unidad 12 pandeo y torsion

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA

FACULTAD DE INGENIERIA

CATEDRA DE ESTRUCTURAS (C 152 )

UNIDAD 12 :

PANDEO

TORSION

TEORIA Y EJEMPLOS

AUTOR DEL PRESENTE TRABAJO: ING CARLOS JOSE JASALE

PROFESOR TITULAR: ING. ROQUE DANIEL SILVA

EX JEFE DE T.P.: ING. CARLOS JOSE JASALE

- 2010 -

para imprimir en hoja oficioSIMBOLOS UTILIZADOS> mayor que >= mayor o igual que * . multiplicar< menor que <= menor o igual que ^ potencia (2^3 = 8)<> distinto

Previo al estudio del pandeo veamos lo siguiente:

CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO

Consideremos una esfera en diferentes posiciones:

1: equilibrio inestable, ya que una pequeñaperturbación al cuerpo, éste sale de su posición 3y no vuelve a su lugar original. 1

2: equilibrio estable, ya que una pequeñaperturbación al cuerpo, este sale de su posición y vuelve a su lugar original .

23: equilibrio indiferente, ya que una pequeñaperturbación al cuerpo, este sale de su posición no vuelve a su lugar original pero se mantiene en el mismo nivel.

Conocidas las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido, consideremos a una barra sola o como parte de unaestructura, la que está sometida a un esfuerzo axil de compresión, puede perder su forma estable original alaumentar las cargas provocando un mayor esfuerzo axil, sin haberse agotado la capacidad resistente del material.

PEs decir, que bajo ciertas condiciones especialmente cuando se trata de piezas esbeltas - donde una dimensión predomina sobre las otras dos - el equilibrio entre las fuerzasexteriores y las interiores se torna inestable, produciéndose deformaciones conocidascon el nombre de PANDEO.

Estas deformaciones pueden afectar a una barra, a una superficie (metálica, muro, etc.). f

Veamos el caso de una columna articulada en sus extremos, en el inferior fijado a tierramediante un apoyo doble y en el superior vinculada con un apoyo simple que solamente permite el movimiento vertical. Aplicamos una carga vertical de compresión en el extremosuperior, obteniendo en el extremo inferior una reacción de igual magnitud a la carga aplicada pero de sentido contrario, es decir , que la columna está sometida internamentea un esfuerzo de compresión. R = P

barra pierde su utilidad práctica, pudiendo llegar a la rotura de la pieza estructural.

llamada fórmula de EULERL^2

E = módulo de elasticidad del material

La deformación "f " aparece al superarse una cierta carga, llamada carga crítica de pandeo Pk, que marca el límiteentre el equilibrio estable e inestable, es decir, que para cargas menores a Pk se tendrá equilibrio estable y paracargas mayores será inestable. Alcanzado este límite de la carga crítica Pk, la deformación crece, por lo que la

La carga crítica de pandeo para una barra ó columna doblemente articulada es:

Pk = p^2 .E.Jmin

Jmin = momento de inercia mínimo de la sección

original (recta) de la columna.

tendremos cuatro (4) casos clásicos de pandeo; para ello determinaremos la longitud crítica de pandeo con el objeto de generalizar la fórmula de EULER antes hallada, es decir, que sirva para todas las vinculaciones posibles.

llevaremos la deformada de manera de asimilarla a la forma de la descripta para el caso particular de vinculacióncon doble articulación que vimos anteriormente:

L

1 2 3 4

caso 1: articulada - articulada

caso 2: empotrada - articulada

caso 3: empotrada - empotrada

caso 4: libre - empotrado

Entonces la carga crítica de pandeo expresada por la fórmula de EULER para un caso particular, se puede

fórmula de EULER válida para todos los casos de vinculaciónLk^2

la sección, es decir:

J = i^2 = = A A

carga crítica de pandeo calculada con la fórmula generalizada de EULER longitud crítica de pandeo de acuerdo a la vinculación

Ai radio de giro,es la distancia a la que idealmente se ubica el área de la sección medida desde su baricentro l (lamda) esbeltez del elemento

ecuación de una hipérbola cúbica llamada de EULER

EJEMPLO 1: Sea una columna metálica articulada - articulada, compuesta por un perfil doble T y sometida a unesfuerzo de compresión.Determinar la carga crítica de pandeo y la tensión crítica de pandeo.

Esta carga crítica de pandeo Pk, es el menor valor de P que produce una forma de equilibrio distinta de la posición

Para otras condiciones de fijación de la barra o columna, la carga crítica Pk será distinta antes hallada, por lo que

Para esto determinaremos la longitud crítica de pandeo Lk para las distintas formas de vinculación, pero que

Lk Lk Lk

Lk

Lk = L

Lk = 0,7 L

Lk = 0,5 L

Lk = 2 L

expresar la carga crítica de pandeo en general para cualquiera de estos casos, solo con reeplazar a L por L

Pk = p^2 .E.Jmin

La tensión normal crítica de pandeo se determina por cociente entre el valor de la carga crítica de pandeo y el área de

sk = Pk = p^2 .E . p^2 .E . p^2 .E p^2 .ELk^2. Lk^2 Lk^2 / i^2 l^2

Pk

Lk

área de la sección sometida a Pk

i = Jmin / A l = Lk / i

Siempre se debe utilizar "J mínimo" con lo que obtenemos "i mínimo" y por consiguiente "l máximo".

s k = p^2 .El^2

Datos:

A = sección del perfil ymomento de inercia mínimo

momento de inercia máximo

longitud del perfil

tensión de rotura xmódulo de elasticidad

yLk^2

>A 69 cm2

aquí observamos que el material rompe antes de llegar al pandeo.

EJEMPLO 2: Con idénticos datos que el ejemplo anterior pero solo que cambiamos el material delperfil doble te, por lo que cambia el valor de la tensión de rotura que ahora pasa a ser

tensión de rotura

igual al anterior, pués la fórmula de cálculo es la misma

<A 69 cm2

en este caso vemos que la columna deja de ser útil primero por pandeo antes de la rotura del material.

ANALISIS PARA ACERO COMUN

tensión de fluencia

tensión de proporcionalidad

módulo de elasticidad

tensión crítica de pandeo

de proporcionalidad.

Vamos a graficar lo que hemos terminado de ver:

período anelástico período elástico (Euler)límite superior

recta de TETMAJER

Perfil doble te N° 30 ( 30 cm de altura ), todos los datos del perfil se obtienen de tabla.

69 cm2

J min = Jy = 451 cm4

J max = Jx = 9800 cm4

L = 180 cm

s rot = 3.700 kg/ cm2

E = 2.100.000 kg/ cm2

Pk = p^2 .E.Jmin = p^2 x 2100000 kg/ cm2 x 451 cm4 = 288.503 kg

(180 cm)^2

sk = Pk = 288.503 kg = 4.181 kg / cm2 s rot = 3.700 kg/ cm2

s rot = 5.200 kg/ cm2

Pk = 288.503 kg

s k = Pk = 288.503 kg = 4.181 kg / cm2 s rot = 5.200 kg/ cm2

s f = 2.400 kg / cm2

s p = aprox. 0,8 s f = 1.900 kg / cm2

E = 2.100.000 kg / cm2

s k = p^2 .El^2

y con s k = s p se obtiene l = 104 se toma el valor 100 como esbeltez límite.

Es decir, que para l > 100 se cumple que s k < s p donde la tensión crítica de pandeo es menor que la

Por lo tanto, la hipérbola de EULER vale solo para l > 100 que corresponde al período elástico.

Para l < 100 se esta en el período anelástico cuyo límite es la tensión de fluencia s f = 2.400 kg / cm2

intérvalo desde 0 <= l <= 60.

Para 60 < l <= 100 el límite lo proporciona la recta llamada de TETMAJER

s f = 2400

s k

w =5,32 s p = 1900

hipérbola de EULERn

w

0barras cortas barras largas

tensión crítica de pandeo coeficiente de seguridadtensión admisible de pandeo coeficiente de pandeotensión admisible del material esbeltez

n

Al aumentar la esbeltez, los riesgos de pandeo se hacen mayores, por esto los Reglamentos establecen que las

El cálculo de una barra comprimida, es siempre una verificación, de manera que se cumpla:

S esfuerzo de axil de compresiónA A sección

haciendoA A

CALCULO DE VERIFICACION AL PANDEO POR METODO OMEGA

proporcionada por las Normas Alemanas y adoptado por el Reglamento Argentino, es la siguiente:

tensión efectiva de pandeoA

Así el cálculo de una pieza sometida a un esfuerzo axil de compresión se hace verificando que la tensión normal no

De esta manera el cálculo de verificación al pandeo es sumamente sencillo, para lo cual desarrollaremos el siguienteejercicio práctico.

EJEMPLO 3: Dimensionar una columna de acero común y sección circular hueca, determinando el diámetro D.

Datos: tensión admisible del material tesfuerzo de compresión

longitud crítica de pandeo

espesor adoptado

Vamos a realizar el predimensionado: D - 2.t

= S = =s

s k ad= 1400 n = 3,5

s k adm

s k ad = 920

n = 1,71

n = 1,00 s k adm= 592

l = 60 l = 100 l = 150

s k n (nu)s k adm w (omega)s ad l (lamda)

s k adm = s k

barras comprimidas deben tener esbelteces l = 250 para estructuras de acero en general, excepto en puentescuyo valor límite es l = 150.

s = S <= s k adm

y operando en la desigualdad, determinamos el coeficiente de pandeo w:

s ad . S <= s k adm . s ad s ad S <= s ad w = s k adm

La fórmula de verificación al pandeo utilizando el coeficiente de pandeo w y la tensión admisible del material está

s d = w S <= s ad s d =

exceda a la tensión admisible del material, pero incrementando el valor de la carga real con el factor w que es variable con la esbeltez, para lo cual hay tablas de w = f (l) para las distintas calidades de aceros.

s ad = 1.400 kg / cm2

S = 20.000 kg Lk = 300 cm

t = 6 mm

A necesaria 20.000 kg 14,3 cm2

1.400 kg / cm2

= =4

Ahora calcularemos el momento de inercia de la sección hueca:

J = - =3 2 3 2

___ __________ ________i = J = = =

A

l = = = 78,5 adopto 79 y de tabla 1,56i

= = >A

Aquí vemos que la tensión de verificación al pandeo supera a la tensión admisible del material, por lo tanto debemosredimensionar la sección adoptando un diámetro mayor:

D = 11 cm

= =4

J = - =3 2 3 2

__ _________ _________ i = J = = 27,13 cm2 =

A

l = = = 57,6 adopto 58 y de tabla 1,24 i

= 1,24 x 20.000 kg = < =A

El valor obtenido es aceptable, ya que es sensiblemente menor que la tensión admisible del material.

S <=A

Z = A^2 = coeficiente característico de la sección = A

______________ _________________z = = ( * ) con esta fórmula obtenemos

S

y ahora reacomodando a esta fórmula llegamos a____________ ______________ _______

z = = = z = l w. S

A A

VALORES DE Z

Los coeficientes característicos de las secciones se encuentran tabulados, pero calcularemos algunos para distintas secciones, aplicando la definición: es el cociente entre el cuadrado del área de la sección y el momento de inercia.

A sección p [ D^2 - ( D - 2.t )^2 ] 14,3 cm2 D = 8,2 cm

p D^4 p (D - 2.t )^4 208,15 cm4

208,15 cm4 14,56 cm2 3,82 cm

14,3 cm2

Lk 300 cm w =3,82 cm

w . S 1,56 * 20.000 kg 2.182 kg / cm2 s ad = 1.400 kg / cm214,3 cm2

A sección p . [ D^2 - ( D - 2.t )^2 ] 19,6 cm2

p D ^4 p (D - 2.t )^4 531,8 cm4

531,8 cm4 5,21 cm

19,6 cm2

Lk 300 cm w =5,21 cm

w . S 1.265 kg / cm2 s ad 1.400 kg / cm2

19,6 cm2

CALCULO DE VERIFICACIÓN AL PANDEO POR EL METODO z (zeta)

Es un método proporcionado por las Normas Alemanas, permite determinar el coef. de pandeo w a través del coef.

z = coeficiente característico de barra s k ad

Jmin i min^2J min (i min al cuadrado

Z . Lk^2 . s ad A^2 . Lk^2 . s adJmin . S el valor numérico de z

Lk^2 . s ad Lk^2 . s ad l^2 . w Jmin i min^2 . s k ad

con los valores de z de ( * ) y de l se puede obtener w de ( ** ) , y con este valor se debe verificar por el método omega, que la tensión de pandeo sea menor o igual a la tensión admisible del material.

1.- sección circular de diámetro D ^2 4.- secciones doble te adosadasZ = 4 =

Z = 6 4

2.- sección rectangular 5.- secciones U adosadasde lados b y h Z = ( b . h )^2 = 12 b

b . h^3 h Z = 1,201 2

3.- sección doble te 6.- secciones U adosadasZ = 11

Z = 1,20

Las elementos estructurales sometidos a esfuezos axiles de compresión pueden ser de una pieza única o perfil, oasociando dos o más de ellos formando un perfil compuesto, vinculados mediante riostras.

Cuando se trata de piezas compuestas, hay que asegurar la estabilidad del conjunto y también la de cada una delas barras componentes entre los nudos ( puntos de concurrencia de barras ).

Al tratarse de elementos ( barras, columnas, etc.) comprimidos constituidos por perfiles paralelos y separados, esuna solución de máxima economía de material y de peso, debiendo colocarse los arriostramientos necesarios,siendo las triangulaciones los más utilizados.

Normalmente los elementos comprimidos (por ej. columnas) tienen secciones cuadradas o rectangulares y cuatrocaras laterales, que se pueden representar así:

secciones posibles

con barras longitudinales

con perfiles triangulación triangulación pasadores osimple doble riostras

La falla por pandeo en piezas compuestas puede originarse de varias maneras:

1 por pandeo local de una de las barras principales2 por pandeo de una de las barras de arriostramiento3 pandeo por distorsión o giro de una sección transversal con respecto a otra4 pandeo del conjunto estructural

posición

secciones

extremas

posición

sección

intermedia

caso 1 caso 2 caso 3 caso 4

La estructura debe prevenirse contra todas estas posibilidades.

Para columna compuesta por perfiles separados y adosados mediante riostras, deberá calcularse una esbeltez ideal

p . D^2 4 p

p . D^4

la admisible del marterial. Estos casos no se estudia en este curso, y en caso de necesidad deberán remitirse atextos que traten especialmente este tema.

Para finalizar, se recuerda que TODO ELEMENTO, QUE EN FORMA PARCIAL Y EN SU CONJUNTO, SE ENCUENTRE SOMETIDO A UN ESFUERZO AXIL DE COMPRESIÓN DEBERA VERIFICARSE AL PANDEO POR EL METODO OMEGA.

Se transcriben algunos valores para distintas calidades de acero.

l 30 . 45 . 62 . 77 . 81 . 94 . 100 . 143 . 178 . 222 .w 1,05 1,13 1,29 1,52 1,61 2,04 2,36 4,83 7,49 11,65

l 35 . 50 . 67 . 82 . 86 . 99 . 105 . 148 . 183 . 227 .w 1,10 1,22 1,48 1,93 2,13 3,38 3,91 7,77 11,88 18,27

SIMBOLOS UTILIZADOS> mayor que >= mayor o igual que A' A prima< menor que <= menor o igual que ^ potencia (2^3 = 8)<> distinto * . multiplicar

Veamos la definición de torsión:

TORSIÓN: Existe cuando actúan dos pares de igual magnitud y sentidos contrarios en dos secciones paralelas deuna barra o de un elemento estructural.

Veamos un ejemplo:

Sea una barra cilíndrica con un extremo empotrado eny la pared y en el otro se halla adosado un brazo que en

su extremo libre se encuentra aplicada una fuerza P.z a P

Esto provoca un par (P.a) de giro horario.

li que permite hallar el coeficiente de pandeo ideal wi, con el que se deberá verificar que la tensión sea no mayor a

Los valores de w en función de l se encuentran tabulados, para distintos aceros, en textos que tratan en formaespecífica el tema de pandeo, no obstante se transcriben las fórmulas que permiten calcular el valor de w :

w = s ad vale para el intérvalo de l entre 0 y 100 1400 - 0,0808* l^2

w = n. l^2 . s ad vale para valores de l mayores de 100p^2 . E n es igual a 3,5

Para acero A37, tensión de rotura 3.700 kg / cm2, de fluencia 2.400 kg / cm2 y admisible 1.400 kg / cm2:

Para acero A52, tensión de rotura 5.200 kg / cm2, de fluencia 4.400 kg / cm2 y admisible 2.400 kg / cm2:

CLas reacciones de vínculos en el empotramiento que

x van a equilibrar son la reacción Ry, el momento flector Mzy el momento torsor Mt, que los determinamos por las ecuaciones de la estática:

S Fx = 0 Rx = 0

L S Fy = 0 Ry-P = 0 Ry = P

S Fz = 0 Rz = 0

S Mx = 0 (torsor) P.a - Mt = 0 Mt = Mx = P

S My = 0 (flector) My = 0

S Mz = 0 (flector) P.L - Mz = 0 Mz = P.L

Los momentos torsores actúan en el plano "zy" y pueden representarse de una de las formas que se indican acontinuación Mt o vectorial Mx:

Mtes igual a Mx (torsor)

siguiendo la regla del tirabuzón

Ahora veamos las solicitaciones en el brazo BC y en la barra AB:

P PB Mx = Mt A

C B R = P Ry

MzN = 0

R + P Q Ry = P + P

Mf = P.a - M Mf = P.L -

Mt = P.a

Observamos que el brazo BC está sometido solo a flexión y la barra AC sometida a flexo - torsión.

TORSIÓN PURA

Una barra o estructura sometida a dos pares de igual magnitud y de sentidos opuestos que actúan en secciones paralelas está sometida a torsión pura. Consideremos un elemento de longitud dx:

y

z P

B"

Mt

Mz Ry

A B

x g B'

aP

L

(Tau) ecuación válida para la distancia r desde el baricentro

( I )

El diferencial del momento torsor que origina esta fuerzacon respecto al baricentro es

dR

integrando entre "0" y "r" obtenemos el momento torsor total

Mt =

Recordemos que la sumatoria de las áreas por el cuadrado de las distancias al baricentro es igual al momento deinercia polar de la sección, que para sección circular es

( II )

tangencial para cualquier distancia entre 0 y r

es r que es el mismo en toda la periferia.

EJEMPLO: dimensionar una sección circular de material conocidoy por lo tanto la tensión tangencial es conocida, está sometida a un momento torsor, calcular el diámetro:

d

3 2 . d/2 1 6

ecuación análoga a la de flexión

Mt

Mx = Mt

dx

g = (gama) ángulo de distorsióndj = ángulo de torsión ó de giro interno de la sección cuyo arco es BB"q = dj/dx = ángulo de torsión por unidad de longitud ó ángulo específico de torsión

BB" = g.dx = r.dj g = r.dj / dx = r.q

De la misma manera que la tensión normal s está relacionada con el módulo de elasticidad E por la ley de Hookes = e . E, la tensión tangencial lo está con el módulo de elasticidad transversal G

t = g . G = r . q . G

tx = rx . q . G ecuación general válida para la distancia rx desde el baricentro

Para una sección dA situada a una distancia rx del baricentro, la fuerza dR que origina el momento torsor es

dR = tx . dA

dA

dMt = dR . rx = tx . dA . rx = rx . q . G . dA . rx

dMt = q . G rx . rx . dA

Jp = p . d^4 / 32

Mt = q . G . Jp G . Jp = rigidez a la torsión

Despejando q de ( I ) Y ( II ) e igualando obtenemos la ecuación que nos permite calcular el valor de la tensión

t x = Mt . rx donde para cada valor de rx obtenemos un valor de txJp

t x max = Mt . r valor máximo que ocurre para sección llena y la distancia máximaJp

tx max

Wp se lo denomina módulo resistente polar y es igual alcociente del momento de inercia Jp por la distancia a lafibra más alejada del eje neutro "d max".

tx max

Wp = Jp / d/2 = ( p . d^4 ) = p . d^3

tx max = ( Mt / Jp ) . d/2 = Mt / Wp

sx max = ( Mf / Jz ) . d/2 = Mf / Wz

A B dj

r

rx . o

Mt

r

O

Como la tensión tangencial máxima debe ser menor o igual a la admisible

3

como el material es un dato, por lo tanto conocemos la tensión tangencial admisible, nos perite obtener eldiámetro de una sección circular macisa (llena).

EJEMPLO: ídem anterior, pero una sección circular hueca (caño), conociendo un diámetro o la relación entre ellos,calcular el ó los diámetros:

3 2

2 fibra mas alejada

. 1 que permite calcular la tensión tangencial por torsión para sección hueca

por lo tanto observamos que:

1

o sea que la diferencia entre la sección hueca y llena radica en el factor: 1

Esto nos dice que para dos elementos de igual diámetro exterior y para la relación de diámetros mencionadala tensión tagencial es mayor en el de la sección hueca con respecto a una llena en un 7%, valor muy pequeño.

4

4 4

Peso sección hueca = Peso sección llena . 0,75

CONCLUSION: para dos elementos de igual material, diámetro externo, y longitud, uno hueco y otro lleno, y para larelación de diámetros adoptada 0,5

1.- la tensión tangencial para sección hueca es solo un 7% mayor a la de sección llena

2.- el peso del elemento de sección hueca es el del 75% del de sección llena

t x max = Mt / Wp = 16 Mt / ( p . d^3 ) <= t adm

d >= 16 Mt

p . t adm

Como los centros e gravedad de las secciones llena y vacía soncoincidentes por la simetría, resolveremos como lleno menos vacío

Jp = p .( de^4 - di^4 )

t max = Mt . de siendo (de/2) la distancia a la Jp

t max = 16 Mt

p . de^3 [1 - (di/de)^4]

t max sección hueca = t max sección llena . [1 - (di/de)^4]

[1 - (di/de)^4]

EJEMPLO: supongamos una relación de diámetros ( di / de ) = 0,5 el factor citado vale 1,07

t max sección hueca = t max sección llena * 1,07

Ahora calculemos la diferencia de peso en un elemento de 1 metro de longitud e igual peso específico ( P

Peso sección llena = volumen . Pe = p . de^2 . 1m . Pe

Peso sección hueca = p . ( de^2 - di^2 ) . Pe . 1 metro = p . de^2 . 1m . Pe . [ 1 - ( di / de )^2 ]

Peso sección hueca = Peso sección llena . [ 1 - ( di / de )^2 ]

la diferencia radica en el factor [ 1 - ( di / de )^2 ] que para la relación de diámetros ( di / de ) = 0,5 es igual a 0,75

de

di

esto indica la ganancia en peso al utilizar un elemento hueco, ya que pesará una cuarta parte menos que el lleno.

Ahora retornemos al primer ejemplo y grafiquemos una sección a derecha y lo más próximo de A:1

+

3 4

-

2

de torsión diagramas para el eje 1 - 2

diagramas para el eje 3 - 4

valores obtenidos de los

correspondientes al eje 1 - 2

Veamos las solicitaciones internas en cada uno de los puntos:

las de corte, y como no tenemos una sola tensión para comparar con la tensión admisible del material, se han elaborado varias hipótesis al respecto, que las pasamos a detallar:

HIPOTESIS DE RANKINE

32 Mf + 1 32 Mf ^2 + 4 . 16 Mt2 2 2

FORMULA DE RANKINE

esta es la tensión de comparación que surge de la hipótesis de Rankine que corresponde a un estado combinado de tensiones y deberá ser menor ó igual a la tensión admisible del material

y si se pide el dimensionado debe despejarse el diámetro.

HIPOTESIS DE GUEST

= 32 Mf ^2 + 4 . 16 Mt ^2

. FORMULA DE GUEST

esta es la tensión de comparación que surge de de la hipótesis de Guest que corresponde a un estado combinado de tensiones y deberá ser menor ó igual a la tensión admisible del material

s max

Mf = P.L t max

s x = 0 s min t max

t de corte s tensión normal t de torsión

t max

t max de torsión

t max de corte

en 1 y en 2 tendremos s max por flexión t max por torsión t por corte= 0

en 3 y en 4 tendremos s por flexión = 0 t max por torsión t por corte

recordemos que el t que interviene en las fómulas es la suma algebraica de las tensiones tangenciales por torsión y

s = s x + 1 s x^2 + 4 t^2 =2 p . d^3 p . d^3 p . d^3

s = 16 Mf + Mf ^2 + Mt ^2 p . d^3

s <= s adm

s = s x^2 + 4 t p . d^3 p . d^3

s = 32 Mf ^2 + Mt ^2 p . d^3

P Mf

Mt

y si se pide el dimensionado debe despejarse el diámetro.s <= s adm

- 2010 -

1/10 .

integral

Conocidas las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido, consideremos a una barra sola o como parte de unaestructura, la que está sometida a un esfuerzo axil de compresión, puede perder su forma estable original alaumentar las cargas provocando un mayor esfuerzo axil, sin haberse agotado la capacidad resistente del material.

L

R = P

carga crítica de pandeo Pk, que marca el límite se tendrá equilibrio estable y para

, la deformación crece, por lo que la

tendremos cuatro (4) casos clásicos de pandeo; para ello determinaremos la longitud crítica de pandeo con el objeto de generalizar la fórmula de EULER antes hallada, es decir, que sirva para todas las vinculaciones posibles.

llevaremos la deformada de manera de asimilarla a la forma de la descripta para el caso particular de vinculación

2/10 .

Entonces la carga crítica de pandeo expresada por la fórmula de EULER para un caso particular, se puede

radio de giro,es la distancia a la que idealmente se ubica el área de la sección medida desde su baricentro

Sea una columna metálica articulada - articulada, compuesta por un perfil doble T y sometida a un

, es el menor valor de P que produce una forma de equilibrio distinta de la posición

será distinta antes hallada, por lo que

para las distintas formas de vinculación, pero que

Lk

expresar la carga crítica de pandeo en general para cualquiera de estos casos, solo con reeplazar a L por Lk:

se determina por cociente entre el valor de la carga crítica de pandeo y el área de

x

3/10 .

período elástico (Euler)

donde la tensión crítica de pandeo es menor que la

= 2.400 kg / cm2 en el

w =5,32

hipérbola de EULER

l

Al aumentar la esbeltez, los riesgos de pandeo se hacen mayores, por esto los Reglamentos establecen que las

4/10 .

Así el cálculo de una pieza sometida a un esfuerzo axil de compresión se hace verificando que la tensión normal no

De esta manera el cálculo de verificación al pandeo es sumamente sencillo, para lo cual desarrollaremos el siguiente

Dimensionar una columna de acero común y sección circular hueca, determinando el diámetro D.

D

l = 150

= 250 para estructuras de acero en general, excepto en puentes

w = s ad

s k adm

y la tensión admisible del material está

exceda a la tensión admisible del material, pero incrementando el valor de la carga real con el factor w que es

Aquí vemos que la tensión de verificación al pandeo supera a la tensión admisible del material, por lo tanto debemos

5/10 .

con esta fórmula obtenemos

l w ( ** )

Los coeficientes característicos de las secciones se encuentran tabulados, pero calcularemos algunos para distintas secciones, aplicando la definición: es el cociente entre el cuadrado del área de la sección y el momento de inercia.

D = 8,2 cm

ad = 1.400 kg / cm2

Es un método proporcionado por las Normas Alemanas, permite determinar el coef. de pandeo w a través del coef. z

(i min al cuadrado)

de ( ** ) , y con este valor se debe verificar por el

secciones doble te adosadas

1

secciones U adosadas

= 1,20

secciones U adosadas

= 1,20

Las elementos estructurales sometidos a esfuezos axiles de compresión pueden ser de una pieza única o perfil, o

Cuando se trata de piezas compuestas, hay que asegurar la estabilidad del conjunto y también la de cada una de

Al tratarse de elementos ( barras, columnas, etc.) comprimidos constituidos por perfiles paralelos y separados, esuna solución de máxima economía de material y de peso, debiendo colocarse los arriostramientos necesarios,

Normalmente los elementos comprimidos (por ej. columnas) tienen secciones cuadradas o rectangulares y cuatro

6/10 .

caso 4

Para columna compuesta por perfiles separados y adosados mediante riostras, deberá calcularse una esbeltez ideal

la admisible del marterial. Estos casos no se estudia en este curso, y en caso de necesidad deberán remitirse a

Para finalizar, se recuerda que TODO ELEMENTO, QUE EN FORMA PARCIAL Y EN SU CONJUNTO, SE ENCUENTRE SOMETIDO A UN ESFUERZO AXIL DE COMPRESIÓN DEBERA VERIFICARSE AL PANDEO POR

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integral

TORSIÓN: Existe cuando actúan dos pares de igual magnitud y sentidos contrarios en dos secciones paralelas de

Sea una barra cilíndrica con un extremo empotrado enla pared y en el otro se halla adosado un brazo que ensu extremo libre se encuentra aplicada una fuerza P.

i, con el que se deberá verificar que la tensión sea no mayor a

, para distintos aceros, en textos que tratan en formaespecífica el tema de pandeo, no obstante se transcriben las fórmulas que permiten calcular el valor de w :

Las reacciones de vínculos en el empotramiento quevan a equilibrar son la reacción Ry, el momento flector Mzy el momento torsor Mt, que los determinamos por las

Rx = 0

Ry = P

Rz = 0

Mt = Mx = P

My = 0

Mz = P.L

Los momentos torsores actúan en el plano "zy" y pueden representarse de una de las formas que se indican a

Mf = P.a

N = 0

Q

M flector

M torsor

Una barra o estructura sometida a dos pares de igual magnitud y de sentidos opuestos que actúan en secciones

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dR

Recordemos que la sumatoria de las áreas por el cuadrado de las distancias al baricentro es igual al momento de

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Mx = Mt

está relacionada con el módulo de elasticidad E por la ley de Hooke

desde el baricentro

del baricentro, la fuerza dR que origina el momento torsor es

de ( I ) Y ( II ) e igualando obtenemos la ecuación que nos permite calcular el valor de la tensión

que ocurre para sección llena y la distancia máxima

tx max

dj

r

como el material es un dato, por lo tanto conocemos la tensión tangencial admisible, nos perite obtener el

que permite calcular la tensión tangencial por torsión para

Esto nos dice que para dos elementos de igual diámetro exterior y para la relación de diámetros mencionadala tensión tagencial es mayor en el de la sección hueca con respecto a una llena en un 7%, valor muy pequeño.

CONCLUSION: para dos elementos de igual material, diámetro externo, y longitud, uno hueco y otro lleno, y para la

t max

Ahora calculemos la diferencia de peso en un elemento de 1 metro de longitud e igual peso específico ( Pe ):

) = 0,5 es igual a 0,75

esto indica la ganancia en peso al utilizar un elemento hueco, ya que pesará una cuarta parte menos que el lleno.

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las de corte, y como no tenemos una sola tensión para comparar con la tensión admisible del material, se han

16 Mt ^2

esta es la tensión de comparación que surge de la hipótesis de Rankine que corresponde a un estado combinado

esta es la tensión de comparación que surge de de la hipótesis de Guest que corresponde a un estado combinado

t max

t de torsión

t por corte= 0

que interviene en las fómulas es la suma algebraica de las tensiones tangenciales por torsión y

p . d^3

unidad 12 pandeo y torsion

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