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Clase No. 25:

Introducción a EDP:Ecuaciones elípticas

MAT–251 Dr. Alonso Ramírez ManzanaresDepto. de MatemáticasUniv. de Guanajuatoe-mail: [email protected]: http://www.cimat.mx/salram/met_num/

Dr. Joaquín Peña AcevedoCIMAT A.C.e-mail: [email protected]

Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 12.11.2012 1 / 13

Introducción a EDPs (I)

• Una ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación que relaciona lasderivadas parciales de una función.

• La variable dependiente (función desconocida) en la EDP es función deal menos dos variables independientes.

• El orden de la EDP es igual al orden de la derivada parcial de mayororden que aparece en la ecuación.

• Son ampliamente utilizadas para modelas fenómenos físicos.

Ejemplo.Sea u : Ω2 → R una función de dos variables. La forma general de una EDPde segundo orden es

Auxx + 2Buxy +Cuyy +Dux + Euy + F = 0.

donde A,B,C,D,E,F ∈ R.


Categorías de EDPsLa ecuación

Auxx + 2Buxy +Cuyy +Dux + Euy + F = 0

se dice que es:

• Elíptica si AC− B2 > 0.Ejemplo: la ecuación de Poisson

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= g(x,y)

• Parabólica si AC− B2 = 0.Ejemplo: la ecuación de calor

∂u

∂t= a

∂2u

∂x2+ g(x)

• Hiperbólica si AC− B2 < 0.Ejemplo: la ecuación de onda

∂2u

∂t2= a2 ∂

2u

∂x2+ g(x)


Ecuaciones elípticas

Ejemplos de ecuaciones elípticas son la ecuación de Laplace

∆u :=∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0.

Para modelar la difusión de una propiedad que no depende del tiempo, sepuede usar la ecuación de Poisson

−∆u = g(x,y),

o más general−∇ · (a(x,y) ∇u) = g(x,y).

Otro ejemplo es la ecuación de Helmholtz:

∆u+ fu = g.


Caso general

El operador diferencial elíptico es de la forma

Lu(x) := −∑

i

∑

j

aij(x)∂2u

∂xi∂xj+∑

i

bi(x)∂u

∂xi+ c(x)u

Proposición

Sea c ≥ 0 y Ω un dominio que tiene una frontera regular ∂Ω. Consideremos elproblema de valor inicial

Lu = f en Ω

u = g sobre ∂Ω

donde g es suave. Entonces el problema anterior tiene solución única.

Para analizar un análisis de convergencia de los métodos basados endiferencias finitas se requieren otras propiedades ya que la suavidad de lasolución no es suficiente.


Ejemplos

Ejemplo 1. Considere el problema

−∆u = 0 en Ω = [0,1]× [0,1]

u = x2 sobre ∂Ω

Por la proposición anterior Tenemos que uxx(0,0) = 2 y uyy(0,0) = 0, peroentonces esto hace que no se cumpla la EDP. Así, u /∈ C2(Ω).

Ejemplo 2. En el dominio

Ω = (x,y) : x2 + y2 < 1 ∩ (x,y) : x < 0 o y > 0,

la función u(r, θ) = r2/3 sin(2θ/3) satisface la ecuación de Laplace, −∆u = 0,con la condición de frontera

u =

¨

sin(2θ/3) r = 1, 0 ≤ θ ≤ 3π/20 en el complemento de ∂Ω.

Aunque tiene la condición de frontera es continua, las derivadas de primerorden de la solución no son acotadas. Así, u /∈ C1(Ω).


Ejemplo: La ecuación de Poisson (I)

Vamos a resolver un caso particular de la ecuación de Poisson.Consideremos una función p = p(x,y) que está definida en cuadrado unitarioΩ = [0,1]× [0,1].Queremos resolver

−∇ · ∇p = f (x) x = (x,y) ∈ Ω (1a)

∇p ·ν = 0 x = 0, y ∈ (0,1), (1b)

∇p ·ν = 0 x = 1, y ∈ (0,1), (1c)

p = cos(πx) x ∈ (0,1), y = 0, (1d)

p = −cos(πx) x ∈ (0,1), y = 1, (1e)

donde f (x) = 2π2 cos(πx1) cos(πx2).

La solución exacta es p = cos(πx1) cos(πx2).


Solución mediante diferencias finitas (I)

Fijamos el número N de nodos en el eje X y el número M de nodos en el ejeY.Consideramos una partición uniforme. Entonces los incrementos en cada ejeson

hx = 1/(N− 1) y hy = 1/(M− 1)

Definamos los nodos (xj,yi) de la discretización como

xj = (j− 1)hx, yi = (i− 1)hy,

para j = 1,2, ...,N; i = 1,2, ...,M. Éstos definen los nodos de la discretizacióndel dominio:


Solución mediante diferencias finitas (II)

1 2 3 4 5

12

34

5

c(0.5, nt + 0.5)

c(0.

5, n

t + 0

.5)

xkxk−1 xk+1

xk−N

xk+N

x1 xN

x(M−1)N+1 xMN

0 1

0

1

Si denotamos por xk = (xj,yi), donde k = j+ (i− 1)N, entonces lascondiciones de frontera se expresan como:


Solución mediante diferencias finitas (III)

Para un nodo en la frontera y = 0,pk = cos(πxj) si k = 1, ...,N (j = 1, ...,N).

Para un nodo en la frontera y = 1,pk = −cos(πxj) si (k = j+ (M− 1)N) (j = 1, ...,N)

Para un nodo en la frontera x = 0 se tiene que ν = (−1,0)> y que

−3pk + 4pk+1 − pk+2

2hx= 0 =⇒ −3pk+4pk+1−pk+2 = 0 si k = 1+(i−1)N.

Para un nodo en la frontera x = 1 se tiene quepk−2 − 4pk−1 + 3pk = 0 si j = N (k = N+ (i− 1)N).

Para un nodo en el interior de la discretización se tiene que

−pk−1 − 2pk + pk+1

h2x

−pk−N − 2pk + pk+N

h2y

= fk

−h2x

(pk−N+pk+N)+2(h2x

+h2y

)pk−h2y

(pk+1+pk+N) = h2xh2yfk si 1 < j < N, 1 < i <M.


Solución mediante diferencias finitas (IV)

Con estas ecuaciones se plantea el sistema lineal Ap = b. La matriz A no essimétrica y tampoco es diagonal dominante, según se ve en las ecuacionesanteriores.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

X

Y

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0


Solución mediante diferencias finitas (V)

En la siguiente figura se muestran los errores

cos(πxk1) cos(πxk2)− pken cada nodo xk de la discretización. Puede verse que los errores másgrandes se localizan cerca de las fronteras y = 0 y y = 1, y que el rango delos errores decrece conforme N y M aumentan.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

X

Y

−0.03

−0.02

−0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

X

Y

−0.010

−0.005

0.000

0.005

0.010

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

X

Y

−0.005

0.000

0.005

N = M = 25 N = M = 50 N = M = 75


Solución mediante diferencias finitas (VI)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

X

Y

−0.006

−0.004

−0.002

0.000

0.002

0.004

0.006

N = M = 100


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