Universidad Austral de ChileFacultad de Ciencias de la IngenieríaResistencia de Materiales (DMIL 141)

PANDEO EN COLUMNAS

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PANDEO EN COLUMNAS

Las estructuras y máquinas pueden fallar en una gran variedad de formas, dependiendo de los materiales, tipos de carga y condiciones de apoyo.

Un tipo de fallas es el Pandeo de columnas.

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PANDEO EN COLUMNAS Un elemento recibe

el nombre de columna, si su medida longitudinal es grande comparada con las dimensiones de su sección transversal. De lo contrario se hablará de bloque sometido a presión pura.

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PANDEO EN COLUMNAS

Por lo general reciben el nombre de COLUMNA los miembros estructurales largos y esbeltos cargado axialmente en compresión.

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PANDEO EN COLUMNAS Para las columnas con cargas de

compresión existe un cierto valor denominada CARGA CRÍTICA para el que puede producirse una gran flecha

Experimentalmente se ha encontrado, que cuando la fuerza compresora de una pieza esbelta se aproxima a este valor, la columna empieza a curvarse, o sea pandearse, a tal punto que puede colapsar

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PANDEO EN COLUMNAS

Por lo tanto, la carga crítica debe considerarse como la carga de rotura de la columna.

Aunque existen varios planteamientos para el estudio de columnas se estudia la planteada por Euler.

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TEORÍA DE EULER

Es aplicable a columnas cuya:1. Sección transversal sea uniforme

en toda su longitud2. El material sea homogéneo e

isótropo3. La tensión máxima sea la

correspondiente al límite elástico del material σfluencia, esto es:

FLUENCIAMAX

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TEORÍA DE EULER

Se analizan cuatro casos dependiendo de la forma de los apoyos en los extremos de la columna

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CASO 1 Columna

empotrada-libre.

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CASO 1. De la ec. diferencial de la curva elástica:

El momento M en la sección a-a es:

2

2

dx

ydIEM

YPM

Luego, reemplazando:

2

2

dx

ydIEYP

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CASO 1.

El fenómeno de Pandeo se presenta siempre en el plano de menor rigidez, o bien, con respecto al eje de radio de giro menor, esto es, donde la inercia sea menor.

A

IR

MINMIN

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CASO 1.

Si reemplazamos

Se tiene la ec. diferencial

iE

Pp

2

2

222

dx

ydYpp

Cuya solución general es:

xpCxpCY coscos 21

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CASO 1.

Donde C1 y C2 son constantes que dependen de las condiciones de borde.

Para X=0, Y=0 y dy/dx=0, Estas condiciones se cumplen si:C1 =-δ y C2=0 LuegoY= δ- (1- cos (p*x))

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CASO 1. En el extremo superior de la columna

del caso 1 se verifica que Y=δ, en X=L, lo cual se cumple para:(ec. 1) cos p*L=0 →

El valor de p*L y por consiguiente de P, se obtiene haciendo n=0, resultando con:(ec. 2) →

2

12

nLP

IE

Pp

IE

Pp

2

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CASO 1. Igualando ec. 1 y ec. 2, tenemos:

Despejamos la ecuación, obtenemos el valor de la carga crítica para el caso 1, columna empotrada-articulada.

2

IE

PLLP

2

2

4 L

IEPCRIT

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CASO 2. Columna articulada-

articulada

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CASO 2.

A esta situación se le denomina caso fundamental del pandeo de columnas, siendo la deducción del PCRIT similar al caso 1, reemplazando L=L/2, ya que la mitad de la pieza está en las mismas condiciones que la barra completa del caso anterior.

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CASO 2. A este valor de PCRIT se le conoce como

carga de Euler.

Se considera este caso, cuando no se enuncia o se desconoce el tipo de apoyo de la columna.

2

2

L

IEPCRIT

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CASO 3. Columnaempotrada-

empotrada

20

Caso 3.

En forma analoga si se le compara con el caso 1, se obtiene para L= L/4:

2

24

L

IEPCRIT

21

CASO 4. Columna articulada-

empotrada

22

CASO 4.

Cuando a columna se pandea, se desarrollan fuerzas reactivas R horizontales en los apoyos, así como un momento M0 en la base.

Luego la ecuación de la curva elástica, se obtiene:

XLIE

Ryp

dx

yd

2

2

2

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CASO 4. Cuya solución general es:

Haciendo un análisis similar al del caso 1, se obtiene igualmente:

XLp

RxpCxpsenCY cos21

2

2

7.0 L

IEPCRIT

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CARGA CRÍTICA

Todas las expresiones obtenidas de PCRIT, se utilizan considerando una longitud efectiva Le, que es la longitud de la columna de extremos articulados equivalentes, o la distancia entre los puntos de inflexión de la curva de deflexión.

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CARGA CRÍTICA

Donde1. α=1 → columna articulada-articulada2. α=1/2 → columna empotrada-empotrada3. α=2 → columna empotrada-libre4. α=0.7 → columna empotrada-articulada

2

2

L

IEPLL CRITe

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CARGA CRÍTICA

Sin embargo las ecuaciones de Euler tienen limitaciones para ciertos valores de esbeltez, por lo tanto, es necesario conocer el rango de aplicación de estas relaciones para cada caso.

Para este análisis se utiliza:

A

PCRITCRIT

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RELACION DE ESBELTEZ

Y como k=radio de giro, definido antes (Pág. 11)

Reemplazando para el caso 1:

pandeoCRIT

pandeoAL

IE

2

2

4

A

Ik

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RELACIÓN DE ESBELTEZ

→Valor límite de la relación de esbeltez para el caso 1.

AL

IEpandeo

4

2

2

22

4 L

kEpandeo

pandeo

E

k

L

4

2

2

2

pandeo

E

k

L

2

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RELACIÓN DE ESBELTEZ

Ejemplo: Para un acero SAE 1010, donde:

σpandeo=2100 kg/cm2

E=2,1x106 kg/cm2

Relacion de esbeltez →λ= L/k

6.49k

L

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RELACIÓN DE ESBELTEZ

Procediendo en forma análoga para el caso 2, que corresponde a la situación fundamental, se obtiene:

2.99k

L

31

RELACIÓN DE ESBELTEZ

Además →

Para usar las relaciones de euler, se debe verificar en cada caso que:

MIN

eREAL

k

L

FLUENCIAREAL

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RELACIÓN DE ESBELTEZ

En caso contrario, la columna no es esbelta y por lo tanto corresponde a una columna intermedia, ante lo cual se debe usar la siguiente fórmula empírica, en la cual el miembro de la derecha esta expresado en kg/cm2

2

0341.01200

MIN

eTRABAJO

k

L

A

P

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OBSERVACIONES

Si se desconocen las condiciones de apoyo en los extremos, se debe usar la ecuación fundamental de Euler (caso 2) verificando sus restricciones.

σpandeo =1500 kg/cm2 para el hierro

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OBSERVACIONES La fórmula empírica presentada

también se puede expresar en lb/pulg2

El estudio hecho por Euler entrega el valor de PCRIT, en cambio las fórmulas empíricas entregan el valor de PTRABAJO.

También existen relaciones empíricas para aleaciones de aluminio y columnas de madera.

2

3

115000

MIN

TRABAJO

k

L

A

P