FORMULAS PARA PERMUTACIONES

Una permutación de un numero de objetos es cualquier arreglo de estos objetos en un orden definido.

El principio de multiplicación proporciona un método para encontrar el numero de permutaciones de un conjunto.

El símbolo factorial, como se ha visto permite que se establezcan relaciones como la siguiente:

Se pueden arreglar “n” de objetos en una línea:

n(n-1)(n-2)(n-3)…. Formas diferentes.Los puntos indican que se comienza

multiplicando con un numero “n” hasta obtener 1.

Ejemplo 5.28Del conjunto E, del equipo de trabajo

descrito en el ejemplo 5.23, se eligieron un coordinador y un secretario. Ahí se determino que había 20 posibles elecciones para obtener a los representantes mediante

la expresión 5X4, es decir, 20 permutaciones del conjunto E tomando los

elementos de 2 en 2.

En cada uno de los 20 casos, la primera persona debe ocupar el puesto de coordinador y la segunda el de secretario.

Por ello, es importante el orden en el que se consideren las personas.

¿Cómo obtener la permutación?

SOLUCIÓN

Para resolver el problema es necesario que recordemos que la permutación de un conjunto de elementos es una ordenación especifica de algunos elementos del conjunto.

En este caso, la permutación de cinco

elementos tomados de dos en dos es 20.

Esta se representa en símbolos por la expresión:

5 P 2 = 20La expresión 5P2 se lee de la siguiente

manera:

La permutación de 5 elementos tomados de

2 en 2.

Complemento técnico: permutación

Con el propósito de obtener un valor numérico para la permutación se puede utilizar la siguiente formula:

nPr = ____n!____

(n – r) !

En el ejemplo anterior era n= 5 y r=2, por lo tanto.

5P2 = ___5!___ = 5x 4

(5-2)!

EJEMPLO 5.29¿Cuántos termas pueden formarse con las

26 letras del alfabeto si cada letra solo puede emplearse una vez?

SoluciónEn este caso, se desea determinar el

numero de permutaciones de 26 elementos tomados de 3 en 3. considerando la formula se tiene

26P3=26!/(26-3)!=26X25X24=15600

Ejemplo 5.30

De cuantas formas un lector puede seleccionar tres libro es, sin fijarse en el orden de un conjunto de 4 libros denotados por A,B,C y D?

Solución Se ha visto que el número de

permutaciones de 4 libros diferentes, tomando 3 a la vez es:

P=4 X 3 X 2 = 24En esta permuta el orden de los libros

cuenta.El problema es completante diferente

cuando deseamos hacer una selección de 3 libros, de 4 A,B,C y D.

Estas son solo 4 posibles selecciones :

ABC ABD ACD Y BCDComo puede verse ACB no esta en la lista ,pues

la selección de ACB es la misma que ABC ,puesto que el orden no cuenta.

Se llama combinación a la lista ABC,ABD ACD y BCD de 4 libros que se tomaron 3 a la vez .El numero total de combinaciones se denota por:

(4/3) se le conoce el numero de permutaciones de cuatro cosas tomando 3 a la vez .

La formula es (4/3) .4 ! =4X3X2X1 =4

3!(4-3)! (3X2X1)X1

La diferencia entre una permutación y una combinación es que en una permutación e orden cuenta,mienteas que n una combinación el orden no cuenta.

Relación entre una permutación y una recombinación.

Consideremos los cuatro libros A,B,C y D y la lista de las posibles selecciones de 3 libros de 4.Eb la tabla 5.2 se señala, en la primera columna ,la lista de los posibles resultados en una combinación .Pero con un nuevo arreglo ,se obtienen 6 permutaciones de cada una de las solucione de la columna 1 de la tabla 5.2

Tabla 5.2COMBINACIONES PERMUTACIONES

ABCABDACDBCD

ABC ABC ADB BAD BDA DABDBA ACB BAC BCA CAB CBAACD ADC CAD CDA DAC DCABCD BDC CBD CDB BDC DCB

Formula de la combinación de n cosas r a la vez, esto es, el numero de combinaciones de un conjunto de n objetos diferentes tomando r a la vez, es:

Ejemplo 5.31En una fuente de sodas hay una mesa con 5

sillas, llegan 3 personas y se sientan.Si las personas se sientan de manera

aleatoria, la lista de todos los ´posibles arreglos de 3 sillas ocupadas y 2 vacías es la combinación de 5 sillas, tomadas 3 a la vez.

Solución O O O V V

V

V

O

O

O

V= VACIOO=OCUPADO

ASIENTOS 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

O O O V V O V O O V

O O V O V V O O O V

O O V V O V O O V O

O V O V O V O V O O

O V V O O V V O O O