10. pandeo
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Inestabilidad por compresión: pandeo
Pandeo ideal o de Euler
Pandeo de pilares reales
Inestabilidad por compresión: pandeo
Cuando una barra esbelta (larga y delgada) se somete a compresión centrada, el fallo se produce por flexocompresión al perder la barra la forma recta a partir de un cierto valor llamado carga critica.
1. Se va aumentando la carga P
2. Cuando se llega a Pcrit la barra pierde su apariencia recta. Adoptando una curvatura inicial.
3. Eso provoca que aparezcan momentos flectores cada vez mayores en las secciones centrales del pilar, ya que la línea de acción de la carga P se separa del centro de gravedad de la sección.
4. Cuando P>Pcrit el elemento no es capaz de soportar más carga: es INESTABLE. Curvándose cada vez más si se mantiene la carga.
Comprender el pandeo
El pandeo es una inestabilidad que se da en elementos comprimidos.
Cuando se alcanza la carga crítica que hace que aparezca la inestabilidad, la pieza se curva y no es capaz de soportar más carga a partir de ese momento.
El pandeo depende de la esbeltez de la barra que viene dada por:◦ Longitud de la barra
◦ Sujeciones en los extremos
◦ Sección de la barra: inercia y área
En piezas esbeltas se da el pandeo antes de que se de el fallo por plastificación del material (por superar el límite elástico).
En piezas robustas (poco esbeltas) no se llega a dar el pandeo, pues falla antes el material por alcanzar tensiones superiores a las admisibles.
Pandeo ideal (de Euler) de barra biarticulada
El estudio de la compresión de una barra ideal, de material elástico-lineal, biarticulada y sin imperfecciones geométricas o de material se denomina problema de Euler.
Pensemos en una barra ya separada de su forma recta original de equilibrio (curvada)
A una distancia x del apoyo A hay una deformación y.
En esa sección genérica habrá un momento flector generado por N.
◦ Mirando a izquierda o derecha M=N·y
Según la ecuación de la elástica
◦ 𝑦′′ = −𝑀
𝐸𝐼= −
𝑁·𝑦
𝐸𝐼
Quedando la ecuación diferencial:
𝒚′′ +𝑵
𝑬𝑰· 𝒚 = 𝟎
Ec. diferencial homogénea de coeficientes constantes. Su solución es:
y = C1 · senN
EI· x + C2 · cos
N
EI· x
Las condiciones de contorno y(0)=0; y(L)=0 dan:
𝑦 0 = 0 0 = 0 + C2 · 1 C2 = 0
𝑦 𝐿 = 0 0 = C1 · senN
EI· L + 0
C1 = 0: sol trivial
senN
EI· L = 0
N
EI· L = 𝑛 · 𝜋
Si despejamos para n=1 la carga N que hace falta para
conseguir esta deformación por inestabilidad:
𝑵𝒄𝒓 =𝝅𝟐𝑬𝑰
𝑳𝟐
Carga crítica de Euler, tensión crítica y esbeltez
La fórmula obtenida se denomina carga crítica de Euler:
𝑵𝒄𝒓 =𝝅𝟐𝑬𝑰
𝑳𝟐
Indica la carga teórica necesaria para que una barra biarticulada recta deje de ser estable y pandee.
La tensión de compresión que se da
en el momento del pandeo será:
𝜎𝑐𝑟 =𝑁𝑐𝑟𝐴=𝜋2𝐸𝐼
𝐴 · 𝐿2
El radio de giro de una sección se
define como 𝑖 = 𝐼 𝐴Y la esbeltez de una barra se
define como 𝝀 = 𝑳/𝒊Si representamos la tensión crítica en
función de la esbeltez
𝜎𝑐𝑟 =𝜋2𝐸
λ2curva de pandeo de Euler
Pandeo para otras condiciones de contorno
El pandeo de Euler es para una barra biarticulada (caso fundamental)
◦ En ese caso, la forma de pandeo es media onda sinusoidal
◦ Si las condiciones de contorno son diferentes, su forma de pandeo es diferente y, por tanto, su carga crítica también.
Imaginando la forma de pandeo de otras barras con otras condiciones de contorno podemos tomar tramos de las mismas que tengan esa forma sinusoidal.
◦ En esos tramos de longitud que denominaremos Lcr las carga crítica de pandeo se puede calcular mediante Euler
𝑵𝒄𝒓 =𝝅𝟐𝑬𝑰
𝑳𝑐𝑟𝟐
Cuanto más se
restrinjan las
condiciones de
contorno
mayor será la
carga resistida
Coeficientes de pandeo β
La longitud crítica Lcr puede verse de manera intuitiva como la distancia entre puntos de inflexión de la forma de pandeo.
Puede expresarse a través de la proporción de la longitud de la barra entre dichos puntos β=Lcr/L
A través del coeficiene de pandeo β tabulado para casos simples obtenemos Lcr=βL
Para una barra biarticulada (caso fundamental) β=1 𝑵𝒄𝒓 =𝝅𝟐𝑬𝑰
𝑳𝑐𝑟𝟐
Biempotrada Articulada con
fijación central
Ménsula
(emp.-libre)
Biempotrada con
desplazabilidad lateral
Empotrada-articulada
Plano de pandeo
Las barras comprimidas pandean flectando alrededor del eje en el que la esbeltez λ es máxima
λ =𝐿𝑐𝑟𝑖=𝐿𝑐𝑟
𝐼𝐴
El plano de pandeo es perpendicular a ese eje de esbeltez máxima
Si una barra tiene las mismas condiciones de contorno en todas direcciones, su longitud Lcr
es igual en los dos planos definidos por los ejes de la barra.
◦ Por tanto, pandeará flectandoalrededor del eje en que la Inercia es mínima.
Si las condiciones de contorno son diferentes según la dirección, hay que ver el plano con esbeltez máxima.
Ejemplo 1: Carga crítica teórica de pandeo
El momento de inercia de un círculo es
𝐼 =𝜋𝑅4
4=𝜋24
4= 4𝜋 𝑚𝑚4
En el caso de barra biarticulada β=1. Por tanto Lcr=L=400 mm
La carga crítica es:
𝑵𝒄𝒓 =𝝅𝟐𝑬𝑰
𝑳𝑐𝑟𝟐=𝝅𝟐2 · 105 · 4𝜋
4002= 𝟏𝟓𝟓 𝑵
En el caso de barra biempotrada β=0,5. Por tanto Lcr=0,5·L=200 mm
La carga crítica es:
𝑵𝒄𝒓 =𝝅𝟐𝑬𝑰
𝑳𝑐𝑟𝟐=𝝅𝟐2 · 105 · 4𝜋
2002= 𝟔𝟐𝟎 𝑵
Calcular la carga crítica teórica de pandeo de una barra de sección
circular comprimida en los casos de que esté biarticulada y
biempotrada.
Datos: Ø 4 mm, E=2·105 MPa, L=400 mm
Ejemplo 2: Tensión crítica teórica de pandeo
Caso 1
En XZ Emp-Libre: β=2
En XY Emp-Libre: β=2
Long. de pandeo:
𝐿𝑐𝑟 = 𝛽𝐿 = 2 · 4 = 8m
La Lcr es la misma en los dos planos, por tanto la esbeltez máxima se da para el radio de giro mínimo (eje débil, y)
El plano de pandeo es el XZ
Esbeltez: λ =𝐿𝑐𝑟
𝑖=2·4000
50,7= 157,8
Tensión crítica:
σ𝑐𝑟 =𝜋2𝐸
λ2=𝜋2200000
157,82= 𝟕𝟗, 𝟐𝟕 𝑴𝑷𝒂
Calcular la tensión crítica teórica de pandeo de un pilar de
sección HEB 200 y 4 m de altura en los dos casos de
condiciones de contorno de la figura. Indique cuál es el
plano de pandeo en cada caso.
Datos:
El módulo de elasticidad del acero es 200 GPa.
Radios de giro HEB 200: iz=8,54 cm, iy=5,07 cm
P
4 m
z
y
y
z
Caso 2
En XZ Emp-Art: β=0,7
𝐿𝑐𝑟,𝑥𝑧 = 0,7 · 4 = 2,8 𝑚
En XY Emp-Libre: β=2
𝐿𝑐𝑟,𝑥𝑦 = 2 · 4 = 8 𝑚
En este caso el pandeo alrededor del eje débil está más restringido. Hay que probar los dos casos.
λ𝑥𝑦 =𝐿𝑐𝑟,𝑥𝑦
𝑖𝑧=2 · 4000
85,4= 93,7
λ𝑥𝑧 =𝐿𝑐𝑟,𝑥𝑧𝑖𝑦=0,7 · 4000
85,4= 32,8
El plano de pandeo es el XY (λmáxima)
σ𝑐𝑟 =𝜋2𝐸
λ2=𝜋2200000
93,72= 𝟐𝟐𝟒, 𝟖 𝑴𝑷𝒂
P
4 m
z
y
y
z
Ejemplo 3: Comparativa de perfiles a pandeo
CHS 101,6×4
𝐿𝑐𝑟 = 𝛽𝐿 = 0,7 · 5 = 3,5m
Esbeltez máx:
λ𝑚𝑎𝑥 =𝐿𝑐𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛=3500
34,5= 101,4
Tensión crítica:
σ𝑐𝑟 =𝜋2𝐸
λ2=𝜋2200000
101,42= 192 𝑀𝑃𝑎
Compare el comportamiento a
pandeo de los perfiles
indicados para el caso de un
pilar de 5 m de longitud
empotrado-articulado en todas
direcciones.
E=200 GPa
CHS
101,6×4 SHS 100×4 IPE 120
SHS 100×4
𝐿𝑐𝑟 = 𝛽𝐿 = 0,7 · 5 = 3,5m
Esbeltez máx:
λ𝑚𝑎𝑥 =𝐿𝑐𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛=3500
38,9= 89,97
Tensión crítica:
σ𝑐𝑟 =𝜋2𝐸
λ2=𝜋2200000
89,972= 244 𝑀𝑃𝑎
IPE 120
𝐿𝑐𝑟 = 𝛽𝐿 = 0,7 · 5 = 3,5m
Esbeltez máx:
λ𝑚𝑎𝑥 =𝐿𝑐𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛=3500
14,5= 241,38
Tensión crítica:
σ𝑐𝑟 =𝜋2𝐸
λ2=𝜋2200000
241,382= 33,87 𝑀𝑃𝑎
CHS 101,6x4
Area=12,3cm2
Iz=Iy =146cm4; iz=iy=34,5mm
SHS 100x4
Area=14,9cm2
Iz=Iy =226cm4; iz=iy=38,9mm
IPE120
Area=13,21cm2
Iz=317,8cm4; Iy=27,67cm4
iz=49mm; iy=14,5mm
Catálogo de perfiles:
El perfil que mejor se comporta es el SHS y el que peor el IPE, que tiene un eje muy débil
Curvas de pandeo real
En la realidad los elementos comprimidos no se
comportan según la curva teórica.
◦ Hay imperfecciones geométricas (falta de rectitud)
◦ Hay tensiones residuales por la laminación (acero)
◦ Hay tensiones residuales por las soldaduras (acero)
◦ Hay imperfecciones del material
Los resultados experimentales reales dan
valores inferiores a la curva teórica
Límite inferior de los
resultados
experimentales
Curva
teórica de
pandeo
Nube de diferentes
resultados
experimentales
La norma de acero usa curvas de
pandeo real adimensionales
CURVA DE PANDEO ADIMENSIONAL
TEÓRICA
σ/fy
λ/λ1
CURVA DE
PANDEO
ADIMENSIONAL
REAL
1
1
P
λ1 es la esbeltez límite para la cual comienza a ser determinante el pandeo según la teoría de Euler
σe
λ1
Pandeo real: planteamiento del CTE de Madera
En el documento de madera del Código Técnico de la Edificación se plantea una reducción de la tensión admisible del material a través de un coeficiente reductor por pandeo χ.
Esto equivale a calcular la σcr,real de pandeo real como:𝜎𝑐𝑟,𝑟𝑒𝑎𝑙 = χ · 𝜎𝑎𝑑𝑚
La condición de resistencia es que la tensión de compresión que tengamos debida a las cargas sea menor que la tensión de pandeo que es capaz de resistir:
σ ≤ χ · 𝜎𝑎𝑑𝑚
El CTE-DB-SE-M lo presenta en su art. 6.3.2.2 como:𝜎𝑐,0,𝑑
χ𝑐,𝑧𝑓𝑐,0,𝑑≤ 1
𝜎𝑐,0,𝑑
χ𝑐,𝑦𝑓𝑐,0,𝑑≤ 1
Donde σc,0,d es la tensión de compresión con la que diseñamos la pieza y fc,0,d
es la resistencia de diseño del tipo de madera que se usa (tensión admisible).
Los coeficientes reductores χc,z y χc,y se obtienen a partir de las diferentes esbelteces λz y λy.
Pandeo real en madera: tabla del CTE para χ𝝀 =𝑳𝒄𝒓𝒊
𝑪𝒍𝒂𝒔𝒆𝒅𝒆𝒎𝒂𝒅𝒆𝒓𝒂
Ejemplo 4: Pandeo real en madera
Resolviendo el nudo se obtienen los esfuerzos axiales:
𝐹𝑉 = 0 𝑁𝐼 · 𝑠𝑒𝑛45° − 50 = 0 𝑁𝐼 = 70,71 𝑘𝑁; 𝐹𝐻 = 0 −𝑁𝐼𝐼· −𝑁𝐼 · 𝑐𝑜𝑠45° = 0 𝑁𝐼𝐼 = −50𝑘𝑁
Tensiones: 𝜎 𝐼 =70,71·103
20000= 3,53 𝑀𝑃𝑎; 𝜎 𝐼𝐼 =
−50·103
20000= −2,5 𝑀𝑃𝑎 (2,5 𝑀𝑃𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟. )
El coeficiente de pandeo es β=1 (barras de celosía). Lcr=L=1500 mm
El momento de inercia mínimo de las barras es: 𝐼𝑚𝑖𝑛 =200×1003
12= 16,67 · 106 𝑚𝑚4
El radio de giro: 𝑖𝑚𝑖𝑛 =𝐼𝑚𝑖𝑛
𝐴=16,67·106
20000= 28,87 𝑚𝑚
La esbeltez máxima, por tanto: λ𝑚𝑎𝑥 =𝐿𝑐𝑟
𝑖𝑚𝑖𝑛=1500
28,87= 51,96
En la tabla del CTE: λ = 52𝐶−20χ = 0,75 interpolando
Tensión de pandeo real 𝜎𝑐𝑟,𝑟𝑒𝑎𝑙 = χ · 𝜎𝑎𝑑𝑚 = χ · 𝑓𝑐,0,𝑑 = 0,75 · 14,6 = 10,95 𝑀𝑃𝑎
Condición de resistencia para la pieza II 𝜎𝐼𝐼 ≤ χ · 𝑓𝑐,0,𝑑: 2,5 MPa<10,95 MPa CUMPLE
Condición de resistencia para la pieza I 𝜎𝐼𝐼 ≤ 𝑓𝑡,0,𝑑: 3,53 MPa<9,23 MPa CUMPLE
Comprobar las piezas de la celosía de madera si esta tiene
que soportar una carga de diseño de 50 kN y se proyectan con
una sección rectangular de 100×200 mm.
Se usa madera maciza aserrada de conífera clase C20:
Módulo de elasticidad E0,k=6,4 MPa
Tensión admisible a compresión fc,0,d=19/1,30=14,6 MPa
Tensión admisible a tracción ft,0,d=12/1,30=9,23 MPa1,5
m1,5 m
50 kN
I
II
50 kN
NI
NII