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Las concepciones sobre las matemáticas y suenseñanza-aprendizaje de los profesores dematemáticas en formación

M. Zapata, L.J. Blanco

Universidades de Piura-Perú y de Extremadura - España

(Fecha de recepción 19-08-2007)(Fecha de aceptación 25-10-2007)

Resumen

El trabajo se comienza haciendo una descripción del contexto de la investigación1, apartir de las características y la estructura del Sistema Educativo Peruano. Identifica-mos los objetivos, competencias y elementos del currículo que ejecuta el Ministerio deEducación del Perú para la formación inicial de profesores en la especialidad de mate-mática y en el nivel secundario. Realizamos una revisión de investigaciones sobre con-cepciones de los estudiantes para profesores sobre las matemáticas y su enseñanza –aprendizaje, resaltando la importancia que tiene en la formación inicial de los profeso-res. Nos centramos en aspectos como la metodología de enseñanza de las matemáticas,las teorías del aprendizaje, el papel del alumno y del profesor en las sesiones de apren-dizaje, la evaluación en el proceso de enseñanza aprendizaje y las tendencias didácticaso modelos de enseñanza de los profesores.

A continuación, describimos el planteamiento del problema, formulación de los obje-tivos y metodología de la investigación. Posteriormente, hacemos la presentación, aná-lisis, interpretación y discusión de los resultados de la investigación. Por último, pre-sentamos las conclusiones de nuestro trabajo, que son obtenidas de una reflexión y meta-cognición de la información más relevante.

Palabras Clave: Secundaria, concepciones, formación inicial, enseñanza de lasmatemáticas, teorías del aprendizaje, papel del profesor, papel del alumno, evaluación.

Campo Abierto, vol. 26 nº 2, pp. 83-108, 2007

Conceptions of the teaching-learning process ofMathematics as held by trainee teachersof Mathematics

Introducción

Diversas metodologías, estrategias yrecursos existen en el campo de la for-mación inicial del profesorado, que con-llevan a conseguir los objetivos propues-tos en los programas planificados por lainstitución formadora. Entre las metodo-logías más usadas para formar a los pro-fesores están presentes la reflexión y, laidentificación y uso de las concepcionesde los estudiantes para profesores. Todoesto, con la finalidad de formar y mejo-rar el desempeño en el aula de los futu-ros maestros.

El Sistema Educativo Peruano, se en-cuentra en un proceso de reforma en laformación continua del profesorado. Porello, en las últimas décadas, se vieneevaluando a todos los profesores paraverificar hasta qué punto han desarrolla-do sus capacidades docentes. Las ten-dencias actuales en formación del profe-

sorado indican que la calidad profesionalde estos profesores está directamente re-lacionada con los centros donde se reali-za su formación inicial y, es aquí dondese debe comenzar la reforma que condu-cirá a forjar profesores idóneos en la for-mación de los alumnos peruanos.

El trabajo presentado se ha desarro-llado dentro del programa de Doctoradoofrecido por el Departamento deDidáctica de las Ciencias Experimenta-les y de las Matemáticas de la Universi-dad de Extremadura (Bienio 2005-2007), en el que se desarrolla una líneade investigación sobre “Formación Ini-cial y Desarrollo Profesional del Profe-sorado de Matemáticas”. En este marcoelaboramos un proyecto cuyo objetivoprincipal era: “Identificar las Concepcio-nes sobre la Matemática y su EnseñanzaAprendizaje de los Estudiantes para Pro-fesores de la Especialidad de Matemáti-ca y Física2” y que tiene por titulo “Iden-

Campo Abierto, vol. 26, nº 2 - 2007

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Summary

The work starts with a description of the context of the research [1], in terms of thecharacteristics and structure of Peru’s education system. We identify the objectives,skills, and elements of the curriculum set out by the country’s Ministry of Education forinitial teacher education in the field of mathematics at the secondary education level. Wereview the research on prospective teachers’conceptions of mathematics and its teachingand learning, highlighting their importance in initial teacher education. The aspects thatwe focus on are the methodology of mathematics teaching, theories of learning, the roleof student and teacher in the learning sessions, evaluation in the teaching-learning pro-cess, and teachers’ models or trends of teaching.

We then define the problem, and formulate the objectives and research methods. Thisis followed by the presentation, analysis, interpretation, and discussion of the results.Lastly, we present the conclusions obtained from reflection and metacognition of the mostimportant information.

Key Words: Secondary education, initial teacher education, mathematics teaching,theories of learning, the teacher’s role, the student’s role, evaluation.

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Las concepciones sobre las matemáticas y su enseñanza-aprendizaje de los profesores de matemáticasen formación

tificación de las Concepciones de losProfesores en Formación sobre las Mate-máticas y su Enseñanza-Aprendizaje enPerú” (Zapata, 2007). Este estudio puedetomarse como línea de base para realizarestudios longitudinales que tengan porfinalidad: mejorar la metodología de loscursos de práctica profesional de las ins-tituciones de formación del profesorado,realizar propuestas para la formación ini-cial del profesorado y elaborar progra-mas de formación del profesorado.

1.- Descripción del Contexto

El Sistema Educativo del Perú buscaadecuarse a las necesidades y exigenciasdel país (Zapata, 2006). En la ley Gene-ral de Educación número 28044 aproba-da el 29/07/2003 se expresa la estructurade este sistema que se encuentra organi-zado en etapas, niveles, modalidades, ci-clos y programas. Las etapas de este Sis-tema Educativo son dos: la primera es laEducación Básica en donde los alumnospueden acceder mediante sus modalida-des de Educación Básica Regular, Edu-cación Básica Alternativa y EducaciónBásica Especial. Al terminar la Educa-ción Básica, los alumnos están aptos pa-ra acceder a la segunda etapa del SistemaEducativo, que es la Educación Superior,y pueden optar por una Educación Supe-rior Universitaria o una Educación Supe-rior no Universitaria.

De acuerdo a la ley general del pro-fesorado (24029, Art. 4 y 6) aprobada el14/1271984 los estudiantes para profeso-res se pueden formar mediante estos dostipos de Educación Superior, en la Edu-cación Superior no Universitaria a travésde los Institutos Superiores pedagógicos

(ISP) y en la Educación Superior Uni-versitaria a través de las Universidades.En estos dos tipos de centros la carrerade formación de los profesores es de cin-co años.

Hemos observado que el currículo deestudios que presenta cada uno de estostipos de centro es diferente. Los ISP pú-blicos y privados se rigen por un únicocurrículo aprobado por el Ministerio deEducación (DINFOCAD3, 2003). Encambio las universidades elaboran y pro-graman sus estructuras curriculares deacuerdo a sus lineamientos y filosofías.Al realizar un proceso de comparaciónentre estos dos tipos de estructuras curri-culares, podemos concluir que las capa-cidades y perfiles de los estudiantesegresados de estos dos tipos de centroson diferentes.

1.1. Referencias Teóricas

La investigación que hemos realiza-do está fundamentada teniendo como ba-se los estudios realizados sobre las con-cepciones de los estudiantes para profe-sores. (Thompson, 1992; Ponte 1992;Blanco, Mellado y Ruíz, 1995; Cama-cho, Hernández y Soccas, 1995; Porlán,1996; Blanco, 1998; Carrillo, 1998; Flo-res, 1998; Contreras, 1999; Barrantes yBlanco, 2004; etc.)

Hemos asumido el significado queThompson (1992) y Carrillo (1998) ledan al término concepciones, como:

- “creencias, conceptos, significa-dos, reglas, imágenes mentales y prefe-rencias, conscientes o inconscientes”(Thompson, 1992, 132).

- “conjunto de creencias y posiciona-mientos que el investigador interpretaposee el individuo, a partir del análisis


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de sus opiniones y respuestas a pregun-tas sobre su práctica.” (Carrillo, 1998,42).

A continuación, presentamos la im-portancia que tienen las concepcionespara la Formación de los maestros. Paraestos autores las concepciones influyenen el comportamiento de los profesores yen el clima de la clase. Afirman, que esnecesario explicitar las ideas de los pro-fesores si queremos comprender su ac-tuación en el aula y que para formar a losfuturos profesores se debe comenzaridentificando sus concepciones.

Mellado, Blanco y Ruíz (1995) enrelación a la formación de los estudian-tes señalan, que para formar a los futurosprofesores debemos comenzar identifi-cando sus concepciones sobre las Mate-máticas y sobre su enseñanza-aprendiza-je y a partir de ellas construir el Conoci-miento Didáctico del Contenido Mate-mático. Éstas se van formando gradual-mente en los estudiantes desde su etapaescolar, y son más estables cuanto mástiempo llevan formando parte de sus sis-temas de creencias. Muchas de las con-cepciones de los estudiantes para profe-sores son implícitas, por lo que durantesus cursos universitarios tienen que re-flexionar sobre ellas y hacerlas explíci-tas, aunque, estos autores también afir-man que la reflexión sobre sus concep-ciones no garantiza de forma automáticasu transferencia a la práctica del aula.Carrillo (1998) destaca la importanciadel estudio de las concepciones de losprofesores porque ayudan a desarrollar ymejorar el desempeño profesional delprofesor. Para Contreras (1999), el cono-cimiento profesional depende de aspec-tos personales, concepciones y creen-

cias. Barrantes y Blanco (2006), aludenque en la formación inicial de profesoresse debe tener en cuenta los antecedentesescolares de los estudiantes, con la fina-lidad de analizar sus concepciones sobrelas Matemáticas escolares, su enseñan-za-aprendizaje y actuar de forma que losestudiantes reflexionen sobre la naturale-za del contenido que aprenden e imparti-rán en un futuro y de su papel comoalumnos y como futuros profesores.

En Flores (1998) se realiza una clasi-ficación de las concepciones de los estu-diantes para profesores. En este trabajonos interesa considerar dos de los tiposde concepciones que presenta este autor.Estas concepciones son: concepcionessubjetivas o cognitivas: se refieren al co-nocimiento o creencia que son manteni-das por los sujetos de manera individual.Concepciones epistemológicas: se ajus-tan a los textos o programas de cierto ni-vel de enseñanza. Estas concepciones: semantienen en la comunidad matemáticaa lo largo de la historia, se refieren a losproblemas que se plantea la comunidaden referencia a esta disciplina, indicansobre la actividad matemática que se rea-liza y la forma de encontrar el conoci-miento matemático, permiten evidenciarla utilidad de las matemáticas para resol-ver problemas de otras disciplinas.

Asumimos que para aprender a ense-ñar matemáticas se deben considerar lasconcepciones y conocimientos sobrecómo debe ser la enseñanza de las mate-máticas y todos los factores externosimplicados para la enseñanza como es: elprograma de formación de las institucio-nes que forman a los profesores y, laescuela donde los estudiantes realizanlas prácticas de enseñanza. Las concep-

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ciones de las matemáticas han ido cam-biando a través del tiempo y en funciónde los aportes que ha brindado cada cul-tura en el mundo. Santaló (1994), afirmaque en las antiguas civilizaciones egipciay mesopotámica las personas aprendíana realizar cálculos para repartir las cose-chas, delimitar los terrenos, pagar ycobrar los impuestos, comprender elmovimiento de los astros con la finalidadde construir sus calendarios. En Grecia,las matemáticas son usadas como técni-ca o herramienta para la vida y comofilosofía o formación intelectual em-pleada para organizar el conocimiento,desarrollar la inteligencia y alcanzar elentendimiento de la verdad. Menciona aPlatón que realiza una clasificación entrela matemática pura que es utilizada parailuminar el pensamiento, desarrollandoen las personas el razonamiento lógico yla abstracción y, la matemática aplicadaque los griegos consideraban ajena alquehacer filosófico y que era utilizadapor los comerciantes, artesanos y cons-tructores de edificios y caminos. Santaló(1994) manifiesta que cada alumno tienesu predilección por una o ambas singula-ridades que presentan cada variante delas matemáticas. Una dualidad útil de lamatemática que se debe tomar en cuentapara su enseñanza.

Camacho, Hernández y Soccas(1995), investigan los cambios que expe-rimentan los estudiantes en el transcursode su carrera de matemáticas, en cuestio-nes como: concepciones, creencias yactitudes hacia las matemáticas. Aplicanun cuestionario que tiene por objetivoobtener unas conclusiones parciales quele han permitido perfeccionar un modeloteórico en sus investigaciones.

Flores (1998) siguiendo la línea deErnest (1994), realiza un estudio profun-do y sistematiza la epistemología de lasmatemáticas en dos apartados: el prime-ro es la Ontología del conocimiento ma-temático, que investiga sobre: la natura-leza del conocimiento matemático, el va-lor de verdad del conocimiento matemá-tico y las matemáticas relacionadas conla realidad; y en el segundo la Gnoseolo-gía del conocimiento matemático, queinvestiga: cómo se llega a adquirir el co-nocimiento matemático, formas de desa-rrollar el conocimiento matemático yformas de validación del conocimientomatemático.

Complementariamente, hemos estu-diado otros aspectos que contribuyen alestudio de las concepciones de los estu-diantes para profesores y que son impor-tantes en todo currículo de Matemáticas:

a) La metodología de enseñanzaanalizando de ella la programación, suscaracterísticas y componentes básicos.Luego, estudiamos las estrategias y mé-todos utilizados por el profesor para laenseñanza de las matemáticas. Por últi-mo, investigamos sobre el uso de los re-cursos y materiales que el profesor debeutilizar en el aula. Para investigar sobrela metodología estudiamos a autorescomo: Gallego y Salvador (2002b) queconsideran a la programación como unareflexión y proyecto del proceso educati-vo; Bishop (2000) afirmando que la en-señanza de las matemáticas debe estarcompuesta de actividades matemáticas,la utilización de métodos con pequeñosgrupos y el trabajo por medio de proyec-tos; Valiente (2000) que clasifica los mé-todos pedagógicos de enseñanza; Llina-res (1994b) presentando una sistematiza-


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ción del proceso de construcción del co-nocimiento matemático; Blanco (1991)que presenta a la resolución de proble-mas como un método de trabajo para laenseñanza de las matemáticas y al Cen-tro Ñariwalac – Perú (2002) que descri-be una metodología de enseñanza paralograr en los alumnos aprendizajes decalidad.

b) Las teorías del Aprendizaje. El es-tudio del aprendizaje lo comenzamosanalizando con algunas de las teorías dela propuesta conductista, que presentaPérez (2000), entre ellas la de Paulov(1927) uno de los representantes del lla-mado condicionamiento clásico cuya ex-periencia se reduce al binomio estimulo– respuesta; Thorndike (1874-1949) queinvestiga sobre el condicionamiento ins-trumental y Gagné afirmando que elaprendizaje es acumulativo porque se vasumando uno al otro, se construye el unosobre los sillares que constituye el ante-rior.

Abordamos el estudio de las teoríasconstructivistas del aprendizaje entreellas: la de Piaget afirmando que “la ac-ción del aprendizaje origina el dominiode la realidad y es promovida por unafuerza interior que lleva a la persona aintentar apresar y manipular el mundo”(Pérez, 2000, 138); Vygotsky resaltandola importancia del medio social en que seforma el individuo y afirmando que lainteracción con el medio facilita elaprendizaje (Pozo, 1996). También pre-sentamos en nuestro estudio las teoríascognoscitivistas de carácter pedagógicocomo la de Bruner que afirma que paralograr aprendizajes la persona debe pro-cesar y organizar de manera activa lainformación que recibe y la de Ausubel

en donde se realiza la diferencia entreteoría del aprendizaje y teoría de la ense-ñanza (Pérez, 2000).

c) El papel del alumno en el apren-dizaje de las matemáticas dependerá delas actividades que programe el profesor,los recursos que utilice y la metodologíaque aplique. Para abordar el estudio delas actividades que realiza el alumno enel aula recogemos los estudios de autorescomo: Gallego y Salvador (2002a) queexponen dos tipos estrategias que reali-zan los alumnos para obtener su aprendi-zaje. La primera es la estrategia cogniti-va que consiste en un conjunto de proce-sos que facilitan la realización de lastareas individuales. La segunda son lasestrategias metacognitivas se sitúan enun nivel superior de la actividad cogniti-va y consisten en los pasos dados en lasolución del problema. Para el MEC(1992), el aprendizaje de los alumnos seda por la intensa actividad intelectualque ellos realizan en el aula. Esta activi-dad la puede realizar el alumno de dis-tintas maneras: cuando observa, se hacepreguntas, formula hipótesis, relaciona ycontrasta lo aprendido con conocimien-tos anteriores, lo integra en esquemasque ya posee o entra en conflicto conellos. Para que los alumnos realicen estasactividades se pueden utilizar manipula-ción de objetos y símbolos familiares,una pregunta o explicación del profesor,un debate entre alumnos, la resoluciónde un problema, etc.

d) El papel del profesor en la ense-ñanza de las matemáticas. Con respectoal papel del profesor hemos queridoidentificar como la comunidad matemá-tica orienta al profesor para realizar suenseñanza, el tipo de coordinación y ac-

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tividades que los profesores deben reali-zar en el área y en el aula. En este senti-do estudiamos a autores como: Valiente(2000) que clasifica las formas metodo-lógicas que se aplican para la enseñanzade las matemáticas entre ellas la Socráti-ca, de laboratorio (o correlación), heurís-tica, experimental, empírica, expositiva,estudio de textos, individual y de pro-yectos. Llinares (1994a) que concibe dosposturas sobre el papel del profesor en elproceso de enseñanza – aprendizaje; laprimera, se refiere al profesor comotransmisor del conocimiento, alguienque analizaba anticipadamente las tareasy las condiciones del aprendizaje queposteriormente aplicaba (objetivos con-ductuales) y la segunda, como facilitadordel aprendizaje, diseñando situacionesdidácticas en las que implican al alum-no-aprendiz en un proceso de construc-ción del conocimiento. Sánchez (1994)afirmando que el papel del profesor hacambiado, de ser transmisor del conoci-miento pasa a ser un colaborador en labúsqueda de la generación del nuevoconocimiento.

e) La evaluación en el proceso deenseñanza - aprendizaje de las matemá-ticas. El concepto de evaluación ha sidoestudiado por varios autores. Así enLukas (2004) se recoge una definiciónde evaluación como “Proceso ordenadoy sistemático de recogida de informacióncuantitativa, que responde a ciertas exi-gencias (válida, creíble, dependiente,fiable, útil,…) obtenida a través de cier-tas técnicas e instrumentos, que tras sercotejada o comparada con criterios esta-blecidos nos permite emitir juicios devalor fundamentados que facilitan latoma de decisiones que afectan el objeto

evaluado.” (Lukas, 2004, 82). Este autordescribe las fases características de unproceso de evaluación que propone Ma-teo (2000). Estas son: planificación, de-sarrollo, contrastación y metaevaluación.

El MED (2001e) propone un sistemade evaluación organizado en función a:criterios de evaluación, indicadores deevaluación, situaciones de evaluación ytécnicas e instrumentos de evaluación. Acontinuación describiremos en qué con-sisten cada uno de estos elementos queconstituyen el sistema de evaluaciónperuano.

Los criterios de evaluación son pará-metros de referencia, que funcionancomo base de comparación, para situar einterpretar el desempeño de un sujetocon respecto a su aprendizaje. Los crite-rios sirven para establecer el punto decorte del cual se califica el logro o no delas capacidades.

Los indicadores de evaluación sonenunciados que describen señales omanifestaciones que evidencian con cla-ridad los aprendizajes de los estudiantesrespecto a una capacidad o actitud.

Las situaciones de evaluación per-miten recoger información sobre el pro-ceso de aprendizaje de sus alumnos.Estas situaciones deben ser entendidascomo el espacio en el cual se da la inte-racción entre el docente y los alumnoscon el propósito de recoger informaciónsobre los aprendizajes alcanzados,empleando para ello una serie de técni-cas e instrumentos de evaluación.

Las técnicas de evaluación son defi-nidas por el MED (2004e) como el con-junto de acciones o procedimientos queconducen a la obtención de información


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relevante sobre el aprendizaje de los es-tudiantes. El MED (2004) recoge la cla-sificación que realiza Díaz Barriga yHernández Rojas (1999). Dentro de estaclasificación se encuentran las técnicasformales, entre ellas tenemos la observa-ción sistemática, pruebas o exámenestipo test y pruebas de ejecución.

Los instrumentos de evaluación sonel soporte físico y se emplean para reco-ger información sobre el aprendizajeesperado de los estudiantes.

Por último, en nuestras referenciasteóricas, realizamos el estudio de lastendencias o modelos de enseñanza enlos profesores de matemáticas identifi-cando las características de los estudian-tes a nivel de grupo e individual que seadaptarán a un modelo concreto de pro-fesor. Identificar esta orientación nosservirá de referencia en nuestra investi-gación.

Contreras y Carrillo (1995) analizanel estilo de enseñanza de los profesores,estableciendo una relación entre las con-cepciones que posee un profesor y sutendencia didáctica de enseñanza de lasmatemáticas (tradicional, tecnológica,espontaneísta e investigativa). Estas ten-dencias nos dan distintas formas de con-cebir la enseñanza-aprendizaje de lasmatemáticas y nos informan sobre las di-ferencias que pueden establecerse entrelos distintos aspectos y concepcionesque intervienen en la enseñanza-aprendi-zaje como: la metodología, fin de la asig-natura, el papel del alumno, el papel delprofesor y la evaluación. De sus investi-gaciones concluyen que no existe unarelación directa entre: las concepcionesque posee un determinado profesor y unatendencia específica, existiendo diversi-

dad de posibilidades entre la relación delas concepciones de un profesor y la si-multaneidad de tendencias para un mis-mo profesor. Estos autores destacan lacaracterización de las tendencias y losmodelos de concepción porque ayudarána diseñar estrategias de formación parael desarrollo profesional de los profeso-res.

Carrillo (2000) dentro de sus investi-gaciones analiza el papel del profesor enla enseñanza-aprendizaje y afirma quelos maestros tienen concepciones sobrela matemática que son muy pobres y queéstas carecen de fundamento. Esto es de-bido a su escasa formación matemática.Este autor también afirma que entre losprofesores de Inicial y Primaria es másfácil encontrar características de la ten-dencia investigativa que entre los profe-sores de Secundaria, en los que encon-tramos aspectos más tradicionales y tec-nológicos. Sin embargo, en general, susactuaciones en el aula suelen estar bas-tante alejadas de la tendencia investigati-va en ambos casos.

2. Identificación del problema yFormulación de los objetivos

Para nuestra investigación se nospresenta los siguientes problemas queplanteamos en forma de interrogantes:¿Qué tipo de concepciones poseen losestudiantes en formación de la Espe-cialidad de Matemática y Física de laFacultad de Educación de la Universi-dad de Piura - Perú; sobre la finali-dad, naturaleza y enseñanza - apren-dizaje de las matemáticas?, ¿Cómopodemos identificar los modelos de en-señanza en los estudiantes que egresan

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de la Facultad de Educación?, ¿Quéinstrumentos se deben elaborar parapoder identificar las diferentes con-cepciones y creencias que tienen los es-tudiantes para profesores sobre lasmatemáticas y su enseñanza - aprendi-zaje?

El problema que planteamos es iden-tificar las concepciones de los estudian-tes para profesores sobre las matemáti-cas y su enseñanza – aprendizaje. Paraluego, establecer la tendencia o modelode enseñanza a la que se orienta el grupode estudiantes. Resolver estos problemasimplica construir instrumentos adecua-dos para recoger estas concepciones.

El estudio de las concepciones de losestudiantes proporcionará las bases paraestudios posteriores. Por ejemplo, lasconcepciones servirán como catalizado-res para mejorar el desempeño de los es-tudiantes para profesores, las concepcio-nes de los estudiantes pueden ser utiliza-das como estrategia para producir elcambio conceptual. Por lo tanto, el obje-tivo general de nuestra investigación es:Identificar las concepciones sobre lamatemática y de su enseñanza aprendi-zaje de los estudiantes para profesoresde la Especialidad de Matemática y Fí-sica.

Del objetivo general obtenemos losobjetivos específicos. Estos son:

* Identificar las concepciones queposeen los profesores en formación so-bre: la finalidad y la naturaleza de lasmatemáticas, la enseñanza – aprendizaje,la metodología de enseñanza, el papeldel alumno y el papel del profesor en unasesión de clase y, la evaluación.

* Realizar un proceso de compara-

ción entre las concepciones de los estu-diantes para profesores y las concepcio-nes que existen en la comunidad mate-mática.

* Identificar la tendencia didáctica omodelo de enseñanza a la que se orientael grupo de estudiantes.

3. Metodología de investigación.

La metodología de trabajo se ha ela-borado analizando el contexto donde serealiza la investigación y las referenciasbibliográficas acerca de las concepcio-nes de los estudiantes para profesores ylos objetivos de la investigación. Deacuerdo a las modalidades que se debentomar en cuenta para realizar una inves-tigación educativa diremos que el si-guiente trabajo se encuentra enmarcadoen función:

- Del carácter de la medida, estáorientada a una investigación cualitativaporque estudia y analiza las concepcio-nes de los estudiantes para profesoresusando una metodología interpretativa.

- A la concepción del fenómeno edu-cativo, la investigación es Ideográficaporque estudia a cada uno de los estu-diantes para profesores no pretendiendollegar a leyes particulares.

La metodología que proponemos ennuestro estudio es cualitativa porque nosparece que esta metodología es la másidónea para el tipo de investigación quequeremos desarrollar, pues la metodolo-gía cualitativa nos aporta los datos des-criptivos de las concepciones que tienenlos estudiantes acerca de las Matemáti-cas y sobre su enseñanza aprendizaje.Los datos que se registran siguiendo estametodología se manifiestan con palabras


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más que con resultados numéricos. Así,una parte considerable de la informaciónse refiere a palabras en forma escrita, so-bre todo a la hora de considerar su análi-sis.

El diseño de la metodología de inves-tigación se encuentra compuesto de pro-

cedimientos que nos conduce de una ma-nera eficiente a la obtención de los obje-tivos propuestos. En el cuadro (Nº 1)enumeramos los procedimientos de losque se compone la metodología de in-vestigación.

En los siguientes apartados desarro-

DISEÑO DE LA METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN

- Selección de las categorías y construcción de las subcategorías.

- Elaboración y validación de los cuestionarios.

- Elaboración de entrevista semiestructurada.

- Selección de la población.

- Aplicación de los cuestionarios.

- Aplicación de entrevista.

- Elaboración de los criterios para el tratamiento de la información.

- Fases para el análisis de los datos.

- Estudio de los cuestionarios.

- Discusión de los resultados de los dos cuestionarios.

- Discusión de los resultados respecto a las tendencias o modelos de enseñanza delos estudiantes.

Cuadro nº 1: Diseño de la Metodología de Investigación.

llamos de manera resumida los procedi-mientos más relevantes que nos dan ori-gen a las concepciones de los estudiantespara profesores.

3.1. Sistemas de categorías para laclasificación de las concepciones

Para estudiar las concepciones de losestudiantes sobre la matemática escolary su enseñanza-aprendizaje teníamosque preguntarnos sobre qué aspectosqueríamos hacer el estudio teniendo encuenta que debían estar relacionados con

su formación tanto por los antecedentesque tienen los estudiantes de su forma-ción realizada en la primera etapa delsistema educativo peruano como por laformación inicial que han obtenido en laUniversidad a lo largo de su carrera en laFacultad de Educación. Para nuestra in-vestigación nos propusimos elaborar yaplicar 2 cuestionarios. Para elaborarlosdebíamos elegir y crear categorías y sub-categorías con la finalidad de organizar ycategorizar la información que debíamosanalizar.

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Las categorías y subcategorías que seutilizan en el primer cuestionario fuerontomadas del cuestionario de Camacho(1995). Este autor a las categorías las de-nomina grupo y a las subcategorías lesda el nombre de aspecto. Hemos utiliza-do tres categorías de las cuatro que pre-senta este cuestionario.

El primer cuestionario que hemosaplicado se encuentra organizado de lasiguiente manera:

Categoría 1: Afirmaciones sobre lamatemática como ciencia.

Subcategorías: objeto de estudio, mé-todos, sensaciones como disciplina cien-tífica.

Categoría 2: Afirmaciones sobre elpapel de la matemática en la sociedad.

Subcategoría: matemáticas en la so-ciedad, matemáticas en las ciencias,matemáticas en relación con su uso.

Categoría 3: Afirmaciones sobre la

enseñanza y aprendizaje de las matemá-ticas.

Subcategoría: contextual, capacida-des, dificultades, métodos (técnicas deenseñanza y aprendizaje).

Las categorías y subcategorías delsegundo cuestionario surgen de las refe-rencias teóricas de nuestro trabajo de in-vestigación. Las categorías sobre las quequeríamos indagar fueron tomadas delmodelo de tendencias propuesto porContreras (1999). En nuestro estudio(Zapata, 2007), hemos justificado laelección de cada una de las categorías yconstruido una serie de subcategoríascorrespondientes a cada una de ellas. Enel Cuadro Nº 2 presentamos las categorí-as con sus respectivas subcategorías quehemos elaborado para poder clasificarlas respuestas que manifiestan los estu-diantes que participan en la experiencia,por lo que nuestro cuestionario se orga-nizado de la siguiente manera:


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3.2. Elaboración de los Instrumen-tos.

Para recoger la información de lasconcepciones de los futuros profesoresse ha recurrido a aplicar tres instrumen-tos: dos cuestionarios y una entrevistasemiestructurada, que vienen descritacon más amplitud en Zapata (2007). Elprimer cuestionario ha sido elaborado,validado y aplicado por Camacho (1995)y el segundo elaborado y validado ba-sándonos en modelo de Contreras(1999). Para la entrevista se ha tomadoen cuenta las categorías seleccionadas enlos cuestionarios aplicados.

Ahora pasaremos a describir detalla-damente cada uno de los instrumentosaplicados en nuestra investigación.

a) El primer instrumento es un cues-tionario que ha tenido por finalidad des-cribir los estados de opinión y actitudesde los estudiantes para profesores deMatemáticas. En nuestra investigaciónhemos aplicado 45 ítems de este cuestio-nario, que se encuentran clasificados enlas tres categorías que hemos descrito enel apartado anterior.

El cuestionario se entregó a 10 estu-diantes que seleccionamos previamente

Cuadro nº 2: Categorías y subcategorías del segundo cuestionario aplicado en la investigación.

CATEGORÍA: metodología detrabajo del profesor.

Subcategorías:

- Programación.

- Praxis.

- Recursos y materiales.

CATEGORÍA: Sentido de laasignatura.

Subcategorías:

- Finalidad.

- Naturaleza.

CATEGORÍA: Aprendizaje.

Subcategorías:

- Obtención del aprendizaje.

- Organización del aprendizaje.

- Manifestación del aprendizaje.

- Actitudes hacia las matemáticas.

CATEGORÍA: Papel del alumno.

Subcategorías:

- Participación en la programación.

- Actividad del alumno en la sesión. - de aprendizaje.

CATEGORÍA: Papel del profesor.

Subcategorías:

- Concepción de la enseñanza.

- Coordinación en el área.

- Actividad del profesor en el aula.

.CATEGORÍA: La evaluación.

Subcategorías:

- Concepción de evaluación.

- Criterios de evaluación.

- Programación de la evaluación.

- Instrumentos de evaluación.

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y se les aplicó en la primera clase delcurso de Práctica Profesional Inicial.Previamente a la resolución del cuestio-nario, se hicieron unas breves aclaracio-nes y se les puso en antecedentes sobreel estudio que estábamos realizando porlo que nos interesaba mucho que las res-puestas fueran lo más sinceras posibles.Para obtener información confiable recu-rrimos a una técnica de sensibilizaciónde modo que a los estudiantes se les in-dujo a responder reflexionando en cadauno de los ítems. El tiempo que duró estasesión fue de una hora. La sesión estuvodividida en dos partes. En la primeraparte se llevaron a cabo las actividadesde orientación para contestar el cuestio-nario y la actividad de la técnica de sen-sibilización. La segunda parte se dedicóexclusivamente a responder el cuestiona-rio.

b) El segundo instrumento es uncuestionario que está construido a partirde los indicadores correspondientes a las6 categorías de las tendencias tradicio-nal, tecnológica, espontaneísta e investi-gativa (Contreras, 1999). El modelo detendencias didácticas se ha transformadoen un cuestionario que tiene por inten-ción comprender como conciben los es-tudiantes la enseñanza y el aprendizajede las matemáticas y desencadenar enlos estudiantes los procesos cognitivosque son necesarios para que ellos puedanmanifestar las concepciones sobre lasmatemáticas y su enseñanza aprendizaje.

Para validar este instrumento se apli-có a tres profesores expertos: el primerolicenciado en Educación con especiali-dad en Pedagogía, el segundo licenciadoen Educación con especialidad en Len-gua Castellana y el tercero doctor en

Educación especialidad en Matemáticas.Estos profesores no sólo se limitaron aresolver el cuestionario sino que a la veznos fueron dando sugerencias y observa-ciones que han sido significativas paramejorar cada ítem propuesto en el cues-tionario.

La aplicación de este instrumento sellevó a cabo en seis sesiones de dos ho-ras cada una, pues el cuestionario constade seis categorías. En cada una de las se-siones se contestaron a los ítems de unacategoría. El formador entregó los cues-tionarios a los estudiantes. Luego, previoa su desarrollo, realizó las siguientesaclaraciones: se les dio información delestudio que estábamos realizando por loque nos interesaba mucho que las res-puestas fueran lo más sinceras posibles;en el cuestionario no deben dejar ningu-na pregunta en blanco, es decir, si nosabían contestarla consultarnos para quese aclare la proposición planteada; se lesdijo no era preciso contestar el cuestio-nario en orden, podían responder en unprincipio las que veían más claras, y enuna segunda vuelta el resto de preguntas.Con respecto al tiempo fuimos flexibles;es decir, que si no terminaban la parte delcuestionario que pertenecía a una cate-goría lo recogíamos y se lo entregába-mos a la siguiente sesión para que pudie-sen complementarlo y terminarlo. El cli-ma de resolución de los cuestionarios fuede relajación, concentración y silenciocon lo que pudimos constatar de la refle-xión realizada por cada uno de los alum-nos que participaron en la experiencia.

Los ítems del cuestionario se presen-taron en forma de proposiciones (Cuadro3), el alumno debe decir si está de acuer-do o no con la proposición y marcar (si)


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o (no) respectivamente; luego deberájustificar el porqué su aceptación orechazo a cada una de las proposicionespropuestas. Para el análisis de los resul-tados hemos considerado solamente la

justificación de la aceptación o el recha-zo hacia cada una de las proposicionesplanteadas. De las manifestaciones quelos estudiantes realizan por cada uno delos ítems hemos obtenido las unidades.

Cuadro nº 3. Primer ítem de la categoría Concepción del Aprendizaje.

TENDENCIA INDICADORES

TR 8 El aprendizaje se obtiene, utilizando la memoria como SI NO1) único recurso, por superposición de unidades de infor-

mación

c) El tercer instrumento es una en-trevista semiestructurada que nos ha ser-vido para la obtención de la información,está construida tomando como base lasmismas categorías vistas anteriormente ycuyo objetivo es confirmar, reforzar ycomplementar lo contestado en los cues-tionarios. Una vez estudiados los cues-tionarios, elegimos aquellos 6 estudian-tes que consideramos eran mejores infor-mantes según sus respuestas en dichoscuestionarios.

La entrevista se desarrolló, de mane-ra individual, con cada uno de los parti-cipantes. Antes de realizar las preguntasel entrevistador creó un clima para poderromper el hielo y para que el estudiantepueda entrar en confianza. El clima enque se llevó a cabo fue de amistad dondecada uno de los alumnos podía manifes-tar sus ideas de manera natural y libre.Los ambientes donde se desarrollaron

fueron iluminados y cómodos donde losalumnos podían sentirse a gusto, paraguardar la información se utilizó una cá-mara multimedia donde sólo pueden serescuchadas la voz de cada uno de ellos.

Habíamos escogido 8 ítems genera-les en forma de preguntas: ¿Qué son lasmatemáticas?, ¿Cómo las matemáticas tepueden ayudar en la vida profesional?,¿Sigues o tienes algún modelo que teayude a ti como profesor?, ¿Cómo pien-sas que aprende un alumno las matemá-ticas?, ¿Qué técnicas o estrategias cono-ces para la enseñanza de las matemáti-cas?, ¿Qué cualidades debe tener unbuen profesor?, ¿Cómo actuarías si desa-rrollaras una sesión de aprendizaje deacuerdo a las teorías que expone tu pro-fesor o de acuerdo a lo que él hace enclase? y ¿Cómo debe ser la evaluaciónen el área de matemáticas?

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3.3. Descripción de la población.

Los estudiantes a los que se les apli-có los cuestionarios pertenecen a la de laFacultad de Ciencias de la Educación dela Universidad de Piura - Perú. Las ca-racterísticas comunes de estos estudian-tes son: se encontraban matriculados enel octavo ciclo de su carrera, comenza-ban a cursar la asignatura de PrácticaProfesional Inicial, la especialidad deformación es Matemática y Física, suformación profesional es para desempe-ñarse en centros educativos que cuentencon nivel secundario y, la formación pri-maria y secundaria las han realizado enun centro educativo público (estatal).

Los cursos que forman parte de la ca-rrera de estos estudiantes se agrupan co-mo: Cursos Generales, Cursos de For-mación Profesional Básica y Cursos deEspecialidad. Dentro de los dos prime-ros grupos algunos son consideradostroncales. Los cursos troncales se deno-minan así porque constituyen el centro endonde se apoya el resto y son obligatoriosen todos los niveles y especialidades:Inicial, Primaria, y Secundaria (Historia,Lengua y Literatura y Matemática).

El estudio se realizó con diez estu-diantes que cumplían las característicasanteriores. Cuatro de ellos cursaban laasignatura de Práctica Profesional Inicialpor segunda vez. De los diez uno de ellosse retiró por motivos de enfermedad. Lasrazones de peso porque la que hemoselegido a este grupo de estudiantes esporque tienen una formación psicopeda-gógica y de especialidad en el área deMatemáticas y Física. Estos estudiantescomienzan a aplicar todo este bagaje deconocimientos y parte de sus concepcio-

nes a través de sus prácticas profesiona-les.

En resumen podemos decir que losinformantes, futuros profesores, no sóloestán siendo formados en la especialidadde Matemáticas sino que su formaciónva acompañada de unas capacidades psi-copedagógicas y humanísticas ya que losfuturos profesores deberán poseer lastécnicas y estrategias para desempeñarsede manera eficaz en el aula. El climadonde son formados los futuros profeso-res se desarrolla en un ambiente quefacilita la vivencia de los valores propiosde la interacción de alumnos y profeso-res, y que no se consiguen con la trans-misión del conocimiento.

3.4. Tratamiento inicial de la infor-mación recogida en los instrumentosaplicados.

Primer Instrumento: una vez recogi-do el cuestionario Nº 1 se procedió aorganizar la información elaborandotablas de frecuencia y diagramas de ba-rras para visualizar los resultados de ca-da uno de los ítems, analizando así cadauno de los aspectos en que se encuentraclasificado el cuestionario. Los resulta-dos obtenidos se encuentran expresadosen forma cuantitativa utilizando porcen-tajes. Luego, se procedió al análisis einterpretación de la información ayuda-dos con el segundo instrumento que des-cribimos a continuación y la entrevista(tercer instrumento aplicado en nuestrainvestigación) fundamentando los resul-tados numéricos mediante el análisiscualitativo.

Segundo Instrumento: después derecoger la información en el segundo


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cuestionario, instrumento de análisis delas tendencias didácticas, hemos proce-dido a la obtención de los datos y al tra-tamiento de la información de la siguien-te manera:

- Hemos buscado la convergencia delas distintas respuestas para organizarlasdentro de cada categoría y jerarquizarlasubicándolas en cada subcategoría. Elelemento básico para el comienzo del es-tudio son las unidades de análisis.

- A continuación se enumeran las uni-dades de análisis de cada alumno. Estasunidades de análisis se definen “comopalabras o conjunto de ellas procedentesde las respuestas, que tienen significadoen relación a los objetivos de la investi-gación. Las unidades de análisis consti-tuyen un fragmento de texto de unidadvariable, dependiendo de la extensióncon que se hable del recuerdo o expecta-tiva implicada. Puede ser una oración,conjunto de oraciones que no tienen porqué coincidir con las respuestas o inter-venciones individuales de los estudian-tes” (Barrantes y Blanco, 2004, 245).

- A partir de esas unidades de análisisse han elaborado las ideas núcleo, queson definidas “como una serie de princi-pios, fundamentos o ideas básicas a tra-vés de las cuales apoyar y articular lossistemas conceptuales de los estudiantespara maestros” (Llinares y Sánchez,1990b, 168). Podemos decir que lasideas núcleo se encuentran conformadasa partir de las unidades de análisis. Porejemplo las unidades de análisis (39, 42,45, 46, 47, 48, 51, 52 y 56) de la estu-diante IA dan origen a la idea núcleo:“La metodología para organizar laclase está compuesta de estrategias,métodos, técnicas y recursos; es flexible

dependiendo de la naturaleza del conte-nido, del desarrollo intelectual, de losintereses de los alumnos, la empatía ycapacidad comunicativa del profesor.”

A continuación, se establece una co-dificación para favorecer el proceso deanálisis. Describimos los códigos parapoder identificar las ideas núcleo de cadaestudiante.

Códigos para los estudiantes partici-pantes. Por ejemplo: Quinto estudiante:IA.

Códigos de categorías y subcatego-rías. Por ejemplo: Categoría Metodolo-gía = M. Subcategoría praxis= Prax

Luego, pasamos a codificar las ideasnúcleo de cada uno de los estudiantes.Con el siguiente ejemplo daremos a co-nocer el proceso de codificación de cadaidea núcleo.

“La metodología para organizar laclase está compuesta de estrategias, mé-todos, técnicas y recursos; es flexible de-pendiendo de la naturaleza del conteni-do, del desarrollo intelectual, de los inte-reses de los alumnos, la empatía y capa-cidad comunicativa del profesor.”

El código de esta idea núcleo es: IA.,M., Prax. (39, 42, 45, 46, 47, 48, 51, 52y 56)

IA: es una de las estudiantes que par-ticipan en la investigación.

M.: Es él código de la categoría Me-todología.

Prax.: es el código de la subcategoríapraxis.

(39, 42, 45, 46, 47, 48, 51, 52 y 56):son las unidades de análisis que pertene-cen a la estudiante IA. Estas unidades deanálisis pueden ser ubicadas en el AnexoNº 4 dentro de la sesión estudiante IA.

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- Se realiza el estudio y análisis delconjunto de las ideas núcleo nos dará in-formación sobre las concepciones de ca-da uno de los estudiantes.

- Como producto se obtienen las con-cepciones de cada uno de los estudiantes.Estas concepciones están organizadas deacuerdo a las categorías y subcategoríasplanificadas justificadas anteriormente.

- Luego se realiza el estudio y análi-sis de las concepciones de cada estudian-te, reforzadas con las manifestacionesque realizan los estudiantes mediante laentrevista, como producto nos ha dadoinformación sobre las concepciones delconjunto de estudiantes.

Tercer instrumento: El tercer instru-mento es la entrevista, la recogida de lainformación de este instrumento nos haservido para complementar las ideas quemanifiestan los estudiantes sobre lasmatemáticas y su enseñanza aprendizaje.Esta información se encuentra almacena-da en un medio informático (CD).

4.- Presentación y discusión de losresultados de la Investigación

En los resultados obtenidos sobre lasmanifestaciones de los estudiantes res-pecto a la función que cumplen las mate-máticas dentro de las ciencias, compro-bamos que se identifican con la filosofíaempirista o el positivismo lógico pues lamayoría están de acuerdo con la proposi-ción del ítem Nº 20 que dice que la mate-mática es el lenguaje de la ciencia. Otrosítems refuerzan esta orientación, pueslos estudiantes están de acuerdo con quela matemática es en primer lugar unaherramienta para usar en las otras áreas(ítem Nº 8), y con que la mayoría de los

desarrollos matemáticos de hoy estáninspirados por problemas científicos(ítem Nº 22). También están de acuerdocon que la matemática es la sirviente delas ciencias. (ítem Nº 29). En resumen,los resultados de estos ítems evidencianla orientación que tienen los estudianteshacia el empirismo.

Para los estudiantes, las matemáticasjuegan un papel fundamental en la cul-tura actual (ítem Nº 17) y su compren-sión es esencial para los ciudadanos dehoy (ítem Nº 18). En resumen, con losresultados obtenidos identificamos quelos estudiantes son conscientes de laimportancia de esta ciencia en la vidadiaria de las personas.

En relación con su uso de las mate-máticas, los estudiantes niegan, en sumayoría, que la matemática pura es másválida que la aplicada (ítem Nº 21), queel matemático no debe estar preocupadopor las aplicaciones de las matemáticas(ítem Nº 27) y que la matemática aplica-da es de segunda clase (ítem Nº 30). Sinembargo, los resultados del segundocuestionario y la entrevista semiestructu-rada muestran que los estudiantes dan elmismo valor a los dos tipos de matemá-ticas. En resumen, para los estudiantes lamatemática aplicada es de igual impor-tancia que la pura.

Con respecto al aprendizaje de lasmatemáticas, en nuestra investigación,hemos querido saber si los estudiantesson conscientes de la relación que existeentre las matemáticas y los procesos quese realizan para desarrollar las capacida-des cognitivas. Con los resultados delítem Nº 32 que les pide que se manifies-ten sobre si la matemática es particular-


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mente apta para desarrollar hábitos in-dependientes de la mente el 50% estánen desacuerdo con esta idea. El otro 50%de estudiantes parece ser que descono-cen esta relación ya que sus respuestasson de indiferencia y de acuerdo con laproposición planteada. Pero hemos com-probado que la mayoría de alumnos de-muestra conocer la relación entre lasmatemáticas y los procesos que existenpara desarrollar las capacidades cogniti-vas, pues los estudiantes rechazan enmayoría el estudio de las matemáticastiende a entorpecer la imaginación (ítemNº 39) y aceptan, que el estudio de lasmatemáticas cultiva el poder del razona-miento (ítem Nº 42). Por lo tanto, pode-mos decir que estos estudiantes conocenque las matemáticas desarrollan capaci-dades que son específicas de esta cienciay desarrollan habilidades y destrezascogntivas.

Cuando investigamos sobre la difi-cultad que presentan las matemáticas pa-ra ser enseñadas y aprendidas. Los estu-diantes afirman que la matemática es untrabajo muy duro (ítem Nº 33) y abs-tracta para la mayoría de los alumnos(ítem Nº 43), rechazando que la mate-mática es la materia más simple y másdirecta de todas (ítem Nº 45). Con elanálisis realizado podemos concluir, quepara estos estudiantes las matemáticaspresentan dificultad.

La relevancia que se les da a lasmatemáticas como ciencia, es tambiénmanifestada por los estudiantes al afir-mar que las matemáticas es el lenguajede las relaciones y estructuras (ítem Nº1), la matemática es una rama de la lógi-ca (ítem Nº 5) y estando en total desa-cuerdo con que la matemática es un

juego sin sentido (ítem Nº 4) y que lamatemática equivale (solamente) aresolver problemas (ítem Nº 10). Por lotanto, podemos concluir que para estosestudiantes la matemática es relevantecomo ciencia.

También hemos querido recoger lasconcepciones de los estudiantes respectoa las técnicas que se deben utilizar parala enseñanza-aprendizaje de las matemá-ticas. Para los estudiantes los cálculosson las destrezas básicas que se debenenseñar en matemáticas (ítem Nº 36).Pero no existe consenso sobre si las ma-temáticas deben ser enseñadas de unaforma deductiva y rigurosa (ítem Nº 35),ni tampoco se ponen de acuerdo en laimportancia de “hacer matemáticas”(ítem Nº 40). La mitad también conside-ra el trabajo metódico en la resoluciónde problemas como el mejor camino pa-ra entender las matemáticas (ítem Nº44) en contra de la otra mitad que no loacepta. Por lo tanto, podemos afirmarque en los estudiantes no existe un con-senso respecto a las técnicas que se de-ben utilizar para la enseñanza y el apren-dizaje de las matemáticas.

Cuando investigamos sobre los mé-todos que dan origen a la estructura delas matemáticas, podemos conocer quelos estudiantes conciben a esta cienciacomo producto del descubrimiento, puesniegan que la matemática sea el produc-to de la invención y no del descubrimien-to (ítem Nº 3). Además afirman que lamatemática nos da el placer de descu-brir verdades ocultas (ítem Nº 15). Peroen cambio también afirman que las ma-temáticas es la mayor creación originalde la mente humana (ítem Nº 7) porqueexiste en ellos una sensación positiva de

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esta disciplina científica. En resumen, noexiste un consenso sobre si la matemáti-ca es producto de la invención o del des-cubrimiento.

Siguiendo con el método que originaesta ciencia identificamos que para lamayoría de estudiantes la deducción noes el método central de las matemáticas(ítem 2). Pero debemos aclarar que en losinstrumentos cualitativos los estudiantesresponden sobre el método de enseñanzade las matemáticas mas no del métodoque da origen a la estructura de esta cien-cia. De los instrumentos cualitativosaplicados en esta investigación se obtie-ne que para los estudiantes, el métododeductivo no es la mejor forma paradesarrollar el conocimiento matemático,destacan la importancia de la inducciónen el proceso de enseñanza-aprendizaje yafirman que la deducción y las demostra-ciones formales deben ser el último pasopara que los alumnos puedan obteneraprendizajes. Según estas manifestacio-nes podemos identificar que los estudian-tes se inclinan por una visión falibilista,rechazan que las conjeturas no tienenlugar en las matemáticas (ítem Nº 14).

A continuación presentamos algunosresultados de las concepciones que tie-nen los estudiantes sobre las matemáti-cas y su enseñanza aprendizaje.

Para los estudiantes la programacióndebe ser elaborada por el conjunto deprofesores del área que son los que de-terminan el orden y la dosificación de loscontenidos. Afirman que la programa-ción es una declaración previa de lo quese piensa hacer y evita la improvisaciónde la tarea docente. También enumeranlos componentes que la conforman peroobservamos no existe un conocimiento

claro sobre sus características principa-les como son: coherencia, contextualiza-ción, utilidad, realismo, colaboración,flexibilidad y diversidad.

Con respecto a los objetivos de laprogramación manifiestan que éstosindican lo que se quiere conseguir o lametas que se quieren alcanzar. De acuer-do a estas afirmaciones podemos esta-blecer que estos estudiantes se encuen-tran orientados por un currículo que tie-ne una mixtura de los modelos conduc-tista y procesos que proponen (Gallego ySalvador 2002). Para los estudiantes lametodología debe estar compuesta deestrategias, técnicas, métodos y recursos.Sin embargo, no describen una estrategiao técnica específica para el área de mate-máticas. Posiblemente estos elementoslos podamos visualizar en la práctica yen la programación de sus actividades.También manifiestan que el trabajo quedeben realizar los alumnos es de dos ti-pos: individual y en grupos pequeños, eltrabajo en grupos desarrolla capacidadesdistintas que cuando los alumnos traba-jan de manera individual. Con respecto alos recursos y materiales afirman que és-tos deben ser utilizados para explicar,motivar, reforzar, fijar aprendizajes yconseguir el cambio de un pensamientoconcreto a un pensamiento abstracto. Asípues, estos estudiantes encajan en el mo-delo democrático y participativo dondecada profesor elabora los recursos ade-cuándolos a cada realidad (Blázquez yLucero 2002). Con respecto al libro tex-to, no debe ser el único material que seutilice en las actividades de aprendizaje.Ellos manifiestan que deben utilizarseotros recursos como las notas técnicas, elInternet, videos educativos, etc.


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La finalidad de las matemáticas debeser formativa y debe desarrollar capaci-dades que permitan a los alumnos ser au-tónomos en su aprendizaje. Este pensa-miento va de acuerdo a la definición queproporciona el (informe Pisa/ OCDE,2003), dice que las matemáticas desarro-llan en la personas la capacidad paraidentificar y entender su función en elmundo, emitir juicios y utilizar las mate-máticas para satisfacer las necesidadesde la vida.

Existen discrepancias entre las con-cepciones de los estudiantes sobre la ob-tención del aprendizaje. De acuerdo asus concepciones los hemos podido cla-sificar en tres grupos. El primer grupoque afirma que el mejor aprendizaje seobtiene cuando el profesor explica co-rrectamente de manera clara y ordenada.El segundo grupo que afirma que elaprendizaje se fija mejor por las expe-riencias que vive el alumno, éste debe irdescubriendo de manera activa los con-tenidos que debe aprender. El tercer gru-po de estudiantes afirman que los alum-nos deben aprender por medio de la ex-plicación del profesor y luego comple-mentar lo que el profesor ha enseñadopero descubriendo los nuevos conteni-dos.

Para los estudiantes la memoria esimportante en el proceso de aprendizaje,pero también afirman que la memoriza-ción no es el método más adecuado paralograr aprendizajes debido a que los con-tenidos no se incorporan a las estructurasmentales de la persona que aprende. Losestudiantes se orientan por aprendizajesignificativo que toma en cuenta lossaberes previos de los alumnos y dondelos nuevos contenidos son incorporados

a la estructura mental existente. La mani-festación del aprendizaje no es unareproducción idéntica o mecánica. Loque el alumno aprende debe aplicarlo adiferentes contextos haciendo una trans-ferencia del conocimiento.

Los estudiantes manifiestan que losalumnos deben participar en el aula rea-lizando las actividades que propone elprofesor, haciendo las anotaciones de loscontenidos más importantes, poniendoatención a la explicación del profesor.

La mayoría de estudiantes afirmanque la enseñanza no debe reducirse a latécnica de la exposición magistral decontenidos. Pero ninguno manifiesta queestrategias y técnicas pueden utilizarseen las sesiones de aprendizaje. El profe-sor debe ser un guía, su función es orien-tar el aprendizaje usando diversas estra-tegias y técnicas. Los alumnos debenparticipar de manera activa en el logrode los aprendizajes. Los profesores de-ben tener un estilo adecuado de enseñan-za y dominar su materia.

Los estudiantes afirman que la eva-luación es un proceso de recogida de in-formación que permite tomar decisionespara reorientar el proceso de enseñanza.Cuando se manifiestan sobre los tipos deevaluación afirman que debe existir laevaluación inicial o diagnóstica, una eva-luación de proceso y la evaluación final.Por tanto, estos estudiantes tienen caren-cias sobre otras formas de evaluar. Porúltimo, ellos manifiestan que los profe-sores deben utilizar diferentes instrumen-tos de evaluación. Entre ellos los de tipocuantitativos y cualitativos. De acuerdo asus repuestas cuando enumeran los ins-trumentos de evaluación como los con-troles orales, los exámenes e informes


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cualitativos, hemos podido constatar queconocen algunos tipos de instrumentospero desconocen las técnicas que sedeben utilizar con estos instrumentospara recoger la información relevante.

Ahora presentamos la relación quehemos encontrado entre las concepcio-nes que manifiestan los estudiantes y lastendencias didácticas propuestas porContreras y Carrillo (1998)

De acuerdo a las tendencias propues-tas por Carrillo (1998), los estudiantespresentan una mixtura en las tendenciasdidácticas orientándose hacia una u otratendencia según la categoría que estemostratando. Por ejemplo, se orientan a latendencia tecnológica cuando manifies-tan que la programación es un documen-to de previsión y que este debe elaborar-se al inicio antes de impartir las sesionesde aprendizaje. También podemos iden-tificar esta tendencia cuando los estu-diantes afirman que las matemáticasdeben ser aplicadas para resolver proble-mas de la vida diaria y servir como he-rramienta para otras ciencias. Podemosapreciar la tendencia espontaneísta delos estudiantes, cuando afirman que losprofesores deben hacer trabajar a susalumnos en pequeños grupos. La tenden-cia investigativa se identifica cuando losestudiantes manifiestan que el profesordebe orientar el aprendizaje de los alum-nos haciéndolos participar de maneraactiva y cuando el profesor debe ser elgestor de los recursos que provocan en elalumno un interés por realizar aprendiza-jes por medio del descubrimiento bajo laguía del profesor. También podemosidentificar esta tendencia cuando losalumnos manifiestan que las matemáti-cas deben tener una finalidad formativa

que desarrollan capacidades que permi-ten al alumno ser autónomo en su apren-dizaje. Y por último, también podemosidentificar en algunos estudiantes la ten-dencia tradicional, los estudiantes mani-fiestan que el aprendizaje se obtienecuando el profesor explica de maneraclara y ordenada. Aunque también afir-man que la enseñanza no sólo se debe re-ducir a la técnica de la exposición magis-tral porque son monótonas, aburridas,los alumnos ponen atención un momen-to y luego se distraen con facilidad. Ana-lizando de forma general las tendenciasde los estudiantes podemos afirmar quese orientan hacia una tendencia tecnoló-gica que es la que más aparece en las dis-tintas categorías, aunque con rasgos es-pontaneístas e investigativa y las menosveces tradicionales.

5. Conclusiones.

En nuestro estudio hemos podidoidentificar los rasgos característicos quedefinen a los estudiantes hacia alguna delas tendencias didácticas propuestas porContreras y Carrillo (1998). Como he-mos podido constatar los estudiantespresentan rasgos de las cuatro tendenciasdidácticas. Estas mixturas se dan a pesarque los estudiantes han tenido una mis-ma formación en la institución.

Cuando los estudiantes manifiestansus concepciones hemos podido identifi-car que éstas presentan una fuerte com-ponente cognitiva. Es decir, que las con-cepciones que manifiestan los estudian-tes, están conformadas de ideas que tie-nen contenidos conceptuales de las dis-tintas materias que han llevado a lo largode su carrera.

Campo Abierto, vol. 26, nº 2 - 2007 M. Zapata, L.J. Blanco

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Los instrumentos cualitativos identi-fican lagunas de tipo cognitivo en lasrespuestas de los estudiantes. Esto se de-be a que éstos no tienen una cultura ma-temática adecuada, desconocen de losfundamentos epistemológicos de lasmatemáticas entre ellos su finalidad ynaturaleza. Otra de las lagunas que pre-sentan es sobre la evaluación, descono-cen sobre la forma de evaluar y no sabenestablecer diferencias entre técnicas einstrumentos de evaluación.

De acuerdo a los resultados que he-mos obtenido en los instrumentos aplica-dos, podemos concluir que los estudian-tes se orientan por las filosofías platóni-cas, es decir que las matemáticas se des-cubren. También identificamos que losestudiantes se orientan por el empirismoo positivismo lógico, cuando manifies-tan que los métodos que se aplican parala obtención del aprendizaje de las mate-máticas sirven para descubrir los conte-nidos.

La importancia que le dan estos estu-diantes a la matemática en la sociedad esdebido a que esta materia está presenteen las culturas de los pueblos y se adecuay contextualiza para cubrir las necesida-des de la población.

Estos estudiantes destacan la impor-tancia de las dos modalidades de lasmatemáticas pura y aplicada. Para elloslas dos modalidades conlleva a un cono-cimiento integral de las matemáticas.

Los estudiantes discrepan en el usode los métodos para la enseñanza de lasmatemáticas. Para unos las matemáticasse deben enseñar siguiendo métodos for-males como los deductivos. Para otros sedebe enseñar usando métodos empíricos

o heurísticos mediante la resolución deproblemas.

Con la manifestación de las concep-ciones también hemos podido conocerque estos estudiantes tienen un conoci-miento claro de la programación y la me-todología que se debe aplicar en la ense-ñanza de las matemáticas. Sin embargo,no describen las técnicas y estrategias es-pecíficas que se aplican en esta ciencia.

Los estudiantes conocen sobre elbuen uso y manejo que se le dan a losmateriales manifestando que deben serelaborados por el profesor desarrollandoasí su creatividad. Los materiales debenconstruirse contando con los recursos desu comunidad y deben hacerse adecuán-dolos a cada realidad. Deben elaborarsecon la finalidad de conseguir el cambiode un pensamiento concreto a un pensa-miento abstracto. Por último, descartanel libro texto como único recurso didác-tico para el desarrollo de las actividades.

Las matemáticas para estos estudian-tes tienen un carácter formativo y debendesarrollar capacidades que les permitana los alumnos un aprendizaje autónomo.Destacan a la inducción en el proceso deaprendizaje y afirman que la deducción ylas demostraciones formales son el últi-mo paso para obtener el aprendizaje delos alumnos.

Sobre la adquisición del aprendizajeexiste discrepancia en sus opiniones quese pueden concentrar en tres grupos. Pa-ra el primer grupo el aprendizaje se debeobtener por recepción, para el segundo elaprendizaje se debe obtener por descu-brimiento y para el último el aprendizajese debe obtener por recepción y descu-brimiento respectivamente.


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Cuando se refieren a la organizaciónde los aprendizajes los estudiantes desta-can la importancia de la memoria en elaprendizaje pero descartan la memoriza-ción como método para obtener aprendi-zajes. El logro de aprendizajes necesitade entendimiento y comprensión de losnuevos contenidos.

También hemos podido conocer queestos estudiantes se orientan por unaprendizaje significativo donde se tomanen cuenta los saberes previos, los intere-ses y la estructura mental de los alumnos.Los estudiantes afirman que los alumnosmanifiestan sus aprendizajes cuandoexplican lo que han aprendido con suspropias palabras y cuando aplican estosconocimientos a contextos diferentes, esdecir cuando pueden realizar una transfe-rencia del nuevo conocimiento.

La enseñanza no debe reducirse a latécnica de la exposición magistral, afir-man los estudiantes, pues las clases sehacen monótonas, los alumnos ponenatención un momento y luego se distra-en. El profesor debe ser un guía, su fun-ción es inducir y orientar el aprendizajeusando una variedad de estrategias y téc-nicas. Consideran que las actividadesque debe realizar el profesor son: crearen los alumnos el conflicto cognitivo,hacerlos participar en las actividades,guiar a los alumno para que elaboren suspropias ideas, validar sus ideas, unificarcriterios, explicar cuando no entienden,validar sus ideas, promover buenas acti-

tudes, contextualizar los contenidos, dis-criminar la información, desarrollar lascapacidades de los alumnos,…

Para ellos, la motivación es un ele-mento fundamental en el aprendizajeporque promueve en los alumnos el de-seo por aprender. La motivación es unmomento clave porque conecta a losalumnos con lo que quieren aprender.

La concepción que tienen los estu-diantes sobre la evaluación, está relacio-nado con el paradigma constructivistadel aprendizaje. Para ellos, la evaluaciónes un sensor que permite saber el progre-so y las dificultades que presenta el gru-po o cada uno de los alumnos. La evalua-ción permite tomar decisiones con la fi-nalidad de orientar el proceso de ense-ñanza-aprendizaje haciendo los reajustesnecesarios.

Analizando de forma general las ten-dencias de los estudiantes podemos afir-mar que se orientan hacia una tendenciatecnológica que es la que más aparece enlas distintas categorías, aunque con ras-gos espontaneístas e investigativa y lasmenos veces tradicionales.

Esta investigación viene a ser uno delos pilares para una nueva investigaciónque realizaremos. Analizaremos si estosresultados se mantienen cuando los es-tudiantes actúan como profesor, es decirsi los resultados se reflejan en la prácticadel aula.


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Notas

1 El trabajo se inserta en la investigación desarrollada al amparo del Proyecto de Investigación “La formacióninicial y permanente de profesores de Matemáticas en Secundaria y Bachillerato en España y Portugal, en elnuevo marco europeo y en el contexto de uso de las nuevas tecnologías”, aprobado en III Plan Regional deInvestigación, Desarrollo e Innovación (2005-2008), y concedido por la Junta de Extremadura.

2 Estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Piura- Perú

3 Dirección Nacional de Formación y Capacitación Docente.


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