ejercicios tema 13

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Estadística Aplicada Tema XIII

1) Una compañía de seguros considera que el número de vehículos accidentados semanalmente en una determinada autopista se puede relacionar con la densidad del tráfico observado en ese mismo periodo. Para comprobarlo escogió cinco semanas al azar y obtuvo los siguientes resultados:

Densidad de tráfico (X)(miles de vehículos diarios) 15 18 10 8 20

Vehículos accidentados (Y) 5 7 2 1 9

A) Calcula la recta de regresión del número de vehículos accidentados sobre la densidad de tráfico.

B) Somete a contraste la pendiente de la recta de regresión muestral obtenida.

SOLUCIÓN

A)

Obtenemos los coeficientes de la recta de regresión muestral donde:

De los datos del enunciado se obtiene que = 14,20 = 4,8 n = 5

= = 13,64

Y la varianza de x

= 20,96

Por tanto tenemos

b = = 0,651 y = 4,8 – 0,651 14,20 = - 4,44

La ecuación de la recta de regresión muestral es:

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola I.N.E.A. (U. Valladolid)1

2

),(

xsyxCov

b


= - 4,44 + 0,651 xi

De acuerdo con la anterior ecuación, cada mil vehículos adicionales de tráfico supondrían un incremento medio de 0,65 vehículos accidentados, en la previsión.

B)

La segunda parte del ejercicio pide que contrastemos la pendiente de la recta de regresión muestral anterior.

Eso equivale a un contraste relativo a la pendiente de la verdadera recta de regresión poblacional, en el que nos planteamos hasta que punto esa pendiente (a pesar de lo obtenido con la recta de regresión muestral) es significativamente distinta de cero.

H0 : = 0 H1 : 0 Cuando la hipótesis nula es verdadera, la variable aleatoria

correspondiente al estadístico:

t n 2

se comporta como una distribución t de Student con n – 2 grados de libertad.

Consultando las tablas de esta distribución, siendo el contraste bilateral, tres los grados de libertad ( n - 2 = 3) y si tomamos = 0,05

RA = { -3,18 t´ 3,18 }

RC = { t´ -3,18 ó t´ 3,18 }

Con los datos del problema, obtenemos una estimación de la varianza de los residuos.

15 5 5,321 0,102818 7 7,273 0,074510 2 2,067 0,00458 1 0,765 0,0551

20 9 8,574 0,1811 SUMA TOTAL 0,4180



A continuación se obtiene la estimación de la varianza de la pendiente de la recta de regresión muestral.

= 0,0013

El valor 104,80 que aparece en la fórmula viene del apartado A (numerador de la varianza allí calculada). Finalmente, el valor del estadístico de contraste:

= 18,03

Se rechaza la hipótesis nula: existe una dependencia lineal entre las dos variables.

2) Se tomó una muestra de veinticinco empleados de una fábrica. Se solicitó a cada empleado de la muestra que evaluara la satisfacción con su propio trabajo ( x ) en una escala de 1 a 10. Además se contaron los días de absentismo laboral ( y) durante el último año para estos empleados. Con estos datos se obtuvo por mínimos cuadrados la recta de regresión muestral

Además se obtuvo la varianza de la variable explicativa y la suma de los cuadrados del error SCE

Contrasta la hipótesis de que la satisfacción con el trabajo no tiene efecto lineal sobre el absentismo, a un nivel de significación de 0,01

SOLUCIÓN

Lo que nos piden equivale a un contraste sobre la pendiente de la recta de regresión lineal. Establecemos como hipótesis nula que esta pendiente es igual a cero.

H0 : = 0 H1 : 0 Siendo verdadera la hipótesis nula, tendríamos:

t n 2

Por tanto, para un nivel de significación de 0,01 en contraste bilateral, siendo 23 los grados de libertad resulta:



t / 2 = 2,81 y por tanto: RA = { -2,81 t´ 2,81 }

RC = { t´ -2,81 ó t´ 2,81 }

De los datos del enunciado obtenemos:

= 3,50 luego: = 0,027

Por tanto:

= 7,31 por lo que se rechaza la hipótesis nula.

En consecuencia, la satisfacción con el trabajo tiene un efecto lineal sobre el absentismo.

3) En una muestra de seis brandys diferentes se analizó el contenido de aldehidos y de ésteres de cada uno, obteniéndose los resultados

Aldehidos (x) 9,8 8,9 7,3 6,3 6,6 10,3

Ésteres (y) 31,7 32,3 8,5 14,3 14,0 17,8

A) Ajusta por mínimos cuadrados una recta de regresión muestral, tomando el contenido de aldehido como variable explicativa.

B) Calcula el coeficiente de determinación.

SOLUCIÓN

A)

Obrenemos los diversos estadísticos muestrales que vamos a necesitar.

= 8,20 = 19,77

= 2,41

= 82,24



Aunque la varianza de la variable dependiente sólo la utilizaremos en el apartado B del problema.

Finalmente la covarianza.

= 8,91

Para obtener la recta de regresión podemos aplicar las fórmulas vistas en el ejercicio número uno, o bien, directamente, sustituir en la expresión:

Haciéndolo, queda:

y en expresión resumida:

El contenido en éster del brandy crece linealmente al aumentar los contenidos de aldehido, siendo la razón o proporción de ese crecimiento 3,70 (pendiente de la recta)

B)

Se nos pide calcular el coeficiente de determinación. Tenemos:

expresión cuyos términos reciben el

nombre:

Variación total = Variación explicada + Variación no explicada

El coeficiente de determinación viene dado por :

o, de manera equivalente:



Con esta última fórmula vamos a obtener el coeficiente de determinación.

9,8 31,7 25,71 35,888,9 32,3 22,38 98,417,3 8,5 16,46 63,366,3 14,3 12,76 2,376,6 14,0 13,87 0,02

10,3 17,8 27,56 95,26 SUMA TOTAL 295,30

Por otra parte lo que hemos llamado “variación total” no es otra cosa que el numerador de la varianza de la variable dependiente, ya obtenida en el apartado A. Así pues resulta:

= 0,40

Y la ecuación de la recta de regresión, obtenida por mínimos cuadrados, permite “explicar” un 40% de la variabilidad observada en la variable dependiente.


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