmino se conviertaen una diferencia de cuadrados, o pueden ser seis trminos que formen dos trinomios cuadradosperfectos y al ser factorizados formen una diferencia de cuadrados.

Caso 5 - Trinomio cuadrado perfecto por adicin y sustraccin

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y

tercer trmino tienen raz cuadrada perfecta pero el trmino de la mitad no es el doble producto delas dos races. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte paracuadrar el trmino de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal formase armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el ltimo trmino tendremos una diferenciade cuadrados.

Caso especial: factorar una suma de cuadrados, se suma el trmino que hace falta para formar untrinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se resta esta misma cantidad, as tendremos untrinomio cuadrado perfecto enseguida una diferencia de cuadrados.

Caso 6 - Trinomio de la forma

x2+bx+c

Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:

El primer trmino tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.

El segundo trmino tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable.

El tercer trmino es independiente (no contiene la variable).

Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y donde el primertrmino de cada binomio es la variable y el segundo trmino en cada uno de los factores(parntesis), son dos nmeros , uno en cada parntesis de tal forma que la suma de los dos del


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coeficiente del segundo trmino del trinomio y la multiplicacin de los dos del tercer trmino deltrinomio, el signo del segundo trmino de cada factor depende de lo siguiente:

Si el signo del tercer trmino es negativo, ento nces uno ser positivo y el otro negativo, elmayor de los dos nmeros llevara el signo del segundo trmino del trinomio y el otronmero llevara el signo contrario.Si el signo del tercer trmino es positivo, enton ces los dos signos sern iguales (positivoso negativos), sern el signo del segundo trmino del trinomio.

Caso 7 - Trinomio de la forma

Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer trmino puede tenercoeficiente diferente de 1.

Se procede de la siguiente forma:

Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer trmino, de esta forma se convierte en untrinomio de la forma:

y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el trinomio en la parte superior del fraccionario yse simplifica con el nmero que esta como denominador.

Caso 8 - Cubo perfecto de binomiosPodemos asegurar que una expresin algebraica es un cubo perfecto si cumple las siguientescondiciones:

Posee cuatro trminos

El primer y cuarto trmino son cubos perfectos (t ienen races cbicas exactas).

El segundo termino sea el triple del cuadrado de la raz cbica del primer trmino multiplicadopor la raz cbica del ltimo trmino.

El tercer termino sea el triple del cuadrado de l a raz cbica del ltimo trmino -multiplicadopor la raz cbica del primer trmino.

Los signos son todos mas o tambin podra ser pos itivo el primero y el tercero y negativo elsegundo y el cuarto.

Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer trmino delbinomio es la raz cbica del primer trmino y el segundo trmino es la raz cbica del ltimotrmino. El signo del segundo trmino es mas si todos los signos del cubo son mas y es menos silos signos del segundo y cuarto trmino del cubo son menos.

Caso 9 - Suma o diferencia de cubos perfectos


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Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solucin ser dosfactores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos races cbicas de los trminosdados, el segundo factor esta formado por tres trminos as: la priemra raz al cuadrado, la primera

raz por la segunda y la segunda raz al cuadrado. Los signos pueden ser de dos formas acuerdo alo siguiente:

Caso 10 - Suma o diferencia de dos potencias iguales

Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades:

Para an-bn con n = par o impar la factorizacin ser:

Para an-bn con n = par la factorizacin ser:

Para an+bn con n = impar la factorizacin ser:

Ecuaciones de primer y segundo grados

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen nmero y letras (incgnitas) relacionadosmediante operaciones matemticas.

Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1

Son ecuaciones con una incgnita cuando aparece una sla letra (incgnita, normalmente la x).

Por ejemplo: x2

+ 1 = x + 4

Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no est elevada a ninguna potencia (por tantoa 1).

Ejemplos :

3x + 1 = x - 2

1 - 3x = 2x - 9.

x - 3 = 2 + x.


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x/2 = 1 - x + 3x/2

Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

Las ecuaciones de segundo grado o cuadrticas son aquellas en las que la variable est elevada alcuadrado, el siguiente es un ejemplo de una ecuacin cuadrtica:

La ecuacin solo tiene una incgnita, y sta se encuentra elevada a la 1 y al cuadrado, ademshay trminos independientes (nmeros). Las ecuaciones de segundo grado tienen dos solucioneso ninguna. Este es un ejemplo de una ecuacin cuadrtica completa, ya que posee coeficientesdistintos de cero en los trminos cuadrticos (x^2), lineales (x^1) e independientes (x^0).

Veamos entonces algunos ejemplos de ecuaciones cuadrticas incompletas:

Esta ecuacin es muy fcil de resolver, ya que no se encuentra presente el trmino lineal:

Pero las ecuaciones cuadrticas tienen siempre dos soluciones, o bien ninguna, as que en estecaso una raz cuadrada genera dos soluciones, una con signo positivo y otra negativo:

Y esto es cierto ya que tanto 2 como -2 elevados al cuadrado dan 4, as que siempre quecalculemos la solucin de una raz cuadrada se debe tener en cuenta que sta genera dos signos.Esto suele expresarse de la siguiente manera:

Esto es un poco confuso pero en realidad nos dice que hay dos soluciones, vemos que ambassoluciones verifican la ecuacin inicial. Veamos ahora otro caso, si la ecuacin tiene trminoscuadrticos y lineales, pero no tiene trminos independientes:

En este caso sacamos factor comn X y razonamos de la siguiente forma:

Para que el primer miembro se haga 0 solo hay 2 alternativas: x es igual a 0 o (x+4) es igual a 0.De aqu se obtienen las dos soluciones (que llamamos X1 y X2):


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Vemos que las soluciones verifican. Finalmente vamos al caso ms complejo que es el quetenamos inicialmente:

Es muy difcil despejar x de esta ecuacin (pero no imposible como veremos ms adelante). Pararesolverla se utiliza una frmula muy famosa, la frmula de las soluciones de la ecuacin desegundo grado, la cual es atribuda a un ind de apellido Baskara, en primer lugar hay que pasartodos los trminos a un lado de la expresin de manera que quede igualada a cero. En segundolugar se identifican tres coeficientes llamados a, b y c (a=coeficiente cuadrtico, b=coeficientelinearl, c=trmino independiente).

La ecuacin debe expresarse de la forma:

Por lo tanto operamos con la ecuacin hasta llevarla a este formato (a, b y c son nmeros endefinitiva).

Comparando encontramos que:

La frmula que da las soluciones es la siguiente:

Frmula de Baskara

As que reemplazando los valores a, b y c:

Con lo cual obtenemos 2 soluciones, (ambas verifican la ecuacin), una con el signo + y otra con el-


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Puede darse el caso que la ecuacin no tenga solucin (cuando queda una raz negativa).

El tema es: de dnde sac Baskara esta frmula?, bueno, en realidad es sencillo, l encontr la

forma de construir un trinomio cuadrado perfecto (tercer caso de factoreo), aplicando algunos"truquillos".

Frmula de Baskara - Demostracin

Ahora viene la parte divertida, la demostracin. En primer lugar hay que llevar la ecuacin a laforma:

Luego se multiplica todo por 4a (la igualdad se mantiene desde luego):

Ahora sumamos y restamos b^2, de esta manera no cambia nada tampoco:

Ahora observemos los primeros 3 trminos, se trata de un trinomio cuadrado perfecto, as quefactoreando se obtiene:

Y ahora es fcil despejar X:

Pero como vimos antes una raz arroja 2 resultados, uno positivo y uno negativo as que queda:

Esta ltima es la famosa frmula que nos da las soluciones para X.

Proporciones y desigualdades

Desigualdades algebraicas

Definiciones:

Ley de la tricotoma:


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"Para cada par de nmeros reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones:

Propiedades de las desigualdadesTeorema1-Propiedad transitiva:

Ejemplo ilustrativo:

Teorema2-Suma:


Teorema3-Multiplicacin por un nmero positivo:


Teorema4:


Los Teoremas 1 a 4 tambin son vlidos si se cambia ">" por "


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"Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad, se cambia el sentido de ladesigualdad".

Teorema7:

Teorema8:

Teorema9:

Teorema10:

Teorema11:

GeometraLa geometra es la matemtica que estudia idealizaciones del espacio: los puntos, las rectas, losplanos y otros elementos conceptos derivados de ellos, como polgonos o poliedros.

Origen y desarrollo de la geometra:

Todo comenz en Egipto

El ser humano necesit contar, y cre los nmeros; quiso hacer clculos, y defini las operaciones;hizo relaciones, y determin las propiedades numricas.

Por medio de lo anterior, ms el uso de la lgica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolverlas situaciones problemticas surgidas a diario.

Adems de esos requerimientos prcticos, el hombre precis admirar la belleza de la creacin para

satisfacer su espritu. Con ese fin, observ la naturaleza y todo lo que le rodeaba. As fue ideandoconceptos de formas, figuras, cuerpos, lneas, los que dieron origen a la parte de la matemticaque designamos con el nombre de geometra.

El ro Nilo

La palabra geometra est formada por las races griegas: "geo", tierra, y "metrn", medida, por lotanto, su significado es "medida de la tierra".

Segn lo registra la historia, los conceptos geomtricos que el hombre ide para explicarse lanaturaleza nacieron -en forma prctica- a orillas del ro Nilo, en el antiguo Egipto.

Las principales causas fueron tener que remarcar los lmites de los terrenos ribereos y construirdiques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban lasinundaciones peridicas.


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El aporte griego

Quienes dieron carcter cientfico a la geometra fueron los griegos, al incorporar demostracionesen base a razonamientos.

Tales de Mileto (600 a.d.C.) inici esta tendencia, al concebir la posibilidad de explicar diferentesprincipios geomtricos a partir de verdades simples y evidentes.

Euclides (200 a.d.C.) le dio su mximo esplendor a esta corriente cientfica. Recogi losfundamentos de la geometra y de la matemtica griega en su tratado Elementos.

Representemos los conceptos

Hay conceptos geomtricos que no pueden definirse. Son ideas formadas en nuestra mente atravs de la observacin del entorno y solamente podemos hacer representaciones concretas deellas.

Las llamaremos trminos primitivos o conceptos primarios y son: espacio, punto, recta y plano.

Espacio

Es el conjunto universo de la geometra. En l se encuentran todos los dems elementos. Dentrode l determinamos cuerpos geomtricos como cajas, planetas, esferas, etctera.

Su smbolo es: E

Punto

El punto tiene posicin en el espacio. Su representacin ms cercana es el orificio que deja unalfiler en una hoja de papel o en un granito de arena, pero debemos tener en cuenta que no tienegrosor.

En el espacio hay infinitos puntos. Los identificaremos con una letra mayscula y para

reconocerlos usaremos o x.

Por ejemplo:

A se lee punto A, x M se lee punto M.

Si unimos diferentes puntos, obtendremos lneas que pueden ser curvas, rectas, mixtas opoligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas direcciones; rectas, si llevan lamisma direccin; mixtas, si mezclan ambas; y poligonales, si estn formadas solamente por trozosde rectas.

Plano y Recta:Infinitos puntos

La unin de infinitos puntos da origen a los otros dos principios bsicos de la geometra: plano yrecta.

La representacin ms cercana de la recta es un hilo tenso o la marca que deja un lpiz en unpapel. Es infinita, porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitos puntos.

La identificaremos con el dibujo

Una recta puede tener direccin:


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Horizontal: como la lnea del horizonte.

Vertical:

como el hilo a plomo.

Oblicua: cuando es distinta a las dos anteriores.

Las rectas se nombran con dos letras maysculas y sobre ellas se anota su smbolo. Por ejemplo:AB, se lee recta AB.

Tambin se usa una L una R, especialmente en los casos en que deban distinguirse variasrectas.

Veamos:

DE es una recta oblicua.

L es una recta vertical.

Plano

Lo ms parecido a este elemento del espacio es una hoja de papel, pero lo diferencia con sta, elhecho que es ilimitado y no tiene grosor.

El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen una misma direccin, esdecir, hay rectas que quedan totalmente incluidas en ella.

El smbolo de plano es P y para nombrarlo debe estar acompaado de, por lo menos, tres puntos.

Las paredes de nuestra casa, el pavimento de las calles, la superficie de una laguna, sonrepresentaciones de planos.

Es importante saber que en un plano podemos encontrar puntos y rectas, y obtener figurasgeomtricas.

Hay planos horizontales, verticales y oblicuos.

Cuando en una superficie no quedan rectas totalmente incluidas en ella, decimos que es curva.Una representacin de esto sera una bandera flameando

Clculo de permetros, reas y volmenes

El permetro de una figura bidimensional es la distancia que hay alrededor de ella.

El permetro de un polgono es igual a la suma de todos sus lados. El permetro de un polgonoregular es igual a la la longitud de uno de los lados multiplicada por el nmero de lados.


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La longitud de una circunferencia, o su permetro, es igual a 2r, donde r es el radio y es unaconstante que tiene un valor aproximadamente igual a 3,1416.

Llamamos rea o superficie a la medida de la regin interior de un polgono. Recordemos que laregin interior es la parte del plano que queda encerrada por los lados del polgono. Observa:

Este polgono de 9 lados, es decir, un enegono, tiene pintada de azul su regin interior.

Los puntos de la regin interior no se intersectan con la regin exterior, porque tienen una frontera:los lados que forman el polgono.

Una necesidad y un problema

El hombre tuvo necesidad de medir la superficie de los terrenos que sembraba. Para hacerlo, ideun sistema utilizando los elementos que tena a su alcance. El mtodo consisti en colocar cadaelemento sobre la tierra para ver cuntas veces caba en la superficie que quera medir, como sipusiera baldosas sobre ella.

Pero se le present una dificultad, debido a que las medidas que usaba eran arbitrarias. Es decir,

cada persona tena una base diferente, y media de acuerdo a su propio parecer, sin ponerse deacuerdo con los dems.

Por ejemplo...

Para que entiendas mejor lo anterior, lo veremos graficado con un ejemplo.

Vamos a medir el rea de una figura, utilizando elementos diferentes.

Esta es nuestra figura:

Primero mediremos el rea de este rectngulo, tomando como medida base una baldosa roja.

La baldosa roja cabe 9 veces en nuestro rectngulo, entonces su rea es de 9 baldosas rojas.

Ahora, mediremos con una baldosa diferente, la que identificaremos con el color verde. As:

La baldosa verde cabe 16 veces en el rectngulo. El rea corresponde a 16 baldosas verdes.


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El rectngulo es el mismo, pero las baldosas son diferentes. Por lo tanto, los resultados de lamedicin tambin fueron distintos.

Cuadrados y rectngulos

Dibujaremos un cuadrado de 3 cm. y colocaremos sobre l centmetros cuadrados.

Obtuvimos 9 cm2, lo mismo que si multiplicamos lado por lado, de este modo:

3 cm 3 cm = 9 cm2

Si llamamos a al lado del cuadrado, podemos concluir que:

el rea de un cuadrado es a a = a2

El rea de un rectngulo se calcula de forma semejante; lo nico que cambia es que las medidasde los lados son distintas. Al largo, lo denominaremos a, y al ancho, b. Calcularemos el rea delsiguiente rectngulo con centmetros cuadrados.

El rea equivale a 8 cm2.

Matemticamente se puede obtener multiplicando largo por ancho.

En frmula, el rea de un rectngulo es a b

Rombos y romboides

Estos paralelgramos no tienen ngulos rectos, por lo que en ellos no se puede aplicar la mismafrmula. Para calcular su rea, recurriremos a un elemento secundario: la altura, un segmentoperpendicular (forma ngulos de 90) que une un lad o con su vrtice opuesto.

En el rombo y romboide dibujados, DE corresponde a la altura.

Por qu necesitamos la altura para calcular el rea?

Trazaremos una paralela a la altura desde C y prolongaremos el lado AB hasta obtener F.

Se form un BFC, congruente con AED y nos qued el rectngulo EFCD


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El rectngulo formado tiene como largo el lado del rombo o romboide, y su ancho es la alturadibujada. Entonces, concluimos que:

El rea del rombo o romboide = b h ---> b= base, y h = altura

En resumen, cualquier paralelgramo tiene una sola frmula para calcular su rea, ya que en elcuadrado y en el rectngulo un lado es la base y el otro, la altura. Entonces:

rea de un paralelgramo = b h

Calcularemos el rea de un rombo que tiene 4,6 cm. por lado y su altura es de 3 cm. Aplicamos lafrmula:

rea rombo = b h

rea rombo = 4,6 cm 3 cm.

rea rombo = 13,8 cm2

Trapecios

Sabemos que los trapecios son cuadrilteros que tienen un par de lados paralelos llamados bases.Sus lados, es decir, los no paralelos, no son perpendiculares a las bases, salvo el trapeciorectngulo que tiene perpendicular uno de ellos. Para el clculo de su rea tambin necesitamosconsiderar la altura.

Para formar un rectngulo trazamos la paralela a DE desde B y prolongamos DC hasta formar F.

Nos queda el AED CFB y nuestro rectngulo es EBFD

El rectngulo tiene como largo la mitad de la suma de las bases del trapecio y su ancho es la alturaque trazamos. El rea del trapecio se puede calcular aplicando la frmula:


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rea del trapecio =base mayor + base menor h

_______________________________

2

Calcularemos el rea de nuestro trapecio.

rea del trapecio = 8 cm + 4 cm 3,6

___________________

2

rea del trapecio = 12 cm 3,6

_______________

2

rea del trapecio = 21,6 cm2

El rea de los tringulos

El clculo de rea de un tringulo cualquiera, se relaciona con el rea de un romboide, cuyafrmula era base altura

Cmo podemos relacionar tringulo y romboide?

Lo haremos a travs del siguiente dibujo

A nuestro ABC, le trazaremos una paralela al lado AC a partir de B, y una paralela a AB a partirde C.

Se ha formado un romboide donde el ABC es la mitad de l.

Para calcular el rea del romboide necesitbamos la altura, porque su frmula es b h.

Como el es la mitad del romboide obtenemos que el rea del es igual a la mitad del rea delromboide.

Su frmula es:

rea del tringulo = b h_______2

AB= 5 cm AC= 3,2 cm


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BC= 4 cm CD= 3 cm

Calculemos el rea de este tringulo. Comenzamos, aplicando la frmula.

Tringulo rectngulo

Si el es rectngulo, su rea se puede calcular por medio de sus catetos, que son los ladosperpendiculares, porque un cateto es la altura del otro. Entonces, la frmula para su clculo sera:

rea del tringulo = cateto cateto

_____________________

2

Aplicaremos esta frmula en el siguiente tringulo rectngulo.

AB= 4 cm

BC= 5 cm

AC= 3 cm

Los catetos miden 3 y 4 cm

En el crculo

El crculo es la regin interior de una circunferencia.

El rea de un crculo se obtiene aplicando la siguiente frmula:

rea del O = r2

= 3,14 r = radio de la circunferencia

Recordemos que es un nmero decimal infinito que, para efectos de clculo, lo dejamos en 3,14 3.

Aplicaremos la frmula para calcular el rea de un crculo de 3 cm. de radio.


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Apliquemos el teorema de Pitgoras

El gran matemtico griego Pitgoras descubri una situacin muy especial que se produce en eltringulo rectngulo y que se relaciona con sus lados.

Su teorema dice: "El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo, equivalea la suma de los cuadrados construidos sobre sus catetos"

Demostraremos este teorema a travs de un dibujo.

Hemos construido un cuadrado sobre cada lado del tringulo rectngulo.

Pitgoras dice que el cuadrado 1 tiene su rea igual a la suma de los cuadrados 2 y 3.

De acuerdo al cuadriculado, el cuadrado 1 tiene un rea de 25 cuadros. Al sumar los 9 cuadros delcuadrado 2 y los 16 cuadros del 3 obtenemos 25. Entonces, se cumple:

Este teorema nos sirve para calcular la medida desconocida de un lado de un tringulo rectngulo,puede ser un cateto o su hipotenusa.

Por ejemplo: si la hipotenusa mide 5 cm y uno de sus catetos es 4 cm, cunto mide el otro cateto?

Aplicamos la frmula.

reas achuradas

Son una forma de aplicacin del clculo de reas de diferentes figuras que estn relacionadasentre s. Para distinguir la parte que se debe calcular como resultado final se procede a achurarla,es decir, se pinta o raya imitando texturas.

Algunas veces, la parte achurada est formada por la unin de reas de figuras, por lo tanto, hayque descomponerla, luego hacer el clculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar elrea total.


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Veamos el siguiente ejemplo:

Esta figura se descompone en medio crculo y un rectngulo. Primero, tendremos que calcular elrea del crculo; luego, dividirla por 2. Buscaremos, tambin el rea del rectngulo y despussumaremos ambos resultados para obtener el rea total.

Hay ejercicios, que tienen unas figuras dentro de otras y la parte achurada se relaciona con unsector formado por la interseccin de ellas. En estos casos, la solucin se encuentra buscando ladiferencia entre las figuras que forman la interseccin. Por ejemplo:

Nuestra figura est formada por un cuadrado con un crculo en su interior. La parte achuradacorresponde a la diferencia entre el rea del cuadrado y la del crculo

Volumen

Probabilidad y estadstica bsica

La probabilidad es la caracteristica de un suceso del que existen razones para creer que serealizar. Los sucesos tienden a ser una frecuencia relativa del numero de veces que se realiza elexperimento

La probabilidad p de aparicin de un suceso S de un total de n casos posibles igualmente factibleses la razn entre el nmero de ocurrencias h de dicho suceso y el nmero total de casos posiblesn.

p = P{S} = h / n

La probabilidad es un nmero (valor) entre 0 y 1. Cuando el suceso es imposible se dice que su

probabilidad es 0 y se dice que es un suceso cierto cuando siempre tiene que ocurrir y suprobabilidad es 1. La probabilidad de no ocurrencia de un evento est dada por q donde:

q = P{noS} = 1 (h / n)

Simblicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por , es el espacio queconsiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por 1,2,etctera, son elementos del espacio

La Estadstica es una rama de las matemticas que se utiliza para describir, analizar e interpretarfenmenos donde interviene el azar, y que permite a otras ciencias a generar modelosmatemticos empricos donde se considera el componente aleatorio. La Estadstica se divide endos grandes ramas:


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La Estadstica descriptiva, que se dedica a los mtodos de recoleccin, descripcin, visualizacin yresumen de datos originados a partir de los fenmenos en estudio.

La Estadstica inferencial, que se dedica a la generacin de los modelos, inferencias y predicciones

asociadas a los fenmenos en cuestin.El Razonamiento Estadstico

Todo problema estadstico opera del modo siguiente:

Se plantea un problema en estudio.

Se realiza un muestreo consistente en la recoleccin de datos referentes al fenmeno o variableque deseamos estudiar.

Se propone un modelo de probabilidad, cuyos parmetros se estiman mediante estadsticos apartir de los datos de muestreo. Sin embargo se mantiene lo que se denominan hiptesissostenidas (que no son sometidas a comprobacin)

Se valida el modelo comparndolo con lo que sucede en la realidad. Se utiliza mtodos

estadsticos conocidos como test de hiptesis y pilin de significacin Poblacin, muestra, medidas de tendencia central, desviacin estndar y varianza

Poblacin: Conjunto de todos los elementos incluidos en cierto estudio estadstico.

Muestra: Subconjunto de la poblacin.

Elemento: Unidad mnima de la que se compone la poblacin

MEDIA ARITMTICA

Es la suma de los valores de una variable dividida por, l numero de ellos. La media aritmtica, quese representa con .

La frmula de la media aritmtica es:

Ejemplo:

se obtiene con los siguientes pasos

1. Se suman todos los datos

10 + 3 + 5 + 9 + 6 + 8 + 8 + 7 + 9 + 6 + 8 + 7 =

2. La suma ( ) se divide entre el nmero de datos (n) :


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La media aritmtica o promedio de las evaluaciones es 7.16, que es el valor representativo detodos los datos.

MEDIA ARITMTICA PONDERADA

A veces se asocia a los nmeros x1, x2,...,xn que se quieren promediar, ciertos factores o pesosw1, w2,...,wn que dependen de la significacin o importancia de cada uno de los nmeros.Entonces se genera una media aritmtica ponderada, que tambin se representa con equistestada.

Ejemplo

Supongamos que un alumno quiere encontrar el promedio ponderado de sus cinco calificaciones.La segunda calificacin vale el doble de al primera, la tercera el triple de la primera, la cuarta valecuatro veces la primera y la quinta cinco veces. Cul es su promedio si sus calificaciones son 8.5,7.3, 8.3, 6.4 y 9.2?

X1 = 8.5 ; W1 = 1

X2 = 7.3 ; W2 = 2

X3 = 8.3 ; W3 = 3

X4 = 6.4 ; W4 = 4

X5 = 9.2 ; W5 = 5

(8.5*1+7.3*2+8.3*3+6.4*4+9.2*5)

(1+2+3+4+5)

= 119.6/15 = 7.97 es el promedio ponderado de las calificaciones de este alumno

LA MEDIANA

Es la observacin que se encuentra en el centro cuando los datos estn ordenados, divide a losdatos en dos partes iguales.

- Si n es impar:

la mediana es la observacin que est en el lugar (n+1)/2, esto es


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- Si n es par:

la mediana es el promedio de las observaciones n/2 y n/2+1, esto es

Ejemplo

Encuentra la mediana para el siguiente conjunto de datos

9 12 5 16 8 3 11

Primero se ordenan los datos

3 5 8 9 11 12 16

Una vez ordenados, como el nmero de datos es impar (7), se busca el que tiene la posicin(n+1)2, o sea (7+1)2 = 4. Este nmero es el 9 y representa la mediana.

Ejemplo

Calcula la mediana para el siguiente conjunto de datos

8.3 5.7 9.2 3.9 7.4 11.8 10.6 4.3

Nuevamente se ordenan los datos

3.9 4.3 5.7 7.4 8.3 9.2 10.6 11.8

Una vez ordenados, como el nmeo de datos es par (8), se busca el nmero que tiene la posicin

n/2 y el que tiene la posicin n/2+1, o sea 8/2 = 4 y 8/2+1 = 5. Los nmeros que tienen la posicincuarta y quinta son 7.4 y 8.3. Estos nmeros se promedian y el resultado ser la mediana.

(7.4+8.3)/2 = 7.85. Este resultado 7.85 representa la mediana para este conjunto de datos

LA MODA

La moda es el dato que aparece con mayor frecuencia en una coleccin.

Ejemplo

Si se observa cual es el dato que ms se repite en las evaluaciones, se tiene:


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3, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10

Que es el ocho. Este valor representa la moda de esta coleccin, por lo tanto, la moda se refiere al

dato que tiene mayor frecuencia.

Nota: Si ninguna observacin se repite, se dice que esos datos no tienen moda. Si todos los datosse repiten el mismo nmero de veces, los datos sern multimodales.

Ejemplo

Encuentra la moda de los siguientes datos

4 9 5 6 7

Como los datos slo existen una vez, este conjunto de datos no tienen moda.

Ejemplo

Encuentra la moda del siguiente conjunto de datos

9 3 6 7 9 8 5 9 7 3

El 3 se repite dos veces, el 7 se repite tambin dos veces, pero como el 9 se repite tres veces, esteltimo nmero es la moda para este conjunto de datos.

Ejemplo

Calcula la moda para los datos que se presentan a continuacin

6 7 8 6 9 7 8 5 6 8

El mximo nmero de veces que se repiten los datos son tres, y hay dos datos que se repiten tresveces, el 6 y el 8. El conjunto de datos es bimodal y sus modas son el 6 y el 8.

Ejemplo

Calcula la moda para estos datos

8 6 5 5 9 6 8 6 5 9 8 9

En este conjunto de datos, todos se repiten tres veces. El 5, 6, 8 y el 9 son moda. No hay ningunoque no lo sea, es un caso multimodal

DESVIACIN ESTNDAR

La desviacin estndar es la medida de dispersin mas usada en estadstica, tanto en aspectosdescriptivos como analticos. En su forma conceptual, la desviacin estndar se define as:


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Frmula de trabajo para la poblacin

Frmula de trabajo para la muestra:

Ejemplo:

x x2

3 9

2 4

3 9

5 25


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4 16

3 9

20 72

Cuando se trata de datos agrupados la formula es:

Ejemplo :

x f fx x2 fx2

32 1 32 1024 102437 3 111 1369 4107

42 8 336 1764 14112

47 9 423 2209 19881

52 7 364 2704 18928

57 4 228 3249 12996

62 3 186 3844 11532


38/72

67 3 201 4489 13467

72 2 144 5184 10368

Sumas 40 2025 106415

Conociendo la desviacin estndar, se puede calcular otros estimadores derivados que son degran utilidad para describir y/o interpretar el comportamiento de los datos

VARIANZA (VARIANCIA) S2

La varianza,, se define como la media de las diferencias cuadrticas de n puntuaciones con respecto a sumedia aritmtica, es decir:

Para datos agrupados en tablas, usando las notaciones establecidas en los captulos anteriores, lavarianza se puede escribir como

Una frmula equivalente para el clculo de la varianza est basada en lo siguiente:


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Con lo cual se tiene

Si los datos estn agrupados en tablas, es evidente que

La varianza no tiene la misma magnitud que las observaciones (ej. si las observaciones se midenen metros, la varianza lo hace en metros2). Si queremos que la medida de dispersin sea de lamisma dimensionalidad que las observaciones bastar con tomar su raz cuadrada.

Por ello se define la desviacin tpica, , como:

Ejemplo

Calcular la varianza y desviacin tpica de las siguientes cantidades medidas en metros:

3,3,4,4,5

Para calcular dichas medidas de dispersin es necesario calcular previamente el valor conrespecto al cual vamos a medir las diferencias. ste es la media:

La varianza es:


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Siendo la desviacin tpica su raz cuadrada:

Las siguientes propiedades de la varianza (respectivamente, desviacin tpica) son importantes ala hora de hacer un cambio de origen y escala a una variable. En primer lugar, la varianza (resp.Desviacin tpica) no se ve afectada si al conjunto de valores de la variable se le aade unaconstante. Si adems cada observacin es multiplicada por otra constante, en este caso lavarianza cambia en relacin al cuadrado de la constante (resp. La desviacin tpica cambia enrelacin al valor absoluto de la constante). Esto queda precisado en la siguiente proposicin

TASA INTERNA DE RENTABILIDAD O DE RETORNO

Generalmente conocido por su acrnimo TIR, es el tipo de descuento que hace que el VAN (valoractual o presente neto) sea igual a cero, es decir, el tipo de descuento que iguala el valor actual delos flujos de entrada (positivos) con el flujo de salida inicial y otros flujos negativos actualizados deun proyecto de inversin. En el anlisis de inversiones, para que un proyecto se considererentable, su TIR debe ser superior al coste del capital empleado.

El Valor Actual Neto es un criterio financiero para el anlisis de proyectos de inversin que consisteen determinar el valor actual de los flujos de caja que se esperan en el transcurso de la inversin,tanto de los flujos positivos como de las salidas de capital (incluida la inversin inicial), donde stasse representan con signo negativo, mediante su descuento a una tasa o coste de capital adecuado

al valor temporal del dinero y al riesgo de la inversin. Segn este criterio, se recomienda realizaraquellas inversiones cuyo valor actual neto sea positivo.

El Valor Actual o Valor presente, es calculado mediante la aplicacin de una tasa de descuento, deuno o varios flujos de tesorera que se espera recibir en el futuro; es decir, es la cantidad de dineroque sera necesaria invertir hoy para que, a un tipo de inters dado, se obtuvieran los flujos de cajaprevistos.

CORRELACIN LINEAL

Objetivo principal del anlisis de correlacin lineal es medir la intensidad de una relacin linealentre dos variables. A continuacin se estudian algunos diagramas de dispersin que indicandiferentes relaciones entre las variables independientes x y las variables dependientes y. Si Ydependientes no existe un cambio definido en los valores de y conforme aumentan los valores dex, se dice que no hay correlacin o que no existe relacin entre x y y. En cambio, si al aumentar xhay una modificacin definida en los valores de y, entonces existe correlacin.

En este ltimo caso la correlacin es positiva cuando y tiende a aumentar, y negativa cuando ydecrece. Si tanto los correlacin lineal valores de x como los de y tienden a seguir una direccinrecta, existe una correlacin lineal.

La precisin del cambio en y conforme x incrementa su valor, determina la solidez de la correlacinlineal. Los diagramas de dispersin de la Figura 3-2 ilustran estas nociones.


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Hay una correlacin lineal perfecta cuando todos los puntos estn situados a lo largo de una rectaen forma exacta, como se muestra en la Figura. Esta correlacin puede ser positiva o negativa,dependiendo de que y aumente o disminuya conforme x aumenta. Si los datos forman una rectavertical u horizontal no existe correlacin, pues una variable no tiene efecto sobre la otra.

PROBABILIDAD Y

TIPOS DE PROBABILIDAD

Histricamente se han desarrollado tres diferentes enfoques conceptuales para definir laprobabilidad y para determinar valores de probabilidad:

el clsico,

el de frecuencia relativa y

el subjetivo.

De acuerdo con el enfoque clsico de la probabilidad, si N(A) resultados elementales posibles sonfavorables en el evento A, y existe N(S) posibles resultados en el espacio muestral y todos losresultados elementales son igualmente probables y mutuamente excluyentes; entonces, laprobabilidad de que ocurra el evento A es

N(A)

P(A) = -------------

N(S)


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Obsrvese que el enfoque clsico de la probabilidad se basa en la suposicin de que cada uno delos resultados es igualmente probable. Debido a que este enfoque (cuando es aplicable) permitedeterminar los valores de probabilidad antes de observar cualesquiera eventos muestrales,

tambin se le denomina enfoque a priori.

EJEMPLO

En un mazo de cartas bien barajadas que contiene 4 ases y 48 cartas de otro tipo, la probabilidadde obtener un as (A) en una sola extraccin es

N(A) 4 1

P(A) = ---------- = ----- = ----

N(S) 52 13

A travs del enfoque de frecuencia relativa, se determina la probabilidad con base en la proporcinde veces que ocurre un resultado favorable en un determinado nmero de observaciones oexperimentos. No hay implcita ninguna suposicin previa de igualdad de probabilidades. Debido aque para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observacin y de la recopilacinde datos, a este enfoque se le denomina tambin enfoque emprico. La probabilidad de que ocurraun evento A, de acuerdo con el enfoque de frecuencia relativa es

Nmero de observaciones de A n(A)

P(A) = -------------------------------------- = -------

Tamao de la muestra n

EJEMPLO.

Antes de incluir la cobertura para ciertos tipos de problemas dentales en plizas de segurosmdicos para adultos con empleo, una compaa de seguros desea determinar la probabilidad deocurrencia de esa clase de problemas, para que pueda fijarse la prima de seguros de acuerdo conesas cifras. Por ello, un especialista en estadstica recopila datos para 10,000 adultos que seencuentran en las categoras de edad apropiadas y encuentra que 100 de ellos han experimentadoel problema dental especfico durante el ao anterior.

Por ello, la probabilidad de ocurrencia es:

n(A) 100

P(A) = ------- = --------- = 0.01, o 1%

n 10,000

Tanto el enfoque clsico como el de frecuencia relativa producen valores de probabilidad objetivos,en el sentido de que sealan la tasa relativa de ocurrencia del evento a largo plazo.

Por el contrario, el enfoque subjetivo a la probabilidad es particularmente apropiado cuando sloexiste una probabilidad de que el evento ocurra, y se da el caso de que ocurra o no esa nica vez.De acuerdo con el enfoque subjetivo, la probabilidad de un evento es el grado de confianza que


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una persona tiene en que el evento ocurra, con base en toda la evidencia que tiene disponible.Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, al enfoque subjetivo se le denominatambin enfoque personalista.

EJEMPLO

Debido a los impuestos y a los posibles usos alternativos de sus fondos, un inversionista hadeterminado que la compra de terrenos vale la pena slo si existe una probabilidad de cuandomenos 0.90 de que el terreno obtenga plusvala por 50% o ms en los prximos 4 aos. Al evaluarun determinado terreno, el inversionista estudia los cambios en los precios en el rea en aosrecientes, considera los niveles corrientes de precios, estudia el estado corriente y futuro probablede los proyectos de desarrollo inmobiliarios y revisa las estadsticas referentes al desarrolloeconmico del rea geogrfica global. Con base en esta revisin, concluye que existe unaprobabilidad de aproximadamente 0.75% de que se d la plusvala que requiere. Como estaprobabilidad es menor que la mnima que requiere, (0.90), no debe llevarse a cabo la inversin

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS:

BINOMIAL, HIPERGEOMTRICA Y POISSON.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS

En contraste con un evento, una variable aleatoria es un evento numrico cuyo valor se determinamediante un proceso al azar. Cuando se asignan valores de probabilidad a todos los valoresnumricos posibles de una variable aleatoria X, ya sea mediante un listado o a travs de unafuncin matemtica, se obtiene como resultado una distribucin de probabilidad. La suma de lasprobabilidades para todos los resultados numricos posibles debe ser igual 1.0. Pueden denotarselos valores de probabilidad individuales mediante el smbolo f(x), lo cual implica que hay implcitauna funcin matemtica; mediante P(x=X), el cual implica que la variable aleatoria puede asumirdiversos valores especficos, o simplemente mediante P(X).

Para una variable aleatoria discreta, se pueden enlistar todos los valores numricos posibles de lavariable en una tabla con las probabilidades correspondientes. Existen diversas distribucionesestndar de probabilidad que pueden utilizarse como modelos para una amplia gama de variablesaleatorias discretas en aplicaciones de negocios. Los modelos estndar que se describiremos sonlas distribuciones de probabilidad binomial, hipergeomtrica y Poisson.

Para una variable aleatoria continua no es posible enlistar todos los posibles valores fraccionariosde la variable y, por lo tanto, las probabilidades que se determinan a travs de una funcinmatemtica se ilustran en forma grfica mediante una funcin de densidad de probabilidad o curvade probabilidad. Ms adelante se describen diversas distribuciones estndar de probabilidad quepueden servir como modelos para variables aleatorias continuas.

EJEMPLO

En la siguiente tabla se muestra el nmero de camionetas que se han solicitado para renta en unaarrendadora de automviles, en un periodo de 50 das. En la ltima columna de la Tabla seincluyen las frecuencias observadas en este periodo de 50 das, convertidas en probabilidades.As, puede observarse que la probabilidad de que se hayan solicitado exactamente sietecamionetas en un da elegido al azar en ese periodo es de 0.20, y que la probabilidad de que sehayan solicitado seis o ms es de 0.20 + 0.20 + 0.08 = 0.56.

Demanda diaria de arrendamiento de camionetas


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durante un periodo de 50 das

Demandaposible X Nmero dedas Probabilidad [P(X)]

3 3 0.06

4 7 0.14

5 12 0.24

6 14 0.28

7 10 0.20

8 4 0.08

50 1.00

EL VALOR ESPERADO Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

De la misma manera en que se hace para conjuntos de datos muestrales y poblacionales, confrecuencia resulta til describir una variable aleatoria en trminos de su media y su varianza. Lamedia (a largo plazo) de una variable aleatoria X se denomina valor esperado y se denotamediante E(X). Para una variable aleatoria discreta, resulta ser el promedio ponderado de todos losvalores numricos posibles de la variable, utilizando las probabilidades correspondientes comopesos. Como la suma de los pesos (probabilidades) es 1.0, puede simplificarse la frmula de lamedia ponderada de manera que el valor esperado de una variable aleatoria discreta es

E(X) = XP(X)

EJEMPLO

Con base en los datos de la Tabla anterior, se presentan en la Tabla siguiente los clculos queconducen al valor esperado de la variable aleatoria. El valor esperado es 5.66 camionetas.Observe que el valor esperado de la variable discreta puede ser un valor fraccionario porquerepresenta el valor promedio a largo plazo y no el valor especfico de determinada observacin.

Clculo del valor esperado para la demanda de camionetas

Demanda posible X

Probabilidad [ P

(X) ]

Valor ponderado [

X P (X) ]

3 0.06 0.18

4 0.14 0.56

5 0.24 1.20

6 0.28 1.68

7 0.20 1.40

8 0.08 0.64


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1.00 E(X) = 5.66

La varianza de una variable aleatoria X se denota mediante V(X); se calcula con respecto a E(X)

como la media de la distribucin de probabilidad. La forma general de desviaciones para la frmulade la varianza de una variable aleatoria discreta es

V(X) = [X-E(X)-E(X)]2 P(X)

La forma abreviada para la frmula de la varianza de una variable aleatoria discreta, que norequiere el clculo de las desviaciones con respecto a la media, es

V(X) = X2 P(X) - [ XP(X)]2 = E(X2) - [E(X)]2

EJEMPLO

En la siguiente Tabla se presenta la hoja de trabajo utilizada para el clculo de la varianza de lademanda de renta de camionetas, utilizando la versin abreviada de la frmula. Tal como seseala enseguida, el valor de la varianza es de 1.74.

V(X) = E(X2}-[E(X)]2 = 33.78-(5.66)2 = 33.78-32.04 = 1.74

Hoja de trabajo para el clculo de la varianza para la demanda de camionetas

Demanda posible

XProbabilidad [P(X)]

Valorponderado[XP(X)]

Demanda alcuadrado

(X2)

Valorponderado alcuadrado[X2P(X)]

3 0.06 0.18 9 0.54

4 0.14 0.56 16 2.24

5 0.24 1.20 25 6.00

6 0.28 1.68 36 10.08

7 0.20 1.40 49 9.80

8 0.08 0.64 64 5.12

E(X) = 5.66 E(X2) = 33.78LA DISTRIBUCIN BINOMIAL

La distribucin binomial es una distribucin discreta de probabilidad aplicable como modelo adiversas situaciones de toma de decisiones, siempre y cuando pueda suponerse que el proceso demuestreo se ajusta a un proceso Bernoulli. Un proceso Bernoulli es un proceso de muestreo en elque:

(1) Slo son posibles dos resultados mutuamente excluyentes en cada ensayo u observacin. Porconveniencia, a estos resultados se les denomina xito y fracaso.

(2) Los resultados del conjunto de ensayos u observaciones, constituyen eventos independientes.


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(3) La probabilidad de xito, que se denota mediante p, permanece constante de un ensayo a otro.Es decir, el proceso es estacionario.

Puede utilizarse la distribucin binomial para determinar la probabilidad de obtener un nmerodeterminado de xitos en un proceso Bernoulli. Se requieren tres valores: el nmero especfico dexitos (X), el nmero de ensayos u observaciones (n) y la probabilidad de xito en cada uno de losensayos (p). La frmula para determinar la probabilidad de un nmero determinado de xitos Xpara una distribucin binomial, en donde q = (1-p) es:

P(Xn, p) = nCXpXqn-X

n!

= ----------- px q n-x

X! (n-X)!

EJEMPLO

La probabilidad de que un prospecto de ventas elegido al azar realice una compra es de 0.20. Siun vendedor visita a seis prospectos, la probabilidad de que realice exactamente cuatro ventas sedetermina de la siguiente manera:

P(X = 4n = 6, p = 0.20) = 6C4(0.20)4(0.80)2 = 6! (0.20)4(0.80)2

4!2!

6x5x4x3x2

= ------------- (0.0016)(0.64) = 0.01536 0.015

(4x3x2)(2)

Con frecuencia existe inters en la probabilidad acumulada de "X o ms" xitos o "X o menos"xitos en n ensayos. En este caso, debe determinarse la probabilidad de cada uno de losresultados incluidos dentro del intervalo designado, y entonces sumar esas probabilidades.

EJEMPLO

En relacin con el ejemplo anterior la probabilidad de que el vendedor logre 4 o ms ventas se

determina de la siguiente manera:

P(X 4n=6, p=0.20) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)

= 0.01536 + 0.001536 + 0.000064 = 0.016960 0.017

en donde P(X=4) = 0.1536 (del ejemplo anterior

P(X=5) = 6C5(0.20)5(0.80)1 = 6! (0.20)5(0.80) = 6(0.00032)(080) = 0.001536

5! 1!


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P(X=6) = 6C6(0.20)6(0.80)0 = 6! (0.000064)(1) = (1)(0.000064) = 0.00064

6! 0!

(Nota: recurdese que cualquier valor elevado a la potencia 0 es igual a 1).

Como el uso de la frmula binomial implica una cantidad considerable de clculos cuando lamuestra es relativamente grande, con frecuencia se utilizan tablas de probabilidades binomiales.

LA DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA

Cuando el muestreo se realiza sin reemplazo para cada uno de los elementos que se toman deuna poblacin finita de elementos, no se puede aplicar el proceso Bernoulli debido a que existe uncambio sistemtico en la probabilidad de xitos al ir extrayendo elementos de la poblacin. Cuandose utiliza el muestreo sin reemplazo en alguna situacin en la que, de no ser por el no reemplazo,se le pudiera calificar como proceso de Bernoulli, la distribucin discreta de probabilidad apropiadaresulta ser la distribucin hipergeomtrica.

Si X es el nmero designado de xitos, N es el nmero de elementos de la poblacin, T es elnmero total de "xitos" incluidos en la poblacin y n es el nmero de elementos de la muestra, lafrmula para determinar las probabilidades hipergeomtricas es

N - T T

n - X X

P(XN, Tn) = ----------------

N

n

EJEMPLO

De seis empleados, tres han estado con la compaa durante cinco o ms aos, si se eligen cuatroempleados al azar de ese grupo la probabilidad de que exactamente dos de ellos tengan unaantigedad de cinco aos o ms es:

6-3 3 3 3 3 ! 3 !

4-2 2 2 2 2!1! 2!1! (3) (3)

P(X=2N=6, T=3 n=4) = ------------- = ------------ = ------------- = ----------

6 6 6! 15

4 4 4!2!

= 0.60

Ntese que en el ejemplo anterior, el valor que se requiere de la probabilidad se calculadeterminando el nmero de combinaciones diferentes que incluiran a dos empleados con


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antigedad suficiente y dos con menor antigedad como cociente del nmero total decombinaciones de cuatro empleados, tomados de entre los seis. Por ello, la frmulahipergeomtrica es una aplicacin directa de las reglas de anlisis combinatorio.

Cuando la poblacin es grande y la muestra es relativamente pequea, el hecho de que se realiceel muestreo sin reemplazo tiene poco efecto sobre la probabilidad de xito en cada ensayo. Unaregla prctica conveniente consiste en utilizar la distribucin binomial como aproximacin a lahipergeomtrica cuando n


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A diferencia de una variable aleatoria discreta, una variable aleatoria continua es la que puedetomar cualquier valor fraccionario en un rango determinado de valores. Como existe un nmeroinfinito de posibles mediciones fraccionarias, no pueden enlistarse todos los valores posibles con

una probabilidad correspondiente. Ms bien, se define una funcin de densidad de probabilidad.Esta expresin matemtica da la funcin de X, y se representa mediante el smbolo f(X), paracualquier valor designado de la variable aleatoria X. A la grfica de una funcin de este tipo se ledenomina curva de probabilidad y el rea entre dos puntos cualesquiera bajo la curva de laprobabilidad de la ocurrencia aleatoria de un valor entre esos dos puntos.

EJEMPLO

Para la distribucin continua de probabilidad de la figura siguiente, la probabilidad de que unembarque seleccionado al azar tenga un peso neto entre 3,000 y 4,000 kilogramos es igual a laproporcin del rea total bajo la curva que se encuentra en el rea sombreada. Es decir, se defineque el rea total bajo la funcin de densidad de probabilidad es igual a 1, y puede determinarse laproporcin de esta rea que se encuentra entre dos puntos determinados aplicando el mtodo de

la integracin (del clculo diferencial e integral) junto con la funcin matemtica de densidad deprobabilidad para esa curva de probabilidad.

Existen diversas distribuciones continuas de probabilidad comunes que son aplicables comomodelos a una amplia gama de variables continuas en determinadas circunstancias. Existen tablasde probabilidades para esas distribuciones estndar, haciendo que resulte innecesario el mtodode la integracin para determinar las reas bajo la curva de probabilidad para estas distribuciones.Los modelos comunes de distribuciones de probabilidad continua que se describen son lasdistribuciones normal y la exponencial.

LA DISTRIBUCIN NORMAL DE PROBABILIDAD

La distribucin normal de probabilidad es una distribucin continua de probabilidad que es, almismo tiempo, simtrica y mesokrtica (que no es plana ni puntiaguda). Con frecuencia sedescribe a la curva de probabilidad que representa la distribucin normal como una campana comose muestra.


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La distribucin normal de probabilidad es muy importante en inferencia estadstica por tres razonesprincipales:

Se sabe que las mediciones que se obtienen en muchos procesos aleatorios tienen esta clasede distribucin.

Con frecuencia pueden utilizarse las probabilidades normales para aproximar otrasdistribuciones de probabilidad tales como las distribuciones binomial y Poisson.

Las distribuciones de estadsticas como la media muestral y la proporcin muestral tienendistribucin normal cuando el tamao de la muestra es grande, sin importar la forma de ladistribucin de la poblacin de origen.

Como se mencion antes, en el caso de las distribuciones continuas de probabilidad slo esposible determinar un valor de probabilidad para un intervalo de valores. La altura de la funcin dedensidad, o curva de probabilidad, para un variable con distribucin normal est dada por

1 -[(X-)2/22]

f(X) = -------- e

2

en donde es la constante 3.1416, e es la constante 2.7183, es la media de la distribucin y esla desviacin estndar de la distribucin. Como cualquier combinacin distinta de y genera unadistribucin normal de probabilidad distinta (todas ellas simtricas y mesokrticas), las tablas de lasprobabilidades normales se basan en una distribucin especfica:

La distribucin normal estndar. sta es una distribucin normal en la que =0 y =1. Cualquiervalor X de una poblacin con distribucin normal puede convertirse a su valor normal estndarequivalente, z, mediante la frmula

X-

z = -----

PUNTOS PERCENTILES PARA VARIABLES CON DISTRIBUCIN NORMAL

Puede recordarse que el punto percentil 90 es el punto de la distribucin tal que el 90% de losvalores se encuentran por debajo de l y el 10% por encima. Para la distribucin normal estndar,es el valor de z tal que la proporcin total de rea a la izquierda de ese valor, bajo la curva normal,es 0.90.

EJEMPLO

En la siguiente figura se ilustra la posicin del punto percentil 90 para la distribucin normalestndar. Para determinar el valor requerido de z, se utiliza la tabla correspondiente en el sentidocontrario al comn, porque, en este caso, el rea bajo la curva entre la media y el punto de interses 0.40, tal como se ha especificado, y se desea determinar el valor correspondiente de z. Sebusca en el cuerpo de la tabla el valor ms cercano a 0.4000. Este valor resulta ser 0.3997.


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Determinando los encabezados del rengln y de la columna, se encuentra que el valor de zasociado con esta rea es 1.28, y por lo tanto, z 0.90 = + 1.28.

Dado el procedimiento de este ejemplo, que permite determinar un punto percentil para ladistribucin normal estndar, puede determinarse un punto percentil para una variable aleatoria

con distribucin normal convirtiendo el valor pertinente de z al valor que se requiere de X, mediantela frmula

X= +z

APROXIMACIN NORMAL A PROBABILIDADES BINOMIALES

Cuando el nmero de observaciones o ensayos n es relativamente grande, puede utilizarse ladistribucin normal de probabilidad para aproximar las posibilidades binomiales. Una reglaconveniente consiste en afirmar que esas aproximaciones son aceptables cuando n , y tantonp 5 como nq 5. Esta regla, en combinacin con la que se proporciona con respecto a laaproximacin de Poisson a las probabilidades binomiales, significa que en los casos en que n 30,las probabilidades binomiales pueden aproximarse, ya sea mediante la distribucin normal o la dePoisson, dependiendo de los valores np y nq. Algunos otros textos pueden utilizar reglas un tantodistintas para determinar los casos en los que esas aproximaciones son apropiadas.

Cuando se utiliza la distribucin normal de probabilidad como base para aproximar un valorbinomial de probabilidad, la media y la desviacin estndar se basan en un valor esperado y lavarianza del nmero de xitos de la distribucin binomial, el nmero promedio de xitos es

= np

La desviacin estndar del nmero de xitos es

= npq

APROXIMACIN NORMAL A PROBABILIDADES DE POISSON

guia exani ii 2012 seleccion as

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