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FUNCIONES RACIONALES
Sec. 3.5
DOMINIO DE FUNCIONES
RACIONALES
Una función racional es una función que se puede
expresar de la forma
)(
)()(
xg
xfxp
donde f(x) y g(x) son
polinomios.
Ejemplos:
xx
xxg
x
xxf
xy
9
4)(
3
2)(
2
1
3
2
2
532)(
43
4)(
3
44)(
2
2
2
23
x
xxxh
xxxq
xxxxp
Funciones racionales
Ejemplos:
1
4)(
1
12)(
2
xxg
xxf
Toda función polinómica es una función
racional ya que se puede expresar con un
denominador igual a 1.
1
13)(
1
42)(
34
3
xxxq
xxxp
Funciones racionales
Dominio de funciones racionales
Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de todos los números reales para los cuales una función está definida.
Una función, f(x), está definida en un valor de x si evaluar f(x) en ese valor produce un valor de y que es un número real.
En el caso de las funciones racionales, debemos excluir del conjunto de los números reales cualquier valor que hace que el denominador sea igual a cero.
Determinar el dominio de una función
racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
14
2)( )1
xxf
,4
1 cuando 014 xx
Por lo tanto el dominio es, el conjunto de los reales exceptuando x = ¼.
,,- ó - :D41
41
41
Determinar el dominio de una función
racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
4
5)( )2
2
x
xxf
os.factorizam ceros, losencontrar Para 042 x
Por lo tanto el dominio de f(x) es, el conjunto de los reales exceptuando x = 2 y x= - 2.
2 xcuando 02
-2. xcuando 02
0)2)(2(
x
x
xx
2,2 - :D 2,2 ó xxx
Determinar el dominio de una
función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
012102 2 xx
Por lo tanto el dominio es, el conjunto de los reales exceptuando x =-3 y x= -2.
0)65(2 2 xx
2,3 - :D
12102
9)3
2
2
xx
xxf
03 x
0)2)(3(2 xx
3x
02 x
2x
2,3 ó xxx
Determinar el dominio de una
función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
1
5)( )4
2
x
xxf
cuadrados. deSUMA una es 12 x
No existe un valor que se le puede asignar a x tal que x2 + 1 sea igual a cero. Por lo tanto, el dominio es, el conjunto todos los reales.
),(- ó :D
Práctica
Encontrar el dominio de todas las funciones
racionales que aparecen en la diapositiva #1
(“slide 2”).
INTERCEPTOS DE FUNCIONES
RACIONALES
Interceptos
Un intercepto en x de f(x) coincide con los ceros reales
de f(x).
Ambos se define como el (los) valor(es) de x para el
cual f(x) es igual a cero.
Para una función racional, los ceros reales (o los
interceptos en x) ocurren en el valor de x que hace que
el numerador de la función sea igual a cero.
El intercepto en y ocurre cuando el valor de x cero. Se
puede encontrar evaluando la función para x igual a
cero.
Interceptos
Hallar los interceptos de la función .2
1)(
xxf
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
)0(f El numerador de f(x) es 1.
1 ≠ 0.
Por lo tanto, f(x) NO tiene
interceptos en x.
El intercepto en y es
(0, - ½ ).
2
1 -
20
1
Interceptos
Hallar los interceptos de cada función.
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
)0(fEl numerador de f(x) es 2x.
2x = 0 cuando x = 0.
Por lo tanto, f(x) tiene
intercepto en x en el punto
(0,0)
Coincide con el int-y.
x
xxf
3
2)(
El intercepto en y
es (0, 0).
0
3
0
03
02
Hallar los interceptos de la función
Interceptos
Hallar los interceptos de la función .9
4)(
3
2
xx
xxg
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
definido. está NO )0(
0
4
)0(9)0(
40)0(
3
2
g
g
El numerador de g(x) es x2 - 4.
x2 - 4 = 0 (hay que factorizar)
(x + 2)(x – 2)=0
x = 2, x = -2
g(x) tiene dos int-x en los puntos
(2,0) y (-2, 0).
NO existe int-y.
Interceptos
Hallar los interceptos de la función
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
2
5)0( h
El numerador de h(x) es
2x2 +3x - 5 = 0 que factoriza
.2
532)(
2
2
x
xxxh
1,25 xx
h(x) tiene intercepto en x en los
puntos )0,1(y )0,(25
2)0(
5)0(302)0(
2
2
h
(2x + 5)(x – 1)=0
). - (0, esy en intercepto El 25
Práctica
Hallar el dominio y los interceptos de cada una de
las siguientes funciones.
82
82)(
32
1)(
3
4842)(
2
2
2
2
xx
xxh
xx
xxg
x
xxxf
SOLUCIONES DE FUNCIONES
RACIONALES
Un par ordenado (a,b) es solución para una función f(x)
si f(a)=b.
Dicho de otra forma, (a,b) es solución si al evaluar f para
x=a el resultado es y=b.
Ej. Determinar si (6, 1) es una solución de 5
12)(
x
xxf
)6(f
(6, 1) SI es una solución de la función.
Soluciones de funciones racionales
1)6( f
1y
Conclusión: Si x =6, entonces y=1. Por
lo tanto…
11
11
11
112
5)6(
1)6(2
Ej. Determinar si (-2, -16) es una solución de
3
23)(
2
2
x
xxxf
(- 2, - 16) NO es una solución de la función.
)2(f
34
2212)2(f
Soluciones de funciones racionales
16y
3)2(
2)2()2(32
2
161
16
Conclusión: Si x =-2, entonces y=16.
Por lo tanto…
Ej. Determinar el valor de x tal que y = 4 si
(determinar x tal que (x, 4) es una solución de)
x
xxf
3
25)(
(14,4) es una solución de f (x).
43
25
x
x
xx 3425
xx 41225
21245 xx
14x
Soluciones de funciones racionales
Conclusión: Si y =4, entonces x=14.
Por lo tanto…
Multiplicar en ambos lados por el denominador.
Ej. Determinar el valor de x tal que y = -3 si
(determinar x tal que (x, -3) es una solución de)
23
7)(
x
xxf
(0.1, -3) es una solución de f (x).
2337 xx
697 xx
679 xx
110 x
Soluciones de funciones racionales
Conclusión: Si y =-3, entonces
x=0.1. Por lo tanto…
Multiplicar en ambos lados por el denominador. 323
7
x
x
1.010
1x
Práctica
Para las siguientes funciones, hallar el valor de x, si
existe, tal que (x,1) es una solución de f(x).
(Hallar el valor de x si y =1.)
34
2)(
3
94)(
2
xx
xxg
x
xxf
Soluciones
13
0)1)(3(
032
342
134
2
34
2)(
2
2
2
2
xx
xx
xx
xxx
xx
x
xx
xxf
x
xxf
3
94)(
13
94
x
x
9
394
x
xx
(9,1) es una solución de f(x) (-3,1) y (1,1) son soluciones de f(x)
GRAFICAS DE FUNCIONES
RACIONALES
Consideremos la función racional: 2
1)(
xxf
Hasta ahora sabemos que:
• El dominio de f(x) es D:
• Intercepto en x:
• Intercepto en y:
2
No podemos trazar la gráfica correctamente con
un sólo punto.
Gráficas de funciones racionales
NO tiene
y = - ½.
Aunque x=2 NO
pertenece al dominio
podemos observar lo
que ocurre con valores
que están muy cerca de
x=2 (un poco mayor o
un poco menor).
2
1)(
xxf
Grafiquemos algunos puntos
Si se eligen valores para la x
un poco mayores que 2
(2.01, 2.001, etc) , los valores
de la función se hacen muy
grandes.
Si se eligen valores para la x
un poco menores que 2 (1.9,
1.99, etc) , los valores de la
función se hacen muy
pequeños.
Grafiquemos algunos puntos
Estos puntos los
podemos unir con una
curva, separada,
suave que se extiende
en direcciones
opuestas.
Los puntos se acercan a
esta línea vertical
entrecortada, x=2, por
ambos lados, pero
extendiéndose en
direcciones opuestas.
La línea vertical, x=2,
separa la gráfica en dos
partes disyuntas.
x=2 se llama una
asíntota vertical
Veamos que ocurre con
los valores de la
gráfica a medida que x
se hace muy grande o
muy pequeño.
(Comportamiento en
los extremos)
2
1)(
xxf
, Cuando x 0y
, Cuando x 0y
A medida que los valores
de x se hacen más
negativos, los valores de
la función (y) se acercan
más y más a cero.
A medida que los valores
de x se hacen más
positivos, los valores de
la función (y) se acercan
más y más a cero.
2
1)(
xxf
, Cuando x 0y
, Cuando x 0y
En este caso, la línea
y=0 se llama una
asíntota horizontal,
porque los valores de
la función se quedan
bien cerca de esta línea
a medida que x
aumenta o disminuye
grandemente.
2
1)(
xxf
Hallar las asíntotas de funciones
racionales
Una función racional tiene una asíntota vertical
cuando el denominador de la función simplificada
es igual a 0.
Una función racional está simplificada si NO
existen factores comunes, distintos de uno, entre
el numerador y denominador.
Asíntotas Verticales
Determinar la(s) asíntotas verticales
153
3)(
xxf
Igualar el denominador a 0.
3x-15 = 0
Resolver para x:
x = 5 (es la ecuación de la
asíntota vertical)
16
1)(
2
x
xxg
Igualar el denominador a 0.
x2-16 = 0
Resolver para x:
x = -4 y x = 4 (son las
ecuaciones de las asíntotas
verticales)
Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre
una de las siguientes condiciones:
Caso 1. El grado del numerador es menor que el
grado del denominador. En este caso, la asíntota
es la recta horizontal y = 0.
16
1)(
153
3)(.
2
x
xxg
xxfEj El eje de x (y=0) es la
asíntota horizontal de las
gráficas de f(x) y g(x)
Asíntotas horizontales
Caso 2. El grado del numerador es igual al grado del
denominador. En este caso, la asíntota es la recta
horizontal y =𝑎
𝑏, donde a es el coeficiente
principal del numerador y b es el del
denominador.
2
2
16
14)(
153
19)(.
x
xxg
x
xxfEj
La asíntota horizontal de
la gráfica de
f(x) es
g(x) es
33
9y
41
4
y
Asíntotas horizontales
Caso 3:
Cuando el grado del numerador es mayor que el
grado del denominador la función NO tiene asíntota
horizontal.
1
16)(
153
745)(.
2
3
x
xxg
x
xxxfEj Las gráficas de f(x) y g(x)
NO tienen asíntota
horizontal
Gráficas de funciones racionales
Para trazar gráficas de funciones racionales podemos
seguir los siguientes pasos:
•Determinar asíntotas verticales.
•Determinar asíntotas horizontales.
•Determinar interceptos.
•Determinar comportamiento alrededor de las
asíntotas. Tal vez necesites determinar algunos
puntos adicionales.
•Unir puntos con curvas suaves que se acercan a
las asíntotas y se extienden hacia el infinito.
Hallar la(s) ecuación(es) de la(s)
asíntota(s) vertical(es) si existe(n).
x
xxf
22
52 .1
Calculamos el valor de x que hace el
denominador igual a cero:
2 + 2x = 0 x = -1
La recta x = -1 es la única asíntota vertical de la
función.
Hallar la(s) ecuación(es) de la(s)
asíntota(s) horizontal(es) si existe(n).
x
xxf
22
52 .1
El grado del numerador y del denominador es 1,
así que estamos en el caso 2.
La asíntota horizontal de la f(x) es la recta
2
5
n
n
b
a
25y
Trazar la gráfica de funciones
racionales
x
xxf
22
52
Gráficas de funciones racionales
Los interceptos
quedan en un
mismo pedazo
de la gráfica.
Podemos unir
esto dos puntos
con una curva
suave que se
acerca a las
asíntotas.
x
xxf
22
52
Gráficas de funciones racionales
Debemos evaluar
la función en
algunos otros
puntos para
localizar la otra
parte de la
gráfica.
x
xxf
22
52
2f
222
252
62
12
Gráficas de funciones racionales
Debemos evaluar
la función en
algunos otros
puntos para
localizar la otra
parte de la
gráfica.
x
xxf
22
52
)6,2(
Trazar la gráfica de: x
xxf
3
2)(
Intercepto - y:
Intercepto - x
03
0
03
02)0(
f
)0,0(
0
02
03
2
x
x
x
x
Asíntota vertical:
Calculamos los valores de x que
hacen el denominador igual a
cero: 3 – x = 0 x = 3
(ecuación de la asíntota)
Asíntota horizontal(caso 2)
n
n
b
ay
2y(ecuación de la asíntota)
21
2
Puntos adicionales
x
-5
0
2.5
3
3.5
5
10
50
x
xy
3
2
-10/8 = -1.25
0
5/.5 = 10
No está definido
7/-.5 = -14
10/-2 = -5
20/-7 = -2.86
100/-47= -2.13
Trazar la gráfica de:
Intercepto - y:
Intercepto - x
20
30)0(
f
03 x
Asíntota vertical:
Calculamos el valor de x que
hace el denominador igual a
cero: x – 3 = 0 x = 3
(ecuación de la asíntota)
Asíntota horizontal:
n
n
b
ay
1y(ecuación de la asíntota)
111
3( )
2
xf x
x
5.12
3
3x
)0,3(
)5.1,0(
Trazar la gráfica de
1. Vertical Asymptote
x = 2
2. Horizontal Asymptote
y = 1
3. x-intercept
(3, 0)
4. y-intercept
(0, 3/2)
5. f(-4)= 7
2= 3.5
3( )
2
xf x
x
Trazar la gráfica de: xx
xxg
2
4)(
2
2
OJO :
1) Identificar asíntotas verticales:
• De primera intención nos parecerá que hay dos
asíntotas
• x2 - 2x=0 factoriza x(x-2)=0
• Esto tiene dos ceros: x=0 y x = 2
Las asíntotas verticales son los valores que hacen
cero el denominador en una expresión racional
simplificada.
Antes de identificar las asíntotas verticales hay
que simplificar la expresión racional.
xx
xy
2
42
2
Las funciones xx
xy
2
42
2
y
x
xy
2
son equivalentes excepto en x = 2.
Para trazar la gráfica de , trazamos la
gráfica de . xx
xxg
2
4)(
2
2
x
xy
2
2
22
xx
xx
x
x 2
Trazar la gráfica de x
xxf
2)(
xx
xxg
2
4)(
2
2
NO tiene una asíntota en x = 2. La gráfica tiene un hueco.
Asíntota vertical:
Asíntota horizontal:
intercepto-y:
intercepto-x:
puntos adicionales: f(1)= f(-1)= f(-½)=
El denominador es cero si x=0
Coef. principal del numerador entre
coef. principal del denominador
y=1
Como f(0) no está definido, no existe.
x + 2 = 0 x = -2.
¿Qué ocurre en x = 2 para ?
3 -1 -3
Trazar la gráfica de
x
y
Asíntota horizontal en
y = 1.
Asíntota vertical en
x = 0.
xx
xxg
2
4)(
2
2
Hueco en la gráfica.
Primero simplicamos la función.
33
423
9
121022
2
xx
xx
x
xx
La recta vertical x = 3 es la
única asíntota vertical de esta
función.
Trazar la gráfica de: 9
121022
2
x
xxxf
La recta horizontal y = 2 es la
asíntota horizontal de esta
función.
3
42
x
x
Determinemos los interceptos.
3
4
9
12
9)0(
12)0(10)0(2)0(
3
2
f
Trazar la gráfica de: 9
121022
2
x
xxxf
017
0
9)2(
12)2(10)2(2)2(
3
2
f
3
4,0
0,2
Busquemos un punto
adicional:
Trazar la gráfica de: 9
121022
2
x
xxxf
8f9)8(
12)8(10)8(22
2
NOTE el hueco en el
punto
3
2,3
455
220)8( f
)4,8(