Ejercicios

Circulación,trabajo y flujo sobre curvas o

superficies

Ejercicio 1.

Sea FØ

=(-y

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH xÅÅÅÅ2L2+y2 ,

xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH xÅÅÅÅ2L2+y2 ,‰

z) un campo de

fuerza y S parte del paraboloide truncado16- z = x2 + y2 en que 0 § z § 7. Sean C1 y C2 curvasfrontera de S en que C1 designa la curva de menor radio. Calcular el trabajo del campo de fuerza por lacurva C1 y por la curva C2 .Sugerencia: Compruebe que el campo es irrotacionaldonde está definido.

Ejercicio 2 Sea C una curva cerrada simple en el planox + 2 y + 3 z = 6 cuya área encerrada se designará por A. Evaluar la integral de línea ŸCH-y dx + 2 z dy - 2 x dzLSugerencia: curva cerrada simple es aquella que no seautointersecta.

Ejercicio 3 Encuentre el valor de la integral de superficie

Ÿ ŸS

õµFØ

• nØ

„A en que S es la superficie dada por

z = 2-"##################x2ÅÅÅÅÅÅ

9+

y2ÅÅÅÅÅÅ4

ubicado sobre el plano XY, nØ

es un

vector unitario normal a S tal que el producto nØ

•kØ

> 0 y FØ

es el campo de vectores definido por

es el campo de vectores definido por

FØHx, y, zL = Hx - z, x3 + yz, -3 xy2L.Sugerencia: La traza en el plano x = 0 es un cono, lomismo para y = 0. Luego en (x,y,z)=(0,0,2) la superficie noes suave.

Estrategia para el ejercicio 1:

Usar el teorema de Stokes y el de Green.

Principales lineamientos:

1º El campo es irrotacional õ×FÆ

= 0Æ

excepto en el eje Z.

2º La curva frontera C1 : x2 + y2 = 9 es una círcunferencia en el plano

z = 7 que tiene radio 3.

3º La curva frontera C2 : x2 + y2 = 16 es una circunferencia en el

plano z = 0 que tiene radio 4.

4º Orientemos C2 y C1- con la orientación inducida por la normal

exterior al paraboloide.

5º Puesto que el campo es irrotacional sobre un dominio que incluye la

superficie, como consecuencia del teorema de Stokes, el trabajo sobre

C1 y C2 es igual: ‡C1

FÆ

• ‚ rÆ

= ‡C2

FÆ

• ‚ rÆ

6ª Bastará calcular el trabajo en una curva. Escojamos la que está en z

= 0 :‡C2

FÆ

• ‚ rÆ

. En ese plano el campo no está definido en el origen. Por

el teorema de Green, podemos calcular el trabajo sobre C2 usando una

curva cerrada que encierre al origen y donde podamos "calcular" más

fácilmente.

7º Escojamos la curva cerrada H xÄÄÄÄÄ2L2 + y2 = 1 puesto que en ese caso el

denominador del campo de fuerza se reducirá, en el plano z = 0,

simplemente a FÆ

= (- y, x , 1). La curva es una elipse de eje mayor 2 en

x y eje menor 1 en y.

8º Parametrizamos la elipse con rÆ

(t) = (x,y,0) donde x = 2 cos(t) , y =

sen(t) donde 0 £ t £ 2 p. Como r 'Æ

(t)=(-2sen(t),cos(t),0) y el campo sobre

esa curva se reduce a FÆ

= (-sen(t),2cos(t),1) se tendrá que el diferencial

2 Ejercicios Mat 024 2º.nb

de trabajo es dW = (-sen(t),2cos(t),1)•(-2sen(t),cos(t),0) = 2 por lo cual

el trabajo es 2p.

-4

-2

0

2

4

-4-2

02

4

0

2

4

6

-4-2

02

4

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

Arriba: Trazado de la superficie y de la circunferencia

con la elipse en el plano z=0

Abajo: Trazado del campo vectorial entre las curvas

Estrategia para el ejercicio 2:

Usar el teorema de Stokes.

Principales lineamientos:

1º Por el teorema de Stokes la circulación del campo por la curva C es

Ejercicios Mat 024 2º.nb

igual al flujo del rotacional a través de una superficie S en la dirección

de una normal.

2º Puede usarse la superficie del plano encerrada por la curva C cuya

área es por hipótesis A y cuya normal es constante y eso facilitaría los

cálculos. Orientamos la curva C con la orientación inducida por la

normal unitaria al plano dirigida del otro lado del origen:

nÆ=

1ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄè!!!!!!!

14 H1, 2, 3L.

3º Aplicando la fórmula de Stokes al campo vectorial

FÆ

= H-y, 2 z, -2 xL de rotacional õ¥FÆ

= H-2, 2, 1LÆ

se tiene que la

circulación por C orientada es igual a

‡C

FÆ

• ‚ rÆ= Ÿ Ÿ

S

õ¥FÆ

• nÆ dS =

5ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄè!!!!!!!

14 A

Abajo: Trazado del plano en el primer cuadrante y una cuva

cerrada simple sobre ese plano

0

2

4

6

0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3

Estrategia para el ejercicio 3:

Usar el teorema de Stokes .

Principales lineamientos:

4 Ejercicios Mat 024 2º.nb

1° La superficie no es suave en un único punto (0,0,2), lo cual dice que

es seccionalmente suave y por lo tanto es aplicable el teorema de

Stokes.

El borde de la superficie es la curva en z = 0 definida por 2 =

$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%x2

ÄÄÄÄÄÄÄ9

+y2

ÄÄÄÄÄÄÄ4

Abajo: Superficie mirada desde arriba y desde abajo

respectivamente.

-5

0

5

-4 -2 0 2 4-1

0

1

2

3

4

-1

0

1

2

3

4

-5

0

5

-4 -2 0 2 4

-1

0

1

2

3

4

-1

0

1

2

3

4

2° El teorema de Stokes establece que el flujo del rotacional del campo

Ÿ ŸS

õ¥FÆ

• nÆ ‚A es igual a la circulación del campo ‡

C

FÆ

• ‚ rÆ

por el

borde de la superficie con la orientación inducida en este caso por el

vector unitario normal nÆ

.

3° El borde C de la superficie es la curva en el plano z = 0 definida 2 =

$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%x2

ÄÄÄÄÄÄÄ9

+y2

ÄÄÄÄÄÄÄ4

, esto es, corresponde a la elipse: x2

ÄÄÄÄÄÄÄ9

+y2

ÄÄÄÄÄÄÄ4

= 4 . Por lo tanto

C es la elipse: x2

ÄÄÄÄÄÄÄ36

+y2

ÄÄÄÄÄÄÄ16

= 1.

Ejercicios Mat 024 2º.nb

4° La parametrización de la elipse C es: rÆ

(t) = (x,y,0) en que x = 6

cos(t) , y = 4 senHtL, 0 £ t £ 2p. Se tiene que r 'Æ

(t) = (-6 sen(t), 4 cos(t), 0

) y el campo sobre la elipse queda: FÆ

(rÆ

(t))=(x, x3 , -3xy2 ) =

H6 cosHtL, 216 cos3HtL, 288 cosHtL sen2HtLL. Entonces FÆ

(rÆ

(t)) • dr 'Æ

(t) =

(-36sen(t)cos(t)+864cos4HtL)dt.

5° Como una antiderivada de la función cos4HtL es3 t������8

+1����4Sin@2 tD +

1�����32

Sin@4 tD, resulta finalmente que la circulación

del campo por el borde es ‡C

FÆ

• ‚ rÆ

= 648p.

Abajo: La función en t que se integra para obtener la circulación.

1 2 3 4 5 6

200

400

600

800

6 Ejercicios Mat 024 2º.nb

Abajo: Detalle del campo circulando alrededor de la curva

orientada antihorario.

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

Ejercicios Mat 024 2º.nb