TECNICAS DE CONTEOTECNICAS DE CONTEO

• Cuando se trata de contar las posibilidades Cuando se trata de contar las posibilidades en una moneda....fácil, pero y si es algo más en una moneda....fácil, pero y si es algo más complicado que una moneda..... ?complicado que una moneda..... ?

• Supongamos que la señora que nos hace el Supongamos que la señora que nos hace el favor de vendernos el almuerzo solamente favor de vendernos el almuerzo solamente sabe cocinar 4 tipos de sopas ( sopa con sabe cocinar 4 tipos de sopas ( sopa con verduras, de pasta, de arroz y de plátano), verduras, de pasta, de arroz y de plátano), además sólo sabe hacer 3 tipos de platos además sólo sabe hacer 3 tipos de platos fuertes (con frijoles, con lentejas y con fuertes (con frijoles, con lentejas y con verduras), sabe hacer además postre de verduras), sabe hacer además postre de natas, de guayaba y fresa y sólo da agua natas, de guayaba y fresa y sólo da agua con el almuerzo. con el almuerzo.

¿QUÉ POSIBILIDADES DE ALMUERZO TENEMOS PARA HOY ?

Entonces las posibilidades son :

1. sopa de verduras con frijoles, postre de natas y agua2. sopa de verduras con lentejas, postre de natas y agua3. sopa de verduras con verduras, postre de natas y agua4. sopa de pasta con frijoles, postre de natas y agua5. sopa de pasta con lentejas, postre de natas y agua6. ...... etc., etc, etc.....

Alguno dirá : ¡Cambie de restaurante ! (tiene razón)... y otros observarán todas las posibles variaciones que se pueden generar aún siendo tan pequeño el menú, sólo enunciamos 5 de 36 posibilidades para el almuerzo de hoy. Por lo tanto, no es fácil hacer el conteo para todas esas variaciones y más si se hace una por una. Por ello existen técnicas que sin duda facilitan notablemente los conteos de todas las posibilidades existentes.

LISTASLISTAS

• Una lista es una sucesión ordenada de objetos, se Una lista es una sucesión ordenada de objetos, se escriben entre paréntesis y separando los elementos escriben entre paréntesis y separando los elementos por comas. Por ejemplo la lista (1,2,3,Ζ) es una lista por comas. Por ejemplo la lista (1,2,3,Ζ) es una lista cuyo primer elemento es el 1, el segundo el 2, el cuyo primer elemento es el 1, el segundo el 2, el tercer elemento es el 3 y el cuarto elemento es el tercer elemento es el 3 y el cuarto elemento es el conjunto de los números enteros.conjunto de los números enteros.

• El orden en que aparecen los elementos en una lista El orden en que aparecen los elementos en una lista es de suma importancia, así la lista (2,4,6) es diferente es de suma importancia, así la lista (2,4,6) es diferente de la lista (6,4,2) y de la lista (4,2,6) sin importar que de la lista (6,4,2) y de la lista (4,2,6) sin importar que los elementos sean los mismos.los elementos sean los mismos.

• Los elementos en una lista pueden repetirse como en Los elementos en una lista pueden repetirse como en (2,2,3).(2,2,3).

• La longitud de una lista es la cantidad de elementos La longitud de una lista es la cantidad de elementos que tiene la lista, así en todos los ejemplos anteriores que tiene la lista, así en todos los ejemplos anteriores la longitud es de tres, mientras que la lista (2,4,6,8) la longitud es de tres, mientras que la lista (2,4,6,8) tiene una longitud de cuatro.tiene una longitud de cuatro.

Conteo de listas de dos Conteo de listas de dos elementos o par ordenado.elementos o par ordenado.

• Ejemplo.Ejemplo. Se desea hacer una lista de dos Se desea hacer una lista de dos elementos, en los lugares de la lista elementos, en los lugares de la lista pueden estar cualquiera de los dígitos 2, pueden estar cualquiera de los dígitos 2, 4, 6 o 8. ¿Cuántas listas con estas 4, 6 o 8. ¿Cuántas listas con estas características son posibles?.características son posibles?.

• La forma más directa de responder es La forma más directa de responder es escribiendo todas las posibilidades:escribiendo todas las posibilidades:

• (2,2)(2,4)(2,6)(2,8)(4,2)(4,4)(4,6)(4,8)(6,2)(2,2)(2,4)(2,6)(2,8)(4,2)(4,4)(4,6)(4,8)(6,2)(6,4)(6,6)(6,8)(8,2)(8,4)(8,6)(8,8)(6,4)(6,6)(6,8)(8,2)(8,4)(8,6)(8,8)

• Hay 16 listas posibles.Hay 16 listas posibles.

Vamos a generalizar más este ejemplo. Se desea conocer la cantidad de listas posibles de dos elementos donde haya n elecciones posibles para cada elemento de la lista. Ahora supongamos que los elementos posibles son los enteros pares desde el 2 al n. Igual que antes, organizamos todas las listas posibles en una tabla:

(2,2)(2,2) (2,4)(2,4) (2,6)(2,6) (2,n)(2,n)

(4,2)(4,2) (4,4)(4,4) (4,6)(4,6) (4,n)(4,n)

(6,2)(6,2) (6,4)(6,4) (6,6)(6,6) (6,n)(6,n)

.. .. .. ..

:: :: :: ::

(n,2)(n,2) (n,4)(n,4) (n,6)(n,6) (n,n)(n,n)

La primera fila contiene todas las listas que comienzan con 2, la segunda fila las listas que comienzan con 4 y así sucesivamente. Hay en total n filas y n columnas, ya que para renglón o fila hay n listas. Por consiguiente hay n x n= n2 listas posibles.

Hay n filas o renglones (con el primer elemento igual en cada una de las listas), y cada fila contiene m listas. Por consiguiente la cantidad de listas posibles es:m + m + m +...+ m = m X n              n veces 

Principio de Multiplicación: Consideremos listas de dos elementos en las que hay n opciones para la primera posición, y cada opción del primer elemento tiene m opciones para el segundo elemento. Entonces la cantidad de estas listas es de nm.

EJEMPLOSEJEMPLOS• Ejemplo 1: Ejemplo 1: • Las iniciales de una persona (suponiendo que sólo nos interesa el Las iniciales de una persona (suponiendo que sólo nos interesa el

primer nombre así tenga segundo nombre) son las listas formadas primer nombre así tenga segundo nombre) son las listas formadas por las iniciales de su nombre y su apellido (primer apellido). Por por las iniciales de su nombre y su apellido (primer apellido). Por ejemplo las iniciales del autor son WC. ejemplo las iniciales del autor son WC.

• a. ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales de las a. ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales de las personas?personas?

• b. ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales en las que b. ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales en las que las dos letras sean distintas? (Por ejemplo CC de Carmen Cardona las dos letras sean distintas? (Por ejemplo CC de Carmen Cardona no se permitiría).no se permitiría).

• Para contestar la pregunta y omitiendo la ch (Chavo o Chávez), la Para contestar la pregunta y omitiendo la ch (Chavo o Chávez), la Ll por ser letras dobles y deseamos sólo dos iniciales,y la ñ y con Ll por ser letras dobles y deseamos sólo dos iniciales,y la ñ y con un alfabeto al estilo inglés de 26 letras tendremos estos 26 un alfabeto al estilo inglés de 26 letras tendremos estos 26 elementos para la primera posición de cada lista y así mismo 26 elementos para la primera posición de cada lista y así mismo 26 opciones para la segunda posición, luego hay 262  = 676 listas opciones para la segunda posición, luego hay 262  = 676 listas posibles (o en el caso de considerar la ñ 272 =729 listas posibles).posibles (o en el caso de considerar la ñ 272 =729 listas posibles).

• b. La segunda pregunta pide la cantidad de listas de dos b. La segunda pregunta pide la cantidad de listas de dos elementos, habiendo 26 opciones para el primer elemento (n=26) elementos, habiendo 26 opciones para el primer elemento (n=26) y para cada una de ellas, 25 opciones para el segundo (m=25). y para cada una de ellas, 25 opciones para el segundo (m=25). Por consiguiente hay 26 x 25 listas (nm listas posibles). Por consiguiente hay 26 x 25 listas (nm listas posibles).

Ejemplo 2: Un club tiene 15 miembros. Desean elegir un presidente y alguien más como vicepresidente. ¿De cuántas formas pueden llenarse esos cargos?Al reformular la pregunta como una de conteo de listas, tenemos: ¿Cuántas listas de dos elementos se pueden formar en las que dos elementos sean personas seleccionadas de un total de 15 candidatos y que la misma persona no se seleccione dos veces (no esté repetida)?.hay 15 opciones para el primer elemento de la lista (primera posición, n=15) y para cada una de estas (para cada presidente) hay 14 opciones (m=14) para el segundo elemento de la lista (el vicepresidente). Según el principio de la multiplicación, hay 15 X 14 (nm) posibilidades.

Listas de más de dos elementos.Listas de más de dos elementos.

• El principio de la multiplicación se puede aplicar a El principio de la multiplicación se puede aplicar a listas más largas. Pensemos en las listas de tres listas más largas. Pensemos en las listas de tres elementos o longitud tres. Supongamos que hay elementos o longitud tres. Supongamos que hay (a) opciones para el primer elemento, para cada (a) opciones para el primer elemento, para cada uno de estos hay (b) opciones para el segundo uno de estos hay (b) opciones para el segundo elemento y para cada opción del par formado por elemento y para cada opción del par formado por el primer y segundo elemento hay (c) opciones el primer y segundo elemento hay (c) opciones para el tercer elemento. De esta forma hay en para el tercer elemento. De esta forma hay en total (abc) listas posibles.total (abc) listas posibles.

• Una forma provechosa de imaginar problemas de Una forma provechosa de imaginar problemas de conteo de listas es hacer una diagrama con conteo de listas es hacer una diagrama con cuadros. Cada cuadro representa una posición en cuadros. Cada cuadro representa una posición en la lista. Escribimos la cantidad de elementos la lista. Escribimos la cantidad de elementos posibles en cada cuadro. El total de listas posibles posibles en cada cuadro. El total de listas posibles se calcula multiplicando entre sí esas cantidades.se calcula multiplicando entre sí esas cantidades.

Ejemplo 3: Hay un club con 15 socios. Se desea elegir una mesa directiva formada por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántas maneras se puede hacer la elección, suponiendo que un socio puede ocupar sólo un cargo?. Trazamos el siguiente diagrama:

1515 1414 1313 1212

Esto nos muestra que hay 15 socios para elegir el presidente. Una vez seleccionado el presidente quedan 14 socios para ser elegidos como vicepresidente y en consecuencia hay 15 X 14 formas de elegir al presidente y al vicepresidente. Una vez elegidos, hay 13 formas de elegir al tercer elemento (el secretario). Una vez elegidos los tres primeros cargos quedarán 12 socios para elegir entre estos al tesorero. En consecuencia hay 15 X 14 X 13 X 12 formas de seleccionar la mesa directiva.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEOPRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

• Si un suceso A presenta n1 maneras diferentes  y Si un suceso A presenta n1 maneras diferentes  y una vez este suceso ha ocurrido un segundo una vez este suceso ha ocurrido un segundo suceso B se puede presentar en n2 maneras suceso B se puede presentar en n2 maneras diferentes  y así cuando ha ocurrido este, sucede diferentes  y así cuando ha ocurrido este, sucede un tercer suceso C que se puede presentar en n3 un tercer suceso C que se puede presentar en n3 maneras diferentes  y así diferentes sucesos en maneras diferentes  y así diferentes sucesos en nk formas, entonces el número total de maneras nk formas, entonces el número total de maneras diferentes como pueden darse simultáneamente diferentes como pueden darse simultáneamente los sucesos es :los sucesos es :

•n1*n2*n3*........*nkn1*n2*n3*........*nk

• Volviendo al ejemplo inicial de los almuerzos, Volviendo al ejemplo inicial de los almuerzos, entonces los posibles menús con sus 4 sopas, 3 entonces los posibles menús con sus 4 sopas, 3 platos fuertes, 3 postres y agua se hubiesen platos fuertes, 3 postres y agua se hubiesen podido contar más fácilmente así :podido contar más fácilmente así :4*3*3*1=36 posibles menús.4*3*3*1=36 posibles menús.

Variaciones sin repetición Variaciones sin repetición

• En una carrera de carros participan 20 corredores. En una carrera de carros participan 20 corredores. Teniendo en cuenta que no es posible llegar la mismo Teniendo en cuenta que no es posible llegar la mismo tiempo , ¿ de cuantas maneras podrán llegar a la meta los tiempo , ¿ de cuantas maneras podrán llegar a la meta los tres primeros?tres primeros?

Elegimos una notación adecuada , por ejemplo Elegimos una notación adecuada , por ejemplo m1,m2...m20, para representar a los 20 corredores.m1,m2...m20, para representar a los 20 corredores.Para la primera posición (campeón) hay 20 posibilidades; Para la primera posición (campeón) hay 20 posibilidades; para la segunda posición (subcampeón) hay 19 para la segunda posición (subcampeón) hay 19 posibilidades , y para el tercer puesto hay 18 posibilidades.posibilidades , y para el tercer puesto hay 18 posibilidades.Observamos el diagrama de árbol del margen.Observamos el diagrama de árbol del margen.Por tanto, hay 20,19.18=6840 formas distintas de quedar Por tanto, hay 20,19.18=6840 formas distintas de quedar los tres primeros clasificados .los tres primeros clasificados .

A estos distintos grupos ordenados de tres corredores , A estos distintos grupos ordenados de tres corredores , elegidos de entre los 20 que tenemos, lo llamaremos elegidos de entre los 20 que tenemos, lo llamaremos variaciones de 20 elementos tomando de a tres cada vez. variaciones de 20 elementos tomando de a tres cada vez.

Numero de variaciones ordinariasNumero de variaciones ordinarias

• Hemos obtenido el número de Hemos obtenido el número de formas de clasificarse 20 corredores formas de clasificarse 20 corredores para obtener los tres primeros para obtener los tres primeros puestos: 20x19x18.puestos: 20x19x18.

• En general, si hallamos el número de En general, si hallamos el número de variaciones sin repetición que se variaciones sin repetición que se pueden formar con n elementos pueden formar con n elementos tomados m a m, obtendremos:tomados m a m, obtendremos:

• Vn,m =n(n-1)(n-2)...(n-m+1)Vn,m =n(n-1)(n-2)...(n-m+1)

EJEMPLOS RESUELTOS:EJEMPLOS RESUELTOS:

• 1. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con 1. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 sin que se repita los dígitos 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 sin que se repita ninguna cifra?ninguna cifra?

• 2. Se quiere cambiar la bandera de una ciudad de tal 2. Se quiere cambiar la bandera de una ciudad de tal forma que esté formada por tres franjas horizontales de forma que esté formada por tres franjas horizontales de igual ancho y distinto color. ¿Cuántas banderas distintas igual ancho y distinto color. ¿Cuántas banderas distintas se podrán formar con los siete colores del arco iris?se podrán formar con los siete colores del arco iris?

• 3. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 12 3. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 12 alumnos en los cuatro asientos de la primera fila de la alumnos en los cuatro asientos de la primera fila de la clase? ¿Y si el primer asiento está siempre reservado clase? ¿Y si el primer asiento está siempre reservado para el delegado del curso?para el delegado del curso?

1.- Como el número 123 es diferente del número 321, luego influye el orden y además no se puede repetir ninguna cifra. Por lo tanto debemos calcular el número de variaciones de nueve elementos (n=9) tomando tres cada vez (m=3):V9,3 = 9·8·7 = 504 números distintos.

SOLUCIONES:

2.-Como influye el orden en que se establezcan los colores y además no se puede repetir ningún color, tendremos que calcular el número de variaciones ordinarias de siete elementos (n=7) tomando tres cada vez:V7,3 = 7·6·...(7-3+1) = 7·6·5 = 210 banderas distintas, Ya necesitaríamos a un buen diseñador gráfico para que nos muestre las mejores combinaciones de colores de las banderas ganadoras.

3.-Para el primer caso debemos calcular el número de variaciones de 12 elementos (n=12) tomados de a cuatro cada vez (m = 4):V12,4 = 12·11·...(12-4+1) = 12·11·10·9 = 11880 formas distintas.En el segundo caso como hay un estudiante menos (n=11) en el juego de posibilidades (el delegado siempre va a estar en el primer asiento) y un asiento menos (m=3), luego vamos a calcular el número de variaciones de 11 elementos tomados de a tres:V11,3 = 11·10·...(11-3+1) = 11·10·9 = 990 formas distintas.

VARIACIONES CON REPETICIÓNVARIACIONES CON REPETICIÓN

• Lanzamos cuatro veces consecutivas Lanzamos cuatro veces consecutivas una moneda obteniendo en cada una moneda obteniendo en cada caso una Cara (C) o Cruz (X). caso una Cara (C) o Cruz (X). Cuántos resultados distintos Cuántos resultados distintos podremos obtener?podremos obtener?

• Formemos el diagrama de árbol Formemos el diagrama de árbol correspondiente:correspondiente:

Las distintas ordenaciones que acabamos de obtener se llaman variaciones con repetición de dos elementos tomados de a cuatro cada vez.

Observamos que ahora sigue influyendo el orden, como en el caso anterior, pero además los elementos se pueden repetir:

Variaciones con repetición de n elementos tomados m  cada vez (m ≤ n) son los distintos grupos o listas que se pueden formar con los n elementos, de manera que:- En cada grupo entren m elementos, repetidos o no.- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos .El número de variaciones con repetición de n elementos tomando m cada vez se representa por VRn,m.

Número de Variaciones con Repetición.Hemos hallado el número de resultados distintos que se obtienen al lanzar cuatro veces una moneda: 2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16

De la misma forma, podemos hallar el número de resultados distintos que se obtienen al lanzar:- Una vez una moneda: 2.- Dos veces una moneda: 2 · 2 = 22 = 4 (Di cuáles son estas posibilidades)- Tres veces una moneda: 2 · 2 · 2 = 23 = 8- Cinco veces una moneda: 2 · 2 · 2 · 2 = 25.= 32- Ene (n) veces una moneda: 2 · 2 · 2... · 2 = 2n.En general si queremos hallar el número de variaciones con repetición que se pueden formar con n elementos tomados de a m cada vez, obtendremos:VRn,m = n · n · n ·... n = nm (m factores) 

EJEMPLOS RESUELTOSEJEMPLOS RESUELTOS

• 1. Resolver VRx,2 + 5VRx-2, 2 = 2241. Resolver VRx,2 + 5VRx-2, 2 = 224• Como VRx,2 = xComo VRx,2 = x22  y VRx-2, 2 = (x-2)  y VRx-2, 2 = (x-2)22 , ,

sustituyendo: sustituyendo: • xx22  + 5 (x-2)  + 5 (x-2)22  = 244  = 244• xx22  + 5 (x  + 5 (x22-4x + 4)  = 244-4x + 4)  = 244• xx22  + 5x  + 5x22-20x + 20  = 244-20x + 20  = 244• 6x6x22 - 20x - 224  = 0 ,  resolviendo la ecuación - 20x - 224  = 0 ,  resolviendo la ecuación

cuadráticacuadrática• x = 8 o X = -14/3x = 8 o X = -14/3• La solución válida es x=8 ya que la otra solución La solución válida es x=8 ya que la otra solución

carece de sentido.carece de sentido.

2. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si se pueden repetir las cifras?

3. Se lanzan tres dados de distintos colores una vez. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?

SOLUCIONES:SOLUCIONES:• 2.- Tenemos que hallar el número de variaciones con 2.- Tenemos que hallar el número de variaciones con

repetición de 10 elementos tomados de a tres, es decir:repetición de 10 elementos tomados de a tres, es decir:• VR10,3 = 10VR10,3 = 1033 = 1000 = 1000• Ahora bien, de estos 1000 números habrá muchos que Ahora bien, de estos 1000 números habrá muchos que

inicien con cero como por ejemplo 035, 099, 001 por lo cual inicien con cero como por ejemplo 035, 099, 001 por lo cual no se pueden considerar de tres cifras. Por esto debemos no se pueden considerar de tres cifras. Por esto debemos descontar estos números, y tendremos:descontar estos números, y tendremos:

• VR10,3 - VR10,2 = 10VR10,3 - VR10,2 = 1033 - 10 - 1022 = 1000 - 100 = 900 = 1000 - 100 = 900

3.- Son VR6,3 = 63 = 216 resultados diferentes.

Algunas veces queremos saber cuántos arreglos podemos obtener con un grupo de elementos, para ello podemos utilizar la técnica conocida como permutación que veremos a continuación en el siguiente tema.

PERMUTACIÓN PERMUTACIÓN • Hasta aquí hemos contado listas de elementos de diversas Hasta aquí hemos contado listas de elementos de diversas

longitudes, en las que permitimos o prohibimos la longitudes, en las que permitimos o prohibimos la repetición de los elementos. Un caso especial de este repetición de los elementos. Un caso especial de este problema es contar las listas de longitud problema es contar las listas de longitud nn formadas por un formadas por un conjunto de conjunto de nn objetos, en las que se prohíbe la repetición. objetos, en las que se prohíbe la repetición. En otras palabras, se desea tener En otras palabras, se desea tener nn objetos en listas, objetos en listas, usando cada objeto exactamente una vez en cada lista. usando cada objeto exactamente una vez en cada lista. Según el principio de la multiplicación, la cantidad de listas Según el principio de la multiplicación, la cantidad de listas posibles es de: posibles es de:

• (n)(n)nn =n(n-1)(n-2)... 2, 1 La cantidad (n)n es n factorial y se =n(n-1)(n-2)... 2, 1 La cantidad (n)n es n factorial y se expresa en matemáticas como n!. Por ejemplo 5! = 5 X 4 X expresa en matemáticas como n!. Por ejemplo 5! = 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 120. Recuerde que 1! = 0! = 13 X 2 X 1 = 120. Recuerde que 1! = 0! = 1  

• De esta forma una permutación es un arreglo de todos o De esta forma una permutación es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos. Arreglos que se puedan parte de un conjunto de objetos. Arreglos que se puedan distinguir:distinguir:  a).- Si se quieren arreglar objetos, donde todos los objetos a).- Si se quieren arreglar objetos, donde todos los objetos sean diferentes entre sí, la permutación (el número de sean diferentes entre sí, la permutación (el número de arreglos que se pueden obtener) es n ! (n factorial). arreglos que se pueden obtener) es n ! (n factorial).

EJEMPLOS:EJEMPLOS:

• Ejemplo 1:Ejemplo 1:• Cinco amigos que están en una piscina, después Cinco amigos que están en una piscina, después

de haberse lanzado por el deslizadero gigante, de haberse lanzado por el deslizadero gigante, observan que cada vez que llegan a la parte observan que cada vez que llegan a la parte superior para el nuevo lanzamiento hacen cola en superior para el nuevo lanzamiento hacen cola en distinto orden. ¿De cuántas formas podrán hacer distinto orden. ¿De cuántas formas podrán hacer cola para arrojarse de nuevo?cola para arrojarse de nuevo?

• Observe que para la primera posición hay cinco Observe que para la primera posición hay cinco personas, cuatro para la segunda, etc. De esta personas, cuatro para la segunda, etc. De esta forma tenemos que el número de formas forma tenemos que el número de formas distintas  de hacer cola es:distintas  de hacer cola es:

• V5,5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120V5,5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120• Como observamos, en este caso intervienen a la Como observamos, en este caso intervienen a la

vez todos los elementos y únicamente varía el vez todos los elementos y únicamente varía el orden de colocación.orden de colocación.

Ejemplo 2:Queremos permutar (arreglar) las letras abc. Cuáles arreglos se obtienen ?abc, acb, bac, bca, cab y cba . Son 6 permutaciones diferentes. También hubiéramos podido decir :Son 3 letras diferentes a, b y c por lo tanto son 3 ! (3 factorial) permutaciones3 ! = 3·2·1 = 6 Vemos que hay efectivamente 3 opciones para la primera posición (cualquiera de las letras a,b o c), luego quedan sólo dos opciones para la segunda posición (por ejemplo si se escogió a para la primera posición, quedarían b o c para la segunda posición), y quedaría una sola letra para la tercera posición.

Permutaciones ordinarias de n elementos son los distintos grupos que se pueden formar de manera que:  - En cada grupo (o lista) están los n elementos. - Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos.El número de permutaciones ordinarias de n elementos se representa por Pn y es igual a n!

Ejemplo 3:En un campeonato suramericano de Fútbol llegan a un cuadrangular final los cuatro seleccionados de Brasil, Argentina, Colombia y Uruguay. Formar las diferentes clasificaciones para los cuatro primeros puestos del torneo. ¿Cuántas hay? ↔ P4 = 4! = 4·3·2·1 = 24 clasificaciones distintas.Representamos por sus iniciales a cada seleccionado y mediante un diagrama de árbol se obtiene:

b. Las variaciones sin repetición también se pueden representar con factoriales, según: Si se quieren arreglar n objetos diferentes, pero se van a tomar r objetos de ellos los cuales son distinguibles entre sí, entonces : Vn,r =

Ejemplo 4: De cuántas formas puede cespro.com colocar a 3 programadores de sistemas en 3 diferentes ciudades. Si los programadores están disponibles para cualquiera de 5 ciudades. Entonces se tienen 3 programadores disponibles pero hay 5 posibles ciudades a donde ellos pueden ir. ¿De cuántas formas podríamos ubicarlos?

Tenemos 60 formas posibles de ubicarlos en las 5 ciudades. Parece que de todos modos va tocar pensar bien dónde ubicarlos...

Ejemplo 5: ¿Cuántas palabras se pueden formar con ocho letras de forma que dos de ellas estén siempre juntas y guardando el mismo orden? Como las dos letras siempre van a estar juntas y en el mismo orden, las podemos considerar como si fuera una sola letra. Por esta razón es una permutación realmente de sólo siete elementos:P7 = 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040 palabras diferentes

Ejemplo 6: ¿De cuántas formas se pueden sentar nueve  personas en una mesa circular?Hay que tener en cuenta que una vez sentadas, si trasladamos a cada persona un asiento a la izquierda obtendremos una posición idéntica a la anterior. Por ello dejamos fija una persona y permutamos todas las demás:P8 = 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40320 formas distintas

A estas permutaciones se las denomina permutaciones circulares de n elementos y se representan por PCn.

c).- Permutaciones con repeticiónSi se quiere permutar (arreglar) objetos, dentro de los cuales hay varios repetidos, entonces se pueden contar las posibilidades de arreglos diferentes usando:

Ejemplo 7: Supongamos que queremos hacer un arreglo de luces, con 4 bombillas amarillas, 3 bombillas azules y 3 rojas. En total se tienen 10 bombillas. Pero, ¿qué arreglos de colores puedo tener?Uno de los arreglos podría ser así:

Pero si se intercambian las dos primeras bombillas amarillas entre sí vemos:

¡ No se aprecia el cambio ! Por lo tanto, ese cambio no cuenta como arreglo, de modo que al aplicar la fórmula anterior se descuentan todos esos arreglos que son iguales entre sí, de forma tal que las posibilidades de arreglos diferentes que se tienen son:

Ejemplo 8: Imaginemos que tenemos 5 monedas de 100 centavos, de las cuales dos están en posición de cara y tres en posición de cruz. ¿Cuántas ordenaciones diferentes podremos formar en las que siempre estén dos en posición de cara y tres en posición de cruz?Las ordenaciones posibles son:

(CCXXX),(CXCXX),(CXXCX),(CXXXC),(XCCXX),(CXCXX),(CXXCX),(XCCXX),(XXCXC),(XXXCC) Si las monedas son distinguibles tendríamos: P5 = 5! =120 formas distintasPero como son del mismo tipo de moneda, sólo se deben considerar una por cada 2!·3! = 12. En consecuencia, de las 120 permutaciones ordinarias iniciales solo tendremos:120   = (5!)/10   =  12   =   2!·3! Esta es una permutación con repetición de cinco elementos, donde uno se repite dos veces y otro tres veces.

  Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite n1 veces, el segundo se repite n2 veces,..., el último nk veces (n1 +  n2 + ... + nk = n), son los distintos grupos (tb. arreglos o listas) que se pueden formar, de manera que:  - En cada grupo de n elementos, el primer elemento está n1 veces; el segundo elemento está n2 veces,..., el último elemento está nk veces.- Un grupo se diferencia de otro únicamente por el orden de colocación de sus elementos.El número de permutaciones con repetición de n elementos dadas las condiciones anteriores es:    

Ejemplo 9: El mismo caso de las monedas pero ahora con un total de 11 monedas en las que 6 están en posición de cara y 5 en posición de cruz. El número de ordenaciones posibles es de: 11!  / 5!  6! = 11·10·9·8·7·6!  /  6!·5·4·3·2·1 = 462      

Ejercicio 10: Un apostador tiene el presentimiento de que en la próxima jornada futbolística (en un torneo nacional con 28 equipos) ganarán 9 equipos en casa, empatarán 3 y ganarán en campo contrario (de visitantes) 2. ¿Cuántas apuestas deberá realizar para asegurarse un pleno de 14?

Se trata de las permutaciones de 14 elementos, entre los cuales: - El elemento 1 aparece 9 veces (ganadores locales) - El elemento 2 aparece tres veces (empates) - El elemento 3 aparece 2 veces (ganadores de visitante).

Las permutaciones son:

  14!   / (9!·3!·2!) = 14·13·12·11·9!   =  20020          9!·6·2

COMBINACIONESCOMBINACIONES

• A). Combinaciones sin repeticiónA). Combinaciones sin repetición

Algunas veces estamos interesados Algunas veces estamos interesados en seleccionar sin orden específico r en seleccionar sin orden específico r objetos de un total n. A esa selección objetos de un total n. A esa selección se le denomina combinación Cn,m:se le denomina combinación Cn,m:

Cn,m = = Vn,m

     Pn

Miremos un ejemplo:Supongamos que se quiere escoger 3 ingenieros químicos dentro de un grupo de 8. Aclaremos además, que este procedimiento implica escoger al azar a estas 3 personas, sin ningún tipo de preferencia o condicionamiento por o hacia alguno de ellos. Entonces las formas de seleccionar a los 3 ingenieros de 8 posibles serán:

Hay 56 formas de seleccionar a los 3 ingenieros.

Ejemplo:En una frutería ofrecen entre sus productos distintas mezclas con zumos de frutas. El cliente puede seleccionar entre 6 zumos de frutas diferentes y obtener algún sabor en particular de la mezcla de dos zumos en partes iguales. ¿Entre cuántos sabores distintos puede el cliente hacer su pedido?

Vamos a representar cada zumo con las letras A, B, C, D, E y F. Al mezclar dos zumos y teniendo en cuenta que el orden no influye, se podrían obtener los siguientes sabores:

ABAB BCBC CDCD DEDE EFEF

ACAC BDBD CECE DFDF

ADAD BEBE CFCF

AEAE BFBF

AFAF

Es decir, 15 sabores diferentes.

Luego  C6,2 = 15¿Cómo podemos obtener este resultado matemáticamente?. Como vimos de la definición: Cn,m = Vn,m / PnDonde V6,2 =6! / (6-2)! =  6!/ 4! = 30y:   P2 = 2! = 2

De aquí:

 C6,2 = 30 / 2 = 15

¿Qué pasa si se deciden ofrecer sabores combinando 3 zumos de frutas? En este caso tendremos C6,3, aplicando la ecuación directamente tendremos:C6,3 =     6!   = 6·5·4·3! = 20 (6-3)!·3! 3!·6

Es decir 20 sabores diferentes.

Ejemplo:Como respuesta a un anuncio de trabajo se presentan 15 personas para cubrir tres cargos administrativos. ¿Cuántos grupos diferentes de tres personas se pueden formar?Teniendo en cuenta que para este caso en particular no influye el orden, se trata de una combinación C12,3:

¿Cuántos grupos diferentes de tres personas se pueden formar si se retiran tres de los aspirantes?

RESPUESTA: 220 grupos distintos

Ejemplo:Cuántos triángulos distintos se pueden formar con ocho puntos en el plano si nunca hay tres de ellos alineados?Para que dos triángulos sean distintos, se tienen que diferenciar al menos en un vértice. Por consiguiente, como no influye el orden en que se tomen los vértices, el número de triángulos distintos que se puede formar es C8,3.

EJERCICIOS EJERCICIOS PROPUESTOS:PROPUESTOS:• 1. 1.

a). Encontremos los arreglos diferentes que se a). Encontremos los arreglos diferentes que se pueden hacer con las letras de la palabra pueden hacer con las letras de la palabra PESOPESO

b). Permutaciones con la palabra b). Permutaciones con la palabra VACAVACA..

2. 2. • a).Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar a).Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar

con los 6 números {1,3,4,5,6,7,8}.con los 6 números {1,3,4,5,6,7,8}.• b). Si se admiten repeticiones: si este es el caso, b). Si se admiten repeticiones: si este es el caso,

entonces en cualquiera de las casillas puede ir entonces en cualquiera de las casillas puede ir cualquiera de los 7 números disponibles porque las cualquiera de los 7 números disponibles porque las repeticiones sí son aceptadas. repeticiones sí son aceptadas.

• c). Si se quiere que sean pares sin repeticiones: c). Si se quiere que sean pares sin repeticiones: • d). Si se quiere que sean pares con repeticiones:d). Si se quiere que sean pares con repeticiones:

1a).- Encontremos los arreglos diferentes que se pueden hacer con las letras de la palabra PESOEn este caso de trata de una permutación de cuatro letras diferentes, todas distinguibles entre sí. En este caso es como si tuviéramos 4 casillas disponibles para colocar en ellas las letras

44 33 22 11 = 24= 24

En la primera casilla se pueden colocar cualquiera de las 4 letras ya sea P,E,S, u O . Después de ubicada cualquiera de ellas, en la siguiente casilla tan sólo se puede ubicar una de las 3 letras restantes. Tras ubicada la segunda letra en la segunda casilla quedan disponibles 2 letras para la penúltima casilla y así en la última casilla sólo se puede colocar la última letra que queda libre. Luego multiplicando se obtiene el número de arreglos diferentes entre sí, en este caso 24.

1b).- Se tienen nuevamente cuatro letras pero esta vez dos de ellas son iguales y no se pueden distinguir entre sí, por lo tanto se deben descontar los arreglos que se vean iguales entre sí:

Si se hiciera el conteo de cada uno de ellos solo serían distinguibles entre sí, 12 .

2a).-  Si no se admiten repeticiones: para este ejemplo la forma de resolver el ejercicio es igual al planteado anteriormente: se tienen 6 números para colocar sólo en tres casillas. En una primera casilla puede ir cualquiera de los 7 números, en la segunda quedan cualquiera de 6 disponibles (no se admite repetir número) y en la última casilla cualquiera de 5

77 66 55 = 210 posibles números de tres dígitos = 210 posibles números de tres dígitos

Para aclarar un poco más el ejemplo basta entender que al no admitir repetición de números, entonces el número de 3 dígitos 355 no es válido según la restricción impuesta debido a que el 5 se repite y esto no se acepta.

2b).- Si se admiten repeticiones: si este es el caso, entonces en cualquiera de las casillas puede ir cualquiera de los 7 números disponibles porque las repeticiones sí son aceptadas.

77 77 77 = 343 números posibles incluyendo también los que = 343 números posibles incluyendo también los que tienen cifras repetidastienen cifras repetidas

2c).- Si se quiere que sean pares sin repeticiones: dentro de los números dados las posibilidades son que terminen en 4 en 6 o en 8, por lo tanto sólo hay 3 opciones para el último dígito y tras haber fijado este número sólo quedarían 6 números disponibles (no se admiten repeticiones) para la primera casilla y 5 para la segunda.

66 55 33 = 90 posibles números pares= 90 posibles números pares

2d).- Si se quiere que sean pares con repeticiones:Aún son 3 opciones para que sean pares {4,6,8}, pero ahora se admite que cualquiera de los 7 números disponibles se repita

77 77 33 = 147 posibles números pares= 147 posibles números pares

3. En una bolsa hay 6 pelotas blancas y 5 verdes.

3a)-. Encontremos primero el número de formas de sacar 4 pelotas de la bolsa si pueden ser de cualquiera de los dos colores.

3b).- Escoger 2 blancas y 2 verdes

3a).- En este caso se va a realizar una selección, en ella no interesa el orden y sólo se trata sacar las pelotas sin importar el color. Este es un ejercicio típico de combinación (selección) donde se busca sacar 4 pelotas de 11.Entonces:

Se pueden obtener 330 combinaciones.

3b).- Escoger 2 blancas y 2 verdes

hay 150 maneras de sacar 2 pelotas blancas y 2 verdes