Las Matemáticas y su enseñanzaen la escuela secundaria IIForma, espacio y medida

TRAYECTO FORMATIVO

PRIMERA ETAPA

2012-2013

CALENDARIO

LUNES 3 DE DICIEMBRE 2012 1ª SESIÓN

MARTES 4 DE DICIEMBRE 2012 2ª SESIÓN

LUNES 10 DE DICIEMBRE 2012 3ª SESIÓN

MARTES 11 DE DICIEMBRE 2012 4ª SESIÓN

LUNES 7 DE ENERO 2013 5ª SESIÓN

MARTES 8 DE ENERO 2013 6ª SESIÓN

LUNES 14 DE ENERO 2013 7ª SESIÓN

MARTES 15 ENERO 2013 8ª SESIÓN

Evaluación

• Breve Descripción o de la estrategia de solución para cada actividad

1. “Construcciones Geométricas” 10 actividades

2. Transformaciones en el plano 11 actividades

3. Semejanza Escalas y Trigonometría 6 actividades

4. “Medición” 9 actividades

Actividad Didáctica

• Un archivo electrónico que contenga la presentación en diapositivas de la Actividad Didáctica diseñada por equipos, que deberá presentarse al final del Curso.

• 3. El archivo electrónico de texto en donde se describan las siguientes características de la Actividad Didáctica diseñada:

a) Grado escolar al que está dirigido.b) Competencias disciplinares que promueve.c) Conceptos matemáticos que involucra.d) Metodología propuesta para su instrumentación.e) Materiales didácticos que requiere.

Sesión 1Actividad 1

Construcción de estructurasMateriales: palillos de dientes y bombones

miniatura

• En Equipo de 4 personas tiene 15 minutos para construir la estructura más alta posible que se pueda sostener por sí sola.

• Al término de los 15 minutos, mida la altura de su estructura y conteste las siguientes preguntas.

• Altura: _____________________

• ¿Qué características observan en su estructura? (se mantiene rígida, se bambolea, se ladea, alcanzó poca altura, etc.)

• ¿A qué creen que se deban esas características?

• Realicemos la descripción de solución a la actividad

• Sin destruir esta estructura, continúen con las siguientes actividades

Actividad 2Construcción de cuadriláteros dadas

las medidas de sus lados• Recorte las tiras acoplables que le serán

entregadas por el instructor

• trate de construir cuadriláteros con las medidas indicadas en la tabla de abajo y llene los recuadros en blanco.

• Si puede construir el cuadrilátero, trate de cambiar su forma sin cambiar la longitud de sus lados y llene la sexta columna.

• En los renglones de abajo, experimente con longitudes seleccionadas por usted mismo.

Lado A Lado B Lado C Lado D ¿Se puede construir elcuadrilátero? (Si/No)

¿Se puede deformar elcuadrilátero? (Si/No)

10 10 10 10

10 7 5 4

10 5 6 4

7 6 3 4

8 6 4 4

6 4 1 2

8 3 3 2

9 2 3 3

• Considere las longitudes de los lados de los cuadriláteros anteriores.

• ¿Podría unir los segmentos en un orden diferente para hacer un cuadrilátero diferente? Si es así, ¿en cuáles?

• Escriba con sus propias palabras una regla que describa cuándo se puede construir un cuadrilátero dadas las longitudes de sus lados.

• Compare la regla que escribió, con la de sus compañeros.

¿Se pueden construir dos cuadriláteros diferentes, dadas las medidas de sus lados? Justifique su respuesta

• En el cuadrilátero de medidas 8, 6, 4, 4, elimine uno de los lados y cierre la figura, ¿Qué observa en cuanto a la flexibilidad de la nueva figura?

• Redacte sus conclusiones sobre la realización de la actividad.

Actividad 3Construcción de triángulos dadas

las medidas de sus lados• Utilice las tiras acoplables que le serán entregadas

por el instructor para tratar de construir triángulos con las medidas indicadas en la tabla de abajo

• Llene los recuadros en blanco.

• Si puede construir el triángulo, trate de cambiar su forma sin cambiar la longitud de sus lados para llenar la quinta columna.

• En los renglones de abajo, experimente con longitudes seleccionadas por usted mismo.

Lado A Lado B Lado C ¿Se puede construir eltriángulo? (Si/No)

¿Se puede deformar eltriángulo? (Si/No)

8 8 8

8 7 4

5 4 2

7 4 3

8 6 4

6 3 2

Lado A Lado B Lado C ¿Se puede construir eltriángulo? (Si/No)

¿Por qué?

16 6 6

16 7 8

16 9 10

16 6 10

16 8 9

16 10 4

16 14 6

16 14 1

2. Si se le pide construir triángulos en los que un lado mide 16 unidades, y los otros dos se dan en la lista de abajo, ¿en qué casos cree que podría construirlo? Justifique su respuesta sin tratar de construir el triángulo

• ¿Qué condición considera deben cumplir las longitudes de tres segmentos para poder construir un triángulo?

• Escriba con sus propias palabras una regla que describa la relación entre las medidas de los lados de un triángulo.

• Compare la regla que escribió, con la de sus compañeros.

• Suponga que se le pide construir un triángulo cuyos lados miden 14.5, 21.4 y 17.3 cms. ¿Cree que podrá hacerlo? Justifique su respuesta.

• 6. ¿Se pueden construir dos triángulos diferentes, dadas las tres medidas de sus lados? Justifique su respuesta

• ¿Es diferente construir triángulos a construir cuadriláteros? ¿En qué sentido?

• Escriba sus conclusiones sobre la actividad.

Actividad 4Construcción de estructuras

• Para esta actividad de nuevo su equipo utilizará la estructura construida en la actividad 1.

• Observen su estructura y contesten las siguientes preguntas.

• Altura: _____________________

• 1. ¿Qué tipo de figuras usaron en su estructura?

• 2. ¿Qué tipo de figuras la hicieron más fuerte?

• 3. ¿Qué tipo de figuras la hicieron más débil?

• 4. Si tuvieran la oportunidad de construir la estructura otra vez, ¿qué cambiarían?

• Construyan una nueva en 10 minutos.

• El propósito es construir una estructura más alta que la anterior.

• Escriba su descripción de la estrategia de construcción

ACTIVIDAD 5Doblando papel; trazos notables

• Material: hojas transparentes para doblar.

• Es importante que tan sólo trabaje con sus manos, la hoja que esté doblando y el lápiz con el que resaltará, en algún doblez, el trazo requerido.

• ¿Tiene a la mano su primera hoja para doblar? Si es así ya está usted listo(a) para realizar algunas de las construcciones geométricas más prácticas en una gran cantidad de ámbitos: costura, arquitectura, albañilería, deporte, ingeniería, arte, cocina, etc.

• Tome la hoja y exprese qué hacer para trazar un segmento de recta:

• ¡Trace el segmento en su hoja!

• Ahora ¿Cómo encuentra exactamente el punto medio de ese segmento?

• Después de marcarlo en el segmento comente con su pareja cómo es que con toda seguridad puede afirmar que es exactamente el punto requerido.

• Escriba a continuación en forma breve su principal argumento para tal afirmación:

• Coméntenlo con el resto del grupo.• Si ahora traza usted una línea perpendicular al segmento que

pase por ese punto medio, obtendrá la mediatriz del segmento. • La mediatriz tiene la propiedad de que cada uno de sus puntos

equidistan de los extremos de segmento.• Trace la mediatriz y verifique la propiedad mencionada en el

párrafo anterior, tomando cualquier punto de ella (menos el de intersección con el segmento).

• Comente con sus compañeros estas respuestas y discuta con ellos cómo es que llevó a cabo la verificación sobre esta propiedad de la mediatriz.

• Tome otra hoja y trace de nuevo un segmento como el anterior.

• Seleccione un punto cualquiera en su hoja que esté sobre o bajo el segmento, pero no alineado con él.

• Márquelo con la punta de su lápiz y ahora trace una línea que sea perpendicular al segmento (o a su prolongación) y que pase por ese punto.

• Ahora trace en una hoja limpia un segmento como en las anteriores y seleccione de nuevo un punto cualquiera –con las mismas restricciones que antes –

• Construya una paralela al segmento que pase por el punto.

• Describa brevemente cómo realizó los trazo y por qué puede asegurar que efectivamente las línea son perpendicular y paralela respectivamente.

• Entregue las descripciones realizadas al coordinador.

Actividad 6Trazo de las mediatrices, bisectrices

y medianas en un triángulo• Material hojas de papel transparente

• En primer término tomen 3 hojas. Dibuje en cada hoja, en la parte central, un triángulo diferente.

• En un triángulo trace las mediatrices, tomando en cuenta que:

a) Un triángulo tiene tres mediatrices.

b) La mediatriz de cada lado del triángulo es la recta perpendicular a dicho lado y que pasa por su punto medio.

• Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada mediatriz

• En otro Triángulo tracen las medianas considerando que:

a) Un triángulo tiene tres medianas.

b) Cada mediana es un segmento de línea cuyos extremos son el punto medio de un lado del triángulo y el vértice opuesto a él.

• Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada mediana

• En el último triángulo trace las bisectrices, tomando en cuenta que:

a) Un triángulo tiene tres bisectrices.

b) Cada bisectriz es un segmento de línea que biseca (divide en dos partes iguales) cada uno de sus tres ángulos, y por lo tanto parte de un vértice hasta el lado opuesto.

• Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada bisectriz.

Responda brevemente a las siguientes cuestiones y luego compare sus respuestas con las de sus compañeros.

• ¿Cuál trazo se le dificultó menos?

• ¿Cuál se le dificultó más?

• ¿En todos los triángulos se mantiene la misma dificultad?

• ¿Hay algunas características que usted haya observado y quiera resaltar?

• ¿Qué particularidad tomarán esas características en un triángulo isósceles?

• Coméntelo con sus compañeros

• Escriba sus conclusiones y entréguelas al coordinador.

Actividad 7Trazo de las alturas en un triángulo

• Material: hojas de papel translúcido.• Dibuje un triángulo acutángulo, un triángulo

obtusángulo y un triángulo rectángulo respectivamente en cada hoja

• En cada triángulo trace las alturas, tomando en cuenta que:

a) Un triángulo tiene tres alturas.b) Cada altura es un segmento de línea que parte

desde un vértice hasta el lado opuesto -o su prolongación-, con una dirección perpendicular a ese lado opuesto.

Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada altura.

• Responda brevemente a las siguientes cuestiones y luego compare sus respuestas con las de sus compañeros.

• ¿En cuál triángulo el trazo de las alturas se le dificultó menos?

• ¿En cuál se le dificultó más? • ¿Hay algunas características que usted haya

observado y quiera resaltar?• ¿Qué particularidad cree que tomarán esas

características en un triángulo isósceles? • Comente con sus compañeros lo que haya conjeturado

y registre en sus notas lo que le parezca importante, con el propósito de verificarlo posteriormente mediante construcciones con software de geometría dinámica.

• Observe los triángulos dibujados entre líneas paralelas de la siguiente figura y responda a las cuestiones que se plantean, sin hacer mediciones, solamente reflexionando en las propiedades de lo que se observa:

¿Qué características tienen en común los tres triángulos?¿Cómo podría usted argumentar la validez de su respuesta? Escriba brevemente su argumento y luego comente con sus compañeros.Escriba sus conclusiones y entréguelas al coordinador

Actividad 8Trazos notables con regla y compás

• Material: hojas blancas, regla y copmás• Tome la hoja y trace en ella un segmento de recta. • Ahora, haciendo uso únicamente de la regla no

graduada y el compás ¿Cómo encuentra exactamente el punto medio de ese segmento?

• ¡Trace el punto medio del segmento!• Después de marcarlo en el segmento comente con

sus compañeros de equipo cómo es que con toda seguridad puede afirmar que es exactamente el punto requerido.

• Escriba a continuación en forma breve su principal argumento para tal afirmación.

• Coméntelo con el resto del grupo.

• Trace la mediatriz del segmento y verifique la propiedad mencionada en el punto 3 de la actividad 5, tomando un punto de ella (menos el de intersección con el segmento).

• Describa brevemente los trazos necesarios para obtener la mediatriz

• ¿Qué es lo que le permite asegurar que la línea trazada por ese punto medio es perpendicular al segmento?

• Comente con sus compañeros estas respuestas y discuta con ellos cómo es que llevó a cabo la verificación sobre la propiedad solicitada.

• Tome otra hoja y trace de nuevo un segmento como el anterior. Seleccione un punto cualquiera en su hoja que esté sobre o bajo el segmento, pero no alineado con él. Márquelo con la punta de su lápiz y ahora trace una línea que sea perpendicular al segmento (o a su prolongación) y pase por ese punto.

• Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede asegurar que efectivamente la línea es perpendicular.

• Ahora trace en una hoja limpia un segmento como en las anteriores y seleccione de nuevo un punto cualquiera –con las mismas restricciones que antes – Construya una paralela al segmento que pase por el punto.

• Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede asegurar que efectivamente la línea es paralela.

• Argumenten en plenaria sus afirmaciones.

• Entregue sus Argumentaciones y descripciones al coordinador.

Actividad 9Trazo de las mediatrices, bisectrices y medianas en

un triángulo con regla y compás• Material: hojas de papel, regla y compás

• Tracen tres triángulo acutángulo, obtusángulo y rectángulo respectivamente.

• Utilizando regla y compás, trace en cada triángulo las tres mediatrices.

• Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada mediatriz

• Tome otras tres hojas y repita el dibujo de los triángulos diferentes.

• En cada uno trace las tres medianas

• Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada mediana

• Tome otras tres hojas y repita el dibujo de los triángulos diferentes.

• En cada uno trace las bisectrices

• Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada bisectriz.

• Responda brevemente a las siguientes cuestiones y luego compare sus respuestas con las de sus compañeros.

• ¿Cuál trazo se le dificultó menos?• ¿Cuál se le dificultó más? • ¿En todos los triángulos se mantiene la misma

dificultad?• ¿Hay algunas características que usted haya observado

y quiera resaltar?• ¿Qué particularidad tomarán esas características en un

triángulo isósceles?• Coméntelo con sus compañeros y a juicio del instructor

verifique su conjetura.• Escriba sus conclusiones y entréguelas a sucoordinador

Aactividad 10Explorando “Software de Geogebra”

• Con el fin de familiarizarse con los comandos del software de geometría dinámica que vamos a utilizar a lo largo de esta actividad, realice las siguientes acciones guiado por su instructor:

• 1. Construya un segmento de recta, determine su longitud dinámica y deslice alternativamente sus puntos extremos para observar lo que sucede.

• 2. Construya un ángulo, determine su medida dinámica y varíe su abertura.

• 3. Construya un triángulo, etiquete sus vértices y sus lados, determine las medidas de sus lados y de sus ángulos, obtenga su perímetro y su área.

• 4. Dado un segmento de recta y un punto exterior a él, construir una recta paralela y otra perpendicular a dicho segmento que pasen por el punto dado.

• 5. Construir un rectángulo arbitrario.

• 6. Construir un cuadrado dado un lado.

• 7. Construir un hexágono regular.

• 8. Exprese sus primeras impresiones acerca del uso de un software de este tipo.

• Ahora, mediante las acciones que a continuación se enumeran, se propone consolidar, y de alguna manera validar, algunas de las conjeturas surgidas en sesiones anteriores; vistas ahora con la potencialidad y recursos de este software computacional.

• 9. Construir un triángulo y trazarle sus mediatrices y pintarlas de color azul.

• Deslice cualquiera de los vértices del triángulo y analice las posibles intersecciones de las mediatrices.

• ¿Se intersecan siempre las tres mediatrices en un punto? Argumente

• ¿Cuáles son las posibles posiciones del punto de intersección con respecto al triángulo?

• 10. Desarrollar, en el mismo triángulo, los pasos correspondientes al punto1, pero en relación a las medianas, las cuales serán pintadas de rojo.

• Contestar las respectivas preguntas del punto anterior.• 11. Desarrollar, en el mismo triángulo, los pasos

correspondientes al punto1, pero en relación a las bisectrices, las cuales serán pintadas de negro.

• Contestar las respectivas preguntas.• 12. Desarrollar, en el mismo triángulo, los pasos

correspondientes al punto1, pero en relación a las alturas, las cuales serán pintadas de verde. Contestar las respectivas preguntas

• 13. Desliza uno de los vértices hasta que el triángulo, con todas las líneas especiales trazadas, se aproxime mucho a un triángulo isósceles.

• Describa lo que observa.

• 14. Desliza uno de los vértices hasta que el triángulo, con todas las líneas especiales trazadas, se aproxime mucho a un triángulo equilátero.

• Describa lo que observa.

• Tarea

• Lectura 1: “Pensamiento Geométrico y Conceptos Geométricos”

Van de Walle, John A.