Diagramas De Árbol, Métodos de conteo,

Permutaciones, Combinaciones

Principio Multiplicativo y Aditivo.

DIAGRAMA DE ÁRBOL: Es un método gráfico para identificar todas las

partes necesarias para alcanzar algún objetivo final. En mejora de la calidad, los diagramas de árbol se utilizan generalmente para identificar todas las tareas necesarias para implantar una solución.

EJEMPLO:Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire

tres monedas, salgan: tres caras

Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples.

Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto.

En los experimentos compuestos es conveniente usar el llamado diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos ellos.

MÉTODOS DE CONTEOSon estrategias utilizadas para determinar el

número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento.

Por ejemplo: al lanzar un dado veremos cuantas probabilidades hay de que salga un número a favor, si tienen 6 caras los dados cual seria la probabilidad de que saliera un cierto número. Entonces sirve para contar el número de casos favorables o posibles y así podemos ver cuantas combinaciones diferentes se pueden tener.

Como saber cuantas combinaciones se pueden lograr en un dado, para esto se hace un diagrama de árbol en el cual del uno al seis se enumeran de manera consecutiva, ahora de cada número del uno al seis se le sacan cinco líneas y por cada número que se tiene se le agregan cinco líneas.

Por ejemplo si tenemos el 1 se le agregan cinco líneas viendo cuantas combinaciones se pueden tener y al momento de hacerlo se tendrá cinco combinaciones, por que no hay que olvidar en el momento que se escogió el numero uno solo se pondrá cinco líneas poniendo dos, tres, cuatro, cinco y seis.

Sin embargo si se pasa al número dos será de esta forma: uno, tres, cuatro, cinco y seis.

Y así sucesivamente por cada numero consecutivo, es decir no se repetirá el numero ya que al momento de lanzarlo buscamos las diferentes combinaciones con otros números con el mismo numero.

NUMEROS COMBINACIONES

1 2,3,4,5,6

2 1,3,4,5,6

3 1,2,4,5,6

4 1,2,3,5,6

5 1,2,3,4,6

6 1,2,3,4,5

SE SUMAN TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES.  

TOTAL DE COMBINACIONES 30

PERMUTACIÓNSolo es multiplicar en todo momento cada

dato que te pueda dar, esto se llama el principio de la multiplicación y permiten hallar formulas generales que permitan calcular el numero de permutaciones con y sin repetición

Hay dos tipos de permutaciones: Se permite repetir y sin repetición.

Ejemplo sin repetición: ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA?

Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320Ó

8! Permutación es igual a 40320

Solo se puede hacer con calculadora

COMBINACIONESEs un arreglo de elementos en donde no nos interesa

el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.

En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden.

Por lo tanto en las combinaciones se busca el número se subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de n objetos

Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultado se denomina combinación, por ejemplo: si se requiere formar un equipo de trabajo formado por dos personas seleccionadas de un grupo de 3 (A,B y C); si en el equipo hay dos funciones diferentes entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones, por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CBCombinaciones: AB, CA, BC

Combinaciones, es el numero de formas de seleccionar “r” objetos de un grupo de “n”

objetos sin importar el orden,La formula de combinaciones es:

= r!(n-r)!

EJEMPLO:A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos

saludos se han intercambiado?No entran todos los elementos.

No importa el orden.No se repiten los elementos.

Como se saco este resultado, lo que se realizo fue que de las diez personas que se mencionaron es el dato, ahora si son diez personas y entre esas diez se compartirán un saludo cuantos saludos serán, el resultado será 45 ya que si de la persona numero 1 se cuenta entonces esa persona saludara a 9 y si así le hacemos con la persona dos también saludara a 9 entonces lo que se hará será multiplicar diez por nueve o una suma de cada uno que da el mismo resultado.

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO:Si una operación puede efectuarse de n

maneras diferentes y realizada una cualquiera de ellas, una segunda operación puede efectuarse de p maneras distintas, entonces el número total (N) de maneras diferentes, en que pueden realizarse a la vez ambas operaciones es:

N = n × p

EJEMPLOSi una persona ha de escoger como vestirse,

teniendo 4 camisas, 6 pantalones, 5 pares de calcetines y 2 pares de zapatos, entonces tiene 4 × 6 × 5 ×2 = 240 formas de vestirse, ya que cada elección de la camisa (4 opciones) tiene 6 opciones para el pantalón, lo que da 4 × 6 = 24 opciones para la camisa y pantalón. Para cada una de esas 24 tiene 5 pares de calcetines, totalizando 120 formas, y para cada una de esas tiene dos opciones de los zapatos, de modo que se duplica el total y al final tiene 240 formas de vestirse. El principio de la multiplicación puede visualizarse mediante un diagrama de árbol

PRINCIPIO ADITIVO:Si se desea llevar a efecto una actividad, la

cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ….. y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

M + N +………+ W maneras o formas

EJEMPLO: Una persona desea comprar una lavadora de

ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirlpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución: M: Maneras de seleccionar una lavadora Whirlpool

N: Maneras de seleccionar una lavadora EasyW: Maneras de seleccionar una lavadora General

Electric M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 manerasW = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

Gracias por su atención