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Cálculo vectorial

1055

16

En este capítulo estudiamos el cálculo de campos vectoriales. (Éstas son funciones que asignan vectores a puntos en el espacio.) En particular definimos las integrales de línea (que serán usadas para calcular eltrabajo realizado por un campo de fuerzas al mover un cuerpo a lo largo de una curva). Después definimosintegrales de superficie (que pueden usarse para hallar la rapidez de un fluido por una superficie). Laconexión entre estos nuevos tipos de integrales simples, dobles y triples que ya hemos visto están dadaspor las versiones de dimensiones más altas del teorema fundamental del cálculo: el teorema de Green, elteorema de Stokes y el teorema de la divergencia.

Las superficies paramétricas, que seránestudiadas en la sección 16.6, sonusadas frecuentemente por losprogramadores creadores de películasanimadas. En esta imagen, una superficieparamétrica representa a la burbuja y auna familia de superficies semejantesque modelan su movimiento.

© Dreamstime

1056 CAPÍTULO 16 CÁLCULO VECTORIAL

Las flechas de la figura 1 son vectores velocidad que indican la rapidez y dirección delviento en los puntos que están 10 m por arriba de la superficie en el área de la bahía de San Francisco. A primera vista, se observa que las flechas más largas en el inciso a) indican que la mayor rapidez del viento en este tiempo ocurrió cuando todos los vientos atravesa-ron la bahía por el Golden Gate Bridge. El inciso b) muestra los muy diferentes patronesde viento 12 horas antes. Imagine un vector velocidad del viento asociado con cada puntoen el aire. Éste es un ejemplo de un campo vectorial de velocidad.

Otros ejemplos de campos vectoriales de velocidad se ilustran en la figura 2: corrientesoceánicas y el flujo que se encuentra en un automóvil.

Otro tipo de campo vectorial, llamado campo de fuerza, asocia un vector fuerza con cadapunto de una región. Un ejemplo es el campo de fuerza gravitacional que se examina en elejemplo 4.

a) 6:00 p.m., 1 de marzo de 2010

FIGURA 1 Campos vectoriales de velocidad que muestran los patrones de viento en la bahía de San Francisco.

b) 6:00 a.m., 1 de marzo de 2010

16.1 Campos vectoriales

b) Flujo que se encuentra en un automóvil

Nueva Escocia

a) Corrientes oceánicas fuera de la costa de Nueva Escocia

FIGURA 2 Campos vectoriales de velocidad

SECCIÓN 16.1 CAMPOS VECTORIALES 1057

En general, un campo vectorial es una función cuyo dominio es un conjunto de puntosen �2 (o �3) y cuyo rango es un conjunto de vectores en V2 o (V3).

Definición Sea D un conjunto en �2 (una región plana). Un campo vectorialsobre �2 es una función F que asigna a cada punto (x, y) en D un vectorbidimensional F(x, y).

La mejor manera de representar un campo vectorial es dibujar la flecha que representaal vector F(x, y) que inicie en el punto (x, y). Naturalmente, es imposible hacerlo paratodos los puntos (x, y), pero podemos conseguir una representación razonable de F tra-zando la flecha para algunos puntos representativos en D como en la figura 3. Puesto queF(x, y) es un vector bidimensional, podemos expresarlo en términos de sus funcionescomponentes P y Q como sigue:

o bien, simplificando,

Observe que P y Q son funciones escalares de dos variables y, algunas veces, se les llamacampos escalares para distinguirlos de los campos vectoriales.

Definición Sea E un subconjunto de �3. Un campo vectorial sobre �3 es unafunción F que asigna a cada punto (x, y, z) en E un vector tridimensional F(x, y, z).

Un campo vectorial F sobre �3 se representa en la figura 4. Podemos expresar en tér-minos de sus funciones constituyentes P, Q y R como

Al igual que con las funciones vectoriales de la sección 13.1, es posible definir la conti-nuidad de los campos vectoriales y demostrar que F es continua si y sólo si sus funcionesconstituyentes P, Q y R son continuas.

Algunas veces identificamos un punto (x, y, z) con su vector de posición x � �x, y, z� yescribimos F(x) en lugar de F(x, y, z). Entonces F se convierte en una función que asignaun vector F(x) a un vector x.

Un campo vectorial sobre �2 está definido por F(x, y) � �y i � x j.Describa F trazando algunos de sus vectores F(x, y) como en la figura 3.

SOLUCIÓN Puesto que F(1, 0) � j, dibujamos el vector j � �0, 1� iniciando en el punto(1, 0) en la figura 5. Como F(0, 1) � �i, dibujamos el vector ��1, 0� con inicio en elpunto (0, 1). Al continuar de este modo, calculamos varios valores representativos deF(x, y) en la tabla y dibujamos los vectores correspondientes para representar el campovectorial en la figura 5.

1

F��, �� , �� i � ��, �� j � ��, ��, ��, ��

F � � i � � j

2

F��, �, z� � ��, �, z� i � ��, �, z� j � ��, �, z� k

EJEMPLO 1v

FIGURA 3Campo vectorial sobre R@

0

(x, y)

�(x, y)

x

y

FIGURA 4Campo vectorial sobre R#

y

0

z

x

(x, y, z)

� (x, y, z)

FIGURA 5�(x, y)=_y �+x �

� (1, 0)

� (0, 3) � (2, 2)

0 x

y

�3, 0 ��0, �3��3, 0��0, 3��2, 2��2, �2��2, �2��2, 2��1, 0 ��0, �1��1, 0 ��0, 1�

�0, �3��3, 0��0, 3 ��3, 0��2, �2��2, �2��2, 2��2, 2��0, �1��1, 0��0, 1��1, 0�

F��, ��, ��F��, ��, ��


Al parecer, según la figura 5, cada flecha es tangente a la circunferencia con centro en el origen. Para confirmarlo, calculemos el producto punto del vector de posición x � x i � y j con el vector F(x) � F(x, y):

Esto demuestra que F(x, y) es perpendicular al vector de posición �x, y� y, por tanto, es tangente a la circunferencia con centro en el origen y radio . Observe que también

de modo que la magnitud del vector F(x, y) es igual al radio de la circunferencia.

Algunos sistemas algebraicos computarizados son capaces de dibujar campos vecto rialesen dos o tres dimensiones. Proporcionan una mejor representación del campo vec torial de lo que es posible a mano, porque la computadora puede trazar una gran cantidad de vectores representativos. La figura 6 muestra una gráfica por computadora del campo vecto-rial del ejemplo 1. Las figuras 7 y 8 muestran otros dos campos vectoriales. Observe quelas computadoras dan una escala a las longitudes de los vectores de modo que no seandemasiado grandes, pero que sean proporcionales a sus longitudes verdaderas.

Dibuje el campo vectorial sobre dado por .

SOLUCIÓN La gráfica se muestra en la figura 9. Observe que todos los vectores sonvertica les y apuntan hacia arriba por encima del plano xy o hacia abajo de éste. Lamagnitud se incrementa con la distancia a partir del plano xy.

Podemos dibujar el campo vectorial del ejemplo 2 a mano porque tiene una fórmulamuy sencilla. Sin embargo, la mayoría de los campos vectoriales tridimensionales son

� �� 0x � F�x� � �� i � � j� � �� i � � j�

�x � � s� 2 � � 2

�F��, �� s��2 � � 2 � s� 2 � � 2 � �x �

5

_5

_5 5

6

_6

_6 6

5

_5

_5 5

FIGURA 6�(x, y)=k_y, xl

FIGURA 7�(x, y)=ky, sen xl

FIGURA 8�(x, y)=k ln(1+¥), ln(1+≈)l

F��, �, z� � z k� 3EJEMPLO 2v

FIGURA 9�(x, y, z)=z �

y

0

z

x


virtualmente imposibles de dibujar a mano, por lo que necesita recurrir a un sistema alge-braico computa rizado. Se ilustran ejemplos en las figuras 10, 11 y 12. Observe que loscampos vectoria les de las figuras 10 y 11 tienen fórmulas similares, pero todos los vectoresde la figura 11 apuntan en la dirección general del eje y negativo porque sus componen-tes y son �2. Si el campo vectorial en la figura 12 representa un campo de velocidad,entonces una partícula podría ser desplazada hacia arriba y giraría en espiral alrededor deleje z en el sentido de las manecillas del reloj si se ve desde arriba.

Imagine un fluido que corre en forma estable por una tubería, y sea V(x, y, z) el vector velocidad en un punto (x, y, z). Entonces V asigna un vector a cadapunto (x, y, z) en un determinado dominio E (el interior de la tubería), de modo que Ves un campo vectorial sobre �3 llamado campo de velocidades. Un campo de velocidadesposible se ilustra en la figura 13. La rapidez en cualquier punto dado se indica por lalongitud de la flecha.

Los campos de velocidades también se presentan en otras áreas de la física. Porejemplo, el campo vectorial del ejemplo 1 se podría usar como campo de velocidadespara describir la rotación de una rueda en el sentido contrario al de las manecillasdel reloj. En las figuras 1 y 2 se ven otros ejemplos de campos de velocidad.

La ley de la gravitación de Newton establece que la magnitud de la fuerzagravitacional entre dos objetos con masas m y M es

donde r es la distancia entre los objetos y G es la constante gravitacional. (Éste es unejem plo de la ley de los cuadrados inversos.) Supongamos que el objeto de masa M estáen el origen en �3. (Por ejemplo, M podría ser la masa de la Tierra y el origen podría ser su centro.) Sea x � �x, y, z� el vector de posición del objeto con masa m. Entonces, r � � x �, así que r 2 � � x �2. La fuerza gravitacional ejercida en este segundo objeto actúahacia el origen, y el vector unitario en esta dirección es

Por lo tanto, la fuerza gravitacional que actúa sobre el objeto en es

[Los físicos utilizan la notación r en lugar de x para el vector de posición, de modo quepodemos encontrar la fórmula 3 escrita en la forma .] La función

z

1

0

_1

y 10_1

x10

_1

FIGURA 10�(x, y, z)=y �+z �+x �

z

1

0

y 10 x1

0

FIGURA 11�(x, y, z)=y �-2 �+x �

z

5

3

1

y 10

_1 x1

0_1

FIGURA 12

�(x, y, z)= �- �+ �y

z

x

z

z

4

_1_1

_1

EJEMPLO 3

EJEMPLO 4

�F � ��

2

�x

�x �x � ��, �, z �

F�x� � ��

� x �3 x3

F � �� 3 �r

En Visual 16.1 podemos girar los camposvectoriales de las figuras 10 a 12, así como loscampos adicionales.

TEC

FIGURA 13Campo de velocidades

z

y x

0


dada por la ecuación 3 es un ejemplo de un campo vectorial, llamado campo gravitacional,porque asocia un vector [la fuerza ] con todo punto x en el espacio.

La fórmula 3 es una forma compacta de expresar el campo gravitacional, pero también podemos escribirla en términos de sus funciones constituyentes usando el hecho de que y :

El campo gravitacional F se representa en la figura 14.

Suponga que una carga eléctrica Q se localiza en el origen. De acuerdo conla ley de Coulomb, la fuerza eléctrica que ejerce esta carga sobre la carga q situadaen el punto (x, y, z) con vector de posición es

donde e es una constante (que depende de las unidades que se utilizan). En el caso decargas similares, qQ � 0 y la fuerza es de repulsión; si las cargas son de signo contrario,en tonces qQ � 0 y la fuerza es de atracción. Observe la similitud entre las fórmulas 3y 4. Ambos campos vectoriales son ejemplos de campos de fuerza.

En lugar de considerar la fuerza eléctrica F, los físicos toman en cuenta a menudo lafuerza por unidad de carga:

Entonces E es un campo vectorial sobre �3, llamado campo eléctrico de Q.

Campos gradienteSi f es una función escalar de dos variables, de acuerdo con la sección 14.6 su gradiente�f (o grad f ), se define como

Por tanto, �f es realmente un campo vectorial sobre �2 y se llama campo vectorialgradiente. Del mismo modo, si f es una función escalar de tres variables, su gradiente esun campo vectorial sobre �3 dado por

Encuentre el campo vectorial gradiente de . Dibuje elcampo vectorial gradiente junto con un mapa de contorno de f. ¿Cuál es su relación?

SOLUCIÓN El campo vectorial gradiente está dado por

En la figura 15 se muestra un mapa de contorno de f con el campo vectorial gradiente.Observe que los vectores gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel, como erade esperarse de acuerdo con la sección 14.6.

F�x�

�x � � s� 2 � � 2 � z 2 x � � i � � j � z k

F��, �, z� ��

�� 2 � � 2 � z2 �3�2 i ��

�� 2 � � 2 � z2 �3�2 j ��z

�� 2 � � 2 � z2 �3�2 k

EJEMPLO 5F�x�

x � ��, �, z �

F�x� ��

�x �3 x4

E�x� �1

�F�x� �

��

�x �3 x

� � ��, �� , �� i � ��, �� j

� � ��, �, z� � ��, �, z� i � ��, �, z� j � �z��, �, z� k

� ��, �� 2� � � 3EJEMPLO 6v

� � ��, ��

��i �

��

��j � 2�� i � �� 2 � 3� 2 � j

4

_4

_4 4

FIGURA 15

FIGURA 14Campo de fuerza gravitacional

y

z

x


Note también que los vectores gradiente son largos donde las curvas de nivel estáncercanas entre sí, y cortos donde las curvas se separan. La razón es que la longitud delvector gradiente es el valor de la derivada direccional de f y las curvas de nivel cercanasindican una gráfica de fuerte pendiente.

Un campo vectorial F se denomina campo vectorial conservativo si es el gradiente dealguna función escalar, es decir, si existe una función f tal que F � �f. En esta situación,f recibe el nombre de función de potencial para F.

No todos los campos vectoriales son conservativos, pero tales campos surgen con fre-cuencia en la física. Por ejemplo, el campo gravitacional F del ejemplo 4 es conservativoporque si definimos

entonces

En las secciones 16.3 y 16.5 aprenderemos la manera de afirmar si un campo vectorialdado es con servativo o no lo es.

� ��, �, z� ��

s� 2 � � 2 � z 2

� � ��, �, z� ��

��i �

��

��j �

��

�zk

��

�� 2 � � 2 � z 2 �3�2 i ��

�� 2 � � 2 � z 2 �3�2 j ��z

�� 2 � � 2 � z 2 �3�2 k

� F��, �, z�

1-10 Trace el campo vectorial F en un diagrama como la figura 5o la figura 9.

1. 2.

3. 4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11-14 Haga corresponder los campos vectoriales F con las gráficasI a IV. Dé razones para sus elecciones.

11.

12.

F��, �� 0.3 i � 0.4 j F��, �� 12 � i � � j

F��, �� 12 i � �� j F��, �� i � �� j

F��, �� i � � j

s� 2 � � 2

F��, �� i � � j

s� 2 � � 2

F��, �, z� � k

F��, �, z� � �� k

F��, �, z� � � k

F��, �, z� � j � i

F��, �� , ��

F��, �� , � � � �

13.

14.

F��, �� , � � 2 �

F��, �� cos�� , � �

3

_3

_3 3

3

_3

_3 3

3

_3

_3 3

3

_3

_3 3

I II

III IV

16.1 Ejercicios

Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.comSAC


15-18 Relacione los campos vectoriales F sobre �3 con las gráficas I a IV. De razones para sus elecciones.

15. 16.

17.

18.

19. Si tiene un SAC que trace campos vectoriales (el comandoes fieldplot en Maple y PlotVectorField en Mathematica), utilícelo para trazar

Explique la apariencia al determinar el conjunto de puntos (x, y) tales que .

20. Sea , donde y .Mediante un SAC grafique este campo vectorial en variosdominios hasta que pueda ver lo que sucede. Describa la apariencia de la gráfi ca y explíquela determinando los puntosdonde .

21-24 Determine el campo vectorial gradiente de f.

21. 22.

23.

24.

25-26 Determine el campo vectorial gradiente �f de f y dibújelo.

25. 26.

27-28 Dibuje el campo vectorial gradiente de f junto con un mapade contorno de f. Explique cuál es la relación que guar dan entresí.

27. 28. � ��, �� cos � � 2 sen �

F��, �, z� � i � 2 j � 3 k F��, �, z� � i � 2 j � z k

F��, �, z� � � i � � j � 3 k

F��, �, z� � � i � � j � z k

z

1

0

_1

y 10_1x1

0_1

z

1

0

_1

y 10_1x1

0_1

0y 1_1 x1 0 _1

z

1

0

_1

z

1

0

_1

y 10_1 1 0 _1x

I II

III IV

SAC

F��, �� 2 � 2�� i � �3�� 6� 2 � j

F��, �� 0

SAC F�x� � � 2 � 2�x x � ��, � � � � x �

F�x� � 0

� ��, �� , �� tan�3� � 4��

� ��, �, z� � s� 2 � � 2 � z 2

� ��, �, z� � � ln�� 2z�

� ��, �� 2 � � � ��, �� s� 2 � �2

SAC

� ��, �� ln�1 � � 2 � 2� 2�

29-32 Relacione las funciones f con las gráficas de los camposvec toriales gradiente I a IV. Dé las razones de su elección.

29. 30.

31. 32.

33. Una partícula se mueve en un campo de velocidad. Si su posición es (2, 1) en un

tiempo t � 3, estime su posición en el tiempo t � 3.01.

34. Una partícula se encuentra en la posición (1, 3) en un tiempot � 1. Si se mueve en un campo de velocidad

encuentre su posición aproximada en el tiempo t � 1.05.

35. Las líneas de flujo (o líneas de corriente) de un campovectorial son las trayectorias que sigue una partícula cuyocampo de velocidades es el campo vectorial dado. Por tanto,los vectores en un campo vectorial son tangentes a las líneasde flujo.a) Use un diagrama del campo vectorial

para dibujar algunas líneas deflujo. A partir de los diagramas, ¿podría adivinar lasecuaciones de las líneas de flujo?

b) Si las ecuaciones paramétricas de una línea de flujo son, explique por qué estas funciones

cumplen con las ecuaciones diferencialesy . Luego resuelva las ecuacionesdiferenciales para encontrar una ecuación de la líneade flujo que pasa por el punto (1, 1).

36. a) Dibuje el campo vectorial y luegodibuje algunas líneas de flujo. ¿Qué forma parecen tenerestas líneas de flujo?

b) Si las ecuaciones paramétricas de las líneas de flujoson x � x(t), y � y(t), ¿qué ecuaciones diferencialessatisfacen estas funciones? Deduzca que dy�dx � x.

c) Si una partícula parte del origen en el campo develocidades dado por F, determine una ecuaciónde la trayectoria que sigue.

� ��, �� 2 � � 2 � ��, ��

� ��, �� 2

4

_4

_4 4

4

_4

_4 4

4

_4

_4 4

I II

III IV4

_4

_4 4

V��, �� 2, � � � 2 �

F��, �� 2, � 2 � 10 �

F��, �� i � � j

� � ��, � � ��

��

F��, �� i � � j

f x� �, y sensx 2 y 2

SECCIÓN 16.2 INTEGRALES DE L ÍNEA 1063

En esta sección se define una integral que es similar a la integral simple, excepto que enlugar de integrar sobre un intervalo [a, b], integramos sobre una curva C. Estas integralesse llaman integrales de línea, aunque un mejor nombre es el de “integrales curvilíneas”.Fueron inventadas a principios del siglo XIX para resolver problemas relacionados con elflujo de fluidos, fuerzas, electricidad y magnetismo.

Iniciamos con una curva plana C dada por las ecuaciones paramétricas

o, en forma equivalente, por la ecuación vectorial r(t) � x(t) i � y(t) j, y supongamos queC es una curva suave. [Esto significa que r es continua y que r(t) � 0. Véase la sección13.3.] Si dividimos el intervalo del parámetro [a, b] en n subintervalos de igualancho y hacemos y , entonces los puntos correspondientesdividen a C en n subarcos de longitudes (véase la figura 1). Elegimoscualquier punto en el i-ésimo subarco. (Esto corresponde a un punto en[ti � 1, ti]). Ahora, si f es una función de dos variables cuyo dominio incluye a la curva C,evaluamos f en el punto , multiplicamos por la longitud del subarco, y forma-mos la suma

que es similar a la suma de Riemann. Luego tomamos el límite de estas sumas y estable-cemos la siguiente definición por analogía con la integral simple.

Definición Si f se define sobre una curva C suave dada por las ecuacio nes 1,entonces la integral de línea de f a lo largo de C es

si este límite existe.

En la sección 10.2 encontramos que la longitud de C es

Un razonamiento similar se puede plantear para demostrar que si f es una función conti-nua, entonces el límite de la definición 2 siempre existe y la fórmula siguiente se puedeusar para evaluar la integral de línea:

El valor de la integral de línea no depende de la parametrización de la curva, siempre queésta se recorra exactamente una vez cuando t se incrementa desde a hasta b.

1 � � ��

�

��1� ��*, ��*� ��

2

� � y�� 2

� �� 2 ��

3 y�� , �� y�

�� (��, ��)�� 2

� � �� 2

��

yCf x, y ds lím

nl

n

i 1f xi*, yi* si

��1, �� , ��

��1, ��2, . . . , ��*��*, ��*� ��*

��*, ��*� ��

16.2 Integrales de línea

FIGURA 1

t i-1

P¸

P¡

P™

C

a b

x0

y

tt i

t*i

Pi-1Pi

Pn

P*i (x*

i , y*i )


Si s (t) es la longitud de C entre r(a) y r(t), entonces,

La manera de recordar la fórmula 3 es expresar todo en términos del parámetro t: usamoslas ecuaciones paramétricas para expresar x y y en términos de t y escribimos ds como

En el caso especial donde C es el segmento rectilíneo que une (a, 0) con (b, 0), al usarx como parámetro, podemos escribir las ecuaciones paramétricas de C como sigue: x � x,y � 0, a x b. La fórmula 3 se transforma en

y en este caso la integral de línea se reduce a una integral simple ordinaria.Justo para una integral simple ordinaria se interpreta la integral de línea de una función

positiva como un área. De hecho, si f (x, y) � 0, entonces representa el áreade un lado de la “cerca” o de la “cortina” de la figura 2, cuya base es C y altura por arribadel punto (x, y) es f (x, y).

Evalúe , donde C es la mitad superior de la circunferenciaunitaria x 2 � y 2 � 1.

SOLUCIÓN Con objeto de aplicar la fórmula 3 necesitamos primero ecuacionesparamétricas que representen a C. Recuerde que la circunferencia unitaria se puedeparametrizar por medio de las ecuaciones

x � cos t y � sen t

y la mitad superior de la circunferencia se describe por el intervalo del parámetro0 t p. (Véase la figura 3). Por tanto, la fórmula 3 da

Supongamos que C es una curva suave por tramos; es decir, C es una unión de unacantidad finita de curvas suaves donde, de acuerdo con la figura 4, el puntoinicial de Ci�1 es el punto final de Ci. Entonces, definimos la integral de f a lo largo deC como la suma de las integrales de f a lo largo de cada una de las partes suaves de C:

ds

dt� �dx

dt �2

� � dy

dt �2

ds � �dx

dt �2

� � dy

dt �2

dt

yC

f �x, y� ds � yb

af �x, 0� dx

xC

f �x, y� ds

xC �2 � x 2y� dsEJEMPLO 1

C1, C2, . . . , Cn,

yC

2 x 2y ds y0

2 cos2 t sen tdx

dt

2 dy

dt

2

dt

y0

2 cos2 t sen t ssen2 t cos 2 t dt

y0

2 cos2 t sen t dt 2tcos3 t

3 0

2 23

y�� , �� y

�1

� ��, �� y�2

� ��, �� y��

� ��, ��

FIGURA 2

f(x, y)

(x, y)

C y

z

x

0

FIGURA 3

0

≈+¥=1(y˘0)

x

y

1_1

FIGURA 4Una curva suave por tramos

0

C£C™

C¡

C¢

C∞

x

y

La función s de la longitud de arco se trata en lasección 13.3.


Evalúe , donde C consiste del arco C1 de la parábola y � x2 desde (0, 0) hasta (1, 1) seguido por el segmento rectilíneo C2 desde (1, 1) hasta (1, 2).

SOLUCIÓN La curva C se muestra en la figura 5. C1 es la gráfica de una función de x, demodo que elegimos a x como el parámetro y las ecuaciones de Cl se vuelven

Por tanto,

Sobre C2 elegimos a y como el parámetro, de modo que las ecuaciones de C2 son

y

Por tanto,

Cualquier interpretación física de una integral de línea depende de la inter-pretación física de la función f. Suponga que r(x, y) representa la densidad lineal en unpunto (x, y) de un alambre delgado con forma de la curva C. Entonces la masa de la partedel alambre desde Pi�1 hasta Pi, de la figura 1, es aproximadamente y, así, lamasa total del alambre es aproximadamente . Al tomar más y más puntossobre la curva obtenemos la masa m del alambre como el valor límite de estas aproxima-ciones:

[Por ejemplo, si f (x, y) � 2 � x2y representa la densidad de un alambre semicircular,en tonces la integral del ejemplo 1 representaría la masa del alambre.] El centro de masadel alambre con función de densidad r se sitúa en el punto , donde

Otra interpretación física de las integrales de línea se estudia más adelante en este capítulo.

Un alambre toma la forma de una semicircunferencia x2 � y2 � 1, y � 0,y es más grueso cerca de su base que de la parte superior. Calcule el centro de masa delalambre si la densidad lineal en cualquier punto es proporcional a su distanciadesde la recta y � 1.

SOLUCIÓN Como en el ejemplo 1, usamos la parametrización x � cos t, y � sen t,0 t p; y encontramos que ds � dt. La densidad lineal es

r(x, y) � k(1 � y)

� y1

02xs1 � 4x 2 dxy

C1

2x ds � y1

02x�dx

dx�2

� �dy

dx�2

dx

� 14 � 2

3 �1 � 4x 2 �3�2]0

1�

5s5 � 1

6

1 y 2y � yx � 1

yC2

2x ds � y2

12�1��dx

dy�2

� � dy

dy�2

dy � y2

12 dy � 2

yC

2x ds � yC1

2x ds � yC2

2x ds �5s5 � 1

6� 2

xC f �x, y� ds

��xi*, yi*� �si

� ��xi*, yi*� �si

�x, y�

y �1

m yC y ��x, y� dsx �1

m yC x ��x, y� ds4

EJEMPLO 3v

m límnl

n

i 1xi*, yi* si y

Cx, y ds

0 x 1y � x 2x � x

xC

2x dsEJEMPLO 2

FIGURA 5C=C¡ � C™

(0, 0)

(1, 1)

(1, 2)

C¡

C™

x

y


donde k es una constante, por lo que la masa del alambre es

Según las ecuaciones 4 tenemos

Por simetría vemos que , de modo que el centro de masa es

(Véase la figura 6.)

Las otras dos integrales de línea se obtienen reemplazando �si por , opor en la definición 2. Se les llama integrales de línea de f a lo largo deC respecto a x y y:

Cuando queremos distinguir la integral de línea original de las ecuaciones 5 y6, se denomina integral de línea respecto a la longitud de arco.

Las fórmulas siguientes establecen que las integrales de línea respecto a x y y sepueden también evaluar expresando todo en términos de t: , , ,

.

A menudo sucede que las integrales de línea respecto a x y y se presentan juntas.Cuando esto sucede, se acostumbra abreviarlas escribiendo

Algunas veces, al plantear una integral de línea lo más difícil es pensar en una repre-sentación paramétrica de una curva cuya descripción geométrica se conoce. En particu-lar, con frecuencia necesitamos parametrizar un segmento rectilíneo, de modo que es útil

x � 0

�0, 4 � �

2�� 2�� 0, 0.38�

�xi � xi � xi�1

�yi � yi � yi�1

xC f �x, y� ds

dx � x�t� dty � y�t�x � x�t�dy � y�t� dt

yC

f �x, y� dx � yb

af (x�t�, y�t�) x�t� dt7

yC

f �x, y� dy � yb

af (x�t�, y�t�) y�t� dt

k[t cos t]0 k 2m yCk 1 y ds y

0k 1 sen t dt

y1

m yC y x, y ds1

k 2 yC y k 1 y ds

1

2 y

0sen t sen2t dt

1

2 [ cos t 1

2 t14 sen 2t]0

4

2 2

r

yCf x, y dx lím

nl

n

i 1f xi*, yi* xi5

yCf x, y dy lím

nl

n

i 1f xi*, yi* yi6

yC

P�x, y� dx � yC

Q�x, y� dy � yC

P�x, y� dx � Q�x, y� dy

FIGURA 6

01_1

1centro de masa

x

y


recordar que una representación vectorial del segmento rectilíneo que inicia en r0 y ter-mina en r1 está dado por

(Véase la ecuación 12.5.4)

Evalúe , donde a) C � C1 es el segmento rectilíneo desde(�5, �3) hasta (0, 2) y b) C � C2 es el arco de la parábola x � 4 � y2 desde (�5, �3)hasta (0, 2). (Véase la figura 7.)

SOLUCIÓNa) Una representación paramétrica del segmento rectilíneo es

(Use la ecuación 8 con r0 � ��5, �3� y r1 � �0, 2�.) Entonces dx � 5 dt, dy � 5 dt,y con la fórmula 7 se tiene

b) Puesto que la parábola está definida como una función de y, tomamos a y como elparámetro y escribimos C2 como

Entonces dx � �2y dy y de acuerdo con la fórmula 7 tenemos

Observemos que las respuestas de los incisos a) y b) del ejemplo 4 son diferentes aun cuando las dos curvas tienen los mismos puntos extremos. Por tanto, el valor de unainte gral de línea depende, en general, no sólo de los puntos extremos de la curva, sino tam-bién de la trayectoria. (Véase en la sección 16.3 las condiciones en las cuales la inte gral esindependiente de la trayectoria.)

Observemos también que las respuestas del ejemplo 4 dependen de la dirección u orien-tación de la curva. Si �C1 denota el segmento rectilíneo desde (0, 2) hasta (�5, �3), esposible verificar, mediante la parametrización

que

xC

y 2 dx � x dyEJEMPLO 4

0 t 1y � 5t � 3x � 5t � 5

yC1

y 2 dx � x dy � y1

0�5t � 3�2�5 dt� � �5t � 5��5 dt�

� 5 y1

0�25t 2 � 25t � 4� dt

� 5�25t 3

3�

25t 2

2� 4t�

0

1

� �5

6

�3 y 2y � yx � 4 � y 2

yC2

y 2 dx � x dy � y2

�3y 2��2y� dy � �4 � y 2 � dy

� y2

�3��2y 3 � y 2 � 4� dy

� ��y 4

2�

y 3

3� 4y�

�3

2

� 40 56

0 t 1y � 2 � 5tx � �5t

v

0 t 1r�t� � �1 � t�r0 � t r18

y�C1

y 2 dx � x dy � 56

FIGURA 7

0 4

(_5, _3)

(0, 2)

C¡C™

x=4-¥

x

y


En general, una parametrización dada x � x(t), y � y(t), a t b, determina unaorientación de una curva C, cuya dirección positiva corresponde a los valores crecientesdel parámetro t. (Véase la figura 8, en donde el punto inicial A corresponde al valor delparámetro a y el punto terminal B corresponde a t � b.)

Si �C denota la curva que consiste de los mismos puntos que C, pero con la orienta-ción opuesta es decir, del punto inicial B al punto terminal A de la figura 8, entonces tenemos

Pero si integramos respecto a la longitud de arco, el valor de la integral de línea no cam-bia cuando se invierte la orientación de la curva:

La razón es que �si siempre es positiva, mientras que �xi y �yi cambian de signo cuandose invierte la orientación de C.

Integrales de línea en el espacioAhora supongamos que C es una curva suave en el espacio, dado por las ecuaciones para-métricas

o la ecuación vectorial r(t) � x(t) i � y(t) j � z(t) k. Si f es una función de tres variablesque es continua en alguna región que contiene a C, entonces definimos la integral de líneade f a lo largo de C (respecto a la longitud de arco), de manera similar a la de las curvasplanas:

Evaluamos usando una fórmula similar a la fórmula 3:

Observemos que las integrales en las fórmulas 3 y 9 se pueden escribir en la forma vecto-rial más compacta

En el caso especial de f (x, y, z) � 1, obtenemos

donde L es la longitud de la curva C (véase la fórmula 13.3.3).

y�C

f �x, y� dy � �yC

f �x, y� dyy�C

f �x, y� dx � �yC

f �x, y� dx

y�C

f �x, y� ds � yC

f �x, y� ds

a t bz � z�t�y � y�t�x � x�t�

yCf x, y, z ds lím

nl

n

i 1f xi*, yi*, zi* si

yC

f �x, y, z� ds � yb

af (x�t�, y�t�, z�t�)� dx

dt �2

� � dy

dt �2

� � dz

dt�2

dt9

yb

af �r�t�� r�t� � dt

yC

ds � yb

a� r�t� � dt � L

FIGURA 8

B

A

ta b

C

_CA

B


Las integrales de línea a lo largo de C respecto a x, y y z también se pueden defi nir.Por ejemplo,

Por tanto, como sucede con las integrales de línea en el plano, evaluamos las integrales dela forma

expresando todo (x, y, z, dx, dy, dz) en términos del parámetro t.

Evalúe , donde C es la hélice circular dada por las

ecuaciones x � cos t, y � sen t, z � t, (véase la figura 9).

SOLUCIÓN El resultado con la fórmula 9 es

Evalúe , donde C consiste del segmento rectilíneo Cl desde (2, 0, 0) hasta (3, 4, 5) seguido por el segmento vertical C2 desde (3, 4, 5) hasta (3, 4, 0).

SOLUCIÓN La curva C se ilustra en la figura 10. Utilizando la ecuación 8, expresamos aC1 como

o bien, en forma paramétrica, como

Por tanto,

De manera similar, C2 se puede expresar en la forma

o bien,

yCf x, y, z dz lím

nl

n

i 1f xi*, yi*, zi* zi

ybaf (x t , y t , z t ) z t dt

yC

P�x, y, z� dx � Q�x, y, z� dy � R�x, y, z� dz10

xC y sen z dsEJEMPLO 5v0 t 2�

yCy sen z ds y2

0sen t sen t

dx

dt

2 dy

dt

2 dz

dt

2

dt

s2 y2

0

12 1 cos 2t dty2

0sen2tssen2 t cos2 t 1 dt

s2

2 [t 1

2 sen 2t]0

2 s2

xC y dx � z dy � x dzEJEMPLO 6

r�t� � �1 � t��2, 0, 0� � t �3, 4, 5 � � �2 � t, 4t, 5t �

0 t 1z � 5ty � 4tx � 2 � t

yC1

y dx � z dy � x dz � y1

0�4t� dt � �5t�4 dt � �2 � t�5 dt

� y1

0�10 � 29t� dt � 10t � 29

t 2

2 �0

1

� 24.5

r�t� � �1 � t��3, 4, 5� � t �3, 4, 0 � � �3, 4, 5 � 5t �

0 t 1z � 5 � 5ty � 4x � 3

FIGURA 9

1x

z

y

C

1

0

_1

0

_10

2

4

6

1x

z

y

C

1

0

_1

0

_10

2

4

6

FIGURA 10

y

z

x

0

(3, 4, 5)

(3, 4, 0)

(2, 0, 0)

C¡ C™


Entonces dx � 0 � dy, de modo que

Al sumar los valores de estas integrales

Integrales de línea de campos vectorialesDe acuerdo con la sección 6.4, el trabajo realizado por una fuerza variable f (x) que mue -ve a una partícula desde a hasta b a lo largo del eje x es . Entonces, en lasección 12.3, encontramos que el trabajo que efectúa una fuerza constante F al mover unobjeto desde el punto P hasta otro punto Q en el espacio es W � F � D, donde

les

el vector desplazamiento.Ahora supongamos que F � P i � Q j � R k es un campo de fuerzas continuo sobre

�3, tal como el campo gravitacional del ejemplo 4 de la sección 16.1 o el campo de fuer-zas eléctricas del ejemplo 5 de la misma sección. (Un campo de fuerzas sobre �2 se puedeconsiderar como un caso especial donde R � 0 y P y Q dependen sólo de x y de y.) Desea-mos calcular el trabajo que realizó esta fuerza al mover la partícula a lo largo de la curvasuave C.

Dividimos C en subarcos de longitudes �si dividiendo el intervalo del parámetro[a, b] en subintervalos de igual ancho. (Véase en la figura 1 el caso bidimensional o en lafigura 11 el caso tridimensional.) Elegimos un punto sobre el i-ésimosubarco que corresponde al valor del parámetro . Si �si es pequeño, entonces cuando lapartícula se mueve de Pi�1 hasta Pi a lo largo de la curva, prosigue aproximadamente enla dirección de , el vector unitario tangente a . Por tanto, el trabajo que efectúa lafuerza F al mover la partícula desde Pi�1 hasta Pi es aproximadamente de

y el trabajo total realizado al mover la partícula a lo largo de C es aproximadamente

donde T(x, y, z) es el vector unitario tangente en el punto (x, y, z) sobre C. Intuitivamentees posible ver que estas aproximaciones deben llegar a ser mejores a medida que n seincre menta. Por tanto, definimos el trabajo W realizado por el campo de fuerza F comoel lími te de las sumas de Riemann en , a saber,

La ecuación 12 establece que trabajo es la integral de línea respecto a la longitud de arcode la componente tangencial de la fuerza.

Si la curva C está dada por la ecuación vectorial r(t) � x(t) i � y(t) j � z(t) k, enton-ces T(t) � r(t)�� r(t) �, de modo que al usar la ecuación 9 podemos volver a expresar laecuación 12 en la forma

yC2

y dx � z dy � x dz � y1

03��5� dt � �15

yC

y dx � z dy � x dz � 24.5 � 15 � 9.5

W � xba f �x� dx

D � PQ

Pi�1Pi

Pi*�xi*, yi*, zi*�ti*

Pi*T�ti*�

F�xi*, yi*, zi*� � �si T�ti*�� F�xi*, yi*, zi*� � T�ti*�� si

n

i�1 F�xi*, yi*, zi*� � T�xi*, yi*, zi*�� si11

11

W � yC

F�x, y, z� � T�x, y, z� ds � yC

F � T ds12

� yb

aF�r�t�� r�t� dtW � yb

a�F�r�t��

r�t�

� r�t� � � � r�t� � dt

FIGURA 11

0

�(x*i , y*i , z*i )

�(t*i )

Pi

P¸

Pi-1

P*i (x*i , y*i , z*i ) y

z

x

Pn


Esta integral se abrevia a menudo como y se encuentra también en otras especia -lidades de la física. Por tanto, hacemos la siguiente definición para la integral de lí nea decualquier campo vectorial continuo.

Definición Sea F un campo vectorial continuo definido sobre una curva suaveC dada por una función vectorial , . Entonces la integral de línea deF a lo largo de C es

Al utilizar la definición 13, recuerde que F(r(t)) es sólo una forma de abreviar F(x(t),y(t), z(t)), de modo que evaluamos F(r(t)) haciendo simplemente x � x(t), y � y(t) yz � z(t) en la expresión para F(x, y, z). Observe también que podemos escribir formal-mente dr � r(t) dt.

Determine el trabajo efectuado por el campo de fuerza F(x, y) � x2 i � xy jcuando mueve una partícula a lo largo del cuarto de circunferencia r(t) � cos t i � sen t j,

.

SOLUCIÓN Puesto que x � cos t y y � sen t

F �r�t�� cos2 t i � cos t sen t j

y r�t� � �sen t i � cos t j

Por tanto, el trabajo ralizado es

NOTA Aun cuando y las integrales respecto a la longitud dearco permanecen sin cambio cuando se invierte la dirección, se sigue cumpliendo que

porque el vector unitario tangente T es reemplazado por su negativo cuando C es reem-plaza do por �C.

Evalúe , donde F(x, y, z) � xy i � yz j � zx k y C es la cúbica tor cida dada por

SOLUCIÓN Tenemos

xC F � dr

13a t br�t�

yC

F � dr � yb

aF�r�t�� r�t� dt � y

CF � T ds

EJEMPLO 7

0 t ��2

yC

F dr y 2

0F r t r t dt y 2

02 cos2 t sen t dt

2 cos3 t

3 0

22

3

xC F � dr � xC F � T ds

y�C

F � dr � �yC

F � dr

xC

F � drEJEMPLO 8

0 t 1z � t 3y � t 2x � t

r�t� � t i � t 2 j � t 3 k

r�t� � i � 2t j � 3t 2 k

F�r�t�� t 3 i � t 5 j � t 4 k

La figura 12 muestra el campo de fuerza y lacurva del ejemplo 7. El trabajo hecho esnegativo porque el campo obstruye elmovimiento a lo largo de la curva.

FIGURA 12

0 1

1

y

x

En la figura 13 se ilustra la cúbica torcida C delejemplo 8 y algunos vectores representa tivosque actúan en tres puntos sobre C.

FIGURA 13

y

z

x

0

0.5

1

1.5

2

21

0

12 0

�{� (1)}

�{�(3/4)}

�{�(1 /2)}

(1, 1, 1)

C


1-16 Evalúe la integral de línea, donde C es la curva dada.

1. ,

2. ,

3. , C es la mitad derecha de la circunferencia x2 � y2 � 16

4. , C es el segmento de recta de (0, 3) a (4, 6)

5. ,C es el arco de la curva de (1, 1) a (4, 2)

6. ,C es el arco de la curva x � y3 de (�1, �1) a (1, 1)

7. , C consiste en los segmentos de rectadesde (0, 0) hasta (2, 1) y desde (2, 1) hasta (3, 0)

8. , C consiste del arco de circunferencia x2 � y2 � 1 desde (2, 0) hasta (0, 2) seguido del segmento derecta desde (0, 2) hasta (4, 3)

xC y 3 ds C: x � t 3, y � t, 0 t 2

xC xy ds C: x � t 2, y � 2t, 0 t 1

xC

xy 4 ds

xC (x 2y 3 � sx ) dyy � sx

xC e x dx

xC �x � 2y� dx � x 2 dy

xC x 2 dx � y 2 dy

xC x sen y ds

9. , C: x � 2 sen t, y � t, z � �2 cos t, 0 t p

10. , C es el segmento de recta de (�1, 5, 0) a (1, 6, 4)

11. , C es el segmento de recta de (0, 0, 0) a (1, 2, 3)

12. , C: x � t, y � cos 2t, z � sen 2t, 0 t 2p

13. , : , , ,

14. ,

: , , ,

15. , C es el segmento de recta de (1, 0, 0) a (4, 1, 2)

16. , C consiste de lossegmentos de recta desde (0, 0, 0) hasta (1, 0, 1) y de (1, 0, 1)a (0, 1, 2)

xC xyz ds

xC xyz2 ds

xC

xe yz ds

xC �x 2 � y 2 � z2� ds

xC

xye yz dy C x � t y � t 2 z � t 3 0 t 1

xC

y dx � z dy � x dz

C x � st y � t z � t 2 1 t 4

xC z2 dx � x 2 dy � y 2 dz

xC �y � z� dx � �x � z� dy � �x � y� dz

16.2 Ejercicios

Por tanto,

Para finalizar, hacemos notar la relación entre las integrales de línea de los campos vecto-riales y las integrales de línea de los campos escalares. Supongamos que el campo vec torial Fsobre �3 está dado en la forma de componentes mediante la ecuación F � P i � Q j � R k.Ulilizamos la definición 13 para calcular su integral de línea a lo largo de C.

Pero esta última integral es precisamente la integral de línea de . Por tanto, tenemos

donde F � P i � Q j � R k

Por ejemplo, la integral del ejemplo 6 se podría expresar comodonde

F(x, y, z) � y i � z j � x k

yC

F � dr � yb

aF�r�t�� r�t� dt

� yb

a�P i � Q j � R k� � (x�t� i � y�t� j � z�t� k) dt

� yb

a[P(x�t�, y�t�, z�t�) x�t� � Q(x�t�, y�t�, z�t�) y�t� � R(x�t�, y�t�, z�t�) z�t�] dt

yC

F � dr � yC

P dx � Q dy � R dz

xC y dx � z dy � x dzxC F � dr

10

� y1

0�t 3 � 5t 6 � dt �

t 4

4�

5t 7

7 �0

1

�27

28

yC

F � dr � y1

0F�r�t�� r�t� dt

; Se requiere calculadora graficadora o computadora Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.comSAC


17. Sea F el campo vectorial que se ilustra en la figura.a) Si C1 es el segmento de recta vertical desde (�3, �3)

hasta (�3, 3), determine si es positiva, negativa o cero.

b) Si C2 es la circunferencia orientada en el sentido contrarioal de las manecillas del reloj con radio 3 y centro en elorigen, determine si es positiva, negativa o cero.

18. La figura muestra un campo vectorial F y dos curvas C1 y C2.¿Las integrales de línea de F sobre C1 y C2 son positivas,negativas o cero? Explique.

19-22 Evalúe la integral de línea , donde C está definidapor la función vectorial r(t).

19. , ,

20. ,,

21. F(x, y, z) � sen x i � cos y j � xz k,,

22. ,r(t) � cos t i � sen t j � t k,

23-26 Use calculadora o un sistema algebraico computarizado paraevaluar la integral de línea con una aproximación de cuatro lugaresdecimales.

23. , donde F(x, y) � xy i � sen y j y,

xC1

F � dr

xC2

F � dr

y

x01

1

2 3

2

3

_3 _2 _1

_3

_2

_1

y

x

C¡

C™

xC

F � dr

F�x, y� � xy i � 3y 2 jr�t� � 11t 4 i � t 3 j 0 t 1

F�x, y, z� � �x � y� i � �y � z� j � z2 kr�t� � t 2 i � t 3 j � t 2 k 0 t 1

r�t� � t 3 i � t 2 j � t k 0 t 1

F�x, y, z� � x i � y j � xy k0 t �

xC

F � dr1 t 2r�t� � e t i � e�t2

j

24. , donde F(x, y, z) � y sen z i � z sen x j � x sen y k,y r(t) � cos t i � sen t j � sen 5t k,

25. sen (y � z), donde C tiene ecuaciones paramétricas ,, ,

26. , donde C tiene ecuaciones paramétricas ,, ,

27-28 Con una gráfica del campo vectorial F y la curva C intuya sila integral de línea de F sobre C es positiva, negativa o cero. Luegoevalúe la integral de línea.

27. F(x, y) � (x � y) i � xy j, C es el arco de circunferencia x2 � y2 � 4 recorrido en elsentido contrario al de las manecillas del reloj desde (2, 0)hasta (0, �2).

28. ,

C es la parábola y � 1 � x2 desde (�1, 2) hasta (1, 2).

29. a) Evalúe la integral de línea , dondey C está dada por

, .

; b) Ilustre el inciso a) mediante una calculadora o una computadora con la gráfica de C y los vectores del campovectorial que corresponde a , y 1 (como en lafigura 13).

30. a) Evalúe la integral de línea , dondey C está dada por

, .

; b) Ilustre el inciso a) mediante una computadora que trace C ylos vectores del campo vectorial correspondiente a

y (como en la figura 13).

31. Encuentre el valor exacto de , donde C es la curvacon ecuaciones paramétricas , y � e�t sen 4t,

, .

32. a) Calcule el trabajo hecho por el campo de fuerzaF(x, y) � x2 i � xy j sobre una partícula que se mueveuna vez alrededor de la circunferencia x2 � y2 � 4orientada en el sentido contrario al de las manecillasdel reloj.

b) Mediante un sistema algebraico computarizado, dibuje elcampo de fuerza y la circunferencia en la misma pantalla.Con la gráfica explique su respuesta del inciso a).

33. Un alambre delgado está doblado en forma de unasemicircunferencia , . Si la densidad lineal esla constante k, calcule la masa y el centro de masa del alambre.

34. Un alambre delgado tiene la forma de la parte de lacircunferencia del primer cuadrante con centro en el origen yradio a. Si la función de densidad es r(x, y) � kxy, encuentre lamasa y el centro de masa del alambre.

35. a) Escriba las fórmulas similares a las ecuaciones 4 para elcentro de masa de un alambre delgado cuyafunción de densidad es r(x, y, z) en la forma de una curvaC en el espacio.

xC

F � dr0 t �

x�� x � t 2

y � t 3 z � t 4 0 t 5

xC ze�xy ds x � ty � t 2 z � e�t 0 t 1

SAC

F�x, y� �x

sx 2 � y 2 i �

y

sx 2 � y 2 j

xC F � drF�x, y� � e x�1 i � xy jr�t� � t 2 i � t 3 j 0 t 1

t � 0 1�s2

xC F � drF�x, y, z� � x i � z j � y kr�t� � 2t i � 3t j � t 2 k �1 t 1

t � �1 �12

SAC xC x 3y 2z dsx � e�t cos 4 t

z � e�t 0 t 2�

SAC

x 2 � y 2 � 4 x � 0

�x, y, z �


b) Encuentre el centro de masa de un alambre en forma de lahélice x � 2 sen t, y � 2 cos t, z � 3t, , si la densidad es una constante k.

36. Calcule la masa y el centro de masa de un alambre en forma dela hélice x � t, y � cos t, z � sen t, , si la densi daden cualquier punto es igual al cuadrado de la distancia desde el origen.

37. Si un alambre con densidad lineal r(x, y) sigue la curva C,sus momentos de inercia respecto a los ejes x y y están definidos como

Encuentre los momentos de inercia para el alambre del ejemplo 3.

38. Si un alambre con densidad lineal r(x, y, z) sigue una curva enel espacio C, sus momentos de inercia respecto a los ejes x, yy z se definen como

Determine los momentos de inercia para el alambre del ejercicio 35.

39. Encuentre el trabajo que realiza el campo de fuerzasF(x, y) � x i � (y � 2) j al mover un objeto a lo largode un arco de la cicloide r(t) � (t � sen t) i � (1 � cos t) j,

.

40. Calcule el trabajo que efectúa el campo de fuerzas F(x, y) � x2

i � yex j sobre una partícula que se mueve a lo largo de laparábola y � x2 desde (1, 0) hasta (2, 1).

41. Determine el trabajo que hace el campo de fuerzassobre una partícula

que se desplaza por el segmento rectilíneo desde (0, 0, 1) hasta (2, 1, 0).

42. La fuerza que ejerce una carga eléctrica en el origen sobre unapartícula cargada en el punto (x, y, z) con vector de posición

es F(r) � Kr�� r �3, donde K es una constante.(Véase el ejemplo 5 de la sección 16.1.) Encuentre el trabajorealizado cuando la partícula se mueve a lo largo de una rectadesde (2, 0, 0) hasta (2, 1, 5).

43. La posición de un objeto con masa m en el tiempo t es, .

a) ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre el objeto en el tiempo t?b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza durante el

intervalo de tiempo ?

44. Un objeto con masa m se mueve de acuerdo con r(t) � a sen t i� b cos t j � ct k, . Encuentre el trabajo realizadosobre el objeto durante este periodo.

0 t 2�

0 t 2�

Iy � yC

x 2��x, y� dsIx � yC

y 2��x, y� ds

Ix � yC

� y 2 � z2 ��x, y, z� ds

Iy � yC

�x 2 � z2 ��x, y, z� ds

Iz � yC

�x 2 � y 2 ��x, y, z� ds

0 t 2�

F�x, y, z� � �x � y 2, y � z2, z � x 2 �

r � �x, y, z �

0 t 1r�t� � at 2 i � bt 3 j

0 t 1

0 t ��2

45. Un hombre que pesa 160 lb sube un bote de pintura de 25 libras por una escalera helicoidal que rodea a un silo con radio de 20 pies. Si el silo es de 90 pies de alto y el hombre da tres revoluciones completas hasta la parte alta,¿cuánto trabajo efectúa contra la fuerza de gravedad?

46. Suponga que hay un agujero en el bote de pintura del ejercicio 45 y que se pierden en forma constante 9 libras de pintura mientras el hombre sube por la escalera. ¿Cuántotrabajo efectúa?

47. a) Demuestre que un campo de fuerzas constante hacetrabajo cero sobre una partícula que se mueve una vezde manera uniforme alrededor de la circunferenciax2 � y2 � 1.

b) ¿Esto también es válido para un campo de fuerzasF(x) � k x, donde k es una constante y ?

48. La base de una cerca circular de radio 10 m está dada conx � 10 cos t, y � 10 sen t. La altura de la cerca en la posición(x, y) está dada por la función h(x, y) � 4 � 0.01(x2 � y2), demodo que la altura varía desde 3 m hasta 5 m. Suponga que 1 litro de pintura cubre 100 m2. Dibuje la cerca y determinecuánta pintura necesitará si pinta ambos lados de la cerca.

49. Si C es una curva suave dada por una función vectorial r(t),, y v es un vector constante, demuestre que

50. Si C es una curva suave dada por una función vectorial r(t),, demuestre que

51. Un objeto se desplaza a lo largo de la curva C que semuestra en la figura, de (1, 2) a (9, 8). Las longitudes delos vectores en el campo de fuerza F se miden en newtonssegún las escalas en los ejes. Estime el trabajo que realizaF sobre el objeto.

52. Los experimentos demuestran que una corriente estable Ien un alambre largo produce un campo magnético B quees tangente a cualquier circunferencia que quede en elplano perpendicular al alambre y cuyo centro es el ejedel alambre (como se ve en la figura). La ley de Ampere

x � �x, y �

a t b

yC

v � dr � v � r�b� � r�a��

a t b

yC

r � dr � 12[�r�b��2 � �r�a��2]

0 1

1

y(metros)

x(metros)

C

C

De acuerdo con la sección 5.3, la parte 2 del teorema fundamental del cálculo se puedeexpresar como

donde F es continua sobre [a, b]. A la ecuación 1 también se le conoce con el nombre deTeo rema del cambio neto: la integral de la razón de cambio es el cambio neto.

Si pensamos en el vector gradiente �f de una función f de dos o tres variables como untipo de derivada de f, entonces podemos considerar el teorema siguiente como una versióndel teorema fundamental de las integrales de línea.

Teorema Sea C una curva suave definida por la función vectorial r(t),. Sea f la función derivable de dos o tres variables cuyo vector gradiente

�f es continuo sobre C. Entonces

NOTA El teorema 2 establece que se puede evaluar la integral de línea de un campovectorial conservativo (el campo vectorial del gradiente de la función del potencial f ) sim-plemente si se co noce el valor de f en los puntos extremos de C. De hecho, el teorema2 es tablece que la integral de línea de �f es el cambio neto en f. Si f es una función de dosvariables y C es una curva plana cuyo punto inicial es A(x1, y1) y el terminal es B(x2, y2),co mo en la figura 1, entonces el teorema 2 se transforma en

Si f es una función de tres variables y C es una curva en el espacio que une el punto A(x1, y1, z1) con el punto B(x2, y2, z2), entonces tenemos

Demostraremos el teorema 2 para este caso.

1 yb

aF�x� dx � F�b� � F�a�

2a t b

yC

� f � dr � f �r�b�� f �r�a��

yC

� f � dr � f �x2, y2 � � f �x1, y1 �

yC

� f � dr � f �x2, y2, z2 � � f �x1, y1, z1 �

SECCIÓN 16.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE L ÍNEA 1075

relaciona la corriente eléctrica con sus efectos magnéticosy establece que

donde I es la corriente neta que pasa por cualquier superficieacotada por una curva cerrada C y m0 es una constante que recibe el nombre de permeabilidad de espacio libre. Considere que C es igual a una circunferencia de radio r, y demuestre que la magnitud B � � B � del campo magnéticoa una distancia r del centro del alambre es

yCB � dr � �0 I

B ��0 I

2�r

�

I

16.3 Teorema fundamental de las integrales de línea

FIGURA 1

0

A(x¡, y¡) B(x™, y™)

C x

y

a)

0

A(x¡, y¡, z¡)B(x™, y™, z™)

C

y

z

x

b)


DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2 Utilizando la definición 16.2.13 tenemos

(por la regla de la cadena)

El último paso se infiere del teorema fundamental del cálculo (ecuación 1).

Aunque se ha demostrado el teorema 2 para el caso de curvas suaves, también es válidopara curvas suaves por tramos. Esto se puede ver al subdividir C en un nú mero finito decurvas suaves y sumar las integrales resultantes.

Calcule el trabajo que realiza el campo gravitacional

al mover una partícula de masa m desde el punto (3, 4, 12) hasta el punto (2, 2, 0) a lolar go de la curva C suave por tramos (véase el ejemplo 4 de la sección 16.1).

SOLUCIÓN De acuerdo con la sección 16.1, sabemos que F es un campo vectorial conservativo y, de hecho, F � �f, donde

Por tanto, según el teorema 2, el trabajo realizado es

Independencia de la trayectoriaSupongamos que C1 y C2 son dos curvas suaves por tramos (denominadas trayectorias)que tienen el mismo punto inicial A y el punto terminal B. Sabemos por el ejemplo 4 de lasección 16.2 que, en general, . Pero una implicación del teorema 2es que

cuando �f es continuo. En otras palabras, la integral de línea de un campo vectorial con-servativo depende sólo del punto inicial y del punto terminal de la curva.

En general, si F es un campo vectorial continuo cuyo dominio es D, la integral de líneaes independiente de la trayectoria si para cualesquiera

dos trayectorias C1 y C2 en D que tienen los mismos puntos iniciales y termina les. Conesta terminología podemos decir que las integrales de línea de campos vectoriales con ser-vativos son independientes de la trayectoria.

yC

� f � dr � yb

a� f �r�t�� r�t� dt

� yba� �f

�x

dx

dt�

�f

�y

dy

dt�

�f

�z

dz

dt� dt

� yb

a

d

dtf �r�t�� dt

� f �r�b�� f �r�a��

EJEMPLO 1

F�x� � �mMG

�x �3 x

f �x, y, z� �mMG

sx 2 � y 2 � z 2

W � yCF � dr � y

C� f � dr

� f �2, 2, 0� � f �3, 4, 12�

�mMG

s22 � 22 �

mMG

s32 � 42 � 122 � mMG� 1

2s2�

1

13�

xC1F � dr � xC2

F � dr

yC1

� f � dr � yC2

� f � dr

xC1F � dr � x

C2F � drx

CF � dr


Se dice que una curva es cerrada si su punto final coincide con su punto terminal, esde cir, r(b) � r(a) (véase la figura 2). Si es independiente de la trayectoria en Dy C es cualquier trayectoria cerrada en D, podemos escoger dos puntos cualesquiera A y Bsobre la curva C y considerar que C está compuesta de la trayectoria C1 desde A hastaB seguida por la trayectoria C2 desde B hasta A (véase la figura 3). Luego

puesto que C1 y �C2 poseen los mismos puntos inicial y terminal.Inversamente, si es cierto que cuando C es una trayectoria cerrada en D,

en tonces se demuestra la independencia de la trayectoria como sigue. Tomamos dos tra-yectorias cualesquiera C1 y C2 desde A hasta B en D y definimos C como la curva queconsiste de C1 seguida de �C2. Entonces

y de este modo . Por tanto, hemos demostrado el teorema siguiente.

Teorema es independiente de la trayectoria en D si y sólo sipara toda trayectoria cerrada C en D.

Puesto que sabemos que la integral de línea de cualquier campo vectorial conservativoF es independiente de la trayectoria, se infiere que para cualquier trayectoriacerrada. La interpretación física es que el trabajo hecho por un campo de fuerzas conservativo(como el campo gravitacional o eléctrico estudiado en la sección 16.1), cuando se desplazaun objeto alrededor de una trayectoria cerrada es 0.

El teorema siguiente establece que los únicos campos vectoriales que son independientesde la trayectoria son conservativos. Está establecido y demostrado para curvas planas, perohay una versión similar para las curvas en el espacio. Si suponemos que D es abierta, loque significa que para todo punto P en D hay un disco con centro P que está totalmenteen D. (De esta manera, D no contiene ninguno de su frontera). Además, supon gamosque D está conexa. Esto quiere decir que dos puntos cualesquiera en D se pueden unirmediante una trayectoria que está en D.

Teorema Supongamos que F es un campo vectorial que es continuo sobre una región conexa abierta D. Si es independiente de la trayectoria en D,entonces F es un campo vectorial conservativo sobre D, es decir, existe unafunción f tal que �f � F.

DEMOSTRACIÓN Sea A(a, b) un punto fijo en D. Construimos la función de potencial fdeseada definiendo

para cualquier punto (x, y) en D. Puesto que es independiente de la trayectoria,no importa qué trayectoria C desde (a, b) hasta (x, y) se recorra para evaluar f (x, y).Como D es abierto, existe un disco que está contenido en D cuyo centro es (x, y). Elijamos cualquier punto (x1, y) en el disco con x1 � x, y sea C que consiste de cualquier trayectoria C1 desde (a, b) hasta (x1, y) seguido por el segmento rectilíneo horizontal C2 desde (x1, y) hasta (x, y) (véase la figura 4). Entonces,

Observemos que la primera de estas integrales no depende de x, de modo que

xC F � dr

yCF � dr � y

C1

F � dr � yC2

F � dr � yC1

F � dr � y�C2

F � dr � 0

xCF � dr � 0

0 � yCF � dr � y

C1

F � dr � y�C2

F � dr � yC1

F � dr � yC2

F � dr

xC1F � dr � xC2

F � dr

xCF � dr � 0

xCF � dr3

xCF � dr � 0

4x

CF � dr

f �x, y� � y�x, y�

�a, b�F � dr

xC F � dr

f �x, y� � yC1

F � dr � yC2

F � dr � y�x1, y�

�a, b�F � dr � y

C2

F � dr

�

�xf �x, y� � 0 �

�

�x yC2

F � dr

FIGURA 2Curva cerrada

C

FIGURA 3

C¡

C™

B

A

FIGURA 4

(a, b)

x0

y

D

(x¡, y)

C¡

C™

(x, y)


Si escribimos F � P i � Q j, entonces

Sobre C2, y es constante, de modo que dy � 0. Usando t como el parámetro, donde, tenemos

de acuerdo con la parte 1 del teorema fundamental del cálculo (véase la sección 5.3). Al utilizar un segmento vertical (véase la figura 5), un razonamiento similar demuestra que

Por tanto,

lo cual establece que F es conservativa.

La pregunta permanece: ¿Cómo es posible determinar si un campo vectorial F es con-servativo? Supongamos que ya se sabe que F � P i � Q j es conservativo, donde P y Qtienen derivadas parciales continuas de primer orden. Entonces, hay una función f talque F � �f, es decir,

y

Por tanto, según el teorema de Clairaut,

Teorema Si F(x, y) � P(x, y) i � Q(x, y) j es un campo vectorial conservati vo,donde P y Q tienen derivadas parciales continuas de primer orden sobre un domi nio D, entonces en la totalidad de D tenemos

El inverso del teorema 5 es válido sólo para un tipo especial de región. Para explicarlonecesitamos primero el concepto de una curva simple, la cual es una curva que no se cortaa sí misma en ninguna parte entre sus puntos extremos. [Véase la figura 6; r(a) � r(b) parauna curva cerrada simple, pero r(t1) � r(t2) cuando a � t1 � t2 � b.]

En el teorema 4 necesitamos una región conexa abierta. En el caso del teorema siguien -te requerimos una condición más rigurosa. Una región simplemente conexa en el plano esuna región conexa D tal que toda curva simple cerrada en D abarca sólo puntos que estánen D. Observe que, según la figura 7, intuitivamente hablando, una región simple menteconexa no contiene agujeros y no puede consistir de dos partes separadas.

En términos de regiones simplemente conexas, podemos ahora enunciar un inverso par-cial del teorema 5 que proporciona un método conveniente para comprobar que el campovectorial sobre �2 es conservativo. La demostración se delinea en la sección siguienteco mo una consecuencia del teorema de Green.

yC2

F � dr � yC2

P dx � Q dy

x1 t x

��

�x yx

x1

P�t, y� dt � P�x, y��

�xf �x, y� �

�

�x yC2

P dx � Q dy

�

�yf �x, y� �

�

�y yC2

P dx � Q dy ��

�y yy

y1

Q�x, t� dt � Q�x, y�

F � P i � Q j ��f

�xi �

�f

�yj � ∇ f

Q ��f

�yP �

�f

�x

�P

�y�

�2 f

�y �x�

�2 f

�x �y�

�Q

�x

5

�P

�y�

�Q

�x

FIGURA 5

(a, b)

x0

y

D

(x, y)

C¡

C™

(x, y¡)

FIGURA 6Tipos de curvas

simple,no cerrada

no simple,no cerrada

no simple,cerrada

simple,cerrada

FIGURA 7

región simplemente conexa

regiones que no son simplemente conexas


C

10

_10

_10 10

FIGURA 8

FIGURA 9

C™C¡

2

_2

_2 2

Teorema Sea F � P i � Q j un campo vectorial sobre una regiónsimplemente conexa D. Supongamos que P y Q tienen derivadas continuasde primer orden y

en toda la región D

Entonces F es conservativo.

Determine si el campo vectorial

F(x, y) � (x � y) i � (x � 2) j

es conservativo o no lo es.

SOLUCIÓN Sea P(x, y) � x � y y Q(x, y) � x � 2. Entonces

Como , F no es conservativo según el teorema 5.

Determine si el siguiente campo vectorial

F(x, y) � (3 � 2xy) i � (x2 � 3y2) j

es conservativo o no.

SOLUCIÓN Sea P(x, y) � 3 � 2xy y Q(x, y) � x2 � 3y2. Entonces

Asimismo, el dominio de F es todo el plano (D � �2), el cual es abierto y simplementeconexo. Por tanto, podemos aplicar el teorema 6 y concluir que F es conservativo.

En el ejemplo 3, el teorema 6 señala que F es conservativo, pero no dice cómo de ter-minar la función f (potencial) tal que F � �f. La demostración del teorema 4 da una pistapara encontrar f. Utilizamos la “integración parcial”, como en el ejemplo siguiente.

a) Si F(x, y) � (3 � 2xy) i � (x2 � 3y2) j, determine una función f tal que F � �f.

b) Evalúe la integral de línea , donde C es la curva definida por

r(t) � et sen t i � et cos t j

SOLUCIÓNa) De acuerdo con el ejemplo 3 sabemos que F es conservativo y, por tanto, existe unafunción f con �f � F, es decir,

fx(x, y) � 3 � 2xy

fy(x, y) � x2 � 3y2

�P

�y�

�Q

�x

EJEMPLO 2v

�Q

�x� 1

�P

�y� �1

�P��y � �Q��x

EJEMPLO 3

�P

�y� 2x �

�Q

�x

EJEMPLO 4

xC F � dr

0 t �

7

6

v

8

En las figuras 8 y 9 se muestran los camposvectoriales de los ejemplos 2 y 3, respectivamente. Los vectores de la figura 8 que inician en la curva cerrada C parecen apuntar aproximadamente en la misma direcciónque C. De este modo se ve como si

entonces F no es conservativo.El cálculo del ejemplo 2 confirma esta impresión.Algunos de los vectores cercanos a las curvasC1 y C2 de la figura 9 apuntan casi en la mismadirección que las curvas, mientras que otrosseñalan la dirección opuesta. Entonces pareceposible que las integrales de línea alrededorde todas las trayectorias cerradas son 0. En elejemplo 3 se demuestra que, en efecto, F esconservativo.

xC F � dr � 0


Al integrar respecto a x, obtenemos

f (x, y) � 3x � x2y � t(y)

Observe que la constante de integración es una constante respecto a x, es decir,una función de y, la cual se llama t( y). Luego derivamos ambos miembros de respecto a y:

fy(x, y) � x2 � t( y)

Comparando y , vemos que

t( y) � �3y2

Si integramos respecto a y, tenemos

t( y) � �y3 � K

donde K es una constante. Al sustituir en tenemos

f (x, y) � 3x � x2y � y3 � K

como la función potencial deseada.

b) Para utilizar el teorema 2, todo lo que tenemos que saber es cuáles son los puntosinicial y terminal de C, a saber, r(0) � (0, 1) y r(p) � (0, �ep). En la expresión paraf(x, y) del inciso a), cualquier valor de la constante K servirá, de modo que seleccionamosK � 0. Luego tenemos

Este método es mucho más corto que el método directo para evaluar las integrales delínea que se tratan en la sección 16.2.

En la sección 16.5 se da un criterio para determinar si el campo vectorial F sobre �3

es conservativo o no. Mientras tanto, el ejemplo siguiente muestra que la técnica parahallar la función potencial es en gran medida la misma que para los campos vectoria lessobre �2.

Si F(x, y, z) � y2 i � (2xy � e3z) j � 3ye3z k, determine una función f talque �f � F.

SOLUCIÓN Si hay tal función f, entonces

fx(x, y, z) � y2

fy(x, y, z) � 2xy � e3z

fz(x, y, z) � 3ye3z

Al integrar respecto a x obtenemos

f (x, y, z) � xy2 � t(y, z)

donde t( y, z) es una constante respecto a x. Luego, al derivar respecto a y, tenemos

fy(x, y, z) � 2xy � ty(y, z)

7

9

9

10

108

9

� e 3� � ��1� � e 3� � 1yCF � dr � y

C� f � dr � f �0, �e� � � f �0, 1�

EJEMPLO 5

11

12

13

11

14

14

v


y la comparación con da

ty(y, z) � e3z

Por tanto, t(y, z) � ye3z � h(z) y reescribimos como

f (x, y, z) � xy2 � ye3z � h(z)

Para terminar, al derivar respecto a z y comparar con , obtenemos h(z) � 0 y, portanto, h(z) � K, una constante. La función deseada es

f (x, y, z) � xy2 � ye3z � K

Se comprueba con facilidad que �f � F.

Conservación de la energíaAplicaremos las ideas de este capítulo a un campo de fuerzas continuo F que hace quese desplace un objeto a lo largo de una trayectoria C definida por r(t), , donder(a) � A es el punto inicial y r(b) � B es el punto terminal de C. De acuerdo con lasegunda ley de Newton del movimiento (véase la sección 13.4), la fuerza F(r(t)) en unpunto sobre C se relaciona con la aceleración a(t) � r�(t) mediante la ecuación

F(r(t)) � mr�(t)

De modo que el trabajo que efectúa la fuerza sobre el objeto es

(teorema 13.2.3, fórmula 4)

(teorema fundamental de cálculo)

Por tanto,

donde v � r es la velocidad.La cantidad , es decir, la mitad de la masa por el cuadrado de la velocidad, se

llama energía cinética del objeto. Por tanto, podemos volver a escribir la ecuación 15como

W � K(B) � K(A)

la cual establece que el trabajo hecho por el campo de fuerzas a lo largo de C es igual alcambio de la energía cinética en los puntos extremos de C.

Supongamos además que F es un campo de fuerzas conservativo, es decir, podemosescribir F � �f. En física, la energía potencial de un objeto en el punto (x, y, z) se definecomo P(x, y, z) � �f (x, y, z), de modo que tenemos F � ��P. Entonces, según el teo-rema 2, tenemos

12

14

13

a t b

� yb

amr��t� � r�t� dtW � y

CF � dr � yb

aF�r�t�� r�t� dt

�m

2 yb

a

d

dt r�t� � r�t�� dt

�m

2 [� r�t� �2]a

b�

m

2 yb

a

d

dt � r�t� �2 dt

�m

2 (� r�b� �2 � � r�a� �2 )

W � 12 m �v�b� �2 �

12 m �v�a� �215

12 m �v�t� �2

16

� P�A� � P�B�� P�r�b�� P�r�a��W � yCF � dr � �y

C�P � dr


9.

10. F(x, y) � (x y cosh � senh xy) i � (x2 cos xy) j

11. La figura muestra un campo vectorial F(x, y) � � 2xy, x2 � ytres curvas que inician en (1, 2) y terminan en (3, 2).a) Explique por qué tiene el mismo valor para las

tres curvas.b) ¿Cuál es este valor común?

12-18 a) Determine una función f tal que F � �f y b) use el incisoa) para evaluar a lo largo de la curva dada C.

12. ,C es el arco de la parábola y � 2x2 de (�1, 2) a (2, 8)

14. ,r(t) � cos t i � 2 sen t j

15. ,C es el segmento rectilíneo de (1, 0, �2) a (4, 6, 3)

F�x, y� � �ln y � 2xy 3� i � �3x 2y 2 � x�y� j

xC F � dr

y

x0 3

3

2

1

21

xC F � dr

F�x, y� � x 2 i � y 2 j

13. ,

, :

F x, y xy 2 i x 2y j

C r t t sen 12 t, t cos 12 t 0 t 1

F�x, y� � �1 � xy�e xy i � x 2e xy j0 t ��2C:

F�x, y, z� � yz i � xz j � �xy � 2z� k

16.3 Ejercicios

Comparando esta ecuación con la ecuación 16, encontramos que

P(A) � K(A) � P(B) � K(B)

la cual establece que si un objeto se mueve desde un punto A hacia un punto B bajo la in -fluencia de un campo de fuerzas conservativo, entonces la suma de su energía potencial yde su energía cinética permanece constante. Este enunciado recibe el nombre de ley de laconservación de la energía, y es la razón de que el campo vectorial se llame conservativo.

1. En la figura se muestra una curva C y un mapa de contorno deuna función f cuyo gradiente es continuo. Encuentre .

2. Se da una tabla de valores de una función f con gra diente continuo. Determine , donde C tiene las ecua cionesparamétricas

3-10 Determine si F es un campo vectorial conservativo o no lo es.Si es así, encuentre una función f tal que F � �f.

3.

4. F(x, y) � ex sen y i � ex cos y j

5. F(x, y) � ex cos y i � ex sen y j

6. F(x, y) � (3x2 � 2y2) i � (4xy � 3) j

7. F(x, y) � (yex � sen y) i � (ex � x cos y) j

8. ,

xC � f � dr

y

x0

10

20

3040

5060

C

xC � f � dr

x � t 2 � 1 y � t 3 � t 0 t 1

1

3

8

6

5

2

4

7

9

xy

0

1

2

0 1 2

F�x, y� � �2x � 3y� i � ��3x � 4y � 8� j

y � 0F�x, y� � �2xy � y�2� i � �x 2 � 2xy�3� j

Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.comSAC


16. ,: , , ,

17. ,: ,

18. F(x, y, z) � sen y i � (x cos y � cos z) j � y sen z k,: r(t) � sen t i � t j � 2t k,

19-20 Demuestre que la integral de línea es independiente de latrayectoria y evalúe la integral.

19. ,

C es cualquier trayectoria desde (1, 0) hasta (2, 1)

20.

C es cualquier trayectoria desde (2, 0) hasta (1, p)

21. Suponga que se le pide determinar la curva que requiere eltrabajo mínimo para que un campo de fuerza F mueva unapartícula de un punto a otro. Usted decide primero verificar si F es conservativo y resulta que lo es. ¿Cómo podría responder a este requerimiento?

22. Suponga que un experimento determina que la cantidad detrabajo requerido para que un campo de fuerza F mueva unapartícula de un punto (1, 2) al punto (5, �3) a lo largo de lacurva C1 es de 1.2 J, y el trabajo realizado por F para moverla partícula a lo largo de otra curva C2 entre los mismos dospuntos es 1.4 J. ¿Qué podría decir en relación con F? ¿Por qué?

23-24 Calcule el trabajo que realiza el campo de fuerza F al desplazar un objeto desde P a Q.

23. ; ,

24. ; ,

25-26 ¿Es conservativo el campo vectorial que se muestra en lafigura? Explique.

25. 26.

27. Si F(x, y) � sen y i � (1 � x cos y) j, use un trazo para intuirsi F es conservativo. A continuación determine si suconjetura es correcta.

F�x, y, z� � �y2z � 2xz2� i � 2xyz j � �xy 2 � 2x 2z� k0 t 1z � t 2y � t � 1x � stC

F�x, y, z� � yze xz i � e xz j � xye xz k0 t 2r�t� � �t 2 � 1� i � �t 2 � 1� j � �t 2 � 2t� kC

0 t ��2C

xC 2xe�y dx � �2y � x 2e�y� dy

, xC sen y dx x cos y sen y dy

Q�2, 4�P�1, 1�F�x, y� � 2y 3�2 i � 3xsy j

Q�2, 0�P�0, 1�F�x, y� � e�y i � xe�y j

y

x

y

x

SAC

28. Sea F � �f, donde f (x, y) � sen (x � 2y). Encuentre curvasC1 y C2 que no son cerradas y satisfacen la ecuación.

a) b)

29. Demuestre que si el campo vectorial F � P i � Q j � R k esconservativo y P, Q y R tienen derivadas parciales continuasde primer orden, entonces

30. Por medio del ejercicio 29, demuestre que la integral de líneano es independiente de la trayectoria.

31-34 Determine si el conjunto dado es o no a) abierto, b) conexo y c) simplemente conexo.

31. 32.

33.

34.

35. Sea .

a) Demuestre que .

b) Demuestre que no es independiente de latrayectoria. [Sugerencia: calcule y ,donde C1 y C2 son las mitades superior e inferior de lacircunferencia x2 � y2 � 1 desde (1, 0) hasta (�1, 0).] ¿Contradice esto al teorema 6?

36. a) Suponga que F es un campo de fuerza dado por unarelación cuadrática inversa, es decir,

para una constante c, donde r � x i � y j � z k.Determine el trabajo que realiza F al mover un objetodesde un punto P1 a lo largo de una trayectoria hasta el punto P2 en términos de las distancias d1 y d2 desde estos puntos al origen.

b) Un ejemplo de un campo cuadrático inverso es el campogravitacional F � �(mMG)r�� r �3 analizado en el ejemplo4 de la sección 16.1. Mediante el inciso a) calcule el trabajo realizado por el campo gravitacional cuando laTierra se mueve desde el afelio (a una distancia máximade 1.52 � 108 km desde el Sol) al perihelio (a unadistancia mínima de 1.47 � 108 km). (Utilice losvalores m � 5.97 � 1024 kg, M � 1.99 � 1030 kg yG � 6.67 � 10�11 N � m2�kg2.)

c) Otro ejemplo de un campo cuadrático inverso es elcampo eléctrico analizado en el ejemplo5 de la sección 16.1. Suponga que un electrón con cargade �1.6 � 10�19 C está en el origen. Una carga unitariapositiva se localiza a una distancia de 10�12 m a partir delelectrón y se desplaza a una posición a la mitad de esadistancia desde el electrón. Con el inciso a) determine eltrabajo que efectúa el campo eléctrico. (Use el valor

.)

yC1

F � dr � 0 yC2

F � dr � 1

�P

�y�

�Q

�x

�P

�z�

�R

�x

�Q

�z�

�R

�y

xC y dx � x dy � xyz dz

��x, y� � 0 � y � 3� ��x, y� � 1 � � x � � 2�

��x, y� � 1 x 2 � y 2 4, y � 0�

��x, y� � �x, y� � �2, 3��

F�x, y� ��y i � x j

x 2 � y 2

�P��y � �Q��x

xC F � drxC1

F � dr xC2F � dr

F�r� �cr

� r �3

F � �qQr�� r �3

� � 8.985 � 10 9


El teorema de Green establece la relación entre una integral de línea alrededor de unacurva simple cerrada C y una integral doble sobre la región plana D acotada por C (véasela figura 1. Supongamos que D consiste de todos los puntos dentro de C, así como de todoslos puntos sobre C.) En el planteamiento del teorema de Green se usa la convención de quela orientación positiva de una curva simple cerrada C se refiere a un re corrido sencillo deC en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. Por tanto, si C está definida por lafunción vectorial , , entonces la región D está siempre a la izquierda cuandoel punto r(t) recorre C (véase la figura 2).

Teorema de Green Sea C una curva simple cerrada, suave por tramos con orientaciónpositiva en el plano, y sea D la región que delimita C. Si P y Q tienen derivadasparciales continuas sobre una región abierta que contiene a D, entonces

NOTA Algunas veces, la notación

o bien, gC

se usa para señalar que la integral de línea se calcula usando la orientación positiva de lacur va cerrada C. Otra notación para la curva cota o frontera con orientación positiva deD es �D, de modo que la ecuación en el teorema de Green se puede escribir como

El teorema de Green se debe considerar como el equivalente del teorema fundamentaldel cálculo para las integrales dobles. Compare la ecuación 1 con el enunciado del teore -ma fundamental del cálculo, parte 2, en la ecuación siguiente:

En ambos casos hay una integral que involucra las derivadas ( , , y ) en elpri mer miembro de la ecuación. Además, en ambos casos el segundo miembro comprendelos valores de las funciones originales (F, Q y P) sólo en la frontera del dominio. (En elcaso unidimensional, el dominio es un intervalo [a, b] cuya frontera consiste en únicamentedos puntos, a y b).

FIGURA 2 a) Orientación positiva

y

x0

D

C

b) Orientación negativa

y

x0

D

C

y�� yy

�

��

��

��

��

�y��

1 yy�

��

��

��

�� y��

y��

r� � �

� ��

16.4 Teorema de Green

FIGURA 1

y

x0

D

C

Recuerde que el primer miembro de estaecuación es otra forma de escribir ,donde .F � � i � � j

x�F � �r

SECCIÓN 16.4 TEOREMA DE GREEN 1085

El teorema de Green no es fácil de demostrar en general, pero es posible dar una demos-tración del caso especial donde la región es tanto del tipo I como del tipo II (véase la sección15.3). Llamaremos a dichas regiones regiones simples.

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE GREEN PARA EL CASO EN EL QUE ES UNA REGIÓN SIMPLEObserve que el teorema de Green estará demostrado si podemos demostrar que

y

Demostraremos la ecuación 2 expresando D como una región del tipo I:

donde t1 y t2 son funciones continuas. Esto nos permite calcular la integral dobledel segundo miembro de la ecuación 2 como sigue:

donde del último paso se infiere del teorema fundamental del cálculo.Ahora calculamos el primer miembro de la ecuación 2 descomponiendo C como la

unión de cuatro curvas Cl, C2, C3 y C4 mostradas en la figura 3. Sobre Cl tomamos x comoel parámetro y escribimos las ecuaciones paramétricas cuando , ,

. Por tanto,

Observe que C3 va de derecha a izquierda, pero �C3 va de izquierda a derecha, de modo que escribimos las ecuaciones paramétricas de �C3 como x � x, y � t2(x),

. Por tanto,

Sobre C2 o C4 (cualquiera de las cuales se podría reducir a sólo un punto), x es constante,de modo que dx � 0 y

De aquí que

y�� yy

�

��

��2

y�� yy

�

��

��3

� � ��, �� , t1�� t2��

� y�

��, t2�� , t1�� yy�

��

�� y

�yt2��

t1��

��

��, �� 4

y�1

��, �� y��, t1��

y�3

��, �� y��3

��, �� y��, t2��

y�2

��, �� 0 � y�4

��, ��

y��, �� y

�1

��, �� y�2

��, �� y�3

��, �� y�4

��, ��

� y��, t1�� y

��, t2��

D

� � � � � t1��

� �

George Green

El teorema de Green recibe este nombre enhonor del científico inglés autodidacta GeorgeGreen (1793-1841). Trabajó de tiempo completoen la panadería de su padre desde que tenía9 años, y aprendió matemáticas en formaautodidacta en libros de la biblioteca. En 1828publicó en forma privada An Essay on the Application of Mathema tical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism, pero sólose imprimieron 100 ejem plares, y la mayoría de ellos fueron para sus amigos. Este librito contenía un teorema que es equivalente al quese conoce como teorema de Green, pero no se conoció ampliamente en ese tiempo. Porfin, cuando Green tenía 40 años, ingresó a la Universidad de Cambridge, pero murió cuatroaños después de su graduación. En 1846,William Thomson, Lord Kelvin, encontró un ejemplar del trabajo de Green, se dio cuenta desu importancia y lo hizo reimprimir. Green fue laprimera persona en intentar formular una teoríamatemática de la electricidad y el magnetismo.Su trabajo es la base de las teorías posterioresde Thomson, Stokes, Rayleigh y Maxwell.

FIGURA 3

y

x0 a b

D

C¡

y=g™(x)

y=g¡(x)

C™

C£

C¢


Al comparar esta expresión con la de la ecuación 4, vemos que

La ecuación 3 se puede demostrar casi de la misma manera al expresar a D como unaregión del tipo II (véase el ejercicio 30). A continuación, al sumar las ecuaciones 2 y 3,obtenemos el teorema de Green.

Evalúe , donde C es la curva triangular que consiste de lossegmentos rectilíneos de (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1) y de (0, 1) a (0, 0).

SOLUCIÓN Aunque la integral de línea dada se podría evaluar como se acostumbramedian te los métodos de la sección 16.2, eso significaría plantear tres integralesseparadas a lo largo de los tres lados del triángulo, de modo que en lugar de esoaplicaremos el teorema de Green. Observe que la región D encerrada por C es simple yC sigue una orientación po sitiva (véase la figura 4). Si hacemos P(x, y) � x4 y Q(x, y) � xy,entonces tenemos

Evalúe dy, donde C es la circunferencia x 2 � y 2 � 9.

SOLUCIÓN La región D acotada por C es el disco x2 � y2 9, de modo que cambiemos acoordenadas polares después de aplicar el teorema de Green:

En los ejemplos 1 y 2 parece que es más fácil evaluar la integral doble que la integralde línea. (¡Trate de plantear la integral de línea del ejemplo 2, y pronto se convencerá!)Pero al gunas veces es más fácil evaluar la integral de línea, y utilizar el teorema de Greenen la dirección inversa. Por ejemplo, si sabemos que P(x, y) � Q(x, y) � 0 sobre la curvaC, entonces el teorema de Green da

no importa qué valores tomen P y Q en la región D.Otra aplicación de la dirección inversa del teorema de Green es para calcular áreas.

Como el área de D es , seleccionamos P y Q tales que

y��, �� yy

�

��

��

x�� 4 �� EJEMPLO 1

y�� 4 �� yy

�

��

��

��

�� y1

0y1��

0�� 0� ��

� y1

0[ 1

2�2 ]��0��1��

�� 12 y1

0�1 � ��2 ��

� �16 �1 � ��3 ]0

1� 1

6

EJEMPLO 2v

yC

3y e sen x dx (7x sy 4 1) dy

yyD

x(7x sy 4 1)

y3y e sen x dA

4 y2

0d y3

0r dr 36y2

0y3

07 3 r dr d

yy�

��

��

��

�� y�� 0

xx� 1 ��

��

��

��

�� 1

xC 3y e sen x dx (7x sy 4 1)

FIGURA 4

y

x

C

(1, 0)(0, 0)

(0, 1) y=1-x

D

En lugar de utilizar coordenadas polares,podríamos usar simplemente el hecho de que es un disco de radio 3 y escribimos

yy�

4 �� 4 � ��3�2 � 36�

�


Hay varias posibilidades:

Entonces el teorema de Green da las fórmulas siguientes para el área de D:

Determine el área delimitada por la elipse .

SOLUCIÓN Las ecuaciones paramétricas de la elipse son x � a cos t y y � b sen t, donde. Al aplicar la tercera fórmula de la ecuación 5, tenemos

La fórmula 5 se puede utilizar para explicar cómo funcionan los planímetros. Un pla-nímetro es un instrumento mecánico que se emplea para medir el área de una región altrazar su curva frontera. Estos aparatos son útiles en todas las ciencias: en biología paramedir el área de hojas o alas, en medicina para medir el tamaño de secciones transversa-les de órganos o tumores, en bosques para estimar el tamaño de regiones pobladas de árbolesa partir de fotografías.

La figura 5 muestra la operación de un planímetro polar: el polo se fija y, cuando el tra-zador se mueve a lo largo de la curva frontera de la región, la rueda se desliza parcialmentey rueda también parcialmente en forma perpendicular al brazo trazador. El planímetromide la distancia que la rueda gira y ésta es proporcional al área encerrada. La explicacióncomo una consecuencia de la fórmula 5 se puede hallar en los siguientes artículos:

■ R. W. Gatterman, “The planimeter as an example of Green’s Theorem”, Amer.Math. Monthly, vol. 88 (1981), pp. 701-704.

■ Tanya Leise, “As the planimeter wheel turns”, College Math, Journal, vol. 38.(2007), pp. 24-31.

Versiones extendidas del teorema de GreenAunque hemos demostrado el teorema de Green sólo para el caso donde D es simple, yapodemos generalizarlo al caso donde D es una unión finita de regiones simples. Por ejem-plo, si D es la región mostrada en la figura 6, entonces podemos escribir D � D1 � D2,donde D1 y D2 también son simples. La frontera de D1 es C1 � C3 y la frontera de D2 es C2 � (�C3), por lo que, al aplicar el teorema de Green para D1 y D2 por separado, obtenemos

��, �� 12 ��, �� , �� 0

��, �� 12 ��, �� 0��, ��

� �y�� y

�� 1

2 �y�� 5

� 2

� 2 �� 2

2 � 1EJEMPLO 3

0 2�

A 12 y

Cx dy y dx

12 y

0 a cos t b cos t dt b sen t a sen t dt

ab

2 y2p

2p

0dt pab

y�1��3

� �� yy�1

��

��

��

�� y�2��3 �

� �� yy�2

��

��

��

�� FIGURA 6

C¡

_C£C£

C™D¡ D™

Planímetro polar Keuffel & Esser

2

4

0 10

43 5

9 8

7

70

56

Pivote

RuedaBrazo polar

Brazo trazador

Trazador

FIGURA 5

Polo


Si sumamos estas dos ecuaciones, las integrales de línea a lo largo de C3 y �C3 se can-celan, de modo que

que es el teorema de Green para D � D1 � D2, puesto que su frontera es C � C1 � C2.El mismo tipo de razonamiento permite establecer el teorema de Green para cualquier

unión finita de regiones simples que no se traslapan (véase la figura 7).

Evalúe , donde C es la frontera de la región semianularD entre las circunferencias x2 � y2 � 1 y x2 � y2 � 4 en el semiplano superior.

SOLUCIÓN Observe que aunque D no es simple, el eje y la divide en dos regiones simples(véase la figura 8). En coordenadas polares podemos escribir

Por tanto, el teorema de Green da

El teorema de Green se puede generalizar para aplicarlo a regiones con agujeros, esdecir, regiones que no son simplemente conexas. Observe que la frontera C de la región D de la figura 9 consiste en dos curvas simples cerradas C1 y C2. Supongamos que estascurvas frontera están orientadas de tal modo que la región D siempre está a la izquierdacuando se recorre la curva C. Por tanto, la dirección positiva es contraria a la de las mane-cillas del reloj en el caso de la curva exterior C1, pero en el sentido de las mane cillas delreloj en el caso de la curva interior C2. Si dividimos D en dos regiones D y D � por mediode las líneas mostradas en la figura 10 y luego aplicamos el teorema de Green a D y D �,obtenemos

Como las integrales de línea a lo largo de las rectas frontera comunes siguen direccionesopuestas, se cancelan y entonces

lo cual es el teorema de Green para la región D.

Si , demuestre que paratoda trayectoria simple, cerrada, orientada positivamente y que encierra el origen.

SOLUCIÓN Como C es una trayectoria cerrada arbitraria que encierra el origen, es difícilcalcular en forma directa la integral dada. De modo que consideremos una circunferencia

y�1��2

� �� yy�

��

��

��

��

�x� � 2 �� 3�� EJEMPLO 4v

� � ��, �� 1 � 2, 0 � ��

yCy 2 dx 3xy dy yy

Dx

3xyyy 2 dA

yyD

y dA y0y2

1r sen r dr d

y0

sen d y2

1r 2 dr [ cos ]0 [ 1

3 r3 ]1

2 14

3

yy�

��

��

��

�� yy�

� ��

��

��

�� yy��

� ��

��

��

�� y

�� y

��

yy�

��

��

��

�� y�1

� �� y�2

� �� y��

x�F � �r � 2�F��, �� i � � j�� 2 � � 2 �EJEMPLO 5v

FIGURA 7

C

FIGURA 8

0

y

x

C

≈+¥=4

≈+¥=1

D

FIGURA 9

D

C™

C¡

FIGURA 10

Dª

Dªª


C orientada en el sentido contrario al de las manecillas del reloj con centro en el origen yradio a, donde a se escoge de tal manera que sea tan pequeño que C quede dentro de C(véase la figura 11). Sea D la región acotada por C y C. Entonces su frontera orientadapositivamente es y de este modo la versión general del teorema de Green da

Por tanto,

es decir,

Ahora calculamos con facilidad esta última integral usando la parametrización definidapor r(t) � a cos t i � a sen t j, . Por tanto,

Esta sección finaliza con la aplicación del teorema de Green para analizar un resultadoal que se llegó en la sección anterior.

ESBOZO DE LA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 16.3.6 Supongamos que F � P i � Q j esun campo vectorial sobre una región D abierta simplemente conexa, que P y Q tienenderivadas parciales continuas de primer orden y que

en toda región D

Si C es cualquier trayectoria simple cerrada en D y R es la región que encierra C,entonces el teorema de Green da

Una curva que no es simple se cruza a sí misma en uno o más puntos y se puededescomponer en varias curvas simples. Ya demostramos que las integrales de línea de Falrededor de estas curvas simples son 0 y, al sumar las integrales, observamos que

para cualquier curva cerrada C. Por tanto, es independientede la trayectoria en D según el teorema 16.3.3. Se infiere que F es un campo vectorialconservativo.

y�� y

�� yy

�

� ��

��

��

�� yy

�

� � 2 � � 2

�� 2 � � 2 �2 �� 2 � � 2

�� 2 � � 2 �2� � � 0

y�� y

��

y�F � �r � y

�F � �r

��

��

��

��

�y�F � �r � �y

�� yy

�

��

��

��

�� yy�

0 � � 0

x� F � �r � 0 x� F � �r

yCF dr y

CF dr y2

0F r t r t dt

y2

0

a sen t a sen t a cos t a cos t

a 2 cos2 t a 2 sen2 tdt y2

0dt 2

� � ��

0 2�

FIGURA 11

y

xD

C

Cª

1-4 Evalúe la integral de línea mediante dos métodos:a) directa mente y b) utilizando el teorema de Green.

1. ,C es la circunferencia con centro en el origen y radio 2�x� ��

2. , C es el rectángulo con vértices (0, 0), (3, 0), (3, 1) y (0, 1).

3. ,C es el triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 2)

�x� �� 2 ��

�x� �� 2� 3 ��

16.4 Ejercicios

; Se requiere calculadora graficadora o computadora Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.comSAC


4. , C consiste del arco de la parábola y � x2 de (0, 0) a (1, 1) y los segmentos de recta de (1, 1)a (0, 1) y de (0, 1) a (0, 0)

5-10 Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea alo largo de la curva dada con orientación positiva.

5. ,C es el triángulo con vértices (0, 0), (2, 2) y (2,4).

6.C es el rectángulo con vértices (0, 0), (5,0), (5, 2), y (0, 2)

7. ,C es la frontera de la región encerrada por las parábolas y � x2 y x � y2

8. , C es la elipse x2 � 2y2 � 2

9. , C es la circunferencia x2 � y2 � 4

10. , C es la frontera de la regiónentre las circunferencias x2 � y2 � 4 y x2 � y2 � 9

11-14 Utilice el teorema de Green para evaluar .(Compruebe la orientación de la curva antes de aplicar elteorema.)

11. F(x, y) � �y cos x � xy sen x, xy � x cos x �, C es el triángulo de (0, 0) a (0, 4) a (2, 0) a (0, 0)

12. , C consiste en el arco de lacurva y � cos x desde (�p�2, 0) hasta (p�2, 0) y el segmentorectilíneo desde (p�2, 0) hasta (�p�2, 0)

13. F (x, y) � �y � cos y, x sen y�, C es la circunferencia (x � 3)2 � (y � 4)2 � 4 orientadaen el sentido de las manecillas del reloj

14. , C es el triángulo de (0, 0)a (1, 1) a (0, 1) a (0, 0)

15-16 Verifique el teorema de Green usando un sistema algebraico computarizado para evaluar la integral de línea y la integral doble.

15. , ,C consiste del segmento de recta de (�1, 1) a (1, 1) seguidopor el arco de la parábola y � 2 � x2 de (1, 1) a (�1, 1)

16. , ,C es la elipse 4x2 � y2 � 4

17. Utilice el teorema de Green para encontrar el trabajo querealiza la fuerza al desplazaruna partícula desde el origen a lo largo del eje x hasta (1, 0),luego a lo largo del segmento rectilíneo hasta (0, 1) y despuésregresa al origen por el eje y.

18. Una partícula que parte del punto (�2, 0) se mueve por eleje x hasta (2, 0) y luego por la semicircunferenciahasta el punto de inicio. Utilice el teorema de Green paracalcular el trabajo sobre esta partícula que hace el campode fuerza F(x, y) � �x, x3 � 3xy2�.

�x�� 2� 2 ��

x�� 2 �� 2� 2� ��

x� (� � �s� )�� 2� � cos � 2 ��

x�� 4 �� 2�� 3 ��

x�� 3 �� 3 ��

x� �1 � � 3� �� 3 � � �2

� ��

x� F � �r

F��, �� 2, �� 2 �

F��, �� s� 2 � 1, tan�1 � �

SAC

��, �� 2� ��, �� 2� �

��, �� 3� 8��, �� 2� � � 3� 5

F��, �� i � �� 2 j

,xC

cos y dx x 2 sen y dy

y s4 x 2 y s4 x 2

19. Con una de las fórmulas de determine el área bajo un arcodel cicloide x � t � sen t, y � 1 � cos t.

; 20. Si una circunferencia C de radio 1 gira por el exterior de lacircunferencia x2 � y2 � 16, un punto fijo P sobre C dibujauna curva llamada epicicloide cuyas ecuaciones paramétricasson x � 5 cos t � cos 5t, y � 5 sen t � sen 5t. Trace elepicicloide y con calcule el área que encierra.

21. a) Si C es el segmento rectilíneo que une el punto (x1, y1) conel punto (x2, y2), demuestre que

b) Si los vértices de un polígono, en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, son ,, demuestre que el área del polígono es

c) Calcule el área del pentágono cuyos vértices son (0, 0),(2, 1), (1, 3), (0, 2) y (�1, 1).

22. Sea D una región acotada por una trayectoria C simple cerrada enel plano xy. Mediante el teorema de Green, demuestre que lascoordenadas del centroide de D son

donde A es el área de D.

23. Use el ejercicio 22 para hallar el centroide de una región decuarto de círculo de radio a.

24. Use el ejercicio 22 para hallar el centroide del triángulo convértices (0, 0) (a, 0) y (a, b), donde a � 0 y b � 0.

25. Una lámina plana de densidad constante r(x, y) � r ocupa una región en el plano xy acotada por una trayectoria Csimple ce rrada. Demuestre que sus momentos de inerciarespecto a los ejes son

26. Por medio del ejercicio 25, determine el momento de inercia deun disco circular de radio a con densidad constante rres pecto al diámetro. (Compare con el ejemplo 4 de lasección 15.5.)

27. Utilice el método del ejemplo 5 para calcular , donde

y C es cualquier curva cerrada positivamente orientada queencierra al origen.

28. Determine , donde y es la curva cerrada positivamente orientada de una región D

que tiene área 6.

29. Si es el campo vectorial del ejemplo 5, demuestreque para toda trayectoria simple cerrada queno pase por el origen o que lo encierre.

5

5

y�� 1�2 � �2 �1

�� , �� 2, �2 �, . . . , ��1, �1 �

� 12 ��1�2 � �2�1 � � ��2�3 � �3�2 � �

� � ��1�� 1 � � ��1 � �1��

��, � �

� � �1

2�y�� 2 ��

1

2�y�� 2 ��

��

3 �y�� 3 ��

�

3 �y�� 3 ��

x�F � �r

F��, �� 2�� i � �� 2 � � 2� j

�� 2 � � 2�2

F��, �� 2 � �, 3� � � 2 �x� F � �r�

Fx�F � �r � 0

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