EI material para la enseanza de lamatemtica moderna. Sus caractersticosy aplicacin

Yor ANGEL HAMOS SOBRiNOIn^pector de Enseanui Primariu, Valencia

FUNDAMENTACION PSICOLOGICA DE LANECESIDAD DE UN MATERIAL PARA LAENSEANZA DE LA MATEMATICA MODER-

NA ELEMENTAL

De los estudios minuciosos de epistemologa ypsicologa genticas de Piaget, se desprende :

a) Las estructuras de la Matemtica moderna ylas estructuras mentales guardan una estrechacarrespondencia.

h) El pensamiento se apoya en la accin.c) En el desarrollo de las operaciones mentales

se siguen una serie de etapas o estadios.

a) Las estructuras ntatemticas y las estrttrturasmentales guardan una estrecha carresprrndencia

Inspirndose en las tendencias bourbakistas, la Ma-temtica moderna pone el acento en la teara de losconjuntos. Piaget, a quien nos vemos obligados aacudir siempre que tratamos de la gnesis de losprocesos mentales, nos dice que las intersecciones yreuniones de conjuntos, las correspondencias..., sonprecisamente operaciones que la inteligencia cons-truye y utiliza de manera espontnea desde los sieteu ocho aos y an mucho ms, desde los once-doceaos, a cuya edad llega a la estructura compleja delconjunto de partes, origen de la combinatoria.

Las Matemticas, despus de la escuela Bourbaki,ya na se nos pzesentan como un conjunto de captu-los separados, sino como una jerarqua de estructu-

ras que se engendran unas a otras a partir de unas"estrueturas madres". Estas estructuras madres son :

Las estructuras algbricas, cuyo prototipo esel grupo.

Las estructuras de orden, cuyo prototipo esla red.

Las estructuras topolgicas, que se refieren alas canceptos de entorno, lmite y continuidad.

Estas estructuras matemticas estn en perfecta co-rrespondencia con las estructuras operatorias funda-mentales del pensamiento. As, desde los siete-ochoaos, etapa de las operaciones concretas, encon-tramos :

Estructuras algbricas en los "agrupamientos"lgicos de clases.

Estructuras de arden en los "agrupamientos"de relacianes.

Estructuras topolgicas en la geometra espon-tnea del nio.

Por tanto, segn Piaget, las estructuras ms abs-tractas y ms generales de la Matemtica modernase encuentran en ms ntima relacin con las estruc-turas operatorias naturales de la inteligencia que lasestructuras particulares, que constituan el armaznde las Matemticas clsicas.

39

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,;^-^ , Ei^ ^r1,^c^^e^tto se apoya en !a accin. . `^ ^ : ``

',^. . Pia^ot^osfieny 1lue todo pensamiento Se apoya e q^ l.1 a^in, y q(ie;lo^ conceptos matemticos tienen su

^ ^' o^tig^u;.,eri los aeto^ que el nio lleva a cabo con los. :-a^jc^s^^,;no rt ls objetos mismos.

_,'^.as operacig^' del pensamiento son acciones in-', t2btiorizadas, few^t^ibles y c^ordinadas en sistemas.

`` ,^p u,n^, , rn matemtica cualquiera, tal como(x^^-^^?',^^, cada trmino designa, en defini-tiva, una acci^n; el signo (_) expresa la posibilidaddo una sustiiu^Cin; el signo ( ^i-), una reuhin,. el sig-no (-), una separaci6n; el cuadrado (x'), la accinde reproducir equis veoes x, y cada uno de los va-lor i^es u, k, y,'z, la reccin de repTQducir cierto nmerode vooes la unidad" (1).

Cada uno de los smbolos representa, como. dicePiaget, una acein que podrta ser real, pero que ellen,guaje matemtico ge limita a designar abstracta-mente, bajo la forma de acciones interiorizadas, esdocir, de operaciones del pensamiento.

c) En el d'esarrollo de las operarioncs nzenlales sesiguen una serie de etapas v estc^dios

El desarrollo de la inteligencia sgue unas etapas,que Piaget resume asi :

Etapa Senso-motriz, hasta el ao y medio 0dos aos.

Etapa preoperatoria, de los dos a los siete aos.Dentro de esta etapa cabe distinguir la de1pensamiento simblico, de los dos a los cua-tro aos, y la del pensamiento ntuitvo, de loscuatro a los siete aos. El pensamiento antesde los seis-siete aos carece de reversibilidad,es decir, de la capacidad de hacer y deshacermentalmente un camino, de descomponer yrecomponer un todo, de percibir que un con-junto de objetos permanece invariable si se lequita y agrega luego la misma cantidad.

Etapa de las operaciones concretas, de lossiete-ocho aos a los once-doce aos. Es elprimer perodo operativo, puesto que ya se dala reversibilidad, pero las operaciones slo selogran en situaciones concretas, en donde elnio maneja activamente datos materiales, quepuede ver y tocar. Si en esta etapa hacemosrazonar al nio con proposiciones verbales, amenudo se encuentra incapaz de llevar a cabola misma operacin que l realiza cuando seaplica a situaciones concretas.

(1) PrnceT, J.: Psicolo,4a ^le la inleligencia. Ed. Psique,pgina 51.

Etapa de las operaciones formales, de once-doce aos a catorce-quince aos. El nio llegaa desprenderse de lo concreto orientndose ha-cia lo inactual, ha superado el aquf y el ahora,se hace capaz de sacar consecuencias necesa-rias de verdades simplemente posibles, lo queconstituye el principio de] pensamiento hipo-ttico-deducdvo o formal.

ALGUNAS CARACTERiSTICAS DEL MATE-w

R1AL, PARA LA ENSEANZA DE [_A MATE-MATIEA MODERNA

Manipulable^

De lo anteriormente expuesto se desprende quepara el lagro de las estructuras lgico-matemticasen el nio, especialmente en el estadio preoperato-rio (cuatro-siete aos) y concreto (ocho-once aos),ser muy conveniente la utilizacin de un materialmanipulable, a fin de que las acciones que con 1realice puedan pasar, mediante un proceso de inte-riorizacin, canstituir operaciones mentales.

Hasta edades bastante avanzadas se observa el he-cho de que el nio, antes de poder deducir un re-sultado, se ve obligado a comprobarlo empricamen-te para admitir su verdad. En los niveles preopera-torios, es decir, antes de los siete aos, ocurre asfcan tadas las verdades lgico-matemticas deaeu-biertas poT el n3o, compzendidas inclusa las maevidentes, como la transitividad de la igualdad.

Hay que hacer constar, sin embargo, que en lsutilizacin de este material por el nio no es la ox-periencia fsica lo que nas interesa, sino la lgico-matemtica. No son tos abjetos, sino las accioaaaque con ellos se realizan, ]os que tienen un inter^didctico, porque las nociones matemticas no so darvan de los materales, sno de la captacin del t;g-nificado de las operaciones realizadas con diohosmateriales.

Atributos claramente de}inidosEste matorial manipulable, que podr ser figura-

tivo, como en el caso de las fichas de personas, aini-males, vehculos, frutos, del mtodo K M L de T^ou-yarot, o no figurativo, como en los bloques 1gioade Dienes, regletas de Cuisenaire o plaquetas deTouyarot, deber tener los atributos claramente di-ferenciados para la constitucin de los oonjunt^oa,pues no olvidemos que ya en 1872 Georg Cantor, elcreador de la teora de conjuntos, defina un conjun-to como "la reunin de un todo de objetos de nuoa-

^

tra intui^in o de nucstro prnsar, bicn detcrminadosy dferencubles lon unos de los otros". Desdc unprincipia, pnr tanto, lu definicin dc Cantor dejufucra de Ictx conjuntos, cnnsiderados cn el sentidctmulcmticct, ucluellos cuycx ObjClA3 no cstQn hiencleterminadc>ti.

Vuiie^lrilirhwl

La vuriuhilidud es unu cualidad del mutcrial puralu cnxePfunzu dC lu Matemticu mcxlerna, x:aladupor Dienes. EI yue ae IogrC un concepto matem-tico dcp:nder de lu hahlidad pura identificar y dc-finir algo yuc tengun en camn divorsus expcrienciasc^ncreta+ y distintas. La hiptesis dc Dicnes cs yuctnicntrus m^ variados aean {os mode{os perceptivosa disposicin clcl nio, ms fricil ser adyuirir losconceptos.

Conforme con e,te critcrio de vuriahiliducl dcl ma-terial. Dicncs ofrece numerosus estructurus di^tintus,subre lux cuales pueden efectuarse tarcas matema-ti^as eyuivulentes. Asf. a) disear mutcrialCS estruc-turados en forma tul quc fuciliten e) logro delcunccplo de c^lc,r dr /x,sicirn, en vez de usur b{o-yues de busc 1Q exclusivamenle, como otros autores,vura las bases en lo$ llamados bloyues multibuse.yue ms tarde describiremos, y los nios, al jugar^ucesvumente con los bloques de distintas bases, lu-gran ubstraer ^I conceptu del valnr dc posicin.

A^IATERIAt- MAS UTILILADO EN I.A ENSF-AN^A DE l..A M^ATEM^ATIC`A MC}fyFRNA

F.l_.F:MFNTAL

Vamos a limiturnos u lu clescri{xin dc a{gunosdc los muteriales de uso ms frecucnlc puru lu c:nse-anza de la Mutemticu modcrnu elemental, talcscomo:

Blcx^ucs IcSgicos, dc Uicnes. Blaques multibusc;, dc: Dienes. Nmeros en calor, de Cuisenuiru.

Muteriul Dscurt.

Material K M L, de Touyarot.

Minicomputudor, dc Pupy. Geopluno, de Gutlegno. Geoc^spacio, de Puig Adam."Construyamos la geometru", de Emma Cas-

telnuovo.

1,O^ C3l.^U(,)l1t:S LO(il{'OS, f7f? DI(^Nl?S

Tienen como finalidud iniciar u los nicn dc cincou sicte uos en lu teora clc Icx conjuntos y cn lalgicu. William Hull fue el primcrn cluc utili^c sstcr.+bloyues como uuxilures C n cl urrcndizujc cie lulgica. Posteriurmcntc los hu utilir,rclu I)icncr cn luscscuelus dc Australiu y Cunudfi.

l.os blcxlucs IcSgicos constun de 4t^ elentenlos, yucticn^n cuatro atributos:

Forma.^ Color.

Tuntau.^ Cirosor.

Se;gn la forma, exsten cuatro variantes: cuadra-do, crculo, triangulo y rectngulo.

Scgn el color, tres variantes: rojo, azul, amu-rllo.

Segn.el tamuo, dos variant^s : grande y pequea.Segn el grosar, dos variantes : grucso y delgado.Hay, poT tanto, 12 bloques de cada una dc las

cuatro formas.24 bloyues detgados y 24 btoyues grueso^.24 bloyues grandes y 24 blayues pequects.l6 bloyues rojos, I b uzules y 16 amurillos.

Paca distinguir un bloyue dc los otros 47 ^s nccc-surio dar sus cuatro utributus. Estas cuatro categorasci^ utributos sirven de criterio para rc^u,ir los bloyu^scuundo sc constituyen los conjuntos.

Permiten adquirir jugando las nociones fundamen-tales sobre conjuntos. Las primeras experiencius ma-t^mticas de los nos deben ser precisamente a pro-pcSsito dc los conjuntos, el nmero vendr despttscomo propiedad dc los conjuntos c:yuiv^lentes.

Los bloyues lgirns suministran ul nio nume-ro^a^ situaciones yue le obtigan u rculizur invcsti-gaciones lgcas y matemticas. Juegan can proble-mas y situaciones que encontrarn ms tarde en elplano del pensamiento abstracto.

Los prmeros juegos con este material tienen porfinalidad conducir a los nios al conocimiento de loshlctyues. Dt:ntro de estos juegos preliminares tenemosel tlamudo del "retrut', yue consiste en dcscrbircada uno de los bloyues, precisando sus cuatro atri-butos. As :"^ste es un bloque redondo, amarillo, pe-yueo, delgudd'. Sueesivamentr. cuda niu tomar;un hloque y lo describirS.

EI juego nverso es lu cleccin de un bloyue entreIc^s 4R, eiando la descrilxin :"Busca un bloyue yuesca..." Ayu puede hacerse el juego ms dvertido nofijando ms yuc dos o tres atributos: "Busca todoslos blorlues yue sean redondos y uzules".

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Juegos de diferencias y semejanzas, en los yueiniervenen varios nios. Son jucgos sociales. Se tratade hacer, como en los juegos de domin^i, una cadenude bloques, ponendo un bloque a continuacin delotro, de torma tal que tengan con el pr+ecedente una,dos o tres diferencias o scmcjanzas dc atributos. !~Ijuego da lugar a discuaiones interesantes entre losnieios.

Despus de bien rnnacidoa las bloques mediantelos juegos preliminares, se pssa a la constitucin delos conjuntos. Los bloques con sus cuatro atributospermiten la tormacin de gran variedad de conjun-tos. Primero se comenzar con la formacin de con-juntos cuya caracteristica est^ constituida par un soloatributo: "Formad cl conjunto de los bloques re-dondos o bien el de !os bloques azulcs..." Despurisse pasar a las conjuntos cuya caracterfstica estconstituida por dos atributas : el conjunto de losbloques rojos y redondas, o por tres atributos : rojos,redondos y gruesos.,.

Otros juegos interesantcs son los de dos aros parala bsyueda de las jnterse^riones. Se djce al nio:

-- Forma el conjunto de los bloques rojos metin-dolos dentro de un aro (diagrama de Venn).

--^ Forma otro conjunto, el de los bloques redon-das, por ejempto.

Los nios descubrirn que exsten bloyues queson rojos y redondos. ^Dnde los colocarnl Unoslos pondrn con los redondos, otros nios los yuita-rn de este conjunto y los pondrn en el de los rojos.Se procurar que sean los mismos nios yuienes des-cubran que estos bloyues rojos y redondos tienenque colocarse en el espacio en que los dos arns sesuperponen, poryuc esl^^ tiector pertenece tant^^ alnterior del aro rojo como al del am dc los re-dondos.

I. Rojos, nn-redondas. 1.2. Rui^s y red^^nduc?. Redundus, nu-rnjnti, l. Nu-re^lundus, nu-n,^.,.

I. Redundus, nu-rujux, nutxyucuc.2 Rujos, nu-redondos, nu-pequeus.3. t'equeos, no-redondas, norojos.

1.2. Redondos, rojos, no-pequeos.1.3. Redondus, peyueAus. norojos.2.3. Rojos, pequeos, noredondoc,

1,2.3. Redundos, rajcs, pequeos.4. No-redondos, no-rojos, no-peyueus.

Entre los elementos de un conjunto pueden sepa-rarse los yue tienen una propiedad no poseda porotros, constituyendo subconjuntos. Asf, en el con-junto dc los bloques redondos se pueden alsJar Iressubconjunlos, segn e! color, o dos subconjuntos,segn la magnitud, y otros dos, segn el espesor.Dentro del aro mayor, con cuerdas o aros menores,podrn los nios aislar los subconjuntos y adyui-rirn as la idea dc inclusin.

Los juegos de rrrrnsfcrrrnur^iones, que conducen alnio al descubrimiento de las propiedades de losgrupcx matcmticos ; ast :

Juego de rcproduccin o eopia (i). Juego de copia con cambio de colores (c).' Juego de copia con cambio de forma (f). Jurgo de ropja ^on cumbio de color y forma (^).

,-^y/.^, f^, ...,. i^.. afa !as

G(ii (^) (f ) (t )

00

q ^

Complcando el ejercicio, pueden hacersg juegos I com tres aros:

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Este tipo de juegos, al principio, suelen jugarse endos equipos. Sea, por ejemplo, el de copia con cam-bio de colores. , Cada equipo dispone de los mismosbloques, pero todos ellos son solamente dos colores :rojo y azul. El primer equipo construye una combi-nacin y el segundo copia la construccin. pero conla condicin de que si los primeros ponen un bloqueazul, los segundos pondrn un bloque de la mismnforma, pero rojo e inversamente.

Con estos juegos podrn descubrir los nios laspropiedades de :

Cerradure. Conmutatividad :

^ ^ ^^

^ t^

Asociatividad :

c ^`'/y q

^ c t.^--y ^^ ^.^

Do=[^ Elemento neutro :

,^ c^^ ^^

a q Elementos simtricos:

c ^^^ * .-----^

q ^ _ qqf3LOOIIES ARITMETICQS Mlll.T113ASf^ BAM1.

DE DIENF_,S

Este material est orientado hacia la compren-sin del concepto del valor de posicin.

EI material se presenta en cajas, una por cadabase de numeracin. En cada caja se encuentran :unidades, barras, placas y bloques. As, en la cajapara la ha^P 4 cncontraremcs hiczas como stas:

1/n,^;.-/.-r ^

tlr,ac.r-rcx

4

Antes de llegar a los ejercicios estructurados, losnios jugarn libremente on estc mat^riai, Siguendespus juegos como los siguientes :

Supangamos que dos nios tienen la caja de base 3,por ejemplo. En las caras opuestas de un cubo uni-dad se ponen, pegando papeles, las cifras 0, 1, 2 y seutiliza como dado. La primera tirada del dado espara sacar bloques. Cada nio coge tantos bloquescomo el nmero que ha sacado al tirar. Vuelvena tirar el dado para sacar las placas, despus parasacar las barras y, por ltimo, para sacar las uni-dades. EI nio que consigue mayor montn de ma-dera, gana.

Pronto llega a comprender, especialmente el nioque pierde antes, que es la primera tirada de dadosla que tiene ms importancia y que quien gana enesa tirada ha ganado ya prcticamente la partida.

Si los dos sacan cero en la primera tirada, enton-ces es la segunda la que tiene una importancia vital,y as sucesivamente.

Despus de algin tiempo se cambiar el orden de1juego, comenzando por las unidades y terminandopor los bloques. EI juego as es ms apasionante,puesto que los nios no saben quin gana hasta el

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final. Esto ensea al nio, adems del valor de po-sicin, que el orden, en realidad, es arbitrario; anteslas potencias eran decrecientes, ahora son crecientes.

Harn juegos semejantes con las dems cajas paraque no se liguen a la propiedad particular de unadeterminada base y darles as ocasin de compren-der las propiedades comunes a todaS las bases.

En una segunda etape, el maestro puede sugerirjuegos ms estructurados. En ellos, el nio se darcuenta que en la caja de base 3. por ejemplo, 3 uni-dades forman una barra, 3 barras una placa, 3 pla-cas un bloque.

EI pensamiento, segn Dienes, prooede segn uncamino constructivo y segn un camino anal(tico.En esta primera etapa, constructiva todava, no esconsciente el nio del aspecto analtico de su cons-truccin: la razn 1: 3, pero las construcciones querealiza con materiales son muy importantes en lacomprensin ulterior de la razn, de las progresionesgeomtricas, de las potencias, de la comprensin delos distintos sistemas de numeraein.

Cuando el nio ha comprendido la estructura detodas las cajas se plantea el problema de qu haydespus de los bloques. Los nios generalizan prontoy ponen tres bloques juntos en la caja de base 3,cuatro en la de base cuatra y as sucesivamente paraconstituir el orden inmediato superior. A esta cons-truccin se suele llamar barra de bloques, por ana-lvga con las barras, pero Dienes nos dice que mu-chos nios las llaman torres, porque hacen sus cons-trucciones poniendo los bloques unos encima de otros.

,rirr-a da ^n^.r ^ 83' cc..,;,^^aa f

Cuando los nios ya no tienen ms madera en lacaja pueden continuar el ejercicio imaginativamentey, al menos en teora, se puede proseguir el procesoindefinidamente. Esta es, tal vez, dice Dienes, la pri-

mera puerta que se abre sobre el concepto de "infi-nito", que todos los nios encuentran extremada-mente apasionante.

Asimilada la naturaleza abierta y la estructura delmaterial se puede pasar a otros ejercicios, que con-ducen a las operaciones aritmticas. Veamos la adi-cin, por ejemplo. Sea la base 3:

I bloque 2 placas 2 barras 2 unidades1 placa 2 barras 2 unidades

Adicionando las piezas semejantes y aplicando lasequivalencias, se obtiene :

2 bloques 1 placa 2 barras 1 unidad

Los nios se acostumbrarn despus a anotar loque realizan con los bloques multibase. As:

B P B U1 2 2 2

+ 1 2 2

2 1 2 1

Es conveniente, igualmente, que en las operacio-nes los nios utilicen las cajas de las diferentes bases.

NUMERO5 EN COLOR, DE CUISENAIRE

Este material fue creado por Georges Cuisenaire,maestro de Thuin (Blgica), y dado a conocer inter-nacionalmente en 1954 por C. Gattegno, profesor dela Universidad de Londres.

El material est constituido por 241 regletas del a 10 cm. de longitud y de 1 cm.' de superficiede base :

50 regletas de 1 cm., de50 regletas de 2 em., de33 regletas de 3 cm., de25 regletas de 4 cm., de20 regletas de 5 cm., de16 regletas de 6 cm., de14 regletas de 7 cm., de12 regletas de 8 cm., de11 regletas de 9 cm., de10 regletas de 10 cm., de

color madera natural.color rojo.color verde claro.color rosa.color amarillo.color verde oscuro.color negro.color marrn.color azul.color naranja.

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Las regletas estn agrupadas en tres familias:

Familia de los rojos : 2-4-8, yue ponen cn evi-dencia los dobles, las mitades y las potenciasdel 2.

Familia de los azules : 3-6-9, yue ponen en evi-dencia los triples, tercios y(a segunda potenciadel 3.

Familia de los amarillos: 5-10.

El blanco y el negro estn solos.

Es un materal muy rico en posibilidades para laactvidad creadora del nio, que guiado por el maes-tro Ilegar a descubrir por s mismo las relaciones ma-temticas que se deseen.

Las ejercicios primeros, espontneos, sumnistranal nio la experiencia de la equivalencia de regletasde igual color y de la equivalencia de cada regletacon alineaciones compucstas de otras dos o ms.

La accin de adosar y alinear sugiere al nio lasideas de igualdad y suma.

EI nio al buscar la regleta que falta para com-pletar con otra una regleta mayor invierte la opera-cin de suma, es decir, resta comptementando.

La formacin de trenes de igual colar, mediantealineacin de regletas iguales, origina simultnea-mente los conceptos de mltiplo y divisor, de pro-ducto y cociente.

La idea de nmero primo s^ pone de manifiestoal comprobar que no todas las regletas se puedende^componen en otras de igual color.

Puede descubrir las propiedades asociativa y con-mutativa de la suma, asociando y permutando lasregletas.

Hay nios que empiezan el juego ordenando esca-leras. La estructura de orden es ejercitada por estematerial.

3x4 = 4x3Otrus niflos clasi(i^an aJusundu im:n .^l ladu dc ^rir:u

las reglctas de igual longitud. Forman asf placas yue pucenser cubiertas por otro sistema d. regletas en et sentido delancho. Esta experiencia sugicrc la conmirtatividad del pro-ducto.

Puede descubric manipulando las regletas fami-lias de :

Sumas eyuivalentes, Diferencias equivalentes. Produrtos equivalentes. Ccxicntes o fracciones equivalentes.

1'^'h i: ^ ^ '

5+2= 4+3^. 1+6=2+4+1s^

b.s int:re,unte el uso que hace Gattegno de estematerial para la enseanza de las fracciones, consi-deradas como pares ordenados, comparando dos re-gletas, con lo que el concepto de fraccin como raznque Ileva implcito el par ordenado desplaza al con-re^t^^ tradicion;tl de fracci^n curnn otx rador.

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Cumo complemcnto del rnaterial bsico de lasregl^tas existe en el materal Cuisenaire-Gattegnounu tabla de, productos. Estos productos estn ex-presados por dos lnulas, coloreadas de acuerdocon los colores y valores de las regletas. Esta tablase utliza despus que el niu ha descubierto tosproductos con las regletas.

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9_ 3x3

^

36-4x9.=6x6 ^2 = Sx9

Este material incluye tambin un juego de loterade productos y un juego de naipes con productos,yue consta de 37 tarjetas, cada una de las cuales

lleva un producto expresado en la misma forma quese ha indicado anteriormente.

EL METODO DISCATEste material fue creado en Ginebra por las seo-

ras Audemars y Laffendel, bajo la direccin de Cla-parde y de Piaget, para la "Maison des Petits",del Instituto J. J. Rousseau. Est compuesto por:

Las columnas de evaluacin, en nmero decuatro, formadas por esferas, cubos, parale-leppedos y voides, en diez dimensiones cre-cientes. Todos estos volmenes estn perfo-rados segn un eje para que sea posible cn-sartarlos verticalmente en una varilla de me-tal. Permiten la clasificacin segn la formay la seriacin segn el tamao.

Los bloques, en nmero de 66, son paralele-ppedos con base cuadrada de 1 cm.z y altu-ras que van de 1 a 20 cm. Son el precedentede los nmeros en color de Cuisenaire. Losnios utilizan eStos bloques como piezas dejuego de construccin antes de realizar equi-valencias entre do5 o ms bloques y un bloquesuma de stos. Permiten realizar sumas y di-ferencias, de 1 a 20, y el estudio de dobles ymitades.

Las superficies, en nmero de 576, son figurasde cartn de diStintas formas y colores. Cadaforma se presenta en cuatro tamaos : la mi-tad, el cuarto y el octavo de la primera. Losrectngulos y los tringulos guardan una ra-zn constante con los cuadrados. As, el rec-

18_ 2x9^ 3x6

tngulo menor es 1/8 del cuadrado mayor ; eltringulo menor es 1/2 del rectngulo menory, por tanto, I/16 del rectngulo mayor y 1/32del cuadrado mayor. Este material tiene gran-des posibilidades para la comprensin de lasreas, de las fracciones...

e La tabla de las 100 bolas, en la que hay 100 pe-yueas varillas de metal, en las que el niopuede fijar 10 decenas de balas de 10 coloresdiferentes. Partiendo de simples composicio-nes de mosaico, el nio Ilega a descubrir Iosn5meros cuadrados y triangulares, calcula elaumento del cuadrado...

Las pilas de discos, que comprende 100 discosde madera, en 10 colores, perforados en elcentro; las construcciones, las pirmides, elbaco de ]as 55 bolas; son otros materiales deeste mtodo,

De acuerda con las ideas de Piaget, con este ma-terial se quiere conducir al nio de la experienciasensomotriz a la abstraccin ; llevarle a realizar cla-sificaciones. ordenaciones; darle el sentido del nme-ro, la nocin de medida, el sentido de las opera-ciones...

Este material est destinado especialmente a niosde tres-siete aos.

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MA"TERIAL DEI. METO[^ K M I..DE TOU Y A RO^

Tiene como finalidad este material iniciar en laMatemtica y en la Lgica, de ah su designacicnK M L(K es el s(mbolo internacional que reemplazaa la conjuncin y M y L son las iniciales de Mate-mtica y LcSgica, respectivamente).

Consta de :

Seis series de figuras :

- Personas y objetos.- Animales.

- Vehculos.- ^ Frutos.- Cifras.

-- Signos y cua[idades de las placas.

Ar.ul.Rojo,Amarillo.

kis corcioncs de color, ptrra limit^ir loti con-juntos.

Cuarenta y ckho rlacas cn m,,tcri.^l pltstico.Estas placas sc c

A lhscuhriniirnto Jcl nmrro a ^rirtir ^Ic lu.rconjuntus eyuivalcnt^s.

Sutxunjunl^iti lnrlusi^n. C'unjunt^^ romplemcntari^^. Int^rsecci^n de conjunt^^e. Uniin ile conjuntos. Estruclura del nmem y sentido de las opera-

riones.

Hslas (irhus prolxmen a los niiiur problcmas cunimgene.s. Cada pas0 de) pensumenlo cs traducidopor un trazo ronveniente ; flecha yue seala una re-laci^n entre objetc^s, Ifnea cerrada en torno a loselementnx de un conjunto. etiyucta unida a ^m ron-junto...

Da ayuf los niort pasarn a representar Ins obje-tos por medio de signos : cruces, puntos..., en lugarde emplear dibujos figurativos, y pmgresan as( haciala esyuematizaci!n de las situacioncx roncretas.

EL MINICOMPUTADOR, DE PAPY

Fue presentado por su autor en el XX( EncuentroInternacional de Profesores de Matemticas cele-brado en Ganda en abril de 1968. Papy lo presentcomo una autntica mquina de ealcular que fun-ciona como un pequeo ordenador que realiza demanera mecnica lo que es automtico en el clculo.Est inspirado en los trabajos de monseor Lemai-tre, publicados entre 1954 y 1956. Ha sdo utilizadopor Mme. Frdrique Papy en clases de nos deseis y siete aos a partir de septiembre de 1967.

EI minicomputador combina el sistema decimal yel sistema binurio. As como Dienes y otros consi-deran que es conveniente que los nios conozcandistintos sistemas de nurneracin. Papy da preferen-cia al binario, ya yue es el sistema de las calculado-ras y adems nos permite con nmeros pequeos in-

^^ i ald^ s^

. ^C

^^^

i+^is ^^ r.i ^s c

troducirle en ta idea del valor de posicin. Pero, porotra parte, nuestro contexto es decimal, no podemosprescindir de este sistema.

Es un material distinto de las regletas de Cusinai-re o los bloques de Dienes. Cuando se da al noregletas o bloques, dice Papy, los nios hacen coneste material cierto nmero de experiencias mate-mticas. Cuando se les da el minicomputador losnios no estn en condiciones de hacer experienciasvlidas por sf solos hasta que los inicia el maestro.

El minicomputador consiste en un baco de pla-cas que se alinean de derecha a izquierda segn lasreglas de la numeracin decimal: en la prmera pla-ca se colocan !as unidades ; en la segunda, las de-cenas...

^^1^/j+:..: t^ i /^i^1 ^A!t

('adu plucu cst dividida en cuatro casillas, en las yue ne utiliza el satema binaro.

48

42 1

Estas casillas son de color blanco, rojo, rosa y Por eso, Papy define el minicomputador como unmarrn. Estos eolores son Ios carnspondientes a las baco bidimensianal binario sobre cada placa, deci-regletas de C`uisinaire 1. 2, 4 y 8, respectivamente. mal lineal de placa a placa.

maa.rror, ratq n.mtw^rn

1^ ^ O bl ai rtt,D H^jo

Los nios a los que anteriormentc ya se ha ense-ado el manejo de las re^letas, cuando ven el mini-camputaclor reconocen los colores y los valores de lascasillas.

[,os nios saben que :Das regletas blancas = una roja.D^os rojas = una rosa.Dos rosas = una marrn.

^^sa

loldc wco

vrerw^onR

^r0 blahca

As, la primera regla del minicomputadar se in-troduce con gran facilidad :

Dos dichas en eI casillero blanco = una ficha enel rojo.

Dos fichas en el casillero rojo = una ficha en etrosa.

Dos fichas en el casillero rosa = una ficha en elmarrn.

49

C^Zando se pasa de una placa a la otra la regla cambia.

1A1 principio los nios juegan con dos placas. Des- nos nirSos a los quincx das de usar el minicompu-

pus el propio nio sente la nec;esdad de llegar a tador manifestaron osta necesidad.las centenas. Mme. Frdrique Papy dice que algu-

N

1 0 0

Papy Ilama formaciones a las disposicione$ que nicomputador. As la formacin de 197^ sera :permiten leer inmediatamente un nmero en el mi-

9

...

0

.

e

En una formacin :

Nunca hay ms de una ficha por casilla.

Si una ficha est en la caslla marrbh entoncesno debe haber ninguna ficha ni en el casillerorojo ni en el rosa.

50

Con el minicoraputador puoden realizarse adicio- sumandos y despua hacer las sustituciones de acuer-nes. Basta escribir en la myuina cada uno de los do con las reglas anteriores. Asf:

9+6^0

=

1

.

5

Igualmanto puedon roalizatso multiplicacionee. Pa- despuCS xe hacen lan wuatltucionea oorroapondletttos.ra multiplicar por 2 un ntsmero, cada #ioha da una Asf :ruRillu Rc reempla^.a pc^r dc^v fichae en eee caeilla y

2 x

2 x

2

5

.

5

On

Multiplic^r por 4 an el minicamputador ^srts mut- merA 4quivatdrta a untar su dabla a a^ta ndmera.tipilcar paf 2 dQs veca. Mult! p1icsr por R werta muf- Para muitiplicar un ndmera po^r 10 baNtard pa s^r dt-tlplicar par 2 tres veces. Muttipticar por 3 un nt9- cho nilmoro a la placa inmedlats a la derecha. Ad:

,Sl

10x3_10x

3

0

^ttta Ix ^urtraccin. Papy comienr.a CnsCAundn u Icire^ aon ^tualmcnle vulcrosax incividualmcntc cloa nifioa Ios nmeroe negativos. Comienz:^ presen- i^uulmenlc hululludnrus. Cada ver, quc una fichn rn-tnndn un ojrrito con^titufdn por frhas rojas y ofrc^ ju y unr firhu i rul Fc rncucnlrrrn en el ramixi depor fichaN uZUle.v. i,a^t fichan noldudc^n de amhun ^r^- htUulla. ^c climin:rn nrulnamenlr.

Y en c1 minicompu^aor ^erfe :

^^6s

0.^

0o^

1

52

^2x8- 2 X

4

En e] minicomputador, para hallar la mitad se A1 pasar a la mitad de la unidad se Uega a la ideareemplaza cada par de fichas de una casilla por una de operacin con decimales .sola ficha en esa misma casilla .

12

_

x1=

12

X

2

X

o i

5

El listn verde de madera que se caloca separando EI minicomputador puede eer ua magnetgraiola placa que se adjunta a la derecha hace el papel grande, del tamato de un encerado, o tambin pla-de la coma en la notacin decimal. As puede operar cas pequeas de madera o metlicas para que loeel nio con decimales con 1as nuevas placas intradu- nios sobre la mesa realicen las opcraciones indi-cidas despuEs del listn verde siguiendo las mismas vidualmente.reglas anteriormente dadas.

53

EL GEOPLANO

Es un material imaginado por Gattegno para quelos nios tomen conciencia de las relaeiones geom-tricas. Se trata de un tablero sobre el que se colo-can clavos formando una red. Estos clavos sirvcnde soporte para tender sobre ellos gomas elsticasde colores.

^ ^ ^

^ ^ ^

^ ^

^

Los dos tipos ms corrientes de geoplano son losque se presentan en las figuras. Las redes que hautilizado Gattegno son el dodecgono, el decgonoy el octgono regulares, y las cuadriculadas de 9,16, 25, 49 y 121 puntos.

La gran ventaja quo tiene el g,ooplano nr que eltabloro puede girat y ol niflo go habita a parribirlas figuras dcsde distintos ngulos visuales y a recnnocerlad indopondionte^mantC do su posicibn, lo ^lu

no suel ocurrir ni con el ennerado ni con el libro.Este matcrial pcrmito la investigacin perronal del

alumno y puedo nor utilixado a lo largo de tada lacnsoun,ta weneral bsica.

BL C}EOESPACIO

Ampliando la idoa del geoplano al espacio ha sur-gido el gooespacio. Fuig Adam en Espafla, Pescarinien Italia y Ghiavone en Uruguay fueran quienes idea-ron estos modolos didcticos.

Para la construccin do un geoespaco--dce PugAdam--puede servir una caja de e^nbatar de di-menaiones no inferiores a 25 cm. en la que se hasuprimido una de sus caras de mayores dimensiones,

con objeto de poder manipular cmodamente en suinterior, atornillndase, en cada una de las otras ca-ras, redcs de tornillos con gancho distribuidos uni-formemente. Entre estos torn'rllos podemos tendergomas el^tcas a cordeles, que unas veces tendrgnla significacin de rectas indefinidas y otras repre.sentarn aristas de figuras polidricas transparentes.

^

Tam^bin pueden construirse geoespacios conser-vando nicamente las aristas de madera o de otro

material rgido y poniendo ea sustitucin de las cin-co caras de madera rejas metlicas resistentes.

OTROS MATERIALES

En modo alguno pueden considerarse los materia-les citados como nicos en la didctica de la Mate-mtica Moderna. Muy interesantes son entre otrosmateriales e] de Emma Castelnuovo denominado"Construyamos la geometra", constituido por tirasde plstico de diferente longitud y color, parecidasa las piezas de mecano. Con ellas se puede realizargran nmero de sistemas articulados con los que elnia se da cuenta que al modificar un polgono cual-quiera e1 permetro permanece invariable mientrasque el rea eambia. As vemos que un rectnguloconstruido de este material, al transformarse en ro7n-boide, $ufre ciertos cambios : var[a la superficie, lamedida de cada ngulo, la longitud de las diagona-les, en tanto que otros caracteres permanecen inva-

riables : el pertmetro, la medida de cada lado. lasuma de los ngulos internos y extemos...

Los films para la enseanza de las matemticascomo los utili7ados por el suiza Nicolet, el inglsFletcher, los franceses Cantegral., Jacquemard y Mo-tard.

Las fichas de Mme. Pcard. Las fchas de trabajoindividualizado del alumno de Somosaguas para ni-os de diez, once y doce aos. Las placas de ma-dame Herbinire-Lebert para la iniciacin al clcu-lo...

A lo ]argo de este artculo nos hemos estado refi-riendo a materiales ms o menos estructurados, peropodemos utilizar en la enseanza de la MatemticaModerna otros muchos materiales ambientales.

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