flujo de potencia 21

8/15/2019 Flujo de Potencia 21

1/113

FLUJO DE POTENCIA


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5.Introducción

5.1.1 DefiniciónConsiste en determinar el módulo y ángulo de fase de la tensiónde cada barra y los flujos de potencia activos y reactivos paracada línea por lo que es necesario fijar cantidades que deben sercantidades a priori para iniciar el estudio.

5.1.2 Requeri iento! de un !i!te " de #otenci".

_ Cuantitativos1.Entregar las magnitudes de potencia y energía definidas

mediante acuerdos o contratos con:suarios independientes con otros sistemas en los cuales

eventualmente pueden estar conectados.

!. "ermitir cantidades de potencia y energía que sirvan dereserva para situaciones eventuales.

#. $ue las previsiones de capacidad de la línea y los otroscomponentes garanticen los incrementos de acuerdo alcrecimiento de la demanda.


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%Cualitativos

1. &a energía debe enumerarse sujeta a restricciones en cuanto a:

% &as variaciones de la tensión cuyas magnitudes dependen delnivel de esta 'ltima.

% (ariaciones de la frecuencia en un ) * +,-#

!. El sistema de potencia debe tener una alta confiabilidad se entiende

como la seguridad de que aunque el sistema sufra perturbaciones demagnitudes apresiables/. &a probabilidad de que e0istan discontinuidaden la prestación de servicio tendra un valor ra onablmente bajo.


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5.2 $ode%" iento de %o! co #onente! de% !i!te ". &as cargas son elementos variables2 no predecibles.

5.2.1 &ener"dore! ' co #en!"dore! !(ncrono!

3: 4e regula difícilmente más que todo es de referencia 3 5 ,

P G Q G

| V | , δ Barra de referencia

Barra de referencia

| V | , δ

| V |P G ,


5/113

5.2.2 $ode%" iento de %o! tr"n!for "dore!.

6mpedancia en corto circuito en serie y los de magneti ación enparalelo

p

pT

p

p

I

E Z I

V

10

1=q

qT

p

p

I

V

a

a Z I

V

/10/1=

IqIpIpa : 1

Vp

+

-

Vq

+

-

Ep

+

-

ZT IqIpIpa : 1

Vp

+

-

Vq

+

-

Ep

+

-

ZT


6/113

a : fasor2 cuando el transformador es de fase cuadratura.a : 7'mero2 cuando el transformador es con relación de 89"4 fuera

de la nominal.

a : 12 cuando el transformador es sin 89"4.

ase cuadratura: 4on aquellos que tienen como objeto2 tiene relaciónde transformación nominal.

;e la matri .

9 5 a < 5 = 8 >a

C 5 , ; 5 1>a


7/113

).!.# ?odelamiento de líneas de transmisión.

Y pq

Y shun

Z pq

p q

Y shun Y q Y p Vp

+

-

Vq

+

-

q pqqqq p V Z I V Y V ++= !"

q pqq pqq p I Z V Z Y V ++= !1"

qq p BI AV V +=


8/113

).!.# @eactores y capacitores


9/113

).# Clasificación de las barras

1. Variables de Control:

[ ] ==*

*

1

1

*

1

G

G

G

G

Q

P

Q

P

u

u

u

u

u

2. Variables de Estado:

[ ] ==

*

*

1

1

*

1

V

V

x

x

x

x

xδ

δ

3. Variables de Disturbio(incontrolables)

[ ] ===

*

*

1

1

*

*

1

1

*

1

D

D

D

D

L

L

L

L

Q

P

Q

P

Q

P

Q

P

P

P

P

P

P


10/113


11/113

+. -"rr"! Ti#o P/4*4&ener"ción3

;atos : P G, |V| ( conocidas);atos : P L, Q L6ncógnitas: Q G, δ

c. -"rr" Ti#o 4*4 6Referenci"3

;atos : |V|, δ conocidas/;atos : P L, Q L6ncógnitas: P G, Q G

#is e$ae%&c ric'

P p, Q p P G, Q G

| V | P ,

#is e$ae%&c ric'

P p, Q p PG, QG

| V |, .


12/113

En barras P-V

P*0 8iene la barra limites de operación en $ min D $ D $ ma0

Ti#o! de -"rr"! D"to! Incó nit"!|V|, δP-|V|P - Q

|V|, δ, P L, Q LPG ,|V|, P L, Q LPG, Q G, P L, Q L

PG, Q GQG, δ|V|, δ

d. *"ri"nte! de ti#o! de +"rr"!

En barra P-Q

P0* Cuando se tiene limites de operación (min

D ( D (ma0

P0R* Cuando de se tiene la barra a una tensión controladaremotamente y se controla a trav s de la potencia reactiva


13/113

?98@6= 9;?6897C69 ;E


14/113

5.) For u%"ción de %" "tri7 "d it"nci" 89+u!:

n

!

1

q 4 p 6 p 6 pn

6 pq

6 p! 6 p1

= pn

= pq

= p! = p1

( p "


15/113


16/113

nnnqnq pnpnnn V Y V Y V Y V Y V Y I ++−−−−−= **11

−−−−

−−−−

−−−−−−−−

=

n

p

Y

nnnqnp pn

pn pq pp p p

nq p

nq p

n

p

V

V

V

V

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

I

I

I I

BUS

*

1

*1

*1

******1

1111*11

*

1

[ ] [ ][ ]V Y I BUS

=

[ ] = I ?atri de corriente de inyección (ector/

[ ] =V ?atri de corriente de inyección (ector/[ ] =Y ?atri de admitancia de barras (ector F< 4/


17/113

[ ] =Y &a matri Fbus tiene las siguientes propiedades

Es una matri cuadrada n Gn H de barras/.

&os elementos de la diagonal son todos positivos.

&os elementos fuera de la diagonal son todos negativos.

4on sim tricos %F1! 5 %F!1 entonces2 %Fpq5 %Fqp2 a e0cepción decuando se tiene en ese elemento trafos con regulación bajo cargay con desfasamiento.

Es altamente E4"9@49.

Es una matri compleja2 sus componentes son todos complejos.

&os componentes de la diagonal son la sumatoria de todas lasadmitancias que salen de dicIa barra.


18/113

Ejemplo2 plantear la matri admitancia del sistema el ctrico

1

* Z* / 0 01 + 0 *

Z1 / 0 0* + 0 1 Z1* / 0 0 + 0 12

0 0 0 0

0 0*

0 0*

0 01

0 01

*C Y


19/113

0100*0100*0

112000

1!

*"!

*" 11*11*11 j j j j

Y Y Y Y Y C C +++

++

=+++=

33212*020100*041233*1104*5*111 j j j j jY −=++−+−=104*5*11* jY +−=

−∠∠∠∠−∠∠∠∠−∠

=212516* 01543*33 61010150253

543*33 615*2041101012 6*4

11015025311012 6*444651 414

busY

−+−+−+−−+−+−+−−

=24*3116*2*3562* 3041233* 11

3566* 4*065112 121104*5*11

41233* 11104*5*11332412*02*

j j j

j j j

j j j

Y bus


20/113

).) Ecuaciones para JnK barras

[ ]

n

n

n

n

V

V

V

x

x

x

x

x

x

x

δ

δ

δ

*

*

1

1

*

1*

*

1

==

−

[ ]

Gn

Gn

G

G

G

G

n

Q

P

Q

P

Q

P

u

u

u

u *

*

1

1

*

*

1

== [ ]

Dn

Dn

D

D

D

D

n

Q

P

Q

P

Q

P

p

p

p

p *

*

1

1

*

*

1

==


21/113

4iendo las ecuaciones de potencia para un sistema de JnK barras

( ) 0,,,,,,, 1111111 = Dn Dn D DGnGnGGnn Q P Q P Q P Q P V V f δ δ

( ) 0,, *1*1*11 =nnn p puu x x f

( ) 0,, *1*1*1* =nnn p puu x x f

•••

( ) 0,, *1*1*1* =

nnnn p puu x x f

( ) 0,, = pu x f p n p *1=


22/113

"ara un sistema de JnK barras2 suponiendo que tiene JLK nodos degeneración2 entonces se tiene Jn M LK barras de cargas.

G P k −−−−

GQk −−−−

V n −−−−

δ −−−−n

!"* nk +

"otencias activas de generación

"otencias reactivas de generación

8ensiones de barra módulos/

Nngulos de tensión de barra

(ariables totales


23/113

4e tiene un n'mero de ecuaciones de !n que permiten calcular !nvariables o incógnitas2 por tanto es necesario preparar !L variablespara este fin.

V k −−−−−1

G P k −−−−−1

V −−−−1

δ −−−−1

k *

"otencias activas de generación

"otencias reactivas de generación

8ensiones de barra módulos/

Nngulos de tensión de barra

(ariables especificadas


24/113

inalmente se tiene que determinar:

GQk −−−−−1

Gk δ −−−−−1

G P −−−−1

GQ−−−−1

n*

"otencia de generación de referencia activa."otencia de generación de referencia reactiva

"otencia de generación reactiva en barra de

generación.Nngulo de tensión en barra de generación

(ariables de par determinadas

V k n −−−−−

δ −−−−− k n

?agnitud de tensión en barra de carga.

Nngulo de tensión en barra de carga.


25/113

5.; $


26/113

[ ] [ ]!0"!1"!0"

!0"

9 x f x x

x f Tan =

−=θ

[ ][ ]!0"!0"

!1"!0"

9 x f x f x x =−

[ ][ ]!0"

!0"!0"!1"

9 x f x f

x x −=

[ ][ ]!"

!"!"!1"

9 k k

k k

x f x f

x x −=+

na función f 0/ se puede e0pandir mediante la serie de 8aylor

[ ] [ ] [ ] 0!"999<

1!"99


27/113

4e acostumbra truncar a partir de f OP 0 ,/ /

[ ] 0!"9!"!" !0"!0"!1"!0" =−+= x f x x x f x f

[ ] !"9!"!" !0"!0"!1"!0" x f x x x f x f −=− [ ][ ]

!0"!0"

!0"!1"

9!"

x x f

x f x f x +

−=

[ ]

[ ]!0"

!0"!0"!1"

9 x f

x f x x −=

". P"r" un !i!te " de 2 ecu"cione!". P"r" un !i!te " de 2 ecu"cione!

0!," *11 = x x f 0!," *1* = x x f

[ ] [ ][ ] [ ] !,"

*1

!,"*1

!,"!,"!,"!,"

!0"*

!0"11

*1

**!0"

**!0"

*!0"

11*1

**!0"

11

!0"

*

!0"

11*

!0"

**

!0"

*

!0"

111

!0"

11

!0"

*

!0"

11*11

+∂∂∂−+∂∂

∂−+∂

∂−+∂

∂−+=

x x f x x

x x x x f x x

x x

x x f x x x x x f x x x x x f x x f

∂∂


28/113

[ ] [ ]

[ ] [ ] !,"*1

!,"*1

!,"!,"!,"!,"

!0"*

!0"1*

*1

**!0"

**!0"

*!0"

1**1

**!0"

11

!0"*

!0"1*

*

!0"**

!0"*

!0"1*

1

!0"11

!0"*

!0"1**1*

+∂∂∂−+∂∂

∂−

+∂∂−+∂

∂−+=

x x f x x

x x x x f x x

x x

x x f x

x x x x f x

x x x x f x x f

!"!," 1*11 x f x x f =

!"!," **1* x f x x f =

!"!," !0"1!0"

*!0"

11 x f x x f =

!"!," !0"*!0"

*!0"

1* x f x x f =

1!0"

11 x x x ∆=−

*!0"

** x x x ∆=−

!"!"*1

!"!"*1

!"!"!"!,"

!0"1

*1

**

*!0"

1

*1

**

1

!0"1

**

!0"1

11

!0"1*11

+∂∂

∂∆+∂∂

∂∆

+∂∂∆+

∂∂∆+=

x f x x

x x f x x

x

x f x

x x f x

x x f x x f

!"!"*

1!"!"

*

1

!"!"!"!,"

!0"*

*1

**

*!0"

**1

**

1

!0"*

**

!0"*

11

!0"**1*

+∂∂

∂∆+∂∂

∂∆

+∂∂∆+

∂∂∆+=

x f x x

x x f x x

x

x f x

x x f x

x x f x x f


29/113

( )( )!"!"

!"!"

*1

!"!"

!"!"

!"

!"!"

!"*

*

*1

*1

0*

*

*1

0*

**1

01

*

*1

01

*

*

1

*

0*

1

0*

*

01

1

01

0*

01

*

1 +∆∆

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

+∆∆

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+= x

x

x x

x f

x x

x f x x x f

x x x f

x

x

x

x f

x

x f x x f

x x f

x f

x f x f

x f

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] *1

!"!" 000 +∆∆+∆+= x H x x J x f x f

+. P"r" un !i!te " de >n? ecu"cione!+. P"r" un !i!te " de >n? ecu"cione!( ) 0, *11 =n x x x f

•••

( ) 0, *1* =n x x x f

( ) 0, *1 =n p x x x f

( ) 0,

*1 =

nn x x x f

•••


30/113

[ ]

[ ]1

!0"!0"1!0"

1

!0"!0"1!0"

11!0"!0"

1*1

!, ,"

!, ,"!, ,"!, ,,"

x

x x f x x

x

x x f x x x x f x x x f

n pnn

n pn pn p

∂∂−+

+∂

∂−+=

−

−

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

+=

!0"

!0"

11

1

!0"!0"1

1

!0"!0"1

1

!0"!0"1

1

!0"!0"11

!0"!0"1

!0"!0"1

!0"!0"1*

!0"!0"

11

1

1

1*

11

!, ,"!, ,"

!, ,"!, ,"

!, ,"

!, ,"

!, ,"!, ,"

!, ,"

!, ,"

!, ,"!, ,"

nn

nnnn

nnn

nn

n p

n

n

nn

n p

n

n

x x

x x

x

x x f

x

x x f

x x x f

x x x f

x x f

x x f

x x f x x f

x x f

x x f

x x f x x f


31/113

−

−

−−

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+=

!, ,"!, ,"

!, ,"!, ,"

!, ,"!, ,"

!, ,"!, ,"

!0"!0"11

!0"!0"11

!0"!0"1*1*

!0"!0"1111

001

001

01

01

1

!0"

!0"

!0"*

!0"1

*

1

nnnn

n pn p

nn

nn

n

nn

n

p p

n

n

p

n

p

x x f x x f

x x f x x f

x x f x x f

x x f x x f

L x

f L

x

f

L x f L

x f

L x f

L x f

x

x

x

x

x

x

x

x

[ ] [ ] [ ] [ ]!" !0"1!0" x f J x x ∆+= −

[ ] [ ] [ ] [ ]9!" !0"1!0" x f J x x −+=

ó d $ d d


32/113

5.;.1 A#%ic"ción de% $


33/113

Ejemplo !. ;ado las ecuaciones f 1 y f ! 2 calcular las raíces.

**!,"

10!,"

1*1***1*

*1*1*11

−−+=−+=

x x x x x x f

x x x x x f

−−

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+= 0**

011

*

0*

1

0*

*

01

1

01

0*

01

!"!"

!"!"

!"

!"0

0

x x

x x

x

x f

x

x f x

x f

x

x f

x f

x f

*1

:

0*

01

==

x x

inicia $s Da!"s

4olución

0**

010

1*1**

*1*1

=−−+

=−+

x x x x

x x x

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]000 !"0 x x J x f −+=


34/113

[ ] [ ] [ ][ ]000 !" x x J x f −=−

[ ] [ ][ ] [ ] !"0100 x f J x x −−=−

[ ] [ ] [ ] !"0100 x f J x x −−=

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

−=

−

!"

!"

!"!"

!"!"

0*

01

1

*

0

*

1

0

*

*

01

1

01

0*

01

1*

11

x f

x f

x x f

x x f

x x f

x x f

x

x

x

x

12*!1"*!*!"1"*!"

610!*!"1"1!"*0

*

*01

−=−−+=−=−+=

x f

x f

1!"

*!"

1

*

01

*11

01

==

∂

∂

=+=∂

∂

x

x

x f

x x x x f

6*!"

*!"

1*

*

0*

*1

0*

=+=

∂

∂

=−=∂

∂

x x

x

x f

x x x f


35/113

−−−=

−

126

6+1+

*1

1

1*

11

x

x

−−

−=−−

−−

−= 41141

*1

126

14460144600 160*3160

*11

*

1

1

x x

=4

14*1*

11

x

x

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

−

!"

!"!"!"

!"!"

1*

11

1

*

1*

1

1*

*

11

1

11

1*

11

**

*1

x f

x f

x x f

x x f

x x f

x x f

x

x

x

x

−= −

5*6

53

314100055

14*1445

4

14* 1

**

*1

x

x


36/113

−−

−=5*6

53

0544005 50

0*2401 640

4

14***

*1

x

x

=0155

0 ****

*1

x

x

−= −

2 30*420

1 21*02460 **056

01550 **

1

*

1

x x

−−

−=

2 30

*420

0353003520

0*501430

0155

0 **

*

1

x

x

=0000

000**

*

1

x

x


37/113

−= −

0010

0010

00041*00006

000**0006

0000

000** 1

*

1

x

x

− −−= 00100010

03330033300*5401610

0000000**

*

1

x x

−= −

0

10333*10000

000**

*

1 x

x

x

= *

*

1

x

x

− −−=−= −

00

10100*5401610*

00

1*6*6*

1

2*

2

1

x x

= *2*

21

x

x *2*

21

==

x

x


38/113

P"r" >n? iter"cione!P"r" >n? iter"cione!

( ) 0, *11 =n x x x f

•••( ) 0, *1* =n x x x f

( ) 0, *1 =nn x x x f

[ ] [ ] [ ]!"0100 x f J x −=∆

[ ]

1

0

*

0

1

0

1

01

*

01

1

01

10

!"!"!"

!"!"!"−

−

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

n

nnn

x x f

x x f

x x f

x

x f

x

x f

x

x f

J


39/113

[ ] ••

•

−••

•

=

−••

•−

=∆

0

01

1

11

01

01

11

0

nnnn x

x

x

x

x x

x x

x

[ ]

( )( )

( )•••=

•••=

00*

011

00*

01*

00*

011

0

0*

01

0

,

,

,

!"

!"

!"

!"

nn

n

n

n x x x f

x x x f

x x x f

x f

x f

x f

x f


40/113

5.;.2 Ne=ton R"#!on en coorden"d"! #o%"re!

∑=

=n

qq pq p V Y I

1

p j p p $V V

δ =

p p p p V I jQ P ==+ q jqq $V V

δ =

p p p p I V jQ P ==−

pq j pq pq $Y Y

θ =q pq p

jn

qq

j pq

j p p p $V $Y $V jQ P

δ θ δ

∑=−

=−1

θ θ θ js$n$ j −=− c's[ ]!"1

pqq p jn

q pqq p p p $Y V V jQ P

θ δ δ +−−

=∑=−

[ ]!"c's1

pqq p pqqn

q p p Y V V P θ δ δ +−= ∑

=

[ ]!"1

pqq p pqq

n

q p p s$nY V V Q θ δ δ +−= ∑

=


41/113

For "ción de "tri7For "ción de "tri7

∆

∆=

∆

∆=

∆

∆

V L J

% H

V J J

J J

Q

P δ δ *1

[ ] pqS$nY V V P H pqq p pqq pq

p pq ≠→+−=∂

∂= !" θ δ δ

δ

[ ]∑≠=

+−−=∂∂=

n

pqq

pqq p pqq p p

p pp S$nY V V

P H 1

!" θ δ δ δ

[ ]!" pqq p pq p

q

p

pq C"sY V

V

P % θ δ δ +−=

∂

∂=

[ ]∑≠=

+−+=∂∂

=n

pqq

pqq p pqq pp pp p

p

p pp C"sY V C"sY V

V

P %

1

!"* θ δ δ θ


42/113

[ ]!" pqq p pqq pq

p pq C"sY V V

Q J θ δ δ

δ +−−=

∂∂

=

[ ]∑≠=

+−=∂∂

=n

pqq

pqq p pqq p p

p pp C"sY V V

Q J

1

!" θ δ δ δ

[ ]!" pqq p pq pq

p pq S$nY V

V

Q L θ δ δ +−=

∂∂

=

[ ]!"*1

pqq p pq

n

pqq

p pp pp p

p

p pp S$nY V S$nY V

V Q L θ δ δ θ +−+−=

∂∂= ∑

≠=


43/113

Ejemplo #. ;eterminar la matri Qacobiana para el sistema

11 ,δ V ** ,Q P

, V P ,Q P

A

#

! 1

Por determinar lacte |V 3| e o!"ioen la matri# $Q 3


44/113

∆

∆

∆

∆

∆

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

=

∆

∆

∆

∆

∆

*

*

*

**

*

*

*

**

*

**

*

*

*

*

00

00

00

00

V

V

V QQQ

V QQQ

V P P P V

P

V

P P P P V P P P

Q

Q

P

P

P

δ

δ

δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ δ

δ δ

∆

∆∆∆

∆

=

∆∆∆∆

∆

*

*

*****

**

*****

*

*

00

00

00

00

V

V L J J

L J J

% H H % % H H H

% H H

Q

Q

P P

P

δ δ

δ


45/113

∆

∆

∆

∆

∆

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

=

∆

∆

∆

∆

∆

*

*

**

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

00

00

00

00

V

V

V QQQV P P P V P P P

V P P

Q

V

QQ

P V P P

Q

P

P

Q

P

δ

δ

δ

δ δ

δ δ

δ δ δ

δ δ

δ δ

∆∆∆∆

∆

=

∆∆∆∆

∆

*

*

**

****

*****

*

*

00

00

00

00

V

V

L J J

% H H

% H H % H J L J

H % H

Q

P

P Q

P

δ δ

δ

; $


46/113

;. $


47/113

( ) q pn

qq pq p pq pq p p V V jS$nC"s jBG jQ P ∑

=−+−−=+

1

!"!"!" δ δ δ δ

[ ] q pn

qq p pqq p pq p V V S$n BC"sG P ∑

=−+−=

1

!"!" δ δ δ δ

[ ] q pn

qq p pqq p pq p V V C"s BS$nGQ

∑=−+−=

1

!"!" δ δ δ δ

[ ] q pn

pqq

q p pqq p pq p pp p V V S$n BC"sGV G P ∑≠=

−+−+=1

*!"!" δ δ δ δ

[ ] q pn

pqq

q p pqq p pq p pp p V V C"s BS$nGV BQ ∑≠=

−+−+−=1

*!"!" δ δ δ δ


48/113

[ ] * p pp*

p pp1

VBVB!"!" −+−+−−==∂∂

−

≠=∑

pQ

q p

n

pqq

q p pqq p pq pp p

p V V C"s BS$nG H P

δ δ δ δ δ

*

p pp p pp V BQ H −−=

[ ]!"!" q p pqq p pqq p pqq p

C"s BS$nGV V H

P

δ δ δ δ δ −+−==∂

∂

[ ]

pp H

q p

n

pqq

q p pqq p pq p pp p

p

p V V C"s BS$nGV BV V

Q ∑≠=

−+−+−=∂∂

1

*!"!"* δ δ δ δ

p p pp pp p p

p QV B LV V

Q +−==∂∂ *


49/113

−−−=∂∂

=≈≈

10

!"!" q p pqq p pqq pqq

p pq C"s BS$nGV V V

V

Q L δ δ δ δ

Como:

*

p pp p V BQ


50/113

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]V BV L B H ===

Sub matriz

[ ] [ ] [ ] [ ]V BV B 9 =

[ ] [ ] [ ] [ ]V BV B 99 =

[ ] [ ] [ ] [ ]V BV H 9=

[ ] [ ] [ ] [ ]V BV L 99=

[ ] [ ]δ ∆=∆ H P

[ ]∆

=∆V

V LQ

∆∆

=∆∆

V

V L

H

Q

P δ La matriz

[ ] [ ] [ ] pq pq L H B ==9[ ] [ ] [ ] pp pp L H B ==99


51/113

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] !"9 α δ ∆=∆ V BV P

[ ] [ ] [ ] [ ] !"99 β ∆

=∆V

V V BV Q

Con!ider"cione!Con!ider"cione!

1. &a diferencia entre las matrices R


52/113

#. El ángulo desfasador de los transformadores condesfasamiento fase cuadratura/ son omitidos en R/ son pasados al primermiembro RU"> ( S y la influencia de los reactivos sobre losángulos son despreciados2 así mismo el valor en %V& del ladoderec'o de la ec aci n (*) e a mido en 1 p.u. lamatri R(S del lado derecIo a 1 ". .

[ ] [ ] [ ]δ ∆=∆ 9 B

V P

[ ] [ ] [ ]V B

V Q ∆=∆ 99


53/113

). 9mbas sub matrices R


54/113

-"rr" Ten!ión C"r "1 1.,!2 ,.! ,.,), ,.) ,.!)

#

! 1 ,.,A j,.!,

,.,+ j,.A, ,.,W

j,.#,

j,.,W

j,.,A j,.,A j,.,+ j,.,W

j,.,+

E e #%o


55/113

1

1

1*

1*11

11S S Y Z

Y Z

Y +++=

1 *456*5*5105000401

00*0001

11 j j j j jY −=+++++=

*

*

*1

*1**

11S S Y Z

Y Z

Y +++=

5136*6631 110400050

100

*0001

** j j j j

jY −=++

+++

=

*

*

1

1

11 S S Y Z Y

Z Y +++=

160*21344*10400050

1050

00401

j j j

j j

Y −=++++

+=


56/113

−+−+−+−−+−+−+−−

=+160*21344*111*05*3560+++35*446+011*05*35605136*6631+1150643+34120+++35*446+050643+341201 *456*5*51

j j j

j j j

j j j

Y bus

−+−+−+−−+−+−+−−

=+153021344*111*005*3560+++30*446+011*005*3560513406631+1150640+34120+++30*446+050640+341201 *206*5*51

j j j

j j j

j j j

Y bus

50643+34120*00+0

11

1**11* j j Z

Y Y +−=+−=−==

+++35*446+0+0040

11

111 j j Z Y Y +−=+−=−==

11*05*35600050

11

*** j j Z

Y Y +−=+−=−==


57/113


58/113

5201

+0111

*1

j j j Z Z

Y −=+=+=

2*011

1*1* j j Z Y −===

2*+0

11

11 j j Z

Y −===

011

** j j Z

Y −===

501

*0111

*1*** j j j Z Z

Y −=+=+=


59/113

−−−− −−=

522*52 2*2269 B [ ] =

−

****0055530055530122240

9 1 B

−−−−−−

=+160*211*0+++35*

11*05136*650643++++35*50643+1 *456

99 B [ ] =−

* 3 *0032*+0

032*+014265099 1 B

[ ] ||||||9 q pq p V BV B −=


60/113

0*

0***

01*1

0* V Y V Y V Y I ++= 00**0110 V Y V Y V Y I ++=

823321360300* ∠= I

134120013**00* j I +−=

8**3*153000 ∠= I

155530006 *00 j I +−=

134120013**00* jS −−= 155530006 *00 jS −−=

!"!"0

* ca cu a&" p&"$sp$cifica p P P P −=∆ !"!"0 ca cu a&" p&"$sp$cifica p P P P −=∆

!013**0"*00* −−−=∆ P !006 *0"200 −−−=∆ P

1506500* −=∆ P +3*4500 −=∆ P

150650|| 0*

0* −=∆

V P +3*450

|| 00

−=∆V P


61/113

!134120"0200* −−−=∆Q

1+41200* =∆Q

1+4120|| 0*

0* =∆

V Q

!155530"*200 −−−=∆Q

0411100

−=∆Q

041110|| 0

0

−=∆V Q

[ ]

∆

∆

=∆

∆ −

||

||9

0

0

0*

0*

10

0*

V P

V P

B

δ

δ [ ]

∆

∆

=∆

∆ −

||

||99

0

0

0*

0*

10

0*

V Q

V Q

B

V

V


62/113

−−=

∆∆

+3*450150650

*****0055530055530122240

0

0*

δ δ

−=∆∆

0411101+4120

* 3 *0032*+0032*+0142650

0

0*

V

V

−−=−

−=∆∆

1361*+

1*2220061310

1500

0*

π δ δ

x

−=

∆∆

−+0

0*

10022*6

015+10

xV

V

∆ 001 δδδ


63/113

−−=−−+= 136 1*+136 1*+0011

*

δ δ

=−

+= − 333*30015+11

10022*6

015+10

11

+1

1*

xV

V

81*+015+111* −∠=V

8136333*301 −∠=V

∆∆+= 0

*0*

1*

δ δ

δ δ

δ δ

∆∆

+= 00

*0

0

*1

1

*

V

V

V

V

V

V


64/113

11*00!11*00"|||||| **** =−−=−== BV V L H

11*00!11*00"|||||| **** =−−=−== BV V L H

513406!513406"|||| **

***** −=−=−== BV L H

+14302!+14302"|||| * −=−=−== BV L H

1*

1***

11*1

1* V Y V Y V Y I ++= 11**1111 V Y V Y V Y I ++=

82416146501* ∠= I 8541262156*01 ∠= I

132+40+50+501 j I +−=0155*601446601* j I +−=


65/113

0043*01606501* jS −−= 1 4302005101 jS −−=

!"!"1

* ca cu a&" p&"$sp$cifica p P P P −=∆ !"!"1

ca cu a&" p&"$sp$cifica p P P P −=∆

0*3**01* −=∆ P 0005101 =∆ P

0+ 0501* −=∆Q 11401 −=∆Q

0*5430|| 1*

1* −=∆

V

P 0005110

|| 1

1

=∆V

P

0+* 010|| 1*

1* −=∆

V Q 114 30

|| 11

−=∆V Q


66/113

−=∆∆

00051100*5430

*****0055530055530122240

1

1*

δ δ

−−=

∆∆

114 300+* 010

* 3 *0032*+0032*+0142650

1

1*

V

V

−−=−

−=∆∆

1 250*2140

00* 60000+ 310

1501

1*

π δ δ

x

−−=

∆∆

0 1550015030

1

1*

V

V

∆ 11* δδδ


67/113

−−

=−−

+−−

= 66+

1 250*2140

1361*+

*

**

δ δ

=−−+=

346+10000 *1

0 1550015030

333*30015+11

*

**

V

V

86+000 *11* −∠=V

86346+101 −∠=V

∆∆+= 1

*1*

**

δ δ

δ δ

δ δ

∆∆

+= 11

*1

1

**

*

*V

V

V

V

V

V

B OLUCI N DE FLUJO DE POTENCIA


68/113

B. OLUCI N DE FLUJO DE POTENCIA

"ara la solución de flujo de potencia se puede utili ar lasadmitancias propias y mutuas que componen la matri admitanciade barra 9 barra2 o las impedancias de punto de operación y detransferencia que constituyen barra .Considerando una matri admitancia de barra de NxN 2 el elementoY ij tiene la forma:

ijijijijijijijijij jBG s$nY jY Y Y +=+=∠= θ θ θ cos

&a tensión en una barra típica i del sistema está dada encoordenadas polares por:

)(cos iiiiii js$nV V V δ δ δ +=∠=?ientras que la tensión en una barra típica j se escribe de manerasimilar2 cambiando solo el subíndice i por j .

… (a)

… (b)


69/113

&a corriente total que se inyecta a la red a trav s de la barra i ent rminos de los elementos Y in de la matri admitancia de barra estádada por:

∑=

=+++= %

nninniniii V Y V Y V Y V Y I

1**11 ...

4ean P i y Q i las potencias real y reactiva totales que ingresan a la reda trav s de la barra i 2 entonces el complejo conjugado de la potenciaque se inyecta a la barra i es:

∑=

=− %

nniniii V Y V Q P

1

*

4ustituyendo las ecuaciones a/ y b/ se tiene:

!"1

inin

%

nniinii V V Y Q P δ δ θ −+∠=− ∑

=


70/113

Expandiendo la última ecuación e igualando las partes real reacti!a" se tiene:

)cos( inin %

nniini V V Y P δ δ θ −+=∑

=1

)( inin %

nniini s$nV V Y Q δ δ θ −+−= ∑=1

&as dos 'ltimas ecuaciones constituyen la forma polar de las

ecuaciones de flujo de potencia2 las que dan valores calculados parala potencia real P i y la potencia reactiva Q i totales que entran a lared a trav s de una barra típica i .


71/113

FLUJO DE L NEA 9PGRDIDA


72/113

FLUJO DE L NEA

Cuando las ecuaciones de flujo de carga estática se Ian resuelto2entonces ya podemos determinar la potencia a trav s de las líneas detransmisión del sistema de n%barras. Consideremos la línea queconecta las barras i y j

i j Y i

*

9ijY

V i V

# i#

i *

9ijY


73/113

&a corriente de línea I ij que va desde la barra i Iasta la barra j es

( ) *9ij

iij jiij

'

V 'V V I +−=

El flujo de potencia S ij de la barra i a la barra j es:

=ijiijijij I V jQ P S =+=

X a/

X b/

4ustituyendo a/ en b/ se tiene:

( )*

9=*=== ijiij jiiijijij

'V 'V V V jQ P S +−=+=


74/113

Entonces2 para un n'mero L de líneas en el sistema de n%barras2 losflujos de línea están dados por:

;onde2 H (X,U) es el vector de las ecuaciones de flujo de línea

=

!,"9

!,"

!,"9!,"

!,"

1

1

U ( )

U ( )

U ( )U ( )

U ( H

L

L

;onde:


75/113

( )

( ) *

*

1***1*1**1

1**11**111

****

****

'),('

'),(

'V 'V V V U ( )

'V 'V V V U ( )

+−=

+−=LINEA 1

( )

( ) *9

!,"9

*

9!,"

=1*=

1=

1=

*

=1*

1

=

1

==

11*

'V 'V V V U ( )

'V 'V V V U ( )

+−=

+−=LINEA 2

( )

( ) *

9!,"9

*9!,"

=**=

*=

*=

=***

=*

==**

'V 'V V V U ( )

'V 'V V V U ( )

+−=

+−=LINEA 3

PGRDIDA


76/113

PGRDIDA

tili amos la matri impedancia de barra para e0presar la fórmula dep rdidas.

@ecordemos que la potencia de barra S i inyectada a la barra i representa la potencia generada menos la carga de la barra. 9demás2para un sistema de n barras2 las p rdidas totales de la red son:

( )∑ ∑ ∑= = ==+==+n

i

n

i

n

iiiiii L L V I jQ P S jQ P

1 1 1

*

sando la matri impedancia de barra tenemos:

∑= ==n

k k ik i ni I Z V

1 ,,*,1

H. Inc%u!ión de P"r@ etro! de Contro% Adicion"%e! en %o!H. Inc%u!ión de P"r@ etro! de Contro% Adicion"%e! en %o!$


77/113

$


78/113

re /I E #ort #otenci K #q

re"/II I #ort" #otenci" / #q

+−−+== q

s)qqqp

pq p

a) pq

qqqp

pq pp

Y Y Y

Y Y Y Y Y

Y Y Y

−−

=q

p

qp

qqqp

pq pq pp

qp

pq

V

V Y Y

Y Y

I

I E%e ento! de %" di" on"%de %" "tri7 de %" %(ne" #/q pq

ppY

( ) ( )p VYVYYI +=


79/113

( ) p s) p pqq p pq Y V Y V V I +−= ( ) q pq pY

p s) pq pq V Y V Y Y I

pq pp

−+=

== ?@ q pq p pq pp p pq p pq V Y V Y V I V S −==

==*

q pq p pq pp p pq pq pq V Y V Y V jQ P S −=+= ∗

pq pq j

q j

pq j

p

j

pq pp p pq jQ P $V $Y $V $Y V S

q pq p pq pp

+=−= −−

−δ θ δ

θ *

q pq p jq

j pq

j p

p

pq

p

pq $V $Y $V jQ

j P δ θ δ

δ δ

−−−=∂

∂+

∂

∂

!!"" qq p p p

pq

p

pq jba jf $ jQ

j P −+−=

∂∂

+∂∂

δ δ

pqpq Q P ++∂

+∂


80/113

!?"@ q pq pq pq p p

pq

p

pq b$a f jb f a$ jQ

j −++−=∂+

∂ δ δ

pqq pq p p

pq H b$a f P =−=∂∂

δ pqq pq p p pq J b f a$Q =−−=∂

∂δ

pqq pq pq

pq

H a f b$ P

−=−=∂∂

δ pqq pq pq pq

J b f a$Q

−=+=∂∂

δ

!"!"

**

qq

p pq

p p

p pq pp

jba

jq

j pq

jf $

j p

j

pq pp p p

p

pq p

p

pq $V $Y $V $Y V V V

Q jV

V

P

−

−−

+

−−=

∂∂

+∂∂ δ θ δ θ

!!""?@**

qq p p pq pp

pq pp p p

p

pq p

p

pq jba jf $ jBGV V V

Q jV

V

P −+−−=∂∂

+∂∂


81/113

pqq pq pqq

pq % b f a$V V

P =+=∂∂

pqq pq pqq

pq Lb$a f V V

Q =−=∂∂

q pq p pq pp p p

p

pq b f a$GV V V

P −−=∂∂ *

*

q pq p pq pp p p

p

pq a f b$ BV V V

Q −+=∂∂ *

*


82/113

Deter in"ndo e% J"co+i"no #"r" e% i!te " Interconect"do.El control se efect'a sobre la potencia activa y reactiva.

AREA 2

" A!

$ A!

" ! 2$ !

C( 1 C 1

! AREA 1

+

A

@ef. @ef.

" A2$ A


83/113


84/113

||||

||||

|||| ++

+*+

+

+*+

+

+* V V

Q jV

V P

V V

S

∂∂+∂

∂=∂∂

+*+**

+*

*

+*

*

+* j% LQ

j P S −=∂

∂+∂∂=∂

∂δ δ δ

+*+***

+**

*

+**

*

+*

|||||||||||| jL % V V Q

jV V P

V V S

+=∂∂

+∂∂

=∂∂

−+

+=∂

∂+*++

*++*+*

+*++

*++

+

+* ||||*||||

BV L j % GV V V

S


85/113

∆∆

∆∆

∆∆

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂=

∆∆∆∆∆∆

||

||

||

00||||

||||

00||||

||||

00

00

44

4

**

*

***

*

*

*

*

***

*

*

*

*44**

44**

******

******

*

*

V V

V V

V V

V V

QQV

V QQ

V V

P P V

V P P

L J L J L J

% H % H % H

L J L J

% H % H

Q

P

Q

P

Q

P

I

I δ

δ

δ

δ δ

δ δ


86/113

Ejemplo: ;eterminar el Qacobiano del siguiente sistema

AREA 2 " #!

$ #!

" ! 2$ !

C( 1 C 1

! AREA 1

" # 2$ #

A

#

@ef. @ef.


87/113

∆∆∆∆∆∆

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

=

∆∆∆∆∆∆

++

+

**

*

*******

*******

++**

++**

******

******

*

*

*

*

00||||||||

00||||||||

00

00

V V

V V

V V

V V QQV V QQ

V V P P V V P P

L J L J L J

% H % H % H

L J L J

% H % H

Q

P

Q

P

Q

P

δ

δ

δ

δ δ

δ δ

∆∆∆∆

∆∆

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

=

∆∆∆∆

∆∆

++

+

,,

,

**

*

++,*+,*,,,*,,***,**,*

++,*+,*,,,*,,***,**,*

++,+,,,,,,**,*,

++,+,,,,,,**,*,

++*+*,,*,******

++*+*,,*,******

*,

*,

,

,

*

*

0

||||||||||||

||||||||||||

||||||||||||||||||||||||

||||||||||||

||||||||||||

V V

V V

V V

V V QQV V QQV V QQ

V V P P V V P P V V P P

V V QQV V QQV V QQV V P P V V P P V V P P

V V QQV V QQV V QQ

V V P P V V P P V V P P

Q

P

Q P

Q

P

δ

δ

δ

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

H.2 Contro% re oto de ten!ión


88/113

En el sistema de potencia2 es posible controlar la tensión de una barradesde una fuente reactiva ubicada en una barra cualquiera de la red

En el nodo P la potencia P# es fijada y * #4 es ajustada2 considerandola restricciones para controlar remotamente la tensión de la barra 0 y

mantener la tensión en *# 2 donde además Pq y 0 q son fijados$a-$in p p p

QQQ ≤≤"ara determinar los elementos del Qacobiano se debe considerar que * # es ajustado para mantener 0 # por lo que las derivadas respecto a la

tensión de la barra 0 deben ser efectuadas sobre la barra P ósea:

p p

xq

q

x V V P

V V P

∂∂=

∂∂

p p

xq

q

x V V Q

V V Q

∂∂=

∂∂

q p Z " s

C( C

8ambi n las derivadas de 0 & respecto a 3 y magnitud de ( son cero yque todos los nodos conectados a 0 son afectados por la sustitución de


89/113

que todos los nodos conectados a 0 son afectados por la sustitución de(q mediante la magnitud de ( p

EQE?"&[: ;eterminar el jacobiano del sistema que se muestra en la ig.11 ,δ V

,Q P +++ ,, V Q P

∆∆∆∆

∆

=

∆∆∆∆

∆

**

+

*

++++

++++

*+*

*+*

******

+

+

*

00

00

0

V V

V V

J L J

H % H

L J L J J % H % H H

% % H H

Q

P

Q P

P

δ

δ

δ

V P Ba##a −→!

#

1

A

Ref. (A 5 Constante

(! 5 Controla $ A

H., Tr"n!for "dore! con f"!e "ri"+%e +" o c"r ".


90/113

8ransformador con 8aps variable bajo carga.

p q = pq

F pq aF 8

F p 1%a/ F 8 F q a a%1/ F 8

T pq aY Y =T p Y aY !1" −=

T q Y aaY !" * −=

Equivalente $ de un transformador en fase de taps variables

a: @elación de 8ransformacióna: (ariable constante

?ediante estos transformadores se puede conmutar laó l l d d l f d


91/113

tensión en cualquier lado del transformador.


92/113

[ ] −

−=

+−

−+=

T T

T T

qqpqp

pq p pq

Y aaY

aY Y

Y Y Y

Y Y Y Y *

[ ] −+−−−+

=T T T

T T T

Y aaaY aY

aY Y aaY Y

!1"

!1"

E0presiones del lado controlado

∑=

=+=n

k k pk p p p p V Y V jQ P S

1

==

∑≠=

+=n

qk k

q pqk pk p p V Y V Y V S 1

====


93/113

==

,1

===* !"|| qT p pn

q pk k

k pk p pp p p V Y aV V Y V Y V S −++= ∑≠=

q pq p

k pk p pp

jq

jT p

j p

n

q pk k

jk

j pk

j p

j pp p p

$V $Y a$V

$V $Y $V $Y V S

δ θ δ

δ θ δ θ

−−≠=

−−−

−+

+= ∑||!||"||

||||||||||,

1

*

∑∑ = −−= ==+n

q

jq j pq j p

n

qq pq p p p

q pq p $V $Y $V V Y V jQ P 11

== |||||| δ θ δ


94/113

{ k pk p ppn

jk

jk

j j p p $V$Y$V$YVjQ

j P δ θ δ θ −−− +=∂+∂ ∑ ||||||||||

*


95/113

{

} ppq pq p j pp p jq jT p j pq pk

k pk p pp p p p

$Y V j$V $Y a$V

$V $Y $V $Y V j j

θ δ θ δ

δ δ −−−

≠

−−+∂∂ ∑

|||||||!"|||

||||||||||

*

,

[ ] pp j pp p p p p

p

p

p $Y V jQ P jQ

j P θ

δ δ −−+=∂+∂

|||| *

[ ]!"|| * pp pp p p p p

p

p

p jBGV jQ P jQ

j P

−−+=∂+∂ δ δ

pp p pp p p

p

H V BQ P

=−−=∂*

||δ

pp p pp p p

p J V G P Q

=−=∂*||

δ

;erivada 3 q


96/113

q

q pq p j

q

j

T p

j

pq

p

q

p

$V $Y a$V jQ

j P δ θ δ

δ δ −−

−−=∂+∂ |||!"|||

q pq p jq

j pq

j p

q

p

q

p $V $Y $V jQ

j P δ θ δ

δ δ −−−=∂+∂

||||||

[ ]!!"" qq p pq

p

q

p jba jf $ jQ

j P

−+−=∂+∂ δ δ

[ ]q pq pq pq pq

p

q

p b f a jf b j$a$ jQ

j P ++−−=∂+∂ δ δ

p b$f P

H ==


97/113

q pq pq

p pq b$a f H −=∂= δ

[ ]q pq pq

p pq b f a$ jQ j J +−=∂= δ

q pq p

q

p pq a$b f

Q J −−=

∂=

δ

;erivada a p

q pq p jq

jT

j p

p

p

p

p $V $Y $V a

Q ja

P δ θ δ −−−=∂+∂ ||||||

q pq p j j j p p $V$Y$VQ

j P δ θ δ −−=+ |||!"|||


98/113

qpqp

qT p p p p

p p

$V $Y a$V aa

jaa

−=∂+∂ |||!"|||

q pq p jq

j pq

j p p

p

p p

p

p $V $Y $V aa

Q jaa

P δ θ δ −−=∂+∂ ||||||

!!"" qq p p p p

p

p p

p

jba jf $aa

Q

jaa

P

−+=∂+∂

pqq pq p p

p

p % b f a$a

a

P =+=

∂

pqq pq p pq

p Lb$a f aa

Q=−=∂

b. Control del lado de envío q


99/113


100/113

∑=

=+k

k qk qqq V Y V jQ P 1

==

qq pqpq

k qk q

j

qqq

j

p

j

qp

j

q

n

q pk k

jk

jqk

jqqq

$Y V $V $Y $V

$V $Y $V jQ P

θ δ θ δ

δ θ δ

−−−≠=

−−

++

=+ ∑||||||||||

||||||

*

,1

[ ]qpqq pqpq

k qk q

jT

jqqq

j p

jT

jq

n

q pk

jk

jqk

jqqq

$Y a$Y V

$V $Y a$V

$V $Y $V jQ P

δ θ

δ θ δ

δ θ δ

−−

−−

≠

−−

++−+

=+ ∑

**

,

||||

|||!"|||

||||||

p GV% P *||∂


101/113

pq p p pq p p

p GV aa % aa

||−=∂

pq p p pq p p

p BV aa Laa

Q *||−=∂∂

qp p p

q % aa P =∂∂

qp p p

q Laa

Q=

∂

∂

0=∂∂ p pi a

a P

0=∂

∂ p

p

i aa

Q

"ara todo losnodosconectadosentre i M p.

H.) Tr"n!for "dore! en f"!e cu"dr"tur".


102/113

"ermiten controlar el . "ot. 9ctiva por deter electroducto.

p q

F qp 5 aF 8

.1%a/ F 8 .1%a/ F 8

F pq 5 aF 8

F pq

a :1 6 p q

"

( p ( q

6 q

a: Complejo

[ ]− TT aY Y pqaa φ || ∠=


103/113

[ ] −=

T T

T T

Y aaY Y * pq j$aa φ ||=

[ ] −

−=T T

jT

jT

Y aY $a

Y $aY Y

pq

pq

*||

||φ

φ

"ara Considerar este parámetro de control en el Qacobiano esnecesario aumentar una fila y una columna2 con la finalidad deconsiderar las variables \ pq y " pq.

&os nuevos t rminos de derivada parciales de filas y columnas son:

E0presión barra de envío:

====qpqp

n

kpkppp V Y V V Y V jQ P +=+ ∑


104/113

1q pq p

q * k

k pk p p p jQ ∑≠=

==

1

== !||" qT j

p

n

q * k

k pk p p p V Y $aV V Y V jQ P pqφ −

≠=

−+=+ ∑== !||" qT

j p

pq

p

pq

p V Y $a jV Q

j P

pqφ

φ φ

−−−=∂

∂+∂

∂

== ! q pq p pq

p

pq

p V Y jV Q

j P

−=∂∂+∂

∂φ φ

!!"" qq p p pq

p

pq

p jba jf $ jQ

j P

−+−=∂∂+∂

∂φ φ

QP ∂∂


105/113

[ ]q pq pq pq p pq

p

pq

p b f a jf b j$a$ jQ

j P

++−−=∂∂+∂

∂φ φ

( ) ( ) pq pq pq pq pq

p

pq

p f b$a j$b f aQ

j P

+−−=∂∂+∂

∂φ φ

pqq

p pq pq

pq

p H P

$b f a P

=∂∂=−=∂

∂δ φ

( ) pqq

p pq pq

pq

p J Q f b$aQ =∂∂=+−=∂

∂δ φ

E0presión barra de recepción:


106/113

==

1

== pqpq

n

p * k

k qk qqq V Y V V Y V jQ P +=+ ∑≠=

==

1

== !||" pT j

q

n

p * k

k qk qqq V Y $aV V Y V jQ P pqφ −

≠=

−+=+ ∑

== ! pqpq pq

q

pq

q V Y jV Q

j P

=∂∂+∂

∂φ φ

!!"" p pqq pq

q

pq

q jba jf $ jQ j P −+=∂∂+∂∂ φ φ

[ ]qq $$Q P ++∂+∂


107/113

[ ]q p pq pq pq pq

q

pq

q f ba jf b j$a$ jQ

j ++−−=∂+∂ φ φ

( ) ( )q pq pq pq p pq

q

pq

q f b$a j f a$bQ

j P

++−=∂∂+∂

∂φ φ

qp p

qq pq p

pq

q H P

f a$b P

−=∂∂−=−=∂

∂δ φ

qp p

qqqq p

pq

q J Q f b$aQ −=∂∂−=+=∂

∂δ φ


108/113


109/113

{ }!"!"!"||*||||

*qpqpqpqpppppp$p

pq b$a f jb f a$ jBGV +V P

−+++−=∂∂


110/113

|||||| q pq pq pq p pp pp p$ p p

jjV ∂

{ }!"||*||||

*q pq p pp p p

p

pq b f a$GV V V

P ++=∂∂

pq pp p p p

pq % GV V V

P +=

∂

∂ *||*||||

{ }== q pq p$q

pq V Y V j + P

−=∂

∂

δ

{ }!!"" qq p p$q

pq jba jf $ j + P

−+−=∂∂

δ

{ }!"!"$ pq fb$aj$bfa+

P +−−=∂

∂


111/113

{ }!! pq pq pq pq$q

f b$a j$b f a ∂δ

pq pq pqq

pq H $b f a P =−=∂∂δ

q j

pq pq

pq

$Y V V

P δ −=∂

∂=

||

{ } === |||||| q pq p

jq pq p$q

q

pq V Y V $V Y V +V V

P q ==∂

∂ − δ

{ }!!""|||| qq p p$qq

pq jba jf $ +V V

P −+=∂

∂

{ }!"|||| pq pq pq pq$q

pq $b f a j f b$a +V V

P −++=∂

∂


112/113

|| qV ∂

{ }==

q pq p$ pq

pq

V Y V j + P

−=∂∂φ

{ }!!"" qq p p$ pq

pq jba jf $ j + P

−+−=∂∂φ

pq pq pqqq

pq

% f b$aV V

P =++=∂

∂||||

{ }!" pq pq pq pq$ pq

pq f b f ja$ jb$a j + P

++−−=∂∂φ

ppq P P ∂∂


113/113

pqq

p pq pq

pq

pq H $b f a =∂=−=∂ φ φ

flujo de potencia 21

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