Capítulo 3:Capítulo 3:

COMBINATORIACOMBINATORIA

Permutaciones

Teorema 1: principio de multiplicación del conteo

Supóngase que va a efectuarse dos trabajos, T1 y T2 en secuencia. Si T1 puede realizarse de n1 maneras, y para cada unas de estas maneras T2 puede realizarse en n2 maneras, entonces la secuencia T1T2 puede efectuarse de n1n2 maneras.

Permutaciones

Demostración:

Posibles maneras de realizar la tarea 1 Posibles maneras de realizar la tarea 2

Posibles maneras de realizar la tarea 1 y luego la tarea 2, de manera secuencial.

Permutaciones

Teorema 2:

Supóngase que va a efectuar, en sucesión, los trabajos T1, T2,…., Tk. Si T1 puede realizarse de n1 maneras, y para cada una de estas maneras T2 puede hacerse de n2 maneras, y para cada una de estas n1n2 maneras de realizar T1T2 en sucesión, T3 puede llevarse a cabo de n3 maneras, y así sucesivamente, entonces la secuencia, entonces la secuencia T1T2….Tk puede efectuarse de n1n2…nk maneras.

Permutaciones

Ejemplo 1:

Un identificador de etiqueta para un programa de computadora, consta de una letra seguida por tres dígitos. Si se permiten repeticiones, ¿cuántos identificadores distintos de etiqueta será posible tener?

AA 00 00 00

1026 10 10XX XPosibles combinaciones

Permutaciones

Teorema 3:

Sea A un conjunto de n elementos y 1 ≤ r ≤ n. Entonces, el número de secuencias de longitud r que puede formarse con elementos de A, permitiendo repeticiones, es:

rn

Permutaciones

Ejemplo 3: ¿Cuántas palabras de tres letras puede formarse a

partir de las letras del conjunto {a, b, y, z} si se permite repetir letras?

Solución: r = 3; n = 4

6443

Permutaciones

Teorema 4:

Si 1 ≤ r ≤ n, entonces , el número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, es n · (n - 1) · (n - 2) · · ·(n - r + 1).

rnP

Permutaciones

Ejemplo 4: Sea A el conjunto {a,b,c}. Entonces las

permutaciones posibles de A son las secuencias:

abc, acb, bac, bca, cab, cba

Permutaciones

Si conviene en definir 0! igual a 1, entonces para cada n ≥ 0 se ve que el número de permutaciones de n objetos es n!. Si n ≥ 0 y 1 ≤ r ≤ n, se puede dar ahora una forma más compacta para rnP

)!(

!

rn

nPrn

12)1()(

12)1()()1()1(

rnrn

rnrnrnnnPrn

Permutaciones

Ejemplo 5: Supóngase que A es un conjunto formado por las 52

cartas de una baraja ordinaria de juego. Supóngase además que se barajan todas las cartas y que se toma una mano de cinco cartas. ¿Cuál es el número de permutaciones?.

200,875,3114849505152)!552(

!52552

P

Permutaciones

Teorema 5:

El número de permutaciones distinguibles que puede formarse a partir de una colección de n objetos, en la que el primer objeto aparece k1 veces, el segundo objeto k2 veces, y así sucesivamente, es:

!!!

!

21 tkkk

n

Permutaciones

Ejemplo 6: El número de palabras disinguibles que pueden

formarse con la sletras de la palabra MISSISSIPPI es:

650,34!2!4!4!1

!11

Permutaciones

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Combinaciones

El principio de multiplicación y los métodos de conteo para permutaciones son aplicados todos a situaciones en las que interesa el orden. En las combinaciones el orden no interesa.

Combinaciones

Teorema 1.

Sea A un conjunto con | A | = n, y sea 1 ≤ r ≤ n. Entonces el número de combinaciones de los elementos de A, tomados r a la vez, es decir, el número de subconjuntos de r elementos de A, es:

El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez.

)!(!

!

rnr

nCrn

Combinaciones

Ejemplo 1: Calcule el número de manos distintas, de cinco

cartas, que se puede dar tomándolas de una baraja de 52 cartas.

Solución:

960,598,2)!552(!5

!52552

C

Combinaciones

Teorema 2.

Supóngase que se va a hacer k selecciones de n elementos sin tomar en consideración el orden y que se permiten repeticiones, suponiendo por lo menos k copias de cada uno de los n elementos.

El número de maneras en que puede hacerse estas selecciones es:

kkn C)1(

Combinaciones

Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras puede escoger el ganador de

un premio tres discos compactos de la lista de los diez de mayor éxito, si se permite repeticiones?.

Solución: Aquí es n = 10 y k =3

220)!312(!3

!123)1310(

C

Combinaciones

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Principio de las casillas

Teorema 1: Principio de las casillas. Si se asigna n objetos a m casillas, y m< n, entonces

por lo menos una casilla contiene dos o más objetos.

Principio de las casillas

Ejemplo 1:

Si se escoge 8 personas aleatoriamente de algún conjunto, por lo menos dos de ellas habrá nacido el mismo día de la semana. Aquí cada persona (objeto) se asigna al día de la semana (casilla) en que nació el o ella. Como hay 8 persona y solamente siete días a la semana, el principio de las casillas dice que por lo menos dos personas deberán asignarse al mismo día de la semana.

Principio de las casillas

Ejemplo 2: Demuestre que si escoge cinco números

cualesquiera del 1 al 8, entonces dos de estos sumarán 9.

Solución: Construya 4 conjuntos diferentes, cada uno de dos números que sumen 9. A={1,8}; B={2,7}; C={3,6}; D={4,5}. Cada uno de los cinco números escogidos debe pertenecer a uno de estos conjuntos. Como solo hay cuatro conjuntos, el principio de las casillas dice que dos de los números escogidos pertenecen al mismo conjunto. Estos números suman 9.

Principio de las casillas

Teorema 2: Principio de las casillas ampliado. Si se asigna n objetos a m casillas, entonces unas de

las casillas debe contener por lo menos:

[(n – 1)/m] + 1 objetos

Principio de las casillas

Ejemplo 3: Demuestre que si 30 diccionarios de una biblioteca

contienen un total de 61,327 páginas, entonces uno de los diccionarios debe tener por lo menos 2045 páginas.

Solución: Supóngase que las páginas son los objetos y los diccionarios, las casillas. Asigne a cada página al diccionario en el cual aparezca. Entonces, por el principio de las casillas ampliado, un diccionario debe contener por lo menos:

[61,326/30] + 1 = 2045

Principio de las casillas

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