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Capítulo 10 Combinaciones y permutaciones Los juegos de azar y las combinaciones ¿Has jugado alguna vez póquer? Por si aún no lo has hecho, aquí hay una pequeña explicación de cómo ha- cerlo: El póquer se juega con un juego de naipes, el cual consta de 52 cartas, la candad de jugadores puede variar. El juego comienza con la reparción de cartas, 5 a cada jugador. A estas 5 cartas se les llama “mano”. Una vez se han repardo las cartas, los jugadores pueden observarlas. El objevo principal del juego es obtener la mejor combinación posible de cartas, es decir la mejor mano. De acuerdo a las reglas establecidas del póquer, podemos saber qué manos (combinaciones) son válidas y la jerarquía de ellas, veamos el siguiente cuadro que explica esto: Este cuadro nos muestra diferentes combinaciones de póquer (se mues- tran en orden jerárquico de arriba hacia abajo), junto a cada combina- ción aparece la probabilidad de obtener dicha mano. Como puedes ver, mientras menos probable sea obtener una mano, su jerarquía es mayor. Por esta misma razón, una regla adicional del póquer, es que una vez se han repardo las cartas, se le da a cada jugador la opción de cambiar una de sus cartas para aumentar sus probabilidades de éxito. De hecho, dependiendo de cómo se haya decidido jugar, este procedimiento se repite una o dos veces más, aumentando así las probabilidades de ob- tener una mano favorable para ganar el juego. Recuerda que todos los jugadores enen la misma probabilidad de mejorar su mano, por lo que siempre se está jugando con probabilidades. Sin embargo, es la decisión de cada jugador cambiar o no una carta y qué carta cambiar, por lo que en dicho caso cuenta mucho el conocimiento del jugador en cuanto al manejo de combinaciones y probabilidades. Todo esto nos indica que podemos saber qué tan probable es obtener una mano de póquer, y esto lo podemos saber gracias a la combinacio- nes y permutaciones en matemácas. Las combinaciones no se limitan únicamente al póquer, pueden aplicarse a muchos otros casos en los que se usan disntos valores combinados para determinar un resulta- do, como por ejemplo en un candado que ene clave numérica, o por ejemplo las claves personales que ulizas para acceder a tus cuentas de correo o de redes sociales en internet. Pensemos en el ejemplo más trivial y luego lo podremos expandir al mismo juego de póquer para ver cómo funciona éste.

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Page 1: Capítulo 10 Combinaciones y permutaciones...Capítulo 10 Combinaciones y permutaciones Los juegos de azar y las combinaciones ¿Has jugado alguna vez póquer? Por si aún no lo has

Capítulo 10 Combinaciones y permutaciones

Los juegos de azar y las combinaciones

¿Has jugado alguna vez póquer? Por si aún no lo has hecho, aquí hay una pequeña explicación de cómo ha-cerlo:

El póquer se juega con un juego de naipes, el cual consta de 52 cartas, la cantidad de jugadores puede variar. El juego comienza con la repartición de cartas, 5 a cada jugador. A estas 5 cartas se les llama “mano”. Una vez se han repartido las cartas, los jugadores pueden observarlas. El objetivo principal del juego es obtener la mejor combinación posible de cartas, es decir la mejor mano. De acuerdo a las reglas establecidas del póquer, podemos saber qué manos (combinaciones) son válidas y la jerarquía de ellas, veamos el siguiente cuadro que explica esto:

Este cuadro nos muestra diferentes combinaciones de póquer (se mues-tran en orden jerárquico de arriba hacia abajo), junto a cada combina-ción aparece la probabilidad de obtener dicha mano. Como puedes ver, mientras menos probable sea obtener una mano, su jerarquía es mayor. Por esta misma razón, una regla adicional del póquer, es que una vez se han repartido las cartas, se le da a cada jugador la opción de cambiar una de sus cartas para aumentar sus probabilidades de éxito. De hecho, dependiendo de cómo se haya decidido jugar, este procedimiento se repite una o dos veces más, aumentando así las probabilidades de ob-tener una mano favorable para ganar el juego. Recuerda que todos los jugadores tienen la misma probabilidad de mejorar su mano, por lo que siempre se está jugando con probabilidades. Sin embargo, es la decisión de cada jugador cambiar o no una carta y qué carta cambiar, por lo que en dicho caso cuenta mucho el conocimiento del jugador en cuanto al manejo de combinaciones y probabilidades.

Todo esto nos indica que podemos saber qué tan probable es obtener una mano de póquer, y esto lo podemos saber gracias a la combinacio-nes y permutaciones en matemáticas. Las combinaciones no se limitan únicamente al póquer, pueden aplicarse a muchos otros casos en los que se usan distintos valores combinados para determinar un resulta-do, como por ejemplo en un candado que tiene clave numérica, o por ejemplo las claves personales que utilizas para acceder a tus cuentas de correo o de redes sociales en internet. Pensemos en el ejemplo más trivial y luego lo podremos expandir al mismo juego de póquer para ver cómo funciona éste.

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Imagina un candado que utiliza números para abrirse, como el siguiente:

ción): A y B. ¿Qué combinaciones puedo obtener cuando no repito ninguno de ellos? Observa:

ABBA

Esto es muy fácil obtener, pues hay únicamente 2 elementos y no se pueden repetir. Ahora imagina este caso con tres elementos, A, B, C.

ABCACBBACBCACABCBA

Como puedes ver, en vez de 2 combinaciones, ahora tenemos 6. ¿Cómo llegamos matemáticamen-te a este resultado? Observa la si-guiente ilustración:

1

2

1

1

1

2

3

Para hacerlo gráficamente vea-mos la siguiente figura, tenemos rectángulos de dos colores, gris y amarillo.

Al combinarlos sin repetición de alguno de ellos encontramos que tenemos dos combinaciones en total, observa que tenemos 2 rec-tángulos o posiciones que deja-mos fijas, mientras que varía una de ellas, esto se expresa entonces como 2×1.

Observa la figura a continuación:

Tenemos rectángulos de tres co-lores: amarillo, gris y rojo. Pode-mos observar que al combinarlos sin repeticiones de ninguno de los rectángulos, obtenemos 6 distin-tas combinaciones y tenemos un arreglo más que en el caso ante-rior; es decir, que cuando tenemos tres posiciones fijas, nos quedan dos elementos para variar, y lue-go éstas se vuelven posiciones fijas para las cuales tenemos un elemento que podemos variar, lo cual se expresa matemáticamen-te como 3×2×1.

Ahora supón que este canda-do en vez de tener tres espacios para lograr la clave correcta, úni-camente tuviese dos espacios; observa que cada espacio consta de 10 números (0, 1,2…9). Cuen-ta mentalmente cuántas combi-naciones pueden haber para que el candado pueda abrirse. ¿Ya lo has hecho? Si contaste 100 distin-tas combinaciones lo hiciste co-rrectamente. En este caso es fácil, pues basta con combinar cada di-gito desde el cero hasta el 9 con cada uno de los dígitos desde el cero hasta el 9: 00,01,02…09, 10,11, 12,…20,21,…30,31,…hasta 90,91,92, 99.

Pero, ¿qué sucede cuando hay 10 espacios? Como se vuelve com-plejo el procedimiento, existe uno ordenado para saber cuántas combinaciones existen y no hace falta contar la cantidad de com-binaciones para saberlo. Veamos bien cómo se realiza esto, simplifi-quemos aún un poco más el caso. Supongamos que tengo dos ele-mentos que combinar (sin repeti-

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¿Puedes imaginar cuántas combinaciones tendríamos si tuviésemos 4 distintos elementos? Si pensaste en 4×3×2×1, tu idea es correcta. De hecho este concepto se expande a cualquier cantidad de elementos y en matemáticas se llama factorial. El factorial de un número n se define como el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a n. El factorial se denota como n!. Formalmente, la definición es:

, donde Π es el símbolo que indica producto.

Por ejemplo, el factorial de 5 es: 5!= 5×4×3×2×1 = 120

Observa qué tan rápido incrementan las combinaciones, de hecho el factorial de 9 es 362,880 y el de 20 es ¡2,432,902,008,176,640,000! Con esta información puedes imaginar qué tan difícil es obtener la mano más alta en un juego de póquer (una flor imperial). Pronto veremos cómo encontrar esto. Por ahora recordemos el ejemplo del candado con dos o tres números. ¿Recuerdas que el candado de 2 posiciones tiene 100 combinaciones posibles? Esto también es parte de una combinación y la podemos encontrar numéricamente. En este caso, la única variante con respecto a los últimos ejemplos que vimos, por ejemplo en el que com-binamos A y B, es que tenemos la posibilidad de repetir elementos, a la vez que tenemos más elementos con la misma cantidad de posiciones. Llamémosle a la cantidad de posiciones r, y a la cantidad de elementos n. En ese caso la cantidad total de combinaciones está dada por:

nr

Así por ejemplo en el caso de 2 posiciones y 10 números,, la cantidad total de combinaciones está dada por:

102= 100

Con esta información, se vuelve más fácil calcular la cantidad de combi-naciones del candado que tiene tres posiciones, sin tener que contarlas mentalmente, pues está dada por:

103= 1000

A un arreglo en el cual el orden es importante, y por ende indica más posibles combinaciones, se le llama permutación. Por lo que estos can-dados que observamos en los ejemplos son llamados candados de per-mutación.

En este capítulo aprenderemos precisamente sobre combinaciones y permutaciones y sus aplicaciones.

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permutaciones10.1

Una permutación de un conjunto finito de ele-mentos se entiende como cada una de las

posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto e interesa el lugar que ocupa cada uno. Existen dos tipos de permu-taciones:

1. En las que se permite repetir elementos del conjunto : por ejemplo la clave del candado de tres espacios de arriba, po-dría ser 2-2-2.

2. Sin repetición: por ejemplo los tres mejores alumnos de tu clase. Uno no puede ser el primero y el segundo al mis-mo tiempo.

Una combinación es un arreglo de los elementos de un conjunto fini-to en el que el orden no importa. La principal diferencia entre una combinación y una permutación, es que el orden es importante en las permutaciones y en las combi-naciones no lo es. Así por ejemplo, podría decir que mi ensalada es una combinación de lechuga, to-mate, pimientos y cebolla (a la vez podría decir que es una combina-ción de cebolla, tomate, pimientos y lechuga), pero no podría decir que la combinación de mi candado es 2-6-1, si éste se abre con 1-2-6; es decir que estoy utilizando los mismos elementos pero en distin-to orden, y esto no es así cuando se trata de una permutación.

En este sentido, una permutación de un conjunto finito S, de n ele-mentos, es equivalente a la bi-yección de {1,2…n} a S, en el cual, cualquier elemento i puede ser mapeado al i-ésimo elemento de la secuencia. En este sentido, exis-ten n! permutaciones de S.

En términos sencillos, podemos decir que : el número de permu-taciones que tiene un conjunto finito de elementos es igual al fac-torial de ese número de elemen-tos. Así por ejemplo, el conjunto S1={1,2,3}, tiene las permutacio-nes: {1,2,3}, {1,3,2},{2,1,3},{2,3,1},{3,1,2},{3,2,1}, y el total de permu-taciones está dado por

3!=6

Recordemos En las permuta-ciones el orden es importante (es decir que cada arreglo aún si tie-ne los mismos elementos pero en diferente orden se contabiliza), mientras que en las combinacio-nes el orden no es importante (es decir que dos arreglos con los mis-mos elementos en diferente orden cuentan como uno solo).

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A. Permutaciones con repeti-ción

Éste es el caso que vimos en la in-troducción que se refería al can-dado de permutación en el que la cantidad de permutaciones que se puede obtener depende de la can-tidad de elementos disponibles para cada posición, y de la canti-dad de posiciones. Llamemos de nuevo a la cantidad de elementos n, y a la cantidad de posiciones r, entonces vemos que:

Es decir que tenemos n cantidad de elementos en cada posición, por lo que la cantidad de permu-taciones, será n×n×n…multiplica-do tantas veces como posiciones existan, en este caso, como pode-mos ver en la ilustración, r veces. Entonces, de forma general pode-mos decir que la fórmula para el número de permutaciones con re-petición es:

nr

B. Permutaciones sin repetición

Las permutaciones sin repetición también las vimos en la introduc-ción. En este caso las permutacio-nes no pueden ser tantas como cuando hay repetición, pues a cada espacio de la permutación le corresponde un único elemen-to para cada arreglo del resto ele-mentos de dicha permutación, en vez de n posibles elementos. Re-cuerda nuestra ilustración de la in-troducción con rectángulos de co-lores al respecto de este concep-to. Otra forma de visualizar esta idea es la siguiente, tomemos el conjunto de letras {C,R,O,S,A}, en este caso los conjuntos {O,S,C,A,R} y {R,O,S,C,A} son permutaciones del conjunto mencionado, pero la permutación {S,A,R,R,O} no lo es pues en ella se repite un ele-mento (al menos no es una per-mutación sin repetición como las que estamos tratando ahora). Con esta idea en mente, tomemos un conjunto S de tamaño n, para éste, existen n posibles permutaciones cuando dejamos fijo el primer ele-mento o variamos únicamente el primer elemento. Después de ha-ber utilizado el primer elemento, nos quedan n-1 permutaciones disponibles, después de haber uti-lizado el segundo nos quedan n-2, y así sucesivamente hasta llegar a la última permutación, 1. Por eso, cuando estamos tomando todos los elementos de un conjunto, el

Ejercicio:

Basado en las permutacio-nes con repetición, calcu-la cuántas posibles claves podría tener un sitio de internet si te piden utilizar 8 caracteres. Te piden que la clave tenga letras y nú-meros. Asume que hay 26 letras en el teclado y 10 dí-gitos posibles (del 0 al 9).

Respuesta:

368= 2,821,109,907,456

Si probásemos manual-mente cada clave posible, asumiendo que nos toma 5 segundos ingresar la cla-ve, enviarla y recibir una notificación del sitio que la clave es incorrecta, ¡nos tomaría 447,284 años pro-bar todas las claves!

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cálculo del número de permuta-ciones posibles se realiza de la si-guiente manera:

n(n-1)(n-2)(n-3)…1

En notación formal, se escribe n! y como vimos antes, a esto se le llama el factorial de un número.

Le llamaremos a la cantidad de elementos de la permutación r y recordemos que la cantidad de elementos del conjunto es n, como estamos utilizando en este caso todos los elementos del con-junto, en este caso r=n. Entonces la notación para la cantidad de permutaciones es la siguiente:

nPr =n!, cuando r=n

Ahora pensemos en otro caso, ¿qué pasa cuando r≠n? Es decir, ¿qué sucede si quiero saber cuán-tas permutaciones de tamaño 2 tiene un conjunto de tamaño 5? Por ejemplo, para nuestro con-junto {C,R,O,S,A}, el subconjunto {R,O,S,A} es una permutación de tamaño 4, el subconjunto {R,A,S} es una permutación de tamaño 3. Entonces, la cantidad de permuta-ciones sin repetición de tamaño r en un conjunto de tamaño n, está dada por

n (n-1) (n-2) (n-3)…(n-r+1)

Lo cual en notación de permuta-ciones y factoriales se escribe de la siguiente forma

Veamos un ejemplo. Toma el con-junto S={a,b,c,d}. Todas las per-mutaciones de 2 elementos sin repetición que se pueden obtener de este conjunto son las siguien-tes:

{a,b} b,a},{a,c},{c,a},{a,d},{d,a}

{b,c}{c,b}{b,d}{d,b}

{c,d}{d,c}

El total de permutaciones es 12. Ahora calculemos la cantidad de permutaciones con la fórmula que aprendimos:

Propiedades del factorial

• Se define el factorial de 0:

0!= 1

Esto es fácil de observar desde el punto de vista que el factorial de un número indica la cantidad de permutaciones posibles o arre-glos, y dado el elemento 0, existe sólo una permutación posible.

• Factorial de n+1

(n+1)!= (n+1) n!

Observa que con esta propiedad también se cumple con la propie-dad del factorial de 0.

• Factorial de

Expresado de otra forma:

Veamos un ejemplo, tomemos por ejemplo el caso en el que n=4 y m=7, entonces:

De tal forma que podemos utilizar la propiedad mencionada, pues es evidente que se simplificarán siempre aquellos factores en el numerador con los del denomina-dor que sean iguales o menores a m.

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C. Combinaciones sin repetición

Para ilustrar cómo funcionan las combinaciones sin repetición ve-remos cómo funciona la lotería. En este caso estamos hablando de la lotería en la cual se tiene una tómbola con cierta cantidad de bolas y a cada bola le corresponde un número. Supongamos que el resultado consta de un arreglo de 6 números y en muchas loterías el orden de los números (elemen-tos) no importa. Por ello estamos hablando de una combinación. También al salir una bola, ésta se queda fuera y ya no puede volver a salir, por eso estamos hablando que es un evento sin repetición.

Veamos un ejemplo sencillo antes de pasar a analizar las combina-ciones y probabilidades de sacarse la lotería. Tomemos el conjunto

Otra notación que se utiliza co-múnmente para referirse a una combinación es la siguiente

, la cual se lee n de r en r.

Calculemos las combinaciones del siguiente ejemplo:

Hemos encontrado la misma can-tidad de combinaciones que la que encontramos anteriormente.

Recordemos: que el conjunto S, tenía 4 elementos, y queremos saber cuántas combinaciones exis-ten de 2 elementos, entonces, n=4 y r=2, por lo que:

NOTA

Muchas calculadoras pueden eje-cutar las funciones de combinación y permutación directamente, busca las teclas, que por lo regular indican “nPr” y “nCr”, para permutaciones

y combinaciones respectiva-mente, tal como se mues-

tra en la imagen.

S={a,b,c,d}. ¿Qué posibles combi-naciones de dos elementos exis-ten? Recuerda que a diferencia de las permutaciones, en este caso el orden no es importante, por lo que decir {a,b} ó {b,a} es lo mismo, es decir que es la misma combi-nación, pues no nos importa el orden. Veamos entonces las dife-rentes combinaciones:

{a,b},{a,c}{a,d}{b,c}{b,d}{c,d}

Como puedes ver en este caso hay solamente 6 combinaciones (a di-ferencia de 12 permutaciones en el caso equivalente).

El número de combinaciones se calcula a través de la siguiente fór-mula:

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Paso 1: Presiona la tecla del número corres-pondiente a n, en este caso 5.

Paso 2: Presiona la tecla “shift” y luego presio-na la tecla “ ” (o aquélla en la que se encuentre designada “nCr”)

Paso 3: Presiona el número correspondiente a r, en este caso 3.

Ejercicio: calcula la cantidad de combinaciones de 3 ele-mentos que pueden haber en un conjunto de 5 ele-mentos, es decir 5C3.

Paso 4: Presiona la tecla “=” y obtén el resul-tado.

Como puedes ver el resultado es 10. Comprué-balo:

Veamos cómo se realiza esto en la calculadora (obser-va que en este ejemplo se está utilizando una calcula-dora Casio fx-82ES, por lo que el procedimiento variará según el modelo, pero la idea general es la misma).

2

2

3

1

4

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En una lotería determinada se cuenta con una tóm-bola que tiene 49 bolas numeradas. Para ganar la

lotería, es necesario tener la com-binación correcta de 6 bolas. Esto significa que basta con que tenga-mos los mismos números en nues-tro billete de lotería, pero no hace falta que aparezcan en el mismo orden. Calcula cuántas combina-ciones posibles existen y luego determina la probabilidad de que alguien gane la lotería.

Solución:

Como tenemos 49 bolas numera-das y necesitamos saber cuántas combinaciones de 6 elementos existen, diremos que n=49 y r=6.

Entonces:

Esto significa que en ese caso exis-ten 13,983,816 combinaciones, por lo que la probabilidad de ga-nar la lotería con un billete es de 1 en 13,983,816. Expresado en por-centaje sería lo siguiente:

Ejemplo:

Ahora regresemos al tema de la introducción de este capítulo, ¿cómo calcular la probabilidad de obtener un póquer una vez nos han repartido una mano? Vea-mos entonces lo siguiente, nece-sitamos saber el total de combi-

naciones que hay inicialmente: si tenemos un total de 52 cartas y nos reparten 5, significa que el total de combinaciones está dado por 52C5. Luego, debemos encon-trar cuántas combinaciones de póker se pueden obtener, para lo cual debemos observar que exis-ten 13 distintos tipos de cartas (A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K) y ne-cesitas obtener 1 de estos tipos. Además de ello necesitas que se repita ese tipo de carta 4 veces con los 4 distintos manjares que hay; corazones, diamantes, trébo-les y espadas, por lo que la canti-dad de combinaciones de póker que hay está dada por 13C1×4C4. Posterior a eso recordemos que aún falta que nos repartan 1 carta más, pues una mano de un póquer tiene 5 cartas. Como en teoría te-nemos un póquer en la mano ( o al menos hemos contabilizado todas las posibles manos de póquer), sabemos que quedan 12 tipos de cartas en vez de 13, y necesitamos obtener 1 carta cualquiera de los 4 manjares que hay, por lo que la cantidad de combinaciones que hay del resto de cartas está dado por 12C1×4C1. Si utilizamos estas combinaciones, la probabilidad de obtener un póquer está dada por la siguiente expresión

Así que en porcentaje, la proba-bilidad de obtener un póquer en una mano, es de 0.024%.

EJEMPLO 10.1

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D. Combinaciones con repeti-ción

Supón que puedes elegir 3 ritmos de música para las siguientes can-ciones que van a sonar en la fiesta y sabemos que hay un total de 5 ritmos disponibles. ¿Cómo podría-mos saber cuántas combinaciones hay en total? En esta ocasión los podemos repetir.

Supongamos que los ritmos dispo-nibles son los siguientes:

a. Dubstep

b. Salsa

c. Reggae

d. Punk Rock

e. Reggaetón

Podría ser que eligieras 3 cancio-nes de corrido de reggae, o bien 1 canción de salsa y 2 de reggaetón. No importa, el punto es las com-binaciones que podemos hacer. Veamos esta idea con una ilustra-ción

Supón que tenemos un robot al cual le damos la instrucción de se-leccionar los ritmos, y en este caso le pedimos que escoja 3 canciones de reggae. Los ritmos están co-locados en una consola tal como aparecen en el cuadro de arriba, y para pedirle al robot que seleccio-ne las canciones le damos instruc-

ciones de avanzar cada vez que no queremos un ritmo y parar cada vez que queremos uno. Al avance lo simbolizaremos con una flecha “→”, y al detenimiento con un círculo “○”. Entonces, como que-remos 3 canciones de reggae, le daríamos la siguiente instrucción:

→ → ○ ○ ○ → →

Y con esto el robot termina la lista de canciones. Veamos qué sucede si quiero 1 canción de Dubstep , 1 de reggae y 1 de Punk Rock:

○ → → ○ → ○ →

¿Qué tal si quiero 2 de salsa y 1 de reggaetón?:

→ ○ → → → ○ ○

¿Has notado algo en común entre todas las instrucciones que se le dieron al robot? Si observas, hay siempre 7 instrucciones que le tenemos que dar al robot, 3 que

tomamos de 5 que son el total, y si a este 5 le restamos 1 ya que se refiere al resto del recorrido, po-demos notar que las instrucciones son:

3+5-1=7

Lo cual podemos generalizar como

r+n-1

Esto indica que siempre que que-remos saber las combinaciones con repetición, tenemos r+n-1 po-siciones, y si deseamos saber las r combinaciones que existen usare-mos la siguiente fórmula:

,

Si resolvemos nuestro ejemplo de los ritmos de música, veremos que tenemos la siguiente cantidad de combinaciones con repetición

Dubstep Salsa Reggae

Punk Rock Reggaetion

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Ejercicios.

1. Las placas de circulación de vehículos de Guatemala constan de 3 letras y 3 dígitos, respectiva-mente. ¿Cuántas placas diferentes pueden construirse?

2. ¿De cuántas formas pueden co-locarse 6 libros en una librera?

3. ¿Cuántos números telefónicos de ocho dígitos existen si ninguno de ellos puede empezar con cero o con 1?

4. Luis planea pasar a comer y lue-go ir al cine. ¿En cuántas maneras puede planificar esto si dispone de 5 menús diferentes y 3 películas?

5. En una clase de 30 alumnos, 20 juegan fútbol y el resto balon-cesto. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 3 alumnos de entre los que juegan al fútbol y 2 de entre los que juegan al balon-cesto?

6. En una reunión de un grupo de amigos hay cinco hombres y seis mujeres. Para la hora del almuerzo deciden que cuatro de ellos irán al supermercado cercano a comprar comida.

a) ¿De cuántas maneras se pue-den elegir a los cuatro amigos que irán?

b) ¿Y si tienen que ir dos hom-bres y dos mujeres?

7. Cuatro libros de matemáticas, seis de física y dos de química se van a colocar en una estantería

a)¿Cuántas colocaciones distintas son posibles si:

b) ¿Los libros de cada materia han de estar juntos?

c) ¿Sólo los de matemáticas tienen que estar juntos?

8. En una urna hay 9 bolas, 3 blan-cas, 2 rojas y 4 negras. ¿De cuantas formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna?

9. En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 paste-les?.

10. ¿De cuántas maneras puede Susy seleccionar su ropa para una fiesta entre 5 vestidos y dos sacos de un ropero de 9 vestidos y 3 sa-cos?