187

IV - PANDEO Y ESTABILIDAD

4.1- Introduccin En los ejemplos considerados en los captulos anteriores se calcularon los esfuerzos y los desplazamientos de componentes estructurales basndose en tres pasos: el equilibrio de fuerzas, la compatibilidad de los desplazamientos y la relacin entre fuerza y deformacin.

Los componentes son seleccionados y diseados a partir de su resistencia y rigidez. La experiencia indica que es necesario ampliar el mtodo de anlisis de problemas de ingeniera con la adicin de consideraciones sobre la estabilidad. Sea un componente largo y esbelto, por ejemplo una regla de medir de madera o metal. Si se aplica una carga de compresin axial se puede notar que con valores pequeos de la carga, la regla permanece recta en un estado de equilibrio y en un estado de compresin axial uniforme. Sin embargo al aumentar la carga axial se alcanza un valor crtico de la carga que hace que la regla se doble o que adopte un estado conocido como de pandeo. Es importante subrayar que el pandeo puede ocurrir dentro del intervalo elstico del estado de esfuerzo axial. Si se retira la carga, la regla recupera su rectitud. Por consiguiente, si bien el nivel de esfuerzo se encuentra muy por debajo del lmite elstico, la regla pierde su capacidad de sustentacin de carga por el pandeo o por lo que se conoce por una inestabilidad estructural.

El pandeo se presenta en todo tipo de estructuras (vigas rectas y curvas, placas planas y curvas, membranas, etc...) y puede originarse por compresin, flexin, corte y torsin, presentndose situaciones como el pandeo lateral de vigas, pandeo de placas y pandeo de cscaras.

188

Este planteo requiere la necesidad de una definicin para la estabilidad de equilibrio. Un cuerpo en equilibrio puede encontrarse en tres diferentes estados: estable, inestable o indiferente. Un procedimiento comn para determinar su situacin es cambiar muy poco su configuracin mediante una causa perturbadora y observar si al cesar sta, el cuerpo vuelve a su posicin original, se aleja de la misma o permanece en esta nueva posicin, de acuerdo a su comportamiento tendremos un cuerpo en equilibrio estable, inestable o indiferente respectivamente.

En la figura observamos tres cuerpos en las distintas situaciones de equilibrio. Si

Pandeo lateral de vigas

Placas

Cscaras

189

ejecutamos el procedimiento descrito anteriormente podremos determinar fcilmente el estado de equilibrio en el que se encuentra cada uno.

Los componentes estructurales, en principio, son diseados para cumplir con los criterios de resistencia, pero no para que permanezcan estables cuando se ven expuestos a perturbaciones externas y experimentan grandes desplazamientos que causan cambios repentinos y drsticos de la geometra originando la falla catastrfica de un componente o una estructura. En la prctica las fallas estructurales causadas por inestabilidad son dramticas. Cuando una estructura mecnica (o componente estructural o pieza mecnica) ha sido adecuadamente diseada para soportar cierto estado de carga, las deformaciones producidas sern normalmente pequeas y el conjunto se encontrar en equilibrio bajo la accin de las cargas exteriores activas y reactivas, en una configuracin geomtrica muy poco diferente de la original (la correspondiente a la carga nula) y volver a ella al desaparecer las cargas, siempre que las deformaciones hayan sido elsticas. Cuando la deformacin es excesivamente grande para el correcto funcionamiento de la estructura (o pieza) o cuando hay deformaciones plsticas perjudiciales o rotura en algn punto de la estructura por excesiva tensin, se considera que la carga ha llegado a su valor lmite y por razones de seguridad, la carga de trabajo debe ser suficientemente menor que ese valor lmite en la proporcin que da el factor de seguridad establecido. Si bien lo anteriormente es vlido en muchos casos, hay otros en los que tal situacin solo podra ocurrir con una construccin perfecta y cargas aplicadas con una precisin imposible de conseguir, es decir, que en tales casos, representar solamente el comportamiento correspondiente a un esquema ideal de la estructura. Los esfuerzos que se determinan para este esquema ideal sern tan solo los esfuerzos principales o bsicos del caso real. En la construccin real, las imperfecciones constructivas (defectos de la forma y del material) y la imprecisin en la aplicacin de las cargas, provocarn la aparicin de esfuerzos adicionales, llamados esfuerzos secundarios, y puede suceder que las deformaciones adicionales, producidas por estos esfuerzos, crezcan muy rpidamente con la carga exterior cuando sta se aproxima a cierto valor particular denominado Carga Crtica. Cuando esto ocurre la forma de la estructura se aleja bruscamente de la que debera tener sino hubieran aparecido los esfuerzos secundarios, pudiendo llegar a otra configuracin de equilibrio distinta de la anterior en la cual la estructura puede an seguir cumpliendo sus funciones, o crecer excesivamente la deformacin hasta la rotura. En cualquier caso se dice que la estructura adolece de Estabilidad de Forma cuando la carga se aproxima al valor crtico.

190

Una estructura (o pieza) ser estable mientras pueda mantener su estado o configuracin de equilibrio bajo la accin de las cargas exteriores. El estudio del pandeo, an para los casos ms simples presenta dificultades analticas muy grandes, por ello se recurre a consideraciones aproximadas simplificadoras que dan soluciones satisfactorias y ayudan a comprender el fenmeno. 4.2- Carga crtica Existen tres procedimientos para la determinacin de la carga crtica. Estos mtodos (esttico, energtico y matriz de rigidez) consisten bsicamente en modificar la configuracin de equilibrio y determinar cmo varan algunas caractersticas de la estructura como el equilibrio, la energa potencial o la matriz de rigidez, y adems, establecer cules son los requisitos que debe cumplir la carga crtica para que la estructura adopte una condicin de equilibrio indiferente, pasaje del equilibrio estable al inestable. El mtodo esttico, que es el que desarrollaremos aqu, consiste en analizar cmo se modifican las fuerzas y qu valor debe tener para mantener la estructura en su estado de deformada. El mtodo energtico analiza cmo se modifica la energa potencial del sistema y se determina el valor de carga que permite que la energa potencial no se modifique al alterarse la configuracin primitiva. El mtodo de la matriz de rigidez analiza qu valor debe tener la carga para que el determinante de la matriz de rigidez se anule.

Para calcular piezas elsticas comprimidas y flexionadas, se suman habitualmente

algebraicamente las tensiones de compresin y de flexin, como cuando se estudi las solicitaciones compuestas. Este clculo simple se basa sobre la suposicin de que la pieza deformada coincide con la pieza no deformada. Esta simplificacin no siempre tiene validez, y analizar la accin de las fuerzas sobre la pieza deformada y no sobre la configuracin inicial es tener en cuenta los efectos de segundo orden que fueron despreciados en las primeras unidades. En general se llama teora de segundo orden a las teoras en las cuales se parte de la configuracin deformada del sistema para el anlisis de los esfuerzos internos.

Una teora as es indispensable para el estudio de los fenmenos de inestabilidad y en general es recomendable si la estructura es muy deformable. Cuando se tienen en cuenta los efectos de segundo orden, el principio de superposicin no puede aplicarse. Los desplazamientos de la estructura afectan la accin de las fuerzas que la solicitan. Consideremos dos barras rgidas, conectadas como indica la figura, a las cuales se le aplica una carga vertical P:

191

Si a esta configuracin se le aplica una perturbacin horizontal con el objeto de moverlo de la posicin de equilibrio:

Dependiendo del valor de P, se presentan dos posibilidades:

P < k.L / 4 P > k.L / 4 Equilibrio estable Equilibrio inestable El valor intermedio de P, es la carga crtica: Pcr = k.L / 4 4.3- Columna ideal Uno de los casos ms sencillos de pandeo lo constituyen las barras rectas cargadas de punta.

k

P

K

P

L / 2

L / 2

Pcr 0

Equilibrio inestable Equilibrio neutro Equilibrio estable

0 F = 2 P tg() tg() 2. / L F = k. P = k.L / 4

F

P/cos()

P/cos()

192

Una columna es una pieza o conjunto estructural de forma prismtica una de cuyas dimensiones, su longitud, es considerablemente mayor que las otras dos, que son sus dimensiones transversales, y su funcin es soportar una carga de compresin en la direccin de su longitud.

La columna ptima ser aquella que no sufra ms esfuerzo que el de compresin pura cualquiera sea el valor de la carga exterior, sin que exista ningn otro esfuerzo adicional que pueda disminuir su capacidad resistente. Esto solo podra conseguirse con una columna perfecta o ideal y con la carga actuando coincidentemente con el eje longitudinal que pasa por los centroides de las secciones transversales, al cual llamaremos simplemente eje longitudinal de la barra. 4.3.1- Barra biarticulada Supongamos una pieza comprimida biarticulada, que es el caso general bsico del pandeo. Se trata de una pieza cuya seccin tiene un momento de inercia constante, y cuyo material es homogneo, istropo y continuo.

= P / A P = .A De acuerdo con la Ley de Hooke, multiplicando la seccin transversal por la tensin admisible se tendra en caso hipottico una cierta resistencia a la compresin por parte de esa columna, pero resulta que mucho antes de que se llegue a ese valor de la carga la columna se pandea. En un extremo de la barra acta una fuerza P, y en el otro extremo su reaccin correspondiente. El hecho que una columna se mantenga estable o se vuelva inestable cuando est cargada con una fuerza axial, depender de la capacidad que tenga para establecerse a s misma ante una perturbacin; sta se basar en su resistencia a la flexin. Para determinar la carga crtica y la deformada al pandeo se aplica el concepto de la elstica de una viga, considerando pequeos los valores de la pendiente y que la deflexin ocurre solo por flexin, podemos expresar:

P

P v(x)

L / 2

L vM

193

Cuando la columna est deformada el momento es M = P.v: Por lo tanto: Esta ecuacin diferencial lineal tiene como solucin: Las dos constantes de integracin se determinan a partir de las condiciones de contorno:

x = 0 v = 0 ; x = L v = 0

v(0) = C2 C2 = 0

En esta ecuacin si hacemos C1 = 0 obtenemos la solucin trivial (v=0), que requiere que la columna se mantiene recta, la otra posibilidad es: La cual es satisfecha para: El menor valor de P se obtiene para n=1, por lo tanto la carga crtica de Euler vale:

Mdx

vdE 22

=

P

v(x)

x

M

P

0vEP

dxvd

Pvdx

vdE

2

2

2

2

=

+

=

+

= xEPcosCx

EPsenC)x(v 21

0LEPsenC)L(v 1 =

=

0LEPsen =

= nLEP

para n = 0, 1, 2,.....

2

2

cr LEP =

194

La correspondiente deformada es: v(x) = C1 sen( x / L) El valor de C1 no puede ser obtenido debido a que no se conoce la deformada exacta y adems se supone que la misma es pequea. Si se elige el valor de n=2, se tendra dos ondas: Entonces el valor de carga obtenida es cuatro veces mayor que la carga crtica de Euler, esta forma de pandeo no existe, a no ser que la columna tenga restricciones laterales en el centro. El punto de bifurcacin ente la estabilidad y la inestabilidad lo determina la carga crtica (equilibrio neutro). La carga crtica es independiente de la resistencia del material, depende de las dimensiones de la columna y de su rigidez o mdulo de elasticidad E. Es por esta razn, hablando de pandeo elstico, las columnas de acero con alta resistencia no ofrece ninguna ventaja, desde este punto de vista, de aquellas de acero de baja resistencia. Es importante notar que una columna pandear alrededor del eje de la seccin transversal que tenga el menor momento de inercia de la seccin. Para fines de diseo, podemos reescribir la ecuacin que nos da la carga crtica con la expresin = A.i2, donde A es el rea de la seccin transversal, i es el radio de giro de la seccin. Luego:

La relacin geomtrica L/i = se llama esbeltez, y es una medida de la flexibilidad de la columna, sirve para clasificar a las columnas como cortas, intermedias y largas. La relacin de tensin vs. esbeltez es hiperblica y es vlida para tensiones crticas por debajo de la tensin de fluencia del material:

P = 4. Pcr

2

22

cr L)Ai(EP = 2

2

cr )i/L(E

AP =

2

2

2

2

crE

)i/L(E

==

195

Ejemplo 1: Un tubo de acero A-36 de 24 ft. de longitud es usado como una columna biarticulada. Determinar la mxima carga permitida: Esta fuerza genera una tensin de compresin promedio de:

cr = P / A = 14.3 ksi Debido a que cr < f, la aplicacin de la frmula de Euler es vlida. Ejemplo 2: Un acero A-36 W8x31 es utilizado en una columna biarticulada. Determinar la mxima carga permitida. A = 9.13 in2 , x = 110 in4 , y = 37.1 in4 , E = 29x103 ksi , f = 36 ksi La tensin de compresin promedio es: cr = Pcr / A = 56.1 ksi Debido a que esta tensin es mayor que la de fluencia, la carga P admisible se obtiene por la simple consideracin a compresin:

36 = P / 9.13 P = 329 kip En la prctica se aplicara a esta carga un factor de seguridad.

3

2.75

E = 29 (103) ksi f = 36 ksi Pcr = 2.E. / L2 = 64.5 kip

2y

2

2

2

cr L

.E

L.EP

== Pcr = 512 kip

12

x

x

yy

= L / i lim

f flim

E=

196

4.3.2- Longitud efectiva Supongamos la misma pieza anterior de longitud L, pero en lugar de estar biarticulada, est rgidamente empotrada en su base y libre en el otro extremo. La determinacin de la carga de pandeo en este caso sigue el mismo procedimiento que el usado para una columna biarticulada: La solucin de esta ecuacin diferencial lineal es: Las constantes son obtenidas a partir de las condiciones de contorno:

v(0) = 0 C2 = - ; dv(0)/dx = 0 C1 = 0 La deformada vale: Debido a que la deformada en el extremo libre vale , debe ser: La solucin trivial = 0 indica que no ocurre el pandeo, si consideramos el trmino en P:

v

P

M

P

P

v

x v

=+

=

EPv

EP

dxvd

)v(Pdx

vdE

2

2

2

2

+

+

= xEIPcosCx

EPsenC)x(v 21

= x

EIPsen

EIPCx

EIPcos

EIPC

dxdv

21

= xEPcos1)x(v

0LEPcos. =

,....7,5,3,1n;2

nLEP0L

EPcos ===

197

La carga crtica menor ocurre para n = 1: Comparando para el caso de la columna biarticulada, sta es cuatro veces menor. En otras palabras, el valor de L obtenida de la frmula de Euler para el caso de la columna biarticulada, representa la distancia entre los puntos para los cuales el momento flector vale cero. Si la columna es configurada de otras formas, entonces la frmula de Euler puede ser usada colocando el valor apropiado de L, que llamaremos la longitud efectiva Le. Algunos cdigos de diseo (reglamentos) proveen frmulas que utilizan un coeficiente adimensional K llamado factor de la longitud efectiva:

Le = K.L Ejemplo 3: Una columna de acero W6x15, de 24 ft. se incrementa su capacidad de carga por medio de un apoyo en su longitud media. Determinar la carga que puede soportar

2

2

cr L4EP =

L=Le Le = 2LL

L Le=0.5L Le=0.7L

L

12 ft

12 ft

yy

x

xP

198

Lex = 0.5.(24) = 12 ft; f = 60 ksi Ley = 0.7(24/2) = 8.4 ft x = 29.1 in4 y = 9.32 in4 A = 4.32 in2 cr = Pcry / A = 59.3 ksi

cr < f Notemos que:

x = Lex / ix = 56.2 y = Ley / iy = 69.0 Ejemplo 4: Una columna de aluminio est fija en su parte inferior y tomada en la zona superior por cables para prevenir el movimiento en el plano x-z. Determinar la mxima carga que se puede aplicar, usar un coeficiente de seguridad de 3. E = 70 Gpa ; f = 215 Mpa ; A = 7.5x10-3 m2 x = 61.3x10-6 m4 ; y = 23.2x10-6 m4 Lex = 2x5 = 10 m Ley = 0.7x5 = 3.5 m cr = Pcrx / A = 56.5 Mpa < 215 Mpa = f

12 ft

8.4 ft

kip5.262L

EP

kip7.401L

EP

2ey

y2

cry

2ex

X2

crx

==

==

5 m

yy

x

x P

MN31.1L

EP;kN424

LEP 2

ey

y2

cry2ex

x2

crx ====

kN141.S.F

PP crxadm ==

199

4.3.3- Barra rgidamente empotrada con tensores Sea el caso de aquellos elementos largos (antenas), el cual no es suficiente colocar tensores en el extremo superior pues se pandeara en el medio, entonces se colocan tensores intermedios y esos tensores obran a modo de articulaciones. Siendo L la longitud de la columna y n el nmero de semiondas (en el caso de la figura n=3), la longitud equivalente es Le = L/n 4.4- Viga recta comprimida excntricamente La frmula de Euler fue obtenida con el criterio de que P actuaba en el centro geomtrico de la seccin de la columna y que la misma era prismtica (recta y de seccin constante). Este criterio no es realista, ya que las columnas no son perfectamente rectas y adems P no acta en el centro geomtrico de la seccin. Por lo tanto las columnas casi nunca se pandean abruptamente, en lugar de ello comienzan a flexionarse. La carga aplicada estar limitada ya sea para una determinada deflexin o por una mxima tensin permitida. Sea una columna recta prismtica de largo L cargada con una fuerza P paralela a su eje y descentrada una distancia e. Al igual que lo desarrollado anteriormente se desprecia el acortamiento = PL/EA de la columna a compresin, que es siempre pequeo frente a las deformaciones por flexin. Esta carga en la columna es estticamente equivalente a una carga axial y un momento flector M = P.e

2

22

cr LEnP =

L

P

L / n

P

200

x

v

v

B

A

e P

P

L

P

P

Pe

Pe

v

M

P

Pe

Se supone que los extremos A y B pueden girar libremente (articuladas), si consideramos que la pendiente de la curva que representa la deformada es pequea y que el material se comporta segn la ley de Hooke, la ecuacin simplificada de la elstica se escribe: Reemplazando M = P.(e + v) Para simplificar la notacin hacemos k2 = P/E , por lo tanto la ecuacin diferencial queda: Cuya solucin es: v(x) = C1.sen(kx) + C2.cos(kx) - e Para evaluar las constantes, se deben considerar las condiciones de contorno, v(0) = 0, v(L) = 0. Luego la curva de deflexin queda:

v(x) = e.[tg(kL/2). sen(kx) + cos(kx) 1] Debido a la simetra del problema, la deflexin mxima y la tensin mxima ocurre en el punto medio, es decir para x= L/2:

vM = e.[sec(kL/2) 1 ] Notemos que si e se aproxima a cero, entonces vM se aproxima a cero tambin, sin embargo si el trmino entre corchetes tiende a infinito cuando e se aproxima a cero, vM tendr un valor distinto de cero.

Mdx

vdE 22

=

)ve(Pdx

vdE 22

+=

ekvkdx

vd 222

2=+

201

Matemticamente esto representa el comportamiento de una columna cargada axialmente para una carga crtica:

sec(kL/2) =

kL/2 = /2

Este resultado coincide con la frmula de Euler Si graficamos la carga P vs. la deflexin mxima para varios valores de la excentricidad e, tendremos: En la grfica, la carga crtica representa una asntota a las curvas (caso irreal, columna ideal, excentricidad cero). Estas curvas son obtenidas con la consideracin de que la pendiente a la curva de la deflexin de la columna es pequea, ya que la curvatura fue aproximada por: Un anlisis ms preciso nos dara que estas curvas tienden a subir, interceptando y cruzando la lnea de la carga crtica. Se debe mencionar que los desarrollos obtenidos hasta ahora fueron considerando que el material segua la ley de Hooke, tal es el caso de las columnas largas y esbeltas; para las columnas cortas e intermedias el incremento de la carga puede producir la fluencia del material a compresin ocasionando un comportamiento inelstico.

vM

0.1

0.01

e = 0 Pcr

2

2

crcr

L.EP

22L

EP ==

=

+

= EM

dxvd

dxdv1

dxvd

12

2

2/32

2

2

202

Estas grficas tambin ilustran que hay una relacin no lineal entre P y v, por lo tanto el principio de superposicin de efectos no es vlido, es decir que la deflexin causada por la aplicacin de sucesivas cargas no ser la suma de las deflexiones causadas por las cargas en forma individual, se deber primero sumar las cargas actuantes y a partir de esta resultante obtener la deflexin correspondiente. 4.4.1- Determinacin experimental de la carga crtica En la determinacin de la deflexin mxima se consider que las deformaciones eran pequeas, y adems que: Mientras la relacin P/Pcr sea pequea, tambin lo ser k.L, por lo tanto:

cos(kL/2) 1 k2L2 / 8 La deflexin mxima queda: Este resultado coincide con la expresin de la flecha media de una viga sobre dos apoyos y sometida a una cupla constante M = P.e Para valores ms grandes de P, podemos utilizar la relacin aproximada: El momento mximo que se produce en el medio de la columna vale:

MM = P.(e + vM) = P.e .sec(kL/2) Si en lugar de utilizar la expresin exacta de vM, usamos el valor aproximado propuesto por Southwell, tenemos:

cr

2

PP

EPLkL ==

8Lek

8Lk1

18Lekv

22

22

22

M

L ee

PP

8PP1

1E8

PeLv 2

cr

2

M

203

Esta frmula nos permite calcular el momento flector mximo para cualquier valor de la relacin P/Pcr . Southwell en 1952 propuso: Si observamos la grfica vM/e vs. P/Pcr , se puede ver la buena aproximacin propuesta por Southwell En la determinacin experimental de la carga crtica de una barra comprimida excntricamente, debemos trazar la curva P vs. vM, y despus hallar su asntota horizontal cuya ordenada proporciona el valor de la carga crtica Se puede mejorar la determinacin de la carga crtica cambiando de coordenadas y usando la expresin de Southwell. En la expresin de la deflexin mxima se multiplica por P/Pcr , tenemos:

+ pPP234.11e.PM

crM

cr

2

M

PP1

1E8

PeLv

Pandeo Excntrico

02468

1012

0 0,2 0,4 0,6 0,8

P/Pcr

VM /

e

Exact. Aprox. Southwell

cr

2cr

M P/P11

8e

PPv

=

8ev

PPv

2

Mcr

M=

cr

2

cr

MM

P8e

Pv

Pv +=

204

Esta ecuacin muestra que, si trazamos un diagrama llevando en ordenadas la relacin vM/P y en abscisa vM, los puntos se ubican en una recta. 4.4.2- Frmula de la secante La mxima tensin en una columna puede ser determinada considerando que la misma es causada por una carga normal y un momento. El momento mximo ocurre en el punto medio: La mxima tensin en la columna es de compresin, su valor es: Definiendo el radio de giro i2 = /A, la ecuacin anterior puede ser presentada como la frmula de la secante:

P/A

=L/i

f Euler

+=

EAP

i2Lsec

iec1

AP

2M

-e2/8 vM

vM / P

tg() = 1/Pcr

=+= 2L.

EPsec.e.PM)ve.(PM MMM

+=+= 2L

EPsecPec

APMc

AP

MM

205

Esta ecuacin muestra que hay una relacin no lineal entre la carga y la tensin, debido a esta no linealidad cualquier factor de seguridad, a los efectos de diseo, se debe aplicar a la carga y no a la tensin. Observando la grfica notamos que el efecto de excentricidad es ms marcado para bajos valores de esbeltez. Para las columnas con valores altos de esbeltez tienden a fallar a valores cercanos a la carga de Euler. Una vez determinada la excentricidad, se considera = f , y el valor de la carga se obtiene por un procedimiento de prueba y error (por ejemplo: mtodo de punto fijo). El valor de la carga P obtenido ser menor que aquel que predice la frmula de Euler, a este valor obtenido (P) se aplicar el factor de seguridad correspondiente (segn normas). Ejemplo 5: Una columna de acero se asume que est biarticulada. Determinar la carga mxima y la mxima deflexin (considerar que el pandeo no ocurre segn el eje y-y) Por tanteo (prueba y error), se obtiene P = 142.90 kip, por lo tanto vM= 1.02 in. Ejemplo 6: Una columna de acero est fija en su base y sujetada en su parte superior impidiendo su movimiento segn el eje x-x, pero libre de rotar segn el eje y-y y moverse en el plano y-z. Determinar la carga mxima.

x x

y

y

P

2

1

15

3

E=29x103 ksi f=36 ksi x=36 in4 A=12 in2 ix=1.732 in e= 1 in Le=180 in x=104 c=3 in

+

=EAP

i2Lsec

iec1

AP

2

f

y

x

y

x P 9

12 ft

Pandeo segn y-y Le= 0.7(12) = 8.4 ft y= 49.1 in4

kip1383L

EP 2

e

y2

cry ==

206

P = 88.4 kip

= 88.4 / 11.7 = 7.56 < f

La falla ocurre primero debido a la excentricidad. 4.5- Pandeo inelstico La teora de Euler se basa sobre la ecuacin de la elstica, es decir sobre la ley de Hooke. La misma tiene validez si los valores de tensin obtenidos corresponden al campo elstico del material. La condicin de validez de la frmula de Euler se expresa: Se deduce que: Para el acero dulce normal (Fe360) tenemos: f = 19 kg/mm2

lim = 105 Podemos concluir que para el acero ordinario, la frmula de Euler solamente tiene validez para las piezas cuya esbeltez sobrepase el valor de105. De manera general llamaremos esbeltez lmite, la esbeltez a partir de la cual la frmula de Euler tiene validez.

Pandeo segn x-x

Le=2(12)= 24 ft c= 4.125 in ix= 3.53 in A= 11.7 in2 f= 36 ksi ( ))P07.0sec(.979.21P2.421 +=

segn y-y segn x-x

f2

2

crE

=

flim

E=

207

Por definicin se llaman piezas largas, aquellas cuya esbeltez es superior a la esbeltez lmite y para las cuales se aplica la frmula de Euler. Las otras se llaman piezas cortas. La determinacin de una teora de pandeo en campo plstico es muy compleja y no existe una solucin totalmente satisfactoria, podemos mencionar dos teoras aproximadas: La teora de Engesser y la teora de Engesser-von Karman. 4.5.1- Teora de Engesser Esta constituye la primera teora de pandeo inelstico (1889). Si la columna tiene una esbeltez menor a la lmite, entonces la tensin crtica ser mayor que la de fluencia. Cuando la columna est cerca de pandear, el cambio en la deformacin que ocurre en la columna est dentro de un pequeo rango de , de tal manera que el mdulo de elasticidad (Et mdulo tangente) puede ser tomado como el valor de la tangente de la curva -. Es decir que en el momento de la falla, la columna se comporta como si estuviera hecha de menor rigidez. Usando esta idea se modifica la frmula de Euler reemplazando E por Et: Ejemplo 7: Un eje macizo tiene un dimetro de 30 mm y 600 mm de largo. Si est construido con un material que responde al diagrama presentado y suponiendo que est biarticulada, determinar la carga crtica.

t3

2t

2

cr E10x542.1E =

=

Campo elstico Columnas largas

Campo inelsticoColumnas cortas e intermedias

2t

2

cr LEP =

D f

Et

E lim

f Euler

=L/i

mm5.7A

i == = 80

0.001 0.002

f=150270

(Mpa)

208

Si se considera que estamos en el campo elstico:

E = 150 / 0.001 = 150 Gpa

cr = 231.3 MPa Como cr > f , entonces el pandeo inelstico debe ser considerado:

Et = / = (270 150) / (0.002 0.001)

cr = 1.542x10-3 x 120x103 = 185 MPa La carga crtica ser: Pcr = cr.A = 131 kN 4.5.2- Teora de Engesser-Karman Se admite que la barra permanece perfectamente rectilnea hasta un instante dado en la cual se torna inestable, tomando una curvatura transversal infinitesimal. Las tensiones de compresin aumentan ligeramente en el lado cncavo y disminuyen en el lado convexo. Se hace la consideracin de que el material se comporta con un mdulo de elasticidad intermedio, llamado mdulo reducido. Luego la carga crtica vale:

Pcr = 2.ER. / L2 Para una seccin en doble T con alma despreciable:

ER = 2.E.Et / (E + Et) Ejemplo 8: Calcular el mdulo reducido de una columna de seccin rectangular.

E.h22 = Et.h12 h = h1 + h2

Por lo tanto:

1 2

h2 h1

2 = E.2 1 = Et.1

2

2

1

1

hh1 ==1 h1 = 2 h2

EEEhh

t1 += EE

Ehh

t

t2 +=

209

Igualando el momento: La carga crtica de una pieza corta es intermediaria entre los valores correspondientes al mdulo tangente y el mdulo reducido. La teora de Shanley (1947) describe una teora mejor sobre el pandeo inelstico, pero las verificaciones realizadas por Frey (1973) mostraron que las mismas son apenas superior a las obtenidas por Engesser (mdulo tangente). En la prctica resulta aplicable el criterio de Engesser ya que proporciona valores ligeramente errneos por defecto. Ejemplo 9: Obtener la curva de pandeo P/A vs. , si la curva de tensin deformacin a la compresin es: E = 25 / 0.001 = 25x103 ksi Et = (50-25) / (0.005-0.001) = 6.25x103 ksi lim = 99.35 4.6- Pandeo de placas Principalmente las placas fallan, sometidas a cargas de compresin, por pandeo que por resistencia a compresin. Tomando como referencia el punto 2.6.1 (Teora clsica para placas a flexin), en cuyo anlisis no se consider las fuerzas de compresin y corte, considerando las fuerzas

25

6.25

P/A

lim

(ksi)

0.005 0.001

12bhEh

32

2bhEhh

32

2bhhEM

3R

222

111t

=+=

( )2ttR EEEE4

E+

=

flim2

2 EEAP

==

2t

2

2

2

EAP4.99Para

EAP4.99Para

=

25

50

210

que intervienen en la rigidez a flexin, y las actuantes en el plano de la placa (normal y corte): se obtiene: Para determinar esta ecuacin, se considera el estado de deformada del elemento diferencial, planteando las ecuaciones de equilibrio, para el estado de deformado (segn 2.6.1):

Mx = 0 ; My = 0 ; Fz = 0

Al considerar los momentos segn x, no se toman las variaciones de Nx y Nxy, ya que se anulan en el punto, el momento que produce Nx es:

x

zy

My

MxQx Qy

Pz(x,y)

Myx

Mxy

x

zy

Nyx

Nxy

Ny

Nx

=

++

yx

wN.2ywN

xwNP

D1

yw

yxw2

xw 2

xy2

2

y2

2

xz4

4

22

4

4

4

Nx

Nx dx

xw dy.dxx

wNx

211

2

2

4

4

22

4

4

4

xw

DN

yw

yxw2

xw

=

++

y el que produce Nxy (notar que se debe tomar la componente) es:

Lo mismo se plantea segn la direccin y, siguiendo el mismo anlisis que el

realizado en el punto 2.6.1, se llega a la anterior ecuacin. Sea una placa rectangular, con sus cuatro lados simplemente apoyados (evitando el

desplazamiento pero no la rotacin), cargada a compresin, Nx = -N La placa se mantiene plana hasta que las cargas alcanzan un valor crtico provocando deflexiones laterales.

Bryan, en 1891, estableci:

Nxy.dy Nxy

Nxy

dyyw dx.dyy

w..Nxy

212

)1(12t.ED 23

=

,...3,2,1n,mb

y..nsen.a

x..msen.A)y,x(wm n

mn =

=

D es la rigidez a flexin: La solucin de esta ecuacin diferencial es de la forma: Esta solucin satisface las condiciones de contorno:

Para x = 0 , x = a Para y = 0 , y = b

Reemplazando la solucin en la ecuacin diferencial, se obtiene:

=

+

m nmn2

22

2

2

2

2

24 0

by..nsen.

ax..msen.A.

am.N

bn

am.D

En esta expresin, m y n son la cantidad de medias ondas en la manera de

pandearse segn la direccin x e y respectivamente. La solucin no trivial est dada por:

A partir de esta ecuacin la carga de pandeo es determinada como funcin de m y n:

La carga mnima ser para n = 1, correspondiendo, para la direccin en y, a una media onda, mientras que en la direccin de x puede tener varias media ondas, dependiendo de la relacin a/b.

0xw;0w 2

2=

=

0yw;0w 2

2=

=

0am.N

bn

am.D 2

22

2

2

2

2

24 =

+

22

2

22

2

2

2

2

2

22

cr b.man

ab.mkD

bk

bn

amD

ma.N

+==

+=

213

Para una placa que a/b = m, vale Db4N 2

2

cr=

Podemos notar que para valores de 2 < a/b < 6 , la placa pandear en dos

semi ondas, y para valores de a/b < 2 en una semi onda. La tensin en x vale (ecuacin de Bryan)

2

2

2cr

cr,x bt

)1(12E..k

tN

==

Si la relacin a/b 0, se puede establecer, haciendo b , que:

2

2

2cr

cr,x at

)1(12E.

tN

==

Si comparamos con el cr de una columna de seccin rectangular de lado t y longitud a, vemos que la nica diferencia es el factor 1/(1-2) que representa un aumento en la rigidez en el comportamiento de la placa. Un aspecto importante en notar es que en una placa ancha, el pandeo est gobernado por el valor a, y no por el ancho b.

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4 5

a/b

k

m = 1

m = 2 m = 3 m = 4

2 6 12

214

Prctico IV

1- La seccin de una columna de 10 feet de longitud, fija en sus extremos es:

El menor radio de giro ocurre alrededor del eje z-z (iz = 0.644 in). Determinar la mayor carga axial que se puede aplicar en su centro C (E = 29x103 ksi ; f = 36 ksi).

2- Cada columna del dibujo es de seccin circular. Si AB es de aluminio y CD de acero, determinar el dimetro de c/u de tal manera que se pandeen al mismo tiempo.

3- Determinar la seccin recta de una columna de madera (E = 1050 kg/mm2), con seccin cuadrada de longitud de 3.50 m, empotrada en la base y libre arriba. Que debe soportar una carga axial de 5000 kg con un coeficiente de seguridad de 8.

xx

y

y

z

z

ix = 1.26 in iy = 0.879 in A = 2.48 in2

C

5 m

0.75 m 0.75 m 3 m

AceroAluminio

A

B

C

D

18 kN/m Eac = 200 Gpa Eal = 70 GPa al = 50 MPa ac = 100 MPa

215

4- Determinar el valor de Pcr para una columna empotrada en la base y libre arriba,

formada por dos tramos prismticos con momentos de inercia diferentes.

5- Determinar el dimetro de las barras de acero para prevenir el pandeo

6- Sea un tubo de cobre, con un dimetro externo de 35 mm y un espesor de 7 mm. Determinar la mxima carga excntrica que puede ser aplicada. Considerar un factor de seguridad de 2.5 El tubo est fijo en sus extremos.

b b

a a

3 ft

4 ft

P

E = 29x103 ksi f = 36 ksi P = 10 kip

2 m14 mm

P P

Ecu = 120 Gpa f = 750 MPa

216

7- Determinar experimentalmente la carga crtica y comparar con la frmula de Euler. 8- El diagrama de deformacin de un material se puede aproximar segn la figura de

ms abajo. Si la columna tiene un dimetro de 80 mm y una longitud de 1.5 m; determinar la carga crtica si la columna tiene un extremo fijo y el otro articulado. Considerar que la carga acta segn el eje baricentro de la seccin (usar la ecuacin de Engesser).

9- Determinar la flecha y el momento mximo en una viga recta prismtica apoyada en sus extremos.

(MPa)

0.0070.001

1100

200

P

q

P

L