FLUJO DE POTENCIA OPTIMO

CAP. III

3.1. INTRODUCCION

3.1. INTRODUCCION

El crecimiento constante de la demanda de energía, ha exigido la expansión compleja de los sistemas eléctricos de potencia, a través de la instalación de nuevas fuentes generadoras e interconexión de los sistemas.

El modelo linealizado del flujo de potencia o modelo DC es bastante utilizado como una herramienta rápida para el calculo aproximado de los flujos de potencia activa en los sistemas eléctricos de potencia, los errores en la aproximación son relativamente pequeños (2% a 4%), con énfasis en las líneas más sobrecargadas.

Es impotente señalar, que a causa de las hipótesis simplificadoras, existen limitaciones del modelo linealizado, por ejemplo el modelo no es capaz de calcular ni en forma aproximada los flujos de potencia reactiva del sistema.

Sin embargo, a la luz de estas desventajas, el flujo DC es utilizado por excelencia en los modelos de planificación de la operación de los sistemas eléctricos.

3.2. MODELO DE LA RED DE TRANSMISION ELECTRICA

3.2. MODELO DE LA RED DE TRANSMISION ELECTRICA

La operación eléctrica de un sistema de generación y/o transmisión de energía eléctrica normalmente se describe a través de cuatro magnitudes asociadas a cada barra i del sistema:

La magnitud de tensión nodal Vi El ángulo de tensión nodal θi La inyección de potencia activa Pi La inyección de potencia reactiva Qi

La generación y la demanda (carga) total de potencia en cada barra corresponden respectivamente a la inyección de potencia reactiva positiva y negativa en la barra. Considerando Gi y Li como generación y demanda respectivamente en la barra i, la inyección neta Pi esta dada por:

i i iP G L LiGiPi

3.2.1. MODELO PI DE LA RED

3.2.1. MODELO PI DE LA RED

Una línea de transmisión conectada a las barras i , k de un sistema de energía eléctrica, puede ser representada por el modelo equivalente Π, mostrado a continuación en la fig. y definida por las características físicas de la línea: la conductancia serie Gik, la susceptancia serie Bik y la mitad de la susceptancia shunt (conectada a tierra) B’ik

Iik

jB'kijB'ik

ki Y ik = G ik + jB ik

3.2.2. MODELO DE FLUJO DE POTENCIA NO LINEAL

ikikikikkiiikik senBGVVVGP cos2

ik

3.2.2. MODELO DE FLUJO DE POTENCIA NO LINEAL

El calculo del flujo de potencia en un sistema eléctrico corresponde a la determinación de los flujos de potencia activa y reactiva en los circuitos que conforman la red de transmisión. Los flujos de potencia activa Pik y reactiva Qik corresponden respectivamente a las componentes real e imaginaria del flujo de potencia aparente S*ik

Las cuales, explícitamente se pueden expresar como:

Donde θik= θi – θk es la diferencia angular de la línea i-k

ikikikikkiiikikik BsenGVVVBBQ cos)( 2'

ikikikjQPS

Se sabe que la inyección de potencia activa en la barra i es igual a la suma de los flujos de potencia activa de todas las líneas conectadas a dicha barra, las expresiones resultantes son:

Con el mismo análisis se obtiene la expresión para la inyección neta de potencia reactiva

Donde:

Donde:

La expresión para las perdidas de potencia en la línea i-k esta dado por:

3.2.3. MODELO DE FLUJO DE POTENCIA LINEALIZADO

3.2.3. MODELO DE FLUJO DE POTENCIA LINEALIZADO

Una aproximación muy usada del modelo de flujo de potencia no lineal es el conocido como flujo de potencia linealizado o flujo DC. Este modelo convierte las ecuaciones generales de flujo en ecuaciones lineales simples.

Se acepta que la modelación del flujo DC se acerca mucho al comportamiento real del sistema bajo condiciones de estabilidad de tensión y control de reactivos. De allí su uso es muy frecuente en los modelos de planificación de la operación, además una característica importante del modelo linealizado es el hecho de entregar una solución aún a los problemas que no podrían ser resueltos por métodos convencionales del flujo de potencia no lineal.

El flujo DC es por es por excelencia un método muy rápido de converger.

Las aproximaciones adoptadas en el flujo linealizado son las siguientes:

-Las tensiones en las barras son iguales al nominal

-Las diferencias angulares θik en las línea son relativamente pequeñas. Así, se obtienen :

-Las resistencias en las líneas son muy pequeñas comparadas con las reactancias

Y consecuentemente:

Las susceptancias shunt pueden ser despreciadas

La aplicación de estas hipótesis a la expresión del flujo de potencia activa no lineal, resulta en:

La inyección de potencia activa en la barra es igual a la suma algebraica de los flujos que salen de la barra:

El modelo del flujo de potencia lineal o modelo DC, entonces se puede escribir en forma matricial como:

Donde:P : es el vector de inyecciones netas de potencia activas

nodalesθ :es el vector de ángulos nodalesB’:es una matriz que depende de las características físicas de

las líneas de transmisión, y sus elementos son:

Como no hay pérdidas en el sistema, la suma de las inyecciones netas de potencia es nula, lo que implica en la singularidad de la matriz B’. Este problema se evita adoptando una barra de referencia S, que pasa a ser la referencia angular del sistema. La inyección en la barra de referencia esta dada por el balance total del sistema

Las variables Ps y θ s son retiradas del conjunto de ecuaciones del modelo DC, que se transforma en un nuevo sistema

Donde:

P’ :Es el vector con dimensión (n-1) de las inyecciones netas de potencia activa en todas las barras del sistema, excepto en la barra de referencia S.

θ‘ :Es el vector con dimensión (n-1) de los ángulos de tensión en todas las barras, excepto en la barra de referencia S.

B’’:Es una matriz resultante de la exclusión de la fila y columna S de la matriz B’,

3.2.4. REPRESENTACION DE LAS PERDIDAS

3.2.4. REPRESENTACION DE PERDIDAS

Las perdidas eléctricas entre los nodos i-k, en su forma original son ecuaciones no lineales del modelo. Con la hipótesis de que las tensiones nodales son iguales al nominal, la expresión de perdidas se reduce a:

Esta expresión continua siendo no lineal. Utilizando la expansión de la serie de Taylor, hasta el segundo orden, en (Cosθik), se tiene:

Por lo tanto, las perdidas, en la línea i-k, se pueden aproximar a:

Así, el total de pérdidas en las líneas, asociadas al nodo i, esta dado por:

El efecto de las pérdidas se puede aproximar como “cargas adicionales”, obtenidas dividiéndose las perdidas de cada línea del sistema eléctrico entre sus barras terminales (mitad para cada lado). El modelo DC pasa a asumir la formula:

El procedimiento recursivo de solución de esta “linealizacion” se basa en:1. Calcular la solución temporaria de θ’, sin incluir la expresión PERD (*)

2. Calcular las perdidas aproximadas (**) a partir de la solución temporaria θ’.

3. Resolver el sistema (***) incluyendo las perdidas calculadas en 2

4. Test de convergencia: parar o en caso contrario volver al paso 2 con el nuevo valor de θ‘.

3.3. EL FLUJO DE POTENCIA OPTIMO

3.3. EL FLUJO DE POTENCIA OPTIMO

En este ítem, el problema de operación óptima es modelado como un problema de optimización.

Inicialmente, con el propósito de mostrar los conceptos básicos del método, se presenta

una formulación lineal básica.

Esta formulación, rápida y eficaz, es muy utilizada actualmente por los modelos internacionales.

Posteriormente, en el capitulo siguiente se describe una extensión, con la finalidad de incluir la falla y las pérdidas de transmisión

3.3.1. LA REGION FACTIBLE DE OPERACIÓN ELECTRICA

3.3.1. LA REGION FACTIBLE DE OPERACIÓN ELECTRICA

El modelo esta caracterizado por dos magnitudes asociadas a cada barra i, las cuales son:

• La inyección de potencia activa Pi

• El Angulo de tensión θi

La primera denominada variable de control y la segunda variable de estado. El modelo de flujo de potencia linealizado relaciona las dos variables de la red eléctrica a través de las ecuaciones lineales resumidas a continuación

En la expresión (a) del flujo de potencia activa, por conveniencia de notación se reemplaza Pik con Fik, se puede escribir como:

Para aprovechar la característica esparsa de la red,

este flujo se puede expresar:

Donde [eik] es un vector de dimensión (n-1), cuyos elementos son ceros, excepto en la posición i, donde vale Bik y en posición k, vale -Bik

Dadas las potencias de generación G y las demandas L, los ángulos de las tensiones nodales se pueden calcular a partir de las siguientes ecuaciones:

Expresando el flujo de potencia activa en función de las inyecciones netas de potencia.

Se sustituye en:

En forma vectorial, se tiene:F: es el vector de flujos en las líneas

E: es la matriz cuyas filas corresponden a los vectores eikt

EJEMPLO: En la figura, la carga L3, debe ser atendida por los generadores G1 y G2. Los valores mostrados en las líneas corresponden a las susceptancias serie. Inicialmente con la finalidad de mostrar el calculo de los flujos de potencia en función de las potencia generadas, se suponen conocidos los vectores G y L

1 2

3

G1 G2

L3

1

1 2

Sistema eléctrico de tres barras

El vector de inyecciones nodales está dado por:

La matriz B’ se obtiene utilizando:

Debido a la singularidad de la matriz B’, existe la necesidad de escoger una barra de referencia. Sea 3 la barra de referencia, eliminando la fila y columna asociadas a ella y utilizando la ecuación:

Se forma el siguiente sistema de ecuaciones:

A partir de:

Se calculan los ángulos nodales:

Los flujos de potencia activa en las líneas están dados por:

La inyección de potencia neta en la barra de referencia corresponde a:

1 2

3

5 5

10

1

64

Punto de operación del sistema de 3 barras

3.3.2. CONSTRUCCION DE LA REGION DE FACTIBILIDAD

3.3.2. CONSTRUCCION DE LA REGION DE FACTIBILIDAD

Las inyecciones de potencia P definen el punto de operación del sistema eléctrico. Este punto será considerado factible si se cumplen las siguientes restricciones operativas:

• Las ecuaciones de balance de potencia son atendidas:

• Las generaciones en cada barra i están entre sus limites mínimos y máximos

En forma vectorial

Donde Gimin y Gi

max son respectivamente los vectores de generación nodales mínimos y máximos. Las barras sin generación se representan con limites máximos y mínimos iguales a cero

Los flujos en cada línea i-k (en sentido (i-k) o (k-i)) están dentro de los limites máximos Fik

max

Equivalente a:

Donde Fmax es el vector de limites de flujos en las líneas

De la expresión se obtiene:

EN RESUMEN: las condiciones de factibilidad de un punto de operación son dadas por:

Supóngase, que se conocen las demandas a ser atendidas. Por lo tanto, se deben optimizar las generaciones

Puede desdoblarse en:

Donde:

G’ : es el vector de las generaciones nodales, excepto la barra S de referencia

L’ : es el vector de las cargas nodales, excepto la barra S de referencia

Substituyendo las ecuaciones del RESUMEN, con las ecuaciones (a) y (b), se construye una región factible de operación en función de las variables de generación G:

EJEMPLO: Utilizando el sistema del ejemplo, sean conocidas las demandas:

Dados los limites operativos de generación:

Y de flujo:

La región factible de operación del sistema eléctrico se puede construir a partir de las restricciones:

• Balance de potencia:

• Limites de generación:

10212 GG10212 GG

30213 GG30213 GG

502412 GG

502412 GG

• Limites de flujo:

O equivalente como:

3.3.3. CALCULO DEL PUNTO OPTIMO DE OPERACION

3.3.3. CALCULO DEL PUNTO OPTIMO DE OPERACIÓN

Conocida la región de factibilidad, se deben seleccionar, entre todos los puntos de operación posibles, el mas conveniente (optimo).

Si se conocen, por ejemplo los costos Ci asociados a la operación de cada generador i, entonces debemos buscar el punto mas económico de operación.

La función objetivo se representa matemáticamente como:

Sujeto a las restricciones del sistema:

10212 GG

1020 G1010 G

10212 GG10212 GG30213 GG30213 GG502412 GG502412 GG

EJEMPLO: Considerando el sistema del ejemplo, de la sección anterior y suponiendo los costos de generación como c1=1 y c2=2, el problema de la operación optima del sistema se puede formular como el siguiente problema de minimización:

Sujeto a:

La representación geométrica de este problema se muestra en la figura siguiente. La determinación del punto optimo de operación puede entenderse como la búsqueda del costo mas económico. Es posible ver que el punto optimo de operación es:

1 2

3

20/3 10/3

10

2

16/314/3

A

B

20/3

10/3G2

G1

G1+2G2

G1+2G2Representación geométrica del problema de operación optima

El costo asociado a este punto de operación es de 40/3. La distribución de flujos de potencia se muestra en la fig.

3.4. MODELAMIENTO DEL DEFICIT DE ENERGIA ELECTRICA Y LAS PERDIDAS DE

TRANSMISION

3.4.MODELAMIENTO DEL DEFICIT DE ENERGIA ELECTRICA Y LAS PERDIDAS DE TRANSMISION

En el modelo básico presentado en la sección anterior, el problema de la operación optima fue formulado a través de un conjunto de ecuaciones lineales, conocidas como el modelo de flujo de potencia linealizado.

Este modelo debe ser modificado de forma de, incluir el déficit de energía y las perdidas de transmisión. Los modelos presentados a continuación son una extensión del modelo original del flujo de potencia linealizado

3.4.1. MODELO LINEAL PARA EL DEFICIT

3.4.1. MODELO LINEAL PARA EL DEFICIT

La inclusión del déficit en la atención de la demanda (falla) es una manera alternativa de medir el grado de infactibilidad del sistema eléctrico. Normalmente, el vector déficit es una variable de control adicional al problema y se presenta como generadores ficticios en cada barra.

iG D

R

iG D

R

Representación del déficit como generación ficticia

Este efecto solamente transforma las ecuaciones de balance nodal del modelo básico del flujo optimo linealizado. En este caso, no es necesario utilizar variables de holgura asociadas a las restricciones de limites de generación y flujo

La ecuación de balance de potencia nodal se transforma en:

Donde: Ri : es el déficit en la barra i, y esta limitado por:

(Li - Ri) es la demanda efectiva atendida en la barra.

El modelo de Flujo de Potencia Linealizado, ahora es formulado como:

Definiendo R’, un vector con dimensión (n-1), como los déficits en las barras del sistema, excepto en la barra de referencia S, la expresión de los flujos de potencia activa en la línea, se transforman en:

En realidad, la variable de falla solo debería estar asociado a las barras de demanda

La búsqueda del punto optimo de operación del sistema eléctrico se transforma en la minimización del costo total, el cual contiene el costo de generación mas el costo de falla:

Sujeto a:

Donde di son los costos de falla unitarios

Este nuevo problema continua siendo lineal, por lo tanto, para resolverlo se pueden utilizar métodos de optimización lineal

10321 GGG

02G

22G10212 GG

10212 GG

30213 GG30213 GG502412 GG

502412 GG

01G

101G

1030 R

EJEMPLO: Utilizando el mismo ejemplo de la sección anterior, y alternado la capacidad máxima del generador 2 desde 10 a 2 unidades, y además considerando como costo de falla unitario d3=10; la formulación del flujo de potencia linealizado es:

Sujeto a:

La solución óptima de este problema corresponde al punto P dado por:

Gráficamente, se tiene la distribución de flujos mostrado en la figura. Se aprecia que la limitación en la capacidad del generador 2 ocasiona un corte de carga de 2 unidades en la barra 3 y un costo de operación de 30 unidades.

1 2

3

6

10

2

4

2

2

4

Punto Óptimo de operación incluyendo la falla

3.4.2. EL EFECTO DE LAS PERDIDAS DE TRANSMISION

3.4.2. EL EFECTO DE LAS PERDIDAS DE TRANSMISION

La inclusión de las perdidas de transmisión complica la linealidad del problema. La representación de las perdidas, tal como se mostró en los capítulos previos, es una expresión no-lineal y al incluirla en el modelo del flujo de potencia linealizado, transforma al problema en uno de programación no-lineal.

Por otro lado, para evitar incrementar el numero de variables y aprovechar la inversión de la matriz susceptancia fuera del proceso de optimización, se utilizara un procedimiento similar al adoptado en los modelos previos

Se definió el vector PERD representa las perdidas concentradas en cada barra:

Al incluir este vector en la ecuación de balance de potencia se tiene:

El nuevo Modelo de Flujo de Potencia Linealizado, es formulado como:

Definiendo PERD’ un vector con dimensión (n - 1), como las perdidas en las barras del sistema, excepto en la barra de referencia, la expresión de los flujos de potencia activa en las líneas, se transforman en:

O su equivalente:

Con esta nueva expresión para el flujo de potencia activa, el modelo de optimización contiene tres vectores de variables de control: G’, R’ y el vector θ’. Matemáticamente, el nuevo modelo es:

Sujeto a:

La solución de este modelo requiere la asistencia de una herramienta no lineal (e.g. MINOS)

Se ha tomado interés en la reducción de las variables de control, lo ideal seria expresar las perdidas en función de las variables de generación G’ y de la falla R’. En este sentido, siendo las perdidas dependiente de θ, y esta a su vez depende de P’, entonces es posible expresar en función de P’

Utilizando la formula original, sin perdidas, se tiene:

Además:

Es posible expresar el vector PERD’ en función de los vectores G’ y R’, variables iniciales del problema. Cada elemento del nuevo vector, denominado PERD’’ estaría representado por:

Finalmente, de esta forma, las perdidas se representan de forma explicita en el modelo matemático, el cual resulta:

Sujeto a:

Con respecto a la formulación anterior en numero de restricciones es igual, el numero de expresiones individuales en cada restricción aumenta, sin embargo, el numero de variables disminuye. Este modelo es mas rápido y eficaz que el anterior y mucho mas rápido y eficaz que la modelación tradicional.

La solución de este modelo se realiza con un paquete de optimización no lineal. Se sabe que los métodos no lineales parten de un punto inicial, del cual depende el tiempo de solución (tiempo en encontrar el punto optimo), por lo tanto, una alternativa para abordar este problema esta dado por lo siguientes pasos:

1. Resolver el problema sin considerar perdidas.

2. La solución del paso anterior, es el punto inicial para el modelo siguiente.

3. Resolver el problema de optimización no lineal, incluyendo las perdidas de transmisión

Estos dos procesos de optimización se pueden realizar sin problemas con el MINOS o el CPLEX.

Considerando, las resistencias de las líneas de transmisión 1-2 , 1-3 y 2-3. con valores de 0,1 ; 0,1 y 0,05 p.u. Se desarrollan los valores de las conductancias de 10; 10 y 20 respectivamente y las ecuaciones correspondientes, desarrolladas a continuación:

PROBLEMA 1

Considerar el sistema de 4 barras , cuyos datos se muestran en las tablas adjuntas. Utilizando el método linealizado determinar el estado de la red, el flujo de potencia correspondiente y comparar porcentualmente los resultados con los obtenidos aplicando los métodos no lineales. Sb = 100 MVA

Las matrices conductancia de la red de la figura anterior, en su configuración integral y cuando es retirada la correspondiente a la fila y columna de la barra de referencia , son las siguientes:

B’=[46.7230 -19.8413 -26.8817 0;-19.8413 46.7230 0 -26.8817;-26.8817 0 42.6050 -15.7233;0 -26.8817 -15.7233 42.6050 ] B’ = 46.7230 -19.8413 -26.8817 0 -19.8413 46.7230 0 -26.8817 -26.8817 0 42.6050 -15.7233 0 -26.8817 -15.7233 42.6050

B’’=[46.7230 0 -26.8817; 0 42.6050 -15.7233;-26.8817 -15.7233 42.6050 ] B’’ = 46.7230 0 -26.8817 0 42.6050 -15.7233 -26.8817 -15.7233 42.6050

Los vectores de las potencias efectivas de cada una de las barras del sistema (sin incluir la barra de referencia) y denominando D a la matriz inversa de [B’’]-1 , son las siguientes:

P’=[-1.7; -2.0; 2.38]P’ = -1.7000 -2.0000 2.3800

D=inv(B’’)D = 0.0369 0.0100 0.0270 0.0100 0.0299 0.0173 0.0270 0.0173 0.0469

R = 57.2956

El valor de R, corresponde al factor para la conversión de radianes en grados

Ɵ=D*CƟ = -0.0185 -0.0355 0.0311

G=Ɵ*RG = -1.0591 -2.0317 1.7826

E=[ -19.8413 0 0; 0 -26.8817 0; 26.8817 0 -26.8817 ; 0 15.7233 -15.7233]E = -19.8413 0 0 0 -26.8817 0 26.8817 0 -26.8817 0 15.7233 -15.7233

El valor del ángulo de las tensiones de las barras del sistema expresados en radianes y en grados son los mostrados a continuación, también la matriz de los valores de las suceptancias en cada una de las líneas del sistema:

F=E*D*P’ F = 0.3668 0.9532 -1.3332 -1.0468

Finalmente los resultados del flujo de potencia de las 4 líneas son las mostradas a continuación:

PROBLEMA 2Considerar el sistema de 4 barras , del problema anterior. Considerando las perdidas determinar el estado de la red, el flujo de potencia correspondiente . Incorporar el déficit en las barras de carga.

Calculando los fasores de las tensiones de las barras del sistema se tiene:Con valores iniciales de los fasores , los obtenidos en el problema anterior, o sea, en radianes:

Ɵ = 0.0 -0.0185 -0.0355 0.0311

En grados sexagesimales:

G=Ɵ*RG = 0.0 -1.0591 -2.0317 1.7826

Determinando las pérdidas por alimentador, se tiene:

ΔP12 = g12 (Ɵ12)2 =(0.01008/[ (0.01008)2 +( 0.05040)2 ] )*(0+0.0185)2

ΔP12 = 0.0013ΔP13 = 0.0065ΔP24 = 0.0127ΔP34 = 0.0134

Calculando la matriz de potencias inyectadas en las tres barras del sistema de potencia:

P =P1-

P = P1-0.5-1/2(0.0013)-1/2(0.0065) = P1-0.50390 -1.7000 –(0.0013+0.0127)/2 = -1.70700 -2.0000 –(0.0134+0.0127)/2 = -2.01305 3.180 -0.8000 –(0.0065+0.0134)/2 = 2.37005

La matriz de suceptancia es la siguiente:

B = Inf -19.8413 -26.8817 0 -19.8413 46.7230 0 -26.8817 -26.8817 0 42.6050 -15.7233 0 -26.8817 -15.7233 42.6050

B-1 = inv( B)

B-1 = 0 0 0 0 0 0.0369 0.0100 0.0270 0 0.0100 0.0299 0.0173 0 0.0270 0.0173 0.0469

E = 19.8413 -19.8413 0 0 26.8817 0 -26.8817 0 0 26.8817 0 -26.8817 0 0 15.7233 -15.7233

F=E*B-1*P

Los nuevos flujos calculados son los siguientes:

Resultados de flujo de potencia, incluyendo perdidas

P = 1.0e+003 * 1.0000 -0.0017 -0.0020 0.0024

F =

0.3798 0.9702 -1.3272 -1.0428

Para las siguientes iteraciones se calculan nuevamente las pérdidas con los valores nuevos de tensión. O sea :

Con V1=1,0/0° V2=1,0/-1,1001° V3=1,0/-2,0684° V4=1,0/1.7273°

Se calculan, las pérdidas en cada línea para luego asignar la mitad de cada pérdida en cada una de las barras correspondientes, para luego calcular los flujos y establecer la diferencia de los fasores con la iteración anterior, de tal forma que alcanzando un valor menor o igual que el épsilon establecido, se alcanzara la convergencia y en esas condiciones establecer los valores de flujo definitivos.

Los resultados de la primera iteración, incluyendo las pérdidas son:

POWER FLOW RESULTS Bus V phase P gen Q gen P load Q load [p.u.] [rad] [p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]  Bus1 1 0 1.8702 1.3376 0.5 0.3099 Bus2 0.98047 -0.01672 0 0 1.7 1.054 Bus3 0.9666 -0.03231 0 0 2 1.239 Bus4 1.02 0.02659 3.18 2.0123 0.8 0.4958

LINE FLOWS From Bus To Bus Line P Flow Q Flow P Loss Q Loss [p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]  Bus1 Bus2 1 0.38773 0.31272 0.0025 0.01251 Bus3 Bus4 2 -1.0285 -0.579 0.01897 0.09483 Bus1 Bus3 3 0.9825 0.71493 0.01098 0.05492 Bus2 Bus4 4 -1.3148 -0.75378 0.01778 0.08888

Aplicando métodos no lineales los resultados de flujo son los siguiente:

Los resultados finales corridos con el programa PSAT son los mostrados a continuación:

PROBLEMA 3

Considerar el sistema de 3 barras y 3 líneas, La barra 1 es considerada como la de referencia. Considere inicialmente que el tap del trafo desfasador que conecta las barras 1 y 2 se encuentra en su posición nominal, es decir φ12 =0 Determinar los fasores de las tensiones y los flujos de potencia en dada línea. De la misma forma desfasando en un valor de φ =-0.1 radianes, determinar los fasores y los flujos de potencia en cada línea. Realizar una comparación de ambos casos.

Los flujos en las líneas, son los siguientes:

Para un valor de φ= -0.01, el vector de compensaciones, es:

Los nuevos valores de los fasores de las tensiones son:

Los nuevos flujos de potencia son:

Los resultados con ambos valores de desfase del trafo desfasador , sonLos siguientes: