flujo de potencia u-vi

8/16/2019 Flujo de Potencia U-VI

1/118

6.1- INTRODUCCIÓN

El cálculo y análisis del flujo de potencias en la red deun Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) es

importantes porque permite conocer sucomportamiento en régimen permanente.

Este estudio consiste en determinar los flujos de

potencia activa (MW) y reactiva MVAr) en cada líneadel sistema y las tensiones (Volt) en cada una de lasbarras, para ciertas condiciones preestablecidas deoperación.

UNIDAD VI

ESTUDIO DEL FLUJO DE POTENCIA


2/118

En el análisis del flujo de potencias, se realizanactividades como:

− Programar las ampliaciones necesarias del SEP ydeterminar su mejor modo de operación, teniendo encuenta posibles nuevos consumos, nuevas líneas onuevas centrales generadoras.

− Estudiar los efectos sobre la distribución depotencias, cuando se producen pérdidas temporales degeneración o circuitos de transmisión.

− Ayudar a determinar los programas de despacho decarga para obtener un funcionamiento óptimo.


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Requerimientos de un sistema de potencia.

1._ Cuantitativos1.Entregar las magnitudes de potencia y energíadefinidas mediante acuerdos o contratos con:Usuarios independientes con otros sistemas en loscuales eventualmente pueden estar conectados.

2. Permitir cantidades de potencia y energía quesirvan de reserva para situaciones eventuales.

3. Que las previsiones de capacidad de la línea y losotros componentes garanticen los incrementos deacuerdo al crecimiento de la demanda.


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-Cualitativos

1. La energía debe enumerarse sujeta a restricciones

en cuanto a:- Las variaciones de la tensión cuyas magnitudes

dependen del nivel de esta última.

- Variaciones de la frecuencia en un 5 % 60±3 Hz

2. El sistema de potencia debe tener una altaconfiabilidad (se entiende como la seguridad deque aunque el sistema sufra perturbaciones de

magnitudes apreciable). La probabilidad de queexistan discontinuidad en la prestación de serviciotendrá un valor razonablemente bajo.


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6.2.- MODELAMIENTO DE COMPONENTES DE UNSISTEMA DE POTENCIA.

Generadores y compensadores síncronos

δ: Se regula difícilmente más que todo es de referenciaδ = 0

P G Q G

| V | , Barra de referencia

Barra de referencia

| V | ,

| V |P

G ,


6/118

Modelamiento de los transformadores.

Impedancia en corto circuito en serie y los demagnetización en paralelo

p

pT

p

p

I

E Z

I

V

10

1

q

qT

p

p

I

V

a

a Z

I

V

/10

/1

IqIpIpa : 1

Vp

+

-

Vq

+

-

Ep

+

-

ZTIqIpIp

a : 1

Vp

+

-

Vq

+

-

Ep

+

-

ZT


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a : fasor, cuando el transformador es de fase cuadratura.

a : Número, cuando el transformador es con relación de

TAPS fuera de la nominal.a : 1, cuando el transformador es sin TAPS.

Fase cuadratura: Son aquellos que tienen como objeto,

tiene relación de transformación nominal.

De la matriz.

A = a B = ZT/a

C = 0 D = 1/a


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Modelamiento de líneas de transmisión.

Y pq

Y shunt

Z pq

p q

Y shunt Y q Y p Vp

+

-

Vq

+

-

q pqqqq p V Z I V Y V

)(

q pqq pqq p I Z V Z Y V )1(

qq p BI AV V


9/118

Reactores y capacitores

Buscan establecer un nivel constante.

Compensadores síncronos.-Mala opción de dar barra dereferencia o generación.

Pero si son capacitores siguensiendo barras de carga.

| V | | V |

CargasSistema

eléctrico P L Q L

P L Q L P D Q D


10/118

6.3 CLASIFICACIÓN DE LAS BARRAS

El sistema se estudia en condiciones estacionarias.

La red opera de manera balanceada.

Cantidades o variables asociadas a cada nodo

De las seis variables nodales mencionadas

anteriormente, dos son conocidas, estas son lademanda de potencia activa y reactiva: PD y QD Así las ecuaciones nodales se plantean en función delas siguientes cuatro variables nodales


11/118

• Así las ecuaciones nodales se plantean en función delas siguientes cuatro variables nodales


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CLASIFICACIÓN DE LAS BARRAS

1. Variables deControl:

2

2

1

1

4

3

2

1

G

G

G

G

Q

P Q

P

u

uu

u

u

2. Variables deEstado:

2

2

1

1

4

3

2

1

V

V

x

x

x x

x

3. Variables de Disturbio(incontrolables)

2

2

1

1

2

2

1

1

4

3

2

1

D

D

D

D

L

L

L

L

Q

P

Q

P

Q

P

Q

P

P

P

P

P

P


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4. Restricción de Variables

variables de control

maxmin

maxmin

G DG

G DG

QQQ

P P P

variables de estado

maxmin

max2121

V V V


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a. Barra Tipo |V|, δ (Referencia)

Datos: |V|, δ (conocidas)

Datos: PL, QL

Incógnitas: PG, QG

Sistema

eléctrico

P p, Q p PG, QG

| V |, δ

Tipos de Barras:

Nodo Flotante, Slack, deholgura o de referencia (V, δ )

• En este nodo las variableson clasificadas así:

• |V |, δ ⇒ Variablesespecificadas

• P,Q ⇒ Variablesdesconocidas.

• El ángulo θ se asume a 0º yserá referencia para losdemás nodos del sistema.

b B Ti P |V| (G ió )


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b. Barras Tipo P-|V| (Generación)

Datos: PG, |V|(conocidas)

Datos: PL, QL

Incógnitas: QG, δ

Nodo de Voltaje controlado (PV).Generalmente se asumen los nodos con

generación representativa. A este tipo de barra pertenecen aquellosnodos que tengan elementos concapacidad para controlar la magnitud delvoltaje.

Barras candidatas a ser denominadas devoltaje controlado: – Generadores – Compensadores sincrónicos

–Compensadores estáticos activos(controlados por tiristores) – Transformadores con combinadoresautomáticos de Taps bajo carga, siemprey cuando su operación esté en el rangode control.


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c. Barras Tipo P-Q (Carga)

Datos: PG , QG.Donde PG=0, QG=0

Datos: PL , QL

Incógnitas: |V|, δ

PP+jQP=(PG-PL)+j(QG-QL),

PL=PD+Ptransmitida ,

con PG y QG = 0

Sistemaeléctrico

P p, Q p

Nodo de Carga (P,Q)

Corresponde a los nodos decarga o nodos donde lageneración es muy pequeña.Esto es, representa las barras

donde la carga predominasobre la generación.Ejemplo al mismo barraje seconecta carga y generación,siendo este último poco

representativo frente a lamagnitud de la carga. Tambiénrepresenta las barras de paso.


17/118

En barras P-V

PVQ: Tiene la barra limites de operación en:

|Q|min ≤ |Q| ≤ |Q|max

Tipos de Barras Datos Incógnitas|V|, δ

P-|V|

P - Q

|V|, δ, PL, QLPG ,|V|, PL, QLPG, QG, PL, QL

PG, QGQG, δ

|V|, δ

d. Variantes de tipos de barras:

En barra P-Q

PQV: Cuando se tiene limites de operación |V|min ≤ |V| ≤ |V|max

PQRV: Cuando de se tiene la barra a una tensión controladaremotamente y se controla a través de la potenciareactiva


18/118

6.4 FORMULACIÓN DE LA MATRIZ ADMITANCIA [YBUS]

n

2

1

q S p I p I pn

I pq

I p2 I p1

Z pn

Z pq

Z p2 Z p1

V p P


19/118

pn pq p p p I I I I I 21

pn

n p

pq

q p

p

p

p

p

p Z

V V Z

V V Z

V V Z

V V I 2

2

1

1

p

pn pq p pn

n

pq

q

p p

p V Z Z Z Z

V

Z

V

Z

V

Z

V I

111

12

2

1

1

ppY

n

q P pqn pnq pq p p

V Y V Y V Y V Y I

11

n pnq pq p pp p p V Y V Y V Y V Y I 11


20/118

nnnqnq pnpnnn V Y V Y V Y V Y V Y I 2211

n

p

Y

nnnqnp pn

pn pq pp p p

nq p

nq p

n

p

V

V

V

V

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

I

I

I

I

BUS

2

1

21

21

2222221

1111211

2

1

V Y I BUS

I Matriz de corriente de inyección (Vector) V Matriz de tensión de inyección (Vector)

Y Matriz de admitancia de barras (Vector YBUS)


21/118

Y La matriz Ybus tiene las siguientes propiedades

Es una matriz cuadrada n*n (# de barras).

Los elementos de la diagonal son todos positivos.

Los elementos fuera de la diagonal son todos negativos.

Son simétricos -Y12= -Y21 entonces, -Ypq= -Yqp, a excepciónde cuando se tiene en ese elemento trafos con regulaciónbajo carga y con desfasamiento.

Es altamente ESPARSA.

Es una matriz compleja, sus componentes son todoscomplejos.

Los componentes de la diagonal son la sumatoria de todaslas admitancias que salen de dicha barra.


22/118

Ejemplo, plantear la matriz admitancia del sistema eléctrico


23/118

01.002.01.002.0

1

15.003.0

1)

2()

2( 1312131211 j j

j j

Y Y Y Y Y C C

995.15205.301.002.0615.9923.1410.6282.111 j j j j jY

410.6282.112 jY

515.817240.1486.929937.4310.1018058.9

86.929937.431.824506.1130.1015372.6

31.1018058.931.1015372.666.783136.16

busY

5629.141725.29875.42493.06154.99231.1

9877.42462.03478.115315.14103.62821.1

6154.99231.14103.62821.19956.152052.3

j j j

j j j

j j j

Y bus


24/118

Ecuaciones para “n” barras

n

n

n

n

V

V

V

x

x

x

x

x

x

x

2

2

1

1

2

12

4

3

2

1

Gn

Gn

G

G

G

G

n

Q

P

Q

P

Q

P

u

u

u

u 2

2

1

1

2

2

1

Dn

Dn

D

D

D

D

n

Q

P

Q

P

Q

P

p

p

p

p 2

2

1

1

2

2

1

6.5.-MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE FLUJO DE POTENCIA


25/118

Siendo las ecuaciones de potencia para un sistemade “n” barras

0,...,,,...,,...,... 1111111 Dn Dn D DGnGnGGnn Q P Q P Q P Q P V V f

0...,...,... 2121211 nnn p puu x x f

0...,...,... 2121212 nnn p puu x x f

0...,...,... 2121212 nnnn p puu x x f

0,, pu x f p n p 2...1


26/118

Considere el SEP elemental de dos barras de la Figura ysu circuito equivalente por fase. La línea L12 se harepresentado por su circuito π nominal y donde:

S1 y S2 : Potencias complejas netas de las barra 1 y 2respectivamente, representadas como fuentes de potenciaactiva y reactiva, que corresponden a la PotenciaGenerada menos la Potencia Consumida.

S12 y S21: Flujos de potencia compleja que van desde labarra 1 a la barra 2 y viceversa.


27/118

Para un sistema de “n” barras, suponiendo quetiene “k” nodos de generación, entonces se tiene “n – k” barras de cargas.

G P k

GQk

V n

n

)(2 nk

Potencias activas de generación

Potencias reactivas de generación

Tensiones de barra (módulos)

Ángulos de tensión de barra

Variables totales


28/118

Se tiene un número de ecuaciones de 2n quepermiten calcular 2n variables o incógnitas, portanto es necesario preparar 2k variables para estefin.

V k 1

G P k 1

V 1

1

k 2

Potencias activas de generación

Potencias reactivas de generación

Tensiones de barra (módulos)

Ángulos de tensión de barra

Variables especificadas


29/118

Finalmente se tiene que determinar:

GQk 1

Gk 1

G P 1

GQ1

n2

Potencia de generación de referenciaactiva.Potencia de generación de referencia reactiva

Potencia de generación reactiva en barra de

generación.Ángulo de tensión en barra de generación

Variables de pardeterminadas

V k n

k n

Magnitud de tensión en barra de carga.

Ángulo de tensión en barra de carga.

Método de Newton Rapson


30/118

Método de Newton Rapson

Se trata de un método para la solución deecuaciones no lineales, transformado las ecuacionesno lineales en una secuencia de ecuaciones linealesdando soluciones aproximadas. Este método puedeser aplicado a un sistema de ecuacionessimultaneas.

Se basa en una expresión de la serie de Taylor deecuaciones no lineales, reales, continuas yderivables. f(x)

X

X(1)

f(xº )

f(x' )

θ

ΔxX(s)

X(0)

)0(


31/118

)0()1()0(

)0(

' x f x x

x f Tan

)0()0(

)1()0(

' x f x f x x

)0(

)0()0()1(

' x f

x f x x

)(

)()()1(

' k

k k k

x f

x f x x

Una función f(x) se puede expandir mediante la serie de Taylor

0...)('''!3

1)(''

!2

1)(')()( )0(

3)0()0(2)0()0()0()0( x f x x x f x x x f x x x f x f

Se acostumbra truncar a partir de f ‘’(x(0))


32/118

Se acostumbra truncar a partir de f (x(0))

0)(')()( )0()0()1()0( x f x x x f x f

)(')()( )0()0()1()0(

x f x x x f x f

)0(

)0(

)0()1(

'

)( x

x f

x f x f x

)0(

)0()0()1(

' x f

x f x x

a. Para un sistema de 2 ecuaciones

0),( 211 x x f 0),( 212 x x f

...),(

2

1),(

2

1

...),(),(),(),(

)0(

2

)0(

11

21

22)0(

22

)0(

2

)0(

11

21

22)0(

11

)0(

2

)0(

112

)0(

22

)0(

2

)0(

111

)0(

11

)0(

2

)0(

11211

x x f x x

x x x x f x x

x x

x x f x x x x x f x x x x x f x x f

...),(),(),(),( )0(2)0(12)0(22)0(2)0(12)0(11)0(2)0(12212

x x f x x x x f x x x x f x x f


33/118

...),(2

1),(

2

1

),(),(),(),(

)0(

2

)0(

12

21

22)0(

22

)0(

2

)0(

12

21

22)0(

11

212

2

22212

1

11212212

x x f x x

x x x x f x x

x x

f x

f x

ff

)(),( 1211 x f x x f

)(),( 2212 x f x x f

)(),( )0(1)0(

2

)0(

11 x f x x f

)(),( )0(2)0(

2

)0(

12 x f x x f

1

)0(

11 x x x

2

)0(

22 x x x

...)()(2

1)()(

2

1

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)0(

1

21

22

2

)0(

1

21

22

1

)0(

1

2

2

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1

1

1

)0(

1211

x f x x

x x f x x

x

x f x

x x f x

x x f x x f

...)()(

2

1)()(

2

1

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2

21

22

2

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2

21

22

1

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2

2

2

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2

1

1

)0(

2212

x f

x x

x x f

x x

x

x f x

x x f x

x x f x x f

)()()()( 020200 xfxfxfxf


34/118

....)()(

)()(

2

1.

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)(

)(

)(

)(2

2

2

1

21

0

2

2

21

0

2

221

1

21

1

2

1

2

0

2

1

0

2

2

1

1

1

0

2

0

1

2

1

x

x

x x

x f

x x

x f

x x

x f

x x

x f

x

x

x

x f

x

x f

x

x f

x

x f

x f

x f

x f

x f

....2

1.)()( 000 x H x x J x f x f

b. Para un sistema de “n” ecuaciones

0..., 211 n x x x f

0..., 212 n x x x f

0..., 21 n p x x x f

0..., 21

nn x x x f


35/118

1

)0()0(

1)0(

1

)0()0(

1)0(

11

)0()0(

121

),...,(

...),...,(

),...,(),...,,(

x

x x f x x

x

x x f x x x x f x x x f

n p

nn

n p

n pn p

)0(

)0(

11

1

)0()0(

1

1

)0()0(

1

1

)0()0(

1

1

)0()0(

11

)0()0(1

)0()0(

1

)0()0(

12

)0()0(

11

1

1

12

11

.

..

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.

.

.

.

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nn

nnnn

nnn

nn

n p

n

n

nn

n p

n

n

x x

x x

x

x x f

x

x x f

x x x f

x x x f

x x f

x x f

x x f x x f

x x f

x x f

x x f

x x f

11 ff


36/118

),...,(),...,(

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.

...

...

...

)0()0(11

)0()0(11

)0()0(1212

)0()0(1111

00

1

00

1

01

0

1

1

)0(

)0(

)0(2

)0(1

2

1

nnnn

n pn p

nn

nn

n

nn

n

p p

n

n

p

n

p

x x f x x f

x x f x x f

x x f x x f

x x f x x f

L

x

f L

x

f

L x f L

x f

L x

f L

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

)( )0(1)0( x f J x x

')( )0(1)0( x f J x x

Aplicación del Método de Newton Rapson.


37/118

Ejemplo 1

5,0252 x

2,,...1,0,

'

0)1( xinicial Datok Para

x f x f x x

k

k

k k

25)( 2 x x f

x x f 2)('

25.74

2542

)2(2

2522

21

x

35.5)25.7(2

25)25.7(25.7

'

2

1

112

x f

x f x x

011.5)35.5(2

25)35.5(35.5

'

2

2

223

x f

x f x x

000012.5)011.5(2

25)011.5(011.5

'

2

3

334

x f

x f x x

Converge

5000012.55

Ejemplo 2. Dado las ecuaciones f1 y f2 , calcular las raíces.


38/118

Ejemplo 2. Dado las ecuaciones f 1 y f 2 , calcular las raíces.

2323),(

10),(

12122212

21

2

1211

x x x x x x f

x x x x x f

0

22

0

11

2

0

2

1

0

2

2

0

1

1

0

1

0

2

0

1 .)()(

)()(

)(

)(

0

0

x x

x x

x

x f

x

x f

x

x f

x

x f

x f

x f

21

:

02

0

1

x x

iniciales Datos

Solución

02323

010

12122

21

2

1

x x x x

x x x

000 .)(0 x x J x f

000 )( Jf


39/118

000 .)( x x J x f

)(. 0100 x f J x x

)(. 0100 x f J x x

)(

)(

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)()(

0

2

01

1

2

0

2

1

0

2

2

01

1

01

0

2

01

1

2

11

x f

x f

x x f

x x f

x

x f

x

x f

x

x

x

x

1523)1(2)2)(1(32)(

710)2)(1(1)(

20

2

20

1

x f

x f

1)(

42)(

1

2

0

1

21

1

0

1

x

x

x f

x x x

x f

732)(

423)(

12

2

0

2

2

1

0

2

x x

x

x f

x x

x f

7141

11

1 x


40/118

15742

1

2

1

x

3336.1

4164.1

2

1

15

7.

1667.01667.0

0417.02917.0

2

11

2

1

1

x

x

3336.3

4164.21

2

1

1

x

x

)(

)(

)()(

)()(

12

11

1

2

12

1

12

2

11

1

11

12

11

22

21

x f

x f

x

x f

x

x f

x

x f

x

x f

x

x

x

x

4482.7

8943.3

9164.130008.8

4164.21664.8

3336.3

4164.2 1

2

2

2

1

x

x

2


41/118

4482.7

8943.3

0866.00848.0

0256.01476.0

3336.3

4164.22

2

2

1

x

x

0188.3

0323.22

2

21

x

x

4539.02654.0

1345.120564.70323.20834.7

0188.30323.2

1

3

2

3

1

x x

4539.0

2654.0

0989.00985.0

0284.01694.0

0188.3

0323.23

2

3

1

x

x

0000.3

0002.232

31

x

x

0014.00002.20004.70002.2

14

1x


42/118

0014.00006.120000.70000.342

1

x

x

0014.0

0014.0

0999.00999.0

0286.01714.0

0000.3

0002.24

2

4

1

x

x

0

109992.1

0000.3

0002.2 4

4

2

4

1 x

x

x

3

232

31

x

x

00

1.01.00286.01714.0

32

00

12727

32

1

5

2

5

1

x x

3

252

51

x

x

3

2

5

2

5

1

x

x

Para “n” iteraciones


43/118

Para n iteraciones

0..., 211 n x x x f

0..., 212 n x x x f

0..., 21 nn x x x f

)(0100 x f J x

1

0

2

0

1

0

1

01

2

01

1

01

10

)(...

)()(

)(...

)()(

n

nnn

x

x f

x

x f

x

x f

x

x f

x

x f

x

x f

J

0101


44/118

0

0

1

1

1

1

01

0

1

1

1

0

nnnn x

x

x

x

x x

x x

x

002

011

002

012

002011

0

02

01

0

...,

...,

...,

)(

)(

)(

)(

nn

n

n

n x x x f

x x x f

x x x f

x f

x f

x f

x f

Newton Rapson en coordenadas polares


45/118

n

q

q pq p V Y I 1

p j

p p eV V

p p p p V I jQ P *

q j

qq eV V

p p p p I V jQ P *

pq j

pq pq eY Y

q pq p j

n

q

q

j

pq

j

p p p eV eY eV jQ P

1

jsene j cos )(

1

. pqq p j

n

q

pqq p p p eY V V jQ P

)(cos1

pqq p pqq

n

q

p p Y V V P

)(1

pqq p pqq

n

q

p p senY V V Q

Formación de matriz


46/118

V L J

N H

V J J

J J

Q

P ..

43

21

pqSenY V V P

H pqq p pqq pq

p

pq

)(

n

pqq

pqq p pqq p

p

p

pp SenY V V P H

1

)(

)( pqq p pq pq

p

pq CosY V

V

P N

n

pqq

pqq p pqq pp pp p

p

p

pp CosY V CosY V V

P N

1

)(2


47/118

)( pqq p pqq pq

p

pq CosY V V Q

J

n

pqq

pqq p pqq p

p

p

pp CosY V V Q

J 1

)(

)( pqq p pq pq

p

pq SenY V V

Q L

)(21

pqq p pq

n

pqq

p pp pp p

p

p

pp SenY V SenY V V

Q L

Ejemplo 3. Determinar la matriz Jacobiana para el sistema


48/118

Ejemplo 3. Determinar la matriz Jacobiana para el sistema

11 , V 22 ,Q P

33

,V P 44 ,Q P

4 3

2 1

Por determinar lacte |V3| se obvio enla matriz Δ Q3

22222 00

V

P P P P


49/118

4

2

4

3

4

4

4

4

3

4

2

2

3

2

2

2

2

4

4

4

3

4

4

3

2

3

4

3

3

3

2

3

232

4

2

4

3

.

00

00

00

V

V

V

QQQ

V

QQQ

V

P P P V

P

V

P P P P

V

Q

Q

P

P

4

2

4

3

2

444443

222322

444443

3432343332

222322

4

2

4

3

2

00

00

00

00

V

V

L J J

L J J

N H H N N H H H

N H H

Q

Q

P P

P

22222 00

P P P P


50/118

4

4

3

2

4

4

4

4

3

4

4

3

4

4

3

4

4

3

4

3

3

3

2

3

2

3

3

2

2

2

2

2

322

4

4

3

2

00

00

00

00

V

V

V

QQQ

V

P P P

V

P P P

V

P P

Q

V

QQ

V

Q

P

P

Q

4

4

3

2

2

444443

444443

3434333232

232322

232222

4

4

3

2

2

00

00

00

00

V

V

L J J

N H H

N H H N H

J L J

H N H

Q

P

P

Q

P

Método de Desacoplado Rápido

L S b t i N J i d d t d l


51/118

Las Submatrices N y J son ignoradas dentro de laecuación, desacoplándose esta en dos ecuaciones.

V

V L J

N H

Q

P

.

H P

V

V LQ .

n

q

q pq p p p V Y V jQ P 1

**

q pq p j

q

n

q

j

pq

j

p p p eV eY eV jQ P

1)(

1

q p pq j

q p

n

q

j

pq p p eV V eY jQ P

n

VVjSCjBGjQP )()()(


52/118

q p

q

q pq p pq pq p p V V jSenCos jBG jQ P

1

)()()(

q pn

q

q p pqq p pq p V V Sen BCosG P

1

)()(

q pn

q

q p pqq p pq p V V Cos BSenGQ

1

)()(

q pn

pqq

q p pqq p pq p pp p V V Sen BCosGV G P

1

2

)()(

q pn

pqq

q p pqq p pq p pp p V V Cos BSenGV BQ

1

2

)()(

22 VBVB)()(

n

pVVCosBSenGH

P


53/118

p pp p pp

1

VBVB)()(

pQ

q p

pqq

q p pqq p pq pp

p

V V Cos BSenG H

2

p pp p pp V BQ H

)()(

q p pqq p pqq p pqq

pCos BSenGV V H

P

pp H

q p

n

pq

q

q p pqq p pq p pp p

p

pV V Cos BSenGV BV

V

Q

1

2

)()(2

p p pp pp p

p

pQV B LV

V

Q

2

)()( p

CBSGVVVQ

L


54/118

10

)()(. q p pqq p pqq pqq

p

pq Cos BSenGV V V V

L

Como:

2

p pp p V BQ 2

p pp pp V B L

pq pqq p pq H BV V L

También:

0)(

1)cos(

º7

q p

q p

q p

sen

pp p pp pp LV B H 2

V BV L B H ..


55/118

Sub matriz

V BV B ..'

V BV B ..''

V BV H .'.

V BV L .''.

H P

V

V LQ

V

V L

H

Q

P

La matriz

pq pq L H B ' pp pp L H B ''

)(.....'. V BV P


56/118

)(.....''.

V

V V BV Q

Consideraciones

1. La diferencia entre las matrices [B’] y [B’’] estriba enque en presencia de barras de tipo P-V, los ejescorrespondientes al voltaje controlado son omitidos

2. Los elementos que afectan al flujo de potenciareactiva como reactores y/o capacitores en shunt,capacitores en serie, capacitores de línea, taps fuerade lo nominal en transformadores de fase, etc. son

omitidos en la matriz [B’]

3. El ángulo desfasador de los transformadores condesfasamiento (fase cuadratura) son omitidos en [B’’]


57/118

desfasamiento (fase cuadratura) son omitidos en [B’’].

4. En cuanto a las tensiones, los términos en [V] del ladoizquierdo de las ecuaciones (α) y (β) son pasados alprimer miembro [ ΔP/|V|] y la influencia de los reactivossobre los ángulos son despreciados, así mismo el valoren [V] del lado derecho de la ecuación (α) es asumidoen 1 p.u. la matriz [V] del lado derecho a 1 P.U.

.' B

V

P

V B

V

Q

.''

5. Ambas sub matrices [B’] y [B’’] son reales y enambos casos son simétricos; excepcionalmente [B’]


58/118

ambos casos son simétricos; excepcionalmente [B ] no es simétrica cuando existe la presencia de fasecuadratura en el transformador.

6. Las resistencias en serie también son despreciadosal plantear la matriz o sub matriz [B’].

[B’] [B’’]

solo tomamosla suceptancia

B T ió C

Ejemplo:


59/118

Barra Tensión Carga

1 1.02

2 0.2 0.053 0.5 0.25

3

2 1 0.04

j0.20

0.06

j0.40 0.08

j0.30

j0.08

j0.04 j0.04 j0.06 j0.08

j0.06

1312

11

11S S Y

ZY

ZY


60/118

1312 Z Z

13268.732828.108.04.006.0

104.0

2.004.0

1

11

j j j

j j

Y

23

23

21

21

22

11S S Y

Z Y

Z Y

81972.779141.106.03.008.0

104.0

2.004.0

122 j j

j j

jY

32

32

31

31

33 11 S S Y Z

Y Z

Y

41702.519662.106.03.008.0

108.0

4.006.0

133 j j

j j

jY

80769.496153.02.004.0

11

12

2112 j j Z

Y Y


61/118

41702.519662.111203.382987.044498.236674.0

11203.382987.081972.779141.180769.496153.0

44498.236674.080769.496153.013268.732828.1

j j j

j j j

j j j

Y bus

41890.519662.111200.382987.044490.236674.0

11200.382987.081960.779141.180760.496153.0

44490.236674.080760.496153.013250.732828.1

j j j

j j j

j j j

Y bus

12 j

44498.236674.0

4.006.0

11

31

3131 j

j Z

Y Y

11203.382987.03.008.0

11

23

3223 j j Z

Y Y

2 1 j0.20


62/118

3

j0.30 j0.40

5.74.0

1

2.0

111

1312

11 j j j Z Z

Y

333381111

jY


63/118

83333.53.0

1

4.0

111

2313

33 j j j Z Z

Y

52.0

11

12

12 j j Z Y

5.24.0

11

13

13 j j Z

Y

33333.33.0

11

23

23 j j Z

Y

3333.83.02.02312

22 j j j Z Z

Y

||.||.||' q pq p V BV B


64/118

83333.533333.35.2

33333.333333.85

5.255.7

' B

2222.008889.008889.015556.0'

1 B

41702.511203.344498.2

11203.381972.780769.4

44498.280769.413268.7

'' B

23932.009524.0

09524.016578.0'' 1

B

0

323

0

222

0

121

0

2 V Y V Y V Y I 0

333

0

232

0

131

0

3 V Y V Y V Y I


65/118

º59.9519709.002 I

19615.001922.002 j I

º22.9218903.003 I

18889.000732.003 j I

19615.001922.00

2 jS 18889.000732.00

3 jS

)()(

0

2 calculado pdoespecifica p P P P )()(0

3 calculado pdoespecifica p P P P

)01922.0(2.00

2 P )00732.0(5.00

3 P

18078.002 P 49268.00

3 P

18078.0|| 02

0

2

V

P 49268.0|| 03

0

3

V

P

)19615.0(05.002 Q )18889.0(25.00

3 Q


66/118

14615.0

0

2 Q

14615.0|| 02

0

2

V

Q

06111.0

0

3

Q

06111.0|| 03

0

3

V

Q

||

||'

03

0

3

0

2

02

1

03

0

2

V

P

V

P

B

||

||''

03

0

3

0

2

02

1

03

0

2

V

Q

V

Q

BV

V

492680

18078.0

222220088890

08889.015556.00

0

2


67/118

49268.022222.008889.0

0

3

06111.0

14615.0

23932.009524.0

09524.016578.00

3

0

2

V

V

19.7

12.4

12555.0

07191.0

18003

02

x

40

3

02

100552.7

01841.0

xV

V

0

3

02

0

3

02

1

3

12


68/118

19.7

12.4

19.7

12.4

0

01

3

1

2

99929.0

01841.1

100552.7

01841.0

1

141

3

1

2

xV

V

º12.401841.11

2 V

º19.799929.013 V

0

3

0

2

0

3

02

1

3

12

V

V

V

V

V

V

11200.3)11200.3(||.||.|| 23322323 BV V L H


69/118

11200.3)11200.3(||.||.|| 32233232 BV V L H

81960.7)81960.7(|||| 322

22222 BV L H

41690.5)41690.5(|||| 332

33333 BV L H

1

323

1

222

1

121

1

2 V Y V Y V Y I 1

333

1

232

1

131

1

3 V Y V Y V Y I

º56.17316783.01

2 I º86.15751872.01

3 I

19546.048048.013 j I 018827.016677.01

2 j I


70/118

0008110

02869.0

222220088890

08889.015556.01

1

2


71/118

000811.022222.008889.03

11639.0

042301.0

23932.009524.0

09524.016578.01

3

1

2

V

V

1358.0

2516.0

002370.0

004391.0

18013

12

x

03188.0

01809.01

3

12

V

V

1

3

12

1

3

12

2

3

22


72/118

33.7

37.4

1358.0

2516.0

19.7

12.4

23

2

2

96741.0

00032.1

03188.0

01809.0

99929.0

01841.12

3

2

2

V

V

º37.400032.11

2 V

º33.796741.013 V

1

3

1

2

13

12

23

22

V

V

V

V

V

V

SOLUCIÓN DE FLUJO DE POTENCIA

Para la solución de flujo de potencia se puede utilizar las


73/118

Para la solución de flujo de potencia se puede utilizar lasadmitancias propias y mutuas que componen la matriz admitancia

de barra Ybarra, o las impedancias de punto de operación y detransferencia que constituyen Zbarra.Considerando una matriz admitancia de barra de NxN , el elementoY ij tiene la forma:

ijijijijijijijijij jBG senY jY Y Y cos

La tensión en una barra típica i del sistema está dada encoordenadas polares por:

)(cos iiiiii jsenV V V

Mientras que la tensión en una barra típica j se escribe de manerasimilar, cambiando solo el subíndice i por j .

… (a)

… (b)

La corriente total que se inyecta a la red a través de la barra i entérminos de los elementos Y in de la matriz admitancia de barra está


74/118

dada por:

N

n

ninniniii V Y V Y V Y V Y I 1

2211 ...

Sean P i y Qi las potencias real y reactiva totales que ingresan a lared a través de la barra i , entonces el complejo conjugado de la

potencia que se inyecta a la barra i es:

N

n

niniii V Y V Q P 1

*

Sustituyendo las ecuaciones (a) y (b) se tiene:

)(1

inin

N

n

niinii V V Y Q P

Expandiendo la última ecuación e igualando las partes real y reactiva, setiene:


75/118

tiene:

)cos( inin N

n

niini V V Y P 1

)( inin

N

nniini senV V Y Q 1

Las dos últimas ecuaciones constituyen la forma polar de lasecuaciones de flujo de potencia, las que dan valores calculados parala potencia real P i y la potencia reactiva Qi totales que entran a lared a través de una barra típica i .


76/118

FLUJO DE LÍNEAS YPÉRDIDAS


77/118

La corriente de línea I ij que va desde la barra i hasta la barra j es

'


78/118

2

'ijiij jiij

yV yV V I

El flujo de potencia S ij de la barra i a la barra j es:

*ijiijijij I V jQ P S

… (a)

… (b)

Sustituyendo (a) en (b) se tiene:

2

'*2*** ijiij jiiijijij

yV yV V V jQ P S

Entonces, para un número L de líneas en el sistema de n-barras,los flujos de línea están dados por:


79/118

Donde, H (X,U) es el vector de las ecuaciones de flujo de línea

),('

),(

.

.

.

),('),(

),(

1

1

U X h

U X h

U X hU X h

U X H

L

L

Donde:

2

122

1122111

**** '),(

yV yV V V U X h


80/118

2

2

1222121221

*

*** '),(' yV yV V V U X h

LINEA 1

2

'),('

2

'),(

*132

3

*

13

*

1

*

332

*132

1

*

13

*

3

*

112

yV yV V V U X h

yV yV V V U X h

LINEA 2

2

'),('

2'),(

*

232

3

*

23

*

2

*

333

*

2322

*23

*3

*223

yV yV V V U X h

yV yV V V U X h

LINEA 3

PÉRDIDAS

Utilizamos la matriz impedancia de barra para expresar la fórmula deé did


81/118

pérdidas.

Recordemos que la potencia de barra Si inyectada a la barra i representa la potencia generada menos la carga de la barra.Además, para un sistema de n barras, las pérdidas totales de la redson:

n

i

n

i

n

iiiiii L L V I jQ P S jQ P 1 1 1

*

Usando la matriz impedancia de barra tenemos:

n

k

k ik i ni I Z V 1

...,,2,1


82/118

Área-I: Exporta potencia +Spq

Área-II: Importa potencia -


83/118

Área-II: Importa potencia -Spq

q

shqqqp

pq

p

ah pq

qqqp

pq pp

Y Y Y

Y Y Y

Y Y

Y Y Y

q

p

qpqqqp

pq pq pp

qp

pq

V

V

Y Y

Y Y

I

I . Elementos de la diagonal

de la matriz de la línea p-q pq ppY

p sh p pqq p pq Y V Y V V I q pq p

Y

p

sh pq pq V Y V Y Y I

pq pp


84/118

** ][ q pq p pq pp p pq p pq V Y V Y V I V S

**2

q pq p pq pp p pq pq pq V Y V Y V jQ P S

pq pq

j

q

j

pq

j

p

j

pq pp p pq jQ P eV eY eV eY V S

q pq p pq pp

2

q pq p j

q

j

pq

j

p

p

pq

p

pqeV eY eV j

Q j

P

))(( qq p p p

pq

p

pq jba jf e j

Q j

P


85/118

q pq p pp p p

pqb f aeGV V

V

P

221


86/118

pqq pq pq

q

pq N b f aeV

V

P

pqq pq pq

q

pq Lbea f V

V

Q

pq pV

q pq p pq pp p p

p

pqa f be BV V

V

Q

222


87/118

Pot. Activa neta de intercambio = ∑Pact fluyendo fuera delárea-I (AI) PI=PA2.

Pot. Reactiva neta de intercambio = ∑Qreact fluyendo fuera del


88/118

Pot. Reactiva neta de intercambio ∑Qreact fluyendo fuera delAI QI=QA2.

Pot. Aparente neta de intercambio:

I I I Q P S

||||

||||||

|| 2

2

2

2

42

2

2

42

4

4

4

4

42

4

4

42

V

V S V

S S S

V

V S V

S S S S I

24244244

|||||||||| 242442

44

2

442

j j j j

eV eY eV eY V S

42424242

4

42

4

42

4

42 jN L jJ H Q

j P S

||||

||||

||||

4

4

424

4

424

4

42 V V

Q jV

V

P V

V

S


89/118

4242

2

42

2

42

2

42 jN LQ

j P S

424222

42

22

42

22

42 ||||

||||

||||

jL N V V

Q jV

V

P V

V

S

4244

2

442424244

2

44

4

42 ||||2||||

BV L j N GV V V

S


90/118

||

||

||

.

00||||

||||

00||||

||||

0000

66

6

44

4

22

2

4

4

42

4

422

2

42

2

42

4

4

42

4

422

2

42

2

42

464644444242

464644444242

24242222

24242222

4

4

2

2

V V

V V

V V

V V

QQV

V

QQ

V V P P V

V P P

L J L J L J

N H N H N H

L J L J N H N H

Q

P Q

P

Q

P

I

I

Ejemplo: Determinar el Jacobiano del siguiente sistema


91/118

AREA 2

P32

Q32

P2 ,Q2

|V 1 | 1

2 AREA 1

P3 ,Q3

4

3

Ref. Ref.

22

2

442423323222222

442423323222222

2

2

||||||||||||

||||||||||||

V V V V QQV V QQV V QQ

V V P P V V P P V V P P

Q

P


92/118

44

4

33

3

22

2

33323322232232

33323322232232

343433333232

343433333232

23232222

23232222

23

23

3

3

2

2

.

00||||||||

00||||||||

00

00

V V

V V

V V

V V QQV V QQ

V V P P V V P P L J L J L J

N H N H N H

L J L J

N H N H

Q

P Q

P

Q

P

44

4

33

3

443243233323322232232

443243233323322232232

443433333322323

443433333322323

23

23

3

3

.

||||||||||||

||||||||||||

||||||||||||

||||||||||||

V V

V V

V V QQV V QQV V QQ


V V QQV V QQV V QQ


Q

P

Q

P

Control remoto de tensiónEn el sistema de potencia, es posible controlar la tensión de una barradesde una fuente reactiva ubicada en una barra cualquiera de la red

G


93/118

En el nodo P la potencia Pp es fijada y |Vp| es ajustada, considerandola restricciones para controlar remotamente la tensión de la barra Q ymantener la tensión en Vp, donde además Pq y Qq son fijados

maxmin p p p QQQ

Para determinar los elementos del Jacobiano se debe considerar queVp es ajustado para mantener Qp por lo que las derivadas respecto ala tensión de la barra Q deben ser efectuadas sobre la barra P ósea:

p

p

xq

q

x V V

P V

V

P

p

p

xq

q

x V V

QV

V

Q

q p G

P s

|V |

También las derivadas de QG respecto a δ y magnitud de |V| son ceroy que todos los nodos conectados a Q son afectados por la sustituciónde |Vq| mediante la magnitud de |Vp|

EJEMPLO D t i l j bi d l i t t l


94/118

EJEMPLO: Determinar el jacobiano del sistema que se muestra en la

Fig.11 , V

33,Q P 444 ,, V Q P

22

4

33

3

2

444343

444343

3234333332

3234333332

22232322

4

4

3

3

2

.

00

00

0

V V

V V

J L J

H N H

L J L J J N H N H H

N N H H

Q

P

Q P

P

V P Barra 2

3

1

4

Ref.|V4|= Constante

|V2|= Controla Q4

Transformadores con fase variable, bajo carga.

Transformador con Taps variable bajo carga.

p q ZpqY


95/118

Z pq

Y pq aY

T

Y p (1-a) Y T Y q a(a-1) Y T

T pq

aY Y

T p Y aY )1(

T q Y aaY )( 2

Equivalente π de un transformador en fase de tapsvariables

a: Relación de Transformacióna: Variable constante

Mediante estos transformadores se puede conmutar latensión en cualquier lado del transformador.

a Control del lado de envío P


96/118

Barra P controlado mediante el taps a

a. Control del lado de envío P

Y pq

ap :1 Z T q P

T T pq p pq aY Y

YYY

Y Y Y Y

2

La matriz admitancia del transformador entre las barras p – q es:


97/118

T T qqpqp Y aaY Y Y Y

2

T T T

T T T

Y aaaY aY

aY Y aaY Y

)1(

)1(

Expresiones del lado controlado

n

k

k pk p p p p V Y V jQ P S 1

**

n

qk k

q pqk pk p p V Y V Y V S 1

****

**

1

***2 )(|| qT p p

n

k

k pk p pp p p V Y aV V Y V Y V S


98/118

,1

q pk k

q pq p

k pk p pp

j

q

j

T p

j

p

n

q pk k

j

k

j

pk

j

p

j

pp p p

eV eY aeV

eV eY eV eY V S

||)||(||

||||||||||

,1

2

n

q

j

q

j

pq

j

p

n

qq pq p p p

q pq p

eV eY eV V Y V jQ P 11

**

||||||

qpqp

k pk p pp

j j j

n

q pk k

j

k

j

pk

j

p

j

pp p p p

VYV

eV eY eV eY V jQ P

||||||

||||||||||

,1

2


99/118

q pq p j

q

j

pq

j

p eV eY eV ||||||

q pq p

k pk p pp

j

q

j

T p

j

p

n

q pk

j

k

j

pk

j

p

j

pp p p p

eV eY aeV

eV eY eV eY V jQ P

|||)(|||

||||||||||,

2

Derivada δp

q pq p

k pk p

j

q

j

T p

j

p

n

q pk

j

k

j

pk

j

p

p

p

p

p

eV eY aeV

eV eY eV j

Q

j

P

|||)(|||

||||||.,

ppq pq p

k pk p pp

j

pp p

j

q

j

T p

j

p

n

q pk

j

k

j

pk

j

p

j

pp p

p

p

p

p

eY V jeV eY aeV

eV eY eV eY V jQ

j P

|||||||)(|||

||||||||||.

2

,

2


100/118

pppqpp

pp j pp p p p

p

p

p

peY V jQ P j

Q j

P

|||| 2

)(|| 2 pp pp p p p p

p

p

p jBGV jQ P j

Q j

P

pp p pp p p

p H V BQ

P

2||

pp p pp p

p

p J V G P

Q

2||

Derivada δq

q pq p j j j p p eVeYaeVjQ

j P

|||)(|||


101/118

qT p p

qq

eV eY aeV j j

|||)(|||

q pq p j

q

j

pq

j

p

q

p

q

peV eY eV j

Q j

P

||||||

))(( qq p pq

p

q

p jba jf e j

Q j

P

q pq pq pq pq

p

q

p b f a jf b jeae jQ j P

q pq p

q

p

pq bea f P

H

Q


102/118

q pq pq p

pq b f ae j

Q

j J

q pq p

q

p

pq aeb f Q

J

Derivada ap

q pq p jq

jT

j p

p

p

p

p eV eY eV aQ j

a P

||||||

q pq p j

q

j

T p

j

p p

p

p

p

p

peV eY aeV a

a

Q ja

a

P

|||)(|||


103/118

q pq p jq

j pq

j p p

p

p p

p

p eV eY eV aaQ ja

a P

||||||

))(( qq p p p p

p

p

p

p jba jf ea

a

Q ja

a

P

pqq pq p p

p

p N b f aea

a

P

pqq pq p p

q

p Lbea f a

a

Q

b. Control del lado de envío q

ZTq P 1:ap


104/118

Barra q controlado mediante el taps a

La matriz admitancia del transformador entre las barras q – p.

Y qp

Z T

S |V |

T T T

T T T

q pqqp

pq pqp

Y aaY aY

aY Y aaaY

Y Y Y

Y Y Y Y

)1(

)( 2

qqY

ppY

n

k

k qk qqq V Y V jQ P 1

**


105/118

qq pqpq

k qk q

j

qqq

j

p

j

qp

j

q

n

q pk k

j

k

j

qk

j

qqq

eY V eV eY eV

eV eY eV jQ P

||||||||||

||||||

2

,1

qpqq pqpq

k qk q

j

T

j

qqq

j

p

j

T

j

q

n

q pk

j

k

j

qk

j

qqq

eY aeY V

eV eY aeV

eV eY eV jQ P

22

,

||||

|||)(|||

||||||

pq p p pq p

p

pGV aa N a

a

P 2||.


106/118

pq p p pq p

p

p BV aa La

aQ 2||.

qp p

p

q

N aa

P

qp p

p

q La

a

Q

0

p

p

i

aa

P

0

p

p

i aa

Q

Para todo losnodosconectadosentre i – p.

Transformadores en fase cuadratura. Permiten controlar el F. Pot. Activa por deter electroducto.

a :1 q P q


107/118

p q

Yqp= aYT

(1-a) YT (1-a) YT

Ypq= aYT

Y pq

I p

V p V q

I q

a: Complejo

T T

T T

Y aaY

aY Y Y

2 pq j

pq

eaa

aa

||

||


108/118

T T

j

T j

T

Y aY ea

Y eaY Y

pq

pq

2||

||

Para Considerar este parámetro de control en el Jacobiano esnecesario aumentar una fila y una columna, con la finalidad deconsiderar las variables Φpq y Ppq.

Los nuevos términos de derivada parciales de filas y columnas son:

Expresión barra de envío:


109/118

q pq pq pq p pq

p

pq

pb f a jf b jeae j

Q j

P


110/118

pq pq pq pq

pq

p

pq

p f bea jeb f a

Q j

P

pq

q

p

pq pq

pq

p H P eb f a P

pqq

p pq pq

pq

p J Q f beaQ

Expresión barra de recepción:

**

1

**

pqpq

n

k

k qk qqq V Y V V Y V jQ P


111/118

p K

**

1

** )||( pT j

q

n

p K k

k qk qqq V Y eaV V Y V jQ P pq

** ) pqpq pq

q

pq

qV Y jV

Q j

P

))(( p pqq pq

q

pq

q

jba jf e j

Q

j

P

q p pq pq pq pq

q

pq

q f ba jf b jeae j

Q j

P


112/118

q pq pq pq p

pq

q

pq

q f bea j f aeb

Q j

P

qp

p

q

q pq p

pq

q H

P f aeb

P

qp

p

qqqq p

pq

q J Q f beaQ

Expresión en la línea:

***2||. q pq p pq pp pe pq V Y V Y V R P


113/118

q pq p jq j pq j p pq pp pe pq eV eY eV Y V R P

||||||||. *2

q pq p jq j pq j pe p

pqeV eY eV j R

P

||||||

))((** qq p peq pq pe p

pq jba jf e j RV Y V j R

P

)( q pq pq pq pe p

pqb f a jf b jeae j R

P

)()( pq pq pq pqe p

pq f bea j f aeb R

P

p pq P P


114/118

pq

p

p

pq pq

p

pq

H f aeb

***||2||

q pq

j

pq pp pe

p

pqV Y eY V R

V

P p

))(()(||2||||

2

qq p p pq pp

pq pp pe p

p

pq jba jf e jBGV RV

V

P

***2 ||||2||||

q pq

j

p pq pp pe p

p

pqV Y eV Y V RV

V

P p

)()()(||2||||

2

q pq pq pq p pp pp pe p

p

pqbea f jb f ae jBGV RV

V

P

2 pq P


115/118

)(||2|||| q pq p pp p p p b f aeGV V V

** q pq peq

pqV Y V j R

P

))(( qq p peq

pq jba jf e j R

P

)()( pq pq pq pqeq

pq f bea jeb f a R

P

pq P


116/118

pq pq pq

q H eb f a

q j

pq pq

pqeY V

V

P

*

||

*** ||||||

q pq p

j

q pq peq

q

pqV Y V eV Y V RV

V

P q

))((||||

qq p peq

q

pq jba jf e RV

V

P

)(||||

pq pq pq pqeq

q

pqeb f a j f bea RV

V

P

pq N f beaV

P

||


117/118

** q pq pe pq

pqV Y V j R

P

))(( qq p pe pq

pq jba jf e j R

P

pq pq pqqq

fV

||||

)( pq pq pq pqe pq

pq f b f jae jbea j R P

pq

q

p

pq pq

pq

pq H

P eb f a

P


118/118

flujo de potencia u-vi

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