totales permutaciones carrasco

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  • 7/25/2019 Totales Permutaciones Carrasco

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    Ejercicios de Permutaciones

    1. De cuntas maneras pueden hacer cola 7 amigos que estnesperando para entrar al cine? Tenemos que formar grupos con los 7amigos.

    Res. !"!

    #. Tenemos que formar grupos de elementos donde el primero se repite# $eces % el segundo & $ecesRes. 1!

    &. De cuntas maneras se pueden sentar 1! personas en una mesacircular?Res. &'#((!

    ". )untos n*meros distintos se pueden formar con las cifras

    #11"""(++?Res. 11#!!

    . En una parada de auto,*s estn esperando tres amigas % dos personasma%ores. De cuntas maneras pueden sentarse estas cinco personassi las tres amigas quieren estar siempre juntas para poder ha,lar entreellas?Res.&'

    '. De cuntas formas distintas se pueden sentar tres chicos % dos chicasen una -la de ,utacas de cine si no pueden estar juntos ni dos chicos ni

    dos chicas?)onsideremos la siguiente notacin/

    a. 0/ chicob. / chica

    Res.1#

    7. En una estanter2a ca,en 1( li,ros. 3a% 7 li,ros de lge,ra4 & de clculo% ' de pro,a,ilidad. De cuntas maneras se pueden colocar estos 1(li,ros? 56os li,ros del mismo tipo se consideran indistingui,les entre s2.Res. #+"!&7'!

    (. )on las cifras #4 #4 #4 &4 &4 &4 &4 "4 "8 cuntos n*meros de nue$e cifrasse pueden formar?Res. 1#'!

    +. De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo def*t,ol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posicindistinta que la porter2a?Res.1!9

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    1!. )untas maneras diferentes ha% de asignarlas posiciones de salida de ( autos que participan en una carrera defrmula uno? 5)onsidere que las posiciones de salida de los autosparticipantes en la carrera son dadas totalmente al a:ar ,. )untas

    maneras diferentes ha% de asignar los primeros tres premios de estacarrera de frmula uno?Res.a. "!4! manerasb. &&' manerasc.

    11. ;n $endedor quiere $isitar ciudades 5porejemplo l,acete4 isten cuando quitamos losque tienen todas sus cifras iguales?Res. (+1

    1&. En una carrera de maratn inter$ienen &espaoles4 # ingleses4 1 italiano4 & alemanes4 # franceses % 1 ,elga. =iun pdium consiste en & personas situadas en & puestos distintos4cuntos pdiums distintos pueden darse al aca,ar la carrera?Res. 1!

    1". )untos n*meros de cifras son di$isi,lespor ?Res. (!!! n*meros de cifras di$isi,les por .

    1. De cuntas formas podemos contestar une>amen de 1# preguntas de opcin m*ltiple4 si cada pregunta tiene alternati$as de respuesta8 pero no sa,emos cul es la com,inacincorrecta?4 cul es el n*mero m>imo de intentos que podemosreali:ar antes de encontrar las doce preguntas correctas?

    Res.

    1'. )untos n*meros de tres cifras conrepeticin se pueden formar usando todos los siguientes d2gitos 74 "4 (44 &?

    Res.

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    17. @ueremos a,rir un candado de com,inacinde " anillos4 cada uno marcado con los d2gitos 14 #4 &4 "4 8 pero nosa,emos cul es la com,inacin correcta.Res. '#"

    1(. =upongamos que tenemos #! nios de ungrupo de Preescolar % 1! sa,ores de helados disponi,les. De cuntasformas diferentes podemos ser$ir un helado a #! nios?

    Res.

    1+. En una urna ha% + ,olas4 & ,lancas4 # rojas %" negras. De cuantas formas distintas se pueden e>traer las ,olas dela urna?Res. 1#'!

    #!. En una competicin deporti$a participan "equipos de & atletas cada uno. De cuntas formas diferentes puedenllegar los equipos?Res. &'+'!!

    #1. El $endedor puede elegir la primera ciudadque $isitar de entre las . Elegir la segunda ciudad que $isitar deentre las " restantes. Para la tercera ciudad tiene & opciones. Para lacuarta4 #. A para la *ltima4 1.Res. 1#!

    ##. )untos n*meros de & cifras 5donde laprimera por la i:quierda no es un cero e>isten cuando quitamos losque tienen todas sus cifras iguales?Res. (+1

    #&. En una carrera de maratn inter$ienen &espaoles4 # ingleses4 1 italiano4 & alemanes4 # franceses % 1 ,elga. =iun pdium consiste en & personas situadas en & puestos distintos4cuntos pdiums distintos pueden darse al aca,ar la carrera?Res. 1!

    #". )untos n*meros de cifras son di$isi,lespor ?Res. 1(!!!

    #. De cuantas formas diferentes puedecontestar un alumno " preguntas de falso % $erdadero?Res. &'

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    #'. De cuantos formas distintas se puedencolocar ( personas en una -la para tomar una fotoRes. (

    #7. =e tiene ,anderas de diferentes colores )uantas seales

    diferentes se pueden en$iar usando las al mismo tiempo?Res. 1#!

    #(. De cuantas maneras se pueden repartirse &premios a un conjunto de ( personas4 suponiendo que cada una nopuede reci,ir ms de un premioRes. &&'

    #+. )uantos mensajes pueden en$iar con 1#,anderas utili:adas todas si son " amarillas & $erdes % # rojasRes. 1''!!

    &!. De un grupo de ' economistas + ingenieros se $a a formar unacomisin. En cuantas formas distintas pueden seleccionarse si lacomisin de,e estar formada por " personas % de,en ser economistas% # ingenierosRes. #1'!

    &1. De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas enuna -la de ,utacas?Res. "!!

    . )untos n*meros de cifras diferentes se puede formar con losd2gitos/ 14 #4 &4 "4 .Res. 1#!

    &&. )untos n*meros de tres cifras se puede formar con los d2gitos/!4 14 #4 &4 "4 ?Res. 1(!

    &". De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personasalrededor de una mesa redonda?Res. !"!

    &. )untas quinielas de una columna han de rellenarse paraasegurarse el acierto de los 1 resultados?Res. 1"&"(+!7

    &'. )on las letras de la pala,ra li,ro4 )untas ordenaciones distintasse pueden hacer que empiecen por $ocal?Res. "(

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    &7. )untos n*meros de cinco cifras distintas se pueden formar conlas cifras impares?Res. 1#!

    &(. En el palo de seales de un ,arco se pueden i:ar tres ,anderasrojas4 dos a:ules % cuatro $erdes. )untas seales distintas puedenindicarse con la colocacin de las nue$e ,anderas?Res. 1#'!

    &+. ;na mesa presidencial est formada por ocho personas4 decuantas formas distintas se pueden sentar4 si el presidente % elsecretario siempre $an juntos?Res. 1!!(!

    "!. =e ordenan en una -la ,olas rojas4 # ,olas ,lancas % & ,olas

    a:ules. =i las ,olas de igual color no se distinguen entre s24 de cuantasformas posi,les pueden ordenarse?Res. ##!

    "1. De cuantas formas diferentes se pueden cu,rir los puestos depresidente4 $icepresidente % tesorero de un clu, de fut,ol sa,iendo queha% 1# posi,les candidatos?Res. 1!

    "#. )uatro li,ros distintos de matemticas4 seis diferentes de f2sica %dos diferentes de qu2mica se colocan en un estante. De cuantas formas

    distintas es posi,le ordenarlos si/a. 6os li,ros de cada asignatura de,en estar todos juntos.b. =olamente los li,ros de matemticas de,en estar juntos.

    Res. a. #!7&'! ,. (7!+1#!

    "&. ;na helader2a tiene 1' sa,ores disponi,les. De cuantas formasse pueden pedir ' helados si/

    a. Bo se elige el mismo sa,or ms de una sola $e:?b. =e puede pedir un mismo sa,or hasta ' $eces?c. ;n sa,or no se puede pedir ms de $eces?d. 6a mitad de,e ser de fresa?

    Res. a. (!!( ,. 1'777#1' c. 17#('"+ d. &&7

    "". En un lenguaje de computacin un identi-cador consta de unaletra o de una letra seguida de hasta siete s2m,olos que pueden serletra o d2gitos. 5En este lenguaje son indistingui,les las letrasma%*sculas % min*sculas. 3a% #' letras % 1! d2gitos. )untosidenti-cadores diferentes se pueden utili:ar en el lenguaje de lacomputacin?

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    Res. 2.09571012

    ". En cualquier set de un partido de tenis el oponente C puede$encer al oponente A de siete maneras. 5)on el marcador ' ' sejuega un desempate/ tie ,reaer. El primer tenista que gane tres setso,tiene la $ictoria. De cuantas maneras se pueden registrar losresultados si/

    a. C gana en sets?b. Para ganar el partido se necesita jugar como m2nimo tres sets?

    Res. a. '7##( ,. 7"77"

    "'. )on las letras de la pala,ra FG0;=EF )untas pala,ras distintasse pueden formar?Res. 1#!

    "7. )on los d2gitos impares4 )uantos nueros de " cifras distintaspuede formar?Res. #"

    "(. @ueremos ordenar los 7 li,ros que tenemos/ " son deGatemticas4 # de 6egua % 1 de f2sica5los de una misma materia soniguales De cuantas formas podemos ordenarlos en el estante?Res. 1#'!

    "+. De cuntos partidos consta una liguilla formada por cuatroequipos?Res. 1#

    !. De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de unequipo de f*t,ol teniendo en cuenta que el portero no puede ocuparotra posicin distinta que la porter2a? Disponemos de 1! jugadores quepueden ocupar 1! posiciones distintas.Res. "&'#((!!

    1. =e ,usca las diferentes ternas 5 H & que se pueden formar conlos 1! atletas 5n H 1!Res. 7#!

    #. De cuntas maneras diferentes se podrn u,icar las cifras del 1al 7 en la siguiente -gura?

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    Res. ("!

    &. 6a mesa de in$itados en una ,oda est formada por ochoser$icios4 De cuntas formas distintas se pueden sentar los in$itados?Res. !"!

    ". En una asam,lea de accionistas4 ha% ' personas que hansolicitado hacer uso de la pala,ra En cuntas rdenes diferentespueden ha,lar4 si es que no se ha esta,lecido un orden de prioridades?Res. 7#!

    . En un proceso de manufactura ha% seis operaciones distintas4que se indican con 4 iste una secuencia-ja para las operaciones4 con la sal$edad de que de,e efectuarse alprincipio % I al -nal. )untas secuencias diferentes pueden ocurrir?Res. #"

    '. E>isten 7 candidatos para desempear & tareas4 si todos loscandidatos son igualmente e-cientes4 De cuntas maneras se puedenefectuar la asignacin?Res. #1!

    7. )untas maneras ha% de asignar las posiciones de juego de unequipo de ,squet,ol4 si el equipo consta de 1# integrantes?4 ,.)untas maneras ha% de asignar las posiciones de juego si una deellas solo puede ser ocupada por ;riel JosK Espar:a?4 c. )untasmaneras ha% de que se ocupen las posiciones de juego si es necesarioque en una de ellas este ;riel JosK Espar:a % en otra 0mar 6una?Res. +!"!

    (. 0,tenga todas las seales posi,les que se pueden disear conseis ,anderines4 dos de los cuales son rojos4 tres son $erdes % uno

    morado.Res. '!

    +. El n*mero uno inicial nos indica que e>iste una sola manera deseleccionar el n*mero dos que $a en la primera posicin del arreglo4mientras que el n*mero uno -nal nos indica que ha% una sola manerade seleccionar el n*mero tres que $a al -nal del arreglo a*n % cuandoha%a cuatro n*meros tres4 como estos son iguales al disear una

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    permutacin es indistinto cul n*mero tres se ponga4 %a que siemprese tendr el mismo arreglo % la e>presin intermedia nos indica todoslos arreglos posi,les a reali:ar con los n*meros restantes. De cuntasmaneras es posi,le plantar en una l2nea di$isoria de un terreno dosnogales4 cuatro man:anos % tres ciruelos? =olucin/

    Res. 1#'!

    '!. ;n equipo de f*t,ol soccer femenil participa en 1# juegos en unatemporada4 cuntas maneras ha% de que entre esos doce juegos enque participa4 o,tenga 7 $ictorias4 & empates % # juegos perdidos?Res. 7+#!

    '1. a )untas cla$es de acceso a una computadora ser posi,ledisear con los n*meros 14 14 14 #4 &4 &4 &4&?4 , cuntas de las cla$esanteriores empie:an por un n*mero uno seguido de un dos?4 ccuntas de las cla$es del inciso a empie:an por el n*mero dos %

    terminan por el n*mero tres?Res. a. #(! ,. 1 c. #!

    EJER)L)L0= RE=;E6T0=1. De cuntas maneras pueden hacer cola 7 amigos que estn

    esperando para entrar al cine? Tenemos que formar grupos con los 7

    amigos.

    =e $eri-ca que en cada grupo/=2 entran todos los elementos.=2 importa el orden.Bo se repiten los elementos.El n*mero de permutaciones sin repeticin de 7 elementos es/

    #. Tenemos que formar grupos de elementos donde el primero se repite# $eces % el segundo & $eces.

    Tenemos que formar grupos de elementos donde el primero se repite# $eces % el segundo & $eces. Tenemos que formar grupos de elementos donde el primero se repite # $eces % el segundo & $eces.=e $eri-ca que en cada grupo/=2 entran todos los elementos.=2 importa el orden.=2 se repiten los elementos.

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    El n*mero de permutaciones con repeticin de elementos donde unose repite dos $eces % otras tres $eces es/

    &. De cuntas maneras se pueden sentar 1! personas en una mesa

    circular?)omo las personas estn colocadas alrededor de una circunferencia4 sitrasladamos a todas las personas un asiento4 o,tenemos una posicinque es e>actamente igual que la anterior. =e trata entonces depermutaciones circulares de 1! elementos.

    ". )untos n*meros distintos se pueden formar con las cifras#11"""(++?

    Tenemos que formar grupos de 1! elementos donde el primero se

    repite dos $eces4 el segundo una $e:4 el tercero tres $eces4 el cuartouna $e:4 el quinto una $e: % el se>to dos $eces.=e $eri-ca que en cada grupo/=2 entran todos los elementos.=2 importa el orden.=2 se repiten los elementos.El n*mero de permutaciones con repeticin de 1! elementos dondetres de ellos se repiten una $e:4 dos de ellos se repiten dos $eces % unotres $eces es/

    . En una parada de auto,*s estn esperando tres amigas % dos personasma%ores. De cuntas maneras pueden sentarse estas cinco personassi las tres amigas quieren estar siempre juntas para poder ha,lar entreellas?

    6as tres amigas $an siempre juntas4 as2 que tenemos que formargrupos con estas tres amigas.=e $eri-ca que en cada grupo/=2 entran todos los elementos.

    =2 importa el orden.Bo se repiten los elementos.El n*mero de permutaciones sin repeticin de & elementos es/

    hora ha% que tener en cuenta la manera en la que se sientan las tresamigas % las dos personas ma%ores. =i consideramos al grupo de lasamigas como una unidad4 tenemos el grupo de las amigas4 una

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    persona ma%or % otra persona ma%or4 es decir4 & elementos. s2 quetenemos que $ol$er a hallar el n*mero de permutaciones sin repeticinde & elementos.

    '. De cuntas formas distintas se pueden sentar tres chicos % dos chicasen una -la de ,utacas de cine si no pueden estar juntos ni dos chicos nidos chicas?)onsideremos la siguiente notacin/

    a. 0/ chico,. / chica

    )omo no pueden sentarse ni dos chicos ni dos chicas juntos4 la maneraen la que se sentarn es/000Es decir4 la -la tiene que empe:ar % aca,ar por chico necesariamente.

    ;n chico puede ocupar entonces las posiciones 14 & % . Entonces parasa,er de cuantas maneras se pueden sentar los chicos tenemos queformar grupos con los & chicos.=e $eri-ca que en cada grupo/=2 entran todos los elementos.=2 importa el orden.Bo se repiten los elementos.El n*mero de permutaciones sin repeticin de & elementos es/

    De manera anloga4 las chicas pueden ocupar las posiciones # % ".

    Entonces para sa,er de cuntas maneras se pueden sentar las chicastenemos que formar grupos con las dos chicas.s2 que el n*mero de permutaciones sin repeticin de # elementos es/

    7. En una estanter2a ca,en 1( li,ros. 3a% 7 li,ros de lge,ra4 & de clculo% ' de pro,a,ilidad. De cuntas maneras se pueden colocar estos 1(li,ros? 56os li,ros del mismo tipo se consideran indistingui,les entre s2.

    Tenemos que formar grupos de 1( elementos donde uno se repite 7

    $eces4 otras & $eces % otras ' $eces. )omo no nos dicen nada acercade los dos restantes4 suponemos que ha% uno de cada tipo distintos alos tipos anteriores.=e $eri-ca que en cada grupo/=2 entran todos los elementos.=2 importa el orden.=2 se repiten los elementos.

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    El n*mero de permutaciones con repeticin de 1( elementos dondeuno se repite 7 $eces4 otro &4 otras ' $eces4 % los dos *ltimos una $e:es/

    (. )on las cifras #4 #4 #4 &4 &4 &4 &4 "4 "8 cuntos n*meros de nue$e cifrasse pueden formar?

    m H + a H & , H " c H # a M , M c H +=2 entran todos los elementos.=2 importa el orden.=2 se repiten los elementos.

    +. De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de

    f*t,ol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posicindistinta que la porter2a?

    Disponemos de 1! jugadores que pueden ocupar 1! posicionesdistintas.=2 entran todos los elementos.=2 importa el orden.Bo se repiten los elementos.

    1!. )untas maneras diferentes ha% de asignar

    las posiciones de salida de ( autos que participan en una carrera defrmula uno? 5)onsidere que las posiciones de salida de los autosparticipantes en la carrera son dadas totalmente al a:ar ,. )untasmaneras diferentes ha% de asignar los primeros tres premios de estacarrera de frmula uno?

    a n H (4 r H ((P(H (9 H ( > 7 > ' > > " >......> 1H "!4! maneras de asignar lasposiciones de salida

    , n H(4 r H &

    P 5(4& H (9 N 5( &9 H (9 N 9 H 5( > 7 > ' > >O>1N 5 > " > & >O >1H &&' maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera

    11. ;n $endedor quiere $isitar ciudades 5porejemplo l,acete4

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    El $endedor puede elegir la primera ciudad que $isitar de entre las .Elegir la segunda ciudad que $isitar de entre las " restantes. Para latercera ciudad tiene & opciones. Para la cuarta4 #. A para la *ltima4 1.s2 que puede ela,orar " & # 1 H 1#! rutas distintas.Podemos utili:ar tam,iKn la frmula de las permutaciones % decir que/

    1#. )untos n*meros de & cifras 5donde laprimera por la i:quierda no es un cero e>isten cuando quitamos losque tienen todas sus cifras iguales?

    Qamos a calcular cuntos n*meros e>isten de & cifras4 % luegorestaremos la cantidad de los que tienen las & cifras iguales.Podemos elegir la primera cifra de entre + posi,ilidades 514 #4 &4 "4 4 '474 (4 +. 6as siguientes dos cifras podemos elegirlas deentre 1! posi,ilidades cada una 5los 1! guarismos.

    s2 que e>isten + 1! 1! H +!! n*meros de & cifras.De Kstos4 un total de + tienen todas su cifras repetidas 51114 ###4 &&&4"""4 4 '''4 7774 (((4 +++. s2 que la cantidad de n*meros pedidaes de +!! + H (+1

    1&. En una carrera de maratn inter$ienen & espaoles4 # ingleses4 1italiano4 & alemanes4 # franceses % 1 ,elga. =i un pdium consiste en &personas situadas en & puestos distintos4 cuntos pdiums distintospueden darse al aca,ar la carrera?

    Tenemos un total de & M # M 1 M & M # M 1 H 1# corredor. El primer

    puesto lo puede alcan:ar cualquiera de los 1# corredores. El segundoest al alcance de 11 corredores4 % el tercero puede ser para cualquierade los 1! restantes.s2 que e>isten 1# 11 1! H 1! distintos pdiums posi,les.Tam,iKn podemos utili:ar la frmula de las $ariaciones sin repeticin

    1". )untos n*meros de cifras son di$isi,les por ?

    Para que un n*mero sea di$isi,le por cinco de,e aca,ar en ! o 4 as2

    que/Podemos elegir la primera cifra de entre + 514 #4 &4 "4 4 '4 74 (4 +4 si laprimera cifra es ! no cuenta como n*mero de cifras. Podemos elegirla segunda cifra de entre 1! 5nos $ale cualquier guarismo. Tam,iKnpodemos elegir de entre 1! la tercera % la cuarta cifra. 6a *ltima cifrasolo puede ser ! 4 lo que nos da solo # posi,ilidades.s2 que e>iste un total de + 1! 1! 1! # H 1(!!! n*meros de cifras di$isi,les por .

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    1. De cuntas formas podemos contestar une>amen de 1# preguntas de opcin m*ltiple4 si cada pregunta tiene alternati$as de respuesta8 pero no sa,emos cul es la com,inacincorrecta?4 cul es el n*mero m>imo de intentos que podemos

    reali:ar antes de encontrar las doce preguntas correctas?

    Para responder cada una de las preguntas del e>amen4 tenemos alternati$as4 % son 1# preguntas4 por lo que

    1'. )untos n*meros de tres cifras conrepeticin se pueden formar usando todos los siguientes d2gitos 74 "4 (44 &?

    )omo se pueden repetir los d2gitos % son de ellos4 podemos colocar

    en la posicin de las centenas cualquiera de los cinco % en la posicinde las decenas tam,iKn d2gitos al igual que en la posicin de lasunidades4 por lo tanto4 el resultado es

    17. @ueremos a,rir un candado de com,inacinde " anillos4 cada uno marcado con los d2gitos 14 #4 &4 "4 8 pero nosa,emos cul es la com,inacin correcta.

    En cada uno de los " anillos pueden ponerse los d2gitos. s2que n=5% r=44 por lo que el n*mero total de posiciones es/

    Pero como una de estas '# es la correcta4 el n*mero m>imo deincorrectos es '#".

    1(. =upongamos que tenemos #! nios de ungrupo de Preescolar % 1! sa,ores de helados disponi,les. De cuntasformas diferentes podemos ser$ir un helado a #! nios?

    l primer nio le podemos ser$ir uno de los 1! sa,ores4 al segundonio tam,iKn le podemos ser$ir los 1! sa,ores4 al tercero tam,iKn4 %

    as2 sucesi$amente. cada uno de los #! nios le podemos ser$ir de los1! sa,ores4 por lo que es una permutacin repetida.

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    1+. En una urna ha% + ,olas4 & ,lancas4 # rojas %" negras. De cuantas formas distintas se pueden e>traer las ,olas dela urna?

    l tener tres ,olas ,lancas4 a efectos de ordenacin se consideran

    iguales4 lo mismo ocurre con las rojas % las negras.6as posi,les ordenaciones son/

    #!. En una competicin deporti$a participan "equipos de & atletas cada uno. De cuntas formas diferentes puedenllegar los equipos?

    la hora de ela,orar la clasi-cacin por equipos los atletas seconsideran idKnticos.

    El n*mero de posi,les clasi-caciones es/

    #1. El $endedor puede elegir la primera ciudadque $isitar de entre las . Elegir la segunda ciudad que $isitar deentre las " restantes. Para la tercera ciudad tiene & opciones. Para lacuarta4 #. A para la *ltima4 1.

    s2 que puede ela,orar " & # 1 H 1#! rutas distintas.Podemos utili:ar tam,iKn la frmula de las permutaciones % decir que/

    ##. )untos n*meros de & cifras 5donde laprimera por la i:quierda no es un cero e>isten cuando quitamos losque tienen todas sus cifras iguales?

    Qamos a calcular cuntos n*meros e>isten de & cifras4 % luegorestaremos la cantidad de los que tienen las & cifras iguales.Podemos elegir la primera cifra de entre + posi,ilidades 514 #4 &4 "4 4 '474 (4 +. 6as siguientes dos cifras podemos elegirlas de entre 1!posi,ilidades cada una 5los 1! guarismos.s2 que e>isten + 1! 1! H +!! n*meros de & cifras.

    De Kstos4 un total de + tienen todas su cifras repetidas 51114 ###4 &&&4"""4 4 '''4 7774 (((4 +++. s2 que la cantidad de n*meros pedidaes de +!! + H (+1

    #&. En una carrera de maratn inter$ienen &espaoles4 # ingleses4 1 italiano4 & alemanes4 # franceses % 1 ,elga. =iun pdium consiste en & personas situadas en & puestos distintos4cuntos pdiums distintos pueden darse al aca,ar la carrera?

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    Tenemos un total de & M # M 1 M & M # M 1 H 1# corredores. El primerpuesto lo puede alcan:ar cualquiera de los 1# corredores. El segundoest al alcance de 11 corredores4 % el tercero puede ser para cualquierade los 1! restantes.

    s2 que e>isten 1# 11 1! H 1! distintos pdiums posi,les.Tam,iKn podemos utili:ar la frmula de las $ariaciones sin repeticin.

    #". )untos n*meros de cifras son di$isi,lespor ?

    Para que un n*mero sea di$isi,le por cinco de,e aca,ar en ! 4 as2que/

    Podemos elegir la primera cifra de entre + 514 #4 &4 "4 4 '4 74 (4 +4 si laprimera cifra es ! no cuenta como n*mero de cifras. Podemos elegirla segunda cifra de entre 1! 5nos $ale cualquier guarismo. Tam,iKnpodemos elegir de entre 1! la tercera % la cuarta cifra. 6a *ltima cifrasolo puede ser ! 4 lo que nos da solo # posi,ilidades.

    s2 que e>iste un total de+ 1! 1! 1! # H 1(!!!

    #. De cuantas formas diferentes puedecontestar un alumno " preguntas de falso % $erdadero?

    P 5"4"H 5".&.#.1 H &'

    #'. De cuantos formas distintas se puedencolocar ( personas en una -la para tomar una foto

    P 5(41H(

    #7. =e tiene ,anderas de diferentes colores

    )uantas seales diferentes se pueden en$iar usando las al mismotiempo?

    P 54H 5.".&.#.1H1#!#(. De cuantas maneras se pueden repartirse &

    premios a un conjunto de ( personas4 suponiendo que cada una nopuede reci,ir ms de un premio

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    16/23

    n5n5

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    P5=5 !=120

    &(. En el palo de seales de un ,arco se pueden i:ar tres ,anderasrojas4 dos a:ules % cuatro $erdes. )untas seales distintas puedenindicarse con la colocacin de las nue$e ,anderas?

    n=9Rojas=3azules=2verdes=2 ;rojas+azules+verdes=9

    deopciones= 9!

    3!4 !2!=1260 5Permutacin con repeticin

    &+. ;na mesa presidencial est formada por ocho personas4 decuantas formas distintas se pueden sentar4 si el presidente % elsecretario siempre $an juntos?

    Presidente % secretario siempre juntosP=

    P2

    P7

    =2!4 !=27654321=10080

    "!. =e ordenan en una -la ,olas rojas4 # ,olas ,lancas % & ,olasa:ules. =i las ,olas de igual color no se distinguen entre s24 de cuantasformas posi,les pueden ordenarse?

    n=10Rojas=5blancas=2azules=3 ;rojas+azules+verdes=9

    deopciones= 10 !

    5 !2 !3 !=2520 5Permutacin con repeticin

    "1. De cuantas formas diferentes se pueden cu,rir los puestos depresidente4 $icepresidente % tesorero de un clu, de fut,ol sa,iendo queha% 1# posi,les candidatos?

    V(12,3 )=12 !

    9 !=121110=1320

    "#. )uatro li,ros distintos de matemticas4 seis diferentes de f2sica %dos diferentes de qu2mica se colocan en un estante. De cuantas formasdistintas es posi,le ordenarlos si/

    a. 6os li,ros de cada asignatura de,en estar todos juntos.

    GGGG IIIIII @@

    &P

    4P

    6P

    2P

    3=4 !6 !2!3 !=207360

    ,. =olamente los li,ros de matemticas de,en estar juntos.GGGG I I I I I I @ @

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    " +P

    4P

    9=4 !9 !=8709120

    "&. ;na helader2a tiene 1' sa,ores disponi,les. De cuantas formasse pueden pedir ' helados si/a) Bo se elige el mismo sa,or ms de una sola $e:?b) =e puede pedir un mismo sa,or hasta ' $eces?c) ;n sa,or no se puede pedir ms de $eces?d) 6a mitad de,e ser de fresa?a 1' sa,ores8 ' helados

    (16,6 )= 16 !

    6 ! (166 ) !=8008

    , 1' sa,ores8 ' helados

    (16,6 )=166=16777216

    c 1 sa,ores en un helado8 1' sa,ores en helados

    deopciones=151

    165

    =15728649d& helados solo de fresa

    (15,3 )=153=3375

    "". En un lenguaje de computacin un identi-cador consta de unaletra o de una letra seguida de hasta siete s2m,olos que pueden serletra o d2gitos. 5En este lenguaje son indistingui,les las letrasma%*sculas % min*sculas. 3a% #' letras % 1! d2gitos. )untosidenti-cadores diferentes se pueden utili:ar en el lenguaje de lacomputacin?Espacio muestral H &'8 hasta 7 s2m,olos.

    26x=0

    7

    (36x )=2.09571012

    ". En cualquier set de un partido de tenis el oponente C puede$encer al oponente A de siete maneras. 5)on el marcador ' ' sejuega un desempate/ tie ,reaer. El primer tenista que gane tres setso,tiene la $ictoria. De cuantas maneras se pueden registrar losresultados si/

    a. C gana en sets?,. Para ganar el partido se necesita jugar como m2nimo tres sets?aU7 maneras de $encer8

    deopciones=475=67228

    ,Ugana en tres sets.

    deopciones=73+(374 )+(475 )=74774

    "'. )on las letras de la pala,ra VG0;=EW )untas pala,ras distintasse pueden formar?

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    P5=5 !=54321

    P5=120palarbras distintas

    "7. )on los d2gitos impares4 )uantos nueros de " cifras distintaspuede formar?

    Vmm=Pn=n !

    V44=P4=4 !

    P4=4 !=24 numeros distintos .

    "(. @ueremos ordenar los 7 li,ros que tenemos/ " son deGatemticas4 # de 6egua % 1 de f2sica 5los de una misma materia sonigualesDe cuantas formas podemos ordenarlos en el estante?

    Pna,b ,c=

    n!

    a !b !c !

    P94,3,2=

    7 !

    4 !2!1 !

    7654 !4 !3 !2 !

    210

    2=1260 formasde ordenar

    "+. De cuntos partidos consta una l igui lla formada porcuatro equipos?

    P42=43

    P42=12

    !. De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de unequipo de f*t,ol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar

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    otra posicin distinta que la porter2a? Disponemos de 1! jugadoresque pueden ocupar 1! posiciones distintas.

    P10=10 !

    P10=43628800

    1. =e ,usca las diferentes ternas 5 H & que se pueden formar conlos 1! atletas 5n H 1!

    P310=

    10 !

    7 !

    P310=

    7 !

    7 !8910

    P310=720

    #. De cuntas maneras diferentes se podrn u,icar las cifras del 1al 7 en la siguiente -gura?

    demaneras=75 !=720=840

    &. 6a mesa de in$itados en una ,oda est formada por ocho ser$iUcios4 De cuntas formas distintas se pueden sentar los in$itados?

    PC8=(81 ) !

    PC8=7 !

    PC8=5040

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    ". En una asam,lea de accionistas4 ha% ' personas que hansolicitado hacer uso de la pala,ra En cuntas rdenes diferentespueden ha,lar4 si es que no se ha esta,lecido un orden de prioridades?

    P6=6 !

    P6=654321

    P5=720

    . En un proceso de manufactura ha% seis operaciones distintas4que se indican con 4 iste una secuencia-ja para las operaciones4 con la sal$edad de que de,e efectuarse alprincipio % I al -nal. )untas secuencias diferentes pueden ocurrir?

    P4=4 !

    P4=4321

    P5=24

    '. E>isten 7 candidatos para desempear & tareas4 si todos loscandidatos son igualmente e-cientes4 De cuntas maneras se puedenefectuar la asignacin?

    P37= 7 !(73)!

    P3

    7=7 !

    4 !

    P3

    7=7654 !

    4 !

    P37

    =210

    7. )untas maneras ha% de asignar las posiciones de juego de unequipo de ,squet,ol4 si el equipo consta de 1# integrantes?4 ,.)untas maneras ha% de asignar las posiciones de juego si una deellas solo puede ser ocupada por ;riel JosK Espar:a?4 c. )untas

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    maneras ha% de que se ocupen las posiciones de juego si es necesarioque en una de ellas este ;riel JosK Espar:a % en otra 0mar 6una?

    P512=

    12!

    (125)!

    P5

    12=12 !

    7 !

    P5

    12=121110897 !

    7 !

    P512=95040

    (. 0,tenga todas las seales posi,les que se pueden disear conseis ,anderines4 dos de los cuales son rojos4 tres son $erdes % unomorado.n H ' ,anderines>1H # ,anderines rojos># H & ,anderines $erdes>&H 1 ,ander2n morado

    P62,3,1=

    6 !

    2 !3!1 !

    P62,3,1=60sealesdiferentes.

    +. El n*mero uno inicial nos indica que e>iste una sola manera deseleccionar el n*mero dos que $a en la primera posicin del arreglo4mientras que el n*mero uno -nal nos indica que ha% una sola manerade seleccionar el n*mero tres que $a al -nal del arreglo a*n % cuandoha%a cuatro n*meros tres4 como estos son iguales al disear unapermutacin es indistinto cul n*mero tres se ponga4 %a que siemprese tendr el mismo arreglo % la e>presin intermedia nos indica todos

    los arreglos posi,les a reali:ar con los n*meros restantes. De cuntasmaneras es posi,le plantar en una l2nea di$isoria de un terreno dosnogales4 cuatro man:anos % tres ciruelos? =olucin/n H + r,oles>1H # nogales>#H " man:anos>&H & ciruelos

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    23/23

    P9

    2,4,3= 9 !

    2 !4 !3 !

    P92,4,3=1260maneras de plantar los rboles

    '!. ;n equipo de f*t,ol soccer femenil participa en 1# juegos en unatemporada4 cuntas maneras ha% de que entre esos doce juegos enque participa4 o,tenga 7 $ictorias4 & empates % # juegos perdidos?

    =olucin/n H 1# juegos>1H 7 $ictorias># H & empates>&H # juegos perdidos

    P12

    7,3,2= 12!

    7 !3 !2!

    P127,3,2=7920manerasde ueen latemporada este

    '1. )untas cla$es de acceso a una computadora ser posi,ledisear con los n*meros 14 14 14 #4 &4 &4 &4&?4 , cuntas de las cla$esanteriores empie:an por un n*mero uno seguido de un dos?4 ccuntas de las cla$es del inciso a empie:an por el n*mero dos %terminan por el n*mero tres?a n H ( n*meros

    >1H & n*meros uno>#H 1 n*mero dos>&H " n*meros cuatro(P5&414"H(9N5&919"9 H#(! cla$es de acceso

    , n H ' 5se e>clu%e un n*mero uno % un dos >1H # n*meros uno >#H " n*meros tres 1 1 ' P5#4" H 1 1 5'9 N 5#9"9 H 1 cla$es de acceso c n H ' 5se e>clu%e un n*mero dos % un tres >1H & n*meros uno