arreglos y permutaciones (1)

7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)

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Arreglos y

Permutaciones

Integrantes:Daniela valosCamila BadillaNicols ChvezConsuelo ContrerasAlan Henrquez

Pablo obles

Curso:! a"o medio B

Profesor:

Daniel #ontoya

8

8!

V=

5

5!


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$%& 'n alumno tiene que elegir un(ramo) entre * idiomas y + asignaturas

cient,cas% -De cuantas .ormas lo /uedehacer0

* idiomas 1 + asignaturas cient,cas 2 3 .ormas di.erentes

Princi/io sumativo


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!%&4n el liceo 5an Antonio se dan lascomo actividades de libre elecci6n789tbol: A;edrez: maneras que se /uedeelegir%


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?%& 'n alumno debe elegir un @dioma y unaasignatura cient,ca del siguiente cuadro7

@diomas Asignatura

Cient,ca%@ngles% #atemtica8rancs 8sicaAlemn umica

Biologa%Determine de cuantas maneras un alumno

/uede elegir% ?%$%&'n idioma% ?%!%&'na asignatura cient,ca% ?%?%& 'n idioma y una asignatura cient,ca% ?%*%&'n idioma o una asignatura cient,ca%


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?%$2 se suman los idiomas y nos daun total ? .ormas de elegir un idioma

?%!2 se suman las asig% Cient,cas ynos da un total de * .ormas de elegiruna asignatura cient,ca

?%?2 se multi/lica los idiomas y lasasig% Cient,cas 2 ? * 2 $! ?%*2 se suman los idiomas y las

asig% Cient,cas 2 ? 1 * 2


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4.- Considere la palabraMURCIELAGOMURCIELAGO. Determineel nmero de palabras que se pueden obtener si:

4.1.- Se toman todas las letras. 4.2.- Se toman 5 letras. 4.3.- Se toman 6 letras y la palabra debe empezar

con la letra A. 4.4.- Se toman 6 letras y la palabra debe terminar

en O. 4.5.- Se toman todas las letras y la palabraempiece con A y termine en O.

4.6.- Que las letras centrales sean A y E en eseorden!.


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4.1-

10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 10! = 3.628.800

4.2- 10x9x8x7x6x5 =30240

4.3- 9x8x7x6x5 =15120 4.4- 9x8x7x6x5 =15120

4.5- 8x7x6x5x4x3x2x1

8! = 40.320

4.6- 8x7x6x5x4x3x2x1

8! = 40.320

En este problema podemos decir que de la palabra"#$C%E&A'O se pueden (ormar di)ersas palabras con respecto

de la misma. En este problema se puede notar la utilizaci*n del +bic,omatem-tico E/.:012!

$E 3 F > + * ? ! $

2 o/ciones/osibles

$E 3 F > +

A 3 F > +3 F > + G

A F > + * ? ! $ G

F > + A G * ? ! $


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4;ercicio +

+%& Considere la /alabra (A#P@G)% Determine el n9merode /alabras que se /ueden obtener: si7

+%$%&5e toman todas las letras% +%!%&5e toman todas las letras y la /alabra debe em/ezar

con P%

+%?%& 5e toman todas las letras y la !I y /en9ltima letra dela /alabra sean A y G res/ectivamente% +%*%& 5e tomen todas las letras J la segunda letra sea una

vocal% +%+%& 5e tomen todas las letras y la letra central sea una

vocal% +%>%& ue tenga + letras y que em/iece con A +%%& ue tenga + letras y que termine en G +%F%&ue tenga > letras y que termine en #% +%3%& ue tenga * letras y que no contenga vocales%


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es/uestas +%$%& K2 L>L+L*L?L!L$2+%E*E

4/licaci6n7 5e toman todas las letras y hay un totalde +%E*E /osibilidades o arreglos /osibles%

+%!%& M&$K2 >K2 >L+L*L?L!L$2 !E

4/licaci6n7 Hay una letra ,;a% +%?%& M&!K2 +K2 +L*L?L!L$2 $!E 4/licaci6n7 4isten /osibilidades a las cuales se le restan las que estn ,;as% +%*%& >KL?2 !%$>E

4/licaci6n7 4n la !O casilla se encuentran ? /osibilidades: /ues hay ? vocales:de;ando el resto de las /osibilidades >K

+%+%& >KL?2 !%$>E4/licaci6n7 4n la casilla del medio hay ? o/ciones que corres/onden a las ? vocales

de la /alabra: de;ando /ara las otras casillas >K o/ciones% +%>%& M&$KM&+K2 >K!K2 >L+L*L?L!K!K2 >L+L*L?2 ?>E 4/licaci6n7 Al .actorial de la di.erencia entre las o/ciones se le restan el dato ,;o: y

se divide /or el .actorial de las di.erencia de las o/ciones con la de las + que serntomadas en cuenta%

+%%& M&$KM&+K2 >K!K2 >L+L*L?L!K!K2 >L+L*L?2 ?>E 4/licaci6n7 5e realiza el mismo /rocedimiento del e;ercicio anterior% +%F%& M&$KM&>K2 >K$2 >K2 >L+L*L?L!L$2 !E

4/licaci6n7 Al .actorial de la di.erencia entre las o/ciones y el dato ,;o se divide /orel .actorial de la di.erencia entre las o/ciones y las > tomadas en cuenta% +%3%& *K2 *L?L!L$2 !* 4/licaci6n7 Como s6lo se tomaran en cuenta * o/ciones se calcula el .actorial de *

/ara sacar el resultado%


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>%& Considere la /alabra (CA#@NG)% Determine elnumero de /alabras que se /ueden obtener si7

>%$%& 5e toman todas las letras%

>%!%& 5e toman cuatro de las letras% >%?%&5e toman todas las letras y la /alabraem/iece con #%

>%*%& 5e tomen todas las letras y la /alabratermine con N%

>%+%& 5e tomen ? letras y la /alabra em/iece conuna vocal y las dos siguientes sean consonantesdistintas%

>%>%&De tres letras: y que las tres seanconsonantes distintas%


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>%$2 >K 2 >+*?!$2 !E >%!2 >+*?2 ?>E

>%?2 #+*?!$2 $!E >%*2 +*?!$n2 $!E >%+2 ??!2$F >%>2 ?!$2 >


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%& Considere la /alabra CA#AADA%-Cuntas /alabras ms se /ueden

.ormar si se toman todas las letras0F FK F>+*K

2 2

2F>+2 * *K *K

$>FE2 se /ueden .ormar $>FE/alabras


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4;ercicio numero F%

F%$ con la /alabra #atemtica PM$E:!:?:! $EK QQQQQQQQQQ 2 $+$%!EE !K?K!K F%! se toman + de las letras $E $EK QQQQQQ = 30.240 + +K F%? Con seis letras y eventualmente se /odran

re/etir

$E $EK 7 QQQQQQQ = 3.628.800 ?K


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3%&Considere el nI ?*+F%Cuantos n9meros se/ueden obtener7

Para las ? /reguntas del e;ercicio se usa el /rinci/iomulti/licativo MN #

4n los ! /rimeros no se re/iten las letras /or lo que sevan agotando las o/ciones

&Con los * dgitos sin re/etici6n% 7 *K 2 !*&Con los ? dgitos sin re/etici6n% 7 *?! 2 !*

4n esta /regunta se /ueden re/etir todas la letras

&Con los * dgitos con re/etici6n% 7 **** 2 !+>


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$E%& Considere el nI ?>%*F%Cuantosn9meros se /ueden obtener7

$E%$&De tres dgitos sin re/etici6n% $E%!%&De cuatro dgitos con re/etici6n

$E%$2 +*?2 >E $E%!2++++2 >!+


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$$%$%&-Cuntas /alabras ms se /uedenobtener con las letras de la /alabra CH@R4NG0

$$%!%& -Cuntas /alabras ms se /ueden

hacer con las letras de la /alabra CGRGCGRG0

$$%$2 MK&$2 >+*?!$2 +E*E&$2+E?3

$$%!2 F FK

2 QQQQ 2 420 MF:!:*:! !K *K !K


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$!%& 5e tienen + libros distintos dematemtica: ? de umica y ! de 8sica%

De cuantas maneras se /uede escoger7 $!%$%& 'n libro del total de ellos% $!%!%& 'no de cada materia%

$!%$2 se suman el total de libros eso nosda $E$!%!2 +?!!2 >E


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$!%& 5i en el /roblema anterior loslibros de cada materia son iguales %

-De cuantas maneras se /uedenordenar todos los libros en unestante /uestos en ,la0

$E $EK

2 2 !+!E M+:?:! +K?K!K


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$?%& Para una .unci6n eisten cuatroti/os distintos de entradas de galera: ydos ti/os de entradas distintos de/latea%

$?%$%& -De cuantas maneras distintas se/uede elegir una entrada0

$?%!%& -'na de galera y una de Platea0

$?%!%& -Dos de galera y una de /latea0

? l di i


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$?%$2 se suman las distintasentradas eso nos da un total de >

$?%!2 se multi/lican las entradas yeso nos da un total de F entradas

$?%?2 dos de galera 2 *?2 $! yuna de /latea ! 2 $!! 2 !*


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$*%&5u/onga ahora que en el/roblema anterior las entradas de

galera son todas iguales y las de/latea son tambin todas iguales%Calcule de cuantas maneras se/ueden ordenar las entradas /uestasen una mesa y una sobre otra%

> >K

2 2 $+

M*:! *K!K

$+ 4 t t h > . d


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$+%& 4n una estantera hay > .rascos demermeladas hechos de distinta .ruta y !.rascos de ca. de distinto ti/o% Calcule de

cuantas maneras se /uede elegir% $+%$%& 'n .rasco del total% $+%!%& 'n .rasco de mermelada y otro de

ca.%

$+%$2 se suman los .rascos demermeladas y de ca. y nos da un total de

F2 > 1 ! 2 F

$+%!2 se multi/lican los .rascos y nos da

un total de $! 2 > ! 2 $!


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$>%& Considere las + celdas: de ellas unasombreada% y considere adems el n9mero*!F3E%Determine de cuantas maneras se

/uede anotar7 $>%$%& 'no de los dgitos de numero en la

celda sombreada% $>%!%& 'no de los dgitos del numero en

una de las celdas no sombreadas% $>%?%& 4l F en una de las celdas no

sombreada%

$>%*%& 5i los n9meros se /ueden volver aelegir una vez elegido el anterior %Decuantas maneras se /uede anotar uno delos dgitos en la celda sombreada%


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$>%$ 2 se ve la cantidad de dgitos y se

multi/lican /or $ 2 >$ 2 > $>%!2 se ve la cantidad de casillas y la

cantidad de n9meros y se multi/lican2>+*?2 ?>E

$>%?2 se cuenta la cantidad de casillasno sombreadas2 *

$>%*2 se multi/lican la cantidad den9meros /or la cantidad de casillassombreadas 2 >$2>

6 5 4 3

$ it l ; i i t i


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$%& e/ita el e;ercicio anteriorconsiderando ahora el n9mero7 *!F!%

$%$2se ve la cantidad de dgitos y semulti/lican /or $2 +$2+

$%!2 se ve la cantidad de n9meros yla cantidad de casillas y se

multi/lican2 +*?!2 2 $!E $%?2 se multi/lica la cantidad de

n9meros /or la cantidad de casillassombreadas 2 +$2+

5 4 3 2


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$F%&'n estudiante tiene que elegir unidioma y una asignatura entre +

idiomas y * asignaturas% Hallar eln9mero de .ormas distintas en que/uede hacerlo%

& 5e multi/lica la cantidad de idiomas yla cantidad de asignaturas2 + * 2!E

$3 -de cuantas .ormas se /ueden


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$3%& -de cuantas .ormas se /uedenre/etir dos /remios entre $E /ersonas:sabiendo que ambos /remios0

$3%$%& no se /ueden conceder a unamisma /ersona

$3%!%& se /ueden conceder a la misma

/ersona% $3%$2 si un /remio se le concede a una

/ersona 2 $E y el otro a $E 2 $EE:

/ero se le resta $E /or los /remiosre/etido eso nos da un total de 3E $3%!2 se multi/lican las $E /ersonas

con /remios 2$E $E 2 $EE

!E -de cuantas maneras se /ueden


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!E%& -de cuantas maneras se /uedenintroducir + cartas en ? buzones0

se multi/lican los + cartas con lostres buzones /ero de manera de usartodas las /osibilidades de introducir+ cartas en ? buzones2 +*?!

?! 2eso nos da un total de !*? .ormas deintroducir + cartas en ? buzones


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!$ Hay * candidatos /ara /residente de un club: > /aravice/residente y ! /ara secretario% Calcule de cuantasmaneras se /ueden ocu/ar estos tres /uestos%

* Candidatos /ara /residente% > Candidatos /ara vice/residente%

! Candidatos /ara secretarios%

> S * S ! 2 *F

es/uesta 7 4stos tres /uestos se /ueden ocu/ar de *Fmaneras di.erentes%


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!!!! -De cuntas maneras-De cuntas maneras

distintas se /ueden ordenar +distintas se /ueden ordenar +/ersonas en una ,la0/ersonas en una ,la0

Desarrollo . -Desarrollo . - + S * S ? S ! S $ 2+ S * S ? S ! S $ 2

$!E$!E

RespuestaRespuesta 7 5e /ueden ordenar de $!E7 5e /ueden ordenar de $!Emaneras distintas%maneras distintas%


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!?%& -De cuantas maneras se /uedencolocar libros en una estantera0

K2 >+*?!$2 +E*E


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4;ercicio !*4;ercicio !*

Hallar el n9mero de .ormas en que se /uedenHallar el n9mero de .ormas en que se /uedencolocar en una ,la * cuadros de una colecci6ncolocar en una ,la * cuadros de una colecci6nque se com/one de $! cuadros%que se com/one de $! cuadros%

12 11 10 9

5oluci6n7 $!L$$L$EL3 2 $$FFE5oluci6n7 $!L$$L$EL3 2 $$FFE


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esoluci6n e;ercicio nI !+ de lagua7

4;ercicio7

-De cuantas manerasse /ueden colocar enuna ,la + hombres y *mu;eres de .orma queestas ocu/en loslugares /ares0

5oluci6n75e realiza multi/licando la .actorial de

hombres y mu;eres7*M#KM.actorial +MHK M.actorial*K+K2*?!$+*?!$2!FFE

5e soluciona as /or la sim/le raz6n deque como dice el e;ercicio lasmu;eres ocu/an lugares /aresentonces los hombres los im/ares ycom/letamos las (casillas) con lacantidad de .ormas que de las cualesse /ueden ordenar7

H#H#H#H#H + * * ? ? ! ! $ $J luego multi/licamos /ara ,nalizar : es

una .orma de e/licar loanteriormente dicho Mal /rinci/io


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!>% -De cuantas maneras se /ueden colocar cuadros di.erentes en una ,la sabiendo que unode ellos debe estar:

!>%$%%%& en el centro0!>%! -en uno de los etremos0

Desarrollo7Desarrollo7!>%$ P M&$2 >K!>%$ P M&$2 >K

>S+S*S?S!S$2 !E>S+S*S?S!S$2 !E!>%! P M &$ 2 >K S !K!>%! P M &$ 2 >K S !K M> S+S *S ? S!S$ S M!S $ 2$**EM> S+S *S ? S!S$ S M!S $ 2$**E


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!%& -De cuantas maneras /uedencolocarse 3 libros di.erentes sobre

una estantera de .orma que7 !%$%& -=res de ellos estn siem/re;untos0

!%!%& -=res de ellos no estn nuncatodos ;untos0 !%$2

2 >+*?!$?!2 *?!E !%!2

1 2 3 4 5 6 7 8 9


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e;ercicios7

!F% Hallar el n9mero de /alabras di.erentes de + letras que se /ueden .ormarcon las letras de la /alabra (em/u;ado)%

!F%$%& 5i cada letra no se em/lea ms de una vez7

7FTT>T+T*2>!E L5e toman + letras de las F letras de la /alabra

(em/u;ado) Msin re/etirse las letras!F%!%& 5i cada letra se /uede re/etir7

7FTFTFTFTF2 ?!>F

Lse toman + letras de la /alabra em/u;ado M F letras con la/osibilidad de re/etirse


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29.- Hallar los nmeros que se pueden formar con 4 de los dgitos:29.- Hallar los nmeros que se pueden formar con 4 de los dgitos:1, 2, 3, 4,51, 2, 3, 4,5

29.1.- i estos no se pueden repetir en cada nmero29.1.- i estos no se pueden repetir en cada nmero29.2.- i se pueden repetir29.2.- i se pueden repetir29.3.-i los dgitos no se pueden repetir.29.3.-i los dgitos no se pueden repetir.29.3.1.- !"u#ntos nmeros de 4 cifras se pueden formar,29.3.1.- !"u#ntos nmeros de 4 cifras se pueden formar,empe$ando por 2%empe$ando por 2%29.3.2.- !&erminando en 25%29.3.2.- !&erminando en 25%

!3%$ + dgitos: * casillas: sinre/etir

Q +KQ 2 +K 2 +K 2 $!EArreglos

M+&*K $K

+ !* ?!3%! + dgitos: * casillas: conre/etici6n de dgitos

+ 2 >!+

++++*

!3%?%$ + dgitos: un ,;o Mel ! en *casillas: sin re/etir

PM+&$ 2 P* 2 *K2 !*

!?*!

!3%?%! + dgitos: * casillas y terminacon ! y + ,;os

PM+&! 2 P? 2 ?K2 >

? ! +!

?E &Hallar cuantos n9meros se /ueden


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?E%&Hallar cuantos n9meros se /ueden.ormar con los $E dgitos :E:$:!:?:*:+:>::F:3 %

$+%$%&5i cada uno de ellos se em/lea solouna vez

$+%&!%& -Cuantos de ellos son im/ares0%

5e multi/lican los n9meros /ero se leresta el cero al /rinci/io que no se tomaen cuenta y que PM3&!2K2 +E*E

J se divide /or dos /ara saber cantos sonim/ares eso nos da un total de !+!E

?$%& Hallar los n9meros de + ci.ras que se /ueden


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?$% Hallar los n9meros de + ci.ras que se /ueden.ormar con los dgitos: $: !:?UUUUU%3%:/udiendo estos re/etirse

?$%!%& -Cuantos de estos n9meros0 ?$%!%$%&-4m/iezan /or *E0

?$%!%!%& -5on /ares0 ?$%!%?%& -5on divisibles /or +0

?$%! se multi/lican los 3 dgitos y nos da un total de3E%EEE

?$%!%$2 se divide /or 3E2 eso nos da un total de$EEE n9meros que em/iezan /or *E

?$%!%!2 se divide /or dos y nos da un total de*+EEE?$%!%?2 se divide /or + y nos da un total de $F%EEE


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?!%& -Cuantos n9meroscom/rendidos entre ?%EEE y +%EEE :

se /ueden .ormar con los dgitos :E:$:!:?:*:+:>0: si cada uno se /uedere/etir en cada numero%

5e multi/lica los n9meros y se venlos que estn entre esos n9meros y

eso nos da >K2 !*E n9meros


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4;ercicio ??5e /ueden tomar distintas /osibilidades7

RevantandoU$ banderola7 +

! banderolas7 +L*

? banderolas7 +L*L?* banderolas7 +L*L?L!

+ banderolas7 +L*L?L!L$

Ahora nosotros a/licamos /rinci/io sumativo7

+ 1 M+L* 1 M+L*L? 1 +K 1 +K 2 325


43/48

?*%& -De cuantas maneras se /uedensentar + /ersonas alrededor de unamesa redonda0

se /onen +K2 +*?!$E $!E


44/48

?+&%-De cuantas maneras se /uedensentar F /ersonas alrededor de unamesa redonda de modo que dos de

ellas estn siem/re ;untas0Ja que es redonda se usa Mn&$K 2 K2

$**E


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?>%& -De cuantas maneras se /uedencolocar * mu;eres y * hombres

alrededor de una mesa redonda demanera que cada mu;er este entredos hombres0

ya que es redonda se /onenintercalados es decir H#H#H#H# 2**??!!$$2 y como es

redonda se usa Mn&$K2 **??2$**


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?%& -Cuantas /ulseras se /uedenhacer ensartando en un hilo 3

cuentas de colores di.erentes0

5e usa el /rinci/io sumativo y se

multi/lica los 3 colores de cuenta dela /ulsera eso es igual a 3K2 !E$>E.ormas de /ulseras di.erentes


47/48

?F%& -De cuantas maneras se /uedenelegir + idiomas de entre F de ellos0

F FK 2 &&&&&&&&&&2 eso nos da un total de

+>+ +K


48/48

?3%& -Cuantas diagonales tiene unoctgono0

5e multi/lican los ochos lados deloctgono y se dividen /or dos ya que

se re/iten la mitad y eso nos da untotal de !E diagonales

arreglos y permutaciones (1)

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