flujo de potencia de armonicos-matlab
TRANSCRIPT
-
La versin digital de esta tesis est protegida por la Ley de Derechos de Autor del
Ecuador.
Los derechos de autor han sido entregados a la ESCUELA POLITCNICA
NACIONAL bajo el libre consentimiento del (los) autor(es).
Al consultar esta tesis deber acatar con las disposiciones de la Ley y las
siguientes condiciones de uso:
Cualquier uso que haga de estos documentos o imgenes deben ser slo para
efectos de investigacin o estudio acadmico, y usted no puede ponerlos a
disposicin de otra persona.
Usted deber reconocer el derecho del autor a ser identificado y citado como el
autor de esta tesis.
No se podr obtener ningn beneficio comercial y las obras derivadas tienen
que estar bajo los mismos trminos de licencia que el trabajo original.
El Libre Acceso a la informacin, promueve el reconocimiento de la originalidad
de las ideas de los dems, respetando las normas de presentacin y de citacin
de autores con el fin de no incurrir en actos ilegtimos de copiar y hacer pasar
como propias las creaciones de terceras personas.
Respeto hacia s mismo y hacia los dems.
-
ESCUELA POLITCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y
ELECTRNICA
FLUJO DE POTENCIA DE ARMNICOS UTILIZANDO MATLAB
PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIN DEL TTULO DE
INGENIERO ELCTRICO
GONZALO ESTEBAN CONSTANTE FLORES [email protected]
DIRECTOR: DR. JESS AMADO JTIVA IBARRA [email protected]
Quito, septiembre 2014
-
DECLARACIN
Yo GONZALO ESTEBAN CONSTANTE FLORES, declaro bajo juramento que el
trabajo aqu descrito es de mi autora; que no ha sido previamente presentada
para ningn grado o calificacin profesional; y, que he consultado las referencias
bibliogrficas que se incluyen en este documento.
A travs de la presente declaracin cedo mis derechos de propiedad intelectual
correspondientes a este trabajo, a la Escuela Politcnica Nacional, segn lo
establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la
normatividad institucional vigente.
GONZALO ESTEBAN CONSTANTE FLORES
-
CERTIFICACIN
Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por GONZALO ESTEBAN
CONSTANTE FLORES, bajo mi supervisin.
DR. JESS JTIVA IBARRA
Director de Proyecto
-
AGRADECIMIENTO
Al Doctor Jess Jtiva, director de este proyecto, por su amistad, sus valiosas
enseanzas y toda la motivacin y apoyo brindado en estos ltimos aos.
A la Escuela Politcnica Nacional y mis maestros por haber sido parte
fundamental de mi formacin personal y acadmica.
A mis amigos, con ustedes comparto gratos recuerdos pues han sido quienes con
su alegra, su compaa y ayuda supieron hacer ms llevadero todo este tiempo
en la universidad.
A las personas ms importantes, mi familia, mi madre, por su amor, sus consejos,
su sacrificio, por siempre llenarme de fuerza, por ser siempre la persona en la que
puedo contar, porque s que en usted puedo encontrar las palabras que necesito.
A mi padre, por haber sido un ejemplo en mis primeros aos, de trabajo, de amor
por la familia, por su cuidado, su preocupacin y por siempre darme nimo. A mis
hermanos, por ser la motivacin y apoyo para ser mejor cada da. A mi esposa y
compaera, Gaby, gracias amor por acompaarme a lo largo de este camino, por
tu amor, tu cario, tu apoyo, tu fortaleza, pero sobre todo por demostrarme que
juntos los problemas son ms pequeos.
-
DEDICATORIA
A mis padres, Eulalia y Gonzalo
A mis hermanos, Santiago y Gabriela
A mi esposa, Gaby
A mi hija
-
I
CONTENIDO
CONTENIDO ............................................................................................................ I
RESUMEN .............................................................................................................. V
PRESENTACIN ................................................................................................... VI
CAPTULO 1 ........................................................................................................... 1
INTRODUCCIN .................................................................................................... 1
1.1 JUSTIFICACIN DEL PROYECTO ............................................................. 1
1.2 OBJETIVOS ................................................................................................. 2
1.2.1 OBJETIVO GENERAL ........................................................................... 2
1.2.2 OBJETIVOS ESPECFICOS .................................................................. 2
1.3 ALCANCE .................................................................................................... 3
1.4 FLUJOS DE POTENCIA DE ARMNICOS ................................................. 3
1.4.1 MTODOS DE SOLUCIN DE PROPAGACIN DE ARMNICOS[1] . 4
1.4.1.1 Mtodo Directo ................................................................................. 4
1.4.1.2 Mtodo iterativo de anlisis de armnicos ....................................... 5
1.4.1.3 Mtodo de Newton ........................................................................... 5
1.4.1.4 Mtodo de acoplamiento de matrices de admitancias de barra [4] .. 7
CAPTULO 2 ........................................................................................................... 9
FUENTES DE DISTORSIN ARMNICA .............................................................. 9
2.1 MODELACIN DE COMPONENTES DEL SISTEMA ELCTRICO ............ 9
2.1.1 TRANSFORMADORES ......................................................................... 9
2.1.2 GENERADORES SINCRNICOS ....................................................... 11
2.1.3 LNEAS DE TRANSMISIN ................................................................ 13
2.1.4 CARGAS CONVENCIONALES [9] ....................................................... 15
2.1.5 COMPENSADORES Y FILTROS PASIVOS ........................................ 17
2.2 MODELACIN DE ELEMENTOS GENERADORES DE ARMNICOS .... 18
2.2.1 CARGAS NO LINEALES CLSICAS ................................................... 18
2.2.1.1 Transformadores ............................................................................ 18
2.2.1.2 Motores de Induccin ..................................................................... 20
-
II
2.2.1.3 Hornos de arco ............................................................................... 21
2.2.1.4 Lmparas de descarga .................................................................. 24
2.2.2 CARGAS CON CONTROL ELECTRNICO DE POTENCIA [11]........ 25
2.2.2.1 Convertidores [13] .......................................................................... 25
2.2.2.2 Compensadores estticos de potencia reactiva (SVC) [7] .............. 27
2.2.2.3 Inversores para generacin distribuida [16] ................................... 31
CAPTULO 3 ......................................................................................................... 32
ANLISIS DE FORMAS DE ONDA DE ARMNICOS ........................................ 32
3.1 SERIES DE FOURIER ............................................................................... 32
3.2 TRANSFORMADA DE FOURIER [17] ....................................................... 34
3.3 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT) [7], [17] .................... 34
3.4 TRANSFORMADA RPIDA DE FOURIER (FFT) [17], [18] ....................... 35
3.5 CONCEPTOS BSICOS ........................................................................... 37
3.5.1 VALOR EFICAZ (VRMS) ........................................................................ 37
3.5.2 VALOR MEDIO (VDC) ........................................................................... 37
3.5.3 DISTORSIN ARMNICA TOTAL (THD) [11] ..................................... 37
3.5.4 DISTORSIN TOTAL DE LA DEMANDA (TDD) [9] ............................. 38
3.5.5 FACTOR DE PICO (Fp) ....................................................................... 39
3.5.6 FACTOR DE FORMA (Ff) .................................................................... 39
3.5.7 FACTOR DE RIZADO (Fr) ................................................................... 39
3.5.8 FACTOR K Y FACTOR DE PRDIDAS ARMNICAS ( FHL ) ............ 39
3.5.9 SECUENCIA DE FASE DE ARMNICOS [19] .................................... 40
3.6 CLCULO DE POTENCIA EN SISTEMAS NO SINUSOIDALES [20] ....... 42
3.6.1 POTENCIA ACTIVA MEDIA................................................................. 42
3.6.2 POTENCIA DE DISTORSIN.............................................................. 43
3.6.3 FACTOR DE POTENCIA [19] .............................................................. 43
3.7 EFECTO DE CORRIENTES ARMNICAS EN SISTEMAS ELCTRICOS
DE POTENCIA [11] ............................................................................................ 44
3.7.1 GENERALIDADES ............................................................................... 44
3.7.2 CABLES Y CONDUCTORES [22] ........................................................ 45
3.7.3 TRANSFORMADORES ....................................................................... 45
3.7.4 EQUIPO DE MANIOBRA Y PROTECCIN ......................................... 46
-
III
3.7.5 MOTORES Y GENERADORES ........................................................... 46
3.7.6 EQUIPOS ELECTRNICOS ............................................................... 47
3.8 RESPUESTA DE SISTEMAS ELCTRICOS A CORRIENTES
ARMNICAS ..................................................................................................... 47
3.8.1 RESONANCIA SERIE .......................................................................... 47
3.8.2 RESONANCIA PARALELO ................................................................. 48
CAPTULO 4 ......................................................................................................... 49
PROGRAMA DE FLUJO DE POTENCIA DE ARMNICOS EN MATLAB .......... 49
4.1 ESTUDIO DE FLUJOS DE POTENCIA [23] .............................................. 49
4.2 PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA [23] .......................................... 49
4.3 MTODO DE NEWTON RAPHSON ....................................................... 50
4.4 SOLUCIN DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL MTODO DE
NEWTON RAPHSON ..................................................................................... 52
4.4.1 CLCULO DEL JACOBIANO............................................................... 55
4.4.1.1 Elementos fuera de las diagonales ................................................ 55
4.4.1.2 Elementos de las diagonales ......................................................... 56
4.4.1.3 Optimizacin del Clculo del Jacobiano ......................................... 56
4.5 DESCRIPCIN DEL PROGRAMA HPFepn .............................................. 57
4.5.1 ALGORITMO PARA RESOLVER FLUJOS DE POTENCIA ................ 59
4.5.2 ALGORITMO DE FLUJOS DE POTENCIA DE ARMNICOS ............. 60
CAPTULO 5 ......................................................................................................... 62
APLICACIN DEL PROGRAMA EN LA PROPAGACIN DE ARMNICOS ..... 62
5.1 APLICACIN A SISTEMA DE 2 BARRAS [5] ............................................ 62
5.2 APLICACIN A SISTEMA IEEE DE 14 BARRAS [9]................................. 64
5.2.1 ANLISIS DE RESULTADOS .............................................................. 67
5.3 APLICACIN A SISTEMA DE SUBTRANSMISIN DE LA EMPRESA
ELCTRICA DE COTOPAXI ELEPCO S.A. ...................................................... 68
5.3.1 ANLISIS DEL SISTEMA CON GENERACIN LOCAL ...................... 69
5.3.2 ANLISIS DEL SISTEMA SIN GENERACIN LOCAL CONECTADA 77
CAPTULO 6 ......................................................................................................... 80
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ........................................................ 80
-
IV
7.1 CONCLUSIONES ...................................................................................... 80
7.2 RECOMENDACIONES .............................................................................. 81
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ..................................................................... 83
ANEXOS ............................................................................................................... 86
-
V
RESUMEN
En este proyecto se presenta la modelacin y simulacin de los componentes de
un sistema elctrico para determinar el impacto de la propagacin de armnicos
en estado estable desde las cargas no lineales hacia las dems barras del
sistema.
La simulacin del flujo de potencia de armnicos se realiza en el dominio de la
frecuencia, por lo que los modelos presentados son vlidos para frecuencias
desde la fundamental hasta valores cercanos a 3000 Hz.
HPFepn Harmonic Power Flow Escuela Politcnica Nacional es un programa
desarrollado con programacin estructurada en la plataforma y lenguaje MATLAB,
para resolver flujos de potencia aplicando el mtodo de Newton Raphson y
flujos de potencia de armnicos utilizando el mtodo de inyeccin de corrientes
para cargas no lineales y el mtodo iterativo para el efecto de saturacin de
transformadores.
El mtodo de inyeccin de corrientes ha sido el ms utilizado para la
representacin de cargas no lineales, pues las cargas no lineales son modeladas
como potencia constante para el flujo de potencia y fuentes de corrientes para el
flujo de potencia armnico. La versatilidad de este mtodo se debe a que la
magnitud y ngulo de la corriente armnica pueden ser calculados con su
espectro armnico tpico y su valor a frecuencia fundamental.
El software presentado se aplica en dos sistemas de prueba y en el sistema de
Subtransmisin de la Empresa Elctrica Cotopaxi. En el ltimo se comparan los
resultados obtenidos con varias mediciones de campo.
-
VI
PRESENTACIN
El anlisis de propagacin de corrientes armnicas es una herramienta
fundamental de planificacin, diseo y operacin de sistemas elctricos.
El presente proyecto tiene como finalidad desarrollar un programa bsico para el
anlisis de propagacin de armnicos, para lo cual se han modelado los
componentes del sistema elctrico y su comportamiento para frecuencias distintas
a la fundamental.
El programa HPFepn simula la propagacin de armnicos en sistemas elctricos
por el mtodo de inyeccin de corrientes para cargas independientes del voltaje y
el mtodo iterativo para transformadores con ncleos ferromagnticos utilizando
la plataforma y lenguaje MATLAB.
En el Captulo 1 se presenta una introduccin general, los objetivos del proyecto y
su alcance, a la vez que se revisan los mtodos de anlisis de propagacin de
armnicos en el dominio de la frecuencia.
En el Captulo 2 se detalla la caracterizacin de las principales cargas no lineales
que aportan corrientes armnicas al sistema elctrico de potencia y la modelacin
de elementos no lineales y red de transmisin para el estudio de flujo de potencia
de armnicos.
En el Captulo 3 se muestra los conceptos para el anlisis de armnicos, series de
Fourier, transformada rpida de Fourier y transformada discreta de Fourier, como
herramientas para modelar y simular seales no lineales. Adems se detallan
conceptos bsicos de distorsin armnica, factor de potencia de distorsin y el
efecto de corrientes y voltajes armnicos en los componentes de sistemas
elctricos.
En el Captulo 4 se repasan los conceptos bsicos del anlisis de flujos de
potencia mediante el mtodo de Newton - Raphson formal y se presentan los
algoritmos utilizados para el programa HPFepn para la resolucin del flujo de
potencia y para la simulacin del flujo de potencia armnico.
En el Captulo 5 se muestran los resultados obtenidos en 3 sistemas de prueba,
un sistema de 2 barras, el sistema IEEE de 14 barras. Se comparan los
-
VII
resultados obtenidos para el Sistema de Subtransmisin de la ELEPCO con
mediciones en las subestaciones El Calvario, Illuchi 1 e Illuchi 2.
En el Captulo 6 se presentan las conclusiones y recomendaciones obtenidas del
proyecto.
-
1
1 CAPTULO 1
INTRODUCCIN
Una de las mayores preocupaciones en el anlisis de calidad de energa en
sistemas elctricos es la distorsin de voltajes y corrientes causados por
armnicos. Las distorsiones en las formas de onda se deben a las caractersticas
no lineales de las cargas presentes en el sistema.
Existen varias tcnicas para analizar la propagacin de corrientes armnicas en
las redes, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia.
Siendo el anlisis en el dominio de la frecuencia el ms utilizado, gracias a la
facilidad y velocidad en la simulacin en programas computacionales. La tcnica
ms utilizada para la prediccin de las formas de onda distorsionadas en las
barras y ramas del sistema es la resolucin de flujos de potencia armnicos, la
cual toma como base la resolucin del flujo de potencia a frecuencia fundamental.
Una vez halladas las formas de onda, se encuentran los ndices de distorsin
armnica que permiten conocer de manera rpida la situacin del sistema.
1.1 JUSTIFICACIN DEL PROYECTO
El aumento de cargas no lineales basadas en electrnica de potencia, ha causado
que en los ltimos aos se denote la importancia de los estudios de flujos de
potencia de armnicos, en razn de que los efectos de estas cargas en los
sistemas elctricos causan problemas en la operacin de estado estable y en
aparatos de medicin y proteccin.
La presencia de formas de onda distorsionadas de voltaje y corriente son
expresados en trminos de frecuencias de armnicos, que son mltiplos enteros
de la frecuencia nominal. Esta distorsin se debe al uso de dispositivos de estado
slido y a la gran presencia de otras cargas no lineales, lo que ha obligado a
desarrollar herramientas computacionales que faciliten el anlisis de sus efectos
en prdidas de potencia activa y reactiva, deformaciones de formas de onda de
voltaje y corriente, dimensionamiento de equipo e indicadores de calidad de
energa.
-
2
Un buen estudio del comportamiento de armnicos debe ser entendido desde dos
puntos de vista: el primero es la caracterizacin de los componentes no lineales
de sistemas de potencia y sus posibles efectos, cuya dificultad est dada por la
precisin con la que se puede caracterizar estas fuentes. El segundo punto de
vista es la modelacin de los componentes de la red y su comportamiento en
frecuencias armnicas.
Una vez entendido esto, el anlisis de flujos de potencia de armnicos se lo
realiza preliminarmente mediante una caracterizacin y modelizacin de los
componentes no lineales. Para el anlisis propiamente dicho, una alternativa es
utilizar un programa de flujos de potencia que resuelva el sistema de ecuaciones
no lineales para distintas frecuencias, con un algoritmo iterativo, que para el caso
de este proyecto ser el de Newton Raphson. Con los resultados obtenidos del
flujo de potencia de armnicos, se pueden determinar formas de onda de voltaje y
corriente, valores de magnitud y fase de componentes armnicos, distorsin
armnica total, presencia de potencia reactiva y de distorsin.
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 OBJETIVO GENERAL
- Desarrollar un programa para el anlisis de flujos de potencia de armnicos
en sistemas elctricos de potencia en un ambiente computacional de
MATLAB.
1.2.2 OBJETIVOS ESPECFICOS
- Caracterizar las cargas no lineales: convertidores estticos, hornos de
arco, inversores para generacin distribuida, convertidores con control por
modulacin de ancho de pulso (PWM) y lmparas de descarga mediante
su contenido armnico.
- Modelar los componentes de un sistema de potencia: generadores,
transformadores, lneas de transmisin y cargas, para anlisis de
armnicos.
-
3
- Desagregar los componentes armnicos de cargas no lineales mediante la
Transformada de Fourier.
- Desarrollar un algoritmo de Newton Raphson de flujos de potencia de
armnicos en MATLAB.
- Aplicar el programa de flujo de potencia de armnicos desarrollado en
MATLAB a sistemas elctricos de potencia de prueba del IEEE y al sistema
elctrico de subtransmisin de la Empresa Elctrica de Cotopaxi.
- Contrastar los resultados obtenidos del programa de flujo de potencia de
armnicos aplicado al sistema de transmisin de la Empresa Elctrica
Cotopaxi con mediciones realizadas en la subestacin Illuchi.
1.3 ALCANCE
El presente proyecto consiste en primer lugar en una descripcin de las
caractersticas de cargas no lineales: convertidores estticos, hornos de arco,
inversores para generacin distribuida, controladores por modulacin de ancho de
pulso (PWM) y lmparas de descarga, el aporte de corrientes armnicas a la red y
el efecto de estas corrientes a los dems componentes del sistema elctrico.
Adems, el proyecto considera la modelacin de los componentes de los sistemas
elctricos como generadores, transformadores, lneas de transmisin y cargas no
lineales para el anlisis de flujos de potencia de armnicos.
Finalmente, tomando como base el algoritmo iterativo de Newton Raphson, se
desarrolla un programa bsico de flujos de potencia de armnicos en MATLAB, el
cual es utilizado para el anlisis de formas de onda de voltaje y corriente,
espectros de voltaje y corriente, y distorsin armnica total. El programa es
aplicado en el sistema de subtransmisin de la Empresa Elctrica de Cotopaxi,
con las mediciones en las centrales hidroelctricas Illuchi 1 e Illuchi 2.
1.4 FLUJOS DE POTENCIA DE ARMNICOS
El anlisis de armnicos en sistemas de potencia sirve para determinar el impacto
de las cargas que producen distorsiones sobre el resto de equipos. Este anlisis
se utiliza en el diseo de equipos, verificacin del cumplimiento de estndares de
-
4
calidad de energa, criterios de operacin y planificacin, entre otros. En los
ltimos aos han existido grandes avances en la modelacin y simulacin de
propagacin de corrientes armnicas sistemas elctricos.
1.4.1 MTODOS DE SOLUCIN DE PROPAGACIN DE ARMNICOS[1]
Para determinar el comportamiento de la propagacin de corrientes armnicas en
sistemas de potencia existen tcnicas en el dominio del tiempo, de la frecuencia,
mtodos hbridos y mediante la transformada de Hartley.
Debido a que el mtodo utilizado en este proyecto es aquel del dominio de la
frecuencia, se presenta un resumen de sus alternativas ms desarrolladas.
1.4.1.1 Mtodo Directo
La respuesta de frecuencia en una barra de un sistema de potencia se puede
obtener mediante la inyeccin de una corriente de valor 1 por unidad en un rango
de frecuencias discretas. El proceso est basado en la solucin de la ecuacin de
red.
[] = ( 1.1 )
Siendo:
[]: Matriz de admitancias de barra
V: Vector de voltaje de nodo
: Vector de inyeccin de corrientes con un solo elemento diferente de cero
Al resolver la ecuacin ( 1.1 ) se obtiene el vector de voltajes de nodo para una
inyeccin de corriente a una frecuencia dada. Este mtodo es el ms efectivo
para determinar condiciones de resonancia serie o paralelo y para disear filtros
pasivos.
En redes con pocas cargas que inyectan corrientes armnicas este mtodo
representa una buena aproximacin a la condicin del sistema. Sin embargo, en
sistemas con varias fuentes de distorsin este mtodo es poco recomendado
debido a que existe las corrientes armnicas se propagan en todo el sistema
-
5
distorsionando los voltajes de las barras y cambiando el espectro armnico de
una carga no lineal. Por lo que se desarroll el mtodo iterativo para considerar
las distorsiones armnicas en los voltajes de las barras.
1.4.1.2 Mtodo iterativo de anlisis de armnicos
Este mtodo nace con la finalidad de considerar la variacin de la inyeccin de
corrientes armnicas con respecto a variaciones o distorsiones de voltaje. En este
mtodo se debe considerar que las fuentes de armnicos se modelan como
fuentes de corriente controladas por voltaje, representada para cada iteracin
como una fuente de corriente fija.
Previo al anlisis de armnicos se debe resolver el flujo de potencia a frecuencia
fundamental para hallar la primera estimacin de los voltajes en todas las barras,
estos voltajes no tienen distorsin, adems se debe calcular la matriz de
admitancias de barra para todas las frecuencias, con los modelos caractersticos
de todas las cargas.
Con los resultados del flujo de potencia se calculan las corrientes en las cargas no
lineales a frecuencia fundamental, que, junto al espectro tpico de las cargas se
puede calcular la primera aproximacin de las fuentes de corriente para cada
frecuencia armnica.
Se resuelve la expresin ( 1.1 ), y estos voltajes se utilizan para calcular las
corrientes armnicas de la siguiente iteracin. El proceso iterativo termina una vez
que las variaciones de corriente entre la iteracin actual y la anterior sean muy
pequeas.
La desventaja que presenta este mtodo es su caracterstica lenta de
convergencia. Para mejorar la caracterstica de convergencia de este mtodo se
han desarrollado algoritmos de doble iteracin [2].
1.4.1.3 Mtodo de Newton
El mtodo de Newton considera la dependencia de la potencia de la carga con
respecto al voltaje. La solucin por este mtodo se basa en proceso de
-
6
linealizacin alrededor de un punto de operacin, que debe ser bastante cercano
al punto de operacin real.
El proceso de linealizacin consiste en hallar equivalentes de Norton para
frecuencias armnicas, considerando pases desbalanceadas y las caractersticas
de los elementos.
Los principales pasos a seguir para aplicar el mtodo de Newton son los
siguientes:
1. Resolver el flujo de potencia a frecuencia fundamental.
2. Construir la matriz de admitancias de barra para todas las frecuencias.
3. Linealizar cada componente para valores cercanos a un punto de
operacin y como se indica en las ecuaciones ( 1.2 ) y ( 1.3 ).
= ( 1.2 )
= ( 1.3 )
Para cada funcin no lineal, la ecuacin linealizada queda expresada como
se muestra en la ecuacin ( 1.4 ).
= [] ( 1.4 )
Siendo [] el Jacobiano que relaciona voltajes y corrientes, y cuya estructura es
igual a la de una matriz de Toeplitz como se detalla en la referencia [3].
Reemplazando las ecuaciones ( 1.2 ) y ( 1.3 ) en ( 1.4 ) de obtiene la
ecuacin ( 1.5 ) .
= [] + ( 1.5 )
El vector corresponde al equivalente Norton para los elementos no
lineales y representa el proceso de linealizacin.
= [] ( 1.6 )
4. Combinando los elementos lineales y no lineales de la red a travs de la
matriz de admitancias de barra unificada (elementos lineales y
equivalentes de Norton) se tiene la ecuacin ( 1.7 ).
-
7
= [] ( 1.7 )
Donde:
: Vector de incrementos de corriente con la contribucin de elementos
no lineales.
V: Vector de incrementos de voltaje
5. Resolver la ecuacin ( 1.7 ) para calcular los voltajes armnicos.
6. Comprobar si se cumple el criterio de convergencia, caso contrario repetir
desde el paso 3.
La caracterstica de este mtodo es que tiene una metodologa robusta y que
tiene buena caracterstica de convergencia, adems que en los ltimos aos se
han desarrollado varios modelos detallados de todos los componentes de la red.
1.4.1.4 Mtodo de acoplamiento de matrices de admitancias de barra [4]
Este mtodo consiste en acoplar las matrices de admitancia de barra de
secuencia positiva negativa y cero en una misma ecuacin. Por ejemplo los
convertidores AC/DC pueden ser modelados utilizando este mtodo como se
muestra en la ecuacin ( 1.8 ).
= + + 0 ( 1.8 )
Donde:
: Corriente en el lado de AC del convertidor
V: Voltaje en el lado AC del convertidor
: Voltaje interno del motor
La linealidad de este mtodo est dada en que las matrices de admitancias de las
tres secuencias son independientes del del convertidor, por lo que se convierte
en un proceso no iterativo.
Para utilizar este mtodo primero se resuelve el flujo de potencia a frecuencia
fundamental, considerando los convertidores como cargas de potencia constante.
Con los resultados del flujo se calculan los ngulos de disparo y las fuentes de
-
8
voltaje DC de las cargas. Conocido esto se calculan los elementos de las matrices
de admitancias, mientras que el trmino 0 se conoce como las fuentes de
corriente.
El resto de la red tiene un comportamiento lineal por lo que puede ser modelado
como una matriz de admitancias armnicamente desacoplada como indica la
ecuacin
[[]5[]7
] = [[5] [7]
] [[]5[]7
] ( 1.9 )
Donde:
[]: Vector de inyeccin de corrientes en barras (incluyendo las barras
con los controladores de DC)
: Orden del armnico
Como las ecuaciones ( 1.8 ) y ( 1.9 ) son lineales pueden ser resueltas sin
ninguna iteracin.
-
9
2 CAPTULO 2
FUENTES DE DISTORSIN ARMNICA
2.1 MODELACIN DE COMPONENTES DEL SISTEMA ELCTRICO
2.1.1 TRANSFORMADORES
El modelo generalizado de un transformador con cambiadores de fase 1 y 2 e
impedancias a los lados de alto y bajo voltaje 1 y 2 se muestra en la Figura 2.1,
ntese que se desprecia la rama de magnetizacin del transformador debido a
que no es significativa cuando el transformador est operando en una
cargabilidad cercana a la nominal de acuerdo a la referencia [5].
En los sistemas elctricos de potencia los transformadores cumplen la funcin de
controlar los niveles de voltaje y esto a su vez permite controlar el flujo de
potencia activa y reactiva gracias a la presencia de mediante los cambiadores de
fase y taps respectivamente.
111 jxrz 11 v
222 jxrz 22 v 2211 n:n
Figura 2.1. Modelo de un transformador con taps
Cuando un transformador se encuentra operando en un valor cercano a su
cargabilidad mxima se puede despreciar la rama de magnetizacin del circuito
equivalente, pues la corriente de magnetizacin es muy pequea comparada con
la corriente de carga.
Para el anlisis de la solucin de flujos de potencia a frecuencia fundamental se
considera el modelo del transformador, el cual presenta una impedancia serie y
dos admitancias paralelo todas estas dependientes de la posicin de los taps del
transformador.
-
10
En la Figura 2.2 se ilustra el modelo de un transformador con taps y
cambiadores de fase.
11v 2v 2y
2211nn
ynnn )(112222 ynnn )( 221111
Figura 2.2. Modelo de un transformador con taps y cambio de fase
Donde:
=1
12 2 + 2
2 1 ( 2.1 )
Para el anlisis de flujos de potencia de armnicos se debe de tomar en cuenta
que la reactancia del transformador depende de la frecuencia como se indica en
la ecuacin ( 2.2 ), mientras que la resistencia permanece constante para todas
las frecuencias.
2 = 2 ( 2.2 )
Adicionalmente se debe considerar el desfasamiento angular de 30, el cual
depende de la secuencia del armnico y grupo de conexin del transformador (Y
o ). El desfasamiento angular es muy representativo en propagacin de
armnicos pues puede llevar a la cancelacin de los mismos en un sistema
elctrico.
Los armnicos de orden 3n tambin conocidos como triplens son armnicos de
secuencia cero por lo que el debido al modelo del transformador en esta
-
11
secuencia para los grupos de conexin delta delta, Y delta o delta - Y
funcionan como una trampa de armnicos.
En la Figura 2.3 se muestra las redes de secuencia cero de los grupos de
conexin ms comunes de transformadores trifsicos.
Figura 2.3. Redes de secuencia cero de transformadores [6]
2.1.2 GENERADORES SINCRNICOS
Los generadores sincrnicos son modelados como una resistencia en serie con
una reactancia variable en funcin de la frecuencia. En muchos casos se
desprecia el valor de la resistencia del generador, pues a frecuencia fundamental,
esta es mucho ms pequea que la reactancia.
Los generadores sincrnicos son convertidores de frecuencia entre el rotor y el
estator dada por el nmero de polos; esta conversin genera armnicos, sin
embargo es despreciada debido a que no es significativa.
-
12
Para el anlisis de armnicos se debe considerar la reactancia de secuencia
negativa de los generadores [7].
Por definicin, la reactancia de secuencia negativa a frecuencia fundamental est
dada por la ecuacin ( 2.3 ).
2 =[
" + "]
2 ( 2.3 )
Siendo:
2: Reactancia de secuencia negativa a frecuencia fundamental
": Reactancia subtransitoria de eje directo
": Reactancia subtransitoria de eje en cuadratura
Dado que la reactancia depende directamente de la frecuencia, el modelo de un
generador sincrnico en funcin de la frecuencia est dado por la ecuacin ( 2.4 ).
2 = 2 ( 2.4 )
La resistencia de los generadores sincrnicos en funcin de la frecuencia viene
dada por la ecuacin ( 2.5 ).
= ( 2.5 )
La Figura 2.4 muestra el modelo de generador sincrnico para frecuencia
fundamental y frecuencias armnicas.
Rh1/2
jhX2
a) Frecuencia fundamental b) Frecuencias armnicas
Figura 2.4. Modelo de generador sincrnico
-
13
2.1.3 LNEAS DE TRANSMISIN
Para el anlisis de flujos de potencia de armnicos, las lneas de transmisin son
representadas por un modelo de parmetros distribuidos tanto para la
frecuencia fundamental como para frecuencias armnicas. Los factores ms
importantes que deben considerarse son: la longitud de la lnea y el efecto piel.
Se recomienda utilizar este modelo para distancias mayores que el 5% de la
longitud de onda del mayor armnico a estudiarse, considerando que = / ,
donde es la velocidad de la luz ( = 3 108 [/]) y la frecuencia del
armnico.[7]
La Figura 2.5 muestra el circuito equivalente de una lnea larga, donde Z y Y
son la impedancia de la rama serie y la admitancia paralelo del circuito nominal
respectivamente y es la longitud de la lnea.
YZ
YZlY
)2/tanh(
YZ
YZlZ
)(senh
YZ
YZlY
)2/tanh(
Figura 2.5. Modelo de una lnea de transmisin larga
Estos parmetros vienen dados por las expresiones ( 2.6 ) y ( 2.7 ):
= + ( 2.6 )
=
( 2.7 )
Donde:
: Resistencia de la lnea de transmisin por unidad de longitud
: Reactancia inductiva de la lnea de transmisin por unidad de longitud
: Reactancia capacitiva de la lnea de transmisin por unidad de longitud
-
14
: Nmero de armnico
Para considerar el efecto piel existen varias aproximaciones, para el presente
proyecto se han considerado la alternativa presentada por la lectricit de France
(EDF) como se indica en la ecuacin ( 2.8 ) y la aproximacin a las ecuaciones
de Carson indicado en las expresiones ( 2.9 ) y ( 2.10) de acuerdo a lo que
presentan las referencias [7] y [8] respectivamente.
= 1 + 0,646 2
192 + 0,518 2 ( 2.8 )
= (0,035 2 + 0,938) < 2,4 ( 2.9 )
= (0,35 + 0,3) 2,4 ( 2.10 )
= 0,05012
Donde:
: Resistencia DC de la lnea de transmisin en ohmios por kilometro
: Frecuencia en Hz
: Permeabilidad relativa del material del conductor
: Orden del armnico
La Figura 2.6 ilustra el efecto piel propuesto por EDF presentado en este
proyecto.
Figura 2.6. Efecto piel en lneas de transmisin
5 10 15 20 25 30 35 40 45 501
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
Armnico
Rac/R
dc
-
15
2.1.4 CARGAS CONVENCIONALES [9]
El problema del modelamiento de cargas en un sistema de potencia se debe a la
variabilidad de su comportamiento ante variaciones de voltaje o frecuencia.
Adems, su dificultad viene dada por la composicin de la carga (motores, cargas
resistivas, transformadores, entre otras), en la Tabla 2.1. se muestran los
distintos modelos de carga para el anlisis de armnicos.
Tabla 2.1. Modelos de cargas convencionales
MODELO PARMETROS
Modelo 1. Serie
R
jhX
= 2
2 + 2
= 2
2 + 2
Modelo 2. Paralelo
jhXR
=2
=2
Modelo 3. Efecto Piel
jhX(h)R(h)
() =2
()
() =2
()
() = 0,1 + 0,9
-
16
Modelo 4. Motor de Induccin ms
Resistencias
jhX1R2
Resistiva Motora
2 =2
(1 )
1 =2
1
: Factor de instalacin (1,2)
1: Factor de severidad (8)
: Fraccin de la carga motora
Modelo 5. CIGRE/EDF
jhX1
R2
jhX2
Resistiva Motora
2 =2
(1 )
2 = 0,073 2
1 =2
(6,7 0,74)
: Fraccin de la carga motora
Modelo 6. Cargas de Transformadores y
Amortiguamiento de Motores
R2
jhX2
R1
jhX1
Resistiva Motora
2 =2
(1 )
1 =2
1
2 = 0,1 2
1 =13
Fuente: IEEE 2007 Tutorial on Harmonic Modelling and Simulation [9]
El cuarto modelo trata de representar en una sola carga concentrada una gran
cantidad de motores para lo cual se utiliza el facto de instalacin , este factor
representa la relacin entre la potencia aparente nominal y la potencia que
consumen dichos motores.
-
17
El factor de severidad 1 es igual a la relacin entre la corriente de rotor
bloqueado sobre la corriente nominal o es igual a la potencia de rotor bloqueado
sobre la potencia nominal como se indica
1 =
=
( 2.11 )
En el cuarto y quinto modelo, la fraccin de la carga motora se debe aplicar
cuando se realiza una medicin de potencia a toda la carga (cargas lineales,
motores, etc.). Este factor representa la relacin de potencia de los motores sobre
la potencia total de la carga. Cuando la constante es muy grande se
recomienda modelar a la carga con los modelos 5 y 6.
2.1.5 COMPENSADORES Y FILTROS PASIVOS
El uso de filtros pasivos en los sistemas elctricos es muy comn para controlar la
propagacin de corrientes armnicas. Estos filtros son generalmente arreglos en
serie de capacitores e inductores como se muestra en la Figura 2.7.
El principio de funcionamiento de estos filtros es bsicamente que el filtro deber
presentar un camino de baja impedancia para el armnico al cual fue calculado,
por lo que lgicamente deber ser ubicado lo ms cercano posible a la fuente de
distorsin.
R
jhXl
-jXc h
Figura 2.7. Modelo de un filtro pasivo R - L C serie
Para la simulacin se considera a estos elementos como cualquier elemento en
derivacin, es decir se desprecia el efecto piel de la resistencia, la reactancia
-
18
inductiva es directamente dependiente del orden del armnico y la reactancia
capacitiva es inversamente proporcional a la frecuencia del armnico como se
indica en las ecuaciones ( 2.12 ) y ( 2.13 ).
=
1 ( 2.12 )
=
1
( 2.13 )
2.2 MODELACIN DE ELEMENTOS GENERADORES DE ARMNICOS
2.2.1 CARGAS NO LINEALES CLSICAS
2.2.1.1 Transformadores
Las corrientes armnicas producidas en los transformadores en un sistema
elctrico se presentan debido al comportamiento no lineal del ncleo
ferromagntico cuando se encuentran cerca de los lmites de saturacin.
La saturacin simtrica del ncleo del transformador genera usualmente
armnicos impares, mientras que una saturacin asimtrica genera armnicos
pares e impares. Adicionalmente, los armnicos producidos por un transformador
tambin dependen de la estructura y disposicin de columnas y devanados.
Existen varios modelos para la representacin de armnicos, siendo los ms
comunes el modelo equivalente, modelo de la ecuacin diferencial y el modelo
basado en la dualidad entre circuitos magnticos y elctricos, este ltimo es el
utilizado en el desarrollo del presente proyecto.
El punto de partida para hallar las corrientes armnicas es el flujo de potencia, el
voltaje encontrado sirve como una aproximacin inicial del flujo magntico a
travs del ncleo del transformador.
El voltaje y flujo magntico estn relacionados por la siguiente expresin:
=
( 2.14 )
Se puede expresar el fasor de voltaje como:
() = || (1 + ) ( 2.15 )
-
19
Mientras que el flujo magntico
() =||
1(1 + )
( 2.16 )
Una vez conocido el flujo magntico () mediante el lazo de histresis se genera
punto por punto la curva de corriente de excitacin (), la corriente es simtrica
cada medio ciclo.
La Figura 2.8 muestra la obtencin de la corriente de excitacin a partir del flujo
magntico.
Figura 2.8. Corriente de excitacin en un transformador
Fuente: Dynamic Simulation of Electric Machinery: Using MATLAB & Simulink [10]
En caso de no conocer el lazo de histresis, se puede utilizar la relacin de
concatenaciones de flujo () con la corriente (), para optimizar la generacin
de la corriente de excitacin se puede aproximar la curva vs. con una
aproximacin lineal a trozos. Descomponiendo la curva distorsionada de corriente
en Series de Fourier mediante la Transformada Rpida de Fourier FFT, se tiene
como resultado las componentes del contenido armnico de la corriente como se
indica:
-
20
() = sen(1
=1
+ ) ( 2.17 )
Una vez encontradas las corrientes armnicas en todo el sistema y calculada la
matriz de admitancias de barras para cada armnico se encuentran los voltajes y
ngulos de las barras del sistema. Se calcula una funcin ms aproximada para el
flujo magntico como una expansin en Series de Fourier:
() = ||
(1
=1
+ ) ( 2.18 )
Con el flujo conocido se repite el proceso hasta que el error de corrientes
armnicas del proceso iterativo sea menor que un 5%.
2.2.1.2 Motores de Induccin
Las principales causas para que los motores de induccin generen corrientes
armnicas fundamentalmente se deben a pequeas asimetras en las ranuras del
estator o rotor, irregularidades en los devanados trifsicos y el comportamiento no
lineal del hierro en el estator y el rotor. Estos armnicos inducen fuerzas
electromotrices en los devanados del estator a una frecuencia igual a la relacin
entre la velocidad y la longitud de onda. La distribucin de fuerzas
magnetomotrices resultantes en la mquina produce armnicos que son funcin
de la velocidad del rotor.
Las corrientes armnicas tienen cierta secuencia de fases dependiendo de su
orden, esto influye directamente en el sentido de giro del flujo magntico. Los
armnicos de secuencia positiva giran en el mismo sentido que el flujo del rotor,
mientras que los de secuencia negativa giran en sentido contrario al movimiento
de rotacin del motor. Es decir, el deslizamiento del h-simo armnico ser
=
( 2.19 )
Siendo la velocidad sincrnica del motor, la velocidad del rotor y ()
para los armnicos de secuencia positiva y negativa respectivamente.
-
21
El parmetro de una mquina rotativa que est directamente relacionado con el
deslizamiento es la resistencia del rotor, la cual es mxima cuando el
deslizamiento tiende a cero. Las Ecuaciones ( 2.20 ) y ( 2.21 ) muestran las
expresiones para el clculo de la impedancia de un motor de induccin para
frecuencia armnicas.
= + ( 2.20 )
= (0,45 + 0,55 1
) ( 2.21 )
Donde:
: Resistencia del motor
: Reactancia del motor
: Velocidad nominal del motor
: Velocidad del rotor del motor
: Orden del armnico
: (+) armnicos de secuencia positiva, () armnicos de secuencia
negativa
2.2.1.3 Hornos de arco
Los hornos de arco son equipos utilizados especialmente en aceras, uno de los
problemas es la aleatoriedad de la generacin de corrientes armnicas pues
depende de factores como el proceso de fundicin, carga de operacin, tipo de
metales. Como resultado de la interrupcin de la corriente y que cada medio ciclo
se enciende el voltaje de alimentacin, los rangos de generacin de armnicos
son muy amplios.
La Figura 2.9. (a) muestra las formas de onda caractersticas de voltaje vs.
corriente mientras que la (b) muestra el voltaje y la corriente del arco resultante
cuando se tiene una fuente sinusoidal.
-
22
(a)
(b)
Figura 2.9. Voltaje y corriente caractersticos en hornos de arco
Fuente: IEEE Tutorial on Harmonics Modeling and Simulation [9]
Existen 4 modelos para estudios de armnicos: modelo de resistencia no lineal,
modelo de fuente de corriente, modelo de fuente de voltaje y modelo de fuente de
voltaje no lineal variante en el tiempo.
El presente proyecto utiliza el modelo de fuente de corriente en el cual los
coeficientes de Fourier son determinados en funcin de:
Mediciones o valores tpicos de corrientes
Probabilidad de distribucin de las corrientes armnicas
La relacin entre la potencia activa y reactiva
-
23
La ventaja de este modelo es que puede ser usado para dimensionar filtros y
analizar las distorsiones de voltaje. La Tabla 2.1 presenta los valores tpicos de
corrientes armnicas de Hornos de Arco.
Tabla 2.2. Contenido armnico tpico porcentual de Hornos de Arco
h Fundicin inicial
(arco activo)
Refinamiento (arco estable)
2 7,7 0,0
3 5,8 2,0
4 2,5 0,0
5 4,2 2,1
7 3,1 0,0
Fuente: IEEE Recommended Practices and Requirements for Harmonic Control in
Electrical Power Systems [11]
La Figura 2.10 muestra la reconstruccin de la forma de onda del espectro de un
horno de arco para la etapa de fundicin inicial y refinamiento.
Figura 2.10. Forma de onda distorsionada de un horno de arco
Es evidente que en la etapa de refinamiento la distorsin generada es menor a la
etapa de fundicin inicial o cuando el arco est activo. Es importante destacar
esto pues en caso de que un horno de arco se encuentre en la etapa de fundicin
0 0.0041675 0.008335 0.0125025 0.01667-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo (s)
Ma
gnitu
d (
pu
)
Fundicin Inicial
Refinamiento
-
24
inicial y la demanda del sistema es mnima la distorsin producida a las dems
barras del sistema es mxima.
2.2.1.4 Lmparas de descarga
Las lmparas de descarga son altamente no lineales por lo que presentan
corrientes armnicas impares considerables. La no linealidad de las lmparas de
descarga al igual que los hornos de arco se debe a la descarga (arco) que se
genera entre sus dos electrodos.
En el caso de los hornos de arco la descarga se produce a travs de los
materiales a ser fundidos (generalmente chatarra), mientras que en las lmparas
de descarga es a travs de un gas fluorescente.
El dispositivo encargado de limitar y mantener estable el flujo de corriente se
conoce como balasto, fundamentalmente son de 2 tipos: los balastos magnticos
y los balastos electrnicos
La Tabla 2.3 muestra el espectro tpico de las lmparas de descarga para ambos
tipos de balasto, como se puede observar los armnicos predominantes son los
de tercer y quinto orden.
Tabla 2.3. Espectro armnico tpico de lmparas de descarga
h
% de la corriente
fundamental h
% de la corriente
fundamental
Balasto
magntico
Balasto
electrnico
Balasto
magntico
Balasto
electrnico
3 82,81 22,09 5 52,34 71,78
7 12,50 31,90 9 6,25 23,93
11 1,56 21,47 13 2,34 20,86
15 0,78 12,88 17 0,78 12,88
19 0 13,50 21 0 12,27
23 0 10,43 25 0 11,66
27 0 10,43 29 0 9,20
31 0 9,20 33 0 8,59
Fuente: Survey of Harmonics Measurements in Electrical Distribution Systems [12]
-
25
La Figura 2.11 presenta la forma de onda del espectro tpico de lmparas de
descarga con balasto magntico y electrnico.
Figura 2.11. Forma de onda de espectro de lmparas de descarga
2.2.2 CARGAS CON CONTROL ELECTRNICO DE POTENCIA [11]
2.2.2.1 Convertidores [13]
El uso de convertidores estticos de potencia en sistemas elctricos ha ido
creciendo ostensiblemente en los ltimos aos debido a su gran versatilidad,
facilidad de control de motores, control de potencia activa y reactiva en sistemas
de transmisin de AC y DC, control en AC, DC o por modulacin de ancho de
pulso, entre otros.
En la Figura 2.12 se muestra el circuito tpico de un convertidor totalmente
controlado de 6 pulsos. El modelo ms comn para convertidores estticos de
potencia es tratarlos como fuentes de corriente para frecuencias armnicas y
como cargas de potencia constante para frecuencia fundamental. Este modelo
desprecia el ngulo de solapamiento propio de la conmutacin.
0 0.0041675 0.008335 0.0125025 0.01667
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Ma
gnitu
d (
pu
)
Balasto Electrnico
Balasto Magntico
-
26
Carga DC
o Inversor
Transformador
1 3 5
4 6 2
IDC
VDC
+
-
a
b
c
ia
Figura 2.12. Convertidor trifsico AC/DC 6 pulsos totalmente controlado
Para conoce la magnitud y ngulo de la corriente inyectada para cada una de las
frecuencias se debe la corriente de carga a frecuencia fundamental que se
obtiene con la ecuacin ( 2.22 ) y el espectro de magnitud y ngulo del convertidor
[13]. Una aproximacin bastante cercana al espectro de los convertidores de
potencia determina el espectro del armnico en funcin del nmero de pulsos (
2.23 ).
1 = (
)
( 2.22 )
= 1 ( 2.23 )
Donde:
: Orden del armnico
: Entero positivo
: Nmero de pulsos del circuito rectificador
Una vez conocido el espectro y la corriente de carga se calcula la magnitud y
ngulo de las corrientes armnicas como se indica en [5], de acuerdo a las
ecuaciones ( 2.24 ) y ( 2.25 ).
-
27
= 11
( 2.24 )
= + (1 1) ( 2.25 )
Donde:
: Amplitud de la corriente armnica de orden h
1: Amplitud de la corriente fundamental
: Amplitud del espectro de corriente armnica de orden h
: ngulo de la corriente armnica de orden h
1: ngulo de la corriente fundamental
: ngulo del espectro de corriente armnica de orden h
Aunque la aproximacin es bastante cercana a los valores reales se debe tener
mucho cuidado cuando la fuente presenta un THD mayor al 10% [14].
El espectro tpico de magnitud de los armnicos generados por convertidores se
muestra en la Figura 2.13.
Figura 2.13. Espectro de magnitud de convertidores de 6 y 12 pulsos
2.2.2.2 Compensadores estticos de potencia reactiva () [7]
Los compensadores estticos de potencia reactiva controlados por TCR
(inductores controlados por tiristores) son usualmente utilizados en sistemas de
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Armnico
Magnitud (
pu)
Conversor 6 pulsos
Conversor 12 pulsos
-
28
transmisin de alto voltaje e industrias que tienen hornos de arco, con la finalidad
de tener un control de voltaje, mejorar el factor de potencia, balance de fases o
mejorar la estabilidad del sistema de potencia, mediante el ajuste de la cantidad
de potencia reactiva que es absorbida o inyectada al sistema elctrico [15].
La Figura 2.14 muestra la configuracin tpica de un SVC con un banco de
capacitores fijo.
XL
XC
Ih
Figura 2.14. Configuracin de SVC con TCR y banco de capacitores fijo
Como es de esperarse las corrientes armnicas inyectadas por el SVC son
funciones del ngulo de disparo del tiristor, la reactancia de la inductancia a ser
controlada, y del voltaje en la barra del SVC, como se muestra:
=4
[sen ( + 1)
2( + 1) +
sen ( 1)
2 ( 1) cos
sen
] ( 2.26 )
Siendo:
: 2 + 1, = 1,2,3,
: Voltaje de lnea fundamental
: Reactancia del compensador
: ngulo de disparo
Conocido el espectro armnico se puede modelar al SVC como una reactancia
inductiva en serie con una fuente de corriente. Lo que permite calcular un
equivalente Norton del SVC con una admitancia en paralelo con una fuente de
corriente.
-
29
La Figura 2.15. muestra el circuito equivalente de un SVC.
Yh-eq Ih-eq
Figura 2.15. Equivalente Norton de la rama serie de un SVC
La admitancia del equivalente Norton y la fuente de corriente para frecuencias
armnicas cumplen con las ecuaciones ( 2.27 ), ( 2.28 ) y ( 2.29 ) que se indican a
continuacin:
=1
=
1
( 2.27 )
=
= ( 2.28 )
=
sen ( 2.29 )
Donde:
: Inductancia de la rama serie del TCR
: ngulo de conduccin del SVC ( = 2( )) en radianes
En la Figura 2.16 se muestra la amplitud de los componentes armnicos del TCR
en funcin del ngulo de disparo .
-
30
Figura 2.16. Espectro tpico de TCR en funcin del ngulo de disparo
La Tabla 2.4. Corrientes armnicas mximas para TCR las corrientes armnicas
mximas de un TCR.
Tabla 2.4. Corrientes armnicas mximas para TCRs
h % de la corriente
fundamental h
% de la corriente
fundamental
3 (13,78) 5 5,05
7 2,59 9 (1,57)
11 1,05 13 0,75
15 (0,57) 17 0,44
19 0,35 21 (0,29)
23 0,24 25 0,2
Fuente: IEEE Recommended Practices and Requirements for Harmonic Control in
Electrical Power Systems [11]
-
31
2.2.2.3 Inversores para generacin distribuida [16]
El crecimiento en los ltimos aos de las fuentes de energas renovables y
alternativas (fotovoltaica, elica, micro centrales, entre otras) han obligado al uso
de nuevas tecnologas que involucran dispositivos de electrnica de potencia y
especialmente inversores para poder operar de manera sincronizada con los
sistemas elctricos.
Para el estudio de armnicos se puede modelar a los inversores de dos formas:
como fuentes de corriente o como fuentes de voltaje conectadas a la red a travs
de una impedancia en serie, generalmente un inductor que limita la corriente entre
el inversor y la red del sistema elctrico.
Los inversores monofsicos tienen potencias menores a 10 kW y en condiciones
normales no causan problemas. Sin embargo, estos inversores en gran nmero
conectados al mismo alimentador pueden causar problema si no se controla la
distorsin generada.
Los inversores trifsicos generalmente tienen potencias menores a 1 MW y se
han constituido en la principal preocupacin debido al comportamiento
dependiente de muchas variables propias del inversor, variables del sistema e
inclusive por condiciones climticas.
-
32
3 CAPTULO 3
ANLISIS DE FORMAS DE ONDA DE ARMNICOS
3.1 SERIES DE FOURIER
La serie de Fourier de una funcin peridica permite descomponerla en series que
tiene una componente de continua, una a frecuencia fundamental y series a
frecuencias armnicas, por medio de una suma infinita de senos y cosenos,
haciendo uso de la relacin de ortogonalidad de estas funciones elementales.
Una funcin compleja debe cumplir las condiciones de Dirichlet para ser
representada en Series de Fourier:
Debe ser continua en el periodo , o debe tener un nmero finito de
discontinuidades en un periodo.
Debe tener un nmero finito de mximos y mnimos en el periodo .
La integral del valor absoluto de la funcin en un periodo debe ser finita.
La serie de Fourier de una funcin peridica compleja () en un periodo , se la
puede expresar como:
() = 0 + ( 2
+
2
)
=1
( 3.1 )
Siendo:
=1
()
+
=2
()
2
0+
=2
()
2
0+
0
Y es un nmero entero positivo. Ntese que en la expresin 0 es el valor medio
de la funcin (), mientras que y son los componentes rectangulares del n-
simo armnico. El fasor que representa a los n-simos armnicos es:
-
33
= +
Con magnitud
= 2 + 2
Y ngulo de fase
= tan1 (
)
Como se conoce que la relacin que existe entre la frecuencia y el periodo de una
funcin viene dada por =2
, los trminos de la serie de Fourier se puede
expresar en funcin de su frecuencia angular, como se muestra:
=1
2 () ()
=1
() ()
=1
() ()
Por lo tanto:
() = 0 + ( 1 + )
=1
( 3.2 )
Para el anlisis es ms til conocer la amplitud y fase, por lo que la serie de
Fourier se expresa como:
() = 0 + (1
=1
+ ) ( 3.3 )
Donde
0: 0
: Magnitud del n-simo armnico
: ngulo de fase del n-simo armnico
-
34
Los trminos pueden ser obtenidos a travs de integracin compleja:
=1
() ()
( 3.4 )
0 =1
2 () ()
( 3.5 )
3.2 TRANSFORMADA DE FOURIER [17]
Al aplicar la Transformada de Fourier a una seal peridica continua en el dominio
del tiempo, se obtiene una serie de componentes discretas en el dominio de la
frecuencia.
Si se extiende los lmites de integracin al infinito, la separacin entre las
frecuencias armnicas tienden a cero y los coeficientes de Fourier de la
Ecuacin ( 3.4 ) se transforman en una funcin continua, como se indica:
() = ()2
( 3.6 )
La expresin de dicha funcin en el dominio del tiempo en trminos de () est
dada por:
() = ()2
( 3.7 )
() es la funcin de densidad espectral de ().
3.3 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER () [7], [17]
La Transformada Discreta de Fourier es la representacin de seales discretas
() con muestras por periodo, tanto en el dominio del tiempo como en el de la
frecuencia. La Transformada Discreta est definida como:
-
35
() =1
()
2/
1
=0
( 3.8 )
() = ()2/
1
=0
( 3.9 )
Si se reescribe la Ecuacin ( 3.8 ) como:
() =1
()
1
=0
( 3.10 )
Donde = 2/.
Al hallar la Transformada Discreta de Fourier en todos los componentes de
frecuencia la Ecuacin ( 3.10 ) se convierte en una ecuacin matricial, como se
muestra:
[
()
(1)
()
(1)]
=
[ 1 1 1 11 1
1 2
(1)
1 1 (1) (1)2 ]
[
()
(1)
()
(1)]
( 3.11 )
O de forma condensada:
[()] =1
[][()] ( 3.12 )
Como se puede observar para el clculo de componentes de frecuencia de las
N muestras de la seal se requiere un total de 2 multiplicaciones complejas.
Para valores muy grandes de , el tiempo computacional y uso de recursos
ejecutando las 2 multiplicaciones complejas de la DFT lo convierten en un
algoritmo altamente ineficiente.
3.4 TRANSFORMADA RPIDA DE FOURIER (FFT) [17], [18]
La Transformada Rpida de Fourier FFT genera los mismos componentes de
frecuencia de una seal que la Transformada Discreta de Fourier, sin embargo
-
36
debido a la similitud de varios elementos de la matriz [], tan solo requiere
2 log2 multiplicaciones para hallar la solucin de la ecuacin ( 3.12 ).
/2 = 2
2 = = 1 = 0 ( 3.13 )
(+2)/2 = 2
+22 = (
1+2 ) = (
2) 1 = 1 ( 3.14 )
La Transformada Rpida de Fourier sigue el esquema divide y vencers, el cual
consiste en descomponer una seal de muestras en seales de 1 sola
muestra cada una. Inicialmente, se divide a la seal en 2 seales de /2
muestras cada una y as sucesivamente. En segundo lugar se calcula los
espectros de frecuencia correspondientes a las seales. Finalmente, los
espectros se componen dentro de un vector. El proceso de la FFT se muestra en
la Figura 3.1.
Figura 3.1. Operaciones para una FFT de 4 puntos
Fuente: Fast Fourier Transform [17]
-
37
3.5 CONCEPTOS BSICOS
3.5.1 VALOR EFICAZ ()
El valor eficaz o valor RMS (Root Mean Square) de una onda peridica de periodo
es el valor medio de dicha onda elevada al cuadrado y est definido como:
2 =
1
2()
0+
0
( 3.15 )
Cuando se halla el valor eficaz de una onda sinusoidal, este se simplifica a dividir
el valor pico para 2. Sin embargo, cuando se trata de una onda no sinusoidal se
debe hallar la Serie de Fourier y al aplicando el Teorema de Parseval se tiene:
2 =
2 + ,2
=1
( 3.16 )
Donde:
: Valor pico del n-simo armnico
: Valor medio del n-simo armnico
,: Valor eficaz del n-simo armnico
3.5.2 VALOR MEDIO ()
El valor medio de una onda peridica de periodo est definido por la ecuacin :
=1
()
0+
0
( 3.17 )
Este valor corresponde a la media aritmtica de todos los valores instantneos
que adquiere la onda en un periodo de tiempo.
3.5.3 DISTORSIN ARMNICA TOTAL () [11]
Es el ndice ms comn utilizado en la medicin de armnicos tanto para voltaje
como para corriente. El ndice de distorsin armnica total est definido como el
-
38
valor eficaz de los armnicos sin la onda de frecuencia fundamental, dividido para
el valor eficaz de la onda fundamental, sin considerar la componente de continua.
=1
1, ,2
=2
( 3.18 )
=2
2
1, ( 3.19 )
Siendo , el valor eficaz del n-simo armnico y el valor medio de la onda.
El y el valor rms estn relacionados por la siguiente expresin:
= 1,1 + 2 ( 3.20 )
La distorsin total de corriente en las cargas vara entre porcentajes muy
pequeos hasta ms del 100%, sin embargo la distorsin de voltaje es
usualmente menor que el 5%. Un THD de voltaje menor al 5% es aceptable,
mientras que si supera el 10% definitivamente causar problemas en equipos
elctricos, electrnicos y cargas en general.
3.5.4 DISTORSIN TOTAL DE LA DEMANDA () [9]
Es la distorsin armnica total de la corriente para la corriente de carga en
demanda mxima, definida como:
=1
2
=2
( 3.21 )
Siendo:
: Corriente de carga en demanda mxima a frecuencia fundamental en el
Punto de Conexin Comn con el sistema (PCC)
: Corriente del h-simo armnico
La corriente de carga en demanda mxima se calcula como la corriente media de
las mximas demandas de los ltimos 12 meses.
-
39
3.5.5 FACTOR DE PICO ()
El facto de pico ( ) o factor de cresta es la relacin entre el valor pico de una
onda con respecto a su valor eficaz. En el caso de ondas sinusoidales el factor de
pico ser 2.
=
( 3.22 )
3.5.6 FACTOR DE FORMA ()
El factor de forma ( ) indica la relacin entre el valor eficaz y el valor medio de
una onda.
=
( 3.23 )
3.5.7 FACTOR DE RIZADO ()
El factor de rizado ( ) es un ndice que indica el contenido armnico total de una
onda con respecto a su valor medio.
=
2 2
( 3.24 )
3.5.8 FACTOR K Y FACTOR DE PRDIDAS ARMNICAS ( )
La presencia de armnicos aumenta las prdidas en transformadores debido a
que las corrientes armnicas aumentan el valor eficaz de la corriente ms de lo
necesario para satisfacer la demanda de la carga. Adems, las corrientes
armnicas no fluyen uniformemente a travs de la seccin transversal del
conductor de los bobinados incrementando la resistencia equivalente y las
prdidas por efecto Joule.
Los transformadores ms sensibles a las corrientes armnicas son los de tipo
seco. El factor K ha sido definido con el fin de tener un ndice de la capacidad de
-
40
transformadores que atiendan a cargas distorsionadas sin sobrecalentarse. El
factor K est definido por:
= 22
=1
( 3.25 )
es la h-sima corriente armnica con respecto a la corriente nominal en p.u.
Los transformadores construidos con factor K estn diseados para soportar
mayores voltajes y corrientes distorsionadas y est relacionado con la capacidad
del transformador para disipar el calor producido por corrientes distorsionadas.
El factor de prdidas armnicas representa el calentamiento efectivo de un
transformador como resultado de la corriente armnica de carga, como se indica:
= 2(/1)
2=1
(/1)2=1
( 3.26 )
Donde:
: Armnico de mayor orden
/1: Distorsin armnica de corriente del h-simo armnico en p.u.
El se calcula considerando que las prdidas por corrientes Eddy producidas
por cada corriente armnica es proporcional al cuadrado del orden del armnico y
al cuadrado de la magnitud del mismo.
3.5.9 SECUENCIA DE FASE DE ARMNICOS [19]
En un sistema trifsico balanceado las corrientes en las fases a-b-c estn
desplazadas 120 entre si. Por lo tanto, la expansin en Series de Fourier es la
siguiente:
() = sen(1
=1
+ )
() = sen(1
=1
+ 2
3)
-
41
() = sen(1
=1
+ + 2
3)
Desarrollando los 3 primeros armnicos:
() = 1sen(11 + 1) + 2sen(22 + 2) + 3sen(33 + 3)
() = 1sen (11 + 1 2
3) + 2sen (22 + 2
4
3) + 3sen (33 + 3
6
3)
() = 1sen (11 + 1 +2
3) + 2sen (22 + 2 +
4
3) + 3sen (33 + 3 +
6
3)
Considerando que 4
3=
2
3
() = 1sen (11 + 1 2
3) + 2sen (22 + 2 +
2
3) + 3sen(33 + 3 0)
() = 1sen (11 + 1 +2
3) + 2sen (22 + 2
2
3) + 3sen(33 + 3 + 0)
Analizando las ecuaciones, se puede observar que los tres primeros armnicos
son de secuencia positiva, negativa y cero respectivamente, este patrn se repite
para los dems armnicos como se muestra en la Tabla 3.1.
Orden 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Secuencia + - 0 + - 0 + - 0
Tabla 3.1. Secuencia de fase de armnicos en sistemas trifsicos balanceados
Ntese que esta secuencia de fases es vlida cuando se trata de sistemas
trifsicos balanceados, en sistemas desbalanceados cada armnico puede tener
componentes de secuencia positiva, negativa y cero.
-
42
3.6 CLCULO DE POTENCIA EN SISTEMAS NO SINUSOIDALES [20]
3.6.1 POTENCIA ACTIVA MEDIA
Las formas de onda distorsionadas de voltaje y corriente pueden ser
representadas por Series de Fourier como:
() = + sen(
=1
+ ) ( 3.27 )
() = + sen(
=1
+ ) ( 3.28 )
La potencia activa est definida como el producto entre el voltaje y la corriente
como se muestra:
=1
()
0+
0
=1
()()
0+
0
( 3.29 )
=1
([ + sen(
=1
+ )] [ + sen(
=1
+ )])
0+
0
( 3.30 )
Multiplicando los trminos dentro de la integral y reduciendo la expresin, la
potencia activa es:
= 2
cos( )
=1
( 3.31 )
= + , , cos( )
=1
( 3.32 )
= + 1 + 2 + 3 +
Donde:
: Valor pico del n-simo armnico de voltaje
: Valor pico del n-simo armnico de corriente
,: Valor eficaz del n-simo armnico de voltaje
-
43
,: Valor eficaz del n-simo armnico de corriente
: ngulo de desfasamiento del n-simo armnico de voltaje
: ngulo de desfasamiento del n-simo armnico de corriente
Los trminos de potencia de las frecuencias armnicas son prdidas que
generalmente son pequeas comparadas con la potencia total.
3.6.2 POTENCIA DE DISTORSIN
La potencia de distorsin en un sistema de potencia se presenta debido a dos
factores: desfasamiento de la corriente con respecto al voltaje o distorsiones en la
forma de onda de la corriente. En [21] se muestra que la potencia de distorsin no
solo se debe a la presencia de formas de onda distorsionada sino que tambin
puede deberse al cambio de la conductancia en las cargas para frecuencias
armnicas y esto a su vez se refleja en la magnitud de la potencia activa
absorbida por la carga.
La importancia de la interpretacin de la potencia de distorsin est en el efecto
de la misma en el efecto negativo que tiene sobre el factor de potencia y cualquier
mtodo de mejora mediante compensacin de potencia reactiva. Es decir, en un
sistema que presente potencia de distorsin con bajo factor de potencia, no
importa cuanta potencia reactiva sea compensada el factor de potencia no podr
ser unitario bajo ninguna condicin.
3.6.3 FACTOR DE POTENCIA [19]
El factor de potencia est definido como:
=
( 3.33 )
Si no se considera las distorsiones del sistema, el factor de potencia se conoce
como factor de potencia de desplazamiento () y est definido como:
-
44
=1
1, 1,=
112 cos
( )
112
= cos( ) ( 3.34 )
Para determinar el impacto de la presencia de armnicos en sistemas elctricos
es necesario considerar el verdadero factor de potencia () , el cual est
definido como:
=
( 3.35 )
=1
( + ,, cos( )
=1
) ( 3.36 )
Si se reemplaza la ecuacin ( 3.20 ) en la ecuacin ( 3.35 ) se tiene:
=
1,1 + 2 1 +
2 ( 3.37 )
Al considerar que el valor de la distorsin armnica total de voltaje usualmente es
menor que 10% se puede hacer la siguiente aproximacin:
=
1,1 + 2 ( 3.38 )
Cabe mencionar que la solucin para un bajo factor de potencia de
desplazamiento est relacionada con la compensacin de potencia reactiva
(capacitores o inductores), mientras que el verdadero factor de potencia est
relacionado con la potencia reactiva y la de distorsin, es por esto que adems de
compensacin reactiva se requieren filtros de armnicos.
3.7 EFECTO DE CORRIENTES ARMNICAS EN SISTEMAS ELCTRICOS
DE POTENCIA [11]
3.7.1 GENERALIDADES
El grado que puede soportar un equipo a distorsiones en la red depende de su
diseo o constitucin. Los equipos menos susceptibles son aquellos cuya funcin
-
45
es el calentamiento como el caso de los hornos. Mientras que las cargas ms
susceptibles son las que asumen ondas sinusoidales perfectas para su operacin
como equipos de comunicaciones o procesamiento de datos. El efecto principal
de las corrientes armnicas ms all de la susceptibilidad del equipo es la
disminucin del tiempo de vida til de operacin.
3.7.2 CABLES Y CONDUCTORES [22]
Existen dos formas en las que las corrientes armnicas pueden generar
calentamiento en conductores, la primera es debido al efecto piel y el efecto de
proximidad. El efecto piel se debe a que a mayor frecuencia la corriente circula
por la capa ms externa del conductor por lo que disminuye el rea y as aumenta
la resistencia efectiva. El efecto de proximidad se debe al campo magntico
producido por conductores adyacentes lo que altera la distribucin de las
corrientes en el conductor.
La segunda forma es la circulacin de corrientes de secuencia cero a travs del
neutro, lo que sobrecarga al conductor del neutro. Generalmente este efecto es
ms significativo en cargas con gran cantidad de dispositivos electrnicos de
oficina generalmente monofsicos.
3.7.3 TRANSFORMADORES
En el caso de los transformadores el efecto ms evidente es el aumento del ruido
debido al aumento de corrientes parsitas. Sin embargo, el efecto de los
transformadores se lo debe analizar desde dos puntos de vista. El primero, las
corrientes armnicas generan un aumento en las prdidas del cobre y mayor
dispersin del flujo magntico. El segundo punto de vista, se da debido a los
voltajes armnicos que se reflejan en prdidas en el ncleo ferromagntico.
Todo esto se simplifica en mayor calentamiento del transformador, y ms all de
los efectos elctricos tiene efectos mecnicos muy considerables, por ejemplo, el
aumento de temperatura del ncleo, aumenta la temperatura del aceite y as la
presin interna del transformador.
-
46
Los efectos de los armnicos (voltajes y corrientes) son dependientes de la
frecuencia, es decir a mayor frecuencia mayor efecto tiene sobre el transformador,
sin embargo el efecto a altas frecuencias no es relevante porque la amplitud de
los armnicos disminuye a medida que aumenta el orden de la frecuencia.
3.7.4 EQUIPO DE MANIOBRA Y PROTECCIN
La distorsin de las formas de ondas llega a provocar que en equipos de
proteccin existan operaciones no deseadas. Estas operaciones no deseadas
pueden darse en condiciones de estado estable, en condiciones de falla o en
energizaciones. Debido a las caractersticas constructivas de los rels y a la
variabilidad de las corrientes armnicas es imposible definir la respuesta de los
rels. Otro de los efectos de corrientes armnicas es que estos tienen a operar
ms lentamente y con mayores corrientes pickup.
3.7.5 MOTORES Y GENERADORES
El efecto fundamental en mquinas rotativas en general es el aumento de las
prdidas por calentamiento del hierro y del cobre debido a las corrientes
armnicas, esto afecta la eficiencia de la mquina y el torque desarrollado.
Adems, las corrientes armnicas dan paso al aumento del ruido generado por la
mquina y a distribuciones anormales de flujo entre el entrehierro generando
fenmenos como dientes en el flujo magntico.
Los armnicos tienen la capacidad de producir oscilaciones mecnicas en los
grupos turbina generador o en motores en las cargas. Esto se debe a la
interaccin entre el campo magntico a frecuencia fundamental y las corrientes
armnicas lo que produce un efecto de torsin en el rotor.
Cuando las corrientes armnicas circulan por el estator, este induce corrientes
armnicas en el rotor a travs del entrehierro. Cuando las corrientes de secuencia
positiva y negativa se suman, se generan armnicos de secuencia cero en el rotor
cuyos principales efectos son el calentamiento del rotor y una reduccin en el
torque o un torque a manera de pulsos en la mquina.
-
47
3.7.6 EQUIPOS ELECTRNICOS
Existen varias formas en las que la distorsin armnica afectan los equipos
electrnicos. La primera es la desincronizacin en equipos que usan los cruces
por cero de la onda a frecuencia fundamental para medidas de tiempo (relojes).
Los cambios en la frecuencia de la onda distorsionada se dan como resultado de
la presencia de interarmnicos, que cambian el nmero de cruces por cero de la
onda en un periodo de tiempo dado.
Los semiconductores fijan como referencia de sus ngulos de disparo, los cruces
por cero de la onda de voltaje. Para estos casos se recomienda que los ngulos
de disparo sean referenciados de manera asncrona para reducir el efecto de
armnicos.
3.8 RESPUESTA DE SISTEMAS ELCTRICOS A CORRIENTES ARMNICAS
3.8.1 RESONANCIA SERIE
Es el resultado de la combinacin en serie de reactancias inductivas y capacitivas
en un sistema elctrico. Este principio se utiliza en los filtros pasivos serie R L
C. Cuando se presenta el fenmeno de resonancia serie se tiene un camino de
baja impedancia que tiende a atrapar cualquier corriente armnica para la cual
est sintonizado. Producto de la resonancia serie pueden producirse grandes
niveles de distorsin entre las reactancias inductivas y capacitivas. En la Figura
3.2 se muestra la condicin tpica de resonancia serie en sistemas elctricos.
XC
XL
Ih
Figura 3.2. Diagrama unifilar con resonancia serie
-
48
3.8.2 RESONANCIA PARALELO
Los sistemas resonantes en paralelo presentan una gran impedancia a la
frecuencia de resonancia, la resonancia en paralelo produce voltajes y corrientes
elevados. El caso ms comn de resonancia paralelo, se presenta cuando se
conecta un capacitor en la misma barra de la fuente de armnicos.
La Figura 3.3 muestra el diagrama unifilar de un sistema con resonancia paralelo.
XCXL
Ih
Figura 3.3. Diagrama unifilar con resonancia paralelo
-
49
4 CAPTULO 4
PROGRAMA DE FLUJO DE POTENCIA DE ARMNICOS
EN MATLAB
4.1 ESTUDIO DE FLUJOS DE POTENCIA [23]
Hallar la solucin de un sistema elctrico de potencia significa conocer la
magnitud y ngulo en todas las barras del sistema para una condicin
especificada de generacin y carga. A la magnitud y ngulo de los voltajes de las
barras del sistema se las conoce como variables de estado, pues permiten
conocer la situacin operativa en un instante del sistema.
En cada una de las barras se debe conocer todas sus variables: magnitud y
ngulo del voltaje, potencias activa y reactiva. Las variables de estado se
encuentran relacionadas con P y Q a travs de la matriz de admitancia de barra
de la red.
Las cuatro variables se encuentran relacionadas en las ecuaciones de potencia
activa y reactiva, una vez que se conocen al menos 2 variables en cada una de
las barras se puede resolver el sistema de ecuaciones mediante algoritmos
iterativos como Gauss - Seidel, Newton Raphson, entre otros. Debido a las
ventajas computacionales de convergencia que presenta el algoritmo de Newton
Raphson es el ms utilizado.
4.2 PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA [23]
El problema de flujos de potencia radica en que no se puede conocer el balance
de potencia de generacin y carga del sistema debido a la presencia de prdidas
en la red debido a la no linealidad del sistema de ecuaciones, pues la potencia
activa y reactiva tiene una relacin cuadrtica con el voltaje y la presencia de
funciones trigonomtricas en los ngulos de los voltajes de las barras. Esto obliga
a que en una de las barras del sistema la potencia activa y reactiva no se puedan
especificar, a esta barra se la conoce como barra oscilante o de referencia (V),
en la cual se define voltaje y ngulo, para que sirva como referencia de todo el
sistema.
-
50
En otras barras del sistema se pueden especificar la potencia activa y la magnitud
del voltaje, es decir esta barra deber mantener la potencia activa fija mientras
deber aportar con la potencia reactiva necesaria para mantener el voltaje fijo en
su barra. A esta barra se la conoce como barra de generacin o voltaje controlado
(PV).
Generalmente las barras V o PV son barras con una gran capacidad de
generacin o es un nodo de interconexin a un sistema de potencia que pueda
mantener un voltaje especificado en sus terminales. Las dems barras del
sistema son barras donde se especifica la potencia activa y reactiva,
generalmente son barras de carga (PQ).
4.3 MTODO DE NEWTON RAPHSON
Es un algoritmo para resolver ecuaciones o sistemas de ecuaciones no lineales
basndose en la expansin de series de Taylor para una funcin de una o ms
variables.
Sea () una funcin continua y derivable en un intervalo y 0 la condicin inicial
a la raz de la funcin, tal que () 0, donde la expansin de series de Taylor
de () es:
() = (0) + (0)( 0) +
(0)
2!( 0)
2 +(0)
3!( 0)
3 + ( 4.1 )
Asumiendo que 0 es una buena aproximacin a la raz de la funcin, los
trminos de la funcin con exponentes superiores son despreciables por lo que se
puede truncar la serie en la primera derivada, entonces:
() (0) + (0)( 0) = 0 ( 4.2 )
Donde:
= 0 (0)
(0) ( 4.3 )
Generalizando para cualquier iteracin:
-
51
+1 = ()
() ( 4.4 )
Para el caso de un sistema de n ecuaciones con n incgnitas se tiene que:
1(1, 2, , ) = 12(1, 2, , ) = 2
(1, 2, , ) =
( 4.5 )
Las condiciones iniciales del sistema de ecuaciones son 10, 2
0, , 0, la solucin
del sistema es 1, 2
, , , mientras que la diferencia de la solucin menos las
condiciones iniciales se expresa como 10, 2
0, , 0, entonces:
1(10 + 1
0, 20 + 2
0, , 0 +
0) = 12(1
0 + 10, 2
0 + 20, ,
0 + 0) = 2
(1
0 + 10, 2
0 + 20, ,
0 + 0) =
( 4.6 )
Expandiendo el sistema de ecuaciones en series de Taylor:
(10 + 1
0, 20 + 2
0, , 0 +
0)
= (10, 2
0, , 0 +) + (
1
)0
1 + (2
)0
2 + + (
)0
+ (21
2)0
(1)2
2!+ (
22
2)0
(2)2
2!+ + (
22
)0
()2
2!
+ (31
3)0
(1)3
3!+ (
32
3)0
(2)3
3!+ + (
3
3)0
()3
3!+ =
Despreciando los trminos superiores y truncando la serie en la primera derivada:
(10 + 1
0, 20 + 2
0, , 0 +
0)
(10, 2
0, , 0 +) + (
1
)0
1 + (2
)0
2 + + (
)0
(10, 2
0, , 0 +) = (1
)0
1 + (2
)0
2 + + (
)0
-
52
Tratando las series matricialmente
[ 1 1(1
0, 20, ,
0)
2 2(10, 2
0, , 0)
(1
0, 20, ,
0)] =
[ (
11
)0
(12
)0
(1
)0
(21
)0
(22
)0
(
)0
(1
)0
(2
)0
(
)0]
[ 1
0
20
0] ( 4.7 )
Expresando como una funcin vectorial
() = () ( 4.8 )
Donde es el Jacobiano del sistema, () es el valor calculado en 10, 2
0, , 0,
el cual es cero cuando las estimaciones sean exactas, caso contrario ()
presenta valores finitos que corresponden a los errores de la estimacin.
Debido a que se trunc la serie de Taylor, los valores 0 no representan la
solucin correcta, por lo que se requiere un nuevo intento con nuevos valores
estimados
+1 =
+ ( 4.9 )
Dado que se trata de un proceso iterativo, este se repite hasta que los errores
() sean menores a una tolerancia especificada . Generalmente la
convergencia es evaluada considerando la norma de la funcin
() < ( 4.10 )
Ntese que el Jacobiano es una funcin de debe ser actualizada cada iteracin
al igual que ().
4.4 SOLUCIN DE FLUJOS DE POTENCIA APLICANDO EL MTODO DE
NEWTON RAPHSON
El problema de la solucin de flujos de potencia viene dado por la no linealidad de
las ecuaciones de flujos de potencia, pues se desconoce las prdidas del sistema
y con esto la generacin de la barra de referencia. Esto obliga a que la solucin
-
53
del problema sea a travs de algoritmos iterativos como el caso de Gauss Seidel
o Newton-Raphson. Gracias a que el algoritmo de Newton-Raphson tiene una
convergencia cuadrtica, hace que sea mucho ms eficiente al momento de
resolver sistemas de ecuaciones no lineales.
Para la solucin de flujos de potencia se deben plantear por cada barra dos
ecuaciones reales de y en funcin de las variables de estado y . Con la
finalidad de aplicar el mtodo Newton Raphson se necesita expresar la potencia
compleja de cada barra como dos ecuaciones reales en trminos de las
variables de estado.
Para cada barra la potencia aparente esta definida de acuerdo a la expresin (
4.11 ).
= ( 4.11 )
La ecuacin de las corrientes que fluyen de la red al nodo i est dada por la
ecuacin ( 4.12 ):
=
=1
( 4.12 )
Reemplazando ( 4.12 ) en ( 4.11 ) se tiene
= [
=1
]
( 4.13 )
= ( )
=1
( 4.14 )
= ( )
=1
( 4.15 )
= ( ) (cos + sen )
=1
( 4.16 )
Descomponiendo ( 4.16 ) en su parte real e imaginaria
-
54
= ( cos + sen )
=1
( 4.17 )
= ( sen cos )
=1
( 4.18 )
Ambas ecuaciones quedan