edo+aplicandotransformada+de+laplace problemas+resueltos+y+propuestos (1)

5/10/2018 EDO+AplicandoTransformada+de+Laplace Problemas+Resueltos+y+Propuestos ...

http://slidepdf.com/reader/full/edoaplicandotransformadadelaplace-problemasresueltosypropu

Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace

Elaborado por

Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 1

Aplicar la transformada de Laplace para resolver cada una de las ecuaciones diferenciales

con valores iniciales:

1)

( )

52

0 3

t dy y edt

y

− = =

2)( ) ( )

( )

( )

´́ 4 sin 30 0

´ 0 0

y t y t t y

y

+ ==

=

3) ( )

( )

2

22 8 0

0 3

´ 0 6

y y y

t t

y

y

∂ ∂− − =

∂ ∂=

=

4) ( )

( )

22

2sin

0 0

´ 0 0

t d y y e t

dt

y

y

−

+ =

=

=

5) ( )

( )

'' 5 ' 4 0

0 1

' 0 0

y y y

y

y

+ + =

=

=

6) ( )

( )

16 '' 8 ' 17 1

0 0

' 0 1

y y y

y

y

− + =

=

=

7) ( )

( )

( )

3 2

3 24 5 2 10cos

0 0

' 0 0

'' 0 3

d y d y dy y t

dt dt dt

y

y

y

+ + + =

= = =

8)

( )

( )

( )

''' 5 '' 7 ' 3 20sin

0 0

' 0 0

'' 0 2

y y y y t

y

y

y

− + − =

=

= = −




Elaborado por


1 )

( )

52

0 3

t dy y e

dt

y

− =

=

Solución: Dicho problema se encuentra resuelto en el texto UNA Matemática V. Tomo

II .Ingeniería. Página 805.

Usare 4 pasos fundamentales para explicar lo que se quiere encontrar, la solución única de

la ecuación diferncial, revísalos, analízalos y apréndelos para que ataques los problemaspropuestos

1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:

( ){ } { }52 t dy L L y t L e

dt

− =

(A)

Donde:

{ } ( ) ( )

( ){ } ( )

{ } { }5

( ) 0 3

1 1ya que:

5

t at

dy

L sL y t y sy sdt

L y t y s

L e L es s a

= − = −

=

= =− −

2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:

( ){ } { }

( )

[ ]

( )( )( )

52

1( ) 3 2 ( )

5

Sacando factor común, luego1 1 3 15( ) 2 3

sumando fracciones algebraica5 5

3 14( ) Despejando a ( )

5 2

t dy L L y t L e

dt

sy s y ss

s y s s

s s

s y s y s

s s

− =

− − =−

+ −− = − =

− −

−=

− −




Elaborado por


3°) Debemos ahora calcular ( ){ } ( )1 L y s y t

−=

Primeramente debemos descomponer en fracciones parciales (Caso I) para luego usar la

tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)

( ) ( ) ( ) ( )

3 14

5 2 5 2

s

s s s

A B

s

−= +

− − − −

Para hallar el valor de A, multiplicamos por (s-5) ambos miembros, simplificamos y luego

evaluamos para s=5

( )5s −

( )

3 14

5

s

s

−

− ( )( )5

2s

s= −

− ( )5

A

s −( )

( )5

3

3 14 3(5) 14 1

2 5

1

2 3 3

ss

s A

s

B

A

+ −−

− −∴ = = = → =

− −

Para hallar el valor de B, multiplicamos por (s-2) ambos miembros, simplificamos y luego

evaluamos para s=2

( )2s −

( ) ( )

3 14

5 2

s

s s

−

− −( )

( )( )2 2

5s s

s

A= − + −

− ( )2

B

s −

( )

3 14 3(2) 14 8 8

5 2 58

33 3

s B

s B

− − −∴ = = = →

− −==

−

4°) Una vez encontrado los valores de A y B, expresamos como transformada inversa

dicha descomposición

{ }

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1 1 1

1 1

5 2

5 2

1

Como: ( ) ( )

3 14

5 2 5 2

Usamos tablas1 1 8 1

3 5 3 2

1 8

3 3

1 8( ) (So

3 3

1/ 3 8 / 3

1 at

t t

t t

L e

L y s y t

s a

s L L L

s s s s

L Ls s

e e

y t e e

−

− − −

− −

−

=

− = +

− − − −

= + − −

=

= +

∴

−

= + lución de la ecuación diferencial)

Podemos ver que también es cierta y(0)=3…. Verifícalo




Elaborado por


(2)

( ) ( )

( )

( )

´́ 4 sin 3

0 0

´ 0 0

y t y t t

y

y

+ =

=

=

Solución:


( ){ } { }2

24 sin 3

d y L L y t L t

dt

+ =

(A)

Donde:

{ } ( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( )

{ } { }

22 2 2

2

2 2 2

( ) . 0 ' 0 0 0

4 4

3sin 3 ya que: sin

9

d y L s L y t s y y s y s s y s

dt L y t y s

b L t L bt

s s b

= − − = − − =

=

= =+ +


( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )

( )( ) ( ){ } ( )

2

2

2

2

2 2

1

34

93

4 Factor común9

3Despejando a

9 4

s y s y ss

y s ss

y s y ss s

L y s y t −

+ =

+

+ = +

→+

==+

3°) Debemos ahora calcular ( ){ } ( )1 L y s y t −

=

Podemos descomponer en fracciones parciales o bien usar la tabla de transformada inversa

de Laplace (o transformada inversa)




Elaborado por


( ){ }( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

3

9 4

1 1 sin sin3

9 4

3

L y s Ls s

a bt b at L L

s s s a s b ab a b

− −

− −

=

+ +

− = → =

+ + + + −

=3sin 2 2sin 3

3

t t −

( )

3sin 2 2sin 3

10.2 9 4

t t −=

−

( ){ } ( )1 3sin 2 2sin 3

10

t t L y s y t

− −= =

La solución de la ecuación diferencial viene hacer: ( )3sin 2 2sin 3

10

t t y t

−=

Verificamos las condiciones iniciales

( ) ( )3sin 2 2sin 3 3sin 2 sin 3

Si 0 0 010 10 5

t t t t y t t y

−= = − ⇒ = → =

( ) ( ) ( )6cos 2 6cos3 3

' cos 2 cos3 Si 0 ' 0 010 5

t t y t t t t y

−= = − ⇒ = → =

Tal que:

( ) ( )´´ 4 sin 3

6 9sin 2 sin 3 4

5 5

y t y t t

t t

+ =

− + +

3sin 2 2sin 3

10

t t −

6sin2

5t

=

−9 6

sin 3 sin 25 5

t t + +4

sin35

9 4sin 3 sin 3

5 5

t

t t

− =

− =

3) ( )

( )

2

22 8 0

0 3

´ 0 6

y y y

t t

y

y

∂ ∂− − =

∂ ∂=

=




Elaborado por


Solución:


( ){ }2

22 8 0

y y L L L y t

t t

∂ ∂ − + =

∂ ∂

(A)

Donde:

{ } ( ) ( ) ( )

{ } ( ) ( ) ( )

( ){ } ( )

22 2

2( ) . 0 ' 0 3 6

2 2 ( ) 0 2 3 2 6

8 8

y L s L y t s y y s y s s

t

y L sL y t y sy s sy s

t

L y t y s

∂= − − = − −

∂

∂ = − = − = −

∂

=


( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

3 6 2 6 8 0

2 8 3 6

s y s s sy s y s

s y s sy s y s s

− − − − − =

− − − − 6+ ( )

( ) ( )

( )( )( )

2

2

0 Eliminando paréntesis, simplifando

. 2 8 3 Sacamos Factor común

Despejando y factorizando3 3

el denominador4 22 8

y s s s s

s s y s

s ss s

=

− − =

= =

− + − −

3°) Nuestro propósito es calcular ( ){ } ( )1 L y s y t −=

Lo primero es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada

inversa de Laplace (o transformada inversa)

Ahora bien, descomponemos en fracciones parciales, para hallar los Coeficientes

Indeterminados A y B –Método de sustitución

( )( ) ( ) ( )

3

4 2 4 2

As

s

B

s s s= +

− + − +

• Usaremos el método corto, Para hallar el valor de A, Multiplicamos por ( )4s −

ambos miembros simplificamos y luego evaluamos para 4s =




Elaborado por


( )4s −( )

3

4

s

s − ( )( )4

2s

s= −

+ ( )4

A

s −( )

( )( )

( )

( ) ( )

Multiplicamos y

4 simplificamos por2

4

3 4 12

2 Evaluamos para 44 2 6 2

B

A

ss

s

A s

+ − + −

== = = → =+

• Del mismo modo, para encontrar el valor de B, multiplicamos por ( s +2) ambos

miembros , simplificamos y evaluamos para 2s = −

( )2s +( ) ( )

3

4 2

s

s s− +( )

( )( )2 2

4s s

s

A= + + +

− ( )2

B

s +( )

( )

( )( )

Multiplicamos y

simplificamos por

2

3 2 61 Evaluamos para 2

2 4 61 s B B

s

+

− −= = = → = −

− −=

−

4°) Una vez encontrado los valores de A y B, expresamos como transformada inversa

dicha descomposición:

( ) ( ) ( ) ( )( ){ } ( )

( ) ( )

( )

1 1 1 1

1 11

4 2

4 2

3Como:

4 2 4 2

Por tablas de Transformada

1 12 1inversa4 2

2

2 1

2

at

t t

t t

s L L L L y s y t

s s s s

L L L es s

s a

e e

y t e e

− − − −

− −−

−

−

= + =

− + − +

= + =− +

−

= +

∴ = +

Verifiquemos la solución particular encontrada, bajo las condiciones iniciales dadas:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 2 0 0

4 2 4 2

2 Por tanto Si 0 0 2 2 1 3

' 2 (4) ( 2) 8 2 Por tanto Si 0 ' 0

0 3

66 '8 02

t t

t t t t

y t e e t y e e

y t e e y

y

ye e t

−

− −

== + = → = + = + =

= + − = − = → = − ==

Dejaremos al estudiante verificar que al encontrar la 2° derivada podemos ver si es cierta la

ecuación diferencial '' 2 ' 8 0 y y y− − =




Elaborado por


4) ( )

( )

22

2sin

0 0

´ 0 0

t d y y e t

dt

y

y

−

+ =

=

=

Solución:


( ){ } { }2

2

2sint d y

L L y t L e t dt

−

+ =

(A)

Donde:

{ } ( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( )

{ }( )

{ }( )

22 2 2

2

2

2 22 2

( ) . 0 ' 0 0 0

1 1sin ya que: sin

4 52 1

t at


dt

L y t y s

b L e t L e bt

s ss s a b

−

= − − = − − =

=

= = =+ ++ + − +


( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )

( )( )

2

2

2

2

2 2

1

4 5

11 Sacamos factor común

4 5

1Despejando

4 5 1

s y s y s s s

y s ss s

y s y ss s s

+ = + +

+ = + +

=+ + +

3°) Nuestro propósito es calcular ( ){ } ( )1 L y s y t −

=

Lo primero es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada

inversa de Laplace (o transformada inversa)

Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II) para hallar los

Coeficientes Indeterminados A, B, C y D

( )( ) ( ) ( )2 2 2 2

1

4 5 1 4 5 1

A Bs s

s s

C

s s s s

D+ += +

+ + + + + +




Elaborado por


( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

2 2

2 2 2 2

2 2

3 2 3

1 4 5 Sumando fracciones1

algebraicamente4 5 1 4 5 1

Como los numeradores son iguales,1 1 4 5

aplicamos la propiedad distributiva

1

A B C D

A B C D

s s s s s

s s s s

A A B

s s

s s s s s

s s s s B C C

+ + + + + + =

+ + + + + +

= + + + + + +

= + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

3 21 Sumando términos

5 4 5

5 se4 mejantes5

C D D D

A C B C D A C D

s s s s

Ds Bs s+ + + + +

+ + + +

+ + + +=

( )

Se forma el sistema siguiente:

0

0

5 4 0

5 1

Supongamos que: 0 0

1En la ecuación II 0 Al sustituirlo en IV 5 1

4

A C A C

B C D

A C D

B D

A C

B D B D D D D

+ = → = −

+ + =

+ + = + =

= → =

→ + = → = − − + = → =

4°) Sustituimos los coeficientes A=C=0, D=1/4 y B= -1/4 y tenemos que la expresión

buscada es:

( ){ } ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

1 1 1

2 2 2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

2

Como:

1 1/ 4 1/ 4

4 5 1 4 5 1

1 1 1 1

4 44 5 1

1 1 1 1

4 4 12 1

1 1sin sin

4 4

t

L y s y t

L L Ls s s s s s

L Ls s s

L Lss

e t t

−

− − −

− −

− −

−

=

− = + + + + + + +

= − +

+ + +

= − +

++ +

= − +

Hemos aplicado las propiedades de transformadas inversas siguientes

( )

1 1

2 2 22sin sin

at b b L e bt L bt

s bs a b

− −

= = + − +




Elaborado por


La solución a la ecuación diferencial buscada es ( ) 21 1sin sin

4 4

t y t e t t −= − +

Verifiquemos las condiciones iniciales en cada ecuación:

( ) ( )21 1sin sin 0 04 4

t y t e t t y−= − + → =

( ) ( )2 21 1 1 1 1' sin cos cos ' 0 0

2 4 4 4 4

t t y t e t e t t y

− −= + − → = − =

5) ( )

( )

'' 5 ' 4 0

0 1

' 0 0

y y y

y

y

+ + =

=

=

Solución:


( ){ }2

25 4 0

y y L L L y t

t t

∂ ∂ + + =

∂ ∂ (A)

Donde:

{ } ( ) ( ) ( )

{ } ( ) ( )

( ){ } ( )

22 2

2. ( ) . 0 ' 0

. ( ) 0 1

y L s L y t s y y s y s s

t y

L s L y t y sy st

L y t y s

∂= − − = −

∂ ∂

= − = − ∂

=


( ){ } ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

2

2

2

2

2

Como: 5 4 0 Propiedad de linelidad

. 5 . 1 4 ( ) 0 Laplaciano de una derivada

. 5 4 5 0 Sacando factor común

Despejando ( ) y factoriza5 5

5 4 4 1

y y L L L y t

t t

s y s s s y s y s

y s s s s

y ss s y s

s s s s

∂ ∂ + + =

∂ ∂

− + − + =

+ + − − =

+ += =

+ + + +

ndo

el denominador




Elaborado por


3°) Nuestro propósito es calcular ( ){ } ( )1 L y s y t

−=

Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s) , para

luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)

Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso I)

( )( ) ( ) ( )

5

4 1 4 1

s

s s s

A B

s

+= +

+ + + +

Usamos el método corto o de sustitución descrito anteriormente,

( )

( )

5 4 5 1

1 4 1 3

5 1 5 4

4 1 4 3

s A

s

s

B s

+ − += = = −

+ − +

+ − +

= = =+ − +

4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A,B , tenemos

( )( ) ( ) ( )( ){ } ( )

( ) ( )

1 1 1 1

1 1 1

4

4

1/ 3 4 / 3

1 4

5ya que:

4 1 4 1

1 1 1como:

4 1

1 4

3 3

La sol1 4Asi que: ( )

3 3

3

3

at

t t

t t

s L L L L y s y t

s s s s

L L L es s s a

e e

y t e e

− − − −

− − −

− −

− −

− + = + =

+ + + +

= + =

+ + −

= −

−

+

= − +ución de la ecuación

diferencial buscada

6) ( )

( )

16 '' 8 ' 17 1

0 0

' 0 1

y y y

y

y

− + =

=

=

Solución:


( ){ } { }2

216. 8 17 1

d y dy L L L y t L

dt dt

− + =

(A)

Donde:




Elaborado por


{ } ( ) ( ) ( ) ( )

{ } ( ) ( ) ( )

( ){ } ( )

{ }

22 2 2

2( ) . 0 ' 0 0 1 1

( ) 0 0 .

11


dt

dy L sL y t y sy s s y s

dt

L y t y s

Ls

= − − = − − = −

= − = − =

=

=


( ){ } { }

( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( )

2

2

2

2

2

Como: 16. 8 17 1

1Entonces 16. 1 8 ( ) 17

Sacamos factor común116 8 17 16

y sumando fracciones

1 16Despejando ( )

16 8 17

d y dy L L L y t L

dt dt

s y s sy s y s

s

y s s ss

s y s y s

s s s

− + =

− − + =

− + = +

+=

− +

Si intentamos factorizar 216 8 17s s− + , podemos ver que tiene raíces imaginarias por lo

tanto, completamos cuadrados para expresarla como: 2 2( )s a b− +

2 22 2

2

2

2

1 1/ 2 1 116 8 17 16 17 Como:

2 2 4 16

1Sumamos y restamos1

16 17 42

para completar

1

cuadrados

Al factorizar el trinomio116 17

c

16

uadrado

6

p4

1

1

1

s s s s

s s

s

− + ≡ − + = =

≡ − + +

≡ − +

−

−

( )

2 2

erfecto

1 1

16 16 16 1 Sacamos factor común4 4s s

≡ − + ≡ − +

3°) Nuestro propósito es calcular ( ){ } ( )1 L y s y t −=

Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s), para

luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)




Elaborado por


Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II) para hallar los

Coeficientes Indeterminados A, B y C

( )

( )

( ) ( )

( )

22

2

2 2

2 2

Sumamos fracciones1 16

algebraicamente16 8 1716 8 17

16 8 17 Como el Numerador y1 16

el denominador son igu

16

ales

8 17

16 8 17 16 8 17

1 16 Ap

s s

s s ss s s

s s s ss

s s s s s

A B C

A

s

s s s s

B C

A A A B C s

+ += +

− +− +

− + + + +=

− + − +

+ = − + + + ( )licando propiedad distributiva

( ) ( ) ( )21 16 Agrupando términos semejante

Igualamos los coeficientes, obtenemos el sistema siguiente

16 0

8 16

16 8 1

117 117

7

:

s s s

A B

C

A B C

A

A

A A

A

+ = + +

+ =

− =

= →

−

=

+

( )

Sustituimos el valor de A, en la ecuación II

8 280 2808 1/17 16 16

17 17 17C C C − = → = + = → =

Sustituimos el valor de A 1 17, en la ecuación I

1616 017

A B B

=

−+ = → =

( ) 22

1 16 280

1 117 11 16 1 16

16 8 1716

7 17

11 7 17 78

ss

s s s ss s s

−+

= + = +− +− +

280s −

16 ( )

( )

2

Completando cuadrados

2

1 1

17

1/ 4 1

351 2

1/ 417 1

s

s

s s

− +

−= +

− +

4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A, B y C, tenemos :




Elaborado por


( ) ( )( ){ } ( )1 1 1 1

22

1 1

1 16 1 1 1 35 / 2ya que:

17 1716 8 17 1/ 4 1

1 1 1 1Donde: ; 1

17 17

s s L L L L y s y t

ss s s s

L L

s s

− − − −

− −

+ − = − =

− + − +

= =

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

1 1

2 2

1 691 35 / 2 1 4 4

17 171/ 4 1 1/ 4 1

11 69 14

17 681/ 4 1 1/ 4 1

ss

L Ls s

s

L Ls s

− −

− −

− − − − = −

− + − +

− = − +

− + − +

( ) ( )

1 / 4 1

2 2 2

11 14 cos cos

17 171/ 4 1

t at

ss a

L e t L e bt s s a b

− −

− − − = − =

− + − +

( ) ( )

1 / 4 1

2 2 2

69 1 69sin sin

68 681/ 4 1

t at b L e t L e bt

s s a b

− −

= = − + − +

( ){ } ( ) ( )1 / 4 / 41 1 69cos sin

17 17 68

t t L y s y t y t e t e t −

= → = − +

Verificamos las condiciones iniciales para t = 0,

( ) ( ) ( ) / 4 / 41 1 69 1 1cos sin 0 0 0

17 17 68 17 170 0t t

y t e t e t y y= − + → = − = =+

( ) / 4 / 4

/ 4 / 4 / 4 / 4

1 1 69' cos sin

17 17 68

1 cos 69 sin0 sin cos

17 4 68 4

1 69 68'(0) 1

17 68 68'(0) 1

t t

t

t t t t

y t D e t e t

e t e t e t e t

y y

= − +

= − − + +

= − + = = → =




Elaborado por


7) ( )

( )

( )

3 2

3 24 5 2 10cos

0 0

' 0 0

'' 0 3

d y d y dy y t

dt dt dt

y

y

y

+ + + =

= = =

Solución:


{ } { }3 2

3 24 5 2 ( ) 10 cos

d y d y dy L L L y t L t

dt dt dt

+ + + =

Donde:

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( )

{ } ( )

{ } { }

33 2 3

3

22 2

2

2 2 2

0 ' 0 ' 0 3

0 ' 0

0

( )

cos ya que; cos1

d y L s L y t s y s y y s y s

dt

d y L s L y t sy y s y s

dt

dy L sL y t y s y s

dt

L y t y ss s

L t L bt s s b

= − − − = −

= − − =

= − =

=

= =+ +


{ } { }

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )( )( )

3 2

3 2

3 2

2

3 2

2

2

2 3 2

Como: 4 5 2 ( ) 10 cos

10entonces: 3 4 5 2

1

104 5 2 3

1

3 10 3

1 4 5 2

d y d y dy L L L y t L t

dt dt dt

ss y s s y s s y s y s

s

s y s s s s

s

s s y s

s s s s

+ + + =

− + + + =+

+ + + = + +

+ +=

+ + + +




Elaborado por


Factorizamos la expresión ( )3 24 5 2s s s+ + + en el denominador usando la regla de Ruffini

los divisores de 2 son 1, 2± ±

( ) ( )23 24 5 2 1 . 2s s s s s+ + + = + +

De esta manera: ( )( )( ) ( )( ) ( )

2 2

22 3 2 2

3 10 3 3 10 3

1 4 5 2 1 1 2

s s s s y s

s s s s s s s

+ + + += =

+ + + + + + +

3°) Nuestro propósito es calcular ( ){ } ( )1 L y s y t −

=

Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar

la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)

Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II y I)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

2

2 222

3 10 3

1 211 1 2 1

s s s

s sss s s

A B

s

C C D+ + += + + +

+ +++ + + +

Calculemos C2 y D por el método corto o de sustitución:

Para hallar C2 , multiplicamos ambos miembros de la ecuación por ( )2

1s + , simplificamos

y luego evaluamos para 1s = −

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2

3 10 3 3( 1) 10( 1) 3 3 10 3 42

2 1 21 2 ( 1) 1 ( 1) 22C

s sC

s s

+ + − + − + − + −= = = = = − →

+ + + − += −

−

Para hallar D, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por ( )2s + , simplificamos y

luego evaluamos para 2s = −

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

2 22 2

3 10 3 3( 2) 10( 2) 3 12 20 3 51

5 1 51 1 ( 1 ) 11

2) ( 2

s D

s D

s s

+ + − + − + − + −= = = = = − →

+ + − + −= −

+

Hemos hallado dos coeficientes, ahora usemos el método tradicional, sumamos las

fracciones, igualamos los numeradores y los coeficientes para resolver el sistema luego,

como veremos a continuación:




Elaborado por


( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2 22 2

1

2

123 10 3 2 1

1 2 1 21 11 1 2 1 1

1C C As s s s

s s s ss ss s

B A B

s s s

+ + + += + + +

−= + − −

+ + + ++ ++ + + + +

−

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )(

( )( ) ( )

2

2 222

2 2 2 22

2

1

22 2

1

3 10 3 2 1

1 211 1 2 1

Sumando fracciones algebraicamente

1 2 1 1 2 2 1 2 1 13 10 3

1 1 2 1 1 2

Los numeradores y los coeficientes son iguales

s s s

s sss s s s

s

C A B

A B s s s s s s s s ss s

s s s s

C

s s

+ + +

= + − −+ +++ + + +

+ + + + + + + − + + − + ++ +=

+ + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2 2 2

3 2 4 3 2 3 2 4 3 2

1

1

, ya que los denominadores tambien lo son.

3 10 3 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1

Desarrollemos el miembro derecho:

4 5 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1

Aplicando l

s s s s s s s s s s s s

s s s s s s s s s s s s s

A B C

A B sC s

+ + = + + + + + + + − + + − + +

⇒ + + + + + + + + + − + + + − + + + +

( )

( ) ( )

1 1

4 3 2

3 2

4 3 2

3 2

4 3 2

1 1 1

1 1

4

4 5 2

a propiedad distributiva y ordenando de forma decreciente:

2 Sumamos luego términos semejantes

2 4 2 4

2 2 2

4 5 2

3 3 3

4 3

1

1 4

s s s s

s s s

s s s s

s s s

A A A A

B B B B

C C C C C

A

s s s s

s AsC B C

⇒ + + +

+ + + +

+ + + +

− − − −

− − − − −

− + + −+ + ( ) ( ) ( )1 1 1

1

1

1

3 2

1

2

6 4 5

Igualamos los coeficientes anteriores con la expresión 3 10 3 y tenem

5 4 3 2 5

os e

3 2 2

l siguiente sistema

1 0

4 0

6 3

4 10

5

4 3

5 4 3

2 5

3

3

2 2

:

s s

s s

A B C A B C B C

A C

A B C

A B C

A B C

B C

+ − + − + −

+ +

− =

− =− =

− =

+ + + + +

+

+ +

+ +

+ +

− = +

( )

( ) ( )1 1 1

1 1 1 1

1

1

1

1 1

1

1

1

1 1

1 1 1

1 1

4

9

14

8 4

Sustituimos 1 y 4 en la ecuación II 4

4 1 4 3 4

4 4 4 3 4 1

2 4 8

4 / 2

4 3

5 4 3

2 5 3

2 2

4 3

2

C C

A C A C

A B C

A B C

A B C

B C B C

A C B C A B C

C

C C C A C

C

C

C

= → = −

=

⇒ =

= = →

= − =

− + − + =

− + − + = = −

− = − ⇒

+

+ +

+ +

+ +

+ = −

= − −

=

= − + +

14

1 2 1 4 2 2

1 2

B C

A B

A B

= −

= − = − ⇒ = − =

= − =




Elaborado por


La expresión buscada quedaría así:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 222

3 10 3 2 2 2 1

1 211 1 2 1

s s s

s sss s s s

+ + − += + − −

+ +++ + + +

4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A, B , C1, C2 y Dtenemos:

( ){ } ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

21 1 1 1 1

2 222

1 1 1 1

22 2

3 10 3 2 2 2 1

1 211 1 2 1

1 1 12 2 2

11 1 1

L y s y t

s s s L L L L L

s sss s s s

s L L L L L

ss s s

−

− − − − −

− − − − −

=

+ + − + = + − −

+ +++ + + +

= − + + − −

++ + + ( )

( )

( )

( )

1

2 2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

1

2

Donde usando la transformada inversa

cos ya que:1

1sin ya que:

1

1ya que:

1

cos

sin

1

:

t at

s

s L t

s

L t s

L

s L bt

s b

b L bt

s b

L eeas s

−

−

− −

−

−

−

=

+

=

+

=

+

+

=

+

=

− =

+

( ) ( )

( )

1

1

1

2

1 2

2

1

1 ya que:1

1ya que:

2

Tenemos entonces que :

cos 2sin 2

!

1

2

t

t

t t t

n at

n

at

L tes

L es

y t t

n L t es a

L es a

t e te e

− − −

+

−− −

− − −

=

−

=

+

=

=

+

= − + + −

−

−

La solución de la ecuación diferencial es ( ) 2cos 2sin 2 2

t t t y t t t e te e

− − −= − + + − −

Verifica las condiciones iniciales dadas calcula la primera y la segunda derivada de y(t) y

evalúalas para t = 0 , comprueba que si es cierto.




Elaborado por


8)

( )

( )

( )

''' 5 '' 7 ' 3 20sin

0 0

' 0 0

'' 0 2

y y y y t

y

y

y

− + − =

=

= = −

Solución:

En estos momentos ya estás en capacidad de resolver las cuentas tu mismo:

Al aplicar la transformada en ambos miembros de la ecuación, luego al despejar y(s)

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

22

22 3 2 2

2 10 12 20 2( )

1 5 7 3 1 1 3

s ss s y s

s s s s s s s

+ ++ += =

+ − + − + − −

Descomponiendo en fracciones parciales y hallando los coeficientes indeterminados

obtenemos

( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 222

2 10 1 3 3 6 2

1 311 1 3 1

s s s

s sss s s s

+ + += − − +

− −++ − − −

Al aplicar la transformada inversa de y(s), encontramos y(t) , es decir, ( ){ } ( )1 L y s y t −=

La solución de la E.D.O es: ( ) 3cos 3sin 3 6 2t t t y t t t e te e= + − − +




Elaborado por


Problemas Propuestos:

Aplicar la transformada de Laplace para resolver cada una de las ecuaciones diferenciales

con valores iniciales:

( ) ( ) ( )3

.1 '' 4 ' 6 3 ; 0 1, ' 0 1

t t

A y y e e y y

−+ = − = = −

( ) ( ) ( ).2 '' 2 sin 2 ; 0 10, ' 0 0 A y y t y y+ = = =

( ) ( ) ( ).3 '' 9 ; 0 0, ' 0 0t A y y e y y+ = = =

( ) ( ) ( ) ( ).4 2 ''' 3 '' 3 ' 2 ; 0 0, ' 0 0, '' 0 1t A y y y y e y y y−

+ − − = = = =

( ) ( ) ( ) ( ).5 ''' 2 '' ' 2 sin 3 ; 0 0, ' 0 0, '' 0 1 A y y y y t y y y+ − − = = = =

edo+aplicandotransformada+de+laplace problemas+resueltos+y+propuestos (1)

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