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CAPITULO II

FUNCIONES VECTORIALES

En el capítulo anterior, cuando describimos la recta en el espacio, utilizamos un

parámetro en las ecuaciones para encontrar las coordenadas de los puntos que conforman

esa recta.

1

1

1

ecuaciones x x at

paramétricas y y bt

de la recta z z ct

cada coordenada depende de el valor que le demos al parámetro t, en otras palabras, cada

una está en función de t. ( ), ( ), ( )x f t y g t z h t

¿Qué pasa si a cada punto de la recta le asignamos un vector de posición ˆˆ ˆr xi yj zk Tendríamos un vector para cada valor de t, o sea que r es, a su vez, una

función de t. ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r xi yj zk r t f t i g t j h t k

0 0 0ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t x at i y bt j z ct k

Por ejemplo, para la recta con ecuaciones paramétricas

1 2

3

2 3

x t

y t

z t

, la posición de cada

uno de sus puntos esta dada por ˆˆ ˆ( ) (1 2 ) (3 ) (2 3 )r t t i t j t k , si tabulamos dádole

valores a t para encontrar algunos vectores tenemos

t ( )r t punto

-2 ˆˆ ˆ3 5 4i j k 3,5, 4A

-1 ˆˆ ˆ4i j k 1,4, 1B

0 ˆˆ ˆ3 2i j k 1,3,2C

1 ˆˆ ˆ3 2 5i j k 3,2,5D

2 ˆˆ ˆ5 8i j k 5,1,8E

x

z

y

5

1 5

-3

A

E

C

D

B

Recta

la recta dada por ˆˆ ˆ( ) (1 2 ) (3 ) (2 3 )r t t i t j t k

90

FUNCIÓN VECTORIAL

Cualquier función de la forma ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( )r t f t i g t j h t k f t g t h t se conoce

como función vectorial, con f, g y h como funciones reales del parámetro t. ( se

conocen como las funciones componentes de ( )r t )

En el plano, la función vectorial es ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ), ( )r t f t i g t j f t g t .

En el ejemplo anterior, tanto f como g y h son funciones lineales de t por ésto la grafica

de ( )r t es una recta. Podemos usar una función vectorial para trazar una curva y además

describir su trayectoria (cómo se dibuja cuando t crece).

En otro ejemplo.

Sea la función vectorial 2ˆ ˆ( )r t ti t j .

Si ( ), ( )x f t y g t entonces 2, x t y t y por lo

tanto 2y x . Que es la ecuación de una parábola en el

plano xy.

Algunos de los vectores:

ˆ ˆ( 2) 2 4r i j , ˆ ˆ( 1)r i j , (0) 0r ,

ˆ ˆ(1)r i j , ˆ ˆ(2) 2 4r i j .

La curva representada por 2ˆ ˆ( )r t ti t j :

¿Cómo sería la curva 2ˆ ˆ( )r t ti t j ? Encontremos

algunos vectores:

ˆ ˆ( 2) 2 4r i j , ˆ ˆ( 1)r i j , (0) 0r , ˆ ˆ(1)r i j ,

ˆ ˆ(2) 2 4r i j . Pasa por los mismos puntos que la curva de

la función anterior ¿Qué cambió? Cambia el sentido del

trazo, ahora es de derecha a izquierda conforme t crece. 2ˆ ˆ( )r t ti t j

Para la curva definida por la función ( ) cos ,sen r t t t con

0 2t donde ( ) cosx t t . ( ) sen y t t . Sumemos los cuadrados de cada función

componente de ( )r t : 2 2 2 2cos 1 1t sen t x y .

La gráfica es de un círculo de radio 1 centrado en el

origen.

0 0 cos0,sen 0 1,0r r , 1

3 1,

6 2 2r r

2

2 2,

4 2 2r r

, 3

1 3,

3 2 2r r

, 4 0,1

2r r

5

2 1 3,

3 2 2r r

, 6

3 2 2,

4 2 2r r

....

1

1

x

y

r(-2) r(2)

1

1

x

y

r(2)r(-2)

x

y

r1

r3

r2

r5

r6

r7

1r0-1 r8

1

r4

círculo unitarior(t)=<cos t, sen t>

91

( ) cos2 ,3sen 2 ,r t t t t es la función de una curva en el espacio. Calculemos algunos de

sus puntos para 0 2t . ( en incrementos de 12

rad)

t cos2x t 3sen 2y t z t

0 1.00 0.00 0.00

0.262 0.87 1.50 0.26

0.524 0.50 2.60 0.52

0.785 0.00 3.00 0.79

1.047 -0.50 2.60 1.05

1.309 -0.87 1.50 1.31

1.571 -1.00 0.00 1.57

1.833 -0.87 -1.50 1.83

2.094 -0.50 -2.60 2.09

2.356 0.00 -3.00 2.36

2.618 0.50 -2.60 2.62

2.880 0.87 -1.50 2.88

3.142 1.00 0.00 3.14

Cuando t crece de 0 a 2, la curva describe una hélice haciendo dos espirales alrededor

de un cilindro elíptico, la ecuación del cilindro la podemos obtener tomando las primeras

dos funciones componentes de r : cos2x t e 3 sen 2y t , de donde

2 22 2cos 2 2 1

1 9

x yt sen t ó

2 2

11 9

x y

Dominio de una función vectorial

El dominio de una función vectorial es la intersección de los dominios de sus funciones

componentes. Por ejemplo, el dominio de 21 ˆ ˆ( ) 41

r t i t jt

son los valores reales

que se encuentran en el intervalo 2,2 , excepto cuando 1t .

El domino de la función 2

1 ˆˆ ˆ( ) ln( 1) 4 14

tr t t i j t k

t

es la intersección de los

dominios de ( ) ln( 1)f t t , 2

1( )

4

tg t

t

y

( ) 4 1h t t donde ( 1, )fD , 2,2gD

y 1/ 4,hD , o sea que 1/ 4,2 2,rD . -1-2 21/4

DfDg

Dh

t

0

Dr

92

Operaciones con funciones vectoriales

Sean 1 1 1 1ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k y 2 2 2 2

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k funciones vectoriales

y un escalar:

Suma: 1 2 1 2 1 2 1 2ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r t r t f t f t i g t g t j h t h t k

Diferencia: 1 2 1 2 1 2 1 2ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r t r t f t f t i g t g t j h t h t k

Múltiplo escalar: 1 1 1 1ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k

Producto escalar: 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r t r t f t f t g t g t h t h t

Producto vectorial:

1 2 1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 2 1

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

r t r t g t h t g t h t i f t h t f t h t j

f t g t f t g t k

Límites y Continuidad

El límite de una función vectorial ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k cuando t a existe solo

sí existen los limites en f, g y h cuando t a .

ˆˆ ˆlim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )t a t a t a t a

r t f t i g t j h t k

Una función vectorial ( )r t es continua en el punto donde t a siempre y cuando el

lim ( )t a

r t

exista. ( )r t es continua en el intervalo I si ( )r t es continua en cada uno de los

puntos del intervalo.

Ejemplo: Determinar el intervalo ( o intervalos) en que la funciön vectorial

2

1 ˆˆ ˆ( ) ln( 1) 4 14

tr t t i j t k

t

es continua.

Solución:

El dominio de es 1/ 4,2 2,rD , es decir que t puede tomar valores mayores o

iguales a ¼ excepto el 2. Probemos los límites con t= ¼ , t= 2 y t=3:

21/4 1/4 1/4 1/4

1 5 20ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlim ( ) lim ln( 1) lim lim 4 1 ln 04 4 63

ˆ ˆ0.223 0.317 si existe el límite

t t t t

tr t t i j t k i j k

t

i j

22 2 2 2

1 3ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlim ( ) lim ln( 1) lim lim 4 1 ln 3 74 0

no existe el límite

t t t t

tr t t i j t k i j k

t

23 3 3 3

1 4ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlim ( ) lim ln( 1) lim lim 4 1 ln 4 114 5

ˆˆ ˆ1.386 0.8 3.317 si existe el límite

t t t t

tr t t i j t k i j k

t

i j k

La función es continua en todo el dominio de r , o sea que es continua en el intervalo

1/ 4 2t y en el intervalo 2.t

93

Derivación de funciones vectoriales

Para derivar una función vectorial basta con derivar cada una de sus funciones

componentes.

Definición: la derivada de una función vectorial r se difine como

0

( ) ( )( ) lim

t

r t t r tr t

t

, siempre que el límite exista.

Para ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k con f,g y h funciones derivables de t, entonces

0 0

0 0 0

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) lim lim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ lim lim lim

t t

t t t

f t t i g t t j h t t k f t i g t j h t kr t t r tr t

t t

f t t f t g t t g t h t t h ti j k

t t t

ˆˆ ˆ ( ) ( ) ( )f t i g t j h t k

Otras formas de notación para la derivada: ( ) ( ) ( )t

d drr t D r D r t r t

dt dt

Ejemplo:

sean las funciones 2ˆ ˆ( ) 3 2 1r t t i t j y 2 ˆˆ ˆ( ) 2cos( ) 2 sen( ) ts t at i at j e k , hallar sus

derivadas.

Solución: derivamos cada funcion componente

1ˆ ˆ( ) 62 1

r t ti jt

y 2 ˆˆ ˆ( ) 2 sen( ) 2 cos( ) 2 ts t a at i a at j e k

Propiedades de la derivada de funciones vectoriales

Sean r y s funciones vectoriales de t, f una función derivable de t y un escalar.

1. ( ) ( )tD r t r t derivada de un múltiplo escalar

2. ( ) ( ) ( ) ( )tD r t s t r t s t derivada de una suma/resta

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tD f t r t f t r t f t r t derivada de un producto

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tD r t s t r t s t r t s t derivada del producto escalar

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tD r t s t r t s t r t s t derivada del producto vectorial

6. ( ( )) ( ( )) ( )tD r f t r f t f t regla de la cadena

7. si ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k entonces 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )r t f t g t h t

8. ( ) ( )

( )( )

t

r t r tD r t

r t

derivada de la norma de r

9. Si ( ) ( )r t r t constante entonces ( ) ( ) 0r t r t .

Ejemplos:

94

Sean las funciones vectoriales 2 ˆˆ ˆ( ) 5r t t i t j tk y 2 3 ˆˆ ˆ( ) 2s t ti t j kt

, hallar:

a. ( )r t

b. ( )s t

c. 2 ( ) ( )tD r t s t

d. 2( 3) ( )tD t r t

e. ( ) ( )tD r t s t

f. ( ) ( )tD r t s t

g. ( )r t

Solución:

a. 1 ˆˆ ˆ( ) 2 5

2r t ti j k

t

b. 2

3 ˆˆ ˆ( ) 2 2s t i tj kt

c. 2

1 3 ˆˆ ˆ2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 2 2 10tD r t s t r t s t t i t j ktt

d. 2 2( 3) ( ) ( 3) ( ) 2 ( )tD t r t t r t t r t

2

2 2 3 21 5 3ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 3)(2 5 ) 2 5 4 6 15 12 2

tt ti j k t t i t j tk t t i j t k

t t

e. 2 2

2

3 1 3ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 5 2 2 2 5 22

tD r t s t t i t j tk i tj k ti j k ti t j kt tt

2 32 2 215 15 5

2 2 4 622

t tt t t t t

t tt

f. 2

22

ˆˆ ˆˆˆ ˆ

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 5

23

2 2 32

t

i j ki j k

D r t s t r t s t r t s t t t t tt

tt tt

t

2 3 2 3

3 3

2 3

3

3 3ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ10 10 3 2 2 5 10 6 22

3 ˆˆ ˆ15 20 3 3 42

t i t j t t k t i t j t t kt t

t i t j t t kt

g. 3

21 1 16 100 1ˆˆ ˆ( ) 2 5 4 254 42

t tr t ti j k t

t tt

95

Integración de funciones vectoriales

Al igual que en el caso de la derivación, para integrar una función vectorial solo es

necesario integrar cada una de sus funciones componentes.

Definición: sea ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k una funcion vectorial con , y f g h continuas

en el intervalo cerrado [a,b], la integral indefinida de ( )r t es

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t dt f t dt i g t dt j h t dt k

mientras que la integral definida en el intervalo cerrado [a,b] de ( )r t es

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

b b b b

a a a a

r t dt f t dt i g t dt j h t dt k

Cuando integramos ( )r t en una integral indefinida obtenemos una constante de

integración C , que es un vector constante y nos sirve para diferenciar una familia de

funciones vectoriales ( )R t C ( las primitivas de ( )r t ) tal que ( ) ( )R t r t ó

( ) ( )r t dt R t C .

1 2 3

1 2 3

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

r t dt f t dt i g t dt j h t dt k F t C i G t C j H t C k

F t i G t j H t k C i C j C k R t C

Ejemplo: integrar la función vectorial 1 ˆˆ ˆ( ) 2 5

2r t ti j k

t

Solución: 1

21 ˆˆ ˆ( ) (2 ) 52

r t dt t dt i t dt j dt k

1

2 221 2 3

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) 5 5r t dt t C i t C j t C k t i t j tk C

Ejemplo: integrar la función vectorial 2 3 ˆˆ ˆ( ) 3 4r t t i tj tk para 1 2t

Solución:

2 2 2 2 1

2 3

1 1 1 1

ˆˆ ˆ( ) 3 4r t dt t dt i tdt j t dt k

32 22 2

3 2 3 4

1 1 11

3 2 2 13 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 9 64 4

r t dt t i t j t k i j k

Si conocemos la condición inicial de la función vectorial ( )r t podemos aislar una de las

primitivas de la familia de funciones que constituyen la integral definida de ( ) ( )R t r t

tal que ( ) ( )r t R t dt

96

Ejemplo: hallar la primitiva de 22 ˆˆ ˆ( ) 6 1 3R t i t j kt

sabiendo que ( ) ( )R t r t y

que ˆˆ ˆ(0) 5 3r i j k

Solución: 1 3

2 324 ˆˆ ˆ( ) ( ) 2 6 1 3 2 3

3

tr t R t dt t dt t dt dt i t t j tk C

Si cuando 0t , ˆˆ ˆ(0) 0 0 0 5 3r i j k C i j k entonces ˆˆ ˆ5 3C i j k , por lo

tanto 3 3

3 34 4ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 3 5 2 3 3 13 3

t tr t i t t j tk C i t t j t k

es la

primitiva de ( )r t que cumple con la condición inicial.

DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Consideremos que la función vectorial ( )r t indica la posición de un cuerpo que se mueve

a lo largo de una curva en el plano o el espacio en un tiempo t. Esta posición la

relacionamos con un punto ,x y en el plano ó , ,x y z en el espacio donde las

coordenadas x, y, z dependen, a su vez, del tiempo t, tal que ( )x x t , ( )y y t y ( )z z t

de manera que la posición del cuerpo esta dada por la función

ˆ ˆ( ) ( ) ( )r t x t i y t j en el plano

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k en el espacio

Como sabemos, la velocidad promedio es la razón de cambio de posición del cuerpo en

un intervalo de tiempo. Sea r el cambio de posición y t el intervalo de manera que

( )r r t t r t

Velocidad promedio ( ) ( )

m

r t t r tv

t

Conforme hacemos que el intervalo de t sea

más corto 0t , la velocidad promedio se

irá acercando al valor que tiene la velocidad

en el instante t (velocidad instantanea).

Vector velocidad: 0

( ) ( )( ) lim

t

r t t r tv t

t

,

si existe el límite.

De la sección anterior vimos que la derivada

de ( )r t es 0

( ) ( )( ) lim

t

r t t r tr t

t

, por lo tanto la velocidad es igual a la derivada de

la función posición

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )v t r t x t i y t j en el plano

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v t r t x t i y t j z t k en el espacio

y

x

r(t)P

r(t) Q

r(t+t)

r

Vector velocidad

97

En la figura podemos notar que el vector velocidad es tangente a la curva ( )r t en el punto

P. La magnitud de v representa la rapidez con la que se mueve el objeto en el tiempo en

el que está en la posición P. La velocidad es un vector mientras que la rapidez es un

escalar.

De manera análoga que como lo hicimos con la velocidad, la aceleración es la razón de

cambio de las velocidades con respecto del tiempo transcurrido. Sea v el cambio de

velocidad en el intervalo t tal que ( )v v t t v t , la aceleración en el punto P

está dada por 0

( ) ( )( ) ( )lim

t

v t t v ta t v t

t

.

Definición de velocidad, aceleración y rapidez

Sean x, y y z funciónes derivables de t y ˆ ˆ( ) ( ) ( )r t x t i y t j la función posición en el

plano ó ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k en el espacio, definimos las funciones

velocidad ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) (plano)

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (espacio)

v t r t x t i y t j

v t r t x t i y t j z t k

aceleración ˆ ˆ( ) ( ) ´ ( ) ´ ( ) ´ ( ) (plano)

ˆˆ ˆ( ) ( ) ´ ( ) ´ ( ) ´ ( ) ´ ( ) (espacio)

a t v t r t x t i y t j

a t v t r t x t i y t j z t k

rapidez

2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) (plano)

( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) (espacio)

v t r t x t y t

v t r t x t y t z t

caída libre de un “puerco”

Ejemplo: Una partícula se mueve siguiendo una trayectoria marcada por la función

3

2 ˆˆ ˆ( ) 2 3 2 1 53

tr t t i t j t k

.

Hallar velocidad, aceleración y rapidez para 1,0,1,3t .

Solución:

Velocidad: 2 ˆˆ ˆ( ) ( ) 3 2 10v t r t i t j tk

Aceleración: ˆˆ( ) ( ) ´ ( ) 2 10a t v t r t tj k

Rapidez: 22 22 4 2( ) 3 2 10 104 13v t t t t t

t ( )v t ( )a t ( )v t

-1 ˆˆ ˆ3 3 10i j k ˆˆ2 10j k 118 10.86

0 ˆ ˆ3 2i j ˆ10k 13 3.6

1 ˆˆ ˆ3 3 10i j k ˆˆ2 10j k 118 10.86

3 ˆˆ ˆ3 11 30i j k ˆˆ6 10j k 1030 32.09

-10

-5

0

5

0

10

20

-5

0

5

-10

-5

0

5

0

10

20

98

Ejemplo: Una partícula se mueve siguiendo una trayectoria marcada por la función

ˆ ˆ( ) 3cos2 3sen 2r t t i t j para 0 t .

Hallar velocidad, aceleración y rapidez para

30, , , , , ,

6 4 3 2 4t

.

Solución:

Velocidad: ˆ ˆ( ) ( ) 6sen 2 6cos2v t r t t i t j

Aceleración: ˆ ˆ( ) ( ) 12cos2 12sen 2a t v t t i t j

Rapidez: 2 2 2( ) 6 2 cos 2 6v t sen t t

Trayectoria

t ( )v t ( )a t ( )v t

0 ˆ6 j ˆ12i 6

/ 6 ˆ ˆ3 3 3i j ˆ ˆ6 6 3i j 6

/ 4 ˆ6i ˆ12 j 6

/ 3 ˆ ˆ3 3 3i j ˆ ˆ6 6 3i j 6

/ 2 ˆ6 j ˆ12i 6

3 / 4 ˆ6i ˆ12 j 6

ˆ6 j ˆ12i 6

Vectores posición y velocidad .

Ejemplo: Dibuje la trayectoria de una partícula se mueve a lo largo de una curva plana

con función 2ˆ ˆ( ) 2 3 3 4r t t i t t j y trace los vectores velocidad y aceleración

para para 1, 0.5, 2, 3 y 4t .

Solución: derivamos para obtener las funciones velocidad y aceleración

ˆ ˆ( ) ( ) 2 4 2v t r t i t j y ˆ( ) ( ) ´ ( ) 2a t v t r t j , evaluamos:

t ( )r t ( )v t ( )a t

Vectores posición , velocidad y acleración

-1 ˆ ˆ5 2i j ˆ ˆ2 6i j ˆ2 j

0.5 ˆ ˆ2 4.75i j ˆ ˆ2 3i j ˆ2 j

2 ˆ ˆ7i j ˆ2i ˆ2 j

3 ˆ ˆ3 6i j ˆ ˆ2 2i j ˆ2 j

4 ˆ ˆ5 3i j ˆ ˆ2 4i j ˆ2 j

Notese que la aceleración es constante y hacia abajo, de manera que, conforme la partícula se mueve hacia

el vértice de la parábola, la velocidad va decreciendo en magnitud y crece de nuevo conforme se aleja del

vértice.

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

1

1

r(0)

r(/6)

r()

r(/3)

r(/2)

r(3/2)

v(0)

v(/6)

v(/4)

v(/3)

r(/4)

v(3/2)

v(/2)

1

1

-2 3 5

r(0.5)

r(3)

r(4)

-5

r(-1)

4

v(-1)

8

v(0.5)v(2)

r(2)

v(3)

-1

v(4)

Trayectoria r(t)

1

-4

5

a(-1)

a

a

a

a

x

y

99

En el ejemplo anterior, podemos deducir la fórmula de la parábola que describe el

movimiento usando las ecuaciones paramétricas 2( ) 2 3, ( ) 3 4x t t y t t t

despejando t de la primera y sustituyendo en la segunda:

3

2

xt

23 3

3 42 2

x xy

ecuación:

24 2 27y x x

Movimiento de proyectiles – Tiro parabólico

Se denomina movimiento parabólico al realizado por un

objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde

con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un

medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un

campo gravitatorio uniforme. También es posible demostrar

que puede ser analizado como la composición de dos

movimientos rectilíneos, un movimiento rectilíneo uniforme

horizontal y movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

vertical.

Supongamos ahora que se lanza un proyectil desde una posición 0 0,x y en un

ángulo de elevación y con una velocidad inicial con magnitud 0v . Consideremos la

trayectoria del proyectil en un plano vertical xy donde el suelo está a la altura del eje x.

Despreciando fricción,

velocidad del viento, etc.

Consideremos la acción de la

gravedad como la única fuerza,

despues del impulso inicial, que actúa

sobre el proyectil.

La fuerza de la gravedad sobre el

proyectil es F mg j que, de acuerdo a la 2ª. Ley de Newton que estipula que F ma ,

tenemos entonces que la aceleración del proyectil es igual a ˆ a g j ( g = 32.2 pie/s2

= 9.81 m/s2).

Sea ˆ( ) a t g j la función vectorial de la aceleración del proyectil , la función

que describe su velocidad la encontramos integrando

1ˆ ˆ( ) ( ) v t a t dt g dt j gt j C

donde 1C es un vector que representa una velocidad constante. De las condiciones

iniciales tenemos que 0v es la velocidad cuando 0t , o sea que

0 1 1ˆ(0) (0)v v g j C C ,

La velocidad del proyectil es 0ˆ( ) v t gt j v .

1

1

v0

v

v

v

a

a

a

y0

altura inicial

v0 - ve lo c i d a d i n i c i a l

100

Siendo y 0v la dirección y magnitud de 0v , podemos describirla por sus

componentes 0 0 0ˆ ˆcos sen v v i v j e incluirla en la función de la velocidad

0 0ˆ ˆ( ) cos sen v t v i v gt j

Note que la componente horizontal 0 cosv es constante ( no depende de t) mientras que la

componente vertical es lineal y decreciente con respecto a t ( va desacelerando ).

Para describir la trayectoria del proyectil necesitamos conocer su posición ( )r t la

cual obtenemos integrando la función velocidad

0 0

2

0 0 2

ˆ ˆ( ) ( ) cos sen

1ˆ ˆcos sen 2

r t v t dt v dt i v gt dt j

v t i v t gt j C

con 2C como un vector de posición constante. Si la posición inicial del proyectil

es 0 0 0ˆ ˆr x i y j , cuando 0t entonces

2

0 0 0 2 2

1ˆ ˆ(0) (0)cos (0) sen (0) 2

r r v i v g j C C

La función posición del proyectil en cualquier tiempo

t es

2

0 0 0 0

1ˆ ˆ( ) cos sen 2

r t x v t i y v t gt j

La componente horizontal es lineal en t mientras que la componente vertical

es cuadrática, lo cual explica la trayectoria parabólica.

Ejemplo: Un atleta lanza una jabalina que inicia su recorrido desde una altura de 6

pies, con una velocidad inicial de 80 pies/s en un ángulo de 40. ¿Qué altura alcanzará la

jabalina?.

Si la marca mínima para calificar a la siguiente

ronda es de 200 pies. ¿Alcanzara el atleta la marca con

este lanzamiento?

Solución:

Tomamos la punta de la jabalina como la partícula que

viaja siguiendo la trayectoria ( )r t que describe la

parábola. La velocidad con la que viaja tiene dos componentes, una horizontal

0( ) cosxv t v , constante y otra vertical 0( ) senyv t v gt que nos indica que la rapidez

con la que sube va disminuyendo hasta llegar a cero (cuando alcanza la máxima altura).

40o

6´

101

Podemos calcular el instante en que llega a su punto máximo resolviendo la ecuación

0( ) sen 0yv t v gt para t.

0

2

80 pies/s sen40sen 1.607 seg.

32 pies/s

vt

g

Sustituyendo en la componente vertical de la trayectoria: 2

0 0

1( ) sen

2yr t y v t gt

obtenemos la altura en ese instante:

Altura máxima:

221

(1.607) 6 pies 80 pie/s (1.607 s) sen 40 32 pie/s 1.607 s 47.317 pies2

yr

Situando el origen en el suelo justo debajo de la punta de la jabalina al instante en el que

inicia el recorrido. Para saber su posición con respecto al origen al momento en que

alcanza la altura máxima, sustituimos 1.607 seg.t en

2

0 0 0 0

1ˆ ˆ( ) cos sen 2

r t x v t i y v t gt j

, donde 0 0x y 0 6y

232ˆ ˆ ˆ ˆ(1.607) 0 80 1.607 cos 40 6 80 1.607 sen 40 1.607 98.5 47.317

2r i j i j

Cuando alcanza su máxima altura la jabalina ha recorrido horizontalmente 98.5 pies.

Alcance máximo

Para calcular el punto en el que la punta de la jabalina toca el suelo usamos la

componente vertical de la trayectoria. Igualándola a cero y resolviendo para t:

2

0 0

1 sen 0

2y v t gt - La altura en ese tiempo es cero

26 80 sen 16 0t t - resolvemos y tomamos el valor positivo de t 1.607 st

El alcance máximo es 0 0 cos 0 80 1.607 cos40 203.87 piesxr x v t .

Por lo tanto el lanzamiento supera la marca requerida.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210

Grafica de la trayectoria de la jabalina en Excel

(Categoría varonil - Record mundial 98.48 m (323.3 ft), Record Olímpico 90.17 m (296 ft)).

Ejemplo: Un cañón dispara un proyectil con una velocidad inicial de 150 m/s y lo dirige

a un blanco situado sobre una loma de 30 m de alto y a 450 m de distancia horizontal

102

(como se muestra en la figura). Calcule el ángulo de disparo para que el proyectil

impacte en el blanco.

Solución: Si queremos dar en

el blanco, el proyectil deberá

estar en la posición

ˆ ˆ( ) 450 30r t i j en un cierto instante, o sea que

2

0 0 0 0

1ˆ ˆ ˆ ˆ( ) cos sen 450 302

r t x v t i y v t gt j i j

2

0 0 0 0

11 cos 450 2 sen 30

2x v t y v t gt , despejamos t en la ecuación

1, la sustituimos en la ecuación 2 y resolvemos para :

2

2

450 3 1: 0 150 cos 450

150cos cos

3 1 3 2 : 0 150 sen 9.8 30 450 tan 44.1sec 30

cos 2 cos

de t t

en

Utilizamos la identidad trigonométrica 2 2sec tan 1 para obtener la ecuación de

segundo grado: 2 2450tan 44.1 tan 1 30 44.1tan 450tan 74.1 0

De donde 1

2

0.1674 9.5tan

10.036 84.3

existen 2 ángulos que resuelven el problema.

El tiempo que tarda el proyectil para 1 9.5 es 3

3.04175 cos9.5

t s

2ˆ ˆ ˆ ˆ(3.04175) 150 3.04175 cos9.5 150 3.04175 sen 9.5 4.9 3.04175 450 30r i j i j

30 m

450 m

angulo = 9.5

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

103

El tiempo que tarda el proyectil para 2 84.3 es

330.259

cos84.3t s

2

ˆ(30.259) 150 30.259 cos84.3

ˆ ˆ ˆ150 30.259 sen 84.3 4.9 30.259 450 30

r i

j i j

LONGITUD DE ARCO

Dada una trayectoria (t), su aceleración viene dada por su derivada segunda ”(t), y si

multiplicamos esto por la masa de una partícula obtendremos, por la segunda ley de

Newton, la fuerza realizada sobre ella al recorrer la trayectoria.

Por otro lado, la longitud de arco de una trayectoria (t) entre los valores a y b del

parámetro viene dada por:

b

adttl )()( σσ

Un campo vectorial es una función de Rn en R

n . Una línea de flujo de un campo

vectorial es una trayectoria cuya derivada es igual al campo vectorial.

PROBLEMAS

1.) ¿Qué fuerza actúa sobre una masa de 2 kg que recorre la trayectoria

)3;cos;sen()( tttttt σ (unidades mks) para el valor de t de 1 segundo?

SOLUCIÓN

)0;1cos21sen4;1sen21cos4()1(2)1(

)0;1cos1sen2;1sen1cos2()1(

)0;cossensen;sencos(cos)(

)3;sencos;cos(sen)(

σF

σ

σ

σ

ttttttttt

ttttttt

Nótese que esta fuerza viene dada en Newtons.

2.) Sea la trayectoria )log;;2()( 2 tttt σ , definida para t mayor que 0. Hallar la longitud

de arco de entre los puntos (2; 1; 0) y (4; 4; log2).

angulo = 84.3

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

0 100 200 300 400 500

104

SOLUCIÓN

Examinando los dos puntos y comparando con la ley de la trayectoria podemos

comprobar que los valores respectivos del parámetro son t = 1 y t = 2. De modo que la

longitud de arco entre ambos puntos será:

2log3log1

21212

144144

1;2;2)()(

2

1

2

1

22

1

22

1 2

22

2

1 2

422

1 2

22

1

2

1

ttdtt

tdtt

tdt

t

t

dtt

ttdt

ttdt

ttdttl σσ

3.) Reparametrizar la trayectoria )2cos;sen;(cos)( 33 tttt σ con respecto a la longitud de

arco medida desde el punto donde t = 0 en la dirección en que se incrementa t. Considerar

los valores de t ubicados entre 0 y /2, ambos incluidos.

SOLUCIÓN

Para un cierto valor t, la longitud de arco medida desde el 0 será:

sttrdrrdrrr

drrrrrrr

drrrrrrr

drrrrrrdrrls

tt

t

t

tt

5212

25

00

22

0

222222

0

22424

0

22222

0

sensensencos5sencos25

sencos16)sen(cossencos9

)cossen4(cossen9sencos9

)2sen2()cossen3()sencos3()()(

σσ

De esta manera, podemos expresar la trayectoria en términos de s, la longitud de arco,

reemplazando t por su expresión en términos de s:

sss

ssst

542/3

522/3

52

521

5213

5213

1;;1

sen2cos; sensen; sencos)(

σ

,

donde hemos usado distintas identidades trigonométricas, que dejamos al lector descifrar.

4.) Esbozar algunas líneas de flujo de los campos vectoriales:

a) F(x; y) = (y; -x) b) F(x; y) = (x; -y)

SOLUCIÓN

105

a) Una línea de flujo de un campo vectorial F es una trayectoria tal que ’ = F. De

manera que tenemos:

)()(

)()()())();(/())();(()(

txty

tytxttytxtytxt Fσ

La función x derivada da y, mientras que la función y derivada da -x. No es difícil percibir

que las funciones que satisfacen estas relaciones son las funciones seno y coseno.

Tenemos así:

(t) = (a sent ; a cost)

Las líneas de flujo serán, entonces, circunferencias de radio a centradas en el origen.

b) En este caso, tenemos:

)()(

)()()())();(/())();(()(

tyty

txtxttytxtytxt Fσ

Las funciones que satisfacen esto son las exponenciales, y así tendremos:

(t) = (aet; be

-t) x(t)y(t) = ab = K.

106

Tendremos así que las líneas de flujo

serán una familia de hipérbolas xy = K,

donde K puede ser positivo o negativo.

En la imagen, se han representado puntos

entre -3 y 3.

Vectores tangentes y vectores

normales

Cuando ( )r t representa un

movimiento de una partícula en el

tiempo, el vector velocidad ( )v t apunta en

la dirección del movimiento y es tangente a la trayectoria, como ya lo vimos e la sección

anterior.

Esta característica la podemos trasladar a cualquier curva suave ( )r t donde no

necesariamente t represente el tiempo. La derivada ( )r t es el vector tangente a la

curva.

Ejemplo: Determine la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva C representada

por la función vectorial 2ˆ ˆ( ) 2 1 1r t t i t j en el punto que corresponde a 2t .

Solución: La curva dada por ( )r t es una parábola, que pasa por (3,5)P cuando 2t . La

derivada de ( )r t es ˆ ˆ( ) 2 2r t i tj , entonces ˆ ˆ ˆ ˆ(2) 2 2 2 2 4r i j i j es un vector

tangente a la curva C en el punto P.

La recta tangente a C en P es paralela al vector

ˆ ˆ(2) 2 4r i j o sea que

3 2

5 2 3 2 1 05 4

x sy x x y

y s

la ecuación de la recta tangente es

2 1 0x y . ( la pendiente es 2Tm )

Para la recta normal, la pendiente es 1 1

2N

T

mm

, la ecuación entonces es

1

5 3 2 5 1 3 2 13 02

y x y x x y .

107

Vector tangente unitario.

Definición: Sea C una curva suave representada por la función vectorial ( )r t en un

intervalo abierto I. El vector tangente unitario ( )T t en t, se define como

( )( ) , ( ) 0

( )

r tT t r t

r t

Ejemplo: Hallar el vector tangente unitario a la curva C dada por

2

2 1 ˆˆ ˆ( ) 2 12

tr t t i t j k

en el punto que corresponde a 1t .

Solución: La derivada de ( )r t es ˆˆ ˆ( ) 2 2r t i tj tk

22 2 2( ) 2 2 4 5r t t t t

el vector tangente unitario es 2

( ) 1 ˆˆ ˆ( ) 2 2( ) 4 5

r tT t i tj tk

r t t

para 1t

El vector tangente unitario es

2

(1) 1 ˆˆ ˆ(1) 2 2 1 1(1) 4 5 1

2 2 1 ˆˆ ˆ3 3 3

rT i j k

r

i j k

El punto de la curva cuando 1t es (1,1,1)P

Ejemplo: Hallar los vectores unitarios tangentes a la curva dada por la función ˆˆ ˆ( ) cos sen r t t i t j t k en los puntos correspondientes a 0, / 2 y t rad.

Encuentre tambien un conjunto de ecuaciones paramétricas para cada recta tangente a la

curva en esos puntos.

Solución: La derivada de ( )r t es ˆˆ ˆ( ) sen cosr t ti tj k

2 2 2 2( ) sen cos 1 sen cos 1 2r t t t t t

108

el vector tangente unitario es ( ) 1 ˆˆ ˆ( ) sen cos( ) 2

r tT t ti tj k

r t

vector tangente unitario

en 0t

(0) 1 2 2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(0) sen 0 cos0 0 1(0) 2 2 22

rT i j k i j k j k

r

en / 2t

( / 2) 1 2 2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( / 2) cos( / 2) 02 ( / 2) 2 2 22

rT sen i j k i j k i k

r

en t

( ) 1 2 2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) cos( ) 0 1( ) 2 2 22

rT sen i j k i j k j k

r

Rectas tangentes

en 0

(cos0,sen 0,0) (1,0,0)

2 2(0) 0, , , 2 0, 2, 2

2 2

ecuaciones paramétricas:

1, 2 , 2

t

P P

T u T

x y t z t

en / 2

(cos / 2 ,sen / 2 , / 2) (0,1, / 2)

2 2( / 2) ,0, , 2 2,0, 2

2 2

ecuaciones paramétricas

2 , 1, / 2 2

t

P P

T u T

x t y z t

en

(cos ,sen , ) ( 1,0, )

2 2( ) 0, , , 2 0, 2, 2

2 2

ecuaciones paramétricas:

1, 2 , 2

t

P P

T u T

x y t z t

Rectas tangentes a

la hélice

109

Vector normal principal unitario.

En el plano, hay dos vectores ortogonales al vector

tangente ( )T t , uno que apunta hacia adentro de la curva

y otro hacia afuera.

En el espacio, existen infinidad de vectores ortogonales

a ( )T t , uno de ellos es el vector normal principal que se obtiene mediante la derivada del

vector T (ya sabemos que si ( ) ( )r t r t constante entonces ( ) ( ) 0r t r t y como

( ) ( ) 1T t T t entonces ( ) ( ) 0 ( ) y ( ) son ortogonales.T t T t T t T t )

Si normalizamos a ( )T t obtendremos el vector normal principal unitario ( )N t

Definición: Sea C una curva suave representada por la función vectorial ( )r t en un

intervalo abierto I con ( )T t como vector tangente unitario. Si ( ) 0T t , el vector

normal principal unitario en t se define como

( )( )

( )

T tN t

T t , si ( ) 0T t .

Ejemplo: Hallar el vector tangente unitario y el vector normal principal a la curva C dada

por 2ˆ ˆ( ) 2 1r t ti t j en el punto que corresponde a 1t .

Solución: La derivada de ( )r t es ˆ ˆ( ) 2 2r t i tj

22 2 2( ) 2 2 4 4 2 1r t t t t

el vector tangente unitario es 2 2

ˆ ˆ( ) 1 ˆ ˆ( ) 2 2( ) 2 1 1

r t i tjT t i tj

r t t t

para 1t el vector tangente unitario es

2

ˆ ˆ1(1) 2 2ˆ ˆ(1)(1) 2 21 1

i jrT i j

r

La derivada de ( )T t es

22 2

2

2 3 32 2

ˆ ˆ 2ˆ1 ˆ ˆ ˆ1 ˆ ˆ2 1

( )1

1 1

i tj tt j

t j ti t j ti jtT t

tt t

2 2

232

1 1( ) 1

11

T t tt

t

T(t)2 vectores ortogonales a T en

el plano

110

el vector normal principal es

2

3 22

ˆ ˆ( ) 1 ˆ ˆ( )( ) 11

T t t ti jN t ti j

T t tt

para 1t el vector normal principal es

2

ˆ ˆ(1) (1) 2 2ˆ ˆ(1)2 2(1) 1 1

T i jN i j

T

Ejemplo: Hallar los vectores tangente unitario y normal principal a la curva C dada por

ˆ ˆ( ) 2cos 2sen r t ti tj en los puntos donde 0, , , , ,6 4 3 2

t

.

Solución: ˆ ˆ( ) 2sen 2cosr t ti tj 2 2 2( ) 2 cos 2r t sen t t

el vector tangente unitario es ( ) 1 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2sen 2cos sen cos( ) 2

r tT t ti tj ti tj

r t

ˆ ˆ( ) cos sen T t ti tj 2 2

( ) cos sen 1T t t t

el vector normal principal es ˆ ˆ( ) cos sen ˆ ˆ( ) cos sen 1( )

T t ti tjN t ti tj

T t

t

( )

ˆ ˆ2cos 2sen

r t

ti tj

( )

ˆ ˆsen cos

T t

ti tj

( )

ˆ ˆcos sen

N t

ti tj

r(t)-1 1

-1

N(t)

T(t)

x

y

1

t=0

t=/6

t=/4

t=/3

t=/2

t=

0 ˆ2i j i

/ 6 ˆ ˆ3 i j ˆ ˆ(1 / 2) 3 / 2i j ˆ ˆ( 3 / 2) 1/ 2i j

/ 4 ˆ ˆ2 2 i j ˆ ˆ( 2 / 2) 2 / 2i j ˆ ˆ( 2 / 2) 2 / 2i j

/ 3 ˆ ˆ3 i j ˆ ˆ( 3 / 2) 1/ 2i j ˆ ˆ(1 / 2) 3 / 2i j

/ 2 ˆ2 j i j todos los vectores normales apuntan hacia

el centro del círculo

ˆ2i j i

01

1

-1

2-2

3C

T(t)N(t)

111

Ejemplo: Hallar los vectores tangente unitario y normal principal a la curva C dada por

ˆˆ ˆ( ) 2cos 2sen 2r t ti tj tk en los puntos donde 0, , ,4 2

t

.

Solución: ˆˆ ˆ´( ) 2sen 2cos 2r t ti tj k 2 2 2´( ) 2 cos 1 2 2r t sen t t

vector tangente unitario: ´( ) 1 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2sen 2cos 2 sen cos´( ) 2 2 2

r tT t ti tj k ti tj k

r t

1 ˆ ˆ´( ) cos sen 2

T t ti tj 2 21 1 2

´( ) cos sen 22 2

T t t t

vector normal principal: 1 ˆ ˆcos sen

´( ) 2 ˆ ˆ( ) cos sen 1´( )

2

ti tjT t

N t ti tjT t

t ˆˆ ˆ( ) 2cos 2sen 2r t ti tj tk 2 ˆˆ ˆ( ) sen cos2

T t ti tj k ˆ ˆ( ) cos sen N t ti tj

0 ˆ2i 2 2 ˆˆ

2 2j k

i

/ 4 ˆˆ ˆ2 2 2

i j k

1 1 2 ˆˆ ˆ2 2 2

i j k 2 2ˆ ˆ2 2

i j

/ 2 ˆˆ2 j k 2 2 ˆˆ

2 2i k

j

ˆˆ2 2i k 2 2 ˆˆ

2 2j k

i

z

y

x

2

2

2r(t)

T(t)

N(t)

t=0

t=/4

t/2

t

Los vectores normales

principales de la helice

apuntan al eje z

112

Vector aceleración – componentes tangencial y normal

Como hemos observado en algunos de los ejemplos anteriores, el vector velocidad

y el vector aceleración no siempre son ortogonales. En el caso del movimiento circular

dado por ˆ ˆ( ) 2cos 2sen r t ti tj , velocidad y la aceleración son ortogonales y la rapidez

es constante 2 2 2( ) 2 cos 2v t sen t t , esto se da debido a que la, el vector aceleración

no contribuye en nada en la dirección de la velocidad. Recordemos que si

( ) ( )v t v t constante entonces ( ) ( ) 0v t v t .

En el problema del movimiento parabólico 2ˆ ˆ( ) 2 3 3 4r t t i t t j vemos

que la aceleración siempre es vertical ( y constante ) ˆ( ) 2a t j , mientras que la

velocidad va variando su dirección el ángulo entre ambas va cambiando. La rapidez del

movimiento es variable 22 2 2( ) 2 2 4 4 2 1v t t t t el vector aceleración actúa

en dirección del movimiento ( positivamente, aumen-tando la velocidad o en forma

negativa disminuyéndola).

r(t)-1 1

-1

N(t)

T(t)

x

y

1

t=0

t=/6

t=/4

t=/3

t=/2

t=

1

1

-2 3 5

r(0.5)

r(3)

r(4)

-5

r(-1)

4

v(-1)

8

v(0.5)v(2)

r(2)

v(3)

-1

v(4)

Trayectoria r(t)

1

-4

5

a(-1)

a

a

a

a

x

y

ˆ ˆ( ) 2cos 2sen r t ti tj 2ˆ ˆ( ) 2 3 3 4r t t i t t j

Si velocidad y aceleración no son perpendiculares entonces podemos expresar al

vector aceleración como la suma de 2 vectores componentes ortogonales, uno en

dirección del movimiento, paralelo a la velocidad, y por lo tanto al vector tangente

unitario ( )T t . La otra componente sería paralela al vector normal principal ( )N t .

Teorema: Si ( )r t es el vector posición de una curva suave C y existe el vector

( )N t , entonces el vector aceleración ( ) "( )a t r t se encuentra en el plano determinado

por ( )T t y ( )N t .

Las proyecciones de ( )a t sobre los

vectores ( )T t y ( )N t son las componentes

tangencial y normal de la eceleración.

Proy TTa a T y Proy TN

a a N

Componentes tangencial y normal

de la aceleración

r(t)T(t)

T(t)N(t)

N(t)

a(t)

a(t)

aT

aN

113

Las proyecciones de la aceleración en dirección de los vectores ( )T t y ( )N t son

los vectores componentes de la aceleración:

Proy TTa a T T a T y Proy NN

a a N N a N .

El vector tangente unitario ´

´

r vT

r v , de donde v v T , la aceleración es la

derivada de la velocidad, o sea:

´

´

´ ´

´ ´ ´

´

t t

TNt t T

T N

a v D v T D v T v T

TD v T v T D v T v T N

T

a a T a N

componente tangencial: T t

a va a T D v

v

componente normal: 2 2´N T

a va a N v T a a

v

Ejemplo: Un objeto se mueve a lo largo de la trayectoria determinada por la función

vectorial 3ˆ ˆ( ) ( )r t ti t t j . Calcule su posición, velocidad, rapidez, aceleración, ( )T t ,

( )N t , Ta y Na al instante 1t .

Solución: Posición: 3ˆ ˆ ˆ(1) 1 (1 1)r i j i

Velocidad: 2ˆ ˆ( ) ( ) (3 1)v t r t i t j ; ˆ ˆ ˆ ˆ(1) (3 1) 2v i j i j

Rapidez: 2 2 4 2( ) 1 (3 1) 9 6 2v t t t t ;

2(1) 1 (2) 5v

Vector tangente unitario: 2

4 2

ˆ ˆ( ) (3 1)( )

( ) 9 6 2

v t i t jT t

v t t t

;

1 5ˆ ˆ ˆ ˆ(1) 2 255

T i j i j

Vector normal principal:2

*

4 2

ˆ ˆ( ) (3 1)( )

( ) 9 6 2

T t t i jN t

T t t t

; 1 5ˆ ˆ ˆ ˆ(1) 2 2

55N i j i j

* según el signo de t: - sí t es positivo y + si t es negativo

114

Aceleración: ˆ( ) ( ) 6a t v t tj ; ˆ(1) 6a j

Componente tangencial:

2 2

2 22 2

ˆ ˆ6 3 1 6 3 1

3 1 1 3 1 1T

tj i t j t ta a T

t t

Componente normal:

2

2 22 2

ˆ ˆ6 3 1 6

3 1 1 3 1 1N

tj t i j ta a N

t t

Aceleracion:

2 2 2

2 2 2 22 2 2 2

2

2 2

2 22 2

ˆ ˆ ˆ ˆ6 3 1 (3 1) 6 (3 1)( ) ( ) ( )

3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1

6 3 1 6ˆ ˆ ˆ ˆ(3 1) (3 1)3 1 1 3 1 1

T N

t t i t j t t i ja t a T t a N t

t t t t

t t ti t j t i j

t t

en 1t 5 12 5ˆ ˆ6 2

5 5Ta a T j i j ;

5 6 5ˆ ˆ6 25 5

Na a N j i j

ˆ ˆ ˆ ˆ12 2 6 2 12 6ˆ ˆ ˆ ˆ(1) (1) (1) 2 2

5 55 5 5 5T N

i j i ja a T a N i j i j

Ejemplo: Un objeto se mueve a lo largo de la trayectoria determinada por la función

vectorial ˆˆ ˆ( ) cos sen r t t i t j t k . Calcule su posición, velocidad, rapidez,

aceleración, Ta y Na al instante 2

t

.

Solución:

Posición: ˆ ˆˆ ˆ ˆcos sen 2 2 2 2 2

r i j k j k

Velocidad: ˆˆ ˆ( ) ´( ) sen cosv t r t ti tj k ; ˆˆ2

v i k

x

y

1-1

a(t)

v(t)

aN

aT

N(t) T(t)

115

Rapidez: 2 2( ) sen cos 1 2v t t t ( la rapidez es constante )

Aceleración: ˆ ˆ( ) "( ) cos sen a t r t t i t j ; ˆ ˆ ˆcos sen 2 2 2

a i j j

Componentes de la aceleración:

ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sen sen cos cos sen sen cos0

2 2T

t i t j ti tj ka v t t t ta

v

( cuando la rapidez es constante los vectores ( )v t y ( )a t son ortogonales, 0v a , la aceleración no

contribuye en nada con el incremento/decremento de la velocidad, 0Ta )

2 2

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆcos sen sen cos sen cos

2 2

sen cos 1 21

2 2

N

t i t j ti tj k ti tj ka va

v

t t

LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA

Supongamos que la función ˆˆ ˆ( ) ( )r t x t i y t j z t k representa la trayectoria que

sigue un cuerpo en el espacio. En un instante determinado t=a sabremos la posición del

móvil mediante el vector ( )r a ó en t=b su nueva posición ( )r b .

¿Qué pasa si lo que deseamos conocer es la distancia que recorrió desde el punto

( )r a hasta ( )r b siguiendo la trayectoria ( )r t ?

Si el recorrido se efectuara en línea recta no habría mucho

problema, solo tenemos que calcular la distancia entre los dos

puntos: 2 2 2

D x b x a y b y a z b z a

Pero sobre una trayectoria curva no es

así de directo, más, si no sabemos que tantos recovecos tuvo

que realizar el cuerpo para llegar de un punto a otro.

Si partimos la curva en varios

segmentos y calculamos la lon-gitud

de cada uno como si fueran rectos,

tendríamos una aproximación a la longitud de la curva - entre

más segmentos mejor la aproximación.

y

z

x

r(a)

r(b)

r´(a)

r(t)

D

y

z

x

r(a)

r(b)r´(a)

r(t)

y

z

x

r(a)

r(b)r´(a)

r(t)

Podemos aproximar la curva mendiante pequeños segmentos de recta

116

Longitud de arco

Tenemos la curva con función ˆˆ ˆ( ) ( )r t x t i y t j z t k , y queremos saber la longitud

de arco de la curva desde el punto correspondiente a t=a

hasta el punto donde t=b. Tomemos un pedacito de la

curva desde ( )r t a ( )r t t cuya longitud llamaremos

s . Si t es muy pequeño entonces asumiremos que

s se comportará más como un segmento de recta.

En una recta, la distancia recorrida es igual a la rapidez

multiplicada por el intervalo de tiempo.

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )s r t t x t y t z t t

Si sumamos todos estos pequeños intervalos tendremos

una aproximación a la longitud de la curva:

2 2 2

( ) ( ) ( )S s x t y t z t t

incrementando el número de intervalos infinitamente hace que 0t , toma-mos el

límite para obtener la fórmula de longitud de arco de la curva.

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a aS x t y t z t dt r t dt v t dt

Ejemplo: Calcule la longitud de arco de la curva representada por la función

( ) 2cos ,2sen r t t t desde 0t hasta t .

Solución:

( ) ( ) 2sen ,2cosv t r t t t ,

2 2 2 2( ) 2sen 2cos 4 sen cos 2v t t t t t

longitud de arco 00

( ) 2 2 2b

aS v t dt dt t

y

z

x

r(t)

r´(t)

r(t+

Podemos aproximar la curva mendiante pequeños segmentos de recta

s

Dt)

r(t)

x

y

-1 1

1

-1

arco

t=0t=

117

Ejemplo 2: Calcule la longitud de arco de la curva representada por la función

2ˆ ˆ( ) 2 1r t ti t j desde 1t hasta 2t .

Solución:

ˆ( ) ( ) 4v t r t i tj ,

2 2( ) 1 4 1 16v t t t

longitud de arco

22

2 2 2

11

1( ) 1 16 4 1 16 ln 1 16 4

8

1 17 165 ln 65 8 ln 17 4 10.7327

8 2 8

b

aS v t dt t dt t t t t

Ejemplo 3: Calcule la longitud de arco de la curva representada por la función

( ) cos ,sen ,r t t t t desde 0t hasta 4t .

Solución:

( ) ( ) sen ,cos ,1v t r t t t ,

2 2 2( ) sen cos 1 1 1 2v t t t

longitud de arco

44

0 0( ) 2 2 4 2 17.77

b

aS v t dt dt t

Definición: Sea C una curva suave dada por ( )r t en un intervalo cerrado ,a b . Para

a t b , la función longitud de arco viene dada por

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t

a as t r u du x u y u z u du

la función longitud de arco es no-negativa. Mide la distancia sobre

C desde el punto inicial , ,x a y a z a hasta el punto

, ,x t y t z t . La variable s se denomina parámetro

longitud de arco.

z

x

y

a

t

b

C

t =

t =

118

Curvatura

Curvatura es la medida de que tan rápido se comba o tuerce una curva. Por ejemplo,

círculos pequeños se comban más rápido que círculos más grandes.

Definición: sea C una curva suave dada por ( )r t . La

curvatura de C en t está definida como

3

´ ( ) "( )

´ ´

T t r t r tK

r t r t

Si usamos el parámetro longitud de arco s para

definir la función que describe la curva C, ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r s x s i y s j z s k (espacio), entonces la curvatura estaría definida como la razón

de cambio del vector tangente unitario con respecto a s. Tal que

La curvatura de C en s: ( )dT

K T sds

Ejemplo: Calcule la curvatura de un círculo de radio R.

Solución:

Tomemos un círculo con centro en el origen y radio R dado por la función

ˆ ˆ( ) cos sen r t R ti R tj , con ˆ ˆ( ) sen cosr t R ti R tj .

2 2 2 2 2( ) sen cosr t R t R t R R

ˆ ˆcos sen ( ) ˆ ˆ( ) cos sen ( )

R ti tjr tT t ti tj

r t R

;

ˆ ˆ( ) sen cosT t ti tj

2 2( ) cos 1T t sen t t

la curvatura del círculo de radio R es

´ 1

´

T tK

Rr t

B

A

menor curvatura

mayor curvatura

z

x

y

a

t

b

C

t =

t =

R

R

Radio grandeCurvatura pequeña

Radio chicoCurvatura grande

K=1/R

119

Si en lugar de tomar el parámetro t lo hacemos con la longitud de arco s, donde

2 2

0 0 0( ) sen( ) cos( )

t t t

s t r u du R u R u du R du Rt

Tenemos que si s Rt entonces s

tR

, por lo tanto si parametrizamos la ecuación del

círculo en función de la longitud de arco s obtenemos la función:

ˆ ˆ( ) cos sens s

r s R i R jR R

donde ˆ ˆ( ) sen coss s

r s i jR R

y 2 2( ) sen cos 1s s

r sR R

( ) ˆ ˆ( ) sen cos( )

r s s sT s i j

r s R R

1 ˆ ˆ( ) cos sens s

T s i jR R R

curvatura: 2 2

2 21 1 1 1( ) cos sen cos sen

dT s s s sK T s

ds R R R R R R R R

Ejemplo 2: Calcule la curvatura de la curva C dada por 2 2( ) , 2 ,r t t t t en

1, 0, 0.5 y 2t t t t

Solución: Tenemos que

3

( ) "( )

´

r t r tK

r t

donde ( ) 1, 4 ,2r t t t

2 2 2( ) 1 16 4 1 20r t t t t , "( ) 0, 4,2r t

( ) "( ) 0, 2, 4r t r t , ( ) "( ) 4 16 2 5r t r t

sustituimos en

3 32

( ) "( ) 2 5

´ 1 20

r t r tK t

r t t

.

3 32

2 5 2 51 0.0465

211 20( 1)

K t

32

2 5 10 1

11 20(0)

K t

3 32

2 5 2 50.5 0.3043

61 20(0.5)

K t

3 32

2 5 2 52 0.0061

811 20(2)

K t