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Colegio Universitario Boston Funciones

70

Funciones


71

Concepto de Función

Una función es una correspondencia entre dos conjuntos , tal que relaciona, a

cada elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto B.

Para indicar que se ha establecido una función f de A en B se usa la siguiente

notación:

Conceptos Básicos.

Variable independiente y Variable dependiente:

En la expresión , tenemos que representa a la variable

independiente en la función, mientras que representa a la variable dependiente

de .

Dominio:

El conjunto A se llama conjunto de partida o dominio, y el conjunto donde se

encuentran las preimágenes de la función y representadas en la mayoría de los

casos con la letra .

Codominio:

El conjunto B se llama conjunto llegada o codominio, el codominio es el

conjunto al cual pertenecen las posibles imágenes de la función.

Ámbito:

El ámbito o rango es el conjunto de las imágenes, conocidas también como

variables dependientes y representadas en la mayoría de los casos con la letra

, el ámbito es subconjunto del codominio.


72

Diagrama sagital

A B

Par ordenado:

Son elementos de la forma , donde el valor de representa a una

preimagen del dominio y representa una imagen del ámbito.

De otro modo, los pares ordenados son elementos de la forma

(preimagen, imagen), los cuales se conocen como coordenadas de un punto

en el plano.

Gráfico:

Es el conjunto cuyos elementos son todos los pares de ordenados que

pertenecen a una función dada.

Plano Cartesiano:

Es un sistema formado por dos rectas perpendiculares (una vertical y otra

horizontal), cuyo punto de intersección se llama el origen .

El eje horizontal representa el dominio de una función, por ello las

preimágenes se ubican en este eje (horizontal).

El eje vertical representa el codominio y el ámbito de la función, de tal

madera que las imágenes se encuentran en este eje (vertical).

5

4

5

6

Dominio:

Preimágenes:

Codominio:

Imágenes:

Ámbito:


73

Criterio de una función.

Es la formula o estructura algebraica que nos permite realizar el calculo de

imágenes, pre imágenes, ámbito, dominio.

Ejemplos:

Práctica

Concepto

1. Analice las siguientes proposiciones:

I. II.

III.

De ellas son verdaderas

A. Todas

B. Solamente II y III

C. Solamente I y III

D. Solamente I

Codominio, Ámbito

Dominio


74

2. Identifique el conjunto de pares ordenados que corresponde al gráfico de una

función.

A. B. C. D.


función.

A. B. C. D.

4. Si es el gráfico de la función f, entonces

el dominio de esa función es

A.

B.

C.

D.


función:

A.

B.

C.

D.

6. Para toda función se cumple que:

A. El ámbito es un subconjunto del dominio

B. El dominio es un subconjunto del ámbito

C. El ámbito es un subconjunto del codominio

D. El codominio es un subconjunto del ámbito


75

7. De las siguientes gráficas

I. II. III.

¿Cuales representan una función real?

A. Solo I y II

B. Solo I

C. Solo II y III

D. Solo II

8. Si el gráfico de una función es , entonces el ámbito de es

A.

B.

C.

D.

9. Sea una función. Considere las siguientes proposiciones.

I. es un elemento del dominio de

II. es un elemento del codominio de

¿Cuáles de ellas son verdaderas?

A. Ambas

B. Ninguna

C. Solo la I

D. Solo la II


76


función.

A. B. C. D.

11. En una función definida de A en B no s e permite que dos elementos distintos

de B sean imagen de un

A. Único elemento de A

B. Par de elementos de A

C. Único elemento de

D. Único elemento de

Cálculo de imágenes.

Para calcular imágenes se sustituye la preimagen dada por la variable, en el criterio

de la función.

Ejemplo:

Si , encuentre la imagen de

Procedimiento:

Cálculo de Preimágenes

Para calcular preimágenes se iguala el criterio de la función a la imagen dada y se

despeja la variable.

Ejemplo:

Calcule la preimagen de – , si la función esta definida por .


77

Práctica

Cálculo de Imágenes y Preimágenes

12. Si con , entonces el grafico de corresponde

a:

A.

B.

C.

D.

13. Si “g” es una función y , es la imagen de

A.

B.

C.

D.

14. Para la función dada por , la imagen de es

A.

B.

C.

D.


78

15. Para la función dada por , la preimagen de es

A.

B.

C.

D.

16. Para la función dada por , un valor para el cual 2 es

A.

B.

C.

D.

17. Si , entonces es igual a

A.

B.

C.

D.

18. Para la función dada por , es la preimagen de

A.

B.

C.

D.


79


A.

B.

C.

D.

20. Para la función dada por , la preimagen de es

A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.

22. Sea la función dada por , la preimagen de es

A.

B.

C.

D.


80


A.

B.

C.

D.

24. La imagen de en la función corresponde a

A.

B.

C.

D.

25. Si es una función y , entonces la imagen de es

A.

B.

C.

D.


81


A.

B.

C.

D.

27. Para la función dada por dada por , considere las

siguientes proposiciones


A. Ambas

B. Ninguna

C. Solo la I

D. Solo la II

28. Para la función dada por , ¿cual es el valor numérico de la

expresión ?

A. 18

B. 54

C. -18

D. -54

29. Si es una función con , entonces la imagen de es:

A.

B.

C.

D.

I. El ámbito de f es

II. es un elemento del ámbito de


82

30. Si , entonces es igual a:

A.

B.

C.

D.

31. Analice las siguientes proposiciones con respecto a la función .

I. es la preimagen de

II. es la preimagen de .

De ellas con certeza, ¿Cuáles son las verdaderas?

A. Ambas

B. Ninguna

C. Solo la I

D. Solo la II

32. Si Z con , entonces el grafico de corresponde a:

A.

B.

C.

D.

33. Dada la función , la preimagen de 1 es:

A.

B.

C.

D.

34. Si es una función dada por , entonces es

A.

B.

C.

D.


83

35. Si es una función dada por , entonces es preimagen de

A.

B.

C.

D.

36. Si f es una función dada por , entonces la preimagen de es

A.

B.

C.

D.

37. Para la función dada por , si es una constante, entonces la

imagen de es

A.

B.

C.

D.

38. Sea f una función dada por , Considere las siguientes

proposiciones.

I.

II.


A. Ambas

B. Ninguna

C. Solo la I

D. Solo la II


84

39. Para las funciones f y g cuyos criterios son y

respectivamente, se cumple que

A.

B.

C.

D.

40. Para la función f dada por , la imagen de es

A.

B.

C.

D.

41. Para la función con entonces ¿cual es el valor

numérico de la expresión ?

A.

B.

C.

D.

42. Para la función cuyo criterio es , ¿Cuál es la imagen de ?

A.

B. -

C. D.


85

43. Si entonces la preimagen de es igual a:

A.

B.

C.

D.

Calculo de Dominios y Ámbitos

44. Si , tal que , entonces el ámbito de la función

corresponde a

A.

B.

C.

D.

45. Para la función con , si el ámbito es entonces

el dominio es

A.

B.

C.

D.

46. Sea con dominio entonces el ámbito de es

A.

B.

C.

D.


86

47. Si el ámbito de la función es entonces su dominio es

A.

B.

C.

D.

48. Si el ámbito de la función es entonces el dominio

es

A.

B.

C.

D.

49. Si y entonces el ámbito de es

A.

B.

C.

D.

50. Si el dominio de la función es entonces el ámbito de es

A.

B.

C.

D.


87

51. Si el ámbito de la función es entonces su dominio es

A.

B.

C.

D.

52. Si , entonces el ámbito de es

A.

B.

C.

D.

53. Si , entonces el ámbito de es igual a:

A.

B.

C.

D.

Dominio máximo de una función

El domino máximo de una función, es el conjunto de todos los números reales para

los cuales la función se encuentra definida.

Para determinar el dominio máximo, debemos tener en cuenta dos restricciones que

se presentan en el conjunto de los números reales:

1. La división entre cero, o bien, una fracción que tenga como

denominador al número cero, no esta definida en el conjunto de los

números reales.


88

2. En una expresión radical de índice par, el subradical nunca podrá

tomar un valor negativo, ya que este tipo de expresión no esta

definida en el conjunto de los números reales.

Para realizar el cálculo del dominio máximo de una función, dividiremos su estudio

en casos para facilitar la compresión del mismo.

Cálculo del dominio máximo

Caso 1: Función polinomial.

En este caso el domino máximo de una función polinomial es el conjunto de los

numero reales ya que un polinomio nunca se indefine.

Ejemplos.

Caso 2: Función racional (fraccionaria).

En este caso debemos igualar el denominador a cero, y resolver la ecuación que

quede indicada, ya sea lineal, cuadrática y cúbica.

El dominio máximo se planteará de la siguiente forma ,

donde son las soluciones que tenga la ecuación.

Nota: si la función en el denominador no tiene variables, entonces decimos que el

dominio máximo son los números reales.


89

Ejemplos

Encuentre el dominio máximo de las siguientes funciones fraccionarias:

1.

Tomamos el denominador de la expresión y lo igualamos a cero

Resolvemos la ecuación que queda indicada.

Planteamos la respuesta.

2.



y



90

3.



, y


Caso 3: Función radical.

a. Función con raíz impar.

Si el criterio de la función es solamente una raíz impar, su dominio máximo es

siempre los números reales, ya que la raíz impar de un número negativo si existe.

Ejemplos.

Si la función tiene como ecuación una raíz impar en el denominador, debemos

igualar a cero, el subradical de la expresión y resolver la ecuación que quede

indicada.

El dominio máximo se escribe , en donde son

las soluciones de la ecuación.


91

Ejemplos.

Encuentre el dominio máximo de las siguientes funciones radicales:

1.

Tomamos el subradical presente en el denominador de la expresión y lo

igualamos a cero


y


2.

Tomamos el subradical presente en el denominador de la expresión y lo

igualamos a cero




92

b. Función con raíz par.

Si el criterio de la función es un radical cuyo índice es par, entonces debemos tomar

el subradical, plantear y resolver una inecuación con la expresión de mayor e igual

cero , esto si el radical se encuentra el numerador de la expresión.

Si el radical se encuentra en el denominador se plantea la inecuación con la

expresión de mayor a cero , y resolvemos la inecuación.

Es de suma importancia recordar que la solución de una inecuación es un conjunto

numérico conocido como intervalo.

Ejemplos.

Encuentre el dominio máximo de las siguientes funciones radicales:

1.

Tomamos el subradical de la expresion y planteamos la inecuacion.

Resolvemos la inecuación tomando en cuenta su procedimiento.

De esto tenemos que:

2.




93


3.








94

Práctica

Calculo de Dominio Máximo

54. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por ?

A.

B.

C.

D.

55 ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por ?

A.

B.

C.

D.

56 ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por ?

A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.


95


A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.

60. El dominio máximo de la función dada por es

A.

B.

C.

D.

61. Si es una función, ¿Cuál es el dominio máximo de ?

A.

B.

C.

D.


96

62. La función cuyo criterio es tiene por dominio máximo a

A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.

65. Para la función dada por el dominio máximo de es

A.

B.

C.

D.


97

66. La función dada por tiene por dominio máximo a

A.

B.

C.

D.

67. En la función f cuyo criterio es el dominio máximo es

A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.

69. El dominio máximo de la función f dada por es

A.

B.

C.

D.


98


A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.

73. Si “a” es una constante, entonces el dominio máximo de la función f dada por

es

A.

B.

C.

D.


99

74. ¿Cuál es el dominio máximo de ?

A.

B.

C.

D.

75. Analice el dominio máximo de las siguientes funciones:

El pertenece al dominio máximo de:

A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.


100


A.

B.

C.

D.

79. De las siguientes proposiciones:

I.

II.

De estas, ¿Cuáles con certeza son verdaderas?

A. Ambas

B. Ninguna

C. Solo I

D. Solo II

80. El dominio, máximo de es el conjunto:

A.

B.

C.

D.


101

81. De las siguientes funciones de variable real:

I.

II.

III.

¿Cuáles de ellas tienen el mismo dominio máximo?

A. Todas

B. Ninguna

C. Solo I y III

D. Solo I y II


A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.


102

85. Analice el dominio máximo de las tres funciones siguientes:

; ;

¿Cuál es el número entero que indefine a las tres funciones?

A. B. C. D.


A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.


103


A.

B.

C.

D.

90. Si f es una función con , entonces el máximo dominio de es

A.

B.

C.

D.

91. Si f es una función con , entonces el dominio máximo de f es

A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.


104

93. Si f es una función con , entonces el máximo dominio de es

A.

B.

C.

D.

Análisis de Gráficas

El realizar el análisis de la gráfica de una función consiste en determinar las

características que hacen particular a cada función, por ejemplo conocer su dominio

y su ámbito, o su monotonía, es decir donde la función es creciente, decreciente,

constante, también los intervalos donde la función es positiva o negativa, además de

su intersección o intersecciones con el eje y su intersección con el eje .

Para realizar el estudio de la grafica de una función esta debe leerse de izquierda a

derecha con respecto al eje de las , con respecto a este eje podemos conocer el

dominio, la monotonía, la o las intersecciones con , donde la función es positiva

o negativa, además de conocer las preimágenes. Los intervalos de monotonía se

dejaran abiertos.

Por otra parte si se realiza en el eje , el estudio debe hacerse de abajo hacia

arriba, y de este podemos obtener el ámbito, las imágenes y la intersección con el

eje.


105

Ejemplo.

1.

La imagen de es .

La preimagen es .

La imagen es .

La preimagen es .

x

y

-2

-2 -1

1

2

21-1


106

Práctica

Análisis de Gráficas

94. De acuerdo con la gráfica, la preimagen de 1 de acuerdo con la gráfica:

A.

B.

C.

D.

95. De acuerdo con los datos de la gráfica, 1 es la imagen de:

A.

B.

C.

D.

96. De acuerdo con los datos de la gráfica, es verdadero que:

A. es la preimagen de

B. es la imagen de

C. es la preimagen de

D. es la imagen de


107

97. En la gráfica de la función anterior es la preimagen de:

A.

B.

C. 0

D.

De acuerdo con los datos de la gráfica de la función , conteste los ítems 98, 99.

98. El ámbito de es el conjunto:

A.

B.

C.

D.

99. La función es creciente en el intervalo:

A.

B.

C.

D.

100. De acuerdo con los datos de la gráfica, 3 es la preimagen de

A.

B.

C.

D.


108

2

y

-1 -2 1 2 3

-3 -1 -2 3

-2

-3

1 2

2

101. El dominio de la función representada en la gráfica corresponde a

A.

B.

C.

D.

102. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función

corresponde a

A.

B.

C.

D.

103. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función es

A.

B.

C.

D.

-4

-8

-6 5 -2 1 3

2

y

x

7


109

104. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función es

A.

B.

C.

D.

105. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función corresponde

a

A.

B.

C.

D.

106. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de es

A.

B.

C.

D.

8

-1

-5

6 4

2

y

x

f

2

-2

y

x

4 f

3

-2

y

x


110

107. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de “f” es

A.

B.

C.

D.

108. ¿Cuál grafica puede representar el gráfico de una función con dominio ?

109. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función “f” es

A.

B.

C.

D.

-5

2

2

6

f

-3 -2

y

x

y y

y y

x

I.

x x

x

II.

III. IV.

-4

f

3

y

x


111

2

110. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito o rango de la función “f” es

A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.

-2 2 -1 x

3 1

-1

f

y

-1

-3 3

4

3

y

-2 -1 x

1

f

-3 3 2

2

y

-2 -1 x 1

f


112

113. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función “f” corresponde

a

A.

B.

C.

D.

114. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función “f” es

creciente es

A.

B.

C.

D.

115. De acuerdo con los datos de la figura, un intervalo en que la función “f” es

creciente es

A.

B.

C.

D.

-2

2

3

y

3 4 -1

x

2

1 -1 2 -2

3 f

y

x

-2

-2

2

y

1

-1

x 2


113

116. Considere la siguiente gráfica, De acuerdo con los datos de la gráfica de la

función dada, ¿Cuál es el dominio de la función?

A.

B.

C.

D.

117. De acuerdo con datos de la gráfica, un intervalo en que la función “f” es

estrictamente decreciente es

A.

B.

C.

D.

118. De acuerdo con datos de la gráfica, el dominio de la función “f” es

A.

B.

C.

D.

4

1

1 3

y

-1 x 2

-2 -1

2 1

f -1

6

2

y

x

-2 -1 3 1

f

2

y

x


114

1

-1

119. De acuerdo con los datos de la grafica, un intervalo en que la función “f” es

estrictamente creciente es

A.

B.

C.

D.

120. Considere las siguiente gráfica de una función

De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función es

A.

B.

C.

D.

121. La gráfica representa la función “f”. De acuerdo con los datos de la gráfica, un

intervalo en que la función “f” es creciente corresponde a

A.

B.

C.

D.

4

-3

f

y

x

-2

2

3

f

y

x 2 1

f

3

2

3 4

4

y

x


115

122. La gráfica representa de la función “f”. De acuerdo con los datos de la gráfica,

se cumple que

A.

B.

C.

D.

123. La gráfica representa de la función De acuerdo con los datos de la gráfica,

considere las siguientes proposiciones.

I. El cero tiene dos preimágenes

II. El uno es un elemento del ámbito de “f”.

De ellas ¿Cuáles son Verdaderas?

A. Ambas

B. Ninguna

C. Solo la I

D. Solo la II

124. La gráfica representa de la función “f”. De acuerdo con los datos de la gráfica,

el ámbito de la función “f” es

A.

B.

C.

D.

2 -2 -1 -3

f

x

2

1

1

3

1

y


116

125. De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, el dominio de la función

“ corresponde a

A.

B.

C.

D.

126. De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, la imagen de en “

corresponde a

A.

B.

C.

D.

127. De acuerdo con los datos de la grafica.

El dominio de la función corresponde a:

A.

B.

C.

D.


117

128. De acuerdo con los datos de la grafica.

La función es estrictamente decreciente en el intervalo:

A.

B.

C.

D.

129.De acuerdo con los datos de la gráfica de la función.

-2

La función es creciente en el intervalo dado por:

A.

B.

C.

D.


118

130. De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, la función “ es

decreciente en el siguiente intervalo:

A.

B.

C.

D.

131. De acuerdo con los datos de la gráfica de la función, en el siguiente

intervalo:

A.

B.

C. 4

D.

132. De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, un intervalo donde

corresponde a:

A.

B.

C.

D.


119

De acuerdo con los datos de la grafica de la función , conteste los ítems 124,

125,126, 127.

124. El dominio de la función es:

A.

B.

C.

D.

125. La función tiene su parte constante en:

A.

B.

C.

D.

126. La preimagen de -1 es:

A.

B.

C.

D.


120

127. La imagen de es la siguiente:

A. 3

B. -1

C. 4

D. -2

De acuerdo con los datos de la grafica de la función , conteste los ítems 128, 129,

130.

128. El dominio de es el conjunto:

A.

B.

C.

D.

129. Para la función dada se cumple que que pertenece a:

A.

B.

C.

D.


121

130. La función es creciente en el intervalo:

A.

B.

C.

D.

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