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DISEO DEESTRUCTURAS DE ACERO
FLEXIN 2(PANDEO LATERAL)
d
z
x
y
M
M
(a)
(b)
A
A
B
B
Mx
Mx Mx
Mxx
x
y
z
z
z
v
(c)
M
Mx
u
Mxx
y
v
Oscar de Buen Lpez de Heredia
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DISEODE ESTRUCTURAS DE ACERO
CAPTULO 5FLEXIN 2 (PANDEO LATERAL)
Oscar de Buen Lpez de Heredia
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Derechos Reservados 2002Fundacin ICA, A. C.
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Flexin2 (Pandeo lateral) 3
CAPTULO 5. FLEXIN 2 (PANDEO LATERAL)
NDICE:
5.1 Introduccin ........................................................................................................ 7
5.2 Comportamiento de vigas en flexin pura ........................................................ 10
5.2.1 Vigas de diversas longitudes ................................................................. 11
5.3 Torsin ............................................................................................................. 13
5.3.1 Introduccin ........................................................................................... 13
5.3.2 Torsin pura o de Saint Venant ............................................................. 13
5.3.2.1 Barras de seccin transversal abierta formadas porrectngulos angostos ................................................................... 13
5.3.2.2 Barras de seccin transversal hueca de paredesdelgadas ...................................................................................... 14
5.3.3 Torsin no uniforme de barras de seccin transversal abiertay paredes delgadas ................................................................................. 18
5.4 Pandeo lateral elstico ...................................................................................... 25
5.4.1 Caso fundamental: vigas I en flexin pura ............................................. 25
5.4.1.1 Clculo del momento crtico ......................................................... 26
5.4.1.1.1 Vigas de seccin transversal rectangular,maciza o hueca ................................................................ 28
5.4.1.1.2 Vigas I de paredes delgadas ............................................ 28
5.4.2 Otras condiciones de apoyo y carga ...................................................... 29
5.4.2.1 Algunas soluciones aproximadas ................................................. 33
5.4.2.1.1 Momentos desiguales en los extremos ............................ 335.4.2.1.2 Carga concentrada en el punto medio ............................. 355.4.2.1.3 Otras condiciones de carga ............................................. 385.4.2.1.4 Otras condiciones de soporte lateral ................................ 42
5.4.3 Soportes laterales intermedios y vigas continuas .................................. 43
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4 Flexin 2 (pandeo lateral)
5.5 Pandeo lateral inelstico .................................................................................... 55
5.5.1 Aspectos generales ............................................................................... 55
5.5.2 Criterios para determinar la resistencia ................................................. 58
5.6 Resistencia de diseo en flexin ....................................................................... 62
5.6.1 Miembros en los que el pandeo lateral no es crtico .............................. 62
5.6.1.1 Miembros que no se pandean ...................................................... 64
5.6.2 Miembros en los que el pandeo lateral es crtico ................................... 69
5.6.2.1 Pandeo lateral en el intervalo elstico .......................................... 69
5.6.2.2 Pandeo lateral inelstico .............................................................. 705.6.3 Normas tcnicas complementarias del reglamento del D.F .. 71
5.6.3.2.1 Frmulas simplificadas ..................................................... 765.6.3.2.2 Flexin no uniforme .......................................................... 77
5.6.4 Longitudes caractersticas ..................................................................... 78
5.6.5 Efectos del nivel en el que estn aplicadas las cargas .......................... 81
5.7 Contraventeo ..................................................................................................... 83
5.7.1 Introduccin ........................................................................................... 83
5.7.2 Diseo de elementos de contraventeo ................................................... 86
5.7.3 Imperfecciones iniciales ......................................................................... 88
5.7.4 Inelasticidad del elemento contraventeado ............................................ 89
5.7.5 Rigidez del sistema de contraventeo ..................................................... 90
5.7.6 Factores de resistencia y definiciones ................................................... 91
5.7.7 Contraventeo relativo para columnas y marcos ..................................... 91
5.7.7.1 Recomendaciones de diseo ....................................................... 91
5.7.8 Sistemas discretos de contraventeo para columnas .............................. 94
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Flexin2 (Pandeo lateral) 5
5.7.8.1 Recomendaciones de diseo ....................................................... 94
5.7.9 Contraventeo continuo de columnas .................................................... 100
5.7.9.1 Recomendaciones de diseo ..................................................... 100
5.7.10 Sistemas de apoyo ............................................................................. 100
5.7.11 Columnas soportadas lateralmente en un patn ................................. 103
5.7.12 Pandeo de vigas y contraventeo lateral .............................................. 105
5.7.12.1 Contraventeo lateral ................................................................... 106
5.7.12.2 Recomendaciones de diseo ..................................................... 107
5.7.13 Contraventeo torsional ........................................................................ 109
5.7.13.1 Recomendaciones de diseo ..................................................... 110
5.8 Especificaciones AISC basadas en factores de carga y resistencia ................ 115
5.8.1 Resistencia de diseo .......................................................................... 118
5.8.1.1 Casos en que no es crtica ninguna forma de pandeo ................ 118
5.8.1.2 Estados lmite de pandeo lateral o local (>p) .......................... 119
5.8.1.2.1 Pandeo inelstico (pr) ................................................... 122
5.8.2 Casos en que Cbes mayor que 1.0 ..................................................... 122
5.9 Vigas de paredes delgadas ............................................................................. 136
5.10 Referencias ...................................................................................................... 138
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CAPTULO 5. FLEXIN 2 (PANDEO LATERAL)
5.1 INTRODUCCIN
Los elementos estructurales que trabajan en flexin, vigas, trabes armadas y armaduras,suelen tener resistencia y rigidez, en el plano de aplicacin de las cargas (alrededor, casisiempre, del eje de mayor momento de inercia), mucho mayores que en el normal a l,por lo que, a menos que se contraventeen adecuadamente, para evitar deflexioneslaterales y deformaciones por torsin, pueden fallar por pandeo lateral por flexotorsinantes de que se alcance su resistencia mxima en el plano. Esta forma de pandeo esespecialmente crtica durante la etapa de construccin, cuando no hay soportes laterales,o son muy diferentes de los definitivos.
El pandeo lateral por flexotorsin es un estado lmite de utilidad estructural en el que la
viga deformada se sale del plano de carga, desplazndose lateralmente y retorcindose;la resistencia disminuye, bruscamente, por los cambios en geometra, que originan torsiny flexin alrededor del eje de menor resistencia, y por la rpida plastificacin del material;puede evitarse colocando un contraventeo lateral espaciado y diseado adecuadamente,utilizando secciones transversales de rigidez torsional elevada, como las secciones encajn, o asegurando que el momento de diseo no sea mayor que el crtico de pandeo.
La variable que ms afecta la resistencia al pandeo lateral es la separacin entresecciones soportadas lateralmente. Otras variables importantes son: tipo y posicin de lascargas, restricciones a los desplazamientos de los apoyos y continuidad en ellos, forma delas secciones transversales, presencia, o ausencia, de elementos que restrinjan el alabeo
de secciones crticas, propiedades del material, magnitud y distribucin de esfuerzosresiduales, imperfecciones iniciales en geometra y carga, discontinuidades producidaspor cambios de seccin o agujeros, e interaccin con pandeo local.
En la Fig. 5.1 se muestra una viga de seccin I,apoyada de manera que sus extremospueden girar libremente alrededor de sus ejes centroidales y principales x y y, pero noalrededor del longitudinal z, sometida a flexin pura, producida por pares de magnitudesiguales y sentidos contrarios, aplicados en los extremos.
Uno de los patines, el superior en este caso, trabaja en compresin, y se encuentra encondiciones parecidas a las de una columna cargada axialmente; el otro patn est en
tensin.
Si los momentos crecen, el equilibrio del patn comprimido se vuelve eventualmenteinestable, y se pandea lateralmente; el patn en tensin trata de conservarse recto, lo queretrasa, pero no impide, el pandeo del comprimido; su influencia aumenta con la rigidezdel alma, que liga los dos patines entre s, de manera que es mayor en vigas de almagruesa y poco peralte.
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8 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
x
d
z
x
y
M
M
(a)
(b)
A
A
B
B
Mx
Mx Mx
Mxx
x
y
z
z
z
v
(c)
M
M
u
Mxx
y
v
M
Fig. 5.1 Pandeo lateral de una viga I en flexin pura.
El patn comprimido se pandeara alrededor de su eje horizontal, que es el de menormomento de inercia, pero se lo impide el alma, por lo que se flexiona alrededor del
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vertical, cuando los momentos alcanzan los valores crticos correspondientes. (Slo lasalmas muy esbeltas son incapaces de impedir el pandeo del patn en el plano vertical;este problema se estudia en el Captulo 6) .
Cualquier viga apoyada en los extremos y cargada en el plano del alma, con seccionestransversales que tengan un momento de inercia respecto al eje de flexin, x, mayor quealrededor del normal a l, y, puede pandearse lateralmente, a menos que ese fenmenose impida por medio de elementos exteriores; si Ixes apreciablemente mayor que Iy,comoen la mayora de las vigas, el pandeo lateral y el colapso pueden presentarse muchoantes de que los esfuerzos normales debidos a la flexin lleguen al lmite de fluencia.
Mientras las cargas, que actan en el plano del alma, permanecen por debajo de unacierta intensidad, la viga se deforma nicamente en ese plano, y su equilibrio es estable:si, por medio de un agente externo, se le obliga a adoptar una configuracin ligeramentedeformada lateralmente, recupera la configuracin plana al desaparecer aquel. Sin
embargo, cuando crecen las solicitaciones, llegan a ser posibles formas en equilibriodeformadas lateralmente y retorcidas, adems de la plana; la carga menor para la quepueden presentarse esas nuevas formas de equilibrio es la carga crtica de pandeo lateral
por flexotorsinde la viga.
El comportamiento es semejante al de las columnas en compresin axial; como en ellas,la terminacin del equilibrio estable se caracteriza por la aparicin de un nuevo tipo dedesplazamiento, fuera del plano original de carga, que no exista para solicitacionesinferiores a la crtica.
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5.2 COMPORTAMIENTO DE VIGAS EN FLEXIN PURA
Las curvas de la Fig. 5.2 muestran, en forma esquemtica, el comportamiento de la viga
en flexin pura de la Fig. 5.1; la curva M - , momento-rotacin en un extremo (Fig. 5.2a),
representa el comportamiento de la barra en el plano de carga, y las curvas M - u M - ,momento-desplazamiento lateral o momento-rotacin alrededor del eje longitudinal (Fig.5.2b), describen el pandeo lateral. Si la viga fuese perfectamente recta y no hubieseninguna excentricidad en los momentos aplicados en sus extremos, las curvas M -uy M-
seran como la representada con lnea llena, y el punto Acorrespondera al instante enque el equilibrio se bifurca; a partir de l la viga puede, en teora, admitir momentosmayores, mantenindose en su plano (trayectoria AB), o desplazarse lateralmente bajomomento prcticamente constante, segnAC.
(b)
A
B
(a)
Mcr
My
M
0 0
A
B
C
u,
Mcr
My
M
C
Bifurcacin delequilibrio
Efecto deimperfeccionesiniciales
Fig. 5.2 Comportamiento de una viga en flexin pura.
En las vigas reales no se presenta nunca la bifurcacin del equilibrio, pues siempre hayimperfecciones iniciales, que hacen que los desplazamientos laterales comiencen bajomomentos mucho ms pequeos que el crtico (curvas con lnea interrumpida, Fig. 5.2), yla falla no es por pandeo propiamente dicho. Sin embargo, esas pequeasimperfecciones no afectan mayormente las deformaciones calculadas suponiendo un
sistema ideal perfecto ms que cuando las cargas se acercan a los valores crticos de esesistema; cerca de la carga de pandeo, pequeos incrementos en las solicitacionesocasionan aumentos considerables en las deflexiones.
La determinacin de la curva accin-deformacin de vigas con imperfecciones iniciales eslarga y complicada, y rara vez se justifica en la prctica; en el diseo se utiliza la cargacrtica de pandeo de miembros inicialmente rectos como un lmite de la resistencia de lasvigas reales aunque, como se mencion arriba, el pandeo propiamente dicho, porbifurcacin del equilibrio, no se presenta nunca. Muchos estudios de laboratorio y una
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larga prctica de diseo han demostrado que este procedimiento es razonable yproporciona resultados satisfactorios.
En resumen, cuando el momento M se aproxima al valor crtico, aparecen
desplazamientos uy relativamente grandes y, para fines prcticos, puede considerarseque Mcres el momento mximo que la viga puede resistir. Mientras Mes menor que Mcr,las deformaciones del miembro se confinan al plano que ocupa originalmente, pero tanpronto como alcanza el valor crtico se inicia el pandeo lateral por flexotorsin, y la vigafalla por flujo plstico despus de una deformacin considerable, mientras el momento semantiene prcticamente constante.
5.2.1 Vigas de diversas longitudes
Desde el punto de vista de su resistencia al pandeo lateral, una viga de acero en flexin,
de seccin tipo 1 o 2 (Captulo 3), se comporta de alguna de las tres maneras siguientes:si es muy corta, sus secciones transversales se plastifican por completo antes depandearse, y pueden desarrollar el momento plstico; si es de longitud intermedia, laresistencia disminuye por la plastificacin parcial que precede al pandeo, que se inicia enel intervalo inelstico, y si es larga se pandea elsticamente, bajo solicitaciones quepueden ser de magnitud muy pequea. (Las vigas de seccin transversal tipo 3 o 4pueden fallar antes, por pandeo local).
Como en las columnas, desde el punto de vista del pandeo lateral no interesa la longitudreal de las vigas, sino la distancia entre secciones fijas lateralmente, es decir, la longitudlibre de pandeo.
La grfica momento resistente-longitud libre de pandeo de la Fig. 5.3 ilustra los tresintervalos mencionados arriba. El tramoABdescribe el comportamiento de miembros muycortos, en los que el material se endurece por deformacin, sin que haya pandeo lateral, yel CD corresponde al pandeo elstico. Las curvas AB y CD son hiprbolas que no secortan; la transicin entre ellas, curva BC, representa el pandeo inelstico, que se iniciacuando parte del material de la viga ha fluido ya plsticamente. A causa de los esfuerzosresiduales, el comportamiento elstico termina cuando el momento vale Me, que puedeser bastante ms pequeo que My.
En las Figs. 5.3 b, c y d, se han trazado las curvas M-uo M-de vigas que se encuentran
en cada uno de los tres intervalos.
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12 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
(b) (c) (d)
MpMyM
u, u, u,
McrMcr
McrMm
M M M
Momentoresistente
Pandeo inelsticoPandeo elstico
Longitud libre de pandeo
(a)
AB
C
D
EMpMy
M
L
0
u
Pandeoen elintervalo
de endu-recimientopor defor-macin
Diseoplstico Diseo basadoen esfuerzos
permisibles
e
e
Fig. 5.3 Comportamiento de vigas de diferentes longitudes.
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5.3 TORSIN
5.3.1 Introduccin
La torsin en elementos estructurales puede ser producida en forma directa por lasacciones exteriores (un eje de un motor, cuyo trabajo consiste en transmitir un momentode torsin, es un ejemplo tpico), o puede presentarse al iniciarse el pandeo de unmiembro originalmente recto sometido, por ejemplo, a flexin; como se v ms adelante,el desplazamiento lateral del eje y las rotaciones de las secciones transversales quecaracterizan el pandeo de las vigas ocasionan momentos torsionantes; la resistencia de laviga aumenta cuando crece su oposicin a los desplazamientos laterales lo que depende,entre otras cosas, de su resistencia a la torsin.
En los artculos siguientes se presenta un resumen de resultados que corresponden,
principalmente, a la torsin del segundo tipo, que es la que tiene mayor inters en estelibro. El problema puede estudiarse en detalle en la ref. 5.1.
5.3.2 Torsin pura o de Saint Venant
El ngulo de rotacin, por unidad de longitud, de una barra recta de seccin transversalrectangular sometida a torsin pura, producida por pares aplicados en sus extremos, secalcula con la ec. 5.1, y los esfuerzos tangenciales mximos, que aparecen en los puntosmedios de los lados largos, con la ec. 5.2 (ref. 5.1):
bGaMk T
31= (5.1)
mxba
Mk T2
2= (5.2)
Ges el mdulo de elasticidad al esfuerzo cortante del material, MT el momento de torsin,constante, que acta en la barra, ay b los lados menor y mayor del rectngulo, y k1y k2coeficientes que dependen de las proporciones del rectngulo; si b/a = , los dos valen3.0, y tienen un valor muy cercano, ligeramente mayor que 3.0, si b/aexcede de 8 o 10.
5.3.2.1 Barras de seccin transversal abierta formada por rectngulosangostos
Los resultados obtenidos para el rectngulo angosto son aplicables a cualquier seccincompuesta por rectngulos alargados, unidos entre s de manera que no rodeen porcompleto ninguna regin del plano en que se encuentran (de aqu el nombre de abiertas),como las secciones I, H, canales y ngulos. Cada uno de los rectngulos acta como siestuviese aislado; si se ignoran las perturbaciones locales en las zonas de unin entre
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ellos, el momento torsionante total que resiste la seccin es aproximadamente igual a lasuma de los momentos resistentes de todos.
Como los rectngulos que forman los perfiles laminados o hechos con placas tienen
siempre relaciones b/a elevadas, se llega a resultados muy cercanos a los realeshaciendo, en todos los casos, k1= k2= 3.0.
Las ecs. 5.1 y 5.2 toman la forma general
)3( 3baG
MT
= (5.3)
mx aba
MT
)3( 3= (5.4)
ay bson los lados corto y largo de cada uno de los rectngulos que forman la seccinque, en general, no son iguales entre s; la aque multiplica la fraccin de la ec. 5.4 es elancho del rectngulo en el que se quiere calcular el esfuerzo mximo.
La cantidad ( )a b3 3 es la constante de torsin de Saint Venant; se representa con la letra
J. Introduciendo esta notacin, las ecs. 5.3 y 5.4 se escriben
GJ
TM
= (5.5)
mx aJMT= (5.6)
J= ba33
1 (5.6a)
El producto GJes la rigidez a la torsin de Saint Venant.
5.3.2.2 Barras de seccin transversal hueca de paredes delgadas
Suelen estar formadas por varias placas de espesor pequeo en comparacin con lasdimensiones generales de la seccin; pueden ser manufacturadas doblando una lminaplana, o compuestas por placas soldadas entre s.
En la Fig. 5.4 se muestran, en forma esquemtica, los esfuerzos cortantes que produce latorsin en las secciones transversales de dos barras de paredes delgadas, iguales entodo, excepto en que una es abierta y la otra cerrada.
Para que las fuerzas interiores de la seccin abierta puedan equilibrar un par de torsin,deben cambiar de sentido a travs del grueso de las paredes; el brazo de los pares
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resistentes es muy pequeo. En cambio, en la seccin cerrada el flujo de fuerzas escontinuo y el brazo es mucho mayor; para valores iguales del esfuerzo cortante, suresistencia a la torsin es mucho ms elevada.
(a) (b)
Fig. 5.4 Esfuerzos cortantes en dos secciones de paredes delgadas,una abierta y otra cerrada.
El ngulo de rotacin por unidad de longitud, y el esfuerzo cortante mximo, en lassecciones cerradas, se calculan con las ecuaciones (ref. 5.1)
GJ
M
t
ds
GA
M T
si
T == 24 (5.7)
tA
M
i
T
2= (5.8)
t es el grueso de la pared de la seccin, que puede ser constante o variable; en elsegundo caso, en la ec. 5.8 se utiliza la t correspondiente al punto donde se deseacalcular el esfuerzo, que es mximo donde la pared es ms delgada.
Aies el rea encerrada por el eje de las paredes.
La constante de Saint Venant de una pieza hueca de paredes delgadas es
=
s
i
t
ds
AJ
24
La integracin se efecta a lo largo de todo el permetro de la seccin.
Las expresiones anteriores se simplifican cuando el grueso de las paredes es constante;entonces,
==s s t
Sds
tt
ds 1
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16 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
Ses el permetro del eje de la pared.
GJ
M=
GtA
SM T
i
T
24=
S
tAJ
i24
= (5.9)
Cuando el rea efectiva de una seccin hueca de paredes delgadas de espesor constante
es menor que un quinto de la encerrada por el eje de las paredes (A A i/5), el error quese comete al calcular los esfuerzos con la ec. 5.8 es menor de 10%; adems, siA
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EJEMPLO 5.1 Calcule los esfuerzos tangenciales mximos y los ngulos de rotacin porunidad de longitud de dos barras de eje recto, cuyas secciones transversales semuestran en la Fig. E5.1.1, sobre las que actan momentos MTen los extremos,que ocasionan torsin pura; no tenga en cuenta las concentraciones de esfuerzos
que se presentan en las esquinas. Las dos secciones estn hechas con la mismacantidad de material.
40 cm
1 cm
39cm
57 cm60 cm 54 cm
2 cm
40 cm
3 cm
3 cm
Fig. E5.1.1 Seccin transversal de ejemplo 5.1.
Seccin I. J=3
1
3
3
ba
= (2 x 33x 40 + 23x 54) = 864 cm4
G = E0.385=0.3)+2(1
E=
)+2(1
E
Ec. 5.5.E
M0.00301=
864xE0.385
M=
GJ
M=
TTT
Ec. 5.6. mx=864
M=a
J
M Tmx
T x3 = 0.00347 MT
Este esfuerzo se presenta en las zonas centrales de los patines.
Seccin en cajn.
Ec. 5.10 J=4
2222
cm192141=70
4588839
=
1
57+
3
39
57x39x2
=
c
d+
t
b
d2b
=E
M0.0000184=
192141x0.385E
M=
GJ
M TTT
Ec. 5.8 mx= .TT
mni
TM0.000225=
2(39x57)1
M=
t2A
M
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18 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
El ngulo de rotacin y el esfuerzo mximo en la seccin I son, respectivamente,164 y 15.4 veces ms grandes que en la seccin en cajn.
La seccin en cajn es mucho ms eficiente que la I; esta observacin es de carctergeneral, por lo que cuando la torsin es una solicitacin predominante conviene utilizarmiembros de seccin transversal hueca formados, por ejemplo, por cuatro placassoldadas, en vez de perfiles laminados.
5.3.3 Torsin no uniforme de barras de seccin transversal abierta y de paredesdelgadas.
Exceptuando las barras de seccin transversal circular, maciza o hueca, todos los
elementos estructurales sometidos a torsin pura se alabean, es decir, los puntos situadosen planos originalmente normales al eje de la barra experimentan desplazamientosvariables paralelos a ese eje, lo que ocasiona que las secciones transversalesinicialmente planas dejen de serlo.
En la Fig. 5.6 se muestra un segmento de una barra de seccin I con dos pares MT,iguales y de sentidos contrarios, aplicados en sus extremos; son las nicas acciones queobran sobre la barra, y no hay ningn factor externo que evite o restrinja lasdeformaciones. Las fibras longitudinales de la barra, inicialmente rectas, se retuercenpero, para rotaciones pequeas, puede considerarse que siguen siendo rectas, inclinadasrespecto al eje; cada uno de los patines gira un cierto ngulo, conservando su forma
rectangular, y el alma se alabea.
Todas las secciones transversales normales al eje longitudinal se alabean lo mismo, por loque no cambian las dimensiones de las fibras longitudinales y no aparecen esfuerzosnormales; los nicos esfuerzos son los tangenciales correspondientes a la torsin de SaintVenant.
Si se empotra uno de los extremos de la barra, impidiendo su rotacin alrededor del ejelongitudinal y los desplazamientos paralelos a ese eje de los puntos situados en l, labarra se deforma como se muestra en la Fig. 5.7; la seccin inferior se mantiene en suposicin original y sigue siendo plana, y todas las dems secciones transversales giran
alrededor del eje longitudinal y se alabean. Como ni el giro ni el alabeo son constantes,sino aumentan desde cero en el extremo inferior hasta un mximo en el superior, lasfibras paralelas al eje no conservan su longitud inicial, como en torsin pura, sino unas sealargan y otras se acortan (por ejemplo, todas las fibras de la porcin AEFB del patnanterior de la viga de la Fig. 5.7 se alargan, mientras que se acortan las de la zona EFDC,conservndose sin cambio nicamente la EF), lo que ocasiona esfuerzos normaleslongitudinales proporcionales a las deformaciones unitarias, que varan linealmente atravs de los patines; son mximos en el extremo empotrado, y disminuyen en seccionescada vez ms alejadas de l, hasta que desaparecen eventualmente cuando las
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 19
secciones transversales estn a una distancia suficiente para que dejen de sentirse losefectos de las restricciones producidas por el empotramiento.
MT
MT
Fig. 5.6 Alabeo de una barra de seccin transversal I en torsin pura.
A
B
CE
F
MT
D
Fig. 5.7 Barra de seccin transversal I en torsin no uniforme.
Para que aparezcan los esfuerzos normales longitudinales, no es necesario impedirtotalmente el alabeo de alguna seccin transversal; basta con que, ya sea por lascondiciones de apoyo o de carga, o por una combinacin de ambas, el alabeo no se
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20 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
presente libremente y vare de unas secciones transversales a otras, lo que ocasionadeformaciones longitudinales de las fibras.
Los esfuerzos normales producidos por la restriccin al alabeo estn acompaados por
esfuerzos tangenciales, que contribuyen a resistir el momento de torsin exterior, demanera que ste no es equilibrado slo por esfuerzos cortantes de Saint Venant, comosucede cuando el alabeo es libre.
En la Fig. 5.8 se muestran los esfuerzos normales y tangenciales en una barra de seccin
Ien torsin no uniforme, es decir, con alabeo restringido; tanto los tangenciales simples scomo los debidos a la restriccin al alabeo, a, contribuyen a resistir el momento exteriorMT; si los momentos correspondientes se designan Mtsy Mta, puede escribirse
MT= Mts+ Mta (5.11)
(a) (b) (c)
Z Z Z
a
+a
-a
-a
s
+a
a
Fig. 5.8 Esfuerzos producidos por la torsin no uniforme.
MT es el momento de torsin total que obra en la seccin, Mts el momento resistente
correspondiente a la torsin de Saint Venant, y Mtael debido a la resistencia al alabeo delas secciones transversales de la barra. (Los esfuerzos normales y cortantes queaparecen en el alma por este segundo concepto se desprecian, pues la flexin sepresenta alrededor de su eje de menor momento de inercia).
Los esfuerzos producidos al restringir el alabeo de barras de seccin transversal macizano circular son mucho menores que los de las secciones abiertas de paredes delgadas;adems, las piezas macizas no se emplean en estructuras de acero. Por estas razones,se tratan aqu slo elementos con secciones transversales del segundo tipo.
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 21
(a)
(c) (d)
(b)
J=3
b1t13 +b2t2
3 +hw3
2b1(t1+t2)3+4b2t2
3 +hw3
J=3
J=3
2bt3+hw3
J= =4Ao
2 4(bd)2
(b/t) b+b+2dt1 t2w
b1
b1
b1
t1
t1 t1
t1
t2
t2
t2 t2
b2
b2
b2
b2
b2
b
b
b
d
w
w
w w
wh h
h
t
t
Fig. 5.9 Constante de torsin de Saint Venant de diversas secciones.
MTsy MTase calculan con las expresiones (ref. 5.1)
dz
dGJGJMTs
== (5.12)
3
3
dz
dECM aTa
= (5.13)
MTa es la parte del momento de torsin resistida por los esfuerzos tangenciales que seoriginan al alabearse las secciones transversales de una manera no uniforme; se le llamamomento resistente de torsin debido al alabeo no uniformeo, por brevedad, momento detorsin por alabeo.Caes la constante de alabeo(tiene unidades de longitud elevada a lasexta potencia) y el producto ECaes la rigidez al alabeo.
Llevando las ecs. 5.12 y 5.13 a la 5.11, se obtiene la ecuacin diferencial para torsin nouniforme de barras de seccin transversal abierta y paredes delgadas:
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22 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
3
3
dz
dEC
dz
dGJM aT
= (5.14)
El signo menos que precede al segundo trmino proviene de la convencin de signos quese utiliza para deducir las ecuaciones; en la solucin de la ec. 5.14 los dos trminos delsegundo miembro se suman.
y
y
y
y
y1
y0y2
x
x
x
x
d-t
w
w
b
b1
t1
t2
t
t
d
dh(a)
(b)
Ca=Iy(d-t)
2
4
Ca=(y1+y2)2I1I2
I1+I2
b13 t1 b2
3 t212 12
I1= I2=
y0=+_y1I1-y2I2
I1+I2
Centro degravedad
Centro detorsin
b2
Ca=(d-t)
4Iy+x
2A(d-t)
4Ix( )
_
_
x0= 1+(d-t)2A
4I
x
x_
y
y
xx
t
t
d(c)
Centro degravedad
Centro de
torsin
x0
2A
Eje de inercia mnima
Centro de gravedad
Centro de gravedady torsin
Centro de torsin
Centro de torsin
(d)
(e)
(f)
t2
t
y2
t1
y1
b1
b2
y
x
x
x
x
w
b
d
d
Ca= 36
(b1t1)3+(b2t2)
3
Ca=144 36
(bt)3+(dw)3
Ca= 4
2d I
Fig. 5.10 Constante de torsin por alabeo de varias secciones.
En las Figs. 5.9 y 5.10 se proporcionan los valores de las constantes Jy Capara algunassecciones comunes.
EJEMPLO 5.2 En la Fig. E5.2.1 se muestra una trabe armada reforzada con dos placassoldadas a los patines. Las propiedades de la trabe sin cubreplacas se dan en lafigura. Determine los valores de esas propiedades para la seccin reforzada.
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 23
Ix=276 292 cm4
S=7248 cm 3
xZx=7896 cm
3
Iy=24767 cm4
Sy=1220 cm3
Zy=1846 cm3
J=316.7 cm4
Ca=33.9x106cm6
Acotaciones en cm
C2=1.9
C2=1.9
b2=35.0
b =40.6
d2=80.04 d1=76.24
c1=2.22
c1=2.22
h=71.8x
y
Fig. E.5.2.1 Seccin transversal de la trabe armada.
Iy = 24767 + 2 x12
35.0x1.9 3
= 38 344 cm4
J se calcula con la frmula de la Fig. 5.9c:
J = [2x35.0 (2.22+1.9)3+4x2.80 x 2.223x71.8x0.953]/3 = 1693.2 cm4.
La constante de torsin por alabeo se determina con la ecuacin
Ca= I
1
( ) ( )
22
211
2
222 cd
Icd +
+
IIe I2son los momentos de inercia, respecto al eje y, de una placa de refuerzo y deun patn, y las dems cantidades se definen en la Fig. E5.2.1.
Ca=66
2323
cm10x54.6=2
2.22)-(76.24x
12
2.22x40.6+
2
1.9)-(80.04x
12
1.9x35
Ca puede determinarse tambin con la ecuacin aproximada Ca = Iy 4/_
2d , en la
que Iyes el momento de inercia de la seccin reforzada respecto al eje y, y d_
la
distancia entre los centros de gravedad de los patines reforzados, que en este caso
es_
d= 75.77 cm. Por consiguiente,
Ca66
22y
cm10x56.5=4
76.77x34438=
4
dI
Este valor de Caes prcticamente igual al calculado arriba.Los mdulos de seccin elstico y plstico de la seccin reforzada, respecto al eje
x, son
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24 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
Ix= 276 292 + 2
23
212
9.10.35 1.9+76.241.9x35.0+
x= 479 352 cm4
Sx=3cm11978=
2/04.80
479352
Zx= 7896 + 2 x 35.0 x 1.9
+
2
9.124.76= 13092 cm3
El mdulo de seccin plstico es igual al de la viga sin reforzar ms el momentoesttico de las cubreplacas respecto al eje de simetra horizontal, x.
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 25
5.4 PANDEO LATERAL ELSTICO
5.4.1 Caso fundamental: vigas I en flexin pura
Para determinarel valor del momento flexionante, aplicado alrededor del eje de mayormomento de inercia, que ocasiona el pandeo lateral elstico por flexotorsin de una viga,se estudia primero el caso fundamental (Fig. 5.1): una viga I, laminada o formada portres placas soldadas, de eje recto, flexionada en el plano de mayor resistencia por paresiguales y de sentidos contrarios, de magnitud creciente, aplicados en los extremos.
Se admiten las hiptesis siguientes:
1. La viga es de seccin transversal I, con dos ejes de simetra, constante en toda lalongitud. El centro de torsin coincide con el centro de gravedad de la seccin.
2. Los esfuerzos normales mximos, obtenidos superponiendo los producidos porlos momentos exteriores con los residuales, estn en el intervalo elstico cuandose inicia el pandeo.
3. La forma de las secciones transversales no cambia cuando la viga se flexiona yretuerce.
4. Los momentos que actan en las secciones transversales se conservan en elplano que ocupaban originalmente.
5. La distancia entre las secciones de la viga soportadas lateralmente es igual alclaro.
6. El momento flexionante es constante entre las dos secciones soportadaslateralmente (flexin pura).
7. Los apoyos extremos son libres para flexin alrededor de los ejes x y y y paratorsin, lo que significa que pueden girar libremente alrededor de xy de y, y quelas secciones extremas pueden alabearse, pero no puede haber rotacionesalrededor del eje longitudinal zni desplazamientos paralelos a los otros dos ejes.
La viga empieza a deformarse en cuanto se aplican los pares en sus extremos; mientrasson pequeos, se mantiene en el plano inicial, pero eventualmente se sale de l,desplazndose lateralmente y retorcindose; los desplazamientos verticales v(Fig. 5.1c)
se inician con la flexin, pero los laterales uy las rotaciones son nulos hasta que losmomentos alcanzan el valor crtico. El vector Mx, momento flexionante en una seccincualquiera, que estaba alojado sobre el eje x de la misma, permanece paralelo a sudireccin original, de manera que al cambiar la orientacin de los ejes principales de laseccin deja de coincidir con uno de ellos, y produce momentos alrededor de los tres
nuevos ejes de referencia, , y .
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26 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
Cuando el par que acta alrededor del eje de inercia mxima alcanza un valor crtico laviga se deforma lateralmente, y el equilibrio exige que haya tambin torsin y flexinalrededor del eje de menor inercia; el pandeo est asociado siempre con flexin lateral y
torsin.
El momento de torsin vara a lo largo del eje de la viga, puesto que la proyeccin de Mxsobre el eje , que lo ocasiona, no es constante; es mxima en los extremos y nula en lamitad del claro, donde el eje es paralelo al z, y el vector Mxes perpendicular a l. Laviga se encuentra en un estado de torsin no uniforme; su resistencia a la torsin es lasuma de los momentos resistentes correspondientes a la torsin de Saint Venant y a laoposicin al alabeo de sus secciones transversales.
5.4.1.1 Clculo del momento crtico
Interesa determinar la magnitud del momento Mxpara la que se presenta una bifurcacindel equilibrio, es decir, el momento para el que son posibles configuraciones en equilibrioligeramente deformadas lateralmente y retorcidas, adems de la plana.
Las ecuaciones de partida, que se obtienen estudiando el equilibrio de la barradeformada, son (ref. 5.1)
022 =+ MdzudEIy (5.15)
033 =+ dzduMdzdGJdzdECa (5.16)
Derivando la ec. 5.16 una vez, respecto a z, y sustituyendo d u dz 2 2 por su valor dado
por 5.15, se obtiene la ec. 5.17, con el ngulo como nica incgnita:
0
2
2
2
4
4
=
ya EI
M
dz
dGJ
dz
dEC (5.17)
Esta ecuacin diferencial tiene una solucin analtica porque el momento flexionante Mes constante en toda la longitud, y las condiciones de frontera permiten evaluar lasconstantes de integracin:
+=
2
22
1GJL
ECnGJEI
L
nM
aycr
(5.18)
Lo mismo que en las columnas, slo tiene inters el menor de los valores del momentocrtico, a menos que se obligue a la viga a pandearse en alguno de los modossuperiores, a los que corresponde n= 2, 3, etc, por medio de restricciones exteriores queimpidan los desplazamientos laterales y las rotaciones de una o ms secciones
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 27
transversales intermedias; en el caso en estudio, en el que la longitud sin soporte laterales el claro de la viga, n= 1.
Tambin como en las columnas, la solucin basada en desplazamientos pequeos
proporciona la configuracin de la viga pandeada lateralmente, pero no la amplitud de losdesplazamientos, que permanece indeterminada.
Efectuando las operaciones indicadas dentro del radical, y haciendo n = 1, la ec. 5.18toma la forma
yaycr IL
CEGJEIL
M2
22 += (5.19a)
Recordando que G = E/2(1+) E/2.6, y sacando Efuera del radical, se obtiene
Mcr=
ay CL+
2.6
JI
L
E2
(5.19b)
Esta forma de la ecuacin es un poco ms fcil de usar que la 5.19a.
La resistencia total del perfil al pandeo lateral por flexotorsin est compuesta por dospartes, representadas por los dos trminos del radical de la ec. 5.19a; la primeracorresponde al acoplamiento entre las resistencias a la flexin lateral y a la torsin pura,o de Saint Venant, y la segunda, al acoplamiento entre las resistencias a la flexin lateraly a la torsin por alabeo. En vigas Ilaminadas, que son relativamente robustas, el primer
trmino suele ser mayor que el segundo, pues J es grande; en cambio, en perfiles degran peralte, hechos con tres placas soldadas, y en vigas de lmina delgada, se vuelvepredominante el trmino correspondiente a la resistencia al alabeo, aunque suimportancia relativa decrece cuando aumenta la separacin entre secciones soportadaslateralmente, que aparece, elevada al cuadrado, en el denominador.
La ec. 5.19a puede escribirse
21 WGJEI
LM ycr +=
(5.20)
donde:
GJ
EC
LW
a= (5.21)
El parmetro Wmide la importancia de la resistencia a la torsin por alabeo respecto a latorsin pura.
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28 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
Al obtener la ec. 5.19a se ha supuesto que la deflexin en el plano de carga no influyeen la resistencia al pandeo lateral por flexotorsin, lo que se justifica cuando EIx esmucho mayor que EIy, y la deflexin en el plano es negligible comparada con la que sepresenta fuera de l. Cuando las dos rigideces son del mismo orden, el efecto de la
flexin en el plano vertical y-zpuede ser importante, y debe tenerse en cuenta al calcularMcr.
La ecuacin siguiente representa una solucin aproximada que incluye el efecto de lasdeflexiones en el plano (ref.5.2):
21 W
I
GJEI
LM
r
y
cr +=
donde ( )I I Ir y x= 1 .
Si Iy= Ix, Irse anula, y Mcrse vuelve infinitamente grande. Si Iy> Ix, Irse hace negativo yMcr imaginario, de manera que cuando Iyes igual o mayor que Ix, no hay solucin. Deaqu se concluye que el pandeo lateral por flexocompresin de las vigas slo es posiblecuando la seccin tiene rigideces diferentes en los dos planos principales, y las cargasexteriores actan en el plano del eje de menor momento de inercia (es decir, producenflexin alrededor del eje de mayor inercia). Como una consecuencia, las vigas deseccin transversal circular, maciza o hueca, y las de seccin en cajn, cuadradas y degrueso uniforme, no fallan nunca por pandeo lateral por flexotorsin.
5.4.1.1.1 Vigas de seccin transversal rectangular, maciza o hueca
La resistencia al alabeo de las secciones rectangulares, macizas o huecas (secciones
en cajn), es mucho menor que la resistencia a la torsin pura; en ese caso, Ca 0, elsegundo trmino del radical de la ec. 5.19a se desprecia, y Mcrvale
GJEIL
M ycr
= (5.22)
Sustituyendo Ey Gpor sus valores numricos, y haciendo I Ary y=2 , se llega a
AJrLM ycr
3973000
= (5.23)
ryes el radio de giro de la seccin respecto al eje de menor inercia. Tomando A y J encm2y cm4, respectivamente, Mcrse obtiene en Kg cm.
5.4.1.1.2 Vigas I de paredes delgadas
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 29
Cuando las paredes de las vigas son muy delgadas, como en perfiles de lmina dobladaen fro o en caliente, la constante J, que depende del grueso de las paredes elevado alcubo, es muy pequea, de manera que el primer trmino del radical de la ec. 5.19apuede despreciarse, sin prdida apreciable de resistencia; se obtiene, as,
yacr IL
CEL
M 2
22 = (5.24)
Haciendo C I da y=2 4/ , donde d es el peralte de la seccin, que es, en este caso, casi
igual a la distancia entre los centroides de los patines, y sustituyendo Iy por Ary2 , se
obtiene
( )22
10062000
2yy
crrL
AdEAd
rLM =
=
(5.25)
Ay dse toman en cm2y cm y el resultado se obtiene en Kg cm.
5.4.2 Otras condiciones de apoyo y carga
Varias de las hiptesis que llevan a la ec. 5.19a, principalmente las dos ltimas, suelenser demasiado severas cuando se aplican a casos reales, por lo que el valor de Mcrdadopor esa ecuacin es, en general, un lmite inferior del momento crtico. Si las condicionesde apoyo corresponden, por ejemplo, a un empotramiento en torsin, o si el momentoflexionante no es constante en toda la longitud, la ec. 5.19a proporciona resistencias que
pueden ser significativamente menores que las reales. Cuando las acciones no sonpares aplicados en los extremos de la viga, sino fuerzas concentradas o distribuidasnormales a su eje, el nivel de aplicacin de las cargas, respecto al centro de gravedadde las secciones transversales, influye tambin en la resistencia.
Sin embargo, a pesar de sus limitaciones, la ec. 5.19a es tan bsica para el estudio delpandeo lateral de vigas como la frmula de Euler lo es para el de la inestabilidad decolumnas comprimidas axialmente.
Si en la ec 5.19a se sustituye Iypor Ary2 y se saca el radio de giro fuera del radical, ste
queda multiplicado por ( ) L ry : como en todos los problemas de pandeo, el valor crticode la carga es inversamente proporcional a la esbeltez del miembro, dada ahora por elcociente L ry . Si la distancia entre soportes laterales tiende a cero, el momento crtico
tiende a infinito, lo que es fsicamente imposible; hay, por consiguiente, un lmite superiorde Mcr.
Cuando el momento es constante en toda la viga, la ecuacin diferencial que describe elequilibrio en una posicin ligeramente deformada es lineal, con coeficientes constantes.En la prctica, las vigas tienen diferentes condiciones de apoyo y cargas de diversos
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tipos, de manera que el momento flexionante vara a lo largo de su eje, las ecuacionesdiferenciales de equilibrio tienen coeficientes variables, y no se cuenta con solucionescerradas; las cargas crticas se obtienen con procedimientos numricos aproximados.
Si las condiciones de apoyo impiden la rotacin libre de las secciones extremasalrededor del eje y, la longitud Lque aparece fuera del radical en la ecuacin 5.18 o 5.19debe multiplicarse por un factor Kypara obtener la longitud efectiva de pandeo, y si elalabeo de las secciones extremas est restringido, ha de introducirse un segundo factor,Kz, que multiplica a la longitud L contenida dentro del radical, para obtener la longitudefectiva de alabeo; de esta manera la ecuacin 5.18, con n = 1.0, se transforma en la5.26, en la que los factores Kyy Kz tienen en cuenta, respectivamente, las condicionesde apoyo correspondientes a giros alrededor del eje y y al alabeo de las seccionesextremas.
Mcr =
2z
a2
yy L)GJ(K
EC
+1GJEILK
(5.26)
La ref. 5.3 contiene valores de Kyy Kzpara diferentes condiciones de apoyo, tomadosde resultados obtenidos en la ref. 5.4. Para simplificar la aplicacin de la ecuacin 5.26,los valores exactos de esos coeficientes pueden sustituirse por los siguientes, que danresultados del lado de la seguridad (ref. 5.3): 1.00, cuando los dos extremos estnlibremente apoyados, 0.70 cuando uno es libre y el otro fijo, y 0.5 cuando ambos sonfijos1, semejantes a los que proporcionan la longitud efectiva de columnas concondiciones de apoyo anlogas; se obtienen as los momentos crticos para diversascombinaciones de las condiciones de apoyo: si, por ejemplo, uno de los extremos de laviga est soldado a tope, con soldaduras de penetracin en alma y patines, a unacolumna muy robusta, y el otro est conectado a otra columna por medio de un par dengulos verticales de poca longitud adosados al alma, sin ninguna liga en los patines,puede considerarse que tanto la rotacin alrededor del eje y como el alabeo estnimpedidos en el primer apoyo y que los dos pueden presentarse casi libremente en elsegundo; en esas condiciones se obtienen resultados conservadores tomando Ky= Kz=0.7.
Cuando hay dudas respecto a las condiciones de apoyo, conviene suponer que losfactores Kvalen 1.0.
El efecto de solicitaciones distintas de la flexin pura se toma en cuenta multiplicando elsegundo miembro de las ecs. 5.19 por un coeficiente C1que depende de las condicionesde carga.La posicin de las cargas respecto al centroide de las secciones transversales de la vigatambin influye en su resistencia al pandeo; las que estn arriba de l son msdesfavorables que las que actan debajo, ya que al iniciarse el pandeo las primeras
1 Para determinar Ky se considera que un extremo es fijo cuando su giro alrededor del eje y est
impedido, y libre cuando no hay restricciones para ese giro; en la obtencin de Kzlos extremos fijosson aquellos en los que no puede haber alabeo, y los libres los que pueden alabearse sin restriccin.
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 31
tienden a retorcer el perfil, agravando las condiciones en que se encuentra, mientras quelas segundas tienen un efecto estabilizador, y tratan de enderezarlo; las cargasaplicadas en el centroide no influyen en este aspecto del problema (Fig. 5.11).
Fig. 5.11 Posiciones de las cargas respecto al centroide de lassecciones transversales.
En estructuras reales puede haber cargas en el patn superior (Fig. 5.12a) (es el casoms comn, que se presenta cuando las fuerzas se transmiten por apoyo directo sobreel borde superior de la viga, pero los mismos elementos que transmiten las cargassuelen soportar lateralmente el patn, evitando el pandeo lateral), en el centroide (Fig.5.12b) (por ejemplo, cuando una viga principal recibe vigas secundarias por medio dengulos o placas adosados al alma), o en el patn inferior (Fig. 5.12c) (algunos tipos deapoyo de vigas secundarias en principales, gras mviles colgadas del patn inferior dela viga de soporte).
Fig. 5.12 Casos en que las cargas estn aplicadas en el patn superior,en el centroide o en el patn inferior de las secciones transversales.
Para tener en cuenta la posicin del punto de aplicacin de las cargas con respecto alcentroide de la seccin, se introduce un nuevo factor, C2.
Con los factores C1y C2, y los coeficientes de longitud efectiva Kyy Kz, se obtiene unafrmula general para el clculo del momento crtico de pandeo de vigas Icon cualquiercondicin de apoyo y de carga; como en la mayora de los casos prcticos las rotaciones
alrededor del eje longitudinal estn impedidas en los dos extremos, condicin supuestaen la casi totalidad de los estudios tericos, puede obtenerse una expresin generalconservadora para el clculo del momento crtico que incluye slo el factor de longitudefectiva Ky(ref. 5.5):
(a) (b) (c)
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32 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
Mcr= ( )
+
+
GJ
EC
LK
CC
LKGJ
ECGJEI
LK
C a
yy
ay
y
1 222
2
11 (5.27)
Se toma el signo negativo que antecede al ltimo trmino cuando las cargas estnaplicadas en el patn superior, y el positivo cuando actan en el inferior; si obran en laviga slo momentos en los extremos, o cargas aplicadas en el eje centroidal, C2= 0, y laecuacin 5.27 se reduce a la 5.26 multiplicada por C1.
Por comodidad en la obtencin de tablas y grficas que faciliten su uso, conviene escribirla ecuacin 5.27 en la forma (ref. 5.5):
GJEIL
C=M y
4cr (5.28)
en la que C4es igual a
C4=
KL
aCC+(1
KL
a+1
K
C 222
21 )
)( 2
2
(5.29)
Kes el factor de longitud efectiva para flexin alrededor de los ejes principales verticalesy.
El parmetro ECa/GJ, cociente de las rigideces al alabeo y a la torsin simple,desempea un papel muy importante en el pandeo lateral de vigas, y aparece en
muchas de las frmulas relacionadas con l; su raz cuadrada se ha designado con laletra a:
a=GJ
ECa (5.30)
La ref. 5.1 contiene curvas con las que se determinan los coeficientes C4de vigas Iconcondiciones de carga y apoyo frecuentes en estructuras reales. Aqu se reproducen slolas de vigas en flexin con pares en los extremos de diferentes magnitudes y signos (Fig.5.13); cubren las dos condiciones extremas de restriccin alrededor de los ejes yde losapoyos, giros libres o totalmente impedidos.
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 33
Nomenclatura
Cada curva est designadapor un nmero y una letra.El nmero indica la condicinde carga; se han consideradolos cinco casos siguientes:
M
M
M
M
M M
M1
2
3
5
4
M
2
M2
La letra se refiere a lascondiciones de apoyo de
la viga relativas a girosalrededor del eje vertical y.A, los extremos puedengirar libremente.B, los extremos estn fijos.
50
C4
46
42
38
34
30
26
22
18
14
10
6
2a/L
5A
4A
3A
2A
1A
5B 4B 3B 2B 1B
Fig. 5.13 Valores del coeficiente C4para vigas I flexionadas por pares aplicados ensus extremos.
5.4.2.1 Algunas soluciones aproximadas
5.4.2.1.1 Momentos desiguales en losextremos
Si las nicas acciones son momentos aplicados en los extremos de la viga, demagnitudes diferentes (Fig. 5.14), el momento flexionante a lo largo del eje es funcin de
-
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34 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
z, y la ecuacin diferencial de equilibrio tiene coeficientes variables, lo que obliga aemplear un procedimiento numrico complicado, que utiliza series de funcionesespeciales, para resolverla. Afortunadamente, se ha demostrado (refs. 5.6 y 5.7) que elefecto de la variacin del momento sobre la resistencia al pandeo lateral puede tenerse
en cuenta, con buena aproximacin para fines de diseo, sustituyendo el momentovariable real que ocasionara el pandeo por un momento uniforme equivalente ficticio,que produce el mismo resultado. El momento crtico de la viga de la Fig. 5.14 se obtienemultiplicando el del caso fundamental por un factor de momento equivalente, Cb, demanera que
M C Mcr b cr = 0 (5.31)
Mocres el momento crtico de pandeo de la viga en flexin pura (ec. 5.19 o 5.20), y Cbsecalcula con la expresin
( ) ( ) 3.23.005.175.1 22121 ++= MMMMCb (5.32)
M1es el menor y M2el mayor de los momentos en los extremos (pueden ser iguales); elcociente M1/M2 es positivo cuando la viga se flexiona en curvatura doble y negativocuando lo hace en curvatura simple.
M1
M2
Flexin en curvatura doble
M1/M2es positivo
M1 M2
Flexin en curvatura simpleM
1/M
2es negativo
M1 M2
Fig. 5.14 Viga sujeta a momentos aplicados en sus extremos.
En la Fig. 5.15 se comparan los valores de Mcr , dados por la ecuacin aproximada 5.31,con los valores tericos: los resultados de la ec. 5.31 estn muy cerca de los momentoscrticos reales, y son ligeramente conservadores.
-
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 35
1.00
-1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.25 0.50
Banda de resultados tericos
Curvaturasimple
CurvaturadobleM /M
0.75 1.000
0.75
0.50
M1
M2
0.25
0
M1 M2
1C
bMocrM
cr
Fig. 5.15 Comparacin de la ec. 5.31 con resultados tericos.
Puesto que M M1 2 est comprendido, en todos los casos, entre -1 y 1, Cbes siempre
mayor que la unidad (excepto en el caso particular en que M1/M2= -1.0, en el que Cb=1.0), lo que confirma que la flexin pura, producida por momentos iguales y de sentidos
contrarios, es la condicin de carga ms severa.
5.4.2.1.2 Carga concentrada en el punto medio
La ecuacin diferencial de equilibrio de una viga libremente apoyada, con una cargaconcentrada en el centro del claro, tiene un coeficiente variable; su solucin se obtienecon el mtodo de series infinitas (ref. 5.8). Los resultados se indican con lnea continuaen la Fig. 5.16, en la que se muestran tres casos: carga aplicada en el patn superior, enel centro de torsin y en el patn inferior de la seccin transversal.
Con fines de diseo se utiliza la ec. 5.31, en la que Mcres el momento mximo en la viga
en el instante en que se inicia el pandeo:
crbcr
cr MCLP
M 04== (5.33)
donde
cb=AB para carga en el patn inferior
A para carga en el centro de torsin
A/B para carga en el patn superior
-
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36 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
Los valores deAy B(ref. 5.9) son:
A = 1.35
B = 1 + 0.649 W - 0.180 W2
Wse calcula con la ec. 5.21.
Los valores aproximados de Pcr, obtenidos con la ec. 5.33 y los coeficientes Cbindicadosarriba, coinciden prcticamente con la solucin exacta (Fig. 5.16).
Resultados aproximados
0
10
20
30
40
50
P
L/2 L/2
P
P
P
0.5 1.0 1.5 2.0
GJ
EC aW
2=
2.5
( )
Resultados tericos
PcrL2
ElyGJ
L2
2
Fig. 5.16 Viga con una carga en el centro del claro; comparacin deresultados tericos y aproximados.
-
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 37
Cargas
Diagramas demomentosflexionantes
Mcr
Mcr
Mcr
Mcr
Cb
M
M
M
M
M
L/4L/4
L/4
L/4 L/4 L/4 L/4
3L/4
P
PP
P
w
PcrL
4
PcrL
4
3PcrL
16
WcrL2
8
1.00
1.75
2.30
1.35
1.13
1.04
1.44
(a)
(b)
MAM
BMmx
MC
Cb=12Mmx
2Mmx
+3MA
+4MB
+3MC
L/2 L/2
L
L
L
L
L/2
Tabla 5.1 Valores de Cbpara varias condiciones de carga (Las fuerzasconcentradas estn aplicadas en el centro de torsin de la seccin
transversal).
-
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38 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
5.4.2.1.3. Otras condiciones de carga
La Tabla 5.1a contiene soluciones aproximadas para varias condiciones de carga; lasfuerzas estn aplicadas en el centro de torsin de la seccin transversal de la viga, o son
pares que actan en sus extremos. Las cargas crticas se obtienen con la ec. 5.31, en laque Mocrse calcula con la ec.5.19 o 5.20, y Cbse lee en la cuarta columna de la tabla; lacolumna tercera contiene las expresiones de Mcrpara cada caso.
Cuando las cargas producen diagramas de momentos que no varan linealmente entrelos extremos de la viga, Cbpuede calcularse con la frmula emprica (ref. 5.2):
CBAmx
mxb MMMM
MC
3432
12
+++= (5.34)
MA, MBy MCson los valores absolutos de los momentos en el primer cuarto, el centro y
el tercer cuarto del claro de la viga, y Mmxes el momento mximo en la viga, tambin envalor absoluto (Tabla 5.1b).
En la Tabla 5.2 se proporciona informacin adicional para fuerzas que no estnaplicadas en el centro de torsin.
Carga Diagrama de momentosflexionantes
M A B
PL4
1.35 1-0.180W2+0.649W
wL2
81.12 1-0.154W2+0.535W
PL1 1+L1 2
2L1+L2( ) 1-0.465W2+1.636W
P
P P
L/2 L/2
L
L1
L1
L2
w
Tabla 5.2 Coeficientes A y B para vigas con cargas transversales.
EJEMPLO 5.3 Una viga libremente apoyada, cuya seccin transversal se muestra en laFig. E5.3.1, tiene 10 m de claro y ningn soporte lateral intermedio; sobre ella
-
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 39
acta una carga uniformemente repartida. Calcule el valor de la carga por unidadde longitud, wcr, que ocasionara la falla por pandeo lateral elstico, suponiendoque est aplicada en el patn superior, en el centroide de las seccionestransversales, y en el patn inferior.
d=157.48 cm h=152.4 cm
1.27 cm
t=2.54 cm
t=2.54 cm
b=30.5 cm
30.5 cm
Fig. E5.3.1 Seccin transversal de la viga del ejemplo 5.3.
Las propiedades geomtricas de la seccin transversal son:
A = 348.5 cm2, Ix= 1 304 580 cm
4, Iy= 12 037 cm
4, J = 437.3 cm
4, Ca= 72.2 x 10
6cm
6.
La carga crtica por unidad de longitud se determina con una expresin semejantea la 5.33:
Mcr= 2ocrb
crocrb
2cr
L
M8C= wMC=
8
Lw
El momento crtico en el caso fundamental (ec. 5.19b) es
Tm.208.6=Kgcm36385720=3915778+53102421000
E
=10x172.21000
+2.6
437.312037
1000
E=C
L+
JI
L
E=M 6ayocr
22
6.2
Cbtiene los valores siguientes (Tablas 5.1 y 5.2):
Ec. 5.21, W=3.437
6aa 10x72.2
x2.61000
=J
C2.6
L=
GJ
EC
L
= 2.058
-
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A = 1.12, B = 1 + 0.535 x 2.058 - 0.154 x 2.0582= 1.449
a) Carga en el patn inferior. C b= AB = 1.12 x 1.449 = 1.623b) Carga en el centro de torsin. C b= A = 1.12
c) Carga en el patn superior. C b=A/B = 1.12/1.449 = 0.773
Cargas crticas elsticas.
a) wcri= 8 x 1.623 x 208.6/102= 27.1 Ton/m
b) wcrc = 8 x 1.12 x 208.6/102= 18.7 Ton/m
c) wcrs= 8 x 0.773 x 208.6/102= 12.9 Ton/m
En el caso b, Cb puede calcularse tambin con la ecuacin aproximada 5.34,utilizando el diagrama de momentos de la Fig. E5.3.2:
Cb= 1.14=9.3753)+(3+12.54)+(2
12.5x12=
3M+4M+3M+M2
M
CBAmx
mx12
Este valor es muy cercano al obtenido arriba, 1.12.
10m
MB
=Mmx
=12.5w
A
MA
=MC
=9.375w
B C
2.5m 2.5m 2.5m 2.5m
Fig. E5.3.2 Diagrama de momentos de la viga del ejemplo 5.3.
Como se ve observando las cantidades dentro del radical de la ec. 5.19b, la resistenciaal pandeo lateral que proviene de la torsin por alabeo es mucho mayor que la quecorresponde a la torsin de Saint Venant.
EJEMPLO 5.4 Igual que el ejemplo 5.3, pero la viga es ahora de seccin W12 x 35 lb/ft(30.5 cm x 52 Kg/m), tomada de la ref. 5.22, de 6 m de claro, y tiene una cargaconcentrada aplicada en la seccin media. Se desea calcular los valores de esacarga que ocasionaran el pandeo lateral elstico de la viga.
Propiedades geomtricas
A = 66.5 cm2; Iy= 1020 cm4; J = 30.8 cm4; Ca= 236 x 10
3cm6
-
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 41
GJ
ECa= 141.0 cm.
Las propiedades geomtricas se han tomado de la ref. 5.22.
La ec. 5.33 proporciona la carga crtica:
L
MC4=PMC=M=
4
LP ocrbcrocrbcr
cr
De la ec. 5.19a
Mocr= .=6599+12083600
E=10x236x1020
600+
2.6
30.8x1020
E 3 2
600
= Tm14.6=Kgcm2431459
W=600
0.141 = 0.738. A = 1.35, B = 1 + 0.649 x 0.738 - 0.180 x 0.7382
= 1.381.
Los valores de A y B se han tomado de la Tabla 5.2.
a) Carga en el patn inferior . Cb=AB= 1.864b) Carga en el centro de torsin. Cb=A = 1.35c) Carga en el patn superior. Cb=A/B= 0.978
Cargas crticas.
a) Pcri= 4 x 1.864 x 14.6/6.0 = 18.1 Tonb) Pcrc= 4 x 1.35 x 14.6/6.0= 13.1 Tonc) Pcrs = 4 x 0.978 x 14.6/6.0 = 9.5 Ton
En el caso b, Cbpuede calcularse con la ec. 5.34.
Mmx= MB= PL/4 = 1.5 P ; M A= MC= 0.75P
1.35=1.333=3)+(30.75+4)+(21.5
1.5x12=C
.
b
La resistencia debida a la torsin de Saint Venant es ahora mayor que la queproviene de la resistencia al alabeo.
-
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42 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
5.4.2.1.4 Otras condiciones de soporte lateral
Hasta ahora se ha supuesto que, desde el punto de vista del pandeo lateral, los soportesson apoyos simples en flexin lateral y en torsin, a los que corresponde el valor mnimo
de Mcr.
En uniones diseadas para transmitir slo fuerza cortante (dos ngulos soldados oatornillados al alma de la viga, de longitud bastante menor que el peralte de sta, porejemplo), las condiciones anteriores se cumplen razonablemente; aunque hay algunasrestricciones contra la rotacin alrededor de yy el alabeo, no pueden cuantificarse conexactitud, y es conservador considerarlas nulas.
Si la conexin transmite flexin, adems de cortante, como en las uniones entre vigas ycolumnas de marcos rgidos, las condiciones de soporte se aproximan al empotramiento,tanto en flexin lateral como en torsin, y Mcraumenta de manera importante.
Se cuenta con varios mtodos para considerar las diversas condiciones de apoyo ysoporte lateral. Uno de ellos, en el que se utilizan dos coeficientes de longitud efectiva,para flexin lateral y torsin (Kyy Kz, respectivamente), se ha tratado en el art. 5.4.2.
En secciones en cajn, que tienen una resistencia a la torsin por alabeo despreciable
GJEILK
M yy
cr
= (5.35)
Otro mtodo consiste en definir un coeficiente Cbs, semejante a Cb, que incluye, al mismo
tiempo, las condiciones de apoyo y el tipo de carga que acta sobre la viga. De estamanera, la ec. 5.31 se convierte en
crbscr MCM 0= (5.36)
Si la viga est empotrada en los dos extremos, y tiene una carga concentrada en elcentro o repartida uniformemente en toda la longitud, se tiene (ref. 5.9):
Mcr=
adistribuidnteuniformemecargalapara/Lw
aconcentradcargalapara/LP
cr
cr
12
8
2
Cbs =
superiorpatnelencargaparaA/B
torsindecentroelencargaparaA
inferiorpatnelencargaparaAB
Las expresiones para Ay B estn en la Tabla 5.3, y Mocr se calcula con la ec. 5.19 o5.20.
-
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 43
Los coeficientes Cbde la ec. 5.31 y Cbsde la 5.36 no son iguales, pues el primero slotoma en cuenta el efecto de la variacin del momento sobre la carga crtica de pandeolateral, y el segundo incluye tambin las condiciones de apoyo en los extremos de laviga.
Carga A B
w
L
P
L/2 L/2
1.643+1.771W-0.405W2
1.916+1.851W-0.424W2
1+0.625W-0.339W2
1+0.923W-0.466W2
Tabla 5.3 Expresiones para A y B para una viga empotrada en losextremos.
Las referencias 5.7, 5.9 y 5.10 contienen informacin adicional para otras condiciones deapoyo y carga, incluyendo vigas en voladizo.
5.4.3 Soportes laterales intermedios y vigas continuas
En vigas continuas, formadas por varios tramos unidos entre s en los apoyos, esfrecuente que se soporten lateralmente una o ms secciones intermedias de alguno delos tramos; lo mismo sucede en vigas de marcos rgidos, sobre todo durante laconstruccin de la estructura. Si una viga con soportes laterales intermedios trata depandearse lateralmente, el tramo crtico interacta con los adyacentes, y su resistencia,y la de la viga completa, aumentan; la importancia de la interaccin depende de lageometra de la viga y de las cargas que obran sobre ella.
La viga de la Fig. 5.17 est apoyada libremente; el eje deformado vertical, que semuestra en a), es una semionda. Sin embargo, desde el punto de vista del pandeo
lateral es continua, a causa de los soportes laterales intermedios (Fig. 5.17b), que sonproporcionados, con frecuencia, por las mismas vigas transversales que aplican lascargas; en otras ocasiones, se colocan elementos especiales para dar apoyo lateral a lassecciones intermedias.
En el tramo central el gradiente de flexin es nulo, y en los laterales el momento vara deun mximo en un extremo a cero en el otro; estos tramos tienen mayor resistencia alpandeo que el central, restringen la rotacin de sus extremos, y retrasan el fenmenohasta que se igualan las resistencias de los tres.
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44 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
Pun tos de inflexin
b) Planta y deform acin lateral
L/3 L/3
L
P P
L/3
* *
Sop ortes laterales*
* *
a) Elevacin y de formacin en e l plano ve rtical
Fig. 5.17 Viga libremente apoyada con soportes laterales intermedios.
La viga de la Fig. 5.18 es continua vertical y lateralmente; sin embargo, desde el puntode vista del pandeo lateral su comportamiento es anlogo al de la viga de la Fig. 5.17,aunque ahora es el tramo central el que restringe a los laterales.
b) Planta y deformacin lateral
a) Elevacin y deformacin en el plano vertical
Soportes laterales Puntos de inflexin*
* * * *
Ls2
=L2
Ls2
=L2Ls1
=L1
Fig. 5.18 Viga continua.
Los puntos de inflexin de la curva de deformacin lateral se sitan siempre en lostramos ms dbiles, y no coinciden con los de la deformada vertical, que aparecen enlas secciones de momento nulo; por consiguiente, al estudiar la resistencia al pandeo
lateral es errneo considerar que los puntos de inflexin de la curva vertical puedenconsiderarse soportados lateralmente, y las distancias entre secciones de momento nulono son las longitudes efectivas de pandeo.
La Fig. 5.19 muestra el efecto de la interaccin en los modos de pandeo elstico de unaviga continua de tres claros. Si slo estn cargados los laterales (P2= 0), ellos son lostramos crticos, en los que se inicia, eventualmente, el pandeo; sin embargo, elfenmeno est restringido por el tramo central, sin carga, y en la curva de pandeo
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 45
aparecen puntos de inflexin en los claros extremos (Fig. 5.19b); si, en cambio, el centrales el nico claro cargado (P1= 0), lo restringen los laterales, y la curva de pandeo es lade la Fig. 5.19c, con puntos de inflexin en l. Entre esos dos extremos existe unacondicin de carga para la que no hay interaccin, cada claro se pandea como si
estuviera aislado de los dems, y aparecen puntos de inflexin en los dos apoyosintermedios (Fig. 5.19d).
Puntos de inflexin
Puntos de inflexin
P1 P1P2
L1
L1L2
(d) Modo 3, no hay interaccin
(a) Elevacin
Los apoyos estnsoportados lateralmente
Puntos de inflexin
(b) Modo1, P2=0
(c) Modo 2, P1
=0
Fig. 5.19 Modos de pandeo de una viga continua de tres claros.
Las curvas de las figuras b, cy d, caractersticas del pandeo lateral, corresponden a laconfiguracin deformada de la viga fuera del plano de flexin; la curva elstica de la viga,en su plano vertical original, no depende del contraventeo lateral sino, nicamente, delas cargas.
Se cuenta con abundante informacin terica para evaluar la carga crtica de pandeolateral de vigas continuas con soportes laterales entre los apoyos incluyendo, en lasolucin del problema, la interaccin de los tramos que las componen, pero losresultados son demasiado complicados para aplicarlos en problemas rutinarios de diseo(refs. 5.20, 5.21, 5.25); por ello, se han propuesto mtodos simplificados.
En el ms sencillo, aplicable a vigas formadas por varios segmentos con extremosapoyados o provistos de contraventeos que evitan que se alabeen y desplacenlateralmente, se ignora la continuidad lateral entre tramos adyacentes, y se consideracada uno de ellos como si, lateralmente, tuviese apoyos libres; el pandeo elstico decada segmento se estudia considerando los momentos flexionantes que actan en l,obtenidos con un anlisis de la viga en el plano de carga, y con una longitud efectiva Leigual a la longitud L del segmento (cada tramo, entre apoyos verticales o soporteslaterales, se trata como si estuviese aislado). El momento crtico elstico de cada
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46 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
segmento se utiliza para evaluar el conjunto de cargas correspondiente, y el menor deellos se considera el crtico. Se obtiene, as, un lmite inferior de las cargas queocasionan el pandeo que, en muchos casos, es bastante cercano al real. (En problemasde diseo basta, en general, con conocer el momento crtico de la viga, que se toma
igual al menor de los calculados para los tramos que la componen; no suele sernecesario determinar las cargas correspondientes).
Los resultados anteriores se pueden mejorar considerablemente, sin complicacionesexcesivas, incluyendo en el anlisis, de manera aproximada, la interaccin del segmentocrtico con los adyacentes (refs. 5.20, 5.21, 5.25); se supone que las restricciones contrael desplazamiento lateral y el alabeo de las secciones extremas son idnticas, y que lasque hay en el plano de flexin se tienen en cuenta por medio del diagrama de momentosflexionantes en ese plano.
Los pasos para resolver un problema son (en vez de las cargas criticas pueden utilizarse
los momentos crticos, lo que suele ser ventajoso):
1. Se determina el diagrama de momentos flexionantes en el plano de carga (Fig.5.20a).
2. Se determinan Cb (ec.5.32 o 5.34) y Mcr (ec. 5.31) para cada uno de lossegmentos no contraventeados, con una longitud efectiva igual a la distancia realentre puntos soportados lateralmente, y se identifica el tramo que tiene la cargacrtica menor. Pm, PrI y PrD (Fig. 5.20b), son las cargas crticas de pandeo delsegmento ms dbil y de los situados a uno y otro lado de l, determinadassuponiendo que sus extremos estn apoyados libremente.
3. Se calculan las rigideces de los tres segmentos; para el segmento crtico:
bcr
y
m L
EI2=
Para los tramos adyacentes:
=
r
my
r P
P
L
EIn 1
n vale 2 si el extremo opuesto del segmento adyacente es continuo, 3 si est
articulado, y 4 si est empotrado.
4. Se determinan las relaciones entre rigideces G m r= en los dos extremos del
segmento crtico, y se obtiene su factor de longitud efectiva, K, con el nomogramapara columnas restringidas, sin desplazamientos lineales relativos entre susextremos.2
2El nomograma puede verse, por ejemplo, en las refs. 5.1, 5.12 5.26, y se incluir en un captuloposterior de este libro. Aparece tambin en la Fig. E5.5.2.
-
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 47
5. Se calcula el momento crtico de pandeo lateral del segmento ms desfavorablecon la ecuacin:
y2
2
a2
yb
cr I(KL)
CE+GJEIKL
C=M
que es la ec. 5.19a, en la que se han introducido el coeficiente Cb y la longitudefectiva KL. Puede utilizarse tambin la ec. 5.19b, con los factores Cby K.
Conocido Mcr puede determinarse, si se desea, la carga crtica elsticacorrespondiente.
Mn
Mn+1
(a)
P ,rr Pm m,PrD rD
,
L Lbcr LD
b
Fig. 5.20 Efectos de las restricciones en los extremos: (a) momentos
flexionantes en el plano de carga, (b) contraventeo lateral ylongitudes de pandeo.
El problema puede resolverse trabajando slo con momentos, sin recurrir a calcular lascargas crticas, como se ilustra en el Ejemplo 5.5.
El mtodo anterior est basado en una similitud entre el pandeo elstico de columnascontinuas con extremos fijos linealmente y el pandeo lateral por flexotorsin de vigasformadas por varios tramos (ref. 5.21).
EJEMPLO 5.53 La viga de la Fig. E5.5.1 es un tramo de una viga continua, o formaparte de una estructura reticular; los apoyos y los puntos de aplicacin de lascargas (1 a 5) estn soportados lateralmente. Se desea determinar su momentocrtico elstico, a) considerando cada tramo, entre puntos fijos lateralmente,aislado de los dems; b) teniendo en cuenta la interaccin de los tramos. La vigaes una W 24 x 55 lb/ft (61.0 cm x 82 Kg/m).
3Este ejemplo esta basado en uno de la ref. 5.25.
-
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48 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
a) Dimensiones y cargas
b) Diagrama de momentosflexionantes (Tm)
3.80m 3.80m 3.80m 3.80m
1 2
15.8T.=2P; 23.7T.=3P; 7.9T.=P90.0Tm=0.75PL
3 4 5
75.0=0.625PL
90.0=0.75PL
15.0=0.125PL
90.0=0.75PL
Fig. E5.5.1 Viga del ejemplo 5.5.
Propiedades geomtricas de la viga (ref. 5.22).
Iy= 1210 cm4; J = 49.1 cm4; Ca= 1039 x 10
3cm6
Coeficientes Cb. Pueden calcularse con la ec. 5.32, pues el momento flexionantevara linealmente en cada tramo.
Tramo 1.2 M1/M2= 0, C b= 1.75
Tramo 2.3 M1/M2= -(75.0/90.0) = -0.833
Cb= 1.75 + 1.05 (-0.833) + 0.3 (-0.833)2= 1.084
-
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50/151
Flexin 2 (Pandeo Lateral) 49
Mcr=
+ ay
b CL
JI
L
EC2
6.2
= 10x1039x380+2.6
49.1
1210380
E1.75
3
2
10x
-5
= 97.30 Tm.
Mcr/Mmx= 97.30/75.0 = 1.30.
Como L = 3.80 m en todos los tramos, la nica cantidad que vara en la ecuacinanterior es Cb.
Tramo 2.3 Mcr=97 30
175
.
.x 1.084 = 60.27 Tm;
mx
cr
M
M=
60 27
90 0
.
.= 0.67
Tramo 3.4 Mcr=97 30
175
.
.x 1.583 = 88.01 Tm ;
mx
cr
M
M=
88 01
90 0
.
.= 0.98
Tramo 4.5 Mcr=97 30
175
.
.x 1.934 = 107.53 Tm;
mx
cr
M
M=
107 53
90 0
.
.= 1.19
a) Considerando cada tramo por separado, el crtico es el 2.3; el momentocrtico elstico de la viga puede tomarse, conservadoramente, igual a(Mcr)2.3= 60.27 Tm.
La viga no resistira las cargas que actan sobre ella, que producen momentosmayores que el crtico, pero eso no invalida el ejemplo.Las acciones que ocasionaran el pandeo elstico de la viga (determinadas sinconsiderar la interaccin de los diversos tramos) y el diagrama de momentoscorrespondiente, se obtienen multiplicando por 0.67 las cargas y momentos de laFig. E5.5.1.
Rigideces aproximadas (del tramo crtico y los dos adyacentes).
Tramo 1.2.
1.30
0.67-1
E1210x3=)/M(M
)/M(M-1L
3EI
=12mxcr
mnmxcry
12 380 = 9.44 x 106Kgcm.
Tramo 2.3. 23 = 2EIy/L = 2 x 1210E/380 = 12.99 x 106Kgcm.
Tramo 3.4. 34=
0.98
0.67-1
1210Ex=
)/M(M
)/M(M-1
L
2EI
34mxcr
mnmxcry
380
2= 4.11 x 106Kgcm.
-
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51/151
50 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
Coeficientes G. G2= 12.99/9.44 = 1.38; G3= 12.99/4.11 = 3.16.
Factor de longitud efectiva. De la Fig. E5.5.2, K23= 0.85.
b) Momento crtico elstico corregido (Tramo 2-3).
(Mcr)2 3. = Tm80.9510x10x1039x380x0.85+1210
x
E 5-3 =
2
6.2
1.49
38085.0
084.1
Al considerar la continuidad del tramo crtico con los que estn a sus lados, elmomento crtico elstico de la viga sube de 60.37 Tm, que corresponde al tramo2-3 aislado, a 80.95 Tm, lo que representa un incremento de 34%. (80.95/60.37 =1.34).
El incremento en resistencia del prrafo anterior se refiere a pandeo elstico; sinembargo, como se ve ms adelante, la mayora de las vigas de estructuras realesse pandean en el intervalo inelstico, lo que obliga a corregir los resultadosobtenidos hasta ahora; la diferencia entre los momentos crticos reales, corregidos
por inelasticidad, suele ser mucho menor que la que hay entre los elsticos.
El pandeo lateral puede ser ms crtico durante la construccin que en laestructura terminada; esto sucede, por ejemplo, en las vigas compuestas, antesde colar la losa de concreto.
El problema puede resolverse tambin en funcin de las cargas crticas de cadatramo, en vez de los momentos crticos; para ello, se expresan las cargas y losmomentos en funcin de la menor de ellas, P, y del claro L = 15.20 m de la viga(Fig. E5.5.1). Se obtiene, as:
Tramo 1-2. Mcr= 97.30 Tm = 0.625 PcrL Pcr= 10.24 Ton.
Tramo 2-3. Mcr= 60.27 Tm = 0.75 PcrL Pcr= 5.29 Ton.
Tramo 3-4. Mcr= 88.01 Tm = 0.75 PcrL Pcr= 7.72 Ton.
Tramo 4-5. Mcr= 107.53 Tm = 0.75 PcrL Pcr= 9.43 Ton.
El tramo crtico es el 2-3.
-
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52/151
Flexin 2 (Pandeo Lateral) 51
0 0
0.1 0.1
0.2 0.2
0.3 0.3
0.4 0.4
0.5
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Gs K Gi
0.5
0.6 0.6
0.7 0.70.8 0.80.9 0.91.0 1.0
2.0 2.0
3.0 3.04.05.0 5.0
10.0 10.0
50.0 50.0
oo oo
Fig. E5.5.2 Nomograma para determinar el factor de longitud de
columnas en marcos con desplazamientos laterales impedidos.
Rigideces aproximadas.
10.24
5.29-1
E1210x3=
)(P
)(P-1
L
3EI=
2-1cr
3-2cry
12 380= 9.42 x 106Kgcm.
23 = 2EIy/L = 12.99 x 106Kgcm.
34=
7.72
5.29-1
1210Ex=
)(P
)(P-1
L
2EI
34cr
23cry
380
2= 4.09 x 106Kgcm.
Los resultados son prcticamente iguales a los de arriba, de manera que seobtiene el mismo momento crtico corregido.
(Mcr)2-3= 80.95 Tm = 0.75 PcrL Pcr= 7.10 Ton.
7.10/5.29 = 1.34, igual que arriba.
-
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53/151
52 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
Las cargas que ocasionaran el pandeo elstico de la viga se obtienensustituyendo P por Pcr= 7.10 Ton en la Fig. E5.5.1a.
EJEMPLO 5.6 Igual que el ejemplo 5.5. La viga es una W12 x 50 lb/ft (31 cm x 74Kg/m), con las dimensiones y cargas que se indican en la Fig. E5.6.1.
43
2m 3m
5.4 (+)
(-)
6.6
4m
1 2
2.3T. 3.5T.
R=2.7Ton
a) Dimensiones y cargas
b) Diagrama de momentos
flexionantes (Tm)
5.8Tm
5.8
Fig. E5.6.1 Viga del ejemplo 5.6.
Propiedades geomtricas de la W12 x 50 (ref. 5.22)
Iy= 923 cm4; J = 74.1 cm4; Ca= 504 847 cm
6
Coeficientes Cb. Pueden calcularse con la ec. 5.32, pues el momento flexionantevara linealmente en cada uno de los tramos.
Tramo 1-2. M1/M2= 0, Cb= 1.75
Tramo 2-3. M1/M2= -(5.4/6.6) = -0.818 (curvatura simple).
Cb= 1.75 + 1.05 (-0.818) + 0.3 (-0.818)2= 1.09 2.3 Cb= 2.3
-
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 53
Momentos crticos elsticos, suponiendo tramos aislados.
cm.133.1=74.1
847504X2.6=
GJ
ECa Esta cantidad es constante para todos
los tramos.
Tramo 1-2. Ec. 5.20, con el coeficiente Cb. Mcr= =W+1GJEIL
C2
yb
=
22
133.1x200
+174.1x923xE
6.2200
75.1x 10-5 = 0.027 x 330.70 x 106x 2.32 x 10-5=
210.7 Tm.
Mcr/Mmx= 210.7/5.4 = 39.02.
Tramo 2-3. Mcr=
5.02
)300
09.1
300
133.1+110x(330.7 6
x10-5= 64.8 Tm;
Mcr/Mmx= 64.8/6.6 = 9.82.
Tramo 3-4. Mcr=
5.02
)400
90.2
400
133.1+110x(330.7 6
x 10-5= 109.0 Tm ; Mcr/Mmx= 109.0/6.6
=16.52
a) Considerando cada tramo por separado, el tramo crtico es el 2-3, y el
momento crtico elstico de la viga puede tomarse, conservadoramente, igual a64.8 Tm.
Rigideces aproximadas.
Tramo 1-2. 12=6
12mxcr
mnmxcry10x21.13=
39.02
9.82-1
200
E923x3=
)/M(M
)/M(M-1
L
3EI
Tramo 2-3 23= 2EIy/L = 2 x 923 E/300 = 12.55 x 106
Tramo 3-4. 34=6
34mxcr
mnmxcry
10x5.72=16.52
9.82
-1400
E923x3
=)/M(M
)/M(M
-1L
3EI
Coeficientes G. G2= 12.55 x 106/21.13 x 106= 0.59
G3= 12.55 x 106/5.72 x 106= 2.19
Factor de longitud efectiva. Del nomograma de la Fig. E5.5.2, K23= 0.78
-
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54 Flexin 2 (Pandeo Lateral)
b) Momento crtico elstico corregido del tramo crtico (2-3).
(Mcr)23=
2
6.230078.0
09.1
0.78x300
133.1+174.1x923x
E
x
2 x 10-5= 99.1 Tm.
Teniendo en cuenta la continuidad de los tramos, el momento crtico de la viga esde 99.1 Tm, 53% mayor que el que se obtiene considerando los tramos aislados(99.1/64.8 = 1.53).
-
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Flexin 2 (Pandeo Lateral) 55
5.5 PANDEO LATERAL INELSTICO
5.5.1 Aspectos generales
De la misma manera que la teora de Euler sobrestima la resistencia de las columnasque se pandean fuera del intervalo elstico, las ecuaciones que se han visto hasta ahorapara calcular Mcr proporcionan valores que pueden ser mucho mayores que laresistencia ltima de las vigas, si el pandeo se inicia cuando parte de sus seccionestransversales est plastificada. Se presenta, en este caso, un fenmeno de pandeoinelstico, caracterstico de vigas de longitud libre (separacin entre seccionessoportadas lateralmente) intermedia (art. 5.2.1 y Fig. 5.3).
A causa de los esfuerzos residuales, la plastificacin comienza antes de que se alcanceel momento plstico, Mp= ZxFy, en las secciones tipo 1 o 2, o el momento elstico lmite,My= SxFy, en las tipo 3. La plastificacin parcial de las secciones transversales ocasiona
una disminucin de las diversas rigideces (EIx, EIy, GJ y ECa), pues las zonasplastificadas se deforman libremente bajo carga creciente, y la seccin efectiva, desde elpunto de vista de la resistencia al pandeo lateral, disminuye (se reduce a la parte que seconserva en el intervalo elstico).
La complejidad del problema del pandeo lateral inelstico se debe a varias razones:
1. La distribucin de esfuerzos residuales en las secciones transversales dependede su geometra y del proceso de fabricacin del perfil, y puede variar de maneraapreciable an entre vigas tericamente iguales.
2. Cuando comienza la plastificacin, las secciones bisimtricas pierden la simetrarespecto al eje de flexin, porque al superponerse los esfuerzos producidos por laflexin con los residuales el flujo plstico se inicia en los extremos del patncomprimido y en la zona central del que est en tensin y, cuando crece elmomento, se extiende hacia el interior del primero y hacia los extremos delsegundo penetrando, adems, en la parte del alma que est en contacto con ste(Fig. 5.21).
3. Si el momento flexionante vara a lo largo del eje de la viga, la amplitud de laszonas plastificadas y la geometra del ncleo elstico, del que proviene laresistencia al pandeo lateral, cambian de unas secciones a otras; el problema se
convierte en la determinacin del momento crtico de una viga con u