Números RealesPotenciación - RadicaciónPorcentajeNotación Científica Expresiones AlgebraicasEcuaciones e InecuacionesFuncionesProporcionalidad Directa – InversaSistema de Ecuación LinealTeorema de Thales Unidades de Longitud-Superficie-Volumen-

Capacidad

Un numero es irracional cuando no puede

ser expresado como cociente entre dos

números enteros, y su expresión decimal

tiene una cantidad de cifras decimales no

periódicas.

Ejemplo:

Se denomina así, a todo número que

puede representarse como

el cociente de dos números enteros ,es

decir, una fracción común a/b con

numerador a y denominador b distinto

de cero. El conjunto de los números

racionales se denota por Q, que deriva

de «cociente». Este conjunto de

números incluye a los números

enteros , y es un subconjunto de

los números reales.

Ejemplo:

=3.141592653589

Potencia de exponente 0: Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad , puesto

que:

Potencia de exponente 1: Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:

Potencia de exponente negativo: Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma

expresión pero con exponente positivo:

Multiplicación de potencias de igual base: El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una

potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:

División de potencias de igual base: El cociente de dos potencias que tienen la misma base es igual a una

potencia de dicha base que tiene como exponente el resultado de restar el exponente del divisor al del dividendo,

es decir:

Potencia de un producto: La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al

mismo exponente, es decir:

Potencia de una potencia: La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo

exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puede escribir sencillamente como:

Potencia de un cociente: La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al

mismo exponente.

Potencia de base 10: Desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si

el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.

Raíz de un producto: La raíz de un producto de factores es igual al producto de las raíces de los factores. Con n distinto de cero (0).

Ejemplo:

Raíz de un cociente: La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

n distinto de cero (0).

Raíz de una raíz: Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

n y m distintos de cero (0).

=

=

Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento, que

significa “de cada 100”).

El A% de B, es tomar A de las 100 partes en que se divide B: A . B/100 = B . A/100Ej: el 15% de 180 es: 180. 15/100 = 180.0,15

Para determinar el porcentaje de un número sigue los siguientes pasos:

1. Multiplica el número por el porcentaje (ej. 87 * 68 = 5916)

2. Divide el resultado por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la izquierda) (ej.

5916/100=59.16)

3. Redondea a la precisión deseada (ej. 59.16 redondeado al número entero más próximo=59)

La notación científica se utiliza en ciencias. Permite escribir de manera simplificada

números largos y cortos.

La notación científica debe estar escrito como el producto entre un numero mayor o igual

que 1 y menor que diez y una potencia de 10 con un exponente que equivale a la

cantidad de números existentes después del primer número entero.

Si el numero es decimal, el exponente será negativo y se contarán, la cantidad de ceros

hacia la izquierda que indicará el exponente, a partir del primer numero entero.

*Para realizar operaciones se utilizan las propiedades de la potenciación (producto de

potencia de igual base, cociente de potencia de igual base)

Por ejemplo: Un número como:

156.234.000.000.000.000.000.000.000.000 puede ser escrito como

1,56234*1029

Potencias de 10: 10=101 100=102 100=103 0,01=10-1 0,001=10-2

Por ejemplo: 3,5*105=350000

9,6*10-4=0,00096

Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores

indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de

operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.

Ejemplos

1

2.)

2)

2)

2

32

2

x

xyxc

xyxb

xyxa

Expresiones Algebraicas

Racionales Irracionales

Enteras Fraccionarias

Polinomios Racionales

Las expresiones algebraicas enteras son polinomios.

Cuando en algún polinomio haya términos semejantes (x elevada al mismo exponente) se

deben sumar o restar para obtener un polinomio reducido, con el cual se debe

trabajar siempre.

Ej: P(x) = 3x3 – 6x + 2x + 10x +3 – 7x = 3x3 – x

Los números que multiplican a la variable son los coeficientes

El grado (GR) es el mayor exponente de todas las variables (3)

El coeficiente principal (CP) es el mayor numero que multiplica a una variable(10)

El termino independiente es el q no esta multiplicado por ninguna variable (8)

Binomio Trinomio Cuatrinomio Polinomio de x

términos

2 términos

Ej: 1/4x2- 8

3 términos

Ej:1/4x2- 8 +

3x

4 términos

1/4x2- 8+3x +

5x3

Ej de 5 terminos

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

2x − 3 = 3x + 2 Rta: x = −5 Verificación: -5*2-3=-5*3+2

-10-3=-15+2

-13=-13

Las ecuaciones se clasifican en enteras, fraccionarias e irracionales.

Una ecuación es entera cuando las incógnitas están sometidas únicamente a las operaciones de suma,resta y multiplicación:x + 1/5 = 2x - √5

Una ecuación es fraccionaria cuando por lo menos una de las incógnitas figura en el divisor:y + 1 = y + 2

x - 1 x x

Una ecuación es irracional cuando por lo menos una incógnita figura bajo el signo del radical:3√x + 1 = 3

Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de orden (<, >, ≤ o ≥). Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce como intervalo. Una de las obligaciones de las (inecuaciones) es la de cumplir una desigualdad.

Características generales de las inecuaciones

Sea por ejemplo: 5x + 15 > 30Miembros de una inecuación son las partes separadas por el signo de la desigual. La

parte que está a la izquierda se llama primer miembro (5x + 15) y el segundomiembro (30). Términos de una inecuación son cada una de lasexpresiones literales (5x) o numéricas (15 y 30)separadas por el signo + o el signo .

Resolver una inecuación es hallar el conjunto solución. En la inecuación dada el conjuntosolución es { x > 3 }. El grado de una inecuación está indicado por el mayor exponentede la variable. En el ejemplo el exponente de la variable es 1.

Procedimiento para resolución de una inecuación1)Suprimimos signos de colección.2)Hacemos transposición de términos escribiendo los que son independientes en uno de

los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la inecuación.3)Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro.4)Despejamos la incógnita.Ejemplo:

5x + 15 > 305x > 30 – 155x> 15x > 15/5x > 3

Verificación:4*5 + 15 > 30

Una función es la relación entre estas dos variables:

• Variable independiente: letra "X"

• Variable dependiente: letra "Y", depende de X

En una función a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable

dependiente

Las funciones se pueden expresar mediante un gráfico, una tabla de valores o una formula

Formula: Y=3.XX ES LA VARIABLE INDEPENDIENTE.

EL RESULTADO DE Y DEPENDE DE X

Y = MX

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

y = 2x

M es la pendiente: m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje

de abscisas.

Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

X 0 1 2 3 4 5

Y 0 2 4 6 8 10

Directa: Dos variables x e y son directamente proporcionales si su razón y/x es constante. En este caso se dice que

las variables x e y son directamente proporcionales.

Dicho de otra manera si una de las variables aumenta (x), la otra también aumenta (y); y si una de las

variables disminuye (x), la otra también disminuye (y).

Una lata de bebida cuesta 350 pesos. Tienes que comprar 10;

por lo tanto, necesitas 3500 pesos.

Cantidad de latas (X) Costo en dinero

(Y)

1 350

2 700

3 1050

4 1400

5 1750

6 2100

7 2450

8 2800

9 3150

10 3500

Con estos datos tenemos siguiente tabla:

Como se aprecia, tenemos dos variables la cantidad de latas y

el costo en dinero, en ambas los valores aumentan

y a cada valor le corresponde un valor y sólo uno en la otra.

Indirecta: Dos variables x e y son inversamente proporcionales si su producto x por y es constante. En este

caso se dice que las variables x e y son inversamente proporcionales.

Dicho de otra manera si una de las variables aumenta (x), la otra disminuye (y); y si una de las variables disminuye (x), la otra variable aumenta (y).

Estás invitado a un cumpleaños y como es habitual, hay una torta para compartir con el festejado. A

la fiesta asisten 10 amigos. A la hora de repartir la torta (si se hace en partes iguales) le corresponde

una (1) parte de diez a cada uno, es decir, una décima parte de la torta o también el 10 % del total.

Invitados (personas) Trozos de torta

(%)

1 100,00

2 50,00

3 33,33

4 25,00

5 20,00

6 16,66

7 14,28

8 12,50

9 11,11

10 10,00

11 9,09

12 8,33

Con estos datos tenemos siguiente tabla:

Como se aprecia, tenemos dos variables invitados ( personas) y Trozos

de torta (%), en una los valores aumentan y en la otra los valores

disminuyen.

y a cada valor le corresponde un valor y sólo uno en la otra.

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones. con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.Un sistema lineal con dos ecuaciones y dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales y dos indeterminadas, generalmente x e y. Resolverlo consiste en determinar los valores de x e y que hacen ciertas simultáneamente las dos igualdades. Un sistema de este tipo puede no tener solución (sistema incompatible), tener una solución (sistema compatible determinado) o tener infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado)

TIPOS:

Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución.

Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:

Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que forman una variedad continua.

Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas con a lo sumo un número finito de puntos de acumulación.

Ejemplo de un sistema de ecuación : 3 x - y = 5 / x + y = 7Analíticamente podemos resolverlo por varios métodos. Probamos con el método de igualación donde despejaremos la variable y:y = 3 x - 5 e y = - x + 7Igualando ambas ecuaciones:3 x - 5 = -x + 7 3 x + x = 7 + 5

4 x = 12x = 3

Entonces si x = 3 ; y = 4 Es decir que la solución del sistema es (3 , 4 )

"Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los

segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son

proporcionales

El teorema de Thales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento

paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se

obtiene otro triángulo AB'C', cuyos

sus lados son proporcionales a los del triángulo ABC

La unidad de longitud: metro (M)

Sus submúltiplos se obtienen dividiéndola por 10

Mientras que sus múltiplos se obtienen multiplicándola por 10

La unidad de capacidad: litro (l)

Sus submúltiplos se obtienen dividiéndola por 10

Mientras que sus múltiplos se obtienen multiplicándola por 10

La unidad de peso: gramo (g)

Sus submiltiplos se obtienen dividiéndola por 10

Mientras que sus múltiplos se obtienen multiplicándola por 10

La unidad de volumen: metro cúbico (m3)

Sus submúltiplos se obtienen dividiéndola por 100

Mientras que sus múltiplos se obtienen multiplicándola por 100

Km hm dam m dm cm mm

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

Kl hl dla l dl cl ml

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

kg hg dag g dg cg mg

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

0,000000001 0,000001 0,001 1 100 100.000 1.000.000.000

Trabajo realizado por:

José Cancinos

Leandro Altobelli

Francisco Villagra Segura.

Alumnos de 3° 1° de Economía

Profesora Juliana Isola

Año: 2012

Libro de 9no año. “Matemáticas 3/9” Ed.

Kapelusz

Internet:

www.wikipedia.com

www.vitutor.com