permutaciones espaciales gaussianas y proceso puntual de
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Permutaciones espaciales Gaussianasy proceso puntual de bosones
Pablo A. FerrariUniversidad de Buenos Aires and Conicet
Picture by Daniel Ueltschi
Congreso Monteiro, Bahia Blanca 2019
En colaboracion con Ines Armendariz y Sergio Yuhjtman.
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Proceso binomial en un segmento entero
Fijamos un entero positivo L y una probabilidad p ∈ (0, 1).
A cada entero en [1, . . . , L] le asignamos independientemente valor:
1 con probabilidad p.
0 con probabilidad (1− p).
El numero de 1’s es Binomial(N, p).
El subconjunto χ ⊂ [1, . . . , L] ocupado por los 1’s es aleatorio:
Proceso puntual.
χ es una variable aleatoria en el espacio de subconjuntos de [1, . . . , L].
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Proceso binomial en la caja Λ = [1, L]× [1, L] ⊂ Z2
Lo mismo pero los N puntos se eligen uniformemente en una caja.
χ es el conjunto de puntos en la caja.
|χ| es el numero de puntos elegidos.
P (|χ|) = k) =(Nk
)pk(1− p)n−k.
Configurationes con k puntos tienen probabilidad pk(1− p)n−k.(Nk
)es el numero de configurationes con k puntos.
Para subconjuntos A,B ⊂ Λ las variables
|χ ∩A| y |χ ∩B| son independientes
|χ ∩A| ∼ Binomial( |A|L2 λ)
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Proceso de Poisson como lımite de Binomial
Hacemos LN ensayos en los instantes iN , i = 0, . . . , LN .
Rescalamos p = λ/N
χN conjunto de puntos con valor 1.
Cuenta:
P (|χN | = k) =
(LN
k
)( λN )k(1− λ
N )LN−k → e−λL (λL)k
k!
Cuando N es grande tenemos un numero de puntos Poisson(Lλ).
Las cantidades de puntos en regiones disjuntas son independientes:
|χ ∩A| y |χ ∩B| son independientes
|χ ∩A| ∼ Poisson(|A|λ)
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Definicion de proceso de Poisson en un espacio general
Sea (D,m) un espacio de medida.
Por ejemplo D = Rd y m(A) = volumen de A, medida de Lebesgue.
χ es un proceso de Poisson en subconjuntos localmente finitos de D sipara Ai de medida finita, vale
|χ ∩Ai| son independientes
|χ ∩Ai| ∼ Poisson(m(Ai))
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Ejemplo: proceso de Poisson de pares de puntos
D = (R2)2 (pares de puntos de R2).
m(A×B) =
∫A
∫BλJ(x, y)dydx
donde J(x, y) = Ce−‖x−y‖2/2 densidad de una Normal de media x
calculada en y.
Construccion: X un proceso de Poisson en R2 con tasa λ y para cadax ∈ X sea Gx una variable aleatoria con densidad J(0, y) independi-entes e independientes de X.
El proceso es
χ = {(x, x+Gx) : x ∈ X}
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Mientras tanto, Feynmann en 1953 estudia el Gas de Bose...
Picture by Daniel Ueltschi
Proceso de Poisson χ arriba (tiempo 0)
Mismo proceso χ abajo (tiempo t)
Brownianos que van desde los puntos de arriba a los puntos de abajoen tiempo t.
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Mientras tanto, Feynmann en 1953 estudia el Gas de Bose...
Picture by Daniel Ueltschi
Si los Brownianos son independientes, queda es una biyeccion aleatoria
σ : χ→ χ
.
El par (χ, σ) es una permutacion espacial aleatoria.
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Permutaciones espaciales aleatorias en conjuntos acotados
P ((χ, σ) ∈ A) =1
Z
∑σ∈SN
∫ΛN
1{(χ,σ)∈A} e−α
∑i ‖xi−xσ(i)‖2 dx1 . . . dxN .
(1)
χ = {x1, . . . , xN}
Z : factor de normalizacion
α > 0 temperatura.
SN := permutaciones de {1, . . . , N}.
Λ := conjunto acotado de Rd.
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Permutaciones espaciales aleatorias en conjuntos acotados
P ((χ, σ) ∈ A) =1
Z
∑σ∈SN
∫ΛN
1{(χ,σ)∈A} e−α
∑i ‖xi−xσ(i)‖2 dx1 . . . dxN .
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b bb
Realizacion tıpica de una permutacion espacial aleatoria en un con-junto acotado Λ.
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Trabajos precedentesPuntos fijos, permutaciones aleatoriasGandolfo, Ruiz, Ueltschi 2007 Points = ZdBiskup Ritchammer 2015 Points = Z or PP in d = 1 quenched.Armendariz, F., Groisman, Leonardi 2015 Subcritical Zd
Marginal de puntos: BosonesMacchi 1975Fichtner 1991Suto 1993 2002 Loop independence.Shirai Takahashi 2003 Subcritical.Tamura Ito 2006 2007 Supercritical: mixture of 2 processesEisenbaum 2008 Cox process, infinite divisibility
Marginal de permutaciones:Ginivre 1971 cycle distributionBenfatto Cassandro Merola Presutti 2005 macro cycle convergenceBetz Ueltschi 2006 2009 2010 2011 macro cycle Poisson-DirichtletElboim-Peled 2017 more Poisson-Dirichtlet
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Permutaciones espaciales infinitas en volumen infinito Rd
Vamos a construir
(χ, σ) con distribucion µρ
χ: proceso puntual)
σ : χ→ χ permutacion
tal que µρ is homogeneo y tiene densidad puntual ρ
µρ es Gibbs (compatible) con la permutacion espacial aleatoria envolumen finito (1)
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Biyeccion entre permutacion espacial y sopa de ciclos espaciales
(χ, σ) 7→ Γ, the set of loops given by
Γ : sopa de ciclos.
La densidad factoriza para χ finito:
e−α∑x∈χ ‖σ(x)−x‖2 =
∏γ∈σ e
−α∑x∈{γ} ‖γ(x)−x‖2
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b bb
Loops induced by a spacial random permutation in a box.
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Sopa de ciclos Gaussiana en Rd
D : Espacio de ciclos espaciales.
Medida de intensidad:
Qlsλ(d[x1, . . . , xk]) := λk
k
(απ
)d/2e−α
∑ki=1 ‖xi−γ(xi)‖2 dx1 . . . dxk,
Sopa de ciclos Gaussiana:
Γlsλ := Proceso de Poisson en D con intensidad Qls
λ ,
µlsλ := Distribucion de Γls
λ .
(Brownian loop soup. Lawler and Werner 2004, Lawler and TrujilloFerreras 2007, Le Jan 2017.)
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Densidad de puntos
ρ(λ) =(απ
)d/2∑k≥1
λk
kd/2
Densidad crıtica:
ρc := ρ(1) =(απ
)d/2∑k≥1
1
kd/2
{=∞ if d ≤ 2
<∞ if d ≥ 3.
d ≥ 3:
Sopa Gaussiana no puede tener densidad puntual mayor que ρc.
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Interlazos Gaussianos d ≥ 3.
W := Trayectorias doblemente infinitas.
W :={w : Z→ Rd, lim
n→±∞‖w(n)‖ =∞
}P x distribucion de paseo aleatorio empezando en x con incrementosGaussianos.
nA(w) := Numero de visitas a A:
Intensidad
QAg :=
∫AEx[g
nA
]dx.
Se extiende a una medida de intensidad infinita Q.
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Interlazos Gaussianos:
Γriρ := Proceso de Poisson en W con intensidad ρQ,
µriρ := Distribucion de Γri
ρ .
bb
b
b
b
b
b
b bb
b
( Sznitman 2010 Brownian interlacements)
Densidad puntual de los interlazos Gaussianos es ρ.
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Permutacion espacial Gaussiana a densidad ρ > 0:
(χ, σ)ρ := Γlsλ(ρ∧ρc) ∪ Γri
(ρ−ρc)+
Es una superposicion de realizaciones independientes de:
• Sopa de ciclos Gaussianos a densidad min{ρ, ρc}
• Interlazos Gaussianos a densidad (ρ− ρc)+.
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b bb
bb
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• Sopa de ciclos Gaussiana condicionada a n puntos en Λ tiene dis-tribucion (1).
• Permutacion espacial aleatoria es Gibbs (compatible) para las es-pecificaciones inducidas por (1).
• La marginal de puntos de la sopa de ciclos Gaussiana es un procesopermanental:
para λ ∈ (0, 1], νlsλ tiene correlaciones
ϕlsλ(x1, ..., xn) = perm (Kλ(xi, xj))
ni,j=1 ,
• Calculo explıcito de las correlaciones de los interlazos Gaussianos.
• Las marginales puntuales coinciden con las estudiadas anteriormentepor Tamura-Ito, Shirai-Takahashi y Eisenbaum
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Correlaciones
KxxKyyKzz
KxzKyyKzxKxzKyxKzyKxyKyzKzx
KxyKyxKzzKxxKyzKzy
Figure 1: Gaussian loop soup 3-point correlations. A directed lacebetween two points means that the points belong to the sameloop in the order indicated (relevant only for 3 or more pointsin the same loop). Point x is blue, y is red and z is green.
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β3
2βKxzKzy2βKxyKyz
2β2Kxz2β2Kyz2β2Kxy
2βKzxKxy
Figure 2: Gaussian random interlacements 3-point correlations. Eachsquare represents one set of the trajectory partition. Thepoint x is blue, y is red and z is green.
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Current problems.
Thermodynamic limit of canonical measure.
Gaussian random permutation in a box Λ converges to the infinitevolume GRP constructed here.
Extensions: Poisson process on Zd
Other interactions besides Gaussian.
Quantum case, when the Brownian trajectories from x to y interact.(BCMP 2005 treated the mean field case).
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Gracias!
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Conditioned Gaussian loop soup is Canonical permutation
HΛ,N := {Γ :∑
γ∈Γ|γ|1{γ}⊂Λ = N}
Recall:
µlsλ = loup soup;
GΛ,Ng =1
ZΛ,N
∑σ∈SN
∫ΛN
g(x, σ)e−H(x,σ)dx canonical
Proposition 1. For g depending on the cycles totally included in Λ:
µlsλ(g|HΛ,N ) = GΛ,Ng.
Proof. Density of loop soup is the product of intensity of its cycles.Same as density given by the permutation.
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Specifications Λ compact, (χ, σ) and (ζ, κ) spatial permutations.
Λ-compatibility: (χ, σ) ∼Λ (ζ, κ) if
χ \ Λ = ζ \ Λ,
σ(x) = κ(x) if {x, κ(x)} ⊂ ζ \ Λ,
σ−1(χ ∩ Λ) \ Λ = κ−1(ζ ∩ Λ) \ Λ,
σ(χ ∩ Λ) \ Λ = κ(ζ ∩ Λ) \ Λ.
Conditioned Hamiltonian:
HΛ((χ, σ)|(ζ, κ)) :=∑
x∈[χ∩Λ]∪[κ−1(ζ∩Λ)\Λ]
‖x− σ(x)‖2.
Specification: measure GΛ,λ(·|(ζ, κ)) with density
fΛ,λ((χ, σ)|(ζ, κ)) :=1
ZΛ,λ(ζ, κ)λ|χ∩Λ| exp
(− αHΛ((χ, σ)|(ζ, κ))
),
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Gaussian random permutation on Rd is Gibbs
Theorem 2 (AFY). For d ≥ 3 and λ ≤ 1 the loop soup measure
µlsλ is Gibbs for the specifications (GΛ,λ : Λ compact):
µlsλg =
∫dµls
λ(ζ, κ)GΛ,λ(g|(ζ, κ)) DLR
For all ρ ≥ ρc the measure
µls1 ∗ µri
ρ−ρc is Gibbs for the specifications (GΛ,1 : Λ compact). (2)
Corollary 3. Point and permutation marginals can be computed ex-plicitely.
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Point marginal of Gaussian loop soup is permanental
νlsλ := Point marginal of Gaussian loop soup µls
λ
Recall fugacity λ ∈ (0, 1] and
Kλ(x, y) :=∑k≥1
λk( απk
)d/2e−
αk‖x−y‖2 , x, y ∈ Rd
For λ ∈ (0, 1], νlsλ has correlations
ϕlsλ(x1, ..., xn) = perm (Kλ(xi, xj))
ni,j=1 ,
(Permanental point process).
AFY using the density of the Poisson process νlsλ .
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Point marginal of Gaussian interlacements
νriρ := Point marginal of Gaussian interlacements µri
ρ
Correlations:
ϕriρ (x1, . . . , xn) =
∑P∈Pn
∏I∈P
∑σ∈SI
Vρ(xσ(i1), . . . , xσ(i|I|)). (3)
Pn := partitions of {1, . . . , n} with nonempty sets,SI := permutations of set I,(i1, . . . , i|I|) arbitrary order of I and
Vρ(x1, . . . , x`) := ρK(x1, x2) . . .K(x`−1, x`)
AFY using the density of the Poisson process νriρ .
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Thermodynamic limit of Point marginal
Theorem (Shirai-Takahashi, Tamura-Ito). Fix density ρ > 0.
GpointΛ,|Λ|ρ := law of X-marginal with |Λ|ρ points.
GpointΛ,|Λ|ρ ⇒ νTI
ρ as Λ↗ Rd
Subcritical case. ρ ≤ ρc or d ≤ 2 Fichtner 1991; Tamura-Ito 2006.
νTIρ = νls
λ(ρ), the point marginal of loop soup at intensity λ(ρ).
Supercritical case. ρ > ρc and d ≥ 3 Tamura-Ito 2007.
νpointρ = νTI
ρc ∗ ν∞ρ−ρc . (4)
ν∞ρ = νriρ , the point marginal of Gaussian interlacements at ρ.
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Partial “Thermodynamic limit” of permutation marginal
GpermutΛ,|Λ|ρ := σ-marginal of GΛ,|Λ|ρ
GpermutΛ,ρ ⇒ νpermut
ρ for cycle-size distribution.
Macroscopic cycles: cycles with size bigger than ε|Λ|.
Subcritical case. ρ ≤ ρc or d = 1, 2
The expected fraction of points in macroscopic cycles is zero. BU 2011
Supercritical case. ρ > ρc or d ≥ 3
(a) expected fraction of points in macroscopic cycles is ρ−ρcρ .
(b) Rescaled macroscopic cycles have random lenght:Benfatto, Cassandro, Merola Presutti 2005.
Poisson-Dirichlet distribution (as uniform permut): Betz-Ueltschi 2011.
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Current problems.
Thermodynamic limit of canonical measure.
Gaussian random permutation in a box Λ converges to the infinitevolume GRP constructed here.
Extensions: Poisson process on Zd
Other interactions besides Gaussian.
Quantum case, when the Brownian trajectories from x to y interact.(BCMP 2005 treated the mean field case).
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References
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