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Ejercicios
Circulación,trabajo y flujo sobre curvas o
superficies
Ejercicio 1.
Sea FØ
=(-y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH xÅÅÅÅ2L2+y2 ,
xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH xÅÅÅÅ2L2+y2 ,‰
z) un campo de
fuerza y S parte del paraboloide truncado16- z = x2 + y2 en que 0 § z § 7. Sean C1 y C2 curvasfrontera de S en que C1 designa la curva de menor radio. Calcular el trabajo del campo de fuerza por lacurva C1 y por la curva C2 .Sugerencia: Compruebe que el campo es irrotacionaldonde está definido.
Ejercicio 2 Sea C una curva cerrada simple en el planox + 2 y + 3 z = 6 cuya área encerrada se designará por A. Evaluar la integral de línea ŸCH-y dx + 2 z dy - 2 x dzLSugerencia: curva cerrada simple es aquella que no seautointersecta.
Ejercicio 3 Encuentre el valor de la integral de superficie
Ÿ ŸS
õµFØ
• nØ
„A en que S es la superficie dada por
z = 2-"##################x2ÅÅÅÅÅÅ
9+
y2ÅÅÅÅÅÅ4
ubicado sobre el plano XY, nØ
es un
vector unitario normal a S tal que el producto nØ
•kØ
> 0 y FØ
es el campo de vectores definido por
es el campo de vectores definido por
FØHx, y, zL = Hx - z, x3 + yz, -3 xy2L.Sugerencia: La traza en el plano x = 0 es un cono, lomismo para y = 0. Luego en (x,y,z)=(0,0,2) la superficie noes suave.
Estrategia para el ejercicio 1:
Usar el teorema de Stokes y el de Green.
Principales lineamientos:
1º El campo es irrotacional õ×FÆ
= 0Æ
excepto en el eje Z.
2º La curva frontera C1 : x2 + y2 = 9 es una círcunferencia en el plano
z = 7 que tiene radio 3.
3º La curva frontera C2 : x2 + y2 = 16 es una circunferencia en el
plano z = 0 que tiene radio 4.
4º Orientemos C2 y C1- con la orientación inducida por la normal
exterior al paraboloide.
5º Puesto que el campo es irrotacional sobre un dominio que incluye la
superficie, como consecuencia del teorema de Stokes, el trabajo sobre
C1 y C2 es igual: ‡C1
FÆ
• ‚ rÆ
= ‡C2
FÆ
• ‚ rÆ
6ª Bastará calcular el trabajo en una curva. Escojamos la que está en z
= 0 :‡C2
FÆ
• ‚ rÆ
. En ese plano el campo no está definido en el origen. Por
el teorema de Green, podemos calcular el trabajo sobre C2 usando una
curva cerrada que encierre al origen y donde podamos "calcular" más
fácilmente.
7º Escojamos la curva cerrada H xÄÄÄÄÄ2L2 + y2 = 1 puesto que en ese caso el
denominador del campo de fuerza se reducirá, en el plano z = 0,
simplemente a FÆ
= (- y, x , 1). La curva es una elipse de eje mayor 2 en
x y eje menor 1 en y.
8º Parametrizamos la elipse con rÆ
(t) = (x,y,0) donde x = 2 cos(t) , y =
sen(t) donde 0 £ t £ 2 p. Como r 'Æ
(t)=(-2sen(t),cos(t),0) y el campo sobre
esa curva se reduce a FÆ
= (-sen(t),2cos(t),1) se tendrá que el diferencial
2 Ejercicios Mat 024 2º.nb
de trabajo es dW = (-sen(t),2cos(t),1)•(-2sen(t),cos(t),0) = 2 por lo cual
el trabajo es 2p.
-4
-2
0
2
4
-4-2
02
4
0
2
4
6
-4-2
02
4
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
Arriba: Trazado de la superficie y de la circunferencia
con la elipse en el plano z=0
Abajo: Trazado del campo vectorial entre las curvas
Estrategia para el ejercicio 2:
Usar el teorema de Stokes.
Principales lineamientos:
1º Por el teorema de Stokes la circulación del campo por la curva C es
Ejercicios Mat 024 2º.nb
igual al flujo del rotacional a través de una superficie S en la dirección
de una normal.
2º Puede usarse la superficie del plano encerrada por la curva C cuya
área es por hipótesis A y cuya normal es constante y eso facilitaría los
cálculos. Orientamos la curva C con la orientación inducida por la
normal unitaria al plano dirigida del otro lado del origen:
nÆ=
1ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄè!!!!!!!
14 H1, 2, 3L.
3º Aplicando la fórmula de Stokes al campo vectorial
FÆ
= H-y, 2 z, -2 xL de rotacional õ¥FÆ
= H-2, 2, 1LÆ
se tiene que la
circulación por C orientada es igual a
‡C
FÆ
• ‚ rÆ= Ÿ Ÿ
S
õ¥FÆ
• nÆ dS =
5ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄè!!!!!!!
14 A
Abajo: Trazado del plano en el primer cuadrante y una cuva
cerrada simple sobre ese plano
0
2
4
6
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
Estrategia para el ejercicio 3:
Usar el teorema de Stokes .
Principales lineamientos:
4 Ejercicios Mat 024 2º.nb
1° La superficie no es suave en un único punto (0,0,2), lo cual dice que
es seccionalmente suave y por lo tanto es aplicable el teorema de
Stokes.
El borde de la superficie es la curva en z = 0 definida por 2 =
$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%x2
ÄÄÄÄÄÄÄ9
+y2
ÄÄÄÄÄÄÄ4
Abajo: Superficie mirada desde arriba y desde abajo
respectivamente.
-5
0
5
-4 -2 0 2 4-1
0
1
2
3
4
-1
0
1
2
3
4
-5
0
5
-4 -2 0 2 4
-1
0
1
2
3
4
-1
0
1
2
3
4
2° El teorema de Stokes establece que el flujo del rotacional del campo
Ÿ ŸS
õ¥FÆ
• nÆ ‚A es igual a la circulación del campo ‡
C
FÆ
• ‚ rÆ
por el
borde de la superficie con la orientación inducida en este caso por el
vector unitario normal nÆ
.
3° El borde C de la superficie es la curva en el plano z = 0 definida 2 =
$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%x2
ÄÄÄÄÄÄÄ9
+y2
ÄÄÄÄÄÄÄ4
, esto es, corresponde a la elipse: x2
ÄÄÄÄÄÄÄ9
+y2
ÄÄÄÄÄÄÄ4
= 4 . Por lo tanto
C es la elipse: x2
ÄÄÄÄÄÄÄ36
+y2
ÄÄÄÄÄÄÄ16
= 1.
Ejercicios Mat 024 2º.nb
4° La parametrización de la elipse C es: rÆ
(t) = (x,y,0) en que x = 6
cos(t) , y = 4 senHtL, 0 £ t £ 2p. Se tiene que r 'Æ
(t) = (-6 sen(t), 4 cos(t), 0
) y el campo sobre la elipse queda: FÆ
(rÆ
(t))=(x, x3 , -3xy2 ) =
H6 cosHtL, 216 cos3HtL, 288 cosHtL sen2HtLL. Entonces FÆ
(rÆ
(t)) • dr 'Æ
(t) =
(-36sen(t)cos(t)+864cos4HtL)dt.
5° Como una antiderivada de la función cos4HtL es3 t������8
+1����4Sin@2 tD +
1�����32
Sin@4 tD, resulta finalmente que la circulación
del campo por el borde es ‡C
FÆ
• ‚ rÆ
= 648p.
Abajo: La función en t que se integra para obtener la circulación.
1 2 3 4 5 6
200
400
600
800
6 Ejercicios Mat 024 2º.nb
Abajo: Detalle del campo circulando alrededor de la curva
orientada antihorario.
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
Ejercicios Mat 024 2º.nb