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DE LASMATEMÁTICAS

A DEBATE:

REFERENTES

EUROPEOS

^ MINISTERIO- i DE EDUCACIÓN,1% CULTURAY DEPORTE

LA ENSEÑANZADE LAS MATEMÁTICAS

A DEBATE:REFERENTES EUROPEOS

DIRECCIÓN GENERALDf EDUCACIÓN1 FOÍMACIONPROFESIONAL

I N i I I I UTO SUPERIORDt FORMACIÓN

PÜOFtSOKADO

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CULTTRA V DEPORTESECRETARÍA GENERAL DE EDUCACIÓN Y FORMACIÓN PROFESIONALSubdirecdón General de FonnaciúD del Profesorado

Edita:SECRETARÍA GENERAL TÉCNICA.Subdirección Genera] de Información y Publicaciones

ÑIPO: 176-01-199-8I.S.B.N.. 84-369-3541-1Depósito Legal: M-S4951-2Q0I

Imprime: DIN IMPRESORES

Colección: AULAS DE VERANOSerie: Ciencias

LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS A DEBATE:REFERENTES EUROPEOS

Dirección editorial del volumen La enseñanza de lasMatemáticas a debate: referentes europeos: ENRIQUEFERNÁNDEZ CARA

Coordinador: HERNÁNDEZ GÓMEZ. Joaquín.

Autores:CORBALÁN. FernandoDELGADO. Manuel.HERNÁNDEZ. EugenioQUIRÓS GRACIÁN. AdolfoRODRÍGUEZ DEL RÍO. Roberto.VILLARROYA, Florencio.

ÍNDICE

Introducción 9

Enrique Fernández Cara. Joaquín Hernández Gómez.

Algunas aplicaciones del Cálculo Computacional en laenseñanza de las Matemáticas 15

Roberto Rodríguez de) Río

Matemáticas v medios de comunicación 33

Femando Corbalán

El arte mudejar en Aragón como nwtivador del estudiode la geometría 41

Florencio Villarroya

Matemáticas y sistemas electorales 69

Eugenio Hernández

Aplicaciones elementales ligadas a las ecuacionesdiferenciales y aspectos históricos 87

Manuel Delgado

La Teoría de códigos. Una breve introducción a lasMatemáticas de la transmisión de información: „ 99

Adulfo Quirós Gracián

Ediciones del Instituto Superior de Formación delProfesorado. Servicio de Publicaciones del Ministerio deEducación. Cultura y Deporte 113

INTRODUCCIÓN

Enrique Fernández CaraCatedrático de Análisis Matemático

Universidad de Sevilla

Joaquín Hernández GómezCatedrático del I.E.S. San Juan Bautista

Madrid

Ante todo, deseamos mostrar nuestro agradecimiento a todaslas personas que hicieron posible el curso que dio origen a este volu-men, por los esfuerzos realizados.

Los objetivos que se pretendieron alcanzar con estos trabajosfueron, principalmente, dos:

• Por una parte, analizar de qué modo y en qué dosis sería posiblemotivar la enseñanza de las Matemáticas en Secundaria a través delas aplicaciones.

• Por otra parte, comparar con los métodos y costumbres que tienenlugar en otros países europeos.

En el año 2.000, declarado por la UNESCO Año Mundial de lasMatemáticas, nos pareció indicado analizar la problemática ligada a laEducación Matemática desde todos los puntos de vista posibles. Este espíri-tu guió la confección del programa del curso que. como hemos dicho, es labase de los textos que aquí se encuentran, y la elección de conferenciantes.

Nuestra intención es dar respuesta, por encima de todo, a dospreguntas:

a) ¿Pueden efectivamente las aplicaciones de las Matemáticas, almenos aquellas cine necesitan un nivel elemental de Matemáticas.servir como moti\ ación en la Enseñanza Secundaria?

9

I

La enseñanza de las Matemáticas a debate: referentes europeos

b) ¿Qué se hace a tal respecto en otros paises europeos?

Al hilo de estas dos cuestiones pueden surgir, esperamos, otrasmuchas más.

A continuación, se presentan pequeñas indicaciones de los dis-tintos aspectos que se van a exponer. Estos se verán con más detalle enlos capítulos que siguen a éste.

a) "Algunas aplicaciones del Cálculo Compuiacional a la enseñanzade las Matemáticas"

En este capítulo se presentará algún problema de Matemáticasque pueda ser resuelto con el programa de Cálculo Cornputacional"MatLab". Se comentarán algunas de las capacidades del citado pro-grama, en particular, algunas herramientas interactivas que pueden seraplicadas en la Enseñanza de las Matemáticas en niveles como elBachillerato.

b) "Matemáticas y medios de comunicación".

La importancia de los medios de comunicación en nuestra socie-dad es innegable y creciente. Abordaremos las relaciones de los mismoscon las Matemáticas (más estrechas de lo que parece), basadas en elhecho de que las Matemáticas constituyen un medio de comunicación,un lenguaje, con unas características especiales, que estudiaremos.

Analizaremos los medios desde un punto de vista matemáticoy propondremos alternativas para la introducción de los mismos en laclase de Matemáticas, como un instrumento de conexión de la reali-dad con el aprendizaje.

c) "El arte mudejar como motivador del estudio de la geometría"

Es sabido que. en el arte islámico, la representación de figurashumanas o. incluso, vegetales, está prohibida, por tanto, es práctiea-

10

Enrique Fernández Cara Joaquín Hernández Gómez

mente inexistente. En la Península Ibérica, durante 700 años, convi-vieron más o menos pacíficamente tres religiones y sus manifestacio-nes culturales. Fruto de esta convivencia es el arte Mudejar. Arte reali-zado por artesanos y artistas musulmanes, pero para señores o autori-dades cristianas.

El mudejar es el único arte genuinamente español, de acuerdocon Menéndez Pelayo. En las todavía existentes iglesias mudejares.datadas entre los siglos XIII y XVI. especialmente en Aragón, se dauna de las más ricas decoraciones, desde el punto de vista geométricodel arte, no sólo del mudejar, sino del arte a secas.

Después de una presentación de esos motivos geométricos enesas decoraciones, analizaremos los elementos geométricos que per-miten su desarrollo... Motivos mínimos, que pueden ser construidoscon regla y compás: trataremos de identificar la "geometría" que sub-yace en dichas construcciones que. por supuesto, debió ser cultivada enlos reinos musulmanes de la Península Ibérica, en especial, en el reinode Zaragoza, a partir del siglo X.

d) "Sistemas de votación y el Teorema de Arrow".

Las sociedades democráticas están basadas en tomas de deci-siones conjuntas por medio de votaciones. Las votaciones se usan con-tinuamente: para elegir congresistas y senadores y para tomar decisio-nes en el Pleno de un Ayuntamiento y en los Consejos Escolares de losCentros Educativos.

Es sorprendente que distintos métodos de votación puedan pro-ducir resultados diferentes. Se pueden producir situaciones tan paradó-jicas como la que sucedió en las elecciones catalanas de octubre de1.999. en las que el P.S.C. obtuvo más votos que C.I.U.. pero este últi-mo partido consiguió más escaños en el Parlamento Regional.

El problema fundamental de la elección social es buscar lasolución a la siguiente pregunta: ¿cómo elige un grupo de individuos,cada uno con opiniones posiblemente diferentes, un resultado de entreuna lista de posibilidades?

11

I

La enseñanza de las Matemáticas a debate' referentes europeos

Las Matemáticas permiten demostrar que todo sistema de vota-ción tiene fallos inherentes: encontrar el método justo es imposible.

El reparto de escaños en un Parlamento, que debería ser pro-porcional al número de votos obtenidos por cada partido, es uno de losjuegos preferidos de algunos políticos. Las Matemáticas sirven paraexaminar las ventajas e inconvenientes de los métodos tradicionales (de Hamilton. de D'Hont y de Lagüe). así como las paradojas que oca-sionalmente producen.

e) "Aplicaciones elementales ligadas a ecuaciones diferenciales yaspectos históricos".

Los fenómenos que se presentan en la Naturaleza son fenóme-nos complejos cuya comprensión, siquiera parcial, requiere varias eta-pas. Es necesario crear un modelo simpificado del mismo que involu-cre las principales variables que afectan el fenómeno.

Debemos establecer las relaciones matemáticas existentesentre ellas, muchas veces en forma de igualdades, basándonos en nues-tro conocimiento científico del fenómeno. Hay que resolver los mode-los matemáticos resultantes, lo que suele impulsar el propio desarrollode las Matemáticas e. incluso, propiciar la creación de nuevas herra-mientas científicas. Entonces, se pueden sacar consecuencias que,comprobadas, dan validez o limitan el modelo.

Se van a presentar varios de estos modelos sencillos, con indi-caciones sobre su génesis e intentando recalcar su carácter disciplinar.Estos modelos serán resueltos, intentando que el aparato matemáticoempleado no se encuentre alejado de los conocimientos impartidos enla Enseñanza Secundaria y se aplicará dicha información para sacarnuevos conocimientos o limitar la validez de los mismos.

j) "Códigos detectores y correctores de errores ".

En la moderna sociedad de la información se transmiten dia-riamente numerosos datos, de cuya veracidad debemos estar seguros.

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Enrique Fernández Cara. Joaquín Hernández Gómez

Los datos pueden alterarse por la acción voluntaria de terceras perso-nas, pero es más común que se produzcan errores por fallos en los ins-trucntos de lectura, transmisión o reproducción.

Para protegerse, se puede añadir a los datos una cierta redun-dancia que nos permita corregir, o. al menos, detectar, los errores. Estees el sentido que tiene la letra N.I.F.

Empezaremos por explicar cómo funcionan algunos códigosde lectores de errores de uso cotidiano: los de las cuentas bancadasy las tarjetas de crédito, el N.I.F.. el I.S.B.N.. el código debarras....Todos ellos están basados en propiedades de divisibilidad,fácilmente expresables en términos de ecuaciones lineales en con-gruencias.

El código de barras es, en realidad, una combinación de doscódigos, uno decimal y otro binario. Esta combinación permitiría (aun-que parece que no se hace en la práctica) utilizar este código no sólopara detectar, sino, también, para corregir errores.

Ser capaz de corregir los errores no es un mero alarde de habi-lidad, sino que hay muchas situaciones en las que no basta con detec-tar los errores. Esto es lo que sucede con un CD. que suena bien inclu-so si está sucio, porque el lector es capaz de corregir errores. Pero seríainadmisible que simplemente los detectara y nos avisara pitando, comohacen los lectores de códigos barras. Veremos que. utilizando esen-cialmente álgebra lineal en congruencias, se pueden diseñar códigoscorrectores de errores del estilo de los utilizados en los CD.

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UNA HERRAMIENTA DE CALCULO COMPITACIONALPARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

Roberto Rodríguez del RíoDepartamtÉiío de Matemática Aplicada

Facultad de Ciencias QuímicasUnivesidad Complutense de Madrid

m

I INTRODUCCIÓN

En la actualidad existen numerosos axixtenws matemáticos en el mercado y casi utodos ellos son aprovechables, de una manera u otra, en la enseñanza de las SíMatemáticas en alguno de sus niveles. Aquí vamos a presentar uno de estos asistentes: • 5MutLab. o

MatLab es un programa ampliamente difundido en la Universidad, no se puede >-decir lo mismo, sin embargo, de los niveles no universitarios de la enseñan/a. Pero. e*.como se decía antes, creemos que hay algunos elementos del programa que se pueden —ulili/.ar. incluso en niveles tales como el Bachillerato actual: algunas de estas Bherramientas las analizaremos en estas notas. —

oLa primera versión de MatLab fue escrita a finales de los años setenta. 3

empezándose a utilizar en las universidades de New México y Stanford. Tenia como g"finalidad su uso en cursos de teoría de matrices, álgebra lineal y análisis numérico. El onombre MatLab es una abreviatura de las palabras MAVrix I.Ahomttiry, MatLab es unsistema interactivo para cálculos cientifícos v de ingeniería basado en las matrices. Con —él se pueden resolver complejos problemas numéricos sin necesidad de escribir un _¿íprograma especifico para ello, aunque también es posible programar, con un lenguaje de *5proaramación bastante sencillo e intuitivo. o

Además, el programa dispone, dependiendo de la versión, de diferentes módulos ,g(Toothoxes que permiten resoKer problemas específicos, en particular, la versión para gEstudiante de MatLab' dispone, entre otras, de la (Síalkib Symbolic Toolbox), que es la -gherramienta que permite hacer Cálculo Simbólico, está basada en el núcleo del Bprograma Maple y permite disponer, en un único programa, de dos asistentes ¿matemáticos muy potentes: MatLab, con sus capacidades de cálculo numérico _£correspondientes, y Maple, que permite un tratamiento simbólico de los problemas. o

aEn estas notas vamos a ver, en primer lugar, un ejemplo de simulación de un

problema de Matemática Aplicada. Después, veremos dos de las herramientasinteractivas de que dispone la versión Estudíame de MatLab, que pueden utilizarse sindemasiados conocimientos acerca de las generalidades del programa.

El contenido Je eslas ñolas está basado en la versión 5 de Estudiante, The SiudeM tdiuon nf, comercial izada en Esparta por Prcntice Hall.

15

La enseñanza de las Matemáticas a (Jábate, retéjenles europeos

Por último, quisiera agradecer a E. Fernández-Cara su amable invitación aparticipar en este curso, a E. Zuazua por llamar mi atención sobre el ejemplo de Teoríade Control que se expone a continuación, a C. Castro por sus múltiples sugerencias y aM. Pinillos >• C. Longas por su ayuda en los aspectos técnicos de la ponencia que dioorigen a este capitulo. Finalmente, quiero expresar mi profunda gratitud a mi esposaPurificación, por su cuidadosa elaboración de! manuscrito.

E"5E

II

2 UN EJEMPLO: LA CADENA PESADA

u(t)=H(U)x—

B(t)=H(O,t)

Figura I: Cadena

Vamos a analizar un ejemplo sobre Teoría de Control" desarrollado por N. Petit y P.Rouchon del Centre Aittomaüque el Sysiémes, École des Mines de París, ver (P]_

2.1 El modelo

Tenemos una cadena que cuelga de un carrito que podemos mover fver figura 1).El carrito se desliza, sin rozamiento, sobre un rail de una longitud determinada, vamos asuponer que es !.5/-T donde /. es la longitud de !a cadena. Supondremos, también, quela masa está uniformemente distribuida a lo largo de la cadena.

Una manera de estudiar el modelo seria suponer que la cadena está formada poruna cantidad finita de pequeños péndulos encadenados: sus trayectorias se podrían

" I J teoría matemática de Control es la parte de las matemáticas cu ta cual se estudian los procesos deíormaligación y tos mílodos de elección del modo (óptimo, en cieno sentido definido de antemano) paraejecutar un proceso dinámico sujeto a control Por lo general, dicho proceso dinámico puede ser descrilomediante ecuaciones diferenciales, integrales, funcionales y en diferencias finitas que dependen de unsistema de funciones o páramenos, llamados controles, y que se han de determinar.

16

Roberto

determinar cxplicitamenie por medio de las trayectorias de sus punios de unión (de unpéndulo con oiro). Sin embargo, este procedimiento involucra numerosas derivadas, demanera que sí el número de péndulos es muy alio, el tratamiento matemático es bastantecomplicado.

Otra forma de aiacar e! problema es considerar el caso continuo. Aparece en estecaso, una ecuación de ondas en !a que se considera que interviene, además de lastensiones de la cuerda que se consideran habitualmente en la ecuación de ondas clásica.la gravedad. Esta ecuación, ya estudiada por Daniel Bemoulli en ! 738. es la siguiente:

3ra// si xe [o.¿ 1 / > 0 E

donde x es la altura, el eje vertical (ver figura I. página 2.); para un / fijo, ¡ftx.t) esla posición del punió de la cadena que se encuentra a la altura v. medida desde el eje .V;g es la gravedad; /. es la altura a la que se encuentra el carrilo. desde el pumo más bajode la cadena (también es la longitud de la cadena, considerando que los desplazamientoshorizontales sobre posiciones de equilibrio son pequeños) y u/i) es la posición delcarrito con respecto del tiempo, el control. Para ver la derivación de la ecuación sepuede consultar [Si],

ce

2.2 La solución del problema

i) IISi consideramos las condiciones iniciales H(x.O) = II y i.v.O) = 0 • Se rmi:tkti;

demostrar que (ver [l'\)

VIOf-2,/-«n 0

donde y(D -- / / (O.ii, es la posición del extremo libre de la cadena. Rsta relaciónmuestra que hay una correspondencia uno a uno entre soluciones (diferenciabas) de laecuación y funciones (derivables) yltí Por otra parte, para cada función y(t) (dos vecesderivable, al menos), se puede calcular el control explícitamente.

u(i)= / / ( ¿ , i ) = - f J i + 2 í - s e n O + i i - 2 - s e n O \i/

Asi. por ejemplo, si queremos saber cómo hay que mover el carrito, es decir,calcular tiíl). para llevar el sistema desde una posición de equilibrio / / = '/ hasia otraii = D, construimos una función yfl) que valga 0 si l<0 y I.) para / suficientemente

grande (a! menos / > 4 í— ) y calculamos u/t) con la fórmula anterior.

2.3 La implemcntación en MatLab

Vamos a hacer los cálculos, con MatLab, de un caso particular. Construimos unafunción yfl) con las condiciones descritas anteriormente

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I

La enseñanza de las Matemáticas a debate: referentes europeos

; si i<0

v(t)= 1.5¿Í4lÍ3-2Í-ll ;sií)</<r

l.S¿con T

Para trabajar más cómodamente con la función, la guardamos en un fichero .m,que son los ficheros en los que se guardan los programas de MatLab. Para ello, hay queescribir con algún editor de texto ei siguiente programa,

function y=extrcmo(t)

% función y(t). Eitremo de la cadena

L=l.5: % longitud de la cadena enmg=9.81; % gravedad en m/s"2T=4*sqrt(L/g); % tiempo de transferencia

3* L/2)*((t/T). A2).*(3-2*(t/T)). *((0<=l)&(t<=T))+...

(Hemos elegido ¿=1.5 metros y 7=4 i V . Todo lo que se escribe después de % son

comentarios que el programa no interpreta cuando se ejecuta. Sobre la sintaxis enMatLab, se puede consultar [R] o [V|) .

Para dibujar ta gráfica de y(l),

»t=-I:0.001:2.5; % generamos una labia de valores para t»y=e\ t rcmo(t ) ; % suslKuimos en y(t)»p lo t ( l ,y ) % dibujamos (t,y)

y obtenemos la gráfica de la figura 2. (página 5)

La construcción de la función u(l), el control del sistema, es algo máscomplicada, por estar definida mediante una integral. Una forma de hacerlo es utilizar elsiguiente programa (guardándolo con el nombre control.m):

function u-control(l)

% función u(t). Control: movimiento del carrito.L=1.5; % longitud de la cadena en m.g=9.81: % gravedad en m/s"2k=length(t); % número de puntos de ttheia=linspace(0,pi,100); % discretización de theta% bucle para calcular todos los valores de u

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t - — " - - - - • <-- ^ 1 Rio

% usando la regla del trapecio para aproximar la integral% mediante el comando trapz

for¡=l:kf=extremo(t(i>+2*sqrt(L/g)*5Ín(theta))+...

e\tremo(t(i)-2*sqrt([./g)*s¡n(theta));

u(i)=(]/(2*pi))itraj«(lheta.f);end

tanpo

-oE

B

J

Figura 2; Gráfica de yll)

Ahora, para dibujar las gráficas de las dos funciones, yfl) y ufl). en la misma

figura, primero calculamos los valores de ull) para el mismo rango de /

»i=-1:0.001:2.5;»u=control(t);

Y. ahora, dibujamos las dos gráficas juntas:

»plot(t,y,t,u) % gráficas»xlabel('tiempo'),ylabel('desplazamiento') %etiquetas ejes

»legend('extremo y(t)','control u(t)'í % leyenda

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La enseñanza de tas Matemáticas a debate: referentes europeos

V <iktf»rtf*iiir-ic Inc rrraf ífar A& IÍI f inura 1

E

Figura 3: Gráfica de yO) y u(i)

Por último, el programa que han desarrollado N. Petit y P. Rouchon, cuyocódigo complelo se incluye en el apéndice que hay al final de estas notas, permite ver deuna manera dinámica el movimiento de la cadena y del carrito que lo controla. Paraejecutarlo, hay que escribir »cadena en la línea de comandos. Aparecerá una venianagráfica interactiva (ver figura 4). Para que el carrito se mueva, disponemos de unareferencia en forma de triángulo, en la parte de abajo de la ventana. Hay que desplazaresta referencia al lugar deseado con el ratón, el carrito se moverá de tal forma que labase de la cadena acabe justo en el siiio en el que hemos puesto la referencia. Ademásde esto, se puede modificar la velocidad del movimiento, usando el deslizador que hayen el centro arriba. Hay otros dos bolones, que no aparecen en nuestro dibujo: el botónJGRAFlCAj produce las gráficas de las funciones yfl) y u<t), extremo libre de la cadena ycarrito respectivamente, durante los últimos instantes de tiempo del proceso, como en lafigura 3; y el botón |SAL1R|. que sirve para finalizar la ejecución del programa.

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Figura 4: Ventana de programa cadena . m

20

Rofc=— D~-t-[guez del Rio

3 HERRAMIENTAS INTERACTIVAS

El programa MatLab dispone de algunas herramientas interactivas elementalesque se pueden utilizar sin saber prácticamente nada acerca de! programa. Esto hace quepuedan resultar interesantes para ser utilizadas en algunos temas de Bachillerato. Vamosa ver dos de ellas: una que sirve para calcular sumas de Riemann v. por tamo, paraaproximar numéricamente el valor de una integral de una función de una variable; y otraes una especie de calculadora gráfica de funciones.

3.1 Sumas de Riemann

Fsta herramienta se activa con el comando rsums. I,a sintaxis de! comando esrsums(f), donde fes una función simbólica (para introducir una función simbólica, sóloha; que escribirla entre apostrofes, de esta manera se distingue de una variable concontenido numérico.) Aparece una ventana gráfica (ver figura 5 ). Debajo de la gráficahay un deslizador (que no se aprecia en nuestra figura) que permile cambiar con el ratónel número de rectángulos usados para aproximar el área de la curva, tlesde 2 hasta 256rectángulos como máximo. En la pane superior aparece la función junio con el resultadonumérico de la suma.

Figura 5 Sumas de Riemann para la función f(x) = }Qxe~1'

Veamos un ejemplo,

»f='IÜ*x*exp(-5*jLA2)' % creamos una funciónf =

10*x*exp(-5*xA2)

Para comparar los resultados que obtengamos con las aproximaciones por sumasde Riemann con el valor exaclo. vamos a calcular éste, Jo que se puede hacer utilizandoel comando

»\pa(in!(f,0,1),6) % evaluamos la integral de 0 a Ians =

.993262

E• * *

oE

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La enseñanza de las Matemáticas a debate: referentes europeas

Eo>oEV*

o»

(El número 6 escrito como segundo argumento de! comando vpa sirve paraespecificar la precisión del cálculo.)

»rsums(f) % aproximación de Riemann desde 0 hasta 1

Y aparece la figura interactiva mencionada antes. Por defecto aparecen 10rectángulos, aunque este número se puede cambiar como se ha indicado anees. Estaherramienta tiene una limitación, sea cual sea ¡a función, sólo ¡a representa en elintervalo [0,1], pero esto se puede arreglar como se muestra en el ejercicio siguiente.

Ejercicio 1 A pesar de que el comando rsums sólo aproxima la integra! en elintervalo [0.1 J. también se puede utilizar para aproximar en un intervalo [a.bjcualquiera, basta con encontrar el cambio de variable adecuado:

a) Encontrar el cambio de variable que convierte la integral \ f{x)tx en la

integral í g (r )# .b) Utilizar el cambio anterior para aproximar la siguiente integral, usando rsums.

Utilizar el comando vpa(int(funcion,a,b),6) para calcular la integral con 6decimales xactos y comparar ei resultado con el obtenido medíanle las sumas deRiemann.

3.2 Calculadora de Funciones

Otra herramienta interesante de la que dispone MatLab, es la Calculadora deFunciones (funtool). Se activa escribiendo el comando »funtoot. Aparecen tresnuevas ventanas, dos de ellas conteniendo sendas gráficas de funciones y la tercera es lacalculadora (figura 6) .

J-'igura (¡. Calculadora de /'unciones

FUNTOOL es una calculadora gráfica interactiva, que manipula funciones deuna variable. En todo momenlo hay dos funciones que aparecen en las dos gráficas, f(x)y g(x) El resultado de la mayoría de las operaciones afecta a/(xj.

22

Roberto Rodríguez ÜL. :-.._

En las ventanitas etiquetadas con "f =" y "g =" se puede escribir y cambiar lasfunciones que aparecen por defecto para introducir en su lugar nuevas funciones. Lomismo que la etiquetada con x =", que puede ser cambiada para introducir un nuevodominio. Y la "a =". en la que se puede introducir un nue\o parámetro.

La fila superior de tecias de la calculadora son operaciones que sólo afectan a lafunción fix). Estas operaciones son;

- Derivada de ffx).inl f - Integral áeffx)simple f - Simplifica la e\presión. si es posible.num f - Extrae c! numerador de una expresión racional.den f - Lo mismo, pero ahora el denominador

1/f - Reemplaza ffx) por -•—-,/(•*)

íinv - Calcula la inversa de ffx)Evidentemente las operaciones inl(f) y finv no siempre funcionan.

La segunda Illa de tedas trasladan y reescalan la función flx) según el valor delparámetro a. Las operaciones son:

f +• a - Reemplaza/W por ffx) + a.f - a - Reemplaza ,#v> por flx) • a.f * a - Reemplaza ffx) por ci.fix).

f / a - Recmplaza/f.tJ por ZW

f A H - Reemplaza ffx) por / (x)'fi[x+a) • Reemplaza ffx) por ffx - a)f(\*a) - Reemplaza ffx) por ffax).

La lercera fila de teclas son operaciones en las que intervienen las dos funcionesf(x) y gfx) Las operaciones son:

F+ g - Reemplaza ffx) por ffx) + gfx).f - g - Reemplaza ffx) por ffx) - gfx).f* g - Reemplaza f(x) por el producto l(x).g(x).17 g - Reemplaza f(x) por / W .

f(g) - Reemplaza./f.v.J por la composición ffgfx)).% - f - Reemplaza gfx) por flx).swap - Intercambia/^ y gfx)

Las tres primeras tedas de la cuarta fila producen una lista de funciones. La teclaInserí añade la función actual a la lista. La tecla Cyele hace aparecer todas lasfunciones de la lista. Y la tecla Delete borra la función actual de la lista, La lista defunciones está en un fichero interno que se llama fxlist que lleva, por defecto, una seriede funciones interesantes.

S

23

La enseñanza de las Matemáticas a débale: referentes europeos

- o

La tecla Resct devuelve los valores de f. g, x, a y fxlist a sus valores inicialespor defecto. La tecla Help imprime en pantalla ayuda (lo mismo que en estasinstrucciones pero en ingles).

La tecla Demo propone un curioso problema: ¿es posible generar la función sen(x) sintocar el teclado, utilizando sólo el ratón y pulsando las teclas adecuadas de la calculadora? LaDomo lo hace con un Reset y nueve "clícs" del ratón y se propone intentar hacerlo conmenos "clícs". Si alguien lo consigue, ruegan ponerse en contacto con la siguiente direcciónelectrónica: moierffimaihwtirks.com. Por último, con la leda Cióse se acaba el juego.

Ejercicio! ¿Citóles son los pasas que se siguen en la Demo para obtener la función sen(x)?Intentar obtener la función senfx) con menos clics que en la Demo (Es posible

hacerlo, y hay1 vahas soluciones).A continuación se ha incluido un ejemplo ele una práctica para realizar

utilizando la calculadora de Junciones.

4 INA PRACTICA CON CALCULADORA DE FUNCIONES

En esta practica, vamos a ver cómo es posible construir las gráficas de algunasfunciones a partir del conocimiento de las gráficas de otras. Para ello, vamos a utilizaruna herramienta interactiva del programa MatLab, la Calculadora de Funciones. Paraactivarla, hay que escribir » fun too l

Aparecerán tres ventanas, dos de ellas son ventanas gráficas, en las que aparecen dos(unciones, y la tercera (ver figura 6) es la ventana en la que introduciremos las funciones yejecutaremos los comandos, pulsando los botones de la calculadora con la ayuda del ratón.

4.1 Gráficas de funciones opuestas

Las Funciones f(x) -x' y $(x) = -x3 se dice que son dos funciones opuestas.Para dibujarlas, las introducimos en la calculadora de funciones, una en la ventanaf=x"3 y la otra en g=-xA3, pulsando Intro cada vez que cambiemos cada formula,para que se dibuje. Obtendremos las dos gráficas de la figura 7.

Figura 7- Gráficas de funciones opuestas

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