dominio y recorrido de una función
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Dominio y recorrido de una funcin
Repaso de funciones
> Conceptos bsicos de funciones. Aprender a leer grficas.
> Clculo de dominios
Conceptos bsicos
Funcin: una funcin entre dos conjuntos numricos es una correspondencia tal que no hay ningn nmero que tenga ms de una imagen.
Dominio de una funcin o campo de existencia: es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a x ( variable independiente) forman el conjunto original. Graficamente lo miramos en el eje OX de abscisas, leyendo como escribimos de izquierda a derecha.
Recorrido o rango de una funcin: es el conjunto formado por las imgenes. Son los valores que toma la funcin "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a "x". Graficamente lo miramos en el eje OY de ordenadas, leyendo de abajo a arriba.
Clculo del Dominio y Recorrido de funciones
Vamos a calcular de forma numrica y grfica el dominio y recorrido (conjunto imagen) de las funciones siguientes:
Funciones polinmicas
Dominio
El dominio de una funcin polinmica son todos los nmeros reales. Se expresa como Dom f(x)= . No tenemos que calcular nada.
La funcin existe desde x = - hasta x = + . El dominio tambin se puede expresar as: Dom f(x)= (- , + )
Son funciones polinmicas las rectas, las funciones cuadrticas (parbolas) y los polinomios de grado superior
Ejemplos
Funciones Racionales
Dominio
El dominio de una funcin racional son todos los valores de x, excepto aquellos que me anulan el denominador. Se expresa as: Dom f(x) = - { valores que me anulan el denominador, separados por comas}
Para calcular el dominio, igualamos el denominador a cero y resolvemos la ecuacin resultante. Si la ecuacin se anula para algn valor, el dominio de la funcin son todos los nmeros reales menos esos valores. Si la ecuacin no tiene solucin el dominio son todos los nmeros reales.
Ejemplos
Funciones irracionales
Dominio
El dominio depende del ndice de la raiz.
ndice impar: Don f(x) =
ndice par: P(x) P(x) 0 radicando 0
Ejemplos
Funciones logartmicas
Dominio
El valor del logaritmo debe ser > 0.
No existen los logaritmos de los nmeros negativos ni el de cero.
Se resuelven igual que las irracionales pero en vez de usar 0 usaremos > 0
Ejemplos
Calcular los dominios de las siguientes funciones:
Leer dominios. Crecimiento y decrecimiento
Grficas de funciones
Leer puntos en un sistema de coordenadas cartesianas
El sistema de coordenadas cartesianas est formado por el eje ox, eje de abscisas y el eje oy, eje de ordenadas.
Eje ox
Puede tomar valores muy pequeos con tendencia al - , o valores muy grandes con tendencia al + . Para leer lo hacemos de izquierda a derecha como escribimos.
Eje oy
Puede tomar valores muy pequeos con tendencia al - , o valores muy grandes con tendencia al + . Leemos de abajo a arriba.
Para leer un punto en un sistema de coordenadas necesitamos dar la coordenada de x y la coordenada de y. Se ha establecido que el primer valor corresponde a la coordenada x y el segundo a la coordenada y. Los valores del punto se escriben entre parntesis y separados por una coma.
Dominio
Conjunto de todos los valores que toma la variable independiente, la x. Leemos de izquierda a derecha en el eje x y vemos para que valores hay funcin.
Crecimiento y decrecimiento
Funcin creciente
Una funcin es creciente cuando al aumentar los valores de x aumentan los valores de y, o al disminuir los valores de x disminuyen los valores de y. La diferencia entre los valores de x se llama tasa de variacin.
Funcin decreciente
Una funcin es decreciente cuando su tasa de variacin es negativa. Al aumentar los valores de x disminuyen los valores de y, o viceversa.
Funcin constante
Una funcin es constante cuando su tasa de variacin es nula.
Tendencia
Es el valor al que tiende la funcin para determinados valores de x.
Para valores de x muy grandes: se localiza el valor de x y se mira el valor de la funcin.
Para valores de x muy pequeos: se localiza el valor de x y se mira el valor de la funcin.
Para cualquier valor de x: se mira la tendencia de la funcin en el valor que sea.
Ejemplos
1. Hallar las coordenadas de los puntos B y C. Dominio y crecimiento de la grfica siguiente:
Coordenadas de B (3,2) La x vale 3 y la y 2. Coordenadas de C(4,4) La x vale 4 y la y 4.
Dominio miramos al eje x y vemos que la funcin empieza en x = 0 y no termina. Dominio [ 0, + )
Crecimiento cogemos B y C. Para B la x = 3 y la funcin 2. Para C la x vale 4 y la funcin 4. Al aumentar el valor de x aumenta el de y. La funcin es creciente.
2. Estudiar el dominio, la tendencia y el crecimiento de la siguiente funcin:
Dominio de la funcin miramos al eje x y vemos que la funcin empieza en x = 0. Para valores de x grandes seguiramos leyendo funcin.Dominio [ 0, + )
Tendencia: la funcin tiende a 0, cuando x tiende a +
Decrecimiento: cogemos los puntos B y C. Para B la x = 1 y la funcin vale 3. Para C la x vale 3 y la funcin 1. Al aumentar el valor de x disminuye el de y. Funcin decreciente
3. Estudiar el dominio y crecimiento de la siguiente funcin:
Dominio de la funcin: [-1, + ) La funcin es creciente entre: [-1, 4]
La funcin es decreciente entre: [4, +)
Dominio, continuidad, mximos y mnimos.
Dominio
Mximos y Mnimos
Mximos: extremos superiores que puede presentar una funcin. Cuando en un punto existe una rama creciente por su izquierda y decreciente por su derecha hay un mximo.
Mnimos: extremos inferiores que puede presentar una funcin. Cuando en un punto de la funcin existe una rama decreciente por su izquierda y una rama creciente por su derecha.
Puntos de corte con los ejes
Eje x: la funcin vale cero. Las coordenadas son ( x, 0) Eje y: la x vale cero. Las coordenadas son ( 0, y )
Continuidad y discontinuidad
Continuidad: una funcin es continua cuando lo es en todos sus puntos. ( para dibujarla no tenemos que levantar el lpiz del papel)
Discontinuidad: una funcin es discontinua en un punto cuando no esta definida en ese punto. No podemos leer funcin en ese punto y s en cualquier punto de su entorno. ( para dibujarla hay que levantar el lpiz del papel).
Ejemplos
Calcular dominio, puntos de corte, continuidad, crecimiento y decrecimiento de las siguientes grficas de funciones:
Funcin polinmica
Dominio Dominio f(x) = [-5, 4]
Puntos de corte Eje x: (-4,0), (-1,0), (3,0) Eje y: (0, -3)
Continuidad Es continua en su dominio (no hay saltos)
Crecimiento y decrecimiento Miramos el eje x de izquierda a derecha y vemos que:
Desde x [-5 , -2] creciente Desde x [ -2, 0] decreciente Desde x [ 0, 4] creciente
Mximos ramas creciente-decreciente Mximo en (-2, 2) Mnimos ramas decreciente-creciente Mnimo en ( 0, -3)
Funcin racional 1
Dominio Dominio f(x): R - { 0 } . En x = 0 la funcin no existe.
Puntos de corte No corta a los ejes
Continuidad la funcin es discontinua en x = 0, hay un salto. Podemos leer funcin por la izquierda y por la derecha de x = 0 pero no en x = 0.
Crecimiento y decrecimiento Las dos ramas de la funcin son decrecientes.
Mximos y mnimos No tiene, la funcin es siempre decreciente.
Tendencia cuando x tiende a - , y cuando x tiende a + , la funcin tiende a 0.
Funcin racional 2
Dominio Dominio f(x): R - { -1, 1 }
Puntos de corte No corta a los ejes
Continuidad La funcin es discontinua en x = 1, hay un salto. La funcin es discontinua en x = - 1, hay un salto.
Crecimiento y decrecimiento Crece desde ( - , -1) U (-1, 0] Decrece desde [0, -1) U (-1, )
Mximos y mnimos tiene un mximo en el punto (0, -1)
Tendencia cuando x tiende a - , y cuando x tiende a + , la funcin tiende a 0.