DEFINICION DE LOGARITMOS

a = bx log b a = x

Propiedades de los logarítmos:

Ejemplos

1. log 2 8 = 3 si 2 3 = 8

2. log 3 1/9 = -2 si 3 -2 = 1/9

3. log 10 1000 = 3 si 103 = 1000

4. 53 = 125 si log5 125 = 3

5. 4 1/2

= 2 si log42 = 1/2

6. 10-2 = 1/100 si log10 1/100 = -2

Cuando en una expresión logarítmica no se escribe la base, entendemos que la base es diez.

Ejemplo

Si , entonces x = 2, porque la base es diez y tenemos

Llamamos logarítmo natural , , a un logaritmo cuya base es e ( e 2.71828).

Ejemplo Si ln 2.718 = x entonces x =.99998, porque la base es e,

FÓRMULA PARA EL CAMBIO DE BASE

Si u > 0 y si a y b son números reales positivos distinto

de uno, entonces

Ejemplo

nb

b

n

b

b

b

log

01log

1log

x100log 100102

ln

ee 1

b

u=u

a

a

blog

loglog 322.2

log

log5log

2

5

2

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Leyes de los logarítmos:

Sean M y N valores positivos,

, entonces:

Simplifica las siguientes expresiones

expresándolas en término de un solo logaritmo de

ser posible.

1. log b ( x+1) - log b (x+2)

2. log b x + 2 log b (x-1)

3. log b (x-1) + log b 3 - log b (x+1)

4. 2logb(x-3) + logb (5x) – logb(x)

I

II

III

1. log 8 (x-6) + log 8 (x+6) = 2

#1 Utilizamos la propiedad de la multiplicación

#2 Expandimos el argumento del logaritmo

#3 Utilizar la definición de logaritmos

#4 Resolver la ecuación

#5 IMPORTANTE Por definición el argumento de

un logaritmo debe ser positivo, por lo tanto

verificamos las respuestas en el logaritmo

correspondiente y la solución serán los valores que

cumplan con la definición

es solución de la ecuación

no es Solución de la ecuación

2. log ( x 3

- 1 ) - log (x2 + x + 1 ) = 1

4. log 2 4 = 0

x - 2

3. log 3 2x - log 3 (x + 5 ) = 0

5. log x + log 5 = 2

ECUACIONES EXPONENCIALES QUE SE RESUELVEN CON LOGARITMOS

.10 byb

NMMN bbb logloglog

NMN

Mbbb logloglog

NkN b

k

b loglog

2)]6)(6[(log 8 xx

36)6)(6( 2 xxx

6436

368

2)36(log

2

22

2

8

x

x

x

10,10

100

100

6436

2

2

xx

x

x

x

0)610()6(

0)610()6(

,10

2)6(log)6(log 88

x

x

xsi

xx

10x

0)610()6(

0)610()6(

,10

x

x

xsi

10x

Aquellas ecuaciones exponenciales que no se pueda expresar en términos de bases iguales, se utilizan los logaritmos y

sus propiedades para hallar la solución.

EJEMPLO 1

1. Aplica la

definición de logaritmo.

2. Se evalúa el logaritmo usando la fórmula de cambio de base.

EJEMPLO 2

1. Aplica la

definición de logaritmo.

2. Aplica la propiedad del exponente.

3. Despejar para la variable

4. Se evalúa el

logaritmo usando la fórmula de cambio de base.

EJEMPLO 3

1. Aplica

logaritmo a ambos lados de la ecuación.

2. Aplica la propiedad del exponente.

3. Despeja para la variable

Reúne los logaritmos a un lado de la ecuación y al otro lado los términos con la variable.

Se evalúan los logaritmos

PRÁCTICA PARA DISCUTIR EN CLASE

Evalúa

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Resuelve para x

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

56.248.

23.1

3log

17log

17log

173

3

x

x

x

x

23.

277.1

48.

85.2

3log

7log

3log

3log)2(

7log3log)2(

7log3log

73

2

2

x

x

x

x

x

x

x

1432 85 xx

1432 8log5log xx

8log)14(5log)32( xx

5log

8log)14(

5log

5log)32(

xx

5log)14(

8log)14(

)14(

32

x

x

x

x

52.117.2

29.3

29.317.2

229.117.53

29.117.532

)14(29.132

29.114

32

5log

8log

14

32

x

x

xx

xx

xx

x

x

x

x

17

8 8log

9log 9

87log104lne

3log192log 94

50log

5log 2 x

xe 4ln145 xx

3423 x

5log 2 x

20log)1(loglog 555 xx

1)3log(log xx

x 5

33 2log5log

1)3log(log xx