cuadernillo de actividades y ejercicios-algebra geometrica

Matemticas 3 E.S.O.

Resolucin de Ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la

unidad didctica experimental

Juan Jess Larrubia Martnez

Alumno/a:

Cuadernillo de actividades y ejercicios. J.J. Larrubia. ____________________________________________________________________________________________________________________________

Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico _______________________________________________ _________________ 3

1. Clasifica las siguientes ecuaciones de segundo grado por su expresin algebraica, de acuerdo al esquema visto en clase.

Ecuaciones de 2 grado Tipo o forma de la ecuacin de 2 grado

a) 0122 =+ xx

b) ( ) 095 2 =+x c) 053 2 =+ xx

d) ( ) ( ) 052 =+ xx e) 0162 =x

f) 0252 2 =+ xx

g) ( ) 012 2 =+x h) 0182 2 =x

i) ( ) ( ) 0312 =+ xx j) ( ) 034 2 =x k) 072 2 = xx

l) ( ) 0423 2 =+x

Ecuacin en forma de producto de dos factores o

FACTORIZADA Ejemplo: (x-2).(x+3)=0

Sin Trmino en X

Ejemplo: x2-9=0

Sin Trmino independiente

Ejemplo: x2+4x=0

incompleta completa Ejemplo: x2-5x+6=0

Ecuacin en forma GENERAL

con trmino independienteEjemplo: (x-2)2-4=0

sin trmino independiente

Ejemplo: (x+3)2=0

Ecuacin en forma de BINOMIO AL CUADRADO

ClasificacinEcuaciones de 2 grado

por su expresin algebraica

Cuadernillo de actividades y ejercicios. J.J. Larrubia. ____________________________________________________________________________________________________________________________

Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico _______________________________________________ _________________ 4

Recuerda la definicin de soluciones o races vista en clase:

2. Dada la ecuacin 0162 =x . Comprueba que sus soluciones son: X = 4 y X = - 4 a) Sustituimos los valores 4 y 4 en la ecuacin, para comprobar si son o no soluciones:

0162 =x 016)4( 2 =

01616 = 00 =

La igualdad se cumple para X= 4

0162 =x 016)4( 2 =

01616 = 00 =

La igualdad se cumple para X= -4

Por tanto, los valores X = 4 y X = -4 son soluciones de la ecuacin: 0162 =x

b) Comprueba que otros valores de X, por ejemplo X = 3 y X = 5, no son soluciones de la ecuacin:

0162 =x 016)3( 2 =

0169 = 07

La igualdad no se cumple para X= 3

0162 =x 016)5( 2 =

01625 = 09

La igualdad no se cumple para X= 5

c) Comprueba para cualquier otro valor de X que no es solucin de la ecuacin:

0162 =x 016) ( 2 =

016 = 0

La igualdad no se cumple para X=

0162 =x 016) ( 2 =

016 = 0

La igualdad no se cumple para X=

Las soluciones o races de una ecuacin de segundo grado son los valores de X que al sustituirlos en la ecuacin, hacen que la igualdad se cumpla.

Para x = - 4 Para x = 4

Para x = 3 Para x = 5

Para x = Para x =

Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didctica experimental. J.J. Larrubia. ____________________________________________________________________________________________________________________________

Resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 5

3. Comprueba s alguno de estos valores X = -3, X = - 1, X = 0, X = 1, X = 3 y X = 5, es solucin de alguna de las siguientes ecuaciones de 2 grado.

a) 092 =x b) 012 =x c) 02 = xx

4. Resuelve por tanteo las siguientes ecuaciones de 2 grado.

a) 092 = xx b) 1062 =x c) 3382 =+x



5. Dibuja las piezas del puzzle algebraico que representan geomtricamente cada una de las siguientes expresiones de 2 grado:

Recuerda el ejemplo visto en clase para 352 2 ++ xx

a) 1102 + xx

b) 172 2 ++ xx

c) 252 xx

d) 382 + xx

X2

X2

1 1 1X XX X X



6. Escribe la expresin algebraica asociada a cada uno de las siguientes representaciones geomtricas realizadas con las piezas del puzzle algebraico.

Recuerda el ejemplo visto en clase:

El grupo de piezas representa la expresin algebraica de 2 grado:

a)


b)


c)


d)


X2

-1 -1-1x -x -x -x

322 xx

X2

xx

X2

x x

x x

x 11 1

-x -x-x -x -x

X2

X2

11

1

-x

-x

x x x x

X2

1 1 1 1

-x -x -x 1 1 1 1

X2

x

x



7. Recuerda las reglas de construccin de rectngulos y cuadrados con puzzle algebraico.

El tablero de construccin:

Reglas de agrupacin y combinacin de piezas:

Medida de la base

Medida de la altura

Punto de partida para colocar las piezas X2 para determinar las

Dimensiones de la construccin

X2

Punto de partida para colocar las piezas X2 para determinar las

Dimensiones de la construccin

Medida de la base

Med

ida

de la

altu

ra

X2

-1

-1

-1

-1 -1

-1 1 11 1

1 Regla Los cuadrados unidad tienen

que estar agrupados en un nico bloque, formando un rectngulo o un cuadrado.

X2

-1

-1

-1

-1 -1

-1

2 ReglaLa placa X2 y el bloque de cuadrados unidad

tienen que estar situadas en diagonal No pueden situarse en la

misma fila o columna

-x

x x x

-x

3 Regla

Las tiras positivas X y negativas X, no pueden estar mezcladas entre si.

No pueden combinarse en un mismo bloque



8. Escribe las dimensiones de los siguientes rectngulos y cuadrados.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

- X - X

x X 2

x x

- 1 - 1 - 1 - 1

- 1 - 1

1 1

1 1

X2 x x

x

x

X 2

x x

X 2 x x x

- 1

- 1

- 1 - 1

- 1 - 1

- 1 - 1 - 1

-X

-X

-X

1 1 1 1 1 1 1 1

X 2

- x

- x - x

- x

- x

- x

X 2 x

x

xx

1 1 1

1 1

X 2 X 2 X 2 x

xx

xx

xx

X 2

1

- x

- x

- x

1



Recuerda la actividad realizada en clase:

Actividad: Obtener una expresin factorizada equivalente a 652 ++ xx mediante la construccin de un rectngulo con puzzle algebraico.

a) Construido el rectngulo, calculbamos su rea a partir de sus componentes y a partir de sus dimensiones:

rea a partir de sus componentes: rea a partir de sus dimensiones:

El rea del rectngulo como suma de sus componentes, es:

El rea del rectngulo como producto de las medidas de su base por su altura, es:

b) Con lo que obteniamos la factorizacin de la expresin inicial:

9. Factoriza la expresin: 862 ++ xx . A partir de la construccin de un rectngulo con puzzle algebraico

a) Construye un rectngulo, a partir de las piezas del puzzle que representan la expresin, y dibjalo con sus dimensiones.

b) Escribe la expresin factorizada equivalente a 862 ++ xx obtenida a partir de la construccin:

=++ 862 xx

rea rectngulo = 652 ++ xx rea rectngulo = ( ) ( ) 2x . 3x ++

1 1 1

1 1 1

X+3

X +2

X2 x x x

x

x

( ) ( )23652 ++=++ xxxx



10. Factoriza la expresin: 372 2 ++ xx . A partir de la construccin de un rectngulo con puzzle algebraico

a) Construye un rectngulo, a partir de las piezas del puzzle que representan la expresin, y dibjalo con sus dimensiones.

b) Escribe la expresin factorizada equivalente a 372 2 ++ xx obtenida a partir de la construccin:

=++ 372 2 xx

11. Factoriza la expresin: 122 + xx . A partir de la construccin de un rectngulo con puzzle algebraico

a) Construye un rectngulo, a partir de las piezas del puzzle que representan la expresin.

Dibuja el rectngulo con sus dimensiones

Representa de forma simplificada la construccin realizada.

b) Escribe la expresin factorizada equivalente a 122 + xx obtenida:

=+ 122 xx

12. Factoriza la expresin: 652 + xx . A partir de la construccin de un rectngulo con puzzle algebraico Representa el rectngulo construido:

Escribe la expresin factorizada:

=+ 652 xx

X

X

X2

-X

-1

-1

-X

1



13. Escribe en forma factorizada las siguientes expresiones de 2 grado:

a) ( ) ( )341272 ++=++ xxxx

b) ( ) ( )1682 =++ xx

c) =+ 22 xx

14. Completa la siguiente tabla:

1582 ++ xx

( ) ( )35 ++ xx

( ) ( )

672 2 + xx

( ) ( )

( ) ( )32 + xx

X

X

X2

3X

+4

+3

4X

12

X

X

X2

3X

+5

+3

5X

15

X2

-2 X

-6 X

12

2X

X

3

2



Recuerda la Actividad 1 realizada en clase: Resuelve la ecuacin de 2 grado 0452 =+ xx con puzzle algebraico mediante la construccin de un rectngulo.


Mediante lo cual, obtenamos la ecuacin de 2 grado equivalente a 0452 =+ xx en forma factorizada:

b) Resolviendo algebraicamente esta ecuacin equivalente, tenamos las soluciones:

Esquema de resolucin Procedimiento algebraico

( ) 01)4( = xx Para que un producto sea cero, uno de los

factores (o los dos) debe ser cero:

( ) 01)4( = xx

=

=

01

04

xS

xS

1

4

=

=

x

x

Por tanto, las soluciones son:

15. Resuelve la ecuacin de 2 grado 0862 =+ xx mediante la construccin de un rectngulo.

a) Construye un rectngulo, a partir de las piezas que representan el 1er miembro de la ecuacin:


Representa de forma simplificada el rectngulo.

b) Escribe la ecuacin factorizada equivalente a 0862 =+ xx

X-4 X-1

1 1 1

X2

-x 1

-x -x -x -x

( ) ( ) 014 = xx

Uno de los factores es cero

(x-4) . (X-1) = 0

Soluciones X = 1 X = 4

x1 = 0x4 = 0

Si (x4) es cero

Si (x1) es cero

4=x y 1=x



c) Resuelve la ecuacin equivalente obtenida:


16. Resuelve la ecuacin de 2 grado 0342 =++ xx mediante la construccin de un rectngulo.

a) Construye un rectngulo, a partir de las piezas que representan el 1er miembro de la ecuacin:


Representa de forma simplificada el rectngulo.

b) Escribe la ecuacin factorizada equivalente a 0342 =++ xx



(x4) . (x2) =


x2 = 0 x4 = 0

Si (x4) es cero

Si (x2) es cero



Recuerda la Actividad 3 realizada en clase: Resuelve la ecuacin de 2 grado 0822 =+ xx con puzzle algebraico mediante la construccin de un rectngulo.

a) Con la seleccin de piezas que representan el 1er miembro de la ecuacin obtenemos un rectngulo incompleto.

Para completar el rectngulo, aadimos parejas de piezas con signos opuestos que denominaremos parejas de rea cero.

b) Completado el rectngulo, calculbamos su rea a partir de sus componentes y a partir de sus dimensiones:


c) Resolviendo esta ecuacin factorizada equivalente obtenemos las soluciones:

( ) 02)4( =+ xx

=

=+

02

04

xS

xS

2

4

=

=

x

x


xX2

x x

-1 -1

-1 -1

-1 -1

-1-1

x

-X

-X

En total, para completar hemos necesitado:

x-x + + x -x +

2 parejas de tiras X y X

que representan un rea cero

022 = XX

X+4

X-2

-X

-X

x X2

x x x

-1 -1

-1 -1

-1 -1

-1-1

( ) ( ) 02- 4 =+ xx

4=x y 2=x


(x+4)(X-2) = 0

Soluciones X = 2X = - 4

x2 = 0X+4 = 0

Si (x+4) es cero

Si (x2) es cero



17. Resuelve la ecuacin de 2 grado 022 =+ xx con puzzle algebraico, mediante la construccin de un rectngulo.

a) Representa el rectngulo construido, a partir de las piezas que representan el 1er miembro de la ecuacin:



18. Resuelve por factorizacin (construyendo un rectngulo) la ecuacin de 2 grado 0432 = xx .


b) Escribe la ecuacin factorizada equivalente a 0432 = xx




Recuerda la Actividad 5 realizada en clase: Resuelve con puzzle algebraico la ecuacin incompleta 022 =+ xx mediante la construccin de un rectngulo.



b) Resolviendo algebraicamente esta ecuacin equivalente, tenamos las soluciones:

( ) 02 =+xx

=+

=

02 ,

0 ,

xS

xS

2

0

=

=

x

x

19. Resuelve por factorizacin (construyendo un rectngulo) la ecuacin de 2 grado incompleta 02 = xx .


b) Escribe la ecuacin factorizada equivalente a 02 = xx


X+2

X X 2

x x

0=x y 2=x

( ) 02 =+xx



20. Resuelve por factorizacin (construyendo un rectngulo) la ecuacin de 2 grado incompleta 052 =+ xx .




Observacin: Las ecuaciones de 2 grado incompletas, sin trmino independiente, del tipo 02 =+ bxx vistas en los ejemplos anteriores, o del tipo general 02 =+ bxax siempre pueden factorizarse y escribirse de la forma:

Este tipo de factorizacin se denomina: sacar factor comn X.

Ejemplos: Los ejercicios anteriores pueden resumirse en la siguiente tabla. Ecuacin de 2 grado incompleta sin

trmino independiente Representacin geomtrica

simplificada Ecuacin factorizada:

sacando factor comn X

022 =+ xx

( ) 02 =+xx

02 = xx

( ) 01 =xx

052 =+ xx

( ) 05 =+xx

( ) 0 =+ baxx

X+2

X

X2 2X

X1

X

X2 X

X+5

X

X2 5X



21. Resuelve sacando factor comn X las siguientes ecuaciones de 2 grado incompletas, sin trmino independiente.

a) 092 = xx

b) 0312 = xx

c) 052 2 = xx

d) 043 2 = xx



22. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2 grado factorizadas.

a) ( ) ( ) 01 2 = xx

Recuerda: Para que un producto sea cero, uno de los factores (o los dos) debe ser cero:

( ) 01)2( = xx

=

=

01

02

xS

xS

1

2

=

=

x

x

En consecuencia, las soluciones son:

b) ( ) ( ) 04 3 =+ xx

c) ( ) 0 62 =+ xx

d) ( ) ( ) 021 = xx

2=x y 1=x

Que el producto es cero Significa:


(x2)(x1) = 0


x1 = 0 X2 = 0

Si (x2) es cero

Si (x1) es cero



e) ( ) ( ) 0115 =+ xx

f) ( ) ( ) 03752 = xx

g) ( ) 042843 =+

xx



23. Ecuaciones equivalentes. Criterios de equivalencia.

Dos ecuaciones (de primer o de segundo grado) son equivalentes si tienen las mismas soluciones o races.

23.1. Criterios de equivalencia.

Recuerda los criterios de equivalencia vistos en el tema de ecuaciones de primer grado:

a) Criterio de la suma: Si a los dos miembros de una ecuacin (de 1er o 2 grado) se les suma o se les resta un mismo nmero, obtenemos una ecuacin equivalente.

b) Criterio del producto: Si los dos miembros de una ecuacin se multiplican o dividen por un mismo nmero, no nulo, obtenemos una ecuacin equivalente.

Ejemplo: Dada la ecuacin de 2 grado: 0232 =+ xx , con soluciones 1=x y 2=x : a) Comprueba que se cumple el criterio de la suma para un nmero concreto.

b) Comprueba que se cumple el criterio del producto para un nmero concreto.

Prueba del criterio de la suma, para 5:

Si sumamos 5 a los miembros de la ecuacin, 505232 +=++ xx

Obtenemos, 5732 =+ xx

Prueba del criterio del producto, para 3:

Si multiplicamos por 3 los dos miembros de la ecuacin,

03)23(3 2 =+ xx Obtenemos

0693 2 =+ xx Comprobemos que 1=x y 2=x son

soluciones de esta ecuacin:

a) Sustituimos en la ecuacin la solucin 1=x ( ) 57131 2 =+

5731 =+ 55 =

La igualdad se cumple para 1=x

Comprobemos que 1=x y 2=x son soluciones de esta ecuacin:

a) Sustituimos en la ecuacin la solucin 1=x ( ) 061913 2 =+

0693 =+ 00 =

La igualdad se cumple para 1=x b) Sustituimos en la ecuacin la solucin 2=x

( ) 57232 2 =+ 5764 =+

55 = La igualdad se cumple para 2=x

b) Sustituimos en la ecuacin la solucin 2=x ( ) 062923 2 =+

061812 =+ 00 =

La igualdad se cumple para 2=x

Por tanto, se comprueba que la ecuacin resultante 5732 =+ xx es equivalente a la primera.

Por tanto, se comprueba que la ecuacin resultante 0693 2 =+ xx es equivalente a la primera.



23.2. Aplicacin de los criterios de equivalencia en la resolucin de ecuaciones de 2 grado.

Los criterios de equivalencia en especial el criterio del producto puede aplicarse para la simplificacin, como para la elimininacin de denominadores de ecuaciones de 2 grado, previamente a su resolucin.

Ejemplo: Resuelve la ecuacin de 2 grado 0168 2 =+ xx

Los trminos de la ecuacin son a simple vista multiplos de 8, por lo que podemos dividir los dos miembros de la ecuacin entre 8.

( ) 081168

81 2 =+ xx

Obtenemos la ecuacin equivalente simplificada:

022 =+ xx Ecuacin ya resuelta en apartados anteriores.

Ejemplo: Resuelve la ecuacin de 2 grado 022

21 2 =+ xx

Para eliminar el denominador podemos multiplicar los dos miembros de la ecuacin por 2

0222212 2 =

+ xx

Obteniendo la ecuacin equivalente: 0442 =+ xx

Ecuacin que resolvemos algebraicamente

( ) 02 =+xx

=+

=

02

0

xS

xS

2

0

=

=

x

x ( ) ( ) 02 2 = xx

=

=

02

02

xS

xS

2

2

=

=

x

x

Por lo que tenemos las soluciones:

Por lo que tenemos las soluciones:

Estas soluciones son tambin las soluciones de la ecuacin inicial: 0168 2 =+ xx

Estas soluciones son tambin las soluciones de la ecuacin inicial: 022

21 2 =+ xx

23.3. Simplifica las siguientes ecuaciones de 2 grado, mediante el criterio del producto.

Ecuaciones de 2 grado Multiplicar o Dividir por/entre: Ecuaciones simplificadas

a) 018153 2 =++ xx

b) 0421 2 =+ xx Multiplicando por 2 0822 =+ xx

c) 01382 = xx

d) 0305 2 = xx

e) 0123 2 =x

0=x y 2=x 2=x y 2=x



Recuerda la actividad vista en clase. Resuelve la ecuacin de 2 grado 03134 2 =++ xx con puzzle algebraico, mediante la construccin de un rectngulo.

a) Seleccionadas las piezas del puzzle que representan el primer miembro de la ecuacin, construimos el rectngulo con dimensiones:

Considerando las dimensiones del rectngulo construido, tenemos la igualdad de las dos expresiones de 2 grado:

( ) ( )3x . 14 3134 2 ++=++ xxx Por tanto, la ecuacin de 2 grado factorizada

equivalente a 3134 2 ++ xx es: ( ) ( ) 03x 14x =++

b) Resolviendo algebraicamente esta ecuacin de 2 grado equivalente tenemos las soluciones:

Para que un producto sea cero, uno de los factores (o los dos) debe ser cero:

( ) ( ) 03 14 =++ xx

=+

=+

03

014

x

x

3

41

=

=

x

x

En consecuencia, las soluciones son:

24. Resuelve la ecuacin de 2 grado 0372 2 =++ xx con puzzle algebraico, mediante la construccin de un rectngulo.

a) Construye y dibuja un rectngulo con las piezas que representan la ecuacin.

Representa mediante la notacin simplificada el rectngulo construido.

1 1 1

X 2 X 2 X 2 X 2 x

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

4X+1

X+3

41=x y 3=x

2X

X

2X2

6X

+1

+3

X

3



b) Escribe la ecuacin factorizada equivalente, a partir de la construccin desarrollada.

c) Resuelve la ecuacin factorizada equivalente obtenida:

25. Resuelve la ecuacin de 2 grado 0132 2 =+ xx con puzzle algebraico, mediante la construccin de un rectngulo.

a) Construye un rectngulo con las piezas que representan la ecuacin. Dibuja con sus dimensiones el rectngulo construido.

Representa mediante notacin simplificada el rectngulo construido.

b) Escribe la ecuacin factorizada equivalente, a partir de la construccin desarrollada.




26. Resuelve la ecuacin de 2 grado incompleta 043 2 = xx con puzzle algebraico, mediante la construccin de un rectngulo.

a) Construye un rectngulo y represntalo mediante notacin simplificada.

b) Escribe la ecuacin factorizada equivalente, a partir de las dimensiones del rectngulo.


27. Resuelve la ecuacin de 2 grado incompleta 0217 2 =+ xx simplificando y sacando factor comn X.

a) Escribe la ecuacin factorizada equivalente:

b) Resuelve la ecuacin factorizada equivalente obtenida:



28. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2 grado mediante factorizacin.

a) 0122 =++ xx

b) 0252 2 =+ xx

c) 01872 = xx



d) 0383 2 = xx

29. Simplifica y resuelve las siguientes ecuaciones de 2 grado mediante factorizacin.

a) 018153 2 =++ xx

b) 028217 2 =+ xx



30. Mtodo de completar cuadrados con puzzle algebraico.

El mtodo de completar cuadrados con puzzle algebraico consiste en construir o completar un cuadrado con las piezas del puzzle que representan el 1er miembro de una ecuacin de 2 grado en forma general, para obtener una ecuacin equivalente en forma de binomio al cuadrado, con o sin trmino independiente.

Ejemplos:

31. Escribe en forma de binomio al cuadrado las siguientes ecuaciones de 2 grado, a partir de la construccin de un cuadrado con puzzle algebraico

a) 0962 =++ xx

( ) 03 2 =+x

b) 025102 =++ xx

c) 0144 2 =+ xx

d) 09124 2 =++ xx

0962 =++ xx

0)3( 2 =+x

x

1 1 1

X 2 x

x

xx

X+3

X+3

x

1 1 1

1 1 1

( )( ) ( )233.3 +=++ xxx

0342 =+ xx

11

1

X 2 -x -x

-x-x +

1 -1 +

X-2

X-2

( )( ) ( ) 1212.2 2 = xxx

01)2( 2 =x

x

111

X 2 x

x

xx

X+3

X+3

x

111

111



32. Resuelve las ecuaciones en forma de binomio al cuadrado obtenidas en el ejercicio anterior.

Recuerda la resolucin de la ecuacin ( ) 03 2 =+x vista en clase: Esquema de resolucin Procedimiento algebraico

El binomio al cuadrado es una potencia por lo que es igual al producto:

( ) 03).3( =++ xx Por tanto uno de los factores ser cero:

( ) 03).3( =++ xx

=+

=+

03

03

x

x

3

3

=

=

x

x

En consecuencia, la ecuacin tiene dos soluciones iguales (tambin se llama solucin doble):

Ecuacin general Ecuacin binomio al cuadrado Soluciones

b) 025102 =++ xx

c) 0144 2 =+ xx

d) 09124 2 =++ xx



S (x+3) es cero

Una potencia al cuadrado es igual a:

S (x+3) es cero

( ) 03 2 =+x

( ) ( ) 03 3 =++ xx

3=x y 3=x



33. Escribe en forma de binomio al cuadrado las siguientes ecuaciones de 2 grado, por el mtodo de completar cuadrados

a) 0342 =+ xx

( ) 012 2 =x

b) 0362 =++ xx

c) 01282 =+ xx

d) 020102 =+ xx

e) 0522 =+ xx

f) 0384 2 =++ xx

g) 08129 2 =+ xx

h) 082 = xx

-x-x

X 2

X-2

X-2

11

-x -x

11

-1+



Recuerda las condiciones que deben cumplir los coeficientes de una ecuacin de 2 grado para aplicar el mtodo de completar cuadrados.

Para poder aplicar el mtodo de completar cuadrados los coeficientes a y b de la ecuacin deben cumplir las siguientes condiciones:

En el caso de no cumplirse alguna de las dos condiciones anteriores, podemos hacer que se cumplan multiplicando los dos miembros de la ecuacin por 4a.

Recuerda la Actividad 10. Resuelve mediante el mtodo de completar cuadrados la ecuacin 0552 =+ xx .

a) Comprobamos si se cumplen las condiciones para la aplicacin del mtodo:

Los valores de los coeficientes son: a = 1 que es un cuadrado perfecto y b = 5 que no es mltiplo de 2. En consecuencia, estos no cumplen las condiciones requeridas.

b) Ajustamos los coeficientes para que se cumplan las condiciones:

Multiplicando los dos miembros de la ecuacin inicial por a4 que en este caso vale 4: 04)55(4 2 =+ xx

Obtenemos una ecuacin equivalente que s cumple las condiciones: 020204 2 =+ xx

c) Aplicando el mtodo de completar cuadrados tenemos:

Por lo que la ecuacin de 2 grado equivalente (iguales soluciones) a 020204 2 =+ xx y a la ecuacin inicial 0552 =+ xx en forma de binomio al cuadrado, es:

El coeficiente de X2 a tiene que ser un cuadrado perfecto. El coeficiente de X b tiene que ser mltiplo de 2.

( ) 0552 2 =x

-x -x

-x -x

-x -x

-x -x

-x

-x

-x-x

-x-x

-x-x

-x-x

-x -x

X 2 X 2

X 2 X 2

11111

11111

11111

11111

11111

2X-5

2X-5

-1-1-1-1-1

+



34. Resuelve por el mtodo de completar cuadrados la ecuacin de 2 grado: 0232 =+ xx

a) Comprobamos si la ecuacin cumple las condiciones para la aplicacin del mtodo:

b) Ajustamos los coeficientes para que se cumplan las condiciones:

c) Construccin del cuadrado:

d) Ecuacin equivalente:

e) Resolucin algebraica:


Transponemos trminos

Extraemos raz cuadrada

en los dos miembros de la ecuacin

( ) 1 32 2 = x

( ) 1 32 2 = x 1 32 = x

( ) 0 1 32 2 = x

1 +1


2 X 3 = 1

2 X 3 = 1



35. Resuelve por el mtodo de completar cuadrados la ecuacin de 2 grado: 0742 =+ xx

a) Comprobamos si la ecuacin cumple las condiciones para la aplicacin del mtodo:

b) Construccin del cuadrado y ecuacin equivalente:

c) Resolucin algebraica:

36. Resuelve por el mtodo de completar cuadrados la ecuacin de 2 grado: 0172 2 =++ xx



37. Resuelve las siguientes ecuaciones dadas en forma de binomio al cuadrado.

a) ( ) 093 2 =x

b) ( ) 01612 2 =+x

c) ( ) 053 2 =x

d) ( ) 0412 2 =++x



Recuerda: Mtodo resolucin de ecuaciones de 2 grado con puzzle algebraico

1. Representacin geomtrica de la ecuacin

Ecuacin de 2 grado en forma general completa o incompleta

Seleccin del conjunto de piezas del puzzle que representan el 1er miembro de la

ecuacin de 2 grado

3. Obtencin de ecuaciones equivalentes mediante el clculo del rea.

4. Resolucin algebraica.

Soluciones de la ecuacin

Aplicamos Procedimiento algebraico de resolucin de ecuaciones

en forma de producto

AplicamosProcedimiento algebraicode resolucin de ecuaciones

en forma de binomio al cuadrado

2. Construccin de rectngulos y/o cuadrados.

No es posible

construccin de un cuadrado

(o completar un cuadrado) partiendo del conjunto de

piezas seleccionadas

Ecuacin de 2 grado equivalente

en forma de binomio al cuadrado

Si

Construccin de un rectngulo

partiendo del conjunto de piezas seleccionadas

Ecuacin de 2 gradoequivalente

en forma de productode factores

A partir del producto de las dimensiones del rectngulo

Obtenemos:

Si

A partir del producto de las dimensiones del cuadrado

Obtenemos:



38. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2 grado.

a) 09102 =+ xx

b) 0752 =++ xx

c) 0962 =+ xx



Recuerda el mtodo general de resolucin de ecuaciones de 2 grado, visto en clase:

La generalizacin del mtodo de completar cuadrados para una ecuacin de segundo grado expresada en forma general:

02 =++ cbxax Nos proporciona una frmula general para obtener las soluciones o races de la ecuacin en funcin de los coeficientes a, b y c.

La frmula general, escrita en forma abreviada, es:

En forma desarrollada tenemos que las dos soluciones de la ecuacin de 2 grado, se obtienen mediante las frmulas:

El mtodo general de resolucin consiste en: determinar los valores a, b y c de la ecuacin de 2 grado expresada en forma general, sustituir los valores en la frmula, y realizar las operaciones, hasta obtener las soluciones, si las hubiese.

Recuerda la actividad 12. Resuelve la ecuacin 0652 =+ xx aplicando el mtodo general

Sustituyendo los valores 651 === cba en la frmula tendramos:

==

=+=====

275

275

275

2495

1.2)6.(1.455

2

12

x

x

x

212

122

=

6=


acabbx

242 =

acabbx

242

1

+= a

cabbx2

421

=

1=x y 6=x



39. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2 grado utilizando la frmula (mtodo general).

a) 0252 2 =+ xx

b) 0742 =+ xx

c) 018153 2 =++ xx



40. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2 grado utilizando la frmula (mtodo general).

a) 0122 =++ xx

b) 028217 2 =+ xx

c) 0383 2 = xx

cuadernillo de actividades y ejercicios-algebra geometrica

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