flujo de carga en sistemas de potencia

Modelado de Sistemas de Potencia

Flujo de carga en

Sistemas de Potencia.

Dr. Ing. Mario Vignolo

CONTENIDO:

• Generalidades

• Modelado del sistema y planteo del

problema del flujo de carga

• Solución del flujo de carga

• Método de Newton Raphson para la

resolución del flujo de carga

• Método Desacoplado rápido

PROPÓSITO DEL FLUJO DE CARGA:

Determinación de voltajes, intensidades y

potencias activas y reactivas en distintos puntos

de una red eléctrica.

HIPÓTESIS DE TRABAJO:

Sistemas en régimen, equilibrados, sinusoidales,

sin anomalías.

Importancia de los flujos de carga

• Permite determinar los flujos de potencia activa y reactiva

en una red eléctrica.

• Permite determinar los voltajes en las barras de una red

eléctrica.

• Permite calcular las pérdidas en una red eléctrica.

• Permite estudiar las alternativas para la planificación de

nuevos sistemas o ampliación de los ya existentes.

•Permite evaluar las mejoras que se producen ante el

cambio en la sección de los conductores de un SEP.

Importancia de los flujos de carga

• Permite evaluar los efectos de reconfigurar los circuitos de

un SEP (por ejemplo ante la pérdida de una línea de

transmisión).

• Permite evaluar los efectos de pérdidas temporales de

generación o de circuitos de transmisión.

Carga, generación y modelado de la red en análisis de flujo de carga.

Modelado de los componentes del sistema.

• Líneas de transmisión - circuito Pi

• Transformadores - impedancia

• Generadores - Potencia activa constante con

capacidad de control (limitado) de voltaje del

primario (P = cte, V= cte).

• Cargas - Potencia compleja constante (P = cte,

Q= cte).

Línea de transmisión.

i k ikik jXR

2

sjB

2

sjB

i k ikY

2

sjB

2

sjB

Generadores y Cargas.

•Generadores

Potencia Activa - inyección constante

Potencia reactiva - regulación de voltaje

•Demanda de carga

Inyección constante de potencia activa y

reactiva

Flujo de carga & Balance de potencia

Carga

i

1

k

n

giS

diS

iS ikS

Análisis Voltaje - Corriente versus

Análisis voltaje - potencia.

Carga

i

1

k

n

giI

diI

iI

1iI

inI

nk

k

ikdigii IIII1

Análisis Voltaje - Corriente y la Matriz Ybus

Carga

i

1

k

n

giI

diI

iI

1iI

injbus

shunt

j

n

ikk

ikii

ikik

businj

nk

k

ikdigii

IYV

YYy

kiYy

VYI

IIII

1

,1

1

,

Vtierra=0

Sistema de ecuaciones lineales

Análisis Voltaje - Potencia

i

1

k

n

giS

diS

1iS

ikS

inS

G

Inyección en la red

nk

k

ikdigii SSSS1

iii IVS ˆ

nk

k

kiki

nk

k

kikii VyVVyVS11

ˆˆ

*

Sistema de ecuaciones

no lineales

Forma de las ecuaciones de flujo de carga.

nk

k

kikii VyVS1

ˆˆ

Voltaje en forma polar Voltaje en forma rectangular

Admitancia en forma polar Admitancia en forma rectangular

ij

ii eVV

ikj

ikik eyy

im

i

re

ii jVVV

ikikik jbgy

Forma polar de las ecuaciones de flujo de carga

nk

k

ikikikikkii

nk

k

ikik

j

kii

jbgjVVS

jbgeVVS ik

1

1

)()sen(cos

)(

El voltaje está expresado en coordenadas polares, mientras

que la admitancia está expresada en coordenadas

rectangulares.

Balance de potencia activa y reactiva.

i

1

k

n

giQ

diQ

1iQ

ikQ

inQ

G

i

1

k

n

giP

diP

1iP

ikP

inP

G

nk

k

ikdigii PPPP1

nk

k

ikdigii QQQQ1

Ecuaciones de flujo de carga

nk

k

ikikikikki

calc

i

nk

k

ikikikikki

calc

i

bgVVQ

bgVVP

1

1

)cossen(

)sencos(

i=1,2,3...n

calc

i

sp

i

calc

i

sp

i

QQ

PP

balance de pot. activa y reactiva

especificado funciones de voltajes

complejos desconocidos

calc

i

sp

i

calc

i

sp

i

QQ

PP

Ecuaciones de flujo de carga

digi

sp

i

digi

sp

i

QQQ

PPP

Si la potencia activa o reactiva para la barra i no es

especificada, la ecuación de balance de energía no

puede ser definida.

(si la barra i no tiene generación o carga, la potencia

especificada es igual a cero.)

Potenciales variables desconocidas:

iiii VQP ,,,

Tipos de barras

• Barras de carga (PQ):

• No hay generación

• Potencia activa y reactiva

especificada

• Barras de generación (PV):

• Voltaje constante y especificado

• Potencia activa especificada

di

sp

i

di

sp

i

QQ

PP

sp

ii

digi

sp

i

VV

PPP

Número de incógnitas y número de ecuaciones

• Hipótesis: Sistema de n barras

Ng - cantidad de barras de generación y

voltaje controlado

Nd - cantidad de barras de carga

n = Ng + Nd

• Para cada barra de generación tengo:

• una ecuación de balance de potencia activa

• el voltaje de la barra especificado

• Para cada barra de carga tengo:

• una ecuación de balance de potencia activa

• una ecuación de balance de potencia reactiva

calc

i

sp

i PP


sp

ii VV

calc

i

sp

i PP

calc

i

sp

i QQ


• Cuatro variables por cada barra:

iiii VQP ,,,

ecuaciones d

calc

i

sp

i NQQ

ecuaciones nPPcalc

i

sp

i

incógnitas V

incógnitas

i d

i

N

n

Las potencias reactivas Qi de las barras de generación

pueden ser calculadas una vez determinados los voltajes

de las barras (módulos y fases)

Barra flotante

• ¿Es posible especificar la potencia activa

inyectada por todos los generadores y la potencia

activa consumida por las cargas en forma

independiente?

digipérdidas PPP

Las pérdidas RI2 no son conocidas

inicialmente

Barra flotante

• Una barra del sistema puede realizar el balance

de potencia activa demandada y potencia activa

consumida (BARRA FLOTANTE)

• ¿Es este criterio razonable?

• La potencia activa se transmite “bien” a través del

sistema

Barra flotante

• ¿Cómo se realiza el balance de potencia reactiva en

el sistema?

• ¿Es posible utilizar una única barra para realizar el

balance de reactiva en el sistema?

• La potencia reactiva no se transmite “bien” a través

del sistema (produce caídas de tensión importantes)

• Cada barra PV realiza el balance de reactiva en

forma local

Modelado de sistemas de potencia.

Resolviendo el

problema de flujo de

carga.

Ejercicio: Ecuaciones de flujo de carga.

• Formar Matriz Ybus del sistema.

• Determinar tipos de barras.

• Listar variables conocidas y

desconocidas.

• Escribir las ecuaciones de flujo de

carga.

1 2

3

P=0.5

V=1

P=1, V=1

j0.1

j0.2 j0.25

1.5+j0.8

Ybus.

945

41410

51015

jjj

jjj

jjj

jBGY

Tipos de barras.

Barra 1: Flotante (V1 y 1 dados)

Barra 2: Barra PQ (V2 y 2

desconocidos)

2 ecuaciones - balance de

potencia activa y reactiva.

Barra 3: Barra PV - 3 desconocido

(V3 especificado)

1 ecuación: balance de

potencia activa.

1 2

3

P=0.5

V=1

P=1, V=1

j0.1

j0.2 j0.25

1.5+j0.8

Ecuaciones.

)cos(4cos10148.0

cos

)sen(4sen51

sen

)sen(4sen105.1

sen

323212

2

2

1

2222

232313

1

3333

323212

1

2222

VVVV

bVVQ

VVV

bVVP

VVV

bVVP

nk

k

kkk

nk

k

kkk

nk

k

kkk

Caso particular: Flujo DC

Métodos para resolver las ecuaciones de flujo de carga.

• Ecuaciones de flujo de carga:

Sistema de ecuaciones algebraicas no lineales.

• Métodos:

Método de Gauss-Seidel.

Método de Newton-Raphson.

Algoritmo de desacoplado rápido de flujo de

carga.

Método de Newton Raphson. Idea básica.

1 4 6

?,0)(

,045)( 2

xxf

xxxf 60 x

Método de Newton - Raphson. Ejemplo

,045)( 2 xxxf 60 x

xxdx

xdffxf

xdx

xdf

xdx

xdfxfxxf

x

xx

rr

r

710)(

)6()6(

52)(

0)(

)()(

6

¿Qué tan buena es esta aproximación?

Método de Newton Raphson. Ejemplo

08.449.157.4

49.014.4/04.2

014.404.2)(

)57.4()57.4(

57.443.16

43.17/10

0710)(

)6()6(

57.4

6

xxx

x

xxdx

xdffxf

xxx

x

xxdx

xdffxf

oldnew

x

oldnew

x

Método de Newton Raphson. Ejemplo

0)4(

408.008.4

08.016.3/24.0

016.324.0)(

)08.4()08.4(08.4

f

xxx

x

xxdx

xdffxf

oldnew

x

Método de Newton-Raphson. Ejemplo

,045)( 2 xxxf 60 x

000.4002.0004.306.0002.44

002.4077.0157.3242.0079.43

079.4492.0142.4039.2571.42

571.4429.1000.700.10000.61

)( 1

rr xxdx

dfxfxr

Método de Newton-Raphson. Resumen

El caso de una dimensión:

,045)( 2 xxxf 60 x

xxx

dx

xdfxfx

xdx

xdfxfxxf

rr

xx

r

xx

rr

r

r

1

1

)()(

0)(

)()(

Sistemas de ecuaciones no lineales.

f1,...fn, son funciones dadas,

x1,...xn, son incógnitas.

Sistema general de

ecuaciones algebraicas

no lineales simultáneas.

0),...,(

.........

0),...,(

0),...,(

1

12

11

nn

n

n

xxf

xxf

xxf

nf

f

f

F...

2

1

nx

x

x

x...

2

1

0)( xF

Método de Newton-Raphson

Aproximación lineal por Taylor:

n

n

nnnn

n

n

n

n

xx

xfx

x

xfxfxxf

xx

xfx

x

xfxfxxf

xx

xfx

x

xfxfxxf

)(....

)()()(

...............

)(....

)()()(

)(....

)()()(

1

1

21

1

222

11

1

111


Supongamos que tomamos una estimación inicial

de la solución x=xr

0)(

....)(

)()(

...............

0)(

....)(

)()(

0)(

....)(

)()(

1

1

21

1

222

11

1

111

n

xxn

n

xx

nr

n

r

n

n

xxnxx

rr

n

xxnxx

rr

xx

xfx

x

xfxfxxf

xx

xfx

x

xfxfxxf

xx

xfx

x

xfxfxxf

rr

rr

rr


Estimación del error x:

0

...

0

0

...

)(......

)(............

)(...

)()(

)(...

)()(

)(

...

)(

)(

2

1

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

n

n

nn

n

n

r

n

r

r

x

x

x

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

xf

xf

xf


n

nn

n

n

r

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

xJ

)(......

)(............

)(...

)()(

)(...

)()(

)(

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)(

...

)(

)(

)( 2

1

r

n

r

r

r

xf

xf

xf

xF

nx

x

x

x...

2

1

Matriz Jacobiana Vector de apartamiento

estimador lineal del error


)(

...

)(

)(

)(......

)(............

)(...

)()(

)(...

)()(

...

2

1

1

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

r

n

r

r

n

nn

n

n

n xf

xf

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

x

x

estimador lineal del error


nr

n

r

r

r

n

r

r

x

x

x

x

x

x

x

x

x

.........

2

1

2

1

1

1

2

1

1

Estimador mejorado del valor supuesto inicialmente

Método de Newton Raphson. Aplicación al flujo de carga del sistema de

potencia

Elegir las variables de estado (x):

(a) Para barras PQ, elegir la magnitud del voltaje de

barra y su ángulo de fase asociado.

(b) Para barras PV, elegir el ángulo de fase (la

magnitud del voltaje es fija)

Para barra flotante (referencia), tanto magnitud de

voltaje como ángulo de fase son cantidades

especificadas.

Vx

PQ&PV

PQ


potencia

0)(

)()(

)(

)(

sp

sp

i

sp

i

i

sp

i

QxQ

PxPxF

xQQ

xPPespecificado funciones de x desconocidas

nk

k

ikikikikki

sp

ii

nk

k

ikikikikki

sp

ii

bgVVQQ

bgVVPP

1

1

)cossen(

)sencos(


potencia

0)(

)()(

r

r

r

xQ

xPxF

)()(0)()( rrrr xFxxJxxJxF

)(

)(r

r

xQ

xP

VJ

PQ&PV

PQ

PQ&PV

PQ

)(

)(

/ r

r

rr

rr

xQ

xP

VVLM

NH


potencia

)cossen(

)sencos(

ikikikikki

k

iik

iii

r

iii

nk

ikk

ikikikikki

i

iii

bgVVP

H

VbQH

gbVVP

H

2

1


potencia

)sencos(

)sencos(

ikikikikki

k

iik

iii

r

iii

nk

ikk

ikikikikki

i

iii

bgVVQ

M

VgPM

bgVVQ

M

2

1


potencia

ik

k

ikik

iii

r

i

i

iiii

ik

k

ikik

iii

r

i

k

iiii

HV

QVL

VbQV

QVL

MV

PVN

VgPV

PVN

)(

)(

)(

)(

2

2


potencia

PQ&PV

PQ

)(

)(

/ r

r

rr

rr

xQ

xP

VVLM

NH

)(

)(

/

1

r

r

rr

rr

xQ

xP

LM

NH

VV

Vxx rr

1


potencia

Características del método:

1. Velocidad de convergencia ‘cuadrática’ (el número

de cifras significativas se duplica luego de cada

iteración)

2. Confiable, no sensible a la elección de la barra

flotante.

3. Solución precisa obtenida luego de 4-6

iteraciones.

4. J debe ser re-calculada e invertida luego de cada

iteración. (J es una matriz esparsa, tiene estructura

simétrica, pero los valores no son simétricos)

Método de Newton Raphson Ejemplo

1 2

3

V=1, =0

P=1, V=1

j0.1

j0.2 j0.25

1.5+j0.8

Resolver el problema de flujo de carga usando el método de NR:

Método de Newton-Raphson Ejemplo

1 2

3

V=1, =0

P=1, V=1

j0.1

j0.2 j0.25

1.5+j0.8 Barra 1: Flotante (V1 y 1 dados)

Barra 2: Barra PQ

(V2 y 2 desconocidos)




(V3 especificado)


potencia activa.


222322

323332

222322

2

3

2

232

945

41410

51015

LMM

NHH

NHH

Q

P

P

V

J

jjj

jjj

jjj

jBGY


)cos(4cos1014cos

)sen(4sen5sen

)sen(4sen10sen

323212

2

2

1

2222

232313

1

3333

323212

1

2222

VVVVbVVQ

VVVbVVP

VVVbVVP

nk

k

kkk

nk

k

kkk

nk

k

kkk


0,0,0,1,1,1 0

3

0

2

0

1

0

3

0

2

0

1 VVV

00cos140cos1101114

)cos(4cos1014

00sen140sen151)sen(4sen5

00sen140sen1101)sen(4sen10

323212

2

22

2323133

3232122

VVVVQ

VVVP

VVVP


nk

k

ikikikikki

sp

ii

nk

k

ikikikikki

sp

ii

bgVVQQ

bgVVPP

1

1

)cossen(

)sencos(

8.0

0.1

5.1

08.0

00.1

05.1

2

3

2

Q

P

P


0001400000000

000000090004

0000000400014

144

494

414

2

3

2

232

2

2232322

3232

2

333232

23232

2

22

2

3

2

232

...

...

...

................

)sen(

)sen()cos(

)cos(

Q

P

P

V

J

VQVVP

VVVQVV

PVVVQ

Q

P

P

V

J


0714.00000.00000.0

0000.01273.00364.0

0000.00364.00818.01J

8.0

0

5.1

0714.00000.00000.0

0000.01273.00364.0

0000.00364.00818.0

/ 22

3

2

VV

0571.0

0727.0

0864.0

/ 22

3

2

VV


9429.00571.011

0727.00727.00

0864.00864.00

2

20

2

0

2

1

2

3

0

3

1

3

2

0

2

1

2

V

VVVV

Esto completa la primer iteración.

Ahora re-calculamos las potencias de la barra con

los nuevos valores de las variables de estado:


0727.0,0864.0,0,1,9429.0,1 1

3

1

2

1

1

1

3

1

2

1

1 VVV

6715.0)cos(4cos1014

9608.0)sen(4sen5

4107.1)sen(4sen10

323212

2

22

2323133

3232122

VVVVQ

VVVP

VVVP

1285.0

0392.0

0893.0

6715.08.0

9608.00.1

4107.15.1

2

3

2

Q

P

P


7742115975041071

597507106872383

4107172383117213

144

494

414

2

3

2

232

2

2232322

3232

2

333232

23232

2

22

2

3

2

232

...

...

...

)sen(

)sen()cos(

)cos(

Q

P

P

V

J

VQVVP

VVVQVV

PVVVQ

Q

P

P

V

J


0861.00022.00086.0

0022.013707.00369.0

0086.00369.00876.01J

1285.0

0392.0

0893.0

0861.00022.00086.0

0022.013707.00369.0

0086.00369.00876.0

/ 22

3

2

VV

0119.0

021.0

075.0

/ 22

3

2

VV


9316.09429.00119.09429.0

07485.00021.00727.0

09385.00075.00864.0

2

21

2

1

2

2

2

3

1

3

2

3

2

1

2

2

2

V

VVVV

Esto completa la segunda iteración.

Ahora re-calculamos las potencias de la barra con

los nuevos valores de las variables de estado:


07485.0,09385.0,0,1,9316.0,1 2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1 VVV

7979.0)cos(4cos1014

9995.0)sen(4sen5

4987.1)sen(4sen10

323212

2

22

2323133

3232122

VVVVQ

VVVP

VVVP

0021.0

0005.0

0013.0

7979.08.0

9995.00.1

4987.15.1

2

3

2

Q

P

P


3529116257049871

625706596867363

4987177363948812

144

494

414

2

3

2

232

2

2232322

3232

2

333232

23232

2

22

2

3

2

232

...

...

...

)sen(

)sen()cos(

)cos(

Q

P

P

V

J

VQVVP

VVVQVV

PVVVQ

Q

P

P

V

J


0895.00024.00097.0

0024.01313.00370.0

0097.00370.00888.01J

1285.0

0392.0

0893.0

0895.00024.00097.0

0024.01313.00370.0

0097.00370.00888.0

/ 22

3

2

VV

00020.0

00002.0

00012.0

/ 22

3

2

VV


9314.09316.00002.09316.0

7486.000002.007485.0

09397.000012.009385.0

2

22

2

2

2

3

2

3

2

3

3

3

2

2

2

3

2

V

VVVV

Esto completa la tercera iteración.

El método ha convergido ya que el vector de

apartamiento es casi cero.


07486.0,09397.0,0,1,9314.0,1 3

3

3

2

3

1

3

3

3

2

3

1 VVV

8.0)cos(4cos1014

1)sen(4sen5

5.1)sen(4sen10

323212

2

22

2323133

3232122

VVVVQ

VVVP

VVVP

0

0

0

2

3

2

Q

P

P

Desacoplado rápido del flujo de carga (FD) Desacoplando las ecuaciones

VVLQVVLM

HPVVNH

Q

P

VVLM

NH

//

/

/

PQ&PV

PQ

Desacoplado rápido del flujo de carga (FD) Desacoplando las ecuaciones

QVVL

PH

/

PQ&PV

PQ

Las ecuaciones están desacopladas pero

los coeficientes de las matrices H y L son

interdependientes: H depende del módulo

del voltaje, L depende del ángulo de fase.

Este esquema requiere evaluación de las

matrices en cada iteración.

Simplificaciones de Stott & Alsac

1. Las diferencias entre los ángulos de fase de barras típicas del sistema

son usualmente pequeñas:

2. Las susceptancias de línea Bikson mucho mayores que las

conductancias de línea Gik:

3. La potencia reactiva inyectada en cualquier barra es mucho menor que

la potencia reactiva que circularía si todas las líneas que parten de esa

barra se corticircuitaran al neutro del sistema:

1 )cos( ki kiki )sen(

)cos()sen( kiikkiik BG

iiii BVQ2

Elementos Jacobianos Potencia activa

kikiik

ikikikikkiik

iiiiii

iii

r

iii

VbVH

bgVVH

VbVH

VbQH

)cossen(

2

Elementos Jacobianos Potencia reactiva

kikiik

ikikikikkiik

iiiiii

iii

r

iii

VbVL

bgVVL

VbVL

VbQL

)cossen(

2

Modificaciones posteriores

QVVVBV

PVBV

/''

' PQ&PV

PQ

VQVVVB

VPVB

//''

/'

PQ&PV

PQ

Modificaciones posteriores

PQ&PV

PQ

VQVVVB

VPVB

//''

/'

PQ&PV

PQ

VQVB

VPB

/''

/'

Desacoplado rapido

de las ecuaciones.

Método de desacoplado rápido Características

PQ&PV

PQ

VQVB

VPB

/''

/'

1. B’ y B’’ son matrices esparsas reales.

2. B’ y B’’ son aproximaciones del Jacobiano con

gradiente constante. (El resultado final es el

correcto!)

3. Aunque FD requiere más iteraciones, la solución

se puede obtener mucho más rápido.

4. FD es más robusto que NR (puede encontrar

soluciones donde NR falla)

5. Problemas potenciales en redes con R>X.

Método de desacoplado rápido Ejemplo

1 2

3

V=1, =0

P=1, V=1

j0.1

j0.2 j0.25

1.5+j0.8

Resolver el problema de flujo de carga usando el método FD:


1 2

3

P=1, V=1

j0.1

j0.2 j0.25

1.5+j0.8 Barra 1: Flotante (V1 y 1 dados)

Barra 2: Barra PQ

(V2 y 2 desconocidos)




(V3 especificado)


potencia activa.


22222

3

2

3332

2322

33

22

945

41410

51015

VbVQ

bb

bb

VP

VP

jjj

jjj

jjj

jBGY

/

/

/


33

22

3

2

3

2

33

22

3

2

3332

2322

33

22

1273003640

0364008180

94

414

VP

VP

VP

VP

bb

bb

VP

VP

/

/

..

..

/

/

/

/

Método de desacoplamiento rápido Ejemplo

0,0,0,1,1,1 0

3

0

2

0

1

0

3

0

2

0

1 VVV

1

51

0014015145

001401101410

0

33

0

22

2323133

3232122

.

/

/

sensen)sen(sen

sensen)sen(sen

VP

VP

VVVP

VVVP

Apartamiento de potencia activa


0727300727300

0863600863600

072730

086360

1

51

1273003640

0364008180

3

0

3

1

3

2

0

2

1

2

3

2

3

2

..

..

.

.

.

..

..


22222 VbVQ / 222 14 VVQ /

222 07140 VQV /.

93660063410

0634108878007140

8878010878080

0878041014

0

2

1

2

2

22

323212

2

22

..

...

./)..(/

.)cos(cos

VV

V

VQ

VVVVQ

Apartamiento de

potencia reactiva


072700864001936601 1

3

1

2

1

1

1

3

1

2

1

1 .,.,,,., VVV

931440000040074860093970000050000060

93144000042007486093960000570000700

0931470005070074810093920005820008270

931860061970074390093410043190098640

93660887800727300863600015001

223232

......

......

......

......

......

VQPP

flujo de carga en sistemas de potencia

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