guia exani ii as arelop

8/6/2019 Guia Exani II as Arelop

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1/5/2011

SUERTE | ISMAEL ARELOP

ARELOP COMPANY GUIA MATEMATICAS EXANI II


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Nmero naturalLos nmeros naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tresmanzanas,).

Unnmero natural es cualquiera de los nmeros que se usan para contar los elementos deun conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utiliz el ser humano paracontar objetos.

Definiciones

y La Real Academia Espaola los define como " Cada uno de los elementos de la sucesin0, 1, 2, 3... "

y Es el conjunto de los nmeros enteros no negativos.y Un nmero natural es un smbolo que indica una cantidad.

El conjunto de los nmeros naturales se representa por y corresponde al siguienteconjunto numrico:

El cero y la definicin de l os nmeros n atu r al es

H istricamente el cero no se consideraba nmero natural.Entre otros motivos porque notena una representacinnatural : cero dedos, cero vacas, etc. podran considerarse purosconstructos mentales.

Uso de l os nmeros n atu r al es

Los nmeros naturales, son usados para dos propsitos fundamentalmente: para describir la posicin de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto denmero ordinal, y para especificar el tamao de un conjunto finito, que a su vez segeneraliza en el concepto de nmero cardinal (teora de conjuntos).En el mundo de lofinito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N as como loscardinales finitos. Cuando nos movemos ms all de lo finito, ambos conceptos sondiferentes.


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Nmero en t ero

Losnmeros enteros ( ) son una generalizacin del conjunto de nmeros naturales( ) que incluye nmeros enteros negativos (resultados de restar a un nmero natural otromayor ), adems del cero.El hecho de que un nmero sea entero, significa que no tiene parte decimal. Los nmeros enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos,como la representacin de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, odeudas, entre otros.El cero (neutro ) no se considera ni positivo ni negativo.

H is t ori a

Los nmeros enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma

y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigedad.El nombre de enteros se justifica porque estos nmeros ya positivos o negativos, siemprerepresentaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).

E s t r u ctu r a de l os nmeros en t eros

Los nmeros enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados. Si ladivisin es exacta, tambin pueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros. Larazn principal para introducir los nmeros negativos sobre los nmeros naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo:

para la incgnita x.

Cons t r u ccin form al de l os en t eros a p a r t ir de l os n atu r al es

Un nmero entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos nmerosnaturales. Por ejemplo 3 = 5 8, de donde puede asociarse el nmero 3 con el par ordenado (5,8) de nmeros naturales. Sin embargo, debido a que (4,7) y una infinidad msde pares ordenados dan como resultado 3 al restar sus componentes, no puede decirsesimplemente que 3 = (5,8). Lo que puede hacerse, es incluir todos los pares ordenados denmeros naturales, que dan como resultado 3 al restar sus componentes, dentro de un soloconjunto, o, ms exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello,aprovechamos el que dos pares ordenados (a,b) y (c,d ) puedan ser asociados al mismonmero entero si:

(1) .


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Fr a ccin

En matemticas, unaf raccin es la expresin de una cantidad dividida entre otra.

Tres cuartos ms un cuarto

D iversas fracciones pueden tener el mismo valor (llamadas fracciones equivalentes), y elconjunto de todas las fracciones equivalentes se denomina, nmero racional.

Represen ta cin de la s fr a cciones

Las fracciones se pueden representar de diversas formas, as, la fraccin "tres dividido entrecuatro", "tres entre cuatro", "tres partido en cuatro" o "tres cuartos" puede escribirse decualquiera de estas formas:

y y 3 4

y 3 : 4y 3/ 4

En este ejemplo, el nmero3 se llamanumerador y el4 denominador . Las fracciones sonnmeros racionales, lo que significa que el numerador y el denominador son nmerosenteros. Su valor, en forma decimal es0,75 , el mismo resultado que se obtiene al dividir 3entre 4.

En el caso de una representacin grfica, se puede trazar un crculo dividido en cuatro partes iguales, de las que se retirara una de las cuatro partes: las tres partes sobrantesrepresentan la fraccin3/4.


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Cla sific a cin de fr a cciones

Las fracciones se dividen, ms que nada, en 3 diferentes tipos de fracciones: propias(cuando el denominador es mayor que el numerador), impropias (cuando el denominador esmenor que el numerador) y aparentes (cuando la fraccin da como resultado un nmeroentero).

Existen diversas formas para clasificar las fracciones, entre ellas estn las siguientes:y Segn la relacin entre el numerador y el denominador:

o F raccin propia : fraccin que tiene su denominador mayor que su numerador:3/6, 2/5, 3/4

o F raccin impropia : fraccin en donde el numerador es mayor que eldenominador: 1 3/6, 18/8, 4/2

y Segn la relacin entre los denominadores:o F raccin homognea : fracciones que tienen el mismo denominador : 3/4 y 7/4o F raccin heterognea : fracciones que tienen diferentes denominadores: 3/9 y

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Fr a ccin de u n a ca n t id a d

Si queremosd ivid ir una cantidad en varias partes e indicar un nmero de esas partes, podemos hacerlo mediante fracciones, dividiendo la cantidad por el denominador ymultiplicando el resultado por el numerador. As, si queremos indicar 3/4 (tres cuartos, otres cuartas partes) de 453, hay que dividir 453 entre el denominador (en este caso, 4) ymultiplicar el resultado por el numerador (en este caso, 3).El nmero obtenido es lafraccin que queremos indicar.

Amp l ific a cin de fr a cciones

La amplificacin de una fraccin consiste en multiplicar el numerador y el denominador por un mismo nmero entero.De la misma manera, la simplificacin de una fraccinconsiste en dividir el numerador y denominador entre un mismo nmero entero, quegeneralmente ser uno de sus factores comunes.En ambos casos, se obtiene una fraccinequivalente.


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E jemplos:

y (En esta amplificacin de la fraccin , se multiplica numerador ydenominador por 4)

y (Aqu se simplifica 10/25 a dividiendo numerador y denominadorentre 5)

Comp a r a cin de fr a cciones

La comparacin de dos fracciones se utiliza para comprobar cul es mayor.Existen variosmtodos:

1. El mtodo general consiste en amplificar las dos fracciones de modo que tengan el mismodenominador (por ejemplo, que tengan el mnimo comn mltiplo (MCM) de lasfracciones originales.

o Por ejemplo, para y , el MCM de 12 y 8 es 24, por lo que bastara conmultiplicar amplificar la primera fraccin en un factor de 2 y la segunda en un

factor de 3. Se obtiene , que es mayor que2. Si el numerador de las dos fracciones es el mismo, la fraccin con el menor denominador

es mayor que la otra. Esto es bastante natural: si se tienen dos tartas iguales, una pararepartir entre ms personas que la otra, la que se reparta entre menos personas estar

partida en porciones ms grandes.3. Si el denominador de las dos fracciones es el mismo, la fraccin con el mayor numeradores mayor que la otra.

Su m a y res ta de fr a cciones

Para sumar o restar fracciones, hay dos casos:

Tienen el mismo denominador

Entonces se suman o se restan los numeradores y se deja el denominador comn.

y Ejemplo 1:

Es posible que el resultado se pueda simplificar.


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y Ejemplo 2:

Tienen distinto denominador

Entonces, hay que amplificar las fracciones para que tengan el mismo denominador y luegosumar.

y Frmula tpica la suma:

y Frmula tpica para la resta:

y Ejemplo 1:

O bservacin:En realidad, no hace falta amplificar las fracciones de modo que eldenominador resultante sea el producto de los denominadores de las fracciones iniciales.Basta con tomar el Mnimo comn mltiplo de los denominadores:

y Frmula para la suma:

y Frmula para la resta:

y Ejemplo 2:

Al final de la operacin, puede que haga falta realizar otra simplificacin.

P rod u ct o y cocien t e de fr a cciones

Para multiplicar dos fracciones, basta multiplicar los numeradores por una parte y losdenominadores por otra:

y Frmula para el producto:

y Ejemplo:


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Ari t m t ic a

La aritmtica es la ms antigua y elemental rama de la matemtica, utilizada en casi todoel mundo, en tareas cotidianas como contar y en los ms avanzados clculos cientficos.Estudia ciertas operaciones con los nmeros y sus propiedades elementales.

H is t ori a

En la prehistoria, la aritmtica se limita al uso de nmeros enteros, encontrados inscritos enobjetos que indican una clara concepcin de la suma y resta; el ms conocido es el hueso I shango de frica central, que se data entre 18000 y 20000 a. C.

Oper a ciones bsic a s

La Aritmtica tiene siete operaciones bsicas, que son:

y Sumay

Restay Multiplicaciny Divisiny Potenciaciny Radicaciny Logaritmacin

A la consideracin conjunta de todas estas operaciones se le conoce comoclculoaritmtico .


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Ex ponen t es

Los exponentes tambin se llaman potencias o ndices

El exponente de un nmero nos dicecuntas veces se usa el nmero enuna multiplicacin.

En este ejemplo: 8 2 = 8 8 = 64

y En palabras: 8 2 se puede leer "8 a lasegunda potencia", "8 a la potencia 2" osimplemente "8 al cuadrado"

Ms ejemplos:

Ejemplo: 5 3 = 5 5 5 = 12 5

y En palabras: 5 3 se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" osimplemente "5 al cubo"

Ejemplo: 2 4 = 2 2 2 2 = 16

y En palabras: 2 4 se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4" osimplemente "2 a la cuarta"

Y los exponentes hacen ms fcil escribir muchas multiplicaciones

Ejemplo: 9 6 es ms fcil de escribir y leer que 9 9 9 9 9 9

Puedes multiplicar cualquier nmero por s mismo tantas veces comoquieras con esta notacin.

As que, en general :

an

te dice que multipliques a por s mismo,y hay n de esos a 's:


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Ex ponen t es neg at ivos

N egativos? Q u es lo contrario de multiplicar? Dividir! Un exponentenegativo significa cuntas veces se divide entre el nmero.

Ejemplo: 8-1

= 1 8 = 0.12 5

O varias divisiones:

Ejemplo: 5 - 3 = 1 5 5 5 = 0.008

Pero esto lo podemos hacer ms fcilmente:

5 - 3 tambin se podra calcular as:1 ( 5 5 5) = 1/ 5 3 = 1/12 5 = 0.008

Este ltimo ejemplo nos muestra una manera ms fcil demanejar exponentes negativos:

y C alcula la potencia positiva ( a n )y Despus calcula el recproco (o sea 1/a n )

Ms ejemplos:

Exp onente negativo Rec p roco d el exp onente p ositivo Res p uesta

4 -2 = 1 / 4 2 = 1/16 = 0.062 5

10 - 3 = 1 / 10 3 = 1/1,000 = 0.001

Q u p a sa si e l e x ponen t e es 1 o 0?

S i el exponente es 1, entonces tienes el nmero solo(por ejemplo 9 1 = 9 )

S i el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 90

= 1 )


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El lenguaje algebraico

Para la resolucin de problemas de la vida cotidiana, solemos transcribir a un lenguajematemtico que llamaremos lenguaje algebraico. Este lenguaje utiliza letras, nmeros ysmbolos matemticos. Con ello, conseguiremos simplificar el problema y podremos

resolverlo ms cmodamente.Definicin: una variable es una magnitud sobre la cual queremos informacin. sta puedeir cambando de valor, segn el caso.

El uso ms frecuente de variables consiste en sustituir una expresin por dicha variable,para trabajar ms cmodamente. Normalmente se usan como variables las ltimas letrasdel abecedario; pueden usarse varias variables simultneamente.

En lenguaje algebraico nace en la civilizacin musulmana en el perodo de Alkhwarizmi,al cual se le considera el padre del lgebra. El lenguaje algebraico consta principalmentede las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal funcin de lenguaje

algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operacionesque se desarrollan dentro de la aritmtica, por ejemplo: si queremos sumar dos nmeroscualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un nmero cualquierade la numeracin que conocemos, b de la misma manera que a significa un nmerocualquiera de la numeracin.

Tambin el lenguaje algebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamientode problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.

Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente:

Se usan todas las letras del alfabeto. Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes,es decir, cualquier nmero o constante como el vocablo pi. Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incgnitas o variables de la

funcin o expresin algebraica.


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OP ERACI ON ES C ON MONO MIO S Y POL INO MIO S

OP ERACI ON ES C ON MONO MIO S

U na variable es un elemento de una frmula, proposicin o algoritmo que puede adquirir o ser sustituido por un valor cualquiera.U n co efi c iente es un factor multiplicativo que pertenece a una variable.U na co nstante es un valor fijo, aunque a veces no determinado.

Exp resi o nes algebrai c a s son todas aquellas que combinan constantes y variables medianteoperaciones.Ejemplos.1) 9 , el coeficiente es 9 y las variables son

U n trmino algebraico es cada sumando de una expresin algebraica.Los trminos poseen grados de dos tipos:y G rado absoluto . Es la suma de los exponentes de las literales que forman al trmino.y G rado relativo . Es aquel exponente que tiene una literal especfica.Ejemplos.1) En el trmino5 , el grado absoluto es 9 y el grado relativo de la literal x es 2 .2) En el trmino7 , el grado absoluto es 12 y el grado relativo de la literalb es 1 .

Se define como m o n o m i o s a las expresiones algebraicas que constan de un solo trmino.Ejemplos.1) 5a4b2cEl valor numrico de un monomio es el nmero que se obtiene al sustituir las literales por valoresespecficos, despus de efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplos.1) Si en el monomio 4 b , las literales toman los valores a ! 2 y b ! 3 , su valor numrico es:

4 3 ! 48 T rminos semejantes . Son aquellos que tienen la parte literal igual. , es decir, las mismas literaleselevadas a los mismos exponentes.

Ejemplos.1) 3 y 7 son trminos semejantes

Suma de monomios

Para sumar monomios tienen que ser semejantes. El resultado es un monomio semejante a ellosque tiene por coeficiente la suma de los coeficientes de cada monomio.

Sumar los siguientes monomios:1) 5 2 8 4 ! 19 2) 7 c c 2c ! 10 c


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Resta de monomios

Para restar monomios tambin es necesario que sean semejantes. El resultado es un monomioSemejante a ellos que tiene por coeficiente la resta de los coeficientes de cada monomio.

Ejemplos.

1)11 4 2 ! 4 2) 15 10 12 ! 7

Multiplicacin de monomios

Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. U na vez que se aplican las leyesde los exponentes que se requieran, se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes decada literal.

Ejemplos.

1) 2 5 ! 10 2) 4 3 hg 7 ! 84

D ivisin de monomios

Para dividir dos monomios, tampoco es necesario que sean semejantes. U na vez que se aplicanlas leyes de los exponentes que se requieran, se dividen los coeficientes y se restan losexponentes de cada literal.

Ejemplos.

1) = 2a3

OP ERACI ON ES C ON POL INO MIO S

El grado de un polinomio con respecto a una literal es el mayor exponente de sus trminos.

Ejemplos.

1) 5 2 x 6 8 el grado es 3

2) 2 8 x 2 1 10 el grado es 4 Para ordenar un polinomio con respecto a una literal, se puede efectuar de manera descendente(Posicionndola de mayor a menor grado) o de forma ascendente (ubicndola de menor a mayor grado).


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Ejemplos.

1) El polinomio2 9 6 5 10 x ordenado de forma descendente es:6 5 2 10 x 9

Suma de polinomios

Para sumar polinomios se suprimen los signos de agrupacin precedidos del signo , dejando elmismo signo de cada uno de los trminos que se hallan dentro de l y se simplifican los trminosque sean semejantes.

Ejemplos.

5 3 x 7 4 2 x 11 ! 5 3 x 7 4 2 x 11 ! 9 x 4

Resta de polinomios

Para restar polinomios se suprimen los signos de agrupacin precedidos del signo (-), cambiandoel signo de cada uno de los trminos del sustraendo y se simplifican los trminos que seansemejantes.

Ejemplos.

1) 9 4 5 x 2 7 2 6 x 5 ! 9 4 5 x 2 7 2 6 x 5! 2 6 11x 7

P roducto de un monomio por un polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplican todos los trminos del polinomio por elMonomio, es decir, es una suma de producto de monomios.

Ejemplos.

1) 2 5 3 7 2 x 8 ! 2 5 2 3 2 7 2 2 x 2 8! 10 6 14 4 16

Multiplicacin de dos polinomios

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva del producto sobre la suma, estoes, se multiplican todos los trminos del segundo polinomio por cada uno de los trminos delprimero y se reducen los trminos semejantes. La multiplicacin de polinomios es distributiva

respecto a la adicin.Ejemplos.

1) 3 5 x 6 4 7 x 2 ! 12 21 6 20 35 10 x 24 42 x 12! 12 41 65 52 x 12


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D ivisin de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio por un monomio , se divide cada trmino del dividendo por el divisor, esdecir, es una suma de cociente de monomios

Ejemplos.

1) = - - + 4 2x3 4x2 + 7x

Cociente de dos polinomiosPara dividir dos polinomios se efecta el siguiente procedimiento:y Se ordenan los polinomios de forma descendente con respecto al grado de una misma variable.y Se divide el primer trmino del dividendo por el primer trmino del divisor y se obtiene trmino delcociente.y Se resta del dividendo el producto del primer trmino del cociente por el divisor y se obtieneResiduo (esto implica cambiar todos los signos del producto efectuado y reducir trminossemejantes con el dividendo).y Se bajan los trminos restantes del dividendo sumndolos al residuo anterior.y Se divide el primer trmino del residuo por el primer trmino del divisor, obteniendo as el trminodel cociente.y Se procede de forma anloga hasta obtener un residuo nulo o de grado inferior al del divisor.y Comprobar el resultado mediante el algoritmo: cociente divisor residuo ! dividendo

Ejemplo:


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P ro d uctos notables y f actorizacin

P ro d uctos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresionesalgebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccin, sin verificar lamultiplicacin que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicacin simplifica y sistematiza laresolucin de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una frmula de factorizacin. Por ejemplo, lafactorizacin de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomiosconjugados y recprocamente.

Fa ct or comn

El resultado de multiplicar un binomioa+b con un trminoc se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

Esta operacin tiene una interpretacin geomtrica ilustrada en la figura.El rea delrectngulo es

(el producto de la base por la altura), que tambin puede obtenerse como lasuma de las dos reas coloreadas (ca ) y (cb ).

Ejemplo


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B inomio al cua dr a do o c ua dr a do de u n binomio

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por s mismo), se suman loscuadrados de cada trmino con el doble del producto de ellos.Es decir:

un trinomio de la forma: , se conoce comotrinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo trmino es negativo, la ecuacin que se obtiene es:

En ambos casos el tercer trmino tiene siempre signo positivo.

Ejemplo

simplificando:


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P rod u ct o de dos binomios con u n t rmino comn

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un trmino comn, se suma el cuadrado deltrmino comn con el producto el trmino comn por la suma de los otros, y al resultado seaade el producto de los trminos diferentes.

Ejemplo

agrupando trminos:

luego:

P rod u ct o de dos binomios conj u ga dos

Producto de binomios conjugados .


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Dos binomios conjuga d os son aquellos que slo se diferencien en el signo de la operacin.Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos,obteniendo unad if erencia d e cua d ra d os

Ejemplo

agrupando trminos:

A este producto notable tambin se le conoce comosuma p or la d if erencia .

P o l inomio al cua dr a do

Elevando un trinomio al cuadrado de forma grfica

Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de trminos, se suman los cuadrados decada trmino individual y luego se aade el doble de la suma de los productos de cada posible par de trminos.


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Ejemplo

multiplicando losmonomios:

agrupando trminos:

luego:

B inomio al cu bo o c u bo de u n binomio

Descomposicin volumtrica del binomio al cubo

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer trmino, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple producto del primero por elcuadrado del segundo, ms el cubo del segundo trmino.


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Identidades de Cauchy:

Ejemplo

agrupando trminos:

Cuando la operacin del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer trmino,menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple producto del primero por el cuadrado del segundo,menos el cubo del segundo trmino.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo

agrupando trminos:

I den t id a d de Arg a nd

I den t id a des de G au ss


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I den t id a des de Legendre

I den t id a des de L a gr a nge

O t r a s iden t id a des

Dado que lanotabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una listadeterminante que indique cuales productos son los nicos que pueden llamarse notables ylos dems no.Existen otras frmulas, que aunque menos usadas que las anteriores, puedenen cierto contexto ser consideradas productos notables . Entre ellas se destacan:

adicion de cubos

diferencia de cubos

Es ms frecuente listar las dos frmulas anteriores como frmulas de f actorizacin ya quelos productos tienen una forma particularmente simtrica pero el resultado s (contrastar por ejemplo con la frmula de binomio al cubo).

La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potenciasn-simas:

Suma de potencias n -simas

S y slo si "n" es impar,

Diferencia de potencias n-simas


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Las frmulas debinomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar con elteorema del binomio.

Existe una ingeniosa frmula para representar un cubo como suma de dos cuadrados:

Fa ct oriz a cin

En lgebra, la f actorizacin es expresar un objeto o nmero ( por ejemplo, un nmerocompuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos ms pequeos(f actores ), (en el caso de nmeros debemos utilizar los nmeros primos) que, almultiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el nmero 15 se factoriza ennmeros primos3 5; y a- b se factoriza como binomio conjugados(a - b)(a + b).

La factorizacin de enterosen nmeros primos se describe en elteorema fundamental de laaritmticay la factorizacin de polinomios (en ciertos contextos) en elteoremafundamental del lgebra.

Fa ct oriz a r u n po l inomio

Antes que todo, hay que decir que todo polinomiose puede factorizar utilizando nmerosreales, si se consideran losnmeros complejos. Existen mtodos de factorizacin, paraalgunos casos especiales.

y B inomios

1. Diferencia de cuadrados2. Suma o diferencia de cubos3. Suma o diferencia de potencias impares iguales

y T rinomios

1. Trinomio cuadrado perfecto2. Trinomio de la forma x+bx+c3. Trinomio de la forma ax+bx+c

y P olinomios

1. Factor comn


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Ca so I - Fa ct or comn

Sacar el factor comn es aadir la literal comn de un polinomio, binomioo trinomio, conel menor exponente y el divisor comn de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una reglamuy sencilla que dice: Cuadrado del primer trmino ms o menos cuadrado del segundo

por el primero ms cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer trmino, sabiendo esto, ser sumamentesencillo resolver los factores comunes.

F actor comn monomio

Factor comn por agrupacin de trminos

y si solosi el polinomio es 0 y el tetranomio nos d a x.

F actor comn polinomio

Primero hay que determinar el factor comn de los coeficientes junto con el de las variables(la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aqu que el factor comn no solo cuentacon un trmino, sino con dos.

un ejemplo:

Se aprecia claramente que se est repitiendo el polinomio(x- y), entonces ese ser el factor comn.El otro factor ser simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

La respuesta es:

En algunos casos se debe utilizar el nmero1, por ejemplo:

Se puede utilizar como:


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Entonces la respuesta es:

Ca so II - Fa ct or comn por a gr u p a cin de t rminos

Para trabajar un polinomio por agrupacin de trminos, se debe tener en cuenta que son doscaractersticas las que se repiten. Se identifica porque es un nmero par de trminos.

Un ejemplo numrico puede ser:

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

Aplicamos el caso I (Factor comn)

Ca so III - Trinomio Cua dr a do P erfec t o

Se identifica por tener tres trminos, de los cuales dos tienen races cuadradas exactas, y elrestante equivale al doble producto de las races del primero por el segundo. Parasolucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los trminos dejando de primero y de tercero los trminos que tengan raz cuadrada, luego extraemos la razcuadrada del primer y tercer trmino y los escribimos en un parntesis, separndolos por elsigno que acompaa al segundo trmino, al cerrar el parntesis elevamos todo el binomio alcuadrado.

E jemplo 1:

E jemplo 2:


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E jemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.

L a f actorizacin de la di f erencia o resta de cuadrados consiste en obtener las razcuadrada de cada trmino y representar estas como el producto de binomios conjugados.

Ca so V - Trinomio c ua dr a do perfec t o por a dicin y s u s t r a ccin

Se identifica por tener tres sus races , el valor que se suma es el mismo que se resta paraque el ejercicio original no cambie.

N tese que los parntesis en " (x y-x y)" estn a modo de aclaracin visual.

Ca so VI - Trinomio de la form a x 2 + b x + c

Se identifica por tener tres trminos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno deellos es el trmino independiente. Se resuelve por medio de dos parntesis, en los cuales secolocan la raz cuadrada de la variable, buscando dos nmeros que multiplicados den comoresultado el trmino independiente y sumados (pudiendo ser nmeros negativos) den comoresultado el trmino del medio.

E jemplo:

E jemplo:

Ca so VII - Su m a o diferenci a de po t enci a s a la n

La suma de dos nmeros a la potencian, an +bn se descompone en dos factores (siemprequen sea un nmero impar):


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Quedando de la siguiente manera:

E jemplo:

La diferencia tambin es factorizable y en este caso no importa sin es par o impar.Quedando de la siguiente manera:

E jemplo:

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de estageneralizacin.

Ca so VIII - Trinomio de la form a ax 2 + b x + c

En este caso se tienen 3 trminos:E l primer trmino tiene un coeficiente distinto de uno, la

letra del segundo trmino tiene la mitad del exponente del trmino anterior y el tercer trmino es un trmino independiente, o sea sin una parte literal, as:

Para factorizar una expresin de esta forma, se multiplica el trmino independiente por elcoeficiente del primer trmino(4x2) :

Luego debemos encontrar dos nmeros que multiplicados entre s den como resultado eltrmino independiente y que su suma sea igual al coeficiente del trmino x :


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Despus procedemos a colocar de forma completa el trmino x2 sin ser elevado al cuadradoen parntesis, adems colocamos los 2 trminos descubiertos anteriormente :

Para terminar dividimos estos trminos por el coeficiente del trmino x2

:

:

Queda as terminada la factorizacin :

:

Ca so IX - Cu bo perfec t o de Te t r a nomios

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:


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