cálculo vectorial

1M.A. Malakhaltsev, J.R. Arteaga

Calculo Vectorial

Bogota, 2012

Captulo 2

Funciones Vectoriales

2.1. Funciones vectoriales de un variable

2.1.1. Definicion de funcion vectorial

Una funcion vectorial de variable real es una aplicacion ~r : D Rn, dondeD R y se llama el dominio de ~r.

Denotaremos la funcion vectorial ~r(t) por ~r(t) = (f1(t); . . . ; fn(t)) dondef1(t), . . . , fn(t) son funciones reales de variable real llamadas componentes ocoordenadas de la funcion.

Geometricamente una funcion vectorial ~r(t) es una trayectoria de un puntomovil en Rn. Para cada valor del parametro t obtenemos el vector posicion ~r(t)asociado al valor de t.

Ejemplo 2.1. Sea ~r(t) =(t; t2

)una funcion vectorial. Su dominio es R y la

funcion toma valores en el plano R2. Para t = 2 obtenemos el vector posicion(2; 4).

Teorema 2.1. El dominio D de una funcion vectorial ~r(t) = (f1(t); . . . ; fn(t))es D = D1 D2 Dn, donde Di es el dominio de la funcion fi(t).

Ejemplo 2.2. Sea ~r(t) =

(1

1 t ; t2

)una funcion vectorial. Entonces f1(t) =

11 t y D1 = (, 1), f2(t) = t

2 y D2 = (,) = R. Por lo tanto,D = D1 D2 = (, 1).

2.1.2. Operaciones entre funciones vectoriales

Las operaciones entre funciones vectoriales se definen si las funciones tomanvalores en el mismo espacio vectorial Rn.

Definicion 2.1. Sean ~r(t) = (f1(t); . . . ; fn(t)), ~(t) = (g1(t); . . . ; gn(t)), enton-ces definimos:

3

4 CAPITULO 2. FUNCIONES VECTORIALES

1) La suma de dos funciones vectoriales ~r y ~ es una funcion vectorial ~u = ~r+ ~tal que ~u(t) = ~r(t) + ~(t) = (f1(t) + g1(t), , fn(t) + gn(t)).

2) La multiplicacion de una funcion vectorial ~r por un escalar c R es unafuncion vectorial ~ = c~r tal que ~(t) = c~r(t) = (cf1(t), . . . , cfn(t)).

3) La multiplicacion de una funcion vectorial ~r por una funcion real f(t) es unafuncion vectorial ~ = f~r tal que ~(t) = f(t)~r(t) = (f(t)f1(t); . . . ; f(t)fn(t)).

4) El producto escalar, o producto punto, de dos funciones vectoriales ~r y ~ esuna funcion real u = ~r~ tal que u(t) = ~r(t)~(t) = f1(t)g1(t)+ +fn(t)gn(t).

5) El producto vectorial, o producto cruz, de dos funciones vectoriales ~r(t) y~(t) se define de manera analoga. Entonces,

(a) Si las funciones vectoriales ~r(t) y ~(t) tienen valores in R2, es decir ~r(t) =(f1(t); f2(t)) y ~(t) = (g1(t); g2(t)), entonces el producto cruz ~r(t) ~(t)es una funcion escalar y

~r(t) ~(t) = f1(t) f2(t)g1(t) g2(t)

= f1(t)g2(t) f2(t)g1(t). (2.1)(b) Si las funciones vectoriales ~r(t) y ~(t) tienen valores in R3, es decir ~r(t) =

(f1(t); f2(t); f3(t)) y ~(t) = (g1(t); g2(t); g3(t)), entonces el producto cruz~r(t) ~(t) es una funcion vectorial y

~r(t) ~(t) =

~i ~j ~kf1(t) f2(t) f3(t)g1(t) g2(t) g3(t)

== (f2(t)g3(t)f3(t)g2(t); f3(t)g1(t)f1(t)g3(t); f1(t)g2(t)f2(t)g1(t)).

(2.2)

Ejemplo 2.3. Sean ~r(t) = (1; t) y ~(t) = (cos t 2;2t) dos funciones vecto-riales, entonces

2~r(t) + ~ = 2 (1; t) + (cos t 2;2t)= (2; 2t) + (cos t 2;2t)= (2 + cos t 2; 2t 2t) = (cos t; 0) .

(2.3)

~r(t) ~(t) = (1; t) (cos t 2;2t)

=

1 tcos t 2 2t = 1(2t) t(cos t 2)

= 2t t cos t+ 2t = t cos t.

(2.4)

2.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UN VARIABLE 5

2.1.3. Continuidad

Definicion 2.2. Sea ~r : D Rn es una funcion vectorial tal que ~r(t) =(f1(t); . . . ; fn(t)). Entonces

lmta~r(t) = lmta(f1(t); . . . ; fn(t)) =

(lmta f1(t); . . . ; lmta fn(t)

). (2.5)

Por lo tanto, el lmite existe si y solo si todos los lmites lmta f1(t), i = 1, . . . , n,

existen.

Ejemplo 2.4. Si ~r(t) = (log(1 + t);sin(t)

t; cos(t) 2), entonces

lmt0

~r(t) =

(lmt0

log(1 + t); lmt0

sin(t)

t; lmt0

cos(t) 2)

= (0; 1;1). (2.6)

Definicion 2.3. Una funcion vectorial es continua en un dominio D si cadauna de sus componentes es continua en D.

Ejemplo 2.5. Consideremos la funcion vectorial ~r(t) =

(1

1 t ;1

1 + t

)que

esta definida en D = R \ {1, 1} y es continua aqu, porque cada una de suscomponentes

1

1 t y1

1 + tson continuas en D.

Ejemplo 2.6. La funcion vectorial

~r(t) =

{(t; t2

)t 0

(1; t) t < 0

tiene dominio R pero no es continua porque su primera componente

f1(t) =

{t t 01 t < 0

no es continua. Sin embargo su segunda componente

f2(t) =

{t2 t 0t t < 0

si es continua (ver Figura 2.1).

2.1.4. Derivadas

Definicion 2.4. Dada una funcion vectorial ~r(t) = (f1(t); . . . ; fn(t)) su deriva-

da es la funcion vectorial ~r (t) =d

dt~r(t) = (f 1(t); . . . ; f

n(t)).


2 1 1 2 3

4

3

2

1

1

2

3

4

0

x

y

~r(t)

Figura 2.1: Ejemplo 2.6

Ejemplo 2.7. Sea ~r(t) =(

tan(t2 1); et2)

. La derivada de ~r en t = 0, ~r (0)la calculamos hallando primero la derivada en general y luego reemplazando elvalor de t en cero:

~r (t) =(

2t sec(t2 1); 2tet2) ~r (0) = (0; 0). (2.7)

Teorema 2.2. Sean ~r(t) = (f1(t); . . . ; fn(t)), ~(t) = (g1(t); . . . ; gn(t)) funcionesvectoriales diferenciables en D, c una constante, c R, y f(t) una funcion real,entonces,

1) (~r(t) + ~(t))

= ~r (t) + ~ (t).

2) (c~(t))

= c~ (t).

3) (f(t)~(t))

= f (t)~(t) + f(t)~ (t).

2.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UN VARIABLE 7

4) (~r(t) ~(t)) = ~r (t) ~(t) + ~r(t) ~ (t).5) (~r(t) ~(t)) = ~r (t) ~(t) + ~r(t) ~ (t).6) (~r(f(t)))

= f (t)~r (f(t)).

Nota 1. (a) Las formulas (2), (3), (4) y (5) del teorema anterior se conocencomo formulas de Leibniz .

(b) En la formula 5 las funciones vectoriales toman valores en R2 e R3.

2.1.5. Recta tangente

Geometricamente la derivada de una funcion vectorial ~r(t) en t = t0, elvector ~r (t0), es un vector tangente a la trayectoria determinada por ~r(t) en elpunto ~r(t0). Si el vector tangente ~r

(t0) 6= ~0, entonces la ecuacion vectorial dela recta tangente es

~(s) = ~r(t0) + s~r(t0). (2.8)

Nota 2. En el caso que ~r (t0) = ~0, la recta tangente no existe.

Ejemplo 2.8. La recta tangente a la trayectoria definida por ~r(t) =(t3; t

)en

t = 1 tiene ecuacion ~(s) = ~r(t0) + s~r (t0) = (1;1) + s (3; 1) = (1 +3s;1 + s).

2.1.6. Integral

Definicion 2.5. Dada una funcion vectorial ~r(t) = (f1(t); . . . ; fn(t)) la integral

definida de ~r(t) es el vector ba~r(t) dt =

( baf1(t) dt; . . . ;

bafn(t) dt

).

Ejemplo 2.9. Dada la funcion vectorial ~r(t) =

(sin t cos t;

t

t2 4)

la integral

definida es pi/20

~r(t) dt =

( pi/20

sin t cos t dt;

pi/20

t

t2 4 dt)

=

=

(1

2sin2(t)|pi/20 ;

1

2ln(4 t2)|pi/20

)=

1

2

(1; ln(

16

16 pi2 )).

Hasta ahora hemos definido los lmites, las derivadas y las integrales defunciones vectoriales de una variable real,

~r(t) = (f1(t); ; fn(t)) (2.9)

como los lmites, derivadas e integrales de cada una de sus componentes en casoque todas ellas existan. En este captulo usaremos la primera y segunda derivada


de una funcion vectorial de variable real (2.9) para definir nuevos conceptos.Dependiendo del tipo de problema la funcion vectorial ~r(t) se puede interpretardesde el punto de vista simplemente geometrico como una trayectoria o desdeel punto de vista fsico como la posicion de una partcula que se mueve por laaccion de alguna fuerza. Igualmente su derivada ~r(t) puede interpretarse comoel vector tangente (punto de vista geometrico) o como la velocidad (punto devista fsico) de una partcula.

2.2. Curvas parametrizadas

Definicion 2.6. Supongamos el espacio tridimensional R3 dotado del siste-ma de coordenadas (x; y; z). Una curva C parametrizada en este espacio es larepresentacion grafica de una funcion vectorial:

~r(t) = (x(t); y(t); z(t)) (2.10)

donde t se le denomina el parametro, t I R. La estructura de la curvadependera de las funciones x(t), y(t), y z(t). Diremos que C es de clase Cr(I),si su parametrizacion ~r(t) lo es, es decir si las funciones componentes x(t), y(t)y z(t) son de clase Cr(I), donde I es cualquier intervalo abierto1.

Ejemplo 2.10. Consideremos la curva con ecuaciones parametricas,x(t) = t

y(t) = t2

z(t) = t3 1 t 1. (2.11)

Dado que y(t) no toma valores negativos, la grafica no puede estar en los octantesIII, IV y los que estan debajo de estos, V II y V III. Cuando eliminamos elparametro t y relacionamos dos coordenadas de los puntos estamos obteniendola proyeccion de la curva sobre el plano generado por esas dos variables. Porejemplo, de las ecuaciones parametricas dadas obtenemos que y = x2, lo cualsignifica que la proyeccion de la curva dada sobre el plano xy es una parabola.De la misma manera la proyeccion de la curva dada sobre el plano xz es unaparabola cubica z = x3 y sobre el plano yz es la curva con ecuacion y3 = z2.

1Una funcion real de variable real se dice que es de clase Cr en algun intervalo abiertoI = (a, b) si sus primeras r derivadas son funciones continuas en I.

2.2. CURVAS PARAMETRIZADAS 9

La curva x(t) = t, y(t) = t2, z(t) =t3, 1 t 1 tiene como proyeccionsobre el plano xy la parabola y = x2

y sobre el plano xz la parabola cubicaz = x3.

hfill

-1

0

-1.0

0.0

0.25

-0.5

0.5

0.75

1

0.0

1.0

0.5

1.0

Figura 2.2: Una curva en R3

A continuacion veremos algunas tecnicas para graficar curvas que tienenciertas caractersticas.

2.2.1. Como podemos dibujar una curva?

Una tecnica para graficar manualmente sobre el papel una curva C en el es-pacio se basa en el conocimiento previo de superficies. Al eliminar el parametroentre dos coordenadas obtenemos una ecuacion en dos variables, por ejemplof(x, y) = 0. Esta ecuacion se puede interpretar de dos maneras diferentes. Laprimera como la curva sobre el plano coordenado xy que es la proyeccion or-togonal de la curva dada C. La otra manera es que la curva C esta sobre unasuperficie cilndrica con ecuacion f(x, y) = 0. As podemos graficar la curvaC conociendo una o varias superficies en las cuales esta.

Nota 3. En muchos casos nos valemos de una superficie a la cual pertenece lacurva dada C, pero a veces es necesario tener informacion de dos superficies alas cuales pertenece. En general, no es cierto que podemos graficar la curva Chabiendo encontrado dos superficies cilndricas a las cuales pertenece, pues lainterseccion de las dos superficies encontradas puede ser que tenga mas informa-cion que la que necesitamos, es decir describa curvas adicionales a la curva C. Loque si es cierto es que la curva es la interseccion de las tres superficies cilndricasperpendiculares a los planos coordenados cuando eliminamos el parametro t porparejas de coordenadas, pero es mas difcil de visualizar la situacion.


Ejemplo 2.11. En el ejemplo (2.10) la curva x(t) = t, y(t) = t2, z(t) = t3,1 t 1 esta sobre las superficies cilndricas 1 : y = x2, 2 : z = x3. En estacaso es suficiente esta informacion, la curva es la interseccion de este par desuperficies cilndricas. La primera superficie cilndrica 1 se dibuja, dibujandoprimero la curva y = x2 sobre el plano xy, luego un deslizamiento de esta curvaa lo largo el eje z en ambas direcciones. Similarmente la segunda superficiecilndrica 2 se dibuja, dibujando primero la curva z = x

3 sobre el plano xz,luego un deslizamiento de esta curva a lo largo el eje y solo en la direccionpositiva.

Ejemplo 2.12. Consideremos la curva C con ecuaciones parametricas,

x(t) = cos t

y(t) = sin t

z(t) = t

, 2pi t 2pi. (2.12)

La curva C esta sobre el cilindro 1 : x2 + y2 = 1 y tambien sobre la superficie

cilndrica 2 : x = cos z. Con solo esta informacion no podemos graficar la curva,aunque si lo podramos hacer mirando la interseccion de las tres superficiescilndricas, lo cual puede resultar un poco complicado. Para este caso podramossimplemente pensar de la siguiente manera: A medida que t recorre el intervaloI = [2pi, 2pi], las coordenadas x e y del punto sobre la curva C recorre lacircunferencia x2 + y2 = 1 sobre el plano xy en sentido positivo (visto desdearriba), mientras que z recorre el intervalo I = [2pi, 2pi] sobre el eje z. Porlo tanto, se forma una helice circular, la cual esta sobre el cilindro 1 y haceparte de la interseccion entre las dos superficies 1 y 2, pero la interseccioncontienen puntos que no estan en C.


La curva x(t) = cos t, y(t) = sin t, z(t) =t, 2pi t 2pi esta sobre la superfi-cie cilndrica x2 + y2 = 1.

hfill-1.0

-0.5

0.0

-6.5

0.5

-1.0

-4.0

-0.5

0.0

-1.5

0.5

1.0

1.0

1.0

3.5

6.0

Figura 2.3: Una curva helicoidal enR3

2.2.2. Reparametrizacion

Definicion 2.7. Dada una curva C con ecuacion vectorial

~r1(t) = (x(t); y(t); z(t)) , t I1 R, (2.13)

y una funcion diferenciable f(s), f : I2 I1, donde I2 R, tal que f (s) 6= 0.Notaremos que f es biyectiva, y por lo tanto invertible, y la funcion inversa estambien diferenciable. Podemos reparametrizar la curva y dar una expresion enterminos de s definiendo ~r2(s) como sigue:

~r2(s) + (~r1 f) (s) = ~r1(f(s)) = ~r1(t). (2.14)

Nota 4. Debe ser claro que s = f1(t).

Ejemplo 2.13. Sea C definida mediante la funcion vectorial

~r1(t) = sin t~i+ exp t~j

1 t~k, t I1 = (, 1]. (2.15)

Ahora consideremos la funcion

t = f(s) = 1 s3, (2.16)

la cual es biyectiva en todo el conjunto de los numeros reales, R. Pero paraconstruir la reparametrizacion en terminos de s debemos estar seguros que lafuncion t = f(s) tiene propiedad f (s) 6= 0 y que la funcion compuesta estebien definida. Notaremos que f (s) 6= 0 para s 6= 0. Luego debemos encontrar el


Figura 2.4: Espiral de Arqumedes

dominio correcto para s tal que el rango de la funcion f sea I1 = (, 1]. Esteproceso se hace usando la expresion para la funcion inversa,

s = f1(t) = 3

1 t. (2.17)

Por lo tanto, el dominio de f lo debemos restringir a I2 = (0,) para que surango sea exactamente I1 = (, 1). Los extremos del intervalo I2 se encuentranevaluando los extremos del intervalo I1 en (2.17).

2.2.3. Longitud de arco

Sea una curva en Rn, n = 2, 3, definida por una funcion vectorial ~r = ~r(t),a t b. Un arco de curva es una parte de la curva dada por la misma funcioncon t0 t t1, donde a t0 < t1 b.Definicion 2.8. El numero

L =

t1t0

~r(t)dt (2.18)

es llamado longitud de arco.

Ejemplo 2.14 (ejercicio resuelto). La funcion vectorial ~r(t) = (t cos(t); t sin(t)),0 < t < , determina la espiral de Arqumedes (ver Figura 2.4). Encuentre lalongitud de arco entre los puntos A(0, 0) = ~r(0) y B(2pi, 0) = ~r(2pi). Tenemos

~r(t) = (cos(t) t sin(t); sin(t) + t cos(t)) , (2.19)

entonces

~r(t)2 = (cos(t) t sin(t))2 + (sin(t) + t cos(t))2 = 1 + t2, (2.20)


y luego

~r (t) =

1 + t2. (2.21)

La longitud de arco es 2pi0

~r (t)dt

=

2pi0

1 + t2 dt

=1

2

(t

1 + t2 + ln(t+

1 + t2)|2pi0)

= pi

1 + 4pi2 +1

2ln(2pi +

1 + 4pi2).

(2.22)

2.2.4. Parametro natural s

De la definicion 2.8 definimos la funcion,

s(t) =

ta

~r (u)du. (2.23)

Esta funcion indica un cambio del parametro t al parametro s, el cual es llamadoparametro longitud de arco o parametro natural.

Teorema 2.3. Supongamos ~r(s) es una curva parametrizada en terminos delparametro natural s, entonces

~r (s) = 1. (2.24)

2.2.5. Curvatura

Las palabras curvatura y curva provienen de la misma raz, es decir se hablade una curva si esta tiene curvatura. La curvatura es un numero el cual se puedecalcular en cada punto P de una curva y la denotaremos con la letra griega(P ) (Lease kappa.). Por ejemplo en la figura 2.5 la curvatura en los puntosP1 y P2 es diferente, (P1) > (P2). Si en un punto P observamos quela curva no tiene curvatura escribiremos (P ) = 0. Una recta tiene curvaturacero en todos sus puntos.

Definicion 2.9. Sea s el parametro longitud del arco de una curva ~r(s). En-tonces la curvatura en el punto ~r(s0) es,

(s0) = ~r (s0). (2.25)


P2

P1

Figura 2.5: Curvatura en puntos diferentes

Ejemplo 2.15 (ejercicio resuelto). Encuentre la curvatura de la circunferen-cia de radio R. Una ecuacion de una circunferencia centrada en el origen y radioR en terminos del parametro de longitud del arco es,

~r(s) = (R cos(s/R);R sin(s/R)). (2.26)

Por lo tanto tenemos,

~r (s) =( 1R

cos(s/R); 1R

sin(s/R)

), (2.27)

entonces,

(s) =1

R. (2.28)

Ejemplo 2.16 (ejercicio resuelto). Encuentre la curvatura de una recta. Unaecuacion de una recta en terminos del parametro de longitud del arco es,

~r(s) = (x0 + cos()s; y0 + sin()s) . (2.29)

Por lo tanto tenemos, ~r (s) = ~0, entonces (s) = 0.

Teorema 2.4. Sea ~a(t) una funcion vectorial con magnitud constante, ~a(t) =c, entonces su derivada ~a(t) es otra funcion vectorial tal que los vectores ~a(t) y~a(t) son ortogonales para cada valor de t.

Demostracion.

~a(t) = c ~a(t)2 = c2 ~a(t) ~a(t) = c2derivando (regla de Leibniz) tenemos que ~a(t) ~a(t) = 0. (2.30)

2.3. EJERCICIOS CAPITULO 2 15

Teorema 2.5. Sea ~r(t) una curva suave (~r(t) 6= 0). La curvatura de ~r(t) secalcula mediante la siguiente formula:

(t) =|~r (t) ~r (t)|~r (t)3 . (2.31)

Sea ~T (s) = ~r (s) el vector tangente unitario en el punto ~r(s). El vector

normal unitario a la curva, ~N(s) =1

~T (s)~T (s). Las siguientes formulas se

llaman las formulas de Frenet para una curva plana:

~T (s) = (s) ~N(s), (2.32)~N (s) = (s)~T (s).

2.3. Ejercicios Captulo 2

Ejercicios y problemas recomendados: 111, 13 18, 23, 24, 26, 28

Ejercicio 2.1. Halle el dominio de la funcion vectorial,

1) ~r(t) =

(1

t;t+ 1

);

2) ~r(t) =

(ln(t2 1); 2t; 1

t+ 2

);

3) ~r(t) =

(ln t

t;

3

t 1 ;t

);

4) ~r(t) =(t9;t 4; 10 t).

Ejercicio 2.2. Dadas la funciones vectoriales ~r1(t) =

(1

t; t

), ~r2(t) =

(3t+ 1; cos t

),

encuentre la funcion resultante y su dominio de definicion,

1) ~r1(t) 2~r2(t);2) ~r1(t) ~r2(t);3) ~r1(t) ~r2(t).Ejercicio 2.3. Haga un bosquejo del grafico de las siguientes funciones,

1) ~r(t) = (t; t);

2) ~r(t) = (2t; t+ 1);

3) ~r(s) =(s3; s

);

4) ~r(t) = (cos t; sin t);


5) ~r(t) =(t2; t3

).

Ejercicio 2.4. Haga un bosquejo del grafico de las siguientes funciones,

1) ~r(t) = (t; t; t);

2) ~r(t) = (2t; t+ 1; 2);

3) ~r(s) =(s3; s; s2

);

4) ~r(t) = (cos t; sin t; t);

5) ~r(t) =(t; t2; sin t

).

Ejercicio 2.5. Encuentre el dominio de continuidad. En los puntos donde lafuncion no es continua justifique porque no lo es. Haga un bosquejo del grafico.

1) ~r(t) = (t; sin t);

2) ~r(t) =

{(1; t) t 0(1; t) t < 0 ;

3) ~r(t) =

{(t; t) t 0(t; t) t < 0 .

Ejercicio 2.6. Calcule,

1) ~r(t), donde ~r(t) =(t; t2; sin t

);

2) ~r(t), donde ~r(t) =(

tt2 1 ; ln

(1

t

)).

Ejercicio 2.7. Dadas la funciones vectoriales ~r1(t) =

(1

t; t

), ~r2(t) =

(3t+ 1; cos t

),

1) compruebe la formulas (1), (4) y (5) del teorema 2.2;

2) calcule la derivada de: ~r1(t) 2~r2(t);3) calcule la derivada de: ~r1(t) t~r2(t);4) calcule la derivada de: ~r1(t

2) + t3~r2(t).

Ejercicio 2.8. Calcule las integrales indicadas,

1)~r(t)dt, donde ~r(t) =

(1t+ 1

; sin t

);

2) 30

(et~i tet2~j

)dt.

Ejercicio 2.9. Entre los puntos A, B, C, encuentre un punto que no esta en lacurva dada por la ecuacion ~r = ~r(t), donde


1) ~r(t) = (2 + t; 4t; t) y A(4; 8;2), B(3; 4;1), C(4; 8;3);2) ~r(t) =

(t2; 1 8t; 1 + t3) y A(49;55; 350), B(36;47; 217), C(1;7; 2).

Ejercicio 2.10. Encuentre la ecuacion parametrica de la recta tangente, siexiste, a la curva dada en el punto indicado. Haga un bosquejo del grafico.

1) ~r(t) = (cos 2t; sin 2t) en t = 3pi/4;

2) ~r(t) =(4t2; t

)en P (4;1);

3) ~r(t) =(t2; t3

)en t = 0;

4) ~r(t) =(cos3 t; sin3 t

)en t = pi/4;

5) ~r(t) = (cos t; t; sin t) en t = 0.

Ejercicio 2.11. Determine la ecuacion del plano normal a la curva dada porla ecuacion ~r = ~r(t) en el punto A, donde

1) ~r(t) = (t; t2; t3) y A(3; 9; 27);

2) ~r(t) = (t; t+ 1; sin(t)) y A(0; 1; 0).Ejercicio 2.12. En que punto de la curva

x = t3, y = 3t, z = t4

es el plano normal paralelo al plano 6x+ 6y 8z = 5?Ejercicio 2.13. Encuentre la funcion vectorial que representa la curva de in-terseccion entre

1) el cilindro x2 + y2 = 4 y el paraboloide hiperbolico z = xy;

2) el cono z =x2 + y2 y el plano z = 11 + y;

3) el paraboloide z = 9x2 + y2 y el cilindro parabolico y = x2;

4) el cilindro x2 + y2 = 25 y el cilindro parabolico z = x2.

Ejercicio 2.14. Encuentre el vector tangente unitario ~T (t) para,

1) ~r(t) =(4t2; 8t; 4 ln t

);

2) ~r(t) =

(4

3t3; 4t2; 8t

);

3) ~r(t) = (2 sin t; 8t; 2 cos t ).

Ejercicio 2.15. Halle la longitud del siguientes arcos y haga un bosquejo delos graficos.

1) ~r(t) = (t; ln cos(t)), 0 t pi/6;


2) ~r(t) = (a(t sin(t); a(1 cos(t)); 4a cos(t/2)), 0 t 2pi;3) ~r(t) = (a cosh(t); a sinh(t); at), 1 t 1;4) ~r(t) = (7 sin(t); 10t; 7 cos(t)), 18 t 18;

5) ~r(t) =

2 t~i+ et~j + et ~k, 0 t 7.Ejercicio 2.16. Reparametrice la curva con respecto a la longitud de arcomedida desde el punto t=0 en la direccion en que incrementa t,

1) ~r(t) = 3 sin(t)~i+ t~j + 3 cos(t)~k;

2) ~r(t) = 2 et sin(t)~i+ 2 et cos(t)~j;

3) ~r(t) = (4 + 3t)~i+ (10 + 6t)~j 9t~k.Ejercicio 2.17. Haga un bosquejo del grafico de la curva dada por la ecuacion~r = ~r(t) y calcule su curvatura en los puntos A y B, donde

1) ~r(t) =(t2; t

), A(0; 0) y B(1; 1);

2) ~r(t) = (a(t sin(t); a(1 cos(t))); A(t = pi/4) y B(t = pi/2);3) ~r(t) = (et; et), A(t = 0) y B(t = 1).

Ejercicio 2.18. Haga un bosquejo del grafico de la curva dada por la ecuacion~r = ~r(t), calcule su curvatura (t) y debuje el grafico de la (t),

1) ~r(t) = 3 sin(t)~i+ 3 cos(t)~j;

2) ~r(t) = (a cosh(t); a sinh(t));

3) ~r(t) = t2~i+ 2t~j.

Ejercicio 2.19. Para que valor de x tiene la curva y = 3ex curvatura maxima?

Ejercicio 2.20. Demuestre la formula del Teorema 2.5.

Ejercicio 2.21. Demuestre el Teorema 2.3. Ayuda. Use regla de la cadena.

Ejercicio 2.22. Demuestre las formulas de Frenet.

Ejercicio 2.23. Calcule la rapidez de la partcula con la funcion de posiciondada por,

1) ~r(t) = t~i+ 4t2~j + 6t7 ~k;

2) ~r(t) =(t; 3t2; 5t4

);

3) ~r(t) = 3

2 t~i+ e3t~j + e3t ~k.


Ejercicio 2.24. La funcion de posicion de una partcula esta determinada por:

~r(t) =(

2t2; 3t; 2t2 16t ) .Cuando obtiene la menor rapidez?

Ejercicio 2.25. Calcule la velocidad de la partcula con la funcion de posiciondada por,

~r(t) = 2e11t~i+ 20e11t~j.

Ejercicio 2.26. Calcule la aceleracion de una partcula con la funcion de posi-cion dada por,

1) ~r(t) =(

6t2;2; 9t );2) ~r(t) = 2 sin t~i+ 10t~j 5 cos t~k.Ejercicio 2.27. Determine la velocidad ~v(t) de una partcula que tiene la ace-

leracion y la velocidad inicial dada. ~a(t) = 8~k, ~v(0) = 10~i+ 6~j.

Ejercicio 2.28. Determine el vector de posicion de una partcula que tiene laaceleracion dada y la velocidad y posicion iniciales dadas.

1) ~a(t) = 10~k, ~v(0) =~i+~j 7~k, ~r(0) = 8~i+ 4~j;2) ~a(t) = 14~i+ 18~j + 24t~k, ~v(0) = ~0, ~r(0) = 20~i+ 6~j.

Ejercicio 2.29. Calcule la componente tangencial del vector aceleracion con lafuncion de posicion dada por,

~r(t) = (12t 4t3 + 5)~i+ 12t2~j.Ejercicio 2.30. Calcule la componente normal del vector aceleracion con lafuncion de posicion dada por,

~r(t) = 8 cos t~i+ 8 sin t~j + 8t~k.

Ejercicio 2.31. Que fuerza se requiere para que una partcula de masa mtenga la siguiente funcion de posicion?

~r(t) = 5t3~i+ 7t2~j + 4t3 ~k.

Ejercicio 2.32. Se arroja una pelota con un angulo de 75 con respecto alsuelo. Si la pelota aterriza a 98 m de distancia del lugar de lanzamiento. Cualfue la rapidez inicial de la pelota? (Asumimos que g = 9.8m/s2.)

Ejercicio 2.33. Una fuerza de magnitud de 80 N, actua en forma directa haciaarriba del plano xy sobre un objeto con una masa de 5 Kg. El objeto partedel origen con una velocidad inicial ~v(0) = 2~i 7~j. Determine la funcion deposicion.

Ejercicio 2.34. Se dispara un proyectil con una rapidez inicial de 936m/s yun angulo de elevacion de 24. Encuentre el alcance del proyectil.

Captulo 3

Soluciones

3.1. Respuestas Ejercicios Captulo 2

2.1 1) {t | t 6= 0} {t | t 1} = (1, 0) (0,);2) {t | t 6= 0} {t | t 1} = (,2) (2,1) (1,);3) No existe interseccion entre los dominios de las componentes, por lo tanto el

dominio es el conjunto vaco;

4) 4 t 10.

2.2 1)

(1

t 2 3t+ 1; t 2 cos t

);

2)cos t

t t 3t+ 1;

3)3t+ 1

t+ t cos t.

2.3 1)

2)

21

22 CAPITULO 3. SOLUCIONES

3)

4)

5)

2.4 1)

3.1. RESPUESTAS EJERCICIOS CAPITULO 2 23

2)

3)

4)

5)


2.5 1) D = R,

2) D = R \ {0},

3) D = R,

2.6 1) (0; 2; sin t);

2)

(1

(t2 1)3/2;1

t

).


2.7 1) Aplique la definicion y luego use el hecho que cada componente es unafuncion real de variable real.

2)

( 1t2 2

3(t+ 1)2/3

)~i+ (1 + 2 sin t)~j;

3)

( 1t2 3t+ 1 1

3(t+ 1)2/3

)~i+ (1 cos t+ t sin t)~j;

4)

( 2t3

+ 3t2 3t+ 1 +

t3

3(t+ 1)2/3

)~i+

(2t+ 3t2 cos t t3 sin t)~j.

2.8 1)(2t+ 1; cos t);

2) (e3 1)~i+ 12

(1 e9)~j.

2.9 a) C, b) A.

2.10 1) (2s;1),

2) (4 8s; s 1),

3) No existe la recta tangente (ver el grafico),

4)

(1

2

2 3

2

2s,

1

2

2+

3

2

2s

),


5) (1; s; s),

2.11 1) x+ 6y + 27z = 786;

2) x y z = 1.2.12 (1;3; 1).

2.13 1) ~r(t) = 2 cos t~i+ 2 sin t~j + 2 sin 2t~k;

2) ~r(t) = t~i+t2 121

22~j +

t2 + 121

22~k;

3) ~r(t) = t~i+ t2~j + (9t2 + t4)~k;

4) ~r(t) = (5 cos t; 5 sin t; 25 cos2 t).

2.14 1)

(2t2

2t2 + 1;

2t

2t2 + 1;

1

2t2 + 1

);

2)

(t2

t2 + 2;

2t

t2 + 2;

2

t2 + 2

);

3)

(117

cos t;417

; 117

sin t

).


2.15 1)1

2(ln 3),

2) 8a

2,

3)

2(e 1/e),

4) 36

149,

5) e7 e7,


2.16 1) ~r(t(s)) = 3 sins10~i+

s10~j + 3 cos

s10~k;

2) ~r(t(s)) = (2 +s2

) sin(ln(1 +s

2

2))~i+ (2 +

s2

) cos(ln(1 +s

2

2))~j;

3) ~r(t(s)) = (4 +s14

)~i+ (10 +2s14

)~j 3s14~k.

2.17 1) (A) = 2, (B) =2

5

5,

2) (A) =1

2

22, (B) =

1

2

2,

3) (A) =1

2

2, (B) =

2e3

(1 + e4)3/2,

2.18 1) (t) = 1/3,


2) (t) =1

(2 cosh(t)2 1)3/2 ,

3) (t) =1

2(1 + t2)3/2,

2.19 12

ln 2 ln 3.

2.23 1) | (t) |= 1 + 64t2 + 1764t12 ;2) | (t) |= 1 + 36t2 + 400t6 ;3) | (t) |= 3 (e3t + e3t).

2.24 t = 2.

2.25 ~v(t) = 22e11t~i 220e11t~j.

2.26 1) ~a(t) = (12; 0; 0);


2) ~a(t) = 2 sin t~i+ 5 cos t~k.

2.27 ~v(t) = 10~i+ 6~j + 8t~k.

2.28 1) ~r(t) = (t+ 8)~i+ (t+ 4)~j (5t2 + 7t)~k;2) ~r(t) = (7t2 + 20)~i+ (9t2 + 6)~j + 4t3 ~k.

2.29 aT = 24t.

2.30 aN = 8.

2.31 ~F (t) = m (30t~i+ 14~j + 24t~k).

2.32 0 43, 8m/s.

2.33 ~r(t) = 2t~i 7t~j + 8t2 ~k.

2.34 d 66 km.

cálculo vectorial

Documents