COMENTARIOS HISTRICOS SOBRE LA TEORA DE PANDEOEste artculo forma parte del Journal of Structural Enginnering, Vol 109, Septiembre, 1983. Traducido por Francisco Javier Crisafulli. Facultad de Ingeniera. U.N.C.

INTRODUCCIN La frmula de Euler, que an se emplea para el clculo de la carga crtica en campo elstico de columnas esbeltas, es una de las frmulas ms antiguas de la ingeniera. Su desarrollo, junto con las modificaciones introducidas por Engesser y Shanley para considerar el comportamiento no lineal, proveen la base para una historia que se ha desarrollado en forma continua desde 1744. La revisin de esta historia, dentro de la cual hay hechos bien conocidos y otros no tanto, debe realizarse dentro del marco de las siguientes limitaciones: inicialmente la columna es perfectamente rectilnea y cargada con una accin, que previo al pandeo, coincide con el eje longitudinal de la pieza. la columna est constituida por un material real (acero estructural, aleaciones de aluminio u otro metal no ferroso), a pesar de las hipotticas condiciones supuestas con respecto a la geometra de la barra. En el caso del acero estructural se asume una relacin tensin-deformacin lineal hasta alcanzar la tensin de fluencia y luego el material (en promedio) deforma plsticamente, sin aumento de la tensin hasta una deformacin varias veces mayor que la del campo elstico. Se considera adems que el comportamiento es el mismo tanto en compresin como en traccin. Estas consideraciones son aproximadamente reales para el caso de miembros que han sufrido un tratamiento de recocido, pero no para secciones laminadas en caliente sin ese tratamiento. El enfriamiento desigual despus del laminado o los tratamientos de deformacin en fro, originan en las secciones de acero tensiones residuales que pueden ser consideradas en el anlisis, pero limitado al caso de secciones bisimtricas con diagramas de tensiones residuales tambin bisimtricas. Si el material de la columna no presenta un lmite de fluencia definido, como es el caso del acero inoxidable, el acero conformado en fro o las aleaciones de aluminio estructural, se asume que la tensin es lineal con respecto a la deformacin hasta el lmite de proporcionalidad, para tensiones mayores la deformacin aumenta con una relacin continuamente creciente con respecto a la tensin. En rango inelstico el mdulo de elasticidad tangente es definido como la pendiente de la curva tensin-deformacin. Si se produce una disminucin de la deformacin, se supone que tensin disminuye con una pendiente igual a la de la zona lineal elstica. Los extremos se suponen que pueden ser fijos, libres o tener articulaciones sin friccin. La primera y la ltima condicin solo pueden lograrse en forma aproximada.1

La columna perfecta, en su funcin estructural de transmitir cargas de compresin de un punto de la estructura a otro, debera permanecer recta mientras se acorta bajo una carga creciente. Pero al alcanzar la carga crtica, si se introduce una imperfeccin infinitesimal, la barra comienza a flectar. Si la columna fuera suficientemente esbelta para pandear elsticamente, no habra un incremento inicial de la carga al comenzar el proceso de pandeo. Sin embargo si el mismo se iniciara en el rango inelstico, un leve incremento de carga acompaara la iniciacin del fenmeno.

PANDEO ELSTICO En 1678 Robert Hooke proporcion los elementos preliminares necesarios para el desarrollo de la teora del pandeo elstico al establecer que el desplazamiento de un cuerpo elstico era proporcional a la carga que lo produca. Afirm que esta relacin, ahora conocida como Ley de Hooke, poda ser aplicada a todos los ``cuerpos elsticos, . . . metal, madera, piedra, cabello, hueso, tendn, seda, tierra cocida, vidrio, etc.``. Sus hallazgos fueron hechos en base a varios experimentos. El segundo paso lo dio Jacob Bernoulli quin estudi el descenso y la curvatura en una viga cantilever. El asegur, en 1705, sobre la base de la Ley de Hooke, que la curvatura en cualquier punto de una barra flectada era proporcional al momento resistente desarrollado en ese punto. Leonard Euler (1707-1783) estudi bajo la supervisin del hermano de Jacob Bernoulli, John, y asumi como cierta la relacin entre momento y curvatura. En el apndice del libro que Euler public en 1744 sobre clculo variacional, present por primera vez la frmula para columnas que hoy lleva su nombre. La carga de Euler es la carga para la cual una columna esbelta y elstica puede entrar en una configuracin de flexin por efecto de carga axial nicamente. En la poca de Euler las columnas eran hechas de mampostera o madera, siendo este ltimo material considerado por Euler como apropiado para aplicar su frmula. Euler es conocido, principalmente por su teora para columnas, pero incursion en un amplio campo de la ciencia, realizando a lo largo de su vida 866 publicaciones, por lo que se lo considera uno de los matemticos ms prolficos de todos los tiempos. Euler dedujo su frmula en la hiptesis de lo que l llam momento de rigidez de la barra y E k2 donde E k2 era una constante a determinar por va experimental y el que era igual a: radio de curvatura de la columna. El tena solo una idea aproximada de la relacin existente entre la forma de la seccin y la constante E k2 y en un escrito posterior (en el ao 1759) deca que el momento de rigidez parece ser proporcional al cuadrado, o quizs al cubo, del grosor de la pieza, por lo que, si la seccin es circular, el momento de rigidez sera proporcional a la tercera o cuarta potencia del dimetro de la barra. De esta manera comienza a intuir el concepto de momento de inercia de una seccin que no era conocido en esa poca.Euler escribi la frmula para calcular la fuerza necesaria para flectar la columna como: 2 E k 2 Pe = L22

donde E es una propiedad resistente y k2 una caracterstica dimensional de la seccin. A pesar de que l no tena las bases para determinar E o k2 en forma independiente, propuso determinar E k2 en forma combinada, mediante el ensayo de una viga cantilever con una carga P en el extremo en donde se meda el desplazamiento : P L3 E k2 = 3 La transicin de la constante de Euler E k2 al E I actual requiere de la aplicacin de la ley de Hooke en conjuncin con una adecuada evaluacin de distribucin de tensiones internas en un miembro flectado. Mariotte (1620-1684) realiz importantes ensayos sobre vigas cantilever en el ao 1680 y en base a los mismos fue el primero en reconocer que las fibras superiores se alargaban mientras que las inferiores se acortaban. Leibniz, en 1684, confirm la validez de las conclusiones de Mariotte y recomend la aplicacin de la Ley de Hooke al problema. Parent fue el primero en deducir, en 1713, la correcta distribucin de tensiones en una viga rectangular, pero su trabajo no fue reconocido por los investigadores de la poca. Recin en 1783, 39 aos despus que Euler public su frmula, Coulomb (1736-1806) aplicando la Ley de Hooke y las ecuaciones de equilibrio esttico dedujo la expresin que relaciona el momento flector con las tensiones normales que ste origina en las viga. La deformacin por corte fue despreciada por Coulomb, pero posteriormente Navier y St. Venant completaron la teora de la flexin aplicando la teora general de la elasticidad. A pesar de que la frmula de Euler es ahora aceptada en forma universal para el diseo de columnas esbeltas de acero, fue muy criticada a principios del siglo XIX porque fall en la prediccin de la resistencia de miembros comprimidos construidos en mampostera o hierro fundido. Tuvieron que pasar 100 aos desde que Euler publicara su trabajo, para que los materiales a los cuales es aplicable su frmula pudieran usarse comercialmente en las estructuras. Esos materiales fueron inicialmente el hierro forjado y luego, alrededor de 1850, el acero estructural. Por ltimo, a principio del siglo XX, las aleaciones de aluminio se han incorporado a la familia de los metales para construccin. En 1822 J. Robinson calific el trabajo de Euler como un estril discurso matemtico, basado en hiptesis que son extremadamente injustificadas . . su teora sobre la resistencia de columnas es una de las ms duras evidencias sobre ese desacertado tipo de procedimientos. En 1840 E. Hodgkinson realiz una serie de ensayos sobre columnas de hierro fundido en base a los cuales Todhunter y Pearson dieron, de mala gana, alguna credibilidad al trabajo de Euler, diciendo que ... nos arriesgamos a pensar que la teora de Euler, modificada, de alguna manera, podr ayudarnos ... Por ltimo, en 1905, Jonson Bryan y Turneaure en su texto Estructuras aporticadas modernas recomendaban el empleo de la frmula de Euler, precedida por una constante ajustada en base a ensayos.

PANDEO INELSTICOSi bien Euler fue el padre de la teora del pandeo elstico, l no limit el campo de validez de su frmula, demostrando as que la interpretacin de los fenmenos inelsticos era muy superior a los conocimientos de la poca. En una memoria del ao 1757 escribi: ... todo parece indicar que el momento de rigidez E k no est limitado a los cuerpos elsticos. La frmula concierne a una fuerza (que origina un momento) por medio de la cual la pieza sufre un corrimiento y no3

tiene ninguna importancia si tal pieza, despus de la flexin, requiere o no de una fuerza adicional para retomar su forma primitiva. Los progresos hacia una mejor interpretacin del pandeo en campo no lineal no se desarrollaron por muchos aos, debido fundamentalmente a la falta de conocimiento de las relaciones tensindeformacin y momento flector-curvatura en el rango inelstico. En 1889 Considere indic por qu la frmula de Euler no haba sido muy usada por los ingenieros. Realiz una serie de ensayos sobre 32 columnas y sugiri que si el pandeo ocurra cuando se ha sobrepasado el lmite de proporcionalidad, se deba considerar un mdulo de elasticidad efectivo Eef, cuyo valor estaba comprendido entre el mdulo inicial E y el mdulo tangente Et. Independientemente de estos estudios, Engesser en el mismo ao sugiri que la resistencia de las columnas poda calcularse utilizando el mdulo tangente en la frmula de Euler. Con este criterio, para una columna articulada la tensin crtica era: 2 E t t = (l i )2 siendo i el radio de giro de la seccin y l la longitud de la columna. Seis aos despus, Jasinki, en base a los trabajos de Considere y Engesser, propuso utilizar un mdulo de elasticidad reducido Er, intermedio entre E y Et, pero que dependa tambin de la forma de la seccin. En 1910 Theodor von Karman dedujo expresiones explcitas para las secciones rectangular y doble T. El mdulo reducido Er se lo llam tambin doble mdulo y durante los 35 aos posteriores al trabajo de von Karman se entabl una continua controversia entre la conveniencia de usar la teora del doble mdulo o la del mdulo tangente. Desde el punto de vista de la teora de la inestabilidad de Euler el concepto del doble mdulo era correcto, porque indicaba la carga para la cual una columna perfectamente recta y cargada en forma axial permanecera en equilibrio sin variacin de carga ya sea en su posicin de equilibrio o en su configuracin de flexin. Sin embargo muchas experiencias de laboratorio, realizadas con sumo cuidado, mostraron que el pandeo y la falla de la columna se produca para cargas ligeramente superiores a las que indicaba la teora del mdulo tangente. En 1946, Shanley reconcili las controversias surgidas entre los defensores de ambas teoras. El estableci que obviamente era posible que se iniciara la flexin de la columna con un aumento simultneo de carga axial de acuerdo a la teora del mdulo tangente. Bastara una imperfeccin infinitesimal para producir la flexin inicial y por lo tanto la carga de la frmula del doble mdulo nunca se alcanzara. Un ao despus, Shanley confirm su anuncio mediante ensayos de modelos consistentes en dos barras rgidas conectadas en el centro por material inelsticamente deformable. De acuerdo a esas experiencias von Karman refin la teora del mdulo tangente escribiendo que: La carga del mdulo tangente es el menor valor de carga axial para el cual puede ocurrir la bifurcacin de la posicin de equilibrio, sin tener en4

cuenta si la transicin a la bifurcacin de flexin requiere un aumento de la carga axial o no. Estos nuevos conceptos, que tienen una importancia comparable a la contribucin inicial de Euler, han sido llamados Teora de Engesser-Shanley. Duberg y Wilder, aplicando estas ideas, estudiaron profundamente la seccin doble T mediante un modelo en el cual las alas se concentraban en dos puntos y se consideraba que el alma slo trabajaba a corte. El comportamiento del material se representaba mediante la curva tensindeformacin propuesta por Ramberg y Osgood. Estos estudios confirmaron plenamente los conceptos de Shanley. Posteriores anlisis experimentales de Johnson y Malvich-Lee mostraron resultados anlogos, reafirmando la definicin de carga crtica de Engesser-Shanley que hoy es generalmente aceptada (con limitaciones para materiales con tensiones residuales).

CONCLUSIONESEl estudio de la frmula de la columna se ha desarrollado en forma continua desde el siglo XVIII. A pesar de ello an es necesario revisar algunas de las facetas menos conocidas de este problema, en especial todo lo concerniente a la hiptesis de perfeccin que no se cumplen en las estructuras reales. En la prctica, las columnas nunca son perfectamente rectas y el grado de curvatura no se conoce. Las columnas reales siempre presentan tensiones residuales que solo pueden estimarse en forma aproximada. Adems existen restricciones laterales y rotaciones difciles de evaluar y que varan a lo largo de la vida de la estructura. Existe una vasta y a veces confusa literatura dedicada a estos factores, que muestran la columna real ajena a este proceso continuo de estudio e investigacin, pero ello no es as, y esta tarea constituye un desafo de grandes proporciones que an no termina.

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