cálculo vectorial

1

M.A. Malakhaltsev, J.R. Arteaga

Calculo Vectorial

Bogota, 2012

Indice general

1. Curvas y superficies 71.1. Coordenadas en el plano R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Coordenadas cartesianas (x; y) . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2. Coordenadas polares (r; θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Coordenadas en el espacio R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1. Coordenadas cilındricas (r; θ, z) . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2. Coordenadas esfericas (ρ;φ; θ) . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4. Superficies de revolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5. Superficies Cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6. Superficies cuadricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7. Ejercicios Capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Soluciones 332.1. Respuestas Ejercicios Capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

Capıtulo 1

Curvas y superficies

1.1. Coordenadas en el plano R2

1.1.1. Coordenadas cartesianas (x; y)

El plano bidimensional R2 es el conjunto de las parejas ordenadas de numerosreales,

R2 = {(x; y) | x, y ∈ R} . (1.1)

Los elementos del conjunto R2 se llaman los puntos de R2. Si A = (x; y) es unpunto de R2, los numeros x y y se llaman coordenadas cartesianas cartesianasdel punto A, y se escriben A(x; y).

Las rectas OX = {(x; 0) | x ∈ R} y OY = {(0; y) | y ∈ R} se llaman los ejescoordenados.

Segun estas coordenadas dividiremos el plano en cuatro cuadrantes del planoR2 a saber:

Notacion Nombre x yI Primer cuadrante x > 0 y > 0II Segundo cuadrante x < 0 y > 0III Tercer cuadrante x < 0 y < 0IV Cuarto cuadrante x > 0 y < 0

7

8 CAPITULO 1. CURVAS Y SUPERFICIES

III

III IV

K2 K1 0 1 2

K2

K1

1

2

Figura 1.1: Coordenadas cartesianas y los cuadrantes

Las curvas coordenadas del sistema de coordenadas cartesianas (x; y) sonrectas x = a y y = b, donde a y b son constantes.

La orientacion positiva canonica del plano R2 es dado por el convenio quela rotacion mas corta desde el semieje positivo x hasta el semieje positivo y esen sentido antihorario.

1.1.2. Coordenadas polares (r; θ)

En el plano R2 fijamos un punto O y un rayo OA. Para cada punto M ∈ R2

diferente del punto O tomemos una pareja ordenada de numeros reales (r; θ),donde r = |OA|, r > 0, y θ, 0 ≤ θ < 2π, es el angulo entre los rayos OA y OMen sentido antihorario.

El numero r se llaman el radio polar , el angulo θ el angulo polar y la pareja(r; θ) se llame las coordenadas polares del punto M . El punto O se llame el poloy el rayo OA el eje polar .

O A

M

rθ

Figura 1.2: Coordenadas polares

Las curvas coordenadas del sistema de coordenadas polares son los circunfe-rencias r = a y los rayos θ = b, donde a > 0 y 0 ≤ θ < 2π son constantes.

En el plano R2 hay una manera especial para elegir las coordenadas po-lares escogiendo el polo O = (0; 0) y el eje polar el semieje positivo OX =

1.1. COORDENADAS EN EL PLANO R2 9

{(x; 0) | x ≥ 0}. En este caso la relacion entre las coordenadas cartesianas (x; y)y las coordenadas polares (r; θ) del mismo punto es,{

x = r cos θy = r sin θ

,

{r =

√x2 + y2

cos θ = x/r, sin θ = y/r, 0 ≤ θ < 2π.. (1.2)

Ejemplo 1.1. Hallemos las coordenadas polares del punto A(−1; 1) ∈ R2. Te-nemos que r =

√(−1)2 + 12 =

√2, y el unico angulo θ tal que 0 ≤ θ < 2π y

cos θ = −1/√

2, sin θ = 1/√

2, es θ = 3π/4 (ver Fig. 1.3).♦

Ejemplo 1.2. Hallemos las coordenadas cartesianas del punto A ∈ R2 que tienelas coordenadas polares (2;π/3). Entonces, para este punto el radio polar esr = 2 y el angulo polar es θ = π/3, luego x = 2 cosπ/3 = 1, y = 2 sinπ/3 =

√3,

y el punto es A(1;√

3). (ver Fig. 1.3).♦

Figura 1.3: Ejemplos 1.1 y 1.2

Segun estas coordenadas los cuadrantes del plano R2 son:Notacion Nombre r θ

I Primer cuadrante r > 0 0 < θ <π

2II Segundo cuadrante r > 0

π

2< θ < π

III Tercer cuadrante r > 0 π < θ <3π

2

IV Cuarto cuadrante r > 03π

2< θ < 2π

Nota 1. Algunas veces es conveniente tomar el radio polar igual a cero. El puntocorrespondiente a r = 0 es el polo O, y el angulo polar de O es indeterminado.

Tambien algunas veces es conveniente admitir que el angulo polar de unpunto es un numero arbitrario real, en este caso tomamos este angulo modulo2π, por ejemplo, el angulo polar de A(1; 3π) es π.

Ejemplo 1.3. La espiral de Arquımedes se escribe con respecto a coordenadaspolares como r = t, φ = t, t ≥ 0 (ver 1.4). El punto correspondiente a t = 15π/4tiene las coordenadas polares r = 15π/4 y θ = 7π/4.


♦

Figura 1.4: Espiral de Arquımedes para 0 ≤ t ≤ 6π.

1.2. Coordenadas en el espacio R3

El espacio tridimensional R3 es el conjunto de las triplas ordenadas de nume-ros reales,

R3 = {(x; y; z) | x, y, z ∈ R} . (1.3)

Los elementos del conjunto R3 se llaman los puntos de R3. Si A = (x; y; z) es unpunto de R3, los numeros x, y y z se llaman coordenadas cartesianas del puntoA, y se escriben como A(x; y; z).

Octantes

En el espacio R3 se introducen los siguientes conjuntos, se llaman octantes,

Notacion Nombre x y z

I Primer octante x > 0 y > 0 z > 0II Segundo octante x < 0 y > 0 z > 0III Tercer octante x < 0 y < 0 z > 0IV Cuarto octante x > 0 y < 0 z > 0V Quinto octante x > 0 y > 0 z < 0VI Sexto octante x < 0 y > 0 z < 0VII Septimo octante x < 0 y < 0 z < 0VIII Octavo octante x > 0 y < 0 z < 0

Superficies elementales

Si a, b, c ∈ R constantes diferentes de cero, entonces

1.2. COORDENADAS EN EL ESPACIO R3 11

Ecuacion Descripcion cartesiana

x = 0 Plano coordenado yzy = 0 Plano coordenado xzz = 0 Plano coordenado xyx = a Plano paralelo al plano yzy = b Plano paralelo al plano xzz = c Plano paralelo al plano xy

1.2.1. Coordenadas cilındricas (r; θ, z)

En el espacio R3 fijamos un punto O y un rayo OZ. Sea Π el plano ortogonalal rayo OZ que pasa por el punto O y OA un rayo en el plano Π. Sean (r; θ) lascoordenadas polares en el plano Π determinados por el polo O y eje polar OA.

Para cada punto M ∈ R3 \ OZ, sea M ′ la proyeccion de M sobre el planoΠ (ver Fig. 1.5). Entonces, las coordenadas cilındricas del punto M es la terna(r; θ, z) donde (r; θ) son las coordenadas polares del punto M ′ en el plano Π yz es la longitud orientada del segmento MM ′. Por la definicion

r > 0, 0 ≤ θ < 2π, z ∈ R.

o

A

M

M’

Z

Figura 1.5: Coordenadas cilındricas

En el espacio R3 hay una manera especial para elegir las coordenadas cilındri-cas escogiendo O en el punto (0; 0; 0), el rayo OZ el semieje coordenado z, y eleje polar semieje coordenado x. En este caso las coordenadas cilındricas estanrelacionadas con las coordenadas cartesianas por las ecuaciones:

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

r =

√x2 + y2

cos θ = x/r, sin θ = y/r, 0 ≤ θ < 2π

z = z

(1.4)


O

M(x,y,z)

x

y

z

r

θ

M’(r, )θ

Figura 1.6: Relacion entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas cilındri-cas

Ejemplo 1.4. Hallemos las coordenadas cilındricas del punto A(−1;−1; 3) ∈R3. Tenemos que r =

√(−1)2 + (−1)2 =

√2, y el unico angulo θ tal que

0 ≤ θ < 2π y cos θ = −1/√

2, sin θ = −1/√

2, es θ = 5π/4. Luego z = 3.Entonces, el punto A tiene las coordenadas cilındricas (

√2; 5π/4; 3).

♦

Ejemplo 1.5. Hallemos las coordenadas cartesianas del punto A ∈ R3 que tienelas coordenadas cilındricas (2; 2π/3;−4). Entonces, las coordenadas cartesianasdel punto A ∈ R3 son x = 2 cos 2π/3 = −1, y = 2 sin 2π/3 =

√3 y z = −4.

♦

Ejemplo 1.6. Escribamos la ecuacion x2 + y2 = 1 del cilindro con el eje z yradio 1 en coordenadas cilındricas. Reemplazamos x, y, z en la ecuacion porx = r cos θ, y = r sin θ, z = z, entonces obtenemos que r2 = 1, y luego r = 1porque r > 0. Entonces, la ecuacion del cilindro con respecto a las coordenadascilındricas es r = 1.

♦

Ejemplo 1.7. Escribamos la ecuacion x2+y2+z2 = 4 de la esfera con el centro(0; 0; 0) y radio 2 en coordenadas cilındricas. Reemplazamos x, y, z en la ecuacionpor x = r cos θ, y = r sin θ, z = z, entonces obtenemos que r2 + z2 = 4. Estaexpresion es la ecuacion de la esfera con respecto de las coordenadas cilındricas.

♦


Octantes

Notacion Nombre r θ z

I Primer octante r > 0 0 < θ <π

2z > 0

II Segundo octante r > 0π

2< θ < π z > 0

III Tercer octante r > 0 π < θ <3π

2z > 0

IV Cuarto octante r > 03π

2< θ < 2π z > 0

V Quinto octante r > 0 0 < θ <π

2z < 0

VI Sexto octante r > 0π

2< θ < π z < 0

VII Septimo octante r > 0 π < θ <3π

2z < 0

VIII Octavo octante r > 03π

2< θ < 2π z < 0




r = 0 Origen de coordenadasθ = 0 Semiplano xz, con x > 0θ = π Semiplano xz, con x < 0z = 0 Plano coordenado xyr = a Cilindro x2 + y2 = a2

θ = b Semiplano perpendicular al plano xy y lo intercepta en el rayo θ = bz = c Plano paralelo al plano xy


-2-2-2 -1

-1

-10

0

0 x

1

y 11

2

22

Figura 1.7: Coordenadas cilındricas 3D (r; θ; z): r es constante. (Cilindro), θ es cons-

tante. (Semiplano vertical), z es constante. (Plano horizontal)

1.2.2. Coordenadas esfericas (ρ;φ; θ)

Sean O un punto del espacio R3 y fijamos una recta orientada OZ que pasapor O y un semiplano α pasando por OZ. Ademas tomemos el plano pasandopor O y ortogonal al rayo OZ (ver 1.8). Para cada punto M que no pertenecea la recta OZ sea M ′ la proyeccion de M sobre el plano Π. Entonces el puntoM tiene coordenadas esfericas es decir la terna (ρ;φ; θ) donde ρ = |OM |, φ esangulo entre la direccion positiva OZ y el vector OM (0 < φ < π), y θ es elangulo polar de M ′ en el plano Π, donde 0 < θ < 2π (ver Fig. 1.8).

α

ΠO

z

α

ΠO

z

M

θ

φ

M’

Figura 1.8: Coordenadas esfericas


En el espacio R3 hay una manera especial para elegir las coordenadas esferi-cas escogiendo O en el punto (0; 0; 0), el rayo OZ el semieje coordenado z, y elplano α el plano xz (ver Fig. 1.8).

α

ΠO

z

M

θ

φ

M’

x y

Figura 1.9: Coordenadas esfericas y cartesianas

El triangulo4OMM ′ es un triangulo recto en M ′. La recta MM ′ es paralelaal eje z esto hace que el angulo φ = ∠OMM ′. Por lo tanto r = ρ sinφ. Reempla-zando r en (1.2.1) obtenemos que las coordenadas esfericas estan relacionadascon las coordenadas cartesianas por las ecuaciones:

x = ρ sinφ cos θ

y = ρ sinφ sin θ

z = ρ cosφ

ρ =

√x2 + y2 + z2

sinφ =

√x2+y2

ρ , cosφ = zρ , 0 < φ < π

sin θ = yρ sinφ , cos θ = x

ρ sinφ

(1.5)

Ejemplo 1.8 (ejercicio resuelto). Hallar las coordenadas cartesianas del pun-to A con coordenadas esfericas (4; 2π/3;π/6). Entonces, x = 4 sin 2π/3 cosπ/6 =3, y = 4 sin 2π/3 sinπ/6 =

√3, z = 4 cos 2π/3 = −2.

♦

Ejemplo 1.9 (ejercicio resuelto). Hallar las coordenadas esfericas del puntoA con coordenadas cartesianas (−1/2;

√3/2;√

3). Tenemos

ρ =

√(−1/2)2 + (

√3/2)2 + (

√3)2 = 2.

Luego sinφ = 1/2, cosφ =√

3/2, entonces φ = π/6. Al fin, sin θ =√

3/2,cos θ = −1/2, entonces θ = 2π/3.

♦

Ejemplo 1.10. Escribamos la ecuacion x2 + y2 = 1 del cilindro con el ejez y radio 1 en coordenadas esfericas. Reemplazamos x, y, z en la ecuacion


con x = ρ sinφ cos θ, y = ρ sinφ sin θ, z = ρ cosφ, entonces obtenemos queρ2 sin2 φ = 1, la ecuacion del cilindro con respecto a las coordenadas esfericas.

♦

Ejemplo 1.11. Escribamos la ecuacion x2 + y2 + z2 = 9 de la esfera con elcentro (0; 0; 0) y radio 3 en coordenadas esfericas. Reemplazamos x, y, z en laecuacion con x = ρ sinφ cos θ, y = ρ sinφ sin θ, z = ρ cosφ, entonces obtenemosque ρ2 = 9, y luego ρ = 3. Esta expresion es la ecuacion de la esfera con respectode las coordenadas esfericas.

♦

Octantes

Notacion Nombre ρ φ θ

I Primer octante ρ > 0 0 < φ <π

20 < θ <

π

2II Segundo octante ρ > 0 0 < φ <

π

2

π

2< θ < π

III Tercer octante ρ > 0 0 < φ <π

2π < θ <

3π

2

IV Cuarto octante ρ > 0 0 < φ <π

2

3π

2< θ < 2π

V Quinto octante ρ > 0π

2< φ < π 0 < θ <

π

2VI Sexto octante ρ > 0

π

2< φ < π

π

2< θ < π

VII Septimo octante ρ > 0π

2< φ < π π < θ <

3π

2

VIII Octavo octante ρ > 0π

2< φ < π

3π

2< θ < 2π




θ = 0 Semiplano xz, con x > 0θ = π Semiplano xz, con x < 0

φ =π

2Plano coordenado xy

ρ = a Esfera x2 + y2 + z2 = a2

θ = b Semiplano perpendicular al plano xy y lo intercepta en el rayo θ = b

φ = c 6= π

2Semicono recto de revolucion x2 + y2 − d2z2 = 0, con d = tan c

Nota 2. Por la definicion adicionalmente supongamos que

(a) para el origen de coordenadas O(0; 0; 0) el radio ρ = 0 y los angulos θ y φson indefinidos;

(b) los puntos del semieje z con z > 0 tienen el angulo φ = 0 y el angulo θ esindefinido;

1.3. RECTAS Y PLANOS 17

(c) los puntos del semieje z con z < 0 tienen el angulo φ = π y el angulo θ esindefinido.

-1.7-2-1.7 -0.7

-1

-0.7

0

0.30.3

1

1.3

2

1.3

Figura 1.10: Coordenadas esfericas 3D (ρ; θ;φ): ρ es constante (esfera), θ es constante

(semiplano vertical), φ es constante (semicono).

1.3. Rectas y planos

Definicion 1.1. Una recta ` en espacio R3 es el conjunto de puntos dado porla ecuacion vectorial de la recta:

~r(t) = (x0; y0; z0) + t (a; b; c) , (1.6)

donde el punto P (x0; y0; z0) esta en la recta `, y ~v = (a; b; c) es un vector directorde ` (ver 1.11).

v=(a,b,c)

P(x ,y , z )0 0 0

Figura 1.11: Una recta `, el punto P esta en `, ~v es un vector director de `


Las ecuaciones parametricas de recta ` son:x = x0 + at

y = y0 + bt

z = z0 + ct

(1.7)

Nota 3. Para una recta el vector director no es unico, sin embargo, si ~v y ~wson vectores directores de una recta `, entonces ~v = λ~w, donde λ ∈ R y λ 6= 0.

Ejemplo 1.12. Hallemos las ecuaciones parametricas de la recta ` que pasa por

los puntos A(1; 2;−1) y B(0;−2; 3) del espacio R3. El vector−−→AB =

−−→OB−

−→OA =

(−1;−4; 4) es un vector director de la recta `, y como punto inicial tomamos elpunto A. Entonces, las ecuaciones de ` son:

x = 1− ty = 2− 4t

z = −1 + 4t

(1.8)

♦

Definicion 1.2. Un plano α es el conjunto de puntos dado por la ecuacionvectorial del plano:

~r(s, t) = (x0; y0; z0) + s (a1; b1; c1) + t (a2; b2; c2) , (1.9)

donde el punto P (x0; y0; z0) esta en α, ~v1 = (a1; b1; c1), ~v2 = (a2; b2; c2) sonvectores que generan el plano α (ver Fig. 1.3).

O

P

M

v

v

1

2

Figura 1.12: Plano, la ecuacion parametrica

Las ecuaciones parametricas del plano α son:x = x0 + a1s+ a2t

y = y0 + b1s+ b2t

z = z0 + c1s+ c2t

(1.10)

1.3. RECTAS Y PLANOS 19

Si ~N = (N1;N2;N3) es un vector normal al plano α y un punto P (x0; y0; z0)

esta en α, entonces para cada punto M(x; y; z) de α los vectores−−→PM y ~N son

ortogonales. Por lo tanto,

−−→PM · ~N = (x− x0; y − y0; z − z0) · (N1;N2;N3) = 0. (1.11)

Entonces, tenemos la ecuacion del plano que pasa por el punto P (x0; y0; z0) y

tiene el vector normal ~N = (N1;N2;N3):

N1(x− x0) +N2(y − y0) +N3(z − z0) = 0. (1.12)

Luego obtenemos la ecuacion lineal del plano α,

N1x+N2y +N3z = d (1.13)

donde d = N1x0 +N2y0 +N3z0 (ver Fig. 1.13).

Nota 4. Para obtener un vector normal se puede tomar el producto cruz ~N =~v1 × ~v2.

O

P

M

n

Figura 1.13: Plano, la ecuacion parametrica

Ejemplo 1.13 (ejercicio resuelto). Graficar en el primer octante (ver sec-cion 1.2) el plano cuya ecuacion es,

x+ y + z = 1. (1.14)

Encuentre tres puntos no colineales sobre el y muestre que efectivamente elvector ~N = (1; 1; 1) es un vector normal al plano dado.

♦


Dada una ecuacion lineal en tres varia-bles, tenemos dos grados de libertad,por lo tanto encontrar tres puntos nocolineales es dar valores por ejemplo a xe y y encontrar z que satisfagan la ecua-cion. Luego verificar que los dos vecto-res formados con estos tres puntos noson uno multiplo del otro. Por ejemploP1(0; 0; 1), P2(0; 1; 0), P3(1; 0; 0). Ahorael producto vectorial

−−−→P3P1 ×

−−−→P3P2 = (−1;−1;−1). (1.15)

Efectivamente ~N y−−−→P3P1×

−−−→P3P2 son pa-

ralelos y por tanto ~N es un vector nor-mal.

0.00.00.0

0.25

0.5

0.5

0.5 u

0.75

v

1.0

1.01.0

Figura 1.14: Plano x+ y + z = 1

Ejemplo 1.14 (ejercicio resuelto). Dados los puntos A(−1; 2; 0), B(6; 0; 1)y C(0; 3; 1). Encuentre la ecuacion del plano α que los contiene. Encontramos

los vectores−−→AB y

−→AC

−−→AB = (7;−2; 1),

−→AC = (1; 1; 1)

y el vector normal

~N =−−→AB ×

−→AC = (7;−2; 1)× (1; 1; 1) = (−3;−6; 9) = −3(1; 2;−3).

Como el punto inicial P tomamos el punto A. Entonces la ecuacion del planoes x+ 2y − 3z = 3.

♦

1.4. Superficies de revolucion

Definicion 1.3. Una superficie de revolucion en el espacio R3 es una superficiegenerada al rotar una curva plana C alrededor de un eje que esta en el plano dela curva.

Supongamos el espacio tridimensional R3 dotado del sistema de coordenadas(x; y; z). Un caso particular es cuando el eje de rotacion es alguno de los ejescoordenados y la curva C esta sobre alguno de los planos coordenados.

Ejemplo 1.15. Supongamos que el eje de rotacion es el eje z y la curva planaC esta sobre el plano xz con ecuacion:

z = f(x) (1.16)

1.4. SUPERFICIES DE REVOLUCION 21

tal que f es una funcion definida solo para x ≥ 0. En el proceso de movimientocada punto (a; 0; f(a)) de la curva C describe una circunferencia con el centro(0; 0; f(a)) y radio a en el plano horizontal z = f(a) (ver Fig. 1.15).

f(a)

a

z=f(a)

x + y = a2 22

x

y

z

(a,0,f(a))

Figura 1.15: Superficie de revolucion

Esta circunferencia satisface las ecuaciones

x2 + y2 = a2, z = f(a), donde a ≥ 0,

entonces la ecuacion de la superficie Σ de rotacion tiene ecuacion:

z = f(√x2 + y2). (1.17)

♦

Ejemplo 1.16. Si el eje de rotacion es el eje x y la curva plana C esta sobre elplano xz con ecuacion:

z = f(x) (1.18)

tal que f es una funcion positiva definida solo para x ≥ 0, entonces la ecuacionde la superficie Σ de rotacion tiene ecuacion:

(f(x))2

= y2 + z2. (1.19)

♦

Ejemplo 1.17. El catenoide es una superficie de revolucion obtenida al rotarsobre el eje x la curva z = coshx, y la ecuacion que la representa es: y2 +z2 = cosh2 x. Una parametrizacion de catenoide es: x = u, y = coshu cos v,z = coshu sin v, con valores de los parametros −2 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2π.

♦


El catenoide, superficie de revolucionobtenida al girar la curva catenaria z =coshx, sobre el plano xz, alrededor deleje x.

-3.6-3.6

-1.6

-20.4

0.4

0

2

2.4

Figura 1.16: Catenoide

Ejemplo 1.18. Encontremos la ecuacion de la superficie al rotar la recta x = 3yalrededor del eje x. Un punto de la recta genera una circunferencia sobre unplano ortogonal al eje x con centro (a; 0; 0) y radio a/3, entonces la ecuacion dela circunferencia es x = a, y2 + z2 = a2/9, luego la ecuacion de la superficie esx2 − 9y2 − 9z2 = 0 (ver Fig. 1.17).

x

y

z

x=3y

Figura 1.17: Cono

♦

1.5. SUPERFICIES CILINDRICAS 23

1.5. Superficies Cilındricas

Definicion 1.4. Dada una recta ` y una curva plana C en el espacio R3, unasuperficie cilındrica cilındrica es una superficie generada por una familia derectas paralelas a ` y que tienen un punto en C.

Un caso particular es cuando la recta ` es alguno de los ejes coordenadoscartesianos y la curva C esta sobre alguno de los planos coordenados.

Ejemplo 1.19. Consideremos como recta generatriz cualquier recta paralela aleje z y que pasa por la curva f(x, y) = k, k = const. en el plano xy. El cilindroobtenido no necesariamente es una superficie de revolucion, por ejemplo si la

curva C es la elipsex2

4+y2

9= 1.

La ecuacion de la superficie cilındrica en R3 en este caso es:

f(x, y) = k. (1.20)

Un cilindro elıptico recto, es una super-ficie cilındrica generada por una fami-lia de rectas paralelas a una recta (eneste caso eje z) y que pasan por unacurva plana C (en este caso la elipsex2

4+y2

9= 1), ubicada sobre un plano

xy. La ecuacion que define esta super-

ficie cilındrica es :x2

4+y2

9= 1. Ob-

servemos que no aparece la variable z,precisamente es el eje paralelo a la rectageneratriz.

-2-3

-1 -2

0

1 0

2

3 2

Figura 1.18: Superficie cilındrica

♦

Ejemplo 1.20. Consideremos la curva C sobre el plano xz, z = sinx. Lasuperficie cilındrica generada por la familia de rectas paralelas al eje y tienecomo ecuacion que la representa:

z = sinx. (1.21)

Nota 5. Si la familia de rectas que generan una superficie cilındrica son pa-ralelas a uno de los ejes coordenados y la curva plana C esta sobre el planocoordenado perpendicular a la familia de rectas, entonces la ecuacion de la su-perficie cilındrica no tiene la variable del eje. Esto no significa que en generallas ecuaciones de las superficies cilındricas no tengan una o dos variables. Unplano podrıa ser considerado como una superficie cilındrica.


Un cilindro sinusoidal , es una superfi-cie cilındrica generada por una familiade rectas paralelas a una recta (en estecaso eje y) y que pasan por una curvaplana C (en este caso el grafico de la fun-cion z = sinx), ubicada sobre un planoxz. La ecuacion que define esta super-ficie cilındrica es la ecuacion z = sinx.Observemos que no aparece la variablex, precisamente es el eje paralelo a larecta generatriz.

-1.8-13

-10

10

Figura 1.19: Superficie cilındrica

♦

1.6. Superficies cuadricas

Definicion 1.5. Supongamos el espacio tridimensional R3 dotado del sistemade coordenadas (x; y; z). Una superficie cuadrica en este espacio es una superficieasociada a una ecuacion de segundo grado en las variables x, y, z, es decir unasuperficie cuadrica tiene como ecuacion que la representa una ecuacion del tipo:

Ax2 +By2 +Cz2 + 2Dxy+ 2Exz + 2Fyz + 2Gx+ 2Hy+ 2Iz + J = 0. (1.22)

Los ejemplos principales de las superficies cuadricas son los siguientes.

1.6. SUPERFICIES CUADRICAS 25

Un paraboloide elıptico es una superficiecuya ecuacion en forma canonica es:

z

c=x2

a2+y2

b2(1.23)

donde a, b, c son numeros reales diferen-tes de cero. En el caso que a = b se lla-ma un paraboloide circular y es ademasuna superficie de revolucion. La orien-tacion del paraboloide elıptico dependedel valor de c, si c > 0 es orientado haciaarriba, y si c < 0 hacia abajo.

-1

0

1 -1.3

-0.3

0.70

1

2

Figura 1.20: Paraboloide elıptico

a 6= b, c = 1

Un paraboloide hiperbolico, ocomunmente llamada una silla demontar , es una superficie cuya ecuacionen forma canonica es:

z

c=x2

a2− y2

b2(1.24)

donde a, b, c son numeros reales diferen-tes de cero.

-2-1

01

2-2-10

1-42

-2

0

2

4

Figura 1.21: Paraboloide hi-

perbolico

a = b, c = 1


Un hiperboloide elıptico de un solo man-to, o comunmente llamada un hiperbo-loide de una hoja, es una superficie cuyaecuacion en forma canonica es:

x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1 (1.25)


-3.4-4

-2

-2.2

0.6

0

-0.2

2

4

1.8

Figura 1.22: Hiperboloide elıptico

de un manto

Un hiperboloide elıptico de dos mantos,o comunmente llamada un hiperboloi-de de dos hojas, es una superficie cuyaecuacion en forma canonica es:

x2

a2+y2

b2− z2

c2= −1 (1.26)


-6-6.0-6

-3.5

-1

-1.0

-1

1.5

4.0

44

Figura 1.23: Hiperboloide elıptico

de dos mantos

1.7. EJERCICIOS CAPITULO 1 27

Un elipsoide, es una superficie cuyaecuacion en forma canonica es:

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 (1.27)

donde a, b, c son numeros reales diferen-tes de cero. En el caso que a = b es unasuperficie de revolucion y si a = b =c = R, entonces tendremos una esferade radio R.

-1.5-2

-1

-1

0.5

0

0

1

1

2

Figura 1.24: Elipsoide

Un cono, es una superficie cuya ecuacionen forma canonica es:

x2

a2+y2

b2− z2

c2= 0 (1.28)

donde a, b, c son numeros reales diferen-tes de cero. En el caso que a = b es unasuperficie de revolucion.

-1.5-1.5-1.4 -0.5

-0.5

-0.4

0.5

0.50.6

1.5

1.5

Figura 1.25: Cono

Las formas canonicas de las cuadricas es la simplificacion al maximo de laecuacion (1.22) usando rotaciones y traslaciones apropiadas.

1.7. Ejercicios Capıtulo 1

Ejercicios recomendados: 1–7; 10 – 14, 17–32, 34 – 40.

Ejercicio 1.1. Encuentre las coordenadas rectangulares del punto (3;π/2; 5)dado en coordenadas cilındricas.


Ejercicio 1.2. Encuentre las coordenadas cilındricas del punto (7;−7; 3) dadoen coordenadas rectangulares.

Ejercicio 1.3. Encuentre las coordenadas cilındricas del punto (2√

6; 2√

6; 4)dado en coordenadas cartesianas.

Ejercicio 1.4. Re-escriba la ecuacion 9x2 + 9y2 + z2 = 13 en coordenadascilındricas.

Ejercicio 1.5. Re-escriba la ecuacion 8x2 + 8y2 − 4z2 = 18 en coordenadasesfericas.

Ejercicio 1.6. Re-escriba la ecuacion x2 + y2 = 18 en coordenadas esfericas.

Ejercicio 1.7. Re-escriba la ecuacion z = 4x2−4y2 en coordenadas cilındricas.

Ejercicio 1.8. El sistema coordenado que mejor describe una simetrıa rotacio-nal con respecto al eje z, es:

(I) El sistema cilındrico;

(II) El sistema esferico;

(III) El sistema cartesiano.

Ejercicio 1.9. El solido E esta arriba del cono z =√x2 + y2 y debajo de la

esfera x2 + y2 + z2 = 6z. Halle la descripcion de este solido en coordenadasesfericas.

Ejercicio 1.10. Encuentre el angulo entre los planos x+ y = 1, y + z = 1.

Ejercicio 1.11. Considere las rectas en R3, x = 1− 3ty = 2 + tz = t

x = 1 + sy = −sz = 4 + s

Decida si se intersectan o no. Si lo hacen halle el punto P de interseccion.

Ejercicio 1.12. Halle la ecuacion del plano que pasa por el origen y es paraleloal plano −10x+ 2y − 5z = −10.

Ejercicio 1.13. Halle la ecuacion del plano que pasa por los puntosA(0;−3;−3),B(−3; 0;−3) y C(−3;−3; 0).

Ejercicio 1.14. Halle la ecuacion del plano que pasa por los puntos A(1; 0;−2),B(1; 3; 1) y C(0; 3; 0).

Ejercicio 1.15. Sea ` una recta que pasa por los puntos Q, y R. Sea P unpunto que no pertenece a `. Demuestre que la distancia desde el punto P a larecta `, se puede expresar segun la siguiente la formula:

d =|~a×~b||~a|

,

donde~a =−−→QR, ~b =

−−→QP.


Ejercicio 1.16. Halle la distancia del punto P (−2; 5; 5) a la recta

x = −1 + t, y = −4− 3t, z = 5t.

Ejercicio 1.17. Halle la ecuacion del plano que pasa por el punto P (3; 0;−3)y que contienen la recta

x = 10− 7t, y = 1 + 2t, z = 1 + 10t.

Ejercicio 1.18. Sea ax+ by+ cz = d un plano α y P un punto. Demuestre quela distancia de P al plano α se puede expresar segun la siguiente formula:

d =|~c · ~N || ~N |

con ~c =−−→QP , donde Q ∈ α es un punto cualquiera y ~N es un vector normal al

plano α.

Ejercicio 1.19. Halle la distancia del punto P (−4;−3;−7) al plano

8x− 7y − 2z = 9.

Ejercicio 1.20. Halle la ecuacion del plano que pasa por la interseccion de losplanos,

x− z = 3

y + 2z = 5

y es perpendicular al plano,

3x+ 5y − 3z = 10.

Ejercicio 1.21. Halle la ecuacion del plano que pasa por el origen y es paraleloal plano,

9x+ 9y − 3z = 9.

Ejercicio 1.22. Halle la distancia entre los planos paralelos,

6x+ 3y − 2z = 7, 12x+ 6y − 4z = 48.

Ejercicio 1.23. Halle las coordenadas del punto P de interseccion entre larecta,

x = 9 + 5t

y = −3

z = 4t

y el plano,3x+ 10y − 2z = 53.


Ejercicio 1.24. Halle la ecuacion vectorial de la recta que pasa por el puntoA(−10; 8; 4) y es paralela al vector, ~v = (2; 4;−7).

Ejercicio 1.25. Identifique el par de planos que son perpendiculares.

(I) x = 2x+ 6y, −6x− 18y + 3z = 10;

(II) −9x+ 8y = 3, −6y + 8z = 10;

(III) x+ 9y − z = 6, −10x− y − 19z = 2.

Ejercicio 1.26. Halle la ecuacion vectorial de la recta que pasa por el puntoP (9; 0; 6) y es perpendicular al plano

−3x+ 3y − 4z = −4.

Ejercicio 1.27. Halle la ecuacion del plano que tiene,x− intercepto = 2

y − intercepto = 8

z − intercepto = 2

Ejercicio 1.28. Halle la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntosA(6;−2; 8) y B(−10;−8; 6).

Ejercicio 1.29. Encuentre las ecuaciones parametricas de la recta que pasapor el punto A(8; 1; 10), que es paralela al plano x+ y + z = −6 y ademas quees perpendicular a la recta

x = −5 + t, y = 13− t, z = 4t.

Ejercicio 1.30. ¿Cual de las rectas es paralela a la recta dada?

x = −8 + t, y = t, z = −7− 10t

(I) r = (−5;−9; 10) + t (2; 2;−20);

(II) x = 10 + t, y = 10 + t, z = 1− t;

(III) la recta de interseccion de los planos x+ 3 = y − 8, x+ 3 = 1− z.

Ejercicio 1.31. Encuentre las trazas de la superficie

x2 − y2 + z2 = 1

con los planos x = k, y = k, z = k.

Ejercicio 1.32. Identifique la superficie con ecuacion

100y2 + x2 = 25 + 25z2.


Ejercicio 1.33. Halle la ecuacion de la superficie formada por todos los puntosP tales que la distancia desde P al eje x es cuatro veces la distancia de P alplano yz.

Ejercicio 1.34. La ecuacion de un paraboloide hiperbolico es:

(I)x2

4+y2

7=

z

10;

(II)x2

5+y2

10= 1− z2

4;

(III)x2

7+y2

10=z2

4;

(IV)x2

9− y2

7=z

5.

Ejercicio 1.35. La superficie cuya ecuacion esta dada por,

y2 + 100z2 − x = 0

es un:

(I) hiperboloide de un solo manto con eje el eje x;

(II) paraboloide elıptico con eje el eje x y vertice en el origen;

(III) hiperboloide de dos mantos con eje el eje y;

Ejercicio 1.36. La reduccion de la ecuacion,

z2 = 6x2 + 5y2 − 30

a su forma estandar es:

(I) x2 + y2 − z2

5= 1;

(II)x2

5+y2

6− z2

30= 1;

(III) (x− 1)2

+y2

(1/5)2+ z2 = 1.

Ejercicio 1.37. La ecuacion,

4x2 + y2 − z2 − 8y + 8z = 0

es de un:

(I) hiperboloide de un solo manto con centro en (−2; 4;−1) y eje paralelo aleje z;


(II) un cono con eje paralelo al eje z y vertice en (0; 4; 4);

(III) un paraboloide circular con vertice en (0; 4; 1) y eje el eje z.

Ejercicio 1.38. Halle la ecuacion para la superficie que se obtiene al rotar laparabola y = x2 alrededor del eje y.

Ejercicio 1.39. Encuentre la ecuacion para la superficie que se obtiene al rotarla recta z = 5y alrededor del eje z.

Ejercicio 1.40. Encuentre la ecuacion para la superficie que consiste de todoslos puntos P tales que equidistan del punto (0;−5; 0) y el plano y = 5.

Capıtulo 2

Soluciones

2.1. Respuestas Ejercicios Capıtulo 1

1.1 (0; 3; 5).

1.2

(7√

2;7π

4; 3

).

1.3 (4√

3;π/4; 4).

1.4 9r2 + z2 = 13.

1.5 ρ2(8 sin2 φ− 4 cos2 φ

)= 18.

1.6 ρ2 sin2 φ = 18.

1.7 z = 4r2 cos 2θ

1.8 (I).

1.9 0 ≤ ρ ≤ 6 cosφ, 0 ≤ φ ≤ π/4, 0 ≤ θ < 2π.

1.10 π/3.

1.11 P (−2; 3; 1).

1.12 −10x+ 2y − 5z = 0.

1.13 x+ y + z = −6.

1.14 x+ y − z = 3.

1.16 2√

93435 ≈ 10,33.

33

34 CAPITULO 2. SOLUCIONES

1.17 2x− 98y + 21z = −57.

1.19 213

√13 ≈ 0,55.

1.20 x+ 6y + 11z = 33.

1.21 3x+ 3y − z = 0.

1.22 17/7 ≈ 2,43.

1.23 P (49;−3; 32).

1.24 (−10~i+ 8~j + 4~k) + t(2~i+ 4~j − 7~k).

1.25 (III).

1.26 (9~i+ 6~k) + t(−3~i+ 3~j − 4~k).

1.27x

2+y

8+z

2= 1.

1.28 (6~i− 2~j + 8~k) + t(8~i+ 3~j + ~k).

1.29 x = 5t+ 8, y = −3t+ 1, z = −2t+ 10.

1.30 (I).

1.31

x = k, z2 − y2 = 1− k2,hiperbolas

y = k, x2 + z2 = 1 + k2, circunferencias

z = k, x2 − y2 = 1− k2,hiperbolas

.

1.32 Hiperboloide de un solo manto con eje el eje z.

1.33 16x2 = y2 + z2.

1.34 (IV).

1.35 (II).

1.36 (II).

1.37 (II).

1.38 y = x2 + z2.

1.39 x2 + y2 =1

25z2.

1.40 z2 + x2 = −20y.

cálculo vectorial

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