tema 2: el grupo de las permutaciones

Tema 2: El grupo de las permutaciones

Miguel Angel Olalla [email protected]

Departamento de AlgebraUniversidad de Sevilla

Octubre de 2014

Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: El grupo de las permutaciones Octubre de 2014 1 / 46

Contenido

1 Introduccion

2 Propiedades. El grupo de las permutaciones

3 Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn

4 Subgrupos de Sn


Introduccion

Permutaciones de un conjunto

Figura: Tras separar por segunda vez.

(1 2 3 4 5 6 7 8 91 8 6 4 2 9 7 5 3

)


Introduccion

Permutaciones de un conjunto

Definicion (Permutacion de un conjunto)

Sea X un conjunto, se llama permutacion de X a cualquier aplicacionbiyectiva σ : X → X .

Notacion

El conjunto de todas las permutaciones de un conjunto X se denominagrupo simetrico de X y se denota por

Sim(X ).

Veremos enseguida la razon de llamar “grupo” a este conjunto.


Propiedades. El grupo de las permutaciones

Propiedades

Proposicion

Sea X un conjunto, se verifican las siguientes propiedades:

1 La composicion de dos permutaciones cualesquiera de X es tambienuna permutacion de X .

2 La aplicacion identidad en X es una permutacion de X .

3 La inversa de cualquier permutacion de X es tambien unapermutacion de X .

4 La composicion de permutaciones verifica la propiedad asociativa.



Grupos

Definicion (Grupo)

Un grupo es un par (G , ?), donde G es un conjunto y ? es una operacioninterna y binaria sobre G verificando las siguentes propiedades:

1 La operacion es asociativa.

2 La operacion tiene elemento neutro. Es decir,

∃e ∈ G tal que ∀x ∈ G , x ? e = e ? x = x .

3 Cada elemento de G posee un simetrico. Es decir,

∀x ∈ G ∃x ′ ∈ G tal que x ? x ′ = x ′ ? x = e.

Si ademas la operacion es conmutativa entonces se dice que el grupo esabeliano o conmutativo.



Grupos

Ejemplo

Algunos grupos bien conocidos

1 Z, Q, R y C son grupos abelianos con la suma.

2 Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0} son grupos abelianoscon la multiplicacion.

3 El conjunto de las matrices n × n, con elementos en un cuerpo k ydeterminante no nulo, GL(n, k), es un grupo (no abeliano si n ≥ 2)con la multiplicacion de matrices.



El grupo simetrico

Teorema (El grupo simetrico)

El conjunto Sim(X ) de las permutaciones de un conjunto X , junto con lacomposicion de permutaciones, es un grupo.Ademas, si X tiene al menos tres elementos el grupo no es conmutativo.


Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones

Soporte

Definicion

Sean X un conjunto y σ una permutacion de Sim(X ). Llamamos soportede σ al conjunto

sop(σ) = {x ∈ X | σ(x) 6= x}.



Ciclos y trasposiciones

Definicion (Ciclos y trasposiciones)

Se dice que una permutacion σ de un conjunto X es un ciclo de longitudr o r-ciclo si es la identidad o si su soporte es un conjunto finito de r > 0elementos

sop(σ) = {i1, i2, . . . , ir}

donde σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . ., σ(ir−1) = ir y σ(ir ) = i1.Decimos que σ ∈ Sim(X ) es una trasposicion si es un ciclo de longitud 2.



Notacion

Notacion

En este caso el ciclo de escribira σ = (i1i2 . . . ir ), sabiendo que si x ∈ X noaparece en la lista entonces σ(x) = x .Siguiendo esta notacion podemos escribir el ciclo identidad como 1X = ().



Notacion

Observacion

Observese que con esta notacion tenemos diferentes representaciones deun mismo ciclo:

σ = (i1i2 . . . ir ) = (i2i3 . . . ir i1) = · · · = (ir i1 . . . ir−1).



Ejemplos

Ejemplo

Veamos algunos ejemplos:

1 La permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} definida por

σ :

(1 2 3 4 52 5 3 4 1

)es el 3-ciclo (1 2 5).

2 La permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} definida por

σ :

(1 2 3 4 5 6 7 86 1 5 8 7 2 3 4

)no es un ciclo. Sin embargo τ = (1 6 2) ◦ (3 5 7) ◦ (4 8) escomposicion de ciclos.



Permutaciones disjuntas

Definicion (Permutaciones disjuntas)

Dos permutaciones σ, τ ∈ Sim(X ) se dicen disjuntas si sus soportes sondisjuntos.

Teorema (Permutaciones disjuntas y conmutatividad)

Si σ, τ ∈ Sim(X ) son permutaciones disjuntas entonces

τσ = στ.

Notacion

En adelante omitiremos el sımbolo “◦” para la composicion depermutaciones, escribiremos τσ en lugar de τ ◦ σ.



Ejemplo

Hay permutaciones no disjuntas que sı conmutan.

Ejemplo

Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} y sean las permutaciones de Sim(X )

σ :

(1 2 3 4 53 4 5 2 1

)y τ :

(1 2 3 4 55 2 1 4 3

).

Ambas permutaciones no son disjuntas, pues sop(σ) ∩ sop(τ) = {1, 3, 5}.Sin embargo, no es difıcil comprobar que

τσ = στ :

(1 2 3 4 51 4 3 2 5

).



Orden de un elemento

Definicion (Orden de un elemento de un grupo)

Sea (G , ?) un grupo. Diremos que un elemento x ∈ G tiene orden finito siexisten dos enteros distintos r y s tales que x r = x s . En caso contrario, esdecir, si todas las potencias de x son distintas, se dira que x tiene ordeninfinito.




Observacion

Si x ∈ G tiene orden finito existen dos enteros r y s tales que x r = x s ,luego

x r−s = e.

Definicion (Orden finito de un elemento)

Sea (G , ?) un grupo. Diremos que un elemento x ∈ G de orden finito tieneorden m, y lo escribiremos o(x) = m si m es el menor entero positivo talque xm = e.




Proposicion

Sean G un grupo y x ∈ G . Se tienen las siguientes propiedades:

1 o(x) = 1⇐⇒ x = e.

2 Si x ∈ G tiene orden finito, entonces x ′ tambien y o(x) = o(x ′).

3 Si x ∈ G tiene orden infinito, x ′ tiene orden infinito.

4 Si G es finito, todo elemento de G tiene orden finito.

5 Si o(x) = m y xn = e, entonces m es un divisor de n.



Orden de un ciclo

Proposicion (Orden de un ciclo)

El orden de un ciclo de longitud m ≥ 1 es m.



Descomposicion en ciclos disjuntos

Teorema (Expresion en ciclos disjuntos)

Toda permutacion con soporte finito puede expresarse como producto deciclos disjuntos, ademas esta descomposicion es unica salvo el orden de losciclos.

Corolario

Sea X un conjunto con al menos dos elementos. Toda permutacion deSim(X ) con soporte finito puede expresarse como producto detrasposiciones.

Corolario

Toda permutacion con soporte finito tiene orden finito.


Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn El grupo Sn

Orden de un grupo

Definicion (Orden de un grupo)

Sea (G , ?) un grupo. Definimos su orden, que notaremos por |G |, como elcardinal del conjunto G .

Notacion

Sea el conjunto X = {1, 2, . . . , n}, en este caso notaremos al conjunto delas permutaciones de n elementos por Sn.

Teorema (Orden de Sn)

El orden del grupo Sn es |Sn| = n!.


Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn El grupo Sn

Descomposicion en ciclos disjuntos

Teorema (Descomposicion en ciclos disjuntos y trasposiciones)

Toda permutacion de Sn se descompone de manera unica, salvo orden,como producto conmutativo de ciclos disjuntos. Ademas toda permutacionde Sn se puede expresar como producto de trasposiciones, esta vez no demanera unica.


Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Explicacion del juego inicial

Separar

La separacion de cartas es la permutacion

σ :

(1 2 3 4 5 6 7 8 98 6 4 2 9 7 5 3 1

).

Que es σ = (183426759) un ciclo de longitud 9. Separar dos vecesseguidas es

σ2 = (132798465).

Y separar tres vecesσ3 = (147)(258)(369).



Cortar

Cortar una carta es la permutacion

κ :

(1 2 3 4 5 6 7 8 99 1 2 3 4 5 6 7 8

).

Que en forma de ciclo es κ = (198765432). Cortar dos cartas es igual acortar una carta y luego otra, es decir,

κ2 = (186429753).

Y cortar varias cartas es:

κ3 = (174)(285)(396), κ4 = (162738495), κ5 = (159483726),

κ6 = (147)(258)(369), κ7 = (135792468), κ8 = (123456789) y κ9 = ().



Primer hechizo magico

Separar tres veces seguidas es igual a cortar seis cartas.

σ3 = κ6.

Es aquı donde sı tiene influencia relativa el hecho de poder decidir quemonton ponemos encima del otro. En cualquier caso, hagamos la eleccionque hagamos, separar tres veces es igual a cortar varias cartas.



Segundo hechizo magico

Cortar y separar no es lo mismo que separar y cortar:

σκ = (285)(369),

κσ = (174)(258).

Si embargo, cortar cuatro cartas y separar es lo mismo que separar ydespues cortar una carta:

σκ4 = (183426759)(162738495) = (174)(258) = κσ.



Separar y cortar... cortar y separar

Por lo tanto tenemos ciertas reglas que nos permiten cambiar de posicion“separar” y “cortar”. En efecto:

κ2σ = κ(κσ) = κσκ4 = (κσ)κ4 = σκ4κ4 = σκ8.

κ3σ = κ(κ2σ) = κσκ8 = (κσ)κ8 = σκ4κ8 = σκ3.

κ4σ = κ(κ3σ) = κσκ3 = (κσ)κ3 = σκ4κ3 = σκ7.

κ5σ = · · · = σκ2.

κ6σ = · · · = σκ6.

κ7σ = · · · = σκ.

κ8σ = · · · = σκ5.



Explicacion del juego

(κrσ)(κqσ)(κpσ) = (σκr′)(σκq

′)(σκp

′) = σ(κr

′σ)(κq

′σ)κp

′=

= σ(σκr′′

)(σκq′′

)κp′

= σ2(κr′′σ)κq

′′+p′ = σ2(σκr′′′

)κq′′+p′ =

= σ3κr′′′+q′′+p′ = κ6κr

′′′+q′′+p′ = κ6+r ′′′+q′′+p′ .

Por tanto, despues de realizar el juego lo que nos queda es un simplecorte. Al mirar la primera carta sabemos cuantas cartas tenemos quecortar para dejar nuestras nueve cartas ordenadas como al principio.


Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares

Inversiones en una permutacion

Definicion (Inversiones en una permutacion)

Se dice que σ ∈ Sn tiene una inversion si para algun par de elementosi < j se tiene que σ(i) > σ(j).



Signo de una permutacion

Consideremos el polinomio

f (x1, . . . , xn) =n∏

i,j=1i<j

(xi − xj).

Si σ ∈ Sn, entonces σ(f ) = σ(f (x1, x2, . . . , xn)) = f (xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n)).



Signo de una permutacion

Definicion (Signo de una permutacion)

Llamamos signo de la permutacion σ al valor

signo(σ) =σ(f )

f.

La funcion signo(σ) toma valores 1 o −1 segun si el numero de inversionesde σ es par o impar. Diremos que σ es una permutacion par sisigno(σ) = 1 y una permutacion impar si signo(σ) = −1.



Contando inversiones

Ejemplo

¿Es la permutacion

σ :

(1 2 3 4 5 6 73 7 2 5 4 1 6

)par o impar?

Hay 11 cruzamientos, luego signo(σ) = −1 y σ es una permutacion impar.



Signo de una trasposicion

Proposicion

Las trasposiciones son siempre impares.



Propiedades de signo

Proposicion

Sean σ, τ ∈ Sn. Se satisfacen las siguientes propiedades:

1 signo(στ) = signo(σ) signo(τ).

2 signo(σ−1) = signo(σ).

Corolario

Una permutacion σ ∈ Sn es par (impar) si y solo si es producto de unnumero par (impar) de trasposiciones.



Formula de Cauchy

Teorema (Formula de Cauchy)

Sea σ ∈ Sn el producto de c ciclos disjuntos entonces

signo(σ) = (−1)m−c ,

siendo m = #(sop(σ)) el numero de elementos del soporte de σ.


Subgrupos de Sn

Subgrupo

Definicion (Subgrupo)

Sea (G , ?) un grupo. Un subconjunto H de G se dice que es un subgrupode (G , ?) si (H, ?) es un grupo. Es decir, que efectivamente un subgrupoes un grupo dentro de otro grupo con la misma operacion.


Subgrupos de Sn

Ejemplos

Ejemplo

Vimos que los conjuntos de numeros Z,Q,R y C son grupos abelianos conla suma. De hecho es una cadena de subgrupos Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Lo mismo ocurre con los grupos Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} yC∗ = C \ {0} con la multiplicacion. Es tambien una cadena de subgruposQ∗ ⊂ R∗ ⊂ C∗.

Sabemos que GL(n, k), el conjunto de las matrices invertibles n × n conelementos en un cuerpo k , es un grupo con la multiplicacion de matrices.Sea U el subconjunto de GL(n, k) formado por las matrices condeterminante igual a 1. Comprobemos que U es un subgrupo de GL(n, k).


Subgrupos de Sn

Ejemplos

Ejemplo

El subconjunto de S4, C = {(), (1234), (13)(24), (1432)}, es un subgrupocon la composicion de permutaciones. Veamos la tabla de multiplicar delos elementos de C :

◦ () (1234) (13)(24) (1432)

() () (1234) (13)(24) (1432)

(1234) (1234) (13)(24) (1432) ()

(13)(24) (13)(24) (1432) () (1234)

(1432) (1432) () (1234) (13)(24)

Se da ası la circunstancia de que un subgrupo de un grupo noconmutativo, como S4, puede ser conmutativo.


Subgrupos de Sn

Subgrupos

Observacion

Si G es un grupo y H ⊂ G es finito, para comprobar que es subgrupo essuficiente hacer la tabla de multiplicar y razonar como en el ejemploanterior.

Si H es infinito hay que demostrar que la operacion es interna entreelementos de H, que el elemento neutro pertenece a H y que el simetricode cada elemento de H esta tambien en H.

En cualquier caso, la propiedad asociativa se “hereda” de G .


Subgrupos de Sn

Subgrupos

El siguiente resultado nos permite “ahorrarnos” verificar alguna propiedada la hora de demostrar que un subconjunto es subgrupo.

Proposicion

Sean (G , ?) un grupo y H ⊂ G un subconjunto. Las condiciones siguientesson equivalentes:

1 H es un subgrupo de (G , ?).

2 H es no vacıo y se satisface la siguiente propiedad

∀x , y ∈ H, x ? y ′ ∈ H.


Subgrupos de Sn

El grupo alternado

Teorema (El grupo alternado An)

El conjunto An de las permutaciones pares de Sn es un subgrupo llamadogrupo alternado.

Proposicion

Sea H ∈ Sn un subgrupo que tiene alguna permutacion impar, entonces Hposee tantas permutaciones pares como impares.

Corolario

Si n ≥ 2, el numero de elementos de An es |An| = n!/2, es decir, haytantas permutaciones pares como impares.


Subgrupos de Sn

Subgrupo generado

Teorema (Subgrupo generado)

Sean (G , ?) un grupo y A ⊂ G un subconjunto no vacıo. SeaA′ = {x ′ ∈ G | x ∈ A} el conjunto de los elementos simetricos a los de A.Entonces el conjunto que se obtiene al operar sucesiones arbitrarias deelementos de A y A′,

〈A〉 = {x1 ? · · · ? xn | xi ∈ A ∪ A′, n ≥ 1},

es un subgrupo de G llamado subgrupo generado por A.


Subgrupos de Sn

Subgrupo generado

Ejemplo

En el grupo S4 calcular todos los elementos del subgrupoH = 〈(124), (12)〉. Hay que ir operando los elementos (123), (12) y susinversos, adjuntando a la lista los nuevos elementos que se obtengan.

◦ () (124) (142) (12) (14) (24)

() () (124) (142) (12) (14) (24)

(124) (124) (142) () (14) (24) (12)

(142) (142) () (124) (24) (12) (14)

(12) (12) (24) (14) () (142) (124)

(14) (14) (12) (24) (124) () (142)

(24) (24) (14) (12) (142) (124) ()

En este caso H = {(), (124), (142), (12), (14), (24)}.


Subgrupos de Sn

Grupo cıclico

Definicion (Grupo cıclico)

Se dice que un grupo G es cıclico si existe a ∈ G tal que

G = 〈a〉 = 〈{a}〉 = {am | m ∈ Z}.

Ejemplo

El grupo S3 no es cıclico, pues no existe ninguna permutacion que generetodo el grupo. El grupo alternado A3 = {(), (123), (132)} es cıclico, puesA3 = 〈(123)〉 = 〈(132)〉.

De hecho, para comprobar si un grupo finito de orden m es o no cıclico,hay que verificar si existe o no en el grupo algun elemento de orden m. EnS3 no hay elementos de orden 6 mientras que en A3 hay un par deelementos de orden 3,


Subgrupos de Sn El teorema de Lagrange

Una relacion de equivalencia

Definicion

Sean G un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Sobre G definimos la relacion ∼H

de la manera siguiente: Dados x , y ∈ G ,

x ∼H y ⇔ x ′ ? y ∈ H.

Proposicion

En las condiciones de la definicion anterior, las relacion ∼H es deequivalencia.

Proposicion

Sean G un grupo y x ∈ G . El conjunto x ? H = {x ? h | h ∈ H} es la clasede equivalencia de x para la relacion ∼H .


Subgrupos de Sn El teorema de Lagrange

Teorema de Lagrange

Teorema (Teorema de Lagrange)

Sea G un grupo finito, H ⊂ G un subgrupo. Entonces |H| divide a |G |.

Corolario

Sea G un grupo finito y sea x ∈ G , entonces el orden de x divide al ordende G .

Corolario

Si G es un grupo de orden un numero primo, entonces G es cıclico.


tema 2: el grupo de las permutaciones

Documents