2. LENGUAJE ALGEBRAICO.

2.1. Definición de Álgebra.

2.2. Notación algebraica (lenguaje algebraico).

2.3. Signos algebraicos de operación, de relación y de

agrupación.

2.4. Término algebraico y sus partes.

2.5. Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó no

semejantes.

2.6. Clasificación de las expresiones algebraicas por su

número de términos.

2.7. Grado de una expresión algebraica.

2.8. Ordenamiento de una expresión algebraica.

2.9. Valor numérico de una expresión algebraica.

2.1 DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA

Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos

de medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy

posterior puesto que debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre

llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El

gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los

matemáticos árabes y, muy en particular, a Al-Hwarizmi (Siglo IX d.C.), que

sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día.

El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar

todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.

El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético,

puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante

números que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se

representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les

asigne.

2.2. NOTACIÓN ALGEBRAICA

Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden se

de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para

representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas.

Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas

como desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan

utilizando las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…, mientras que las

cantidades desconocidas se representan utilizando las últimas letras del

alfabeto: x, y, z…

Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por

medio de comillas; por ejemplo a’, a’’, a’’’ que se leen a prima, a segunda, a

tercera, o también por medio de subíndices: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a

subdos, a subtres.

Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.

SIGNOS ALGEBRAICOS DE OPERACIÓN, DE RELACIÓN Y DE AGRUPACIÓN

Con las cantidades algebraicas se efectúan las mismas operaciones que con las

aritméticas, es decir: suma o adición, resta, multiplicación o producto, división,

potenciación, radicación, logaritmación, etc.

SIGNOS DE OPERACIÓN

En la suma se utiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá

“equis más ye”.

En la resta se utiliza el signo (-). Así, por ejemplo x-y se leerá “equis

menos ye”.

En la multiplicación se utiliza el símbolo multiplicado por (x) ó ().

Así, por ejemplo x x y = xy se leerá “equis multiplicado por ye”. El signo

suele omitirse cuando los factores están indicados por letras o bien por

letras y números.

Por ejemplo x x y x z = xyz = xyz

En la división se utiliza el signo dividido entre (:)() ó (/). Así, por

ejemplo x:y = x/y = xy y se leerá “equis dividido entre ye”.

En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente

que se sitúa arriba y a la derecha de una cantidad llamada base por sí

misma. Así, por ejemplo x4= xxxx… (4 veces) y se leerá “equis elevado a la

ye”. En el caso de que una letra no lleve exponente se sobreentiende que

el exponente es uno.

En la radicación se utiliza el signo radical ( ), debajo del cual se

coloca la cantidad a la que se le extrae la raíz. Así, por , se leerá “raíz

cuadrada de equis”; “raíz cúbica de equis” y así sucesivamente.

SIGNOS DE RELACIÓN

Los signos de relación se utilizan para indicar la relación que hay entre dos

cantidades.

El signo = se lee igual a. x=y se leerá “equis igual a ye”.

El signo se lee diferente de. xy se leerá “equis diferente de ye”.

El signo > se lee mayor que. x>y se leerá “equis mayor que ye”.

El signo < se lee menor que. x<y se leerá “equis menor que ye”.

El signo se lee mayor que o igual.

El signo se lee menor que o igual.

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación más utilizados son: los paréntesis ( ), los corchetes [ ]

y las llaves { }. Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en

su interior debe efectuarse en primer lugar.

TÉRMINO ALGEBRAICO Y SUS PARTES

Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas

por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.

En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el

coeficiente, la parte literal y el grado.

Signo

Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en

tanto los términos que van precedidos del signo – se llaman términos

negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante de los términos

positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún signo se

sobreentiende de que es positivo.

Coeficiente

Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad

para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad

debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya

precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la

unidad.

Parte literal

La parte literal está formada por las letras que haya en el término.

Grado

El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra.

Así, por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de

segundo grado con respecto a y y de primer grado con respecto a x.

2.5 CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS; SEMEJANTES Ó NO SEMEJANTES.

Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se

llaman términos semejantes.

y son términos semejantes.

y son términos semejantes.

y no son términos semejantes.

y no son términos semejantes.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en

reemplazar varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de

términos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes:

a) Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los

coeficientes anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los

términos y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo

Reducir las siguientes expresiones

b) Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan

los coeficientes anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a

continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo

Reducir las siguientes expresiones

c) Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se

reducen todos los términos positivos a un solo término y todos lo

términos negativos a un solo término y se restan los coeficientes de los

términos así obtenidos anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y

a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo

Reducir 5a -8a +a -6a + 21a

Reduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27a

Reduciendo los negativos: -8a -6a = -14a

Aplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso anterior, se

tiene 27a -14a =13a

Tendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13a

Ejemplo

Reducir

Reduciendo los positivos:

Reduciendo los negativos:

Tendremos:

CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS; SEMEJANTES Ó NO SEMEJANTES.

Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se

llaman términos semejantes.

y son términos semejantes.

y son términos semejantes.

y no son términos semejantes.

y no son términos semejantes.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en

reemplazar varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de

términos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes:

a) Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los

coeficientes anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los

términos y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo

Reducir las siguientes expresiones

b) Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan

los coeficientes anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a

continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo

Reducir las siguientes expresiones

c) Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se

reducen todos los términos positivos a un solo término y todos lo

términos negativos a un solo término y se restan los coeficientes de los

términos así obtenidos anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y

a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo

Reducir 5a -8a +a -6a + 21a

Reduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27a

Reduciendo los negativos: -8a -6a = -14a

Aplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso anterior, se

tiene 27a -14a =13a

Tendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13a

Ejemplo

Reducir

Reduciendo los positivos:

Reduciendo los negativos:

Tendremos:

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS POR SU NÚMERO DE TÉRMINOS.

Monomios: Son aquellos que constan de un solo término, en la que números y

letras están ligadas por la operación multiplicar.

Polinomios: Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la

suma algebraica de dos o más monomios. 2a+b, 3x2-5y+z, 2x3-7x2-3x+8

a) Binomio.- Polinomio de dos términos: 5x2-3y2, u +at, 4a2b +x2y6,

b) Trinomio.- Polinomio de tres términos: x+y+z, 2ab-3a2+5b2, m-2n-8

Término nulo: Si el coeficiente de un término es cero, se tiene un término cuyo

valor absoluto es cero o nulo. (0)x2y = 0 (0)a2 = 0

GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

El exponente de mayor orden de la variable se conoce como grado del

polinomio. Para encontrar el grado de un polinomio, basta examinar cada

término y hallar el exponente de mayor orden de la variable. Por lo tanto, el

grado de 3x2 + 5x4 - 2 se halla examinando el exponente de la variable en cada

término.

El exponente en 3x2 es 2

El exponente en 5x4 es 4

El exponente en -2 es 0, porque -2=-2x0 (x0=1)

Entonces el grado de es 4, el exponente de mayor orden de la

variable en el polinomio.

De manera semejante, el grado de es 5, puesto que 5 es el

exponente de mayor orden de una variable presente en el polinomio.

Por convención, un número como -4 o 7 se conoce como polinomio de grado 0,

porque si a0, a=ax°.

El grado de un polinomio puede ser “absoluto” o “relativo” a una literal.

Grado absoluto: El grado absoluto de un polinomio se determina por el

exponente mayor, de uno de sus términos.

El grado absoluto es cuatro.

El grado absoluto es sexto.

El grado absoluto es quinto.

Grado relativo a una literal: El grado relativo de un polinomio con respecto a

una literal, es el mayor exponente que tiene la literal que se considere del

polinomio.

El grado con relación a x es séptimo, de quinto grado con

relación a y.

El grado con relación a a es tres, de segundo grado con

relación a b.

Polinomio cero

El mismo número 0 se conoce como polinomio cero y no se le asigna grado. Se

hace notar que 0x4=0, 0x2=0, 0x3=0, y así sucesivamente de modo que los

polinomios cero no pueden tener grado.

ORDENAMIENTO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra cuando los

exponentes de una letra determinada van aumentando o disminuyendo desde

el primero hasta el último con respecto a la letra considerada, que recibe el

nombre de letra ordenatriz. Esto simplifica muchas veces las operaciones con

polinomios.

Así, por ejemplo, el polinomio está ordenado en orden

ascendente con respecto a la letra ordenatriz y y está ordenado en orden

descendente con respecto a la letra ordenatriz x.

Ejemplo

Escribir en orden ascendente el polinomio

SOLUCIÓN: Ordenamos los términos de menor a mayor según su grado, así:

Ejemplo

Ordenar el polinomio x5 –x7 +x4 –x6 en orden descendente con respecto a la

letra x

SOLUCIÓN: Deberíamos escribirlo así: –x7 –x6 +x5 +x4

Ejemplo

Escribir en orden descendente el polinomio

, con respecto a cada una de las variables.

SOLUCIÓN: Debemos ordenar los términos del polinomio de mayor a menor

respecto a cada variable.

Respecto a la variable w tenemos:

Respecto a la variable z tenemos:

Así pues, ordenar un polinomio consiste en escribir todos sus términos en un

orden tal que los exponentes de una misma letra, llamada ordenatriz, vayan

disminuyendo o aumentando desde el primer término hasta el último.

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

La evaluación de expresiones algebraicas, es el proceso que consiste en

sustituir los valores numéricos asignados para las literales de una expresión

algebraica y que al efectuar las operaciones indicadas se obtiene la evaluación

correspondiente.

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

1. Se efectúa toda operación que se encuentre entre paréntesis o arriba o

debajo de una raya de fracción.

2. Se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el

orden que se presenten de izquierda a derecha.

3. Se efectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha.

Ejemplo

Resuelve 2a2bc3, cuando a=2, b=3 y c=1

2(2)2(3)(1)3 = 2(4)(3)(1) = 24

Ejemplo

Evaluar , cuando b=8 y x=2

Ejemplo

Evaluar cuando a=1, b=2, y=4 y x=3.

Ejemplo

Resuelve para x=3.

Ejemplo

Resuelve para x=2 y=3.

Ejemplo

Evaluar cuando w = -4.2 z = 3.6

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS CON

COEFICIENTES ENTEROS Y FRACCIONARIOS.

SUMA

La suma de monomios y polinomios es asunto de combinar términos semejantes.

E J E M P L O :

Supongamos que se desea sumar y ; es decir deseamos

encontrar

Al aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva podemos escribir:

E J E M P L O :

De manera semejante, la suma de y , se escribe

como:

E J E M P L O :

Para sumar y ; primero escribimos ambos polinomios en orden

descendente, colocamos los términos semejantes en una columna y luego sumamos

E J E M P L O :

Del mismo modo que en aritmética, podemos sumar o restar más de dos

polinomios.

Por ejemplo, para sumar los polinomios , y ,

escribimos cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en

la misma columna y sumamos:

RESTA

Para restar polinomios, primero recordemos que a-(b+c)=a-b-c

Para eliminar los paréntesis de una expresión precedida por un signo menos (de

resta) debemos cambiar el signo de cada término dentro del paréntesis. Esto es lo

mismo que multiplicar cada término dentro de los paréntesis por -1.

E J E M P L O :

Efectuar la operación

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Resolver

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Restar y

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Restar y

SOLUCIÓN:

INTRODUCCIÓN Y SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN

En ocasiones es necesario eliminar paréntesis antes de combinar términos

semejantes. Por ejemplo, para combinar términos semejantes en

tenemos que suprimir los paréntesis primero. Si hay un signo más (o ningún signo)

enfrente de los paréntesis, podemos simplemente eliminar; esto es,

E J E M P L O :

La eliminación de paréntesis precedidos por un signo menos se hará de la manera

siguiente:

E J E M P L O :

En ocasiones los paréntesis se presentan dentro de otros paréntesis. Para evitar

confusión, utilizamos diferentes símbolos de agrupación. De este modo, por lo

general no escribimos , sino . Para combinar términos

semejantes en tales expresiones, los símbolos de agrupación más internos se

eliminan primero.

E J E M P L O :

Como efecto de la propiedad distributiva tenemos, que:

La propiedad distributiva también puede extenderse a más de dos números dentro

de los paréntesis. Por tanto . Además

LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS PARA LA MULTIPLICACIÓN

Los exponentes se han utilizado para indicar el número de veces que se repite un

factor en un producto. Por ejemplo, . La notación exponencial

proporciona un modo sencillo para multiplicar expresiones que contienen

potencias de la misma base.

PRIMERA LEY DE LOS EXPONENTES.

Los exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base.

Considera que m y n son enteros positivos:

Esta regla significa que para multiplicar expresiones con la misma base,

mantenemos la base y sumamos los exponentes. Antes de aplicar la regla del

producto, hay que asegurarnos de que las bases sean las mismas.

Por supuesto algunas expresiones pueden tener coeficientes de 1. Por ejemplo, la

expresión tiene coeficiente numérico de 3. De manera similar, el coeficiente

numérico de es 5. Si decidimos multiplicar por , solo multiplicamos

números por números (coeficientes) y letras por letras. Este procedimiento es

posible debido a las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación.

Luego de aplicar estas dos propiedades, escribimos:

E J E M P L O :

E J E M P L O :

SEGUNDA LEY DE LOS EXPONENTES.

Los exponentes se multiplican par elevar una potencia a otra potencia.

Si m y n son enteros positivos:

Cuando se eleva una potencia a una potencia, mantenemos las bases y

multiplicamos los exponentes.

Considera la expresión , que significa que está elevado al cubo. Esta

expresión puede simplificarse como se muestra enseguida:

En forma parecida

Debido a que la multiplicación es en realidad una suma que se repite, es posible

obtener los mismos resultados en los ejemplos anteriores al multiplicar entre sí los

exponentes.

E J E M P L O :

E J E M P L O :

TERCERA LEY DE LOS EXPONENTES.

Mediante las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación es posible

escribir

Una potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada uno de

los factores.

Simbólicamente:

E J E M P L O :

E J E M P L O :

E J E M P L O :

Ene general se cumple:

Si n es número par Si n es número impar

E J E M P L O :

MULTIPLICACIÓN POR POLINOMIOS

La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto

hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando

y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en

signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva.

Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del

producto.

La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que

dados tres polinomios cualesquiera se cumplirá que . Esta ley

acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier

manera.

Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa.

Es decir, que dados los polinomios cualesquiera , se cumplirá que .

Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el

producto.

Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los

cuatro puntos siguientes:

a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá

signo positivo.

b) Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo

negativo, el producto tendrá signo negativo.

c) Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo

negativo, el producto tendrá signo negativo.

d) Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo

positivo.

Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente:

+ + = +

+ - = -

- + = -

- - = +

En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:

a) Multiplicación de monomios.

b) Multiplicación de un polinomio por un monomio

c) Multiplicación de polinomios

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.

Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se

escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a

un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los

factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los

signos.

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Multiplicar

Solución:

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN:

El producto es negativo porque hay un número impar de factores negativos.

MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los

términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y

se suman todos los productos parciales así obtenidos.

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Multiplicar:

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Multiplicar:

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Multiplicar: por

SOLUCIÓN:

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del

multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la

regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los

productos parciales así obtenidos.

E J E M P L O :

Multiplicar:

E J E M P L O :

Multiplicar:

SOLUCIÓN: Se multiplican los dos primeros términos

A continuación el resultado obtenido lo multiplicamos por el otro polinomio.

DEFINICIÓN DE PRODUCTO Y PRODUCTO NOTABLE

Un producto es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se

multiplican se llaman factores o divisores del producto. Se llaman productos

notables (o productos especiales) a ciertos productos que cumplen reglas fijas y

cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la

multiplicación.

3.5.1. Cuadrado de un binomio

El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer número,

más el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el

cuadrado del segundo.

Consideremos que . Tendremos que . Por tanto

Es decir

E J E M P L O :

Desarrollar

SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número:

El doble del producto del primer número por el segundo:

El cuadrado del segundo número:

Así pues

E J E M P L O :

Al desarrollar

SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número:

El doble del producto del primer número por el segundo:

El cuadrado del segundo número:

Así pues

E J E M P L O :

Al desarrollar

SOLUCIÓN:

El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer

número menos el doble del producto del primer número multiplicado por el

segundo, más el cuadrado del segundo número.

Consideremos que .

Tendremos que .

Por tanto

Es decir

E J E M P L O :

Desarrollar

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Desarrollar

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Desarrollar

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Desarrollar

SOLUCIÓN:

Binomios conjugados

El producto de dos números por su diferencia es igual al cuadrado del primer

número menos el cuadrado del segundo número.

Consideremos el producto:

Es decir

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número:

Cuadrado del segundo número:

Así pues,

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número:

Cuadrado del segundo número:

Así pues,

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número:

Cuadrado del segundo número:

Así pues,

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número de la diferencia:

Cuadrado del segundo número de la diferencia:

Así pues,

Binomio con un término común

El producto de dos binomios del tipo es igual al cuadrado del primer

término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer

término, más el producto de los segundos términos.

Se trata de demostrar que .

Tendremos que:

Es decir , tal como queríamos demostrar.

E J E M P L O :

Comprobar que .

SOLUCIÓN: Tendremos .

E J E M P L O :

Comprobar que

SOLUCIÓN: Tendremos .

E J E M P L O :

Comprobar que .

SOLUCIÓN: Tendremos .

E J E M P L O :

Comprobar que .

SOLUCIÓN: Tendremos .

Cubo de un binomio

El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el

triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del

producto del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Consideremos ,

por lo tanto

Es decir

E J E M P L O :

Desarrollar

SOLUCIÓN: Cubo del primer número:

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo:

Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo:

Cubo del segundo número:

Así pues

E J E M P L O :

Desarrollar

SOLUCIÓN: Cubo del primer número:

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo:

Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo:

Cubo del segundo número:

Así pues

E J E M P L O :

Desarrollar

SOLUCIÓN:

El cubo de la diferencia de dos números es igual al cubo del primer número, menos

el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo más el triple

del producto del primer número por el cuadrado del segundo, menos el cubo del

segundo número.

Consideremos ,

por lo tanto

Es decir

E J E M P L O :

Desarrollar

SOLUCIÓN: Cubo del primer número:

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo:

Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo:

Cubo del segundo número:

Así pues

E J E M P L O :

Desarrollar

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Desarrollar

SOLUCIÓN:

LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS PARA LA DIVISIÓN

Lo siguiente indica una regla para simplificar expresiones de la forma

Se puede apreciar que podemos restar los exponentes para encontrar el exponente

del cociente. Por lo que para cualquier número real a excepto el 0 (cero), y para

cualquier par de números completos m y n

E J E M P L O :

Al simplificar las siguientes expresiones tenemos:

Por si el exponente mayor está en el denominador, es decir si n es mayor que m

entonces:

E J E M P L O :

o bien

E J E M P L O :

o bien

Tenemos que para todo número real a excepto el 0, y para todo número completo m

E J E M P L O :

Como en el caso:

Ya que el exponente solo afecta a b

Sabemos que cualquier número diferente de cero dividido entre sí mismo es igual a

1. Por ejemplo . Si utilizamos la regla anterior, encontramos que

Podemos establecer la siguiente definición: a0=1, para cualquier número real

excepto el cero.

p0=1 30=1

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de

un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor,

y el producto de ambos factores llamado dividendo.

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del

divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos , se cumplirá que

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los

exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+)÷(+)=+

(–)÷(–)=+

(+)÷(–)=–

(–)÷(+)=–

DIVISIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO

Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el

coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas

alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el

exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo

del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.

E J E M P L O :

Dividir

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Dividir

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Dividir

SOLUCIÓN:

En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la

división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:

a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada

dicha letra en el divisor.

b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo.

E J E M P L O :

Dividir

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del

polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los

cocientes parciales así obtenidos.

E J E M P L O :

Dividir

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Dividir

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Dividir

SOLUCIÓN:

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO.

Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:

1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.

2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor,

obteniéndose así el primer término del cociente

3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto

así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se

escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de

este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe

dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación

del dividendo y del divisor.

4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor,

obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.

5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el

producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.

6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del

divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como

resto.

E J E M P L O :

Dividir:

Para resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente:

En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con

respecto a la letra y y en orden descendente con respecto a la letra x.

A continuación se ha dividido el primer término del dividendo, , entre el primer

término del divisor, , obteniéndose , por cada uno de los términos del

divisor, obteniéndose como resultado , que se escribe debajo

de los términos semejantes del dividendo cambiando los signos de todos los

términos semejantes, obteniéndose como primer resto

.

Después se ha dividido entre obteniéndose como cociente , que

es el segundo término del cociente. Multiplicando por todos los términos del

divisor que se obtiene como resultado , que se escribe debajo

de los términos semejantes del primer resto cambiando los signos de todos sus

términos para efectuar la resta.

A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes,

obteniéndose como segundo resto

Finalmente se ha dividido entre , obteniéndose como cociente .

Multiplicando por todos los términos del divisor se obtiene como producto

, que se escribe debajo de los términos semejantes del segundo

resto cambiando los signos de todos los términos para efectuar la resta. A

continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes,

obteniéndose como tercer resto 0, con lo cual queda acabada la división.

E J E M P L O :

Dividir:

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Dividir:

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Dividir:

SOLUCIÓN:

Se dice que una división de un polinomio por otro es inexacta cuando:

a) Si después de ordenar los dos polinomios, el primer término del dividendo

no es divisible entre el primer término del divisor.

b) Si el último término del dividendo no es divisible entre el último término del

divisor.

c) Si en el primer término de algún dividendo parcial la letra ordenatriz tiene

menor exponente que en el primer término del divisor.

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es

igual a la expresión propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación,

pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores;

mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que

multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Factorización

Multiplicación

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus

factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los

multipliquemos, escribiremos . En el proceso inverso, tenemos el producto

15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos

Al factorizar el número 20, tendremos o .

Advierte que y no están factorizados por completo. Contienen

factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7,

11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en

la primera factorización , de modo que mientras que la

segunda factorización , de modo que , en cualquier caso la

factorización completa para 20 es .

De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir

factorizarlo por completo. Además se supone que los factores numéricos son

números primos. De esta manera no factorizamos 20 como .

Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas

expresiones algebraicas.

Factor común.

Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si

podemos descubrir un patrón.

Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que:

. Cuando factorizamos .

Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea

común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión

completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común, . Aquí

tenemos como hacerlo:

Máximo factor común (MFC).- El término , es el MFC de un polinomio sí:

1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio,

y

2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.

De este modo para factorizar , podríamos escribir

Pero no está factorizado por completo por que puede factorizarse aún

más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en

todos los términos es . De esta manera la factorización completa es

. Donde es el MFC.

E J E M P L O :

Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar

Diferencia de cuadrados.

Aquí tenemos un producto notable podemos utilizar esta

relación para factorizar una diferencia de cuadrados.

E J E M P L O :

Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar

Trinomios con término de segundo grado.

Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es

un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.

Los trinomios , son trinomios cuadrados porque son

cuadrados de un binomio.

Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.

A. Dos de los términos deben de ser cuadrados y

B. No debe haber signo de menos en o en

C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer

término 2AB o su inverso aditivo -2AB.

¿Es un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un

término al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número.

Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:

Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es

posible.

Suma y diferencia de cubos.

Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada

ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de

dos cubos.

E J E M P L O :

Factorizar , observemos primero que se puede escribir en otra forma:

Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula

de factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:

E J E M P L O :

Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar

Suma y diferencia de cubos.

Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada

ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de

dos cubos.

E J E M P L O :

Factorizar , observemos primero que se puede escribir en otra forma:

Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula

de factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:

E J E M P L O :

Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar

Definición de raíz

La se llama signo radical. El número o expresión dentro del radical se llama radicando.

Toda la expresión, incluyendo el signo radical y el radicando recibe el nombre de expresión

radical. Otra parte de una expresión radical es su índice. El índice indica la “raíz” de la

expresión. Las raíces cuadradas tienen un índice de 2. El índice de las raíces cuadradas por lo

general no se escribe.

Significa .Otros tipos de expresiones radicales tienen índices diferentes. Por ejemplo

es la raíz tercera o cúbica de x. El índice de las raíces cúbicas es 3.

se lee “la raíz cuadrada de 8” y su radicando es 8

se lee “la raíz cuadrada de 5x” y su radicando es 5x

se lee “la raíz cuadrada de x entre 2y” y el radicando es

Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una raíz cuadrada positiva y una raíz

cuadrada negativa.

La raíz cuadrada positiva o principal de un número real positivo x, que se describe como ,

es el número positivo cuyo cuadrado es igual a x.

Algo que debes de comprender bien es que las raíces cuadradas de los números negativos no

son número reales. Consideremos ¿A que es igual ? Para evaluar esto, ,

debemos encontrar un número cuyo cuadrado sea igual a –4. Pero sabemos que el cuadrado

de cualquier número distinto de cero debe de ser un número positivo. Por lo tanto ningún

número elevado al cuadrado da –4 y no tiene valor real. Los números como o la

raíz cuadrada de cualquier número negativo, se llaman números imaginarios.

Para ayudarnos en el análisis de los números racionales e irracionales, definiremos los

números cuadrados perfectos. Los números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,... se llaman números

cuadrados perfectos porque cada uno de ellos es el cuadrado de un número natural. Cuando

un número cuadrado perfecto es un factor de un radicando, nos referimos a él como un factor

cuadrado perfecto.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... número naturales

12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, ... cuadrados de los número naturales

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... números cuadrados perfectos

Un número racional es aquel que se puede escribir de la forma , donde a y b son enteros

diferentes de cero (b0). Todos los enteros son números racionales, por que se pueden

expresar con un denominador igual a 1. Las raíces cuadradas de los números cuadrados

perfectos también son números racionales porque cada uno es un entero. Cuando un número

racional se escribe como decimal, será un decimal finito o periódico.

Decimal finito Decimal periódico

Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales. Al escribir los

números irracionales como decimales, no son decimales infinitos ni periódicos. La raíz

cuadrada de cualquier entero positivo que no sea un cuadrado perfecto es un número

irracional.

Por ejemplo, y son números irracionales.

Número cuadrado

perfecto

Raíz cuadrada del número

cuadrado perfecto Valor

1 1 1

4 4 2

9 9 3

16 16 4

25 25 5

36 36 6

49 49 7

64 64 8

81 81 9

100 100 10

121 121 11

144 144 12

169 169 13

196 196 14

225 225 15

256 256 16

289 289 17

324 324 18

361 361 19

400 400 20

Clasificar los números que aparecen en la tabla siguiente; los que sean racionales expresarlos

como el cociente de dos enteros.

N U M E R O

-3 0

20% 0.333...

.333

Entero

positivo

Entero

negativo

Racional

Cociente

de dos

enteros

Irracional

Hay ocasiones en que es más conveniente trabajar con radicales que con exponentes

racionales y viceversa. Con frecuencia es preferible intercambiar las dos formas. Las

siguientes relaciones son útiles al respecto:

Considera que para b no negativo, cuando n es par

Los siguientes ejemplos deben aclarar el proceso de cambiar una forma por la otra. Todas las

variables representan números reales positivos.

o bien

Para ayudarnos a cambiar y simplificar las expresiones con radicales, veremos varias

propiedades de los radicales. Para comenzar, consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo:

o bien

o bien

Definición de raíz

La se llama signo radical. El número o expresión dentro del radical se llama radicando.

Toda la expresión, incluyendo el signo radical y el radicando recibe el nombre de expresión

radical. Otra parte de una expresión radical es su índice. El índice indica la “raíz” de la

expresión. Las raíces cuadradas tienen un índice de 2. El índice de las raíces cuadradas por lo

general no se escribe.

Significa .Otros tipos de expresiones radicales tienen índices diferentes. Por ejemplo

es la raíz tercera o cúbica de x. El índice de las raíces cúbicas es 3.

se lee “la raíz cuadrada de 8” y su radicando es 8

se lee “la raíz cuadrada de 5x” y su radicando es 5x

se lee “la raíz cuadrada de x entre 2y” y el radicando es

Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una raíz cuadrada positiva y una raíz

cuadrada negativa.

La raíz cuadrada positiva o principal de un número real positivo x, que se describe como ,

es el número positivo cuyo cuadrado es igual a x.

Algo que debes de comprender bien es que las raíces cuadradas de los números negativos no

son número reales. Consideremos ¿A que es igual ? Para evaluar esto, ,

debemos encontrar un número cuyo cuadrado sea igual a –4. Pero sabemos que el cuadrado

de cualquier número distinto de cero debe de ser un número positivo. Por lo tanto ningún

número elevado al cuadrado da –4 y no tiene valor real. Los números como o la

raíz cuadrada de cualquier número negativo, se llaman números imaginarios.

Para ayudarnos en el análisis de los números racionales e irracionales, definiremos los

números cuadrados perfectos. Los números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,... se llaman números

cuadrados perfectos porque cada uno de ellos es el cuadrado de un número natural. Cuando

un número cuadrado perfecto es un factor de un radicando, nos referimos a él como un factor

cuadrado perfecto.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... número naturales

12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, ... cuadrados de los número naturales

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... números cuadrados perfectos

Un número racional es aquel que se puede escribir de la forma , donde a y b son enteros

diferentes de cero (b0). Todos los enteros son números racionales, por que se pueden

expresar con un denominador igual a 1. Las raíces cuadradas de los números cuadrados

perfectos también son números racionales porque cada uno es un entero. Cuando un número

racional se escribe como decimal, será un decimal finito o periódico.

Decimal finito Decimal periódico

Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales. Al escribir los

números irracionales como decimales, no son decimales infinitos ni periódicos. La raíz

cuadrada de cualquier entero positivo que no sea un cuadrado perfecto es un número

irracional.

Por ejemplo, y son números irracionales.

Número cuadrado

perfecto

Raíz cuadrada del número

cuadrado perfecto Valor

1 1 1

4 4 2

9 9 3

16 16 4

25 25 5

36 36 6

49 49 7

64 64 8

81 81 9

100 100 10

121 121 11

144 144 12

169 169 13

196 196 14

225 225 15

256 256 16

289 289 17

324 324 18

361 361 19

400 400 20

Clasificar los números que aparecen en la tabla siguiente; los que sean racionales expresarlos

como el cociente de dos enteros.

N U M E R O

-3 0

20% 0.333...

.333

Entero

positivo

Entero

negativo

Racional

Cociente

de dos

enteros

Irracional

Hay ocasiones en que es más conveniente trabajar con radicales que con exponentes

racionales y viceversa. Con frecuencia es preferible intercambiar las dos formas. Las

siguientes relaciones son útiles al respecto:

Considera que para b no negativo, cuando n es par

Los siguientes ejemplos deben aclarar el proceso de cambiar una forma por la otra. Todas las

variables representan números reales positivos.

o bien

Para ayudarnos a cambiar y simplificar las expresiones con radicales, veremos varias

propiedades de los radicales. Para comenzar, consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo:

o bien

o bien

Propiedades de los radicales

Para ayudarnos a cambiar y simplificar las expresiones con radicales, veremos varias

propiedades de los radicales. Para comenzar, consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo:

o bien

o bien

Estos ejemplos sugieren las siguientes propiedades generales de los radicales. n, m y k son

números naturales 2, x y y son números reales positivos.

1.-

3.-

2.-

4.-

Estas propiedades se comprueban de la siguiente manera:

1.-

3.-

2.-

4.-

El siguiente ejemplo ilustra como se aplican estas propiedades. Todas las variables

representan números reales positivos.

Propiedad 1:

Propiedad 2:

Propiedad 3: o bien:

Propiedad 4:

Las leyes de los radicales nos brindan los elementos para cambiar las expresiones algebraicas

con radicales por una variedad de formas equivalentes.

Una forma muy útil es la forma radical más simple. Se dice que una expresión algebraica con

radicales está en la forma radical más simple, cuando satisface las cuatro condiciones

siguientes:

Forma radical más simple

1.- El radicando (expresión dentro del signo radical) no contiene ningún factor polinomial de

una potencia mayor o igual al índice del radical.

Viola esta condición

2.- La potencia del radicando y el índice del radical no tienen ningún factor común, que no

sea 1.

Viola esta condición

3.- No aparece un radical en el denominador.

Viola esta condición

4.- No aparece ninguna fracción dentro del radical.

Viola esta condición

Es necesario comprender que ocasionalmente, pueden ser más útiles otras formas que no sean

con la forma radical más simple. La elección depende de la situación.

Ejemplo:

Cambia a la forma radical más simple

o bien

Al proceso de suprimir los radicales de un denominador se le llama racionalización del

denominador.

Simplificación de un radical

Una expresión que contiene radicales está en su forma más sencilla sí:

No se puede sacar ningún factor del radicando.

No puede reducirse ningún índice.

No hay fracciones dentro del radical.

No hay radicales en el denominador.

Ejemplo:

Reducir:

Para eliminar el radical 2 del denominador recordemos la formula del

producto de binomios conjugados (a-b)(a+b)=a2-b2; así multiplicando el numerador y el

denominador de la expresión por (x+2), obtenemos:

Suma y resta de radicales

Con frecuencia es posible simplificar las expresiones algebraicas con radicales sumando o

restando términos que contengan exactamente las mismas expresiones.

Ejemplo:

Combinando todos los términos posibles

Así vemos que, si dos términos contienen exactamente el mismo radical con el mismo índice y

también el mismo radicando, se pueden combinar en uno solo.

Ejemplo:

Expresemos ahora, los términos en su forma radical más simple y combinarlos hasta donde

sea posible.

o bien

Multiplicación y división con radicales

Ahora estudiaremos varios tipos de productos y cocientes especiales con radicales. En nuestro

planteamiento de estos problemas la propiedad distributiva de los números reales desempeña

un papel importante.

Ejemplo:

Multiplicamos y simplificamos

Recuerda que para expresar 2/3 en su forma radical más simple multiplicamos por 3 el

numerador y el denominador, con el propósito de suprimir del denominador el radical.

El denominador se convierte así en un número racional.

racionalización

El proceso de convertir los denominadores irracionales en formas racionales se llama

racionalización del denominador.

Veamos ahora como se racionaliza el denominador binomial de

De nada sirve multiplicar el numerador y denominador por 3 o por 2. Pero al recordar el

producto notable: (a-b)(a+b)=a2-b2. Observamos que conviene multiplicar el numerador y el

denominador pero con el signo central opuesto. Así: