conceptos varios sobre flujo de fluidos clase 06
DESCRIPTION
El flujo de fluidos es un fen´omeno comun´ a la vida diaria. El estudio de su mecanismo es esencialmenteimpulsado por entender la f´ısica involucrada, as´ı como su control en diversas aplicacionesde ingenier´ıa. La astrof´ısica, meteorolog´ıa, oceanograf´ıa, aerodin´amica, hidrodin´amica, lubricaci´on,ingenier´ıa marina, turbomaquinaria, ingenieria de yacimientos e ingenier´ıa de la combusti´on, sonalgunos de los campos donde la mec´anica de fluidos se emplea. En este texto se tratar´an las bases dela mec´anica que son comunes a estas disciplinas. Habr´a algunos ejemplos espec´ıficos no con el objetode dar recetas para problemas en la pr´actica, sino con el objeto de mostrar los principios generalesy su manejo.TRANSCRIPT
Vector Velocidad
• Definimos el vector velocidad del flujo de un
fluido, de la forma:
V(x; y; z; t) = u(x; y; z; t) i + v(x; y; z; t) j + w(x; y; z; t) k
Donde u, v y w son velocidades en las direcciones x, y, z
respectivamente y cada una de ellas pudiendo variar en el
tiempo y/o el espacio.
La aceleración es la derivada total de la velocidad con
relación al tiempo:
kdt
dwj
dt
dvi
dt
du
dt
dVa
• Como cada componente es función de (x, y, z, t),
su derivada total lo hacemos por la regla de la
cadena, así:
• Pero
dt
dz.
z
u
dt
dy.
y
u
dt
dx.
x
u
t
u
dt
)t,z,y,x(du
wdt
dz;v
dt
dy;u
dt
dx
uV.t
uw.
z
uv.
y
uu.
x
u
t
u
dt
du
wV.t
ww.
z
wv.
y
wu.
x
w
t
w
dt
dw
vV.t
vw.
z
vv.
y
vu.
x
v
t
v
dt
dv
V.V.t
V
z
V.w
y
V.v
x
V.u
t
V
dt
Vda
• Sumando
• El termino
• se denomina ¨Aceleración local¨ y se anula
cuando el flujo es estacionario, o sea no depende
del tiempo.
• Los tres términos que estan entre paréntesis de
denominan ¨Aceleración convectiva¨ y aparece
cuando una partícula se mueve a través de
regiones donde la velocidad varia.
t
V
Flujo de Fluidos en movimiento
Por la forma geométrica que pueda tener el movimiento de un fluido, se pueden definir los siguientes conceptos:
a) Líneas de corriente
b) Líneas de trayectoria o senda
c) Líneas de filamento
Flujo de Fluidos en movimiento
La ¨Línea de Corriente¨ es aquella línea que en un instante
dado es tangente al vector velocidad en cualquier punto.
La línea de corriente es una línea continua que se dibuja en
el fluido, de tal forma que tenga la dirección del vector
velocidad en cada punto del mismo.
Para un instante dado “dt” su desplazamiento será “ds” con
sus componentes “dx”, “dy”, “dz” que tienen la dirección de
las componentes del vector velocidad, “u”, “v”, “w”. Asi:
Ecuación diferencial de las líneas de corriente
w
dz
v
dy
u
dx
Flujo de Fluidos en movimiento
La ¨Línea de Trayectoria o Senda¨ es el camino seguido
realmente por una partícula de fluido.
La ¨Línea de Filamento¨ es el rastro obtenido con el fin de
seguir el movimiento, cuando se inyecta tinta o humo al flujo
de fluido.
Clasificación de los flujos de
fluidos• Un flujo puede clasificarse de diversas
formas, a saber:
• a) Laminar o Turbulento
• b) Ideal o Real
• c) Reversible o Irreversible
• d) Rotacional o No rotacional
• e) Uniforme o No uniforme
• f) Permanente o No permanente
Flujo Laminar
Las partículas del fluido se mueven a lo largo de
trayectorias suaves en laminas, o capas, con una
capa deslizándose suavemente sobre otra
adyacente.
Flujo Turbulento
Las partículas del fluido se mueven en trayectorias
arremolinadas muy irregulares, cambiando
continuamente su tamaño y dirección.
Flujo Ideal
Es la suposición que se hace para el flujo de un
fluido, considerando que el mismo es sin fricción e
incompresible.
Esta suposición es útil cuando se analizan flujos de
fluidos con grandes masas.
Un fluido sin fricción es un fluido incompresible, no
viscoso y sus procesos son reversibles y libres de
perdidas.
Flujo Rotacional
.Es el flujo de un fluido cuyas partículas, dentro de
una región determinada, rotan alrededor de algún
eje. El Flujo Rotacional también se conoce como
Flujo Vórtice.
Flujo Irrotacional
Es el flujo de un fluido cuyas partículas, dentro de
una región determinada, no rotan alrededor de algún
eje.
Flujo UniformeEl flujo de un fluido es Uniforme cuando, en cualquier
punto, el vector velocidad o cualquier otra variable, es
siempre la misma (en magnitud y dirección), para cualquier
instante. Escrito esto en forma de ecuación, será:
Donde el tiempo se mantiene constante y “s” es un
desplazamiento en cualquier dirección.
Lo que dice la ecuación es que no existe cambio en el
vector velocidad en ninguna dirección a través del fluido ni
en cualquier instante.
Esta ecuación no especifica del cambio de velocidad en un
mismo punto con el tiempo.
Cuando el vector velocidad varia de un lugar a otro, en
cualquier instante, el flujo es No uniforme
0s
V
Flujo Permanente
.El flujo es Permanente cuando las condiciones en
cualquier punto del fluido, no cambian con el tiempo.
Escrito esto en forma de ecuación, será:
en donde el espacio (coordenadas x, y , z del punto)
se mantienen constantes.
En flujos permanentes tampoco existen cambios en:
la densidad , la presión p, la temperatura T y la
concentración C, en ningún punto del mismo.
0t
V
0t
0t
p
0
t
T
0
t
C
Ejemplos de flujos permanente y no permanentes y
uniformes y no uniformes.
a) El liquido que fluye a lo largo de un tubo largo con
caudal constante, es Flujo uniforme permanente.
b) El liquido que fluye a lo largo de una tubería larga
con caudal decreciente, es Flujo uniforme no
permanente.
c) El flujo a través de un tubo que se expande y fluye
con un caudal constante, es Flujo no uniforme
permanente.
d) El flujo a través de un tubo que se expande y fluye
con un caudal que se incrementa, es Flujo no
uniforme no permanente.
Conceptos preliminares• Volumen Fluido: Porción de fluido que se mueve
y a la que se sigue en su movimiento. Es el mismo
volumen al que se le sigue continuamente y que
está formado siempre por la misma cantidad de
partículas.
• El Teorema del transporte de Reynolds es una
herramienta de análisis que permite estudiar los
sistemas continuos en forma global.
• El Teorema del transporte de Reynolds se utiliza
para encontrar la solución de la variación de las
• propiedades de un fluido restringido a un volumen
de análisis, denominado volumen de control.
• El Teorema del transporte de Reynolds es el primer
paso para poder demostrar todas las ecuaciones
básicas de la mecánica de fluidos.
• Este teorema indica como varía con el tiempo una
propiedad cualquiera (B) del fluido dentro de un
Volumen de control (VC) definido.
• La ecuación del Teorema de Reynolds varía
ligeramente si el volumen de control es fijo, móvil o
deformable.
• El Volumen de control es la región de interés que se
desea estudiar, mientras que la Superficie de control
(SC) es el área que envuelve el volumen de control,
es un concepto abstracto y no obstruye de ninguna
forma al fluido.
Volumen de Control• Un Volumen de control es un volumen arbitrario
que puede o no coincidir con los limites de un
dispositivo o del sistema material, puede ser
estático o deslizante, indeformable o de volumen
variable.
• Es una región del espacio imaginaria, que se
puede mover o no, y que se define en cada
instante y a través de la cual el fluido puede entrar
o salir (O sea, no está formado siempre por las
mismas partículas).
• Su frontera, usualmente denominada Superficie de
control, permite el flujo de materia desde y hacia el
interior.
•
Aplicaciones del Volumen de
Control a las leyes básicas de la
mecánica de fluidos
1- Conservación de la masa
2- Conservación de la Cantidad de
Movimiento
3- Conservación del Momento Cinético
4- Ecuación de la Energía
Si el sistema que se estudia es la masa, y ella se
mantiene constante, es decir no cambia, entonces la
ley de la mecánica tiene una expresión matemática
muy simple, denominada ¨Conservacion de la Masa¨
Si el entorno ejerce una fuerza resultante F sobre el
sistema, por la 2da. Ley de Newton la masa se
acelerara produciendo la ¨Conservacion de la
Cantidad de Movimiento¨
0dt
dm;tetanConsmsistema
V.mdt
d
dt
Vd.ma.mF
• Si el entorno ejerce un momento resultante M
respecto al centro de masa del sistema, habra un
efecto de rotacion, produciendo la
¨Conservacion del Momento Cinético¨
• H es el Momento Cinético o Momento de la
Cantidad de Movimiento.
• Si el sistema recibe calor Q o realiza trabajo W,
sobre su entorno, la energía del sistema debe
cambiar un E.
;mVrHdonde;dt
dHM
dt
dEWQ
Teorema del Transporte de Reynolds
Demostración• Vamos a considerar un volumen de control fijo atravesado por
una configuración de flujo arbitraria, como se muestra en la
figura siguiente, la única complicación adicional es que hay
zonas de entrada y salida variables a lo largo de la superficie
de control.
• Cada área diferencial (dA) de la superficie de control
tendrá una velocidad V que formará un ángulo θ con la
dirección local normal a dA, por lo tanto, los flujos de
entrada vendrán definidos por (V.A cosθ)ent.dt, cuando el
flujo entre o (V.A cosθ)sal. dt cuando el flujo salga.
• Sea B una de las propiedades cualquiera del fluido que
se conserve, tal como indicamos anteriormente (masa,
cantidad de movimiento, momento de la cant. de mov. o
energía).
• A su vez, definimos β como la variación de B con
relación a la de la masa, así:
dm
dB
• La cantidad total de B en el volumen de control es:
• Examinando la figura anterior, se observan tres partes
de variación de B en el volumen de control:
• 1- Variación de β en el interior del VC:
• 2- Flujo de β que abandona el VC:
• 3- Flujo de β que ingresa al VC:
VCVC
d.dm.B
VC
d.dt
d
salidaSC
dA.cos.V..
entradaSC
dA.cos.V..
Si es una velocidad de entrada y si
tienen sentidos contrarios,
entonces
Si es una velocidad de salida, y si
tienen los mismos sentidos,
entonces
VnyV
V180cosnVn.V o
VnyV
V0cosnVn.V o
• En el límite, el cambio instantáneo de B en el sistema,
es la suma de la variación interior más el flujo que sale
menos el que entra, así:
• Esta es la expresión básica en forma integral del
Teorema del transporte de Reynolds para un volumen
de control fijo arbitrario, donde la propiedad B puede ser:
la masa, cantidad de movimiento, momento cinético o
energía.
• Esta expresión se puede formular en forma mas
compacta de la forma:
SC
entradaSC
salidaVC
sist dA.V..dA.V..d..dt
d
dt
Bd
SCVC
sist n.V..d..dt
d
dt
Bd
Teorema del Transporte de
Reynolds - Resumen
• Volumen de Control fijo arbitrario
Bsistema = una de las propiedades dadas
anteriormente (masa; cantidad de movimiento; momento cinético o energía)
SCVC
sistema dAnVddt
dB
dt
d.)(
= densidad del fluido en estudio
derivada del sistema con relación a la
masa.
= volumen a ser integrado.
A = área de la/s superficie/s de control.
VC y SC Volumen y superficie de control
• es la velocidad que incide sobre la
superficie de control (entrada o salida)
• es un vector unitario perpendicular a la
superficie de control de sentido para
afuera del volumen de control.
dm
dBsist
V
n
• Si el sistema a ser estudiado se refiere a la
“Conservación de la masa”:
• Bsist = m y
• Como
• Si además se trata de un flujo incompresible,
= constante,
1dm
dm
SCVC
sistema dAn.Vddt
d
dt
dm)B(
dt
d
SCVC
dAnVddt
d
dt
dm.
0dt
dm 0dAn.Vddt
d
SCVC
• Si el Volumen de control es constante, la
primera integral
• Las sumatorias de cada termino son los
caudales totales de salidas y entradas.
• Esta ultima expresión es la llamada
¨Ecuación de la Continuidad¨
0AVAV;0dAn.Ventradaiisalidaii
SC
0 dt
dd
dt
d
VC
Ejercicio 1
Dado tres conductos que descargan agua a 20º c de forma
estacionaria a un gran conducto de salida. La velocidad
V2= 5 m/s y el caudal de salida Q4= 120 m3/h. Calcule a)
V1 (b) V2 y (c) V4 si se sabe que, al aumentar Q3 en un 20
%, Q4 se incremente un 10%
Ejercicio 2
En la figura se presenta agua fluyendo a través de un conducto de 8
cm de diámetro que entra en una sección porosa. Esta sección
permite una velocidad radial uniforme VW a través de la pared de
longitud 1,2 m. Si la velocidad media en la entrada es V1= 12 m/s.
Determinar la velocidad de salida V2. Si :
a) VW = 15 cm/s hacia fuera del conducto
b) VW = 10 cm/s hacia dentro del conducto .
c) Cual es el valor de VW para V2= 9 m/s
Ejercicio 3El deposito se llena a través de la sección 1. suponiendo flujo incompresible, obtenga una expresión para el cambio de nivel del agua dh/dt en función de los flujos volumétricos (Q1, Q2, Q3 ) y el diámetro del deposito d. Si el nivel de agua h es constante, determine la velocidad de salida V2
conociendo V1= 3m/s y Q3= 0,01 m3/s
Ejercicio 4
En la figura en el instante t=0 la profundidad del agua
en el depósito es de 30 cm. Estime el tiempo
requerido para llenar el resto del depósito
Ejercicio 5
El agua de una tormenta fluye a una velocidad vertical de 8
ml/s . El sistema tiene un ancho de 5 m. Determinar la
longitud L del lecho que se requiere para absorber
completamente el agua de la tormenta
Ejercicio 6Por el cojinete fluye aceite (S= 0,89) con un flujo de peso de 250 N/h para lubricarle. El aceite fluye radialmente a través de las placas horizontales. Calcule: a) El caudal de salida en mm/sb) La velocidad media de salida en cm/s
• Ejercicio 7
• Por la parte inferior del cono de la figura entra agua con
velocidad media V = k t. Considerando “d” muy pequeño,
obtener una expresión que indique la altura h = h(t). Se conoce que
para t = 0, h = 0 y el flujo es incompresible
• Ejercicio 8
• El cono truncado de la figura contiene un liquido incompresible
con una altura “h”. Un pistón solido de diámetro “d” penetra en
la superficie con velocidad “V”. Determinar una expresión
analítica que indique el aumento de la altura de la superficie
libre del liquido.
• Ejercicio 9
• De acuerdo al teorema de Torricelli
la velocidad que sale por el orificio
es V = (2gh)1/2 donde h es la altura
de agua sobre el orificio. Si el
orificio tiene un diámetro d = 5 cm
y el tanque cilíndrico D = 12 m.
Determinar el tiempo que tardara el
nivel del agua dentro del deposito
para disminuir ¾ partes de su
altura inicial que es h0 = 8 m.
Fin de la 1ra. parte
Ecuación diferencial de la conservación de la
masa
• El teorema de transporte de Reynolds
para la conservación de la masa es:
• Si el sistema es indeformable:
0
entradaiiiVC salidaiii VAVAd
t
0.
dAnVd
dt
d
dt
dm
VC SCsist
0
entradaVC
salidamasicoFlujomasicoFlujod
t
• Vamos a tomar un elemento diferencial de
volumen de control
• Como el volumen de control es tan pequeño
se puede escribir:
VCdxdydz
td
t
• Para este volumen de control existen tres
entradas y tres salidas que indicamos en el
siguiente cuadro:
0
dxdydzw
zdxdydzv
ydxdydzu
xdxdydz
t
0
w
zv
yu
xt
• Ecuación de la conservación de la
masa para un Volumen de Control
infinitesimal, también llamado Ecuación
de la Continuidad.
• Ecuación que relaciona la densidad con la
velocidad.
• El flujo puede ser estacionario o no,
viscoso o no, compresible o incompresible.
0
w
zv
yu
xt
La Función de Corriente• Sea la ecuación de la continuidad:
• Si el flujo es incompresible, permanente y bi-
dimensional:
• Como
• Si se cumple que rotor de V = 0 (flujo irrotacional)
0
w
zv
yu
xt
0
y
v
x
u
jviuV
0
0
0
k
y
u
x
v
vu
yx
kji
VRot
• Tomamos una función = (x, y), tal que
• Todos los valores de = contante es el
lugar geométrico llamado ¨Líneas de
corrientes¨
xv
yu
;
0
yyxxVRot
0;02
2
2
2
2
yx
• En efecto:
•
• Es decir, la variación de a lo largo de las
líneas de corrientes es cero, por lo tanto
• = contante a lo largo de las líneas de
corrientes.
v
dy
u
dx 0 dyvdxu
ddy
ydx
x0