E I c o s to a n u a l

e q u iv a le n te ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA5 qponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Existe un tercer metoda para evaluar alternativas de inversi6n. Se trata delcosta anual equivalente, particularmente util para evaluar proyectos queesencialmente constituyen fuentes de egresos, tales como prestar un serviciopublico subsidiado, mantener un servicio de apoyo para otras actividades, etc.

En muchos de estos casos no se puede establecer la rentabilidad del servicio,ya que el proyecto esta conformado unicarnente por desembolsos. Por ejem-plo, el servicio de alumbrado en una fabrica puede ascender a$30000 alafio ypor 10 tanto el proyecto de inversi6n que representa consta simplemente deuna serie de pagos anuales de$ 30000 durante el periodo en que se piensemantener este servicio. Si intentamos calcular la rentabilidad de esta sucesi6nde gastos, descubrimos que es igual a infinito, como se desprende del siguienteanalisis:

VPN(i)=0=-30000[(I+i)n-IJ=-30000[~- I ]JIHGFEDCBAi ( 1 + i t i i(l + i t

Al insertar el valor deWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAi igual a infinito en la ultima expresi6n, encontramosque el VPN = O. . [(1 + i ) n - 1 ]

Entonces, como la expresi6n - ' - - - - - ' - - - n - se hace igual a cerocuan-i ( 1 + i )

E I c o s to a n u a l e q u iv a le n ts L.qponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

do i ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 00, infinito es la tasa intema de rentabilidad del proyecto de alum-brado. Pero obviamente este resultado no sirve para nada.

Ante situaciones como la anterior no tenemos mas remedio queprescindirde la tasa intema de rentabilidad como indice para medir la bondad econorni-ca y acudir a un indicador mas adecuado, como es elc o s to a n u a l e q u iv a le n te .

Cuando desarrollamos las relaciones entre sumas de dinero que aparecen endiferentes momentos, identificamos en particular las que existen entre unapartida actualJIHGFEDCBAP y una serie uniforme futuraR , y entre una suma futura S yuna serie uniforme R. Estas dos reiaciones son ahora muy utiles porqueconstituyen la base fundamental para el caiculo del costa anual equivalente.

Supongamos que en una planta se requiere comprar un montacargas paraayudar alas diferentes secciones de la misma. Este montacargas aparece comoun costa indirecto para cada una de estas secciones y para cada uno de losproyectos que se adelantan alIi y, en consecuencia, en algunmomento se debecalcular la magnitud de su costa por -periodo. Ilustremos lasituacion con unejemplo concreto.

La compafiia TRZ piensa adquirir un montacargas que vale $ 600000, quepuede usar durante 5 afios sin que cause problemas y puede vender al final detal periodo en $ 300000. Este aparato requiere ademas $100000 anuales degastos directos (operario, gasolina, aceite, reparaciones, etc.). La gerenciafinanciera de la empresa desea saber cuanto debe imputar como costa anualpor el servicio del montacargas.

Para responder a la pregunta planteada es conveniente acudir al rnetodo delcosto anual equivalente ya que este, en esencia, consiste enconvertir elconjunto de ingresos y egresos asociados con el proyecto en una serie uniformede partidas anuales, recordando que para poder efectuar lasconversiones esnecesario estipular la tasa de interes de oportunidad.

Los calculos especificos en el caso del montacargas de laTRZ son:Casto anual equivalente= inversion inicial de $ 600000 convertida en una

serie uniforme equivalente de 5 pagos+ $100000 anuales+ $300000 den-tro de 5 afios transformados en una serie uniforme equivalente de 5 pagos.Paso a paso ocurre10 siguiente:

1. El proyecto se descompone en elementos que facilitan su conversion en unequivalente de costa anual.

2. Cada elernento se sustituye por su equivalente anual uniforme, como apa-rece en el grafico 5.1.

3. Se suman los equivalentes anuales para obtener el costo anual equivalentetotal.

Para cuantificar R I y R 2 es preciso identificar la tasa de interes de oportu-nidad, que en este caso suponemos del 20% anual.R 3 no depende dei , ya que

122WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAE v a lu a c io n d e P r o y e c to sJIHGFEDCBA

a ) qponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA0 2 3 4 5 0ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

IMLKJIHGFEDCBAI I I I +

$600-000

$300 000$R,

b )

~0 2 3 4 tlI I I I

5 + 0 1 2 3 4 5

c)0 0

$100000

Grafico 5.1

al ser el equivalente de una serie de egresos anuales uniformes, tiene unaestructura identica a la serie original.

En estas condiciones:

R I $600 000 X 0.33438 $ 200 628

R 2 - $300 000 X 0.l3438 = - $ 40 314

R 3 $ 100 000 X 1 $ 100 000

Costo anual equiv. (0.20) $260 314

Apoyandonos en el procedimiento anterior podemos entoncesestablecerque el costa anual de prestar el servicio de montacargas asciende a $260 314.Una manera alterna de llegar al CAE hubiera sido ca1culando el VPN, con-

E I c o s to a n u a l e q u iv a le n te 1 2 3qponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

virtiendolo luego en una serie uniforme,ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA10 cual evidencia la existencia de lasiguiente relaci6n entre el VPNy el CAE:

CAE(i) = VPN(i) X [ '(1 ~nJIHGFEDCBAi t ](1 + I ) - 1

donde la expresi6n entre parentesis es el factor ~ que aparece en las tablas.c

Lo anterior demuestra que estos dos indices (VPNy CAE) son plenamenteconsistentes en las evaluaciones que produceny por consiguiente se puedenconsiderar como un mismo indicador, afectado por un factor de escala.MLKJIHGFEDCBA

5 .1 E I c o s to a n u a l e q u iv a le n te c o m o m etodop a ra m e d ir la d e p re c ia c i6 n e c o n 6 m ic a

Cuando utilizamos la palabrad e p r e c ia c io n , automaticamente pensamos en elsignificado contable que ella tieney la asociamos con el cargo que imputamosen la cuenta de los activos, para tomar en consideraci6n el uso que de ellos sehace durante un periodo determinado.

Un activo normalmente se registra con un valor inicial de adquisici6n, quese deprecia durante un determinado numero de afios, teniendo en cuenta elvalor de salvamento que pueda tener al final, el cual puede ser negativo en elcaso de activos que requieran desmonte0 demolici6n.

Si llamamos $ P al valor de adquisici6n y $ L al valor de salvamento, el cargocon table por depreciaci6n en Colombia, donde se acepta la depreciaci6nuniforme 0 de linea recta, es:

Depreciaci6n anual( $ P - $ L )

Numero de afios de vida del activo

Un metodo contable de depreciaci6nc o m o el anterior presenta el inconve-niente de que aunque tiene en cuenta la perdida de valor del activo y el desgaste

124WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAE v o lu a c io n d e P r o y e c to sqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o consumo de capital, no incluye la perdida que se produce porno recibir lasganancias que se hubieran po dido generar al colocar, en otras inversiones, losdineros invertidos en el activo. Es decir, si depreciamos unactivo enihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA10 afios,

cargando cada afio _1_ de su valor, solo estaremos teniendo en cuenta la per-10

dida gradual de capital, pero no la oportunidad perdida de laproductividaddel mismo. Para inc1uir este ultimo aspecto, es preciso utilizar un metodo dedepreciacion que en ultimas resulta ser el costo anual equivalente de lainversion en el activo.

Supongamos que se adquiere una rnaquina en$ P de contado y se utilizadurante 5 afios, al final de 10s cuales se vende en$ L . ~Cuanto cuesta anual-mente po seer esta maquina? Veamos el grafico 5.2.MLKJIHGFEDCBA

$L

1--------L-------~~------~iL---~--~:--------1

$P

Grafico 5.2

Si convertimos a$ P en una serie uniforme de 5 pagos y hacemos 10 mismocon $ L , habremos calculado el CAE de la inversion en la maquina. Tal sumaes 10 que c u e s ta po seer la maquina por afio0, dicho de otra manera, 10 queestariamos dispuestos a pagar por arrendar la maquina, en lugar de cornprar-la. Esta cantidad es lad e p r e c ia c io nJIHGFEDCBAf i n a n c i e r a del activo. A continuacionpresentamos una f6rmula simplificada para computar tal depreciacion.

Depreciaci6n econ6mica= CAE ( i ) = P [ i ( 1 + On . ] - L [ i ]

(1 + i t - 1 (1 + i t - I'

Dep. ec. = 1n [ P i ( 1 + i t - u + L i ( 1 + i t - L i ( 1 + i t ' ](1 + i ) - 1

= ( P - L ) [ i ( 1 + if] + L i [ ( 1 + i t - 1], ( 1 + i t - 1 (1 + if - 1

E I c o s to a n u a l e q u iv a le n te 12qponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

De . Ec. =JIHGFEDCBA( P - L ) [ i ( 1 ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ i t J + uP (1 + i t - 1

Debemos observar que el factor entre parentesis rectangulares es el mismoque convierte una cantidadP en una serie uniforme R , el cual se encuentratabulado.

Consideremos un ejem plo: una grua vale $ 800 000 y tiene una vida esperadade 12 afios al cabo de los cuales se debe reemplazar. Su valor de salvamento ental momenta futuro es $ 400000. Para esta clase de inversiones la compafiiautiliza una tasa de interes del 12% anual. En estas condiciones y aplicando laformula simplificada:

Dep. ec. ($800000 - $400000)(0.161437) + $400000 X 0.12

$112574.80

Desde el punto de vista financiero, esta ultima cantidad es10 que c u e s ta lagrua por afio.MLKJIHGFEDCBA

5 .2 U n e rro r com un e n la tncorporaclond e la depreclaclen

Un error que se introduce frecuentemente en el analisis de proyeetos de in-version euando se desea ineorporar la depreciacion, es el detenerla en euentasimultaneamente por el camino contable y por el camino financiero. En taleaso, se penaliza el analisis con una doble medici6n de la depreeiaei6n, por viasdiferentes que no son comparables. Aclaremos10 anterior apoyandonos en elejemplo de lagnia que aeabamos de examinar.

Estableeimos que lad e p r e c ia c io n f i n a n c ie r a de la grua asciende a $112574.80.Si adernas averiguamos que se usa el metodo eontable de depreciacion unifor-me podemos, entonces, dedueir que lad e p r e c ia c io n c o n ta b le es:

$ 800 000 - $ 400 000

12= $33333.33Dep. cont. =

1 2 6 E v a lu a c io n d e P r o y e c to sqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

El error frecuente que deseamos resaltar, es el que surge cuando se hace elsiguiente raciocinio:

Costo anual de la grua

Costo anual equivalente de la inversionDepreciacion contable

Total

$112574.8033333.33

$145908.13

Es indudab1e que en el caso anterior se mide dos veces la depreciacion: unavez en terrninos financieros y 1a otra en terrninos contables. Por este motivo, 1acifra total de $145 908.13 realmente no tiene sentido y puedeser peligrosa si seutiliza como elemento de juicio para adoptar la decision de adquirir la gnia.Todo esto se puede ver en forma nitida con el ejemplo extremo de un activoque se adquiere en $ 100000, dura un afio y no tiene valor de salvamento. Siademas suponemos que la tasa de interes de oportunidad es nula, el analisis esel siguiente:

Costo anual del activo

Costo anual equivalente del activoDepreciacion con table

Total

$100000.00100000.00

$200000.00

El resultado es clara mente erroneo, ya que estariamos considerando comocosta del activo el doble de su precio de compra, a pesar de emplear una tasa deinteres de oportunidad nula.MLKJIHGFEDCBA

5 .3 E I e rro r q u e a c a rre a e l u s o

d e la d e p re c ia c i6 n c o n ta b le

La empresa comunitaria IRRIGACION COLECTIVA ha adquirido un con-junto de bombas para irrigar un valle que tiene 10 000 hectareas de extensionCada bomba vale $16 500, tiene una capacidad para irrigar 100hectareas,ocasiona costos anuales de operacion de $ 5 000 Ytiene una vida esperada de 10aiios, sin valor alguno de salvamento. El director financiero de la empresa sa beque la tasa de interes de oportunidad es del 20% y ha hecho el siguiente calculo

E I c o s to a n u a l e q u iv a /e n te 127qponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

pa~a ~e,terminar el precio que debe cobrar, por hectarea, por concepto det r n g e c io n a c a d a u s u a r io :

Costos directos anualespor hectareaihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= $5000 100 = $50.00

Costo de la bomba me didoa traves de la depreciacioncontable

$16500

10100 $ 16.50

$66.50Costo anual por hectarea

Al elaborar el mismo analisis utilizando el metodo del CAE para medir ladepreciacion financiera, se llega al siguiente resultado:

Cost os directos anuales por hectarea = $ 5 000 = $50.00100

Depreciacion financieraJIHGFEDCBA( i = 0.20 anual)

Costo anual por hectarea

$ 16 500 X (0.23852)100

$39.36

$89.36

Por tratarse de una empresa comunitaria sin animo de lucro, es probableque apoyado en el resultado de su analisis, el director financiero hubiera fijadocomo precio del servicio su costo de $66.50,y al hacerlo hubiera perdido$89.36 - $66.50 = $22.86 por hectarea irrigada al afio,0 sea $228600 en lairrigacion de todo el valle.MLKJIHGFEDCBA

5 .4 La com paraclen e c o n 6 m ic a d e p ro y e c to s

q u e tie n e n d ife re n te d u ra c i6 n

Un problema que frecuentemente enfrentan Ios inversionistas, especialmentecuando toman decisiones sobre adquisiciones0 sustituciones de equipo, es elde como tratar Ia diferencia en la duracion de Ias alternativas. Por ejernplo, laseleccion de un sistema para el movimiento de materiales dentro de una plan-ta industrial, cuando existen las siguientes opciones:

A. M o v im ie n to m a n u a l . Requiere una cuadrilla de trabajadores a quienes secontrata a terrnino fijo por un afio. Esta cuadrilla cuesta $1 050000 porafio.

128WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAE v a lu a c io n d e P r o y e c to sqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

B. S is te m a d e m o n ta c a r g a s . Requiere una cuadrilla mas pequefia que solocuesta $100000 por afio, mas la adquisicion de 2 montacargas, cada unode los cuales vale $1000000 de contado y tiene una vida util de4 afios convalor de salvamento de $100000. Los costos anuales de mantenimiento,combustible, etc. de cada montacargas, ascienden a $50 OOO/ano.

C. S is te m a d e r o d i l / o s t r a n s p o r t a d o r e s .Este sistema, bastante automatizado,requiere un grupo muy pequefio de trabajadores que solo cuestan $50 000por afio. Tiene una vida util de 7afios con un valor inicial de $3 000 000 yvalor de salvamento de $ 1 000000. Los gastos anuales por mantenimientoy combustible ascienden a $40 000. Si la tasa de interes de oportunidad es25% anual, l,cual sistema se debe escoger desde el punto de vista finan-ciero?

El lector debe apreciar que la situacion planteada se refiere a evaluaralternativas que esencialmente constituyen gastos requeridos para la presta-cion de un servicio; en este caso el movimiento de materiales. Por este motivo,el indice de evaluacion econornica mas indicado es el CAE, que procedemos acomputar para cada una de las alternativas.

A l te m a t i v a A . El movimiento manual de los materiales genera un costaanual de $1 050000, correspondiente al valor de los salariosde la cuadrilla. Eneste caso la definicion y significado del costa anual equivalente se confundencon el unico gasto anual que genera la alternativa. Por consiguiente,

CAE(0.25)AihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= $1050000.00

A l te m a t i v a B . Esta alternativa tiene varios componentes que determinan elvalor del CAE: el costa anual de la cuadrilla, el costa anual equivalente de lainversion en los dos montacargas y el costa anual de mantenimiento de estosaparatos. El monto de cada uno de los anteriores costos es:

Costo anual de la cuadrilla

Costo anual de la inversion en los montacargas[$900000 X 0.42344 + $25000] X 2 =

Costo anual de mantenimiento ($ 50000X 2)

CAE (0.25) BJIHGFEDCBA=

$100000

$812192

$100000

$1012192

A l te r n a t i v a C. La estructura del CAE de esta alternativa es igual a la de laanterior:

E I c o s to a n u a l e q u iv a /e n te 129qponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Costo anual de la cuadrilla

Costo anual de la inversion en los transportadores

$2000000 X 0.31634ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ $250000

Costo anual de mantenimiento

$ 50000

CAE(0.25)c =

$882680

$ 40000

$972 680

Siguiendo el criterio de evaluacion de este indice, concluiriamos que el cos-to anual de prestar el servicio de movimiento de materiales mediante las alter-nativas C,JIHGFEDCBAB y A es $972 680, $1012192 y $1 050000, respectivamente. Poreste motivo, es claro que lam e jo r alternativa es la C, Ie sigue laB y queda enultimo lugar la A .

La anterior afirmacion es correcta pero debe calificarse con un comentarioreferente a la vida util de cad a posibilidad, puesto que la alternativa B d u r a 4

afios.Ja Cd u r a 7 afios y la A un afio. Esto implica que la alternativaB es unasolucion durante 4 afios, la C durante 7 afios y laA durante un afio, de modoque para poder comparar plenamente las diferentes soluciones, es precisoconsiderar un horizonte de la misma magnitud. Para este fin,10 mejor quepodemos hacer es mirar el minimo comun multiple de las diferentes vidasutiles, el cual, en el caso que examinamos, es 28 afios, y luego suponer que lainversion en cada solucion se puede repetir en las mismas condiciones hastacubrir 28 afios de prestacion de servicio. Si la alternativaA se repite 28 veces, laB siete y la C cuatro veces, podemos afirmar que:

EI costa anual de prestar el servicio de movimiento de ma teriales durante 28an os es $1050000, $1012192 0 $972 680, segun se emplee 1<J.alternativa A , B

o C, respectivamente.Debemos destacar la fuerte suposicion implicita que conlleva la compara-

cion de alternativas mutuamente excluyentes, con base en elindice del costaanual equivalente: debe ser posible repetir las alternativas en las mismascondiciones, hasta cubrir el minimo cornun multiplo de afios de duracion.

Si se hubiera utilizado directamente el metoda del VPN, aplicandolo a ladescripcion original de la situacion, es po sible que se hubiera adelantado elsiguiente analisis:

VPNA (0.25) = C A E A ( 0 . 2 5 ) X Factor C (1 afio, 0.25 dei )

= $1050000 X 0.8 = $840000

VPN B ( 0 . 2 5 ) = C A E B ( 0 . 2 5 ) X Factor C (4 afios, 0.25 dei )

= $1012192 X 2.3616 = $2390393

VPN c(0.25) = CAEc(0.25) X Factor C (7 afios, 0.25 dei )

= $972680 X 3.1611 = $3074739