b102 - clase 2 - líneas de transmisión

Universidad Nacional del CallaoFacultad de Ingeniería Eléctrica y ElectrónicaSección de Postgrado

Maestría en Ingeniería EléctricaMaestría en Ingeniería EléctricaMención en Gestión de Sistemas de Energía Eléctrica

Curso B102 – Modelación de Sistemas de Energía Eléctrica

Manfred F. Bedriñana AronésExpositor :

g

Doctor en Ingeniería EléctricaIngeniero Electricista C.I.P. Nº 95644

2013

Maestría en Ingeniería Eléctrica Curso B102 – Modelación de Sistemas de Energía Eléctrica

Capítulo 3

Líneas de Transmisión

29/9/2013 [email protected] 2


A. Aspectos generales (1)Mayoría de líneas de transmisión son aéreas (razones técnicas yaéreas (razones técnicas y económicas).

Casi 1% de las líneas de transmisión bt á ( blson subterráneas (problemas

ambientales y estéticos).

Una línea de transmisión área U a ea de t a s s ó á eaconsiste en:

ConductoresAisladoresCable de guardaCable de guardaTorres de acero, madera o concreto reforzado 1 circuito o 2 circuitos.



A. Aspectos generales (2)Selección económica del nivel de t iótensión:

Cantidad de potencia y distancia de transmisión

Elección del nivel de tensión +Elección del nivel de tensión sección del conductor, considerar:

Pérdidas RI2, ruido audible, nivel de interferencia

versusCostos de inversión

Aumento de # cond. por fase :Aumento radio efectivoAumento radio efectivo

disminuye reactanciaDisminución de campo eléctrico cerca de conductor

disminuye pérdidas por efectodisminuye pérdidas por efecto corona, ruido audible, radio de interferencia



B. Conductores aéreosFunciones

l i i dAluminio – componente de conducción de corrienteAcero – apoyo estructural

Tipos de conductoresACSRConductor de aluminio con interior de acero y reforzado con hilosAAC Conductor todo de AluminioAAACAAACConductor todo de Aleación de Aluminio ACARConductor Aleación con interior deConductor Aleación con interior de Aleación de Aluminio



C. Cables (1)Cables subterráneos detransmisión y distribuciónMaterial semiconductor que envuelve el conductor paragraduar el campo eléctricoLa chaqueta de plástico proporciona aislamiento y protecciónCable neutro en una envolturaexterior para protección y retorno de corrientes



C. Cables (2)



D. Parámetros de las Líneas de TransmisiónResistencia de línea

i i i i id d d l dResistencia DC

Resistencia AC

AlρRDC =

ρ = resistividad del conductorl = longitud del conductorA = sección transversal del

conductorResistencia ACEfecto SkinEn 60 Hz:

Ef t d l t t

DCAC RR 02.1=conductor

Efecto skin aumenta la resistencia AC

Efectos de la temperaturaIncremento en la resistencia del conductor con el aumento de la temperaturaTemperatura de operación para 65ºC, 75ºC, o 90ºCLa temperatura de ambiente es 20ºCLa temperatura de ambiente es 20 CConstante de temperatura T, depende del material

newtTRR += Cº228

oldoldnew tT

RR+

= CTAl º228=



E. Repaso de Magnetismo e Inductancia (1)Ley circuital de Ampere

∫ ==γ

eidlHF .

Integral del producto escalarde un camino cerrado y la intensidad de campo magnético es igual a la corriente encerrada

Flujo magnético

a.dBA∫=φ

HB μ=

Integral de la densidad de flujo magnético que es perpendicular al área definida



E. Repaso de Magnetismo e Inductancia (2)Enlace de flujo

∑=N

ii

1φλ

Inductancia

=i 1

IL λ=

IdH

IdB

I∑∫∑∫∑ ===

a.a. μφIII



F. Inductancia de un Conductor SimpleCondiciones

l b i fi i i i d d lAlambre recto infinito que es una aproximación de un conductor muy largo

SuposicionesImagen del cond ctor para cerrar en +/ infinito estableciendo n tipo deImagen del conductor para cerrar en +/- infinito, estableciendo un tipo de “bobina de una vuelta” con el camino de retorno en el infinitoConductor recto infinitamente largo con radio rDensidad de corriente uniforme en el conductor. La corriente total es IxFlujo lineal en forma de círculos concéntricosSimetría angular – esto es suficiente para considerar Hx



F. Inductancia de un Conductor SimpleGeneral

Ixπ2

xπI

HIdlH xxπ

xx 2=⇒=∫

0

.

Caso 1: Interior del conductor (x < r)

xrπIμ

Bxrπ

IHxπ

IrπI

xxx

20

222 2=→

2=→=

rπrπxπrπ 22

xdxrπIμ

dxBφd xx 20

2==

dxxrπIμ

φdrxλd

rπ

xx3

40

2

2

2==→

2

rπr 2

mHIμ

LIμ

dxxIμ

λdλrr

x /.intint7−003

40 10×50==→=== ∫∫ valor


ππrπx intint

04

0 882∫∫

constante


F. Inductancia de un Conductor SimpleCaso 2: Fuera del conductor (x > r)

xIHBII xxx π

μμ2

00 ==→=

dxxπIμ

dxBφd xx 2== 0

dxxπIμ

φdλd xx 2==→ 0

DD

πIμ

dxxπ

Iμλdλ

DD

xext ln1

202

02

2=

12

== ∫∫

mHDDL

Dπxπ

ext

DD

/ln 27−

111

10×2=

22


D1


G. Inductancia de una Línea MonofásicaConductores de radio r1 y r2, separados una distancia D

1

7)(1 ln102

rDL ext

−×=1r

1

7−7−111 10×2+10×50=+=

rDLLL ext ln.)((int)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+×= −

− Der

L ln1ln102 4/11

71

sDrerLLrr ==== − 4/1'2121 Radio efectivo o GMRL

mHDD

rD

erDL

s

/ln102ln102ln102 7'

74/1

1

71 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×= −−

−−



H. Enlace de Flujo – Inductancia Propia y MutuaEn el caso de dos conductores

2121111 ILIL +=λ

ILIL +=λ→−= 21 II 1121111 ILIL −=λ

ILIL +−=λ2221212 ILIL +=λ 2222212 ILIL +−=λ

( ) ⎟⎞

⎜⎛−− DLL 1l102l102 77

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

×=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

×= −− 77 ln102ln102 DLDL

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=×−==

DDLL ln102ln102 77

2112


⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

×=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

×= '2

22'1

11 ln102ln102r

Lr

L


I. Inductancia TotalCaso general

0......21 =+++++ ni IIII

ijILILn

jiijiiii ≠+= ∑

=1λ

j=1

ijIIλn

jii ≠⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ 1

+1

10×2= ∑7− ln ijD

Ir

Iλj ij

jii ≠⎟⎠

⎜⎝

+10×2= ∑1=

'ln



Espaciamiento Simétrico

J. Inductancias de Líneas Trifásicas

0=++ cba III

⎞⎛ 111⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++×= −

DI

DI

rI cbaa

111ln102 '7λ

⎞⎛ 11⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×= −

DI

rI aaa

11ln102 '7λ

D7 mHrDLa /ln102 '

7−×=

kmmHDL /ln20= similar a línea monofásicakmmHD

Ls

/ln2.0= similar a línea monofásica



K. Inductancias de Líneas TrifásicasEspaciamiento asimétrico

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++×= −

1312'

7 111ln102D

ID

Ir

I cbaaλ

⎞⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++×= −

2321'

7 111ln102D

ID

Ir

I cabbλ

⎞⎛ 111⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++×= −

3123'

7 111ln102D

ID

Ir

I abccλ

LI=λ LIλ

⎥⎤

⎢⎡⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

aIDDr 1312'

111

111ln

matriz de inductancias con⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

×== −

c

b

II

rDD

DrDLI

'

23'

21

7

1ln11

11ln1102λ matriz de inductancias con elementos propios y mutuos


⎥⎦⎢⎣ rDD 3231


L. Transposición (1)En la práctica la disposición equilátera de fases no es conveniente

fi i h i l i l li dLas configuración horizontal o vertical son mas generalizadas.La simetría se pierde – condiciones desbalanceadas.

Restaurar las condiciones de balance por el método de transposiciónLa inductancia promedio de cada fase será el mismo

Cada fase ocupa en cada posición la misma fracción del total del largo de la líneaCada fase ocupa en cada posición la misma fracción del total del largo de la línea



L. Transposición (2)Inductancia por fase

( )mH

DDDrL /ln

'ln / 31

132312

7−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ 1−

110×2=

( )mH

rDDD

L /'

ln/ 31

1323127−10×2=

⎠⎝

inductancia por fase (a, b, c)

M t i d i d t i

kmmHDs

GMDL /ln. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛20=

GMD: Geometric Mean Distance

Matriz de inductancia es una diagonal de inductancias propias

3132312= DDDGMD



M. Repaso de los Campos EléctricosLey de Gauss

C lé i

a.dDqAe ∫=

Campo eléctrico

ED ε=

Potencial eléctrico

∫2D

dlEvvv

Capacitancia

∫−=−=1

21.12 DDD dlEvvv

Cvq =



N. Conductor Recto Infinito (1)

)l ( 22 DqdqD

∫ )ln(22 1

2

0012

2

1 DDqdx

xqv

D πεπε== ∫)ln(

21

)1(12Dqv q = )(

2 0)1(12 rq πε

)ln(2 0

2)2(21 D

rqv q πε=

0

qqqDrq

rDqvvv qq −=−=+=+= 12

0

2

0

1)2(21)1(1212 )ln(

2)ln(

2 πεπε 00

)ln(0

12 rDqv

πε=

vqC =12

mFD

πεC o /

ln=12


r


Capacitancia línea a línea

N. Conductor Recto Infinito (2)

mFD

πεC o /

ln=12

Capacitancia a neutro equivalente

rln

mFDπε

C o /ln

2=

rln

kFC /.05560 kmFμ

rD

C /ln

=



O. Capacitancia TrifásicaLínea trifásica transpuesta

kFC /.05560GMD: distancia geométrica media

entre conductoreskmFμ

rGMD

C /ln ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

r: radio del conductor

3132312= DDDGMD similar al usado en el cálculo


de inductancia


O. Efecto de tierraUn conductor cargado y aislado

Lí d fl j lé t i di lLíneas de flujo eléctrico radiales y ortogonales a una superficie equipotencial de un cilindro.

La presencia de la tierra altera la distribución de las líneas de flujo y las superficies equipotenciales

cambia el efecto capacitivocambia el efecto capacitivo

El nivel de tierra es una superficie equipotencial y las líneas de flujo lo cortanequipotencial y las líneas de flujo lo cortan en forma ortogonal.

El efecto de la tierra puede verse usando el pmétodo de las cargas imágenes introducido por Kelvin.

El efecto de tierra aumenta la capacitancia



P. Múltiples Conductor por fase (1)Comúnmente usado para reducir la intensidad de campo eléctrico en la

fi i d l d tsuperficie del conductorSe utiliza en líneas aéreas por encima de 230 kVLos conductores son conectados en paraleloC fi i tí i d d t últi lConfiguraciones típicas de conductores múltiples

El uso de los conductores múltiples afecta la impedancia de la línea.



Circuito monofásico de múltiples conductores por fase (inductancia)

P. Múltiples Conductor por fase (2)

p p ( )

GMD ⎟⎞

⎜⎛

kmmHGMRLGMDL

xx /ln. ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛20=

GMD (geometric mean distance): (g )

GMRL (geometric mean radius - inductancia)

nm bmnbnabmbbbaamabaa DDDDDDDDDGMD ×= )...)...(...)(...( ''''''

GMRL (geometric mean radius inductancia)2

= n nnnbnabnbbbaanabaax DDDDDDDDDGMRL )...)...(...)(...(

41− /'DDD


41==== /'... rerDDD nnbbaa


Circuito monofásico de múltiples conductores por fase (capacitancia)


p p ( p )

05560 kmFμ

GMRCGMD

C

x

/ln

.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛05560

=

GMD (geometric mean distance), igual al encontrado en inductancia

x ⎠⎝

(g ), g

GMRC (geometric mean radius - capacitancia)

nm bmnbnabmbbbaamabaa DDDDDDDDDGMD ×= )...)...(...)(...( ''''''

GMRC (geometric mean radius capacitancia)2

= n nnnbnabnbbbaanabaax DDDDDDDDDGMRL )...)...(...)(...(

rDDD === diferente al calculado en inductancia


rDDD nnbbaa === ... diferente al calculado en inductancia


Ejemplos


j p

2 ×= drGMRL ' 3 2×= drGMRL ' 4 3'09.1 drGMRL ××=

2 ×= drGMRC 3 2×= drGMRC 4 309.1 drGMRC ××=



Ejercicio 1 – Resolver en claseUna línea de 500 kV trifásica y transpuesta es compuesta por un (1)

d t ACSR 1 272 000 il 45/7 ‘Bitt ’ fconductor ACSR 1, 272,000 cmil, 45/7 ‘Bittern’ por fase con una configuración horizontal como mostrada en la figura. Encontrar la inductancia y capacitancia por fase por km de línea.

Usar los programas de MATLAB:acsr m (para obtener parámetros de los conductores)acsr.m (para obtener parámetros de los conductores)gmd.m (para obtener GMD, GMRL, GMRC)



Ejercicio 2 – Resolver en claseLa línea de 500 kV del ejercicio 1 es reemplazada por dos (2) conductores ACSR 636 000 il 24/7 ‘R k’ f fi ió h i t lACSR 636,000 cmil, 24/7 ‘Rook’ por fase con una configuración horizontal como mostrada en la figura. Encontrar la inductancia y capacitancia por fase por km de línea.


Comparar los resultados de L y C respecto al ejercicio 1


Comparar los resultados de L y C respecto al ejercicio 1.


Ejercicio 3 – Resolver en claseUna línea de 750 kV trifásica y transpuesta es compuesta por 4 conductores ACSR 954 000 il 47/7 ‘R il’ f fi ió h i t lACSR, 954,000 cmil, 47/7 ‘Rail’ por fase con una configuración horizontal como mostrada en la figura. Espaciamiento de 46 cm (18”).Encontrar la inductancia y capacitancia por fase por km de línea.




Ejercicio 4 – Resolver en claseUna línea de 350 kV trifásica y transpuesta es compuesta por 2 conductores ACSR 1 431 000 il 45/7 ‘B b li k’ f fi ióACSR, 1,431,000 cmil, 45/7 ‘Bobolink’ por fase con una configuración vertical como mostrada en la figura. Espaciamiento de 18’’.Encontrar la inductancia y capacitancia por fase por km de línea.

U l d MATLAB d


Usar los programas de MATLAB: acsr.m, gmd.m


Q. Modelación de Líneas de TransmisiónLas líneas de transmisión son representadas por un circuito equivalente con l á t f ió d d flos parámetros en función de cada fase

Las tensiones se expresan como fase a neutroLas corrientes son expresadas como una faseEl sistema trifásico es reducido a un equivalente monofásicoEl sistema trifásico es reducido a un equivalente monofásico

Todas las líneas están compuestas de una resistencia y una inductancia serie, una capacitancia shunt y conductanciap y

Parámetros de las líneas: R, L, C, y G

Existen tres tipos de modelosDepende de la longitud y el nivel de tensiónModelos corto, medio y longitud de línea larga



R. ABCD CuadripoloTodos los modelos de las líneas de transmisión pueden ser descritas como

d d d i luna red de cuadripoloEl modelo ABCD cuadripolo es la representación mas comúnLa red es descrita por cuatro constantes: A, B, C y DE i d dEcuaciones de red

Ecuaciones del circuito

RRs BIAVV +=

RRs DICVI +=

Forma matricial

⎥⎤

⎢⎡⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡ RS VBAV

⎥⎦

⎢⎣⎥⎦

⎢⎣

=⎥⎦

⎢⎣ RS IDCI



S. Modelo de Líneas de Transmisión CortasEl modelo de la línea de transmisión corta puede ser utilizada cuando

l i d d l l ill ( k )La longitud de la línea es menor que 50 millas (80 km), oLa tensión de la línea no es superior a 69 kV.

Modelación de los parámetros de la línea de transmisiónModelación de los parámetros de la línea de transmisiónLa capacitancia shunt y la conductancia son ignoradas.La resistencia y la reactancia de la líneas son consideradas como parámetros concentrados.

Circuito del modelo corto



T. Modelo de Líneas de Transmisión CortasAnálisis del circuito del modelo corto de la línea

II RS II =

)( LjRIVV SRRS ω++=

ZIV RR +=



W. Representación en cuadripoloEcuaciones del circuito:

RlineRS IZVV +=

RS II =

Representación matricial:

RS

⎤⎡⎤⎡⎤⎡ VZV 1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

R

Rline

S

S

IVZ

IV

101

Valores de ABCD:

1=A

0==

CZB line


1== AD


X. Modelo de Líneas de Transmisión MediasEl modelo de las líneas de transmisión medias pude ser usado cuando

l i d d l l ill ( k )La longitud de la línea es mayor que 50 millas (80 km)La longitud de la línea es menor que 150 millas (250 km)

Modelación de los parámetros de la línea de transmisiónModelación de los parámetros de la línea de transmisiónLa mitad de la capacitancia shunt se considera concentrado en los extremos de la líneaLa resistencia y reactancia de la línea se consideran como parámetros y pconcentrados

Circuito del modelo medio



X. Modelo de Líneas de Transmisión MediasAnálisis del circuito del modelo medio de la línea

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= R

CRlineRS VYIZVV

2YZ

⎟⎞

⎜⎛

RlineRCline IZVYZ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

21

CCline VYVYZII +⎟⎞

⎜⎛ += SRRS VVII

24+⎟

⎠⎜⎝

+=

RCline

RCline

C IYZVYZY ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

21

41


⎠⎝⎠⎝ 24


Y. Representación cuadripolo

Ecuaciones del circuito:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= R

CRlineRS VYIZVV

2RlineR

Cline IZVYZ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

21

⎞⎛⎞⎛S

CR

ClineRS VYVYZII

24+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += R

ClineR

ClineC IYZVYZY ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

21

41

Representación matricial:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎞⎛

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ Rline

Cline

S VYZYZ

ZYZV 2

1

Valores de ABCD:

⎥⎦

⎢⎣⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎥⎦

⎢⎣ RClineCline

CS IYZYZYI

21

41

Valores de ABCD:

11

21

ClineCline

lineCline

YZDYZYC

ZBYZA

+=⎟⎞

⎜⎛ +=

=+=


21

41C DYC +=⎟

⎠⎜⎝+=


Ejemplo 5 – Resolver en claseLínea de transmisión 345 kV de longitud 130 km, tiene por fase

/k /k /kR=0.036 Ω/km L=0.80 mH/km C=0.0112 μF/km Encuentre el modelo de cuadripolo

PPreguntas:Qué modelo usar? Porqué?

Usar los programas de MATLAB: rlc2abcd.mFormato de entrada salida:Formato de entrada-salida:

[Z, Y, ABCD] = Rlc2abcd(R, L, C, g, f, Longitud)R: resistencia (ohms/km),R: resistencia (ohms/km),L: inductancia (mH/km),C: capacitancia (μF/km),g: conductancia (mhos/km),f: frecuencia (Hz)



Z. Modelo de Líneas de Transmisión Largas (1)El modelo de las líneas de transmisión largas es usado cuando

l i d d l l ill ( k )La longitud de la línea es mayor que 150 millas (250 km)

Modelación de los parámetros de la línea de transmisiónPrecisión obtenida mediante el so de parámetros distrib idosPrecisión obtenida mediante el uso de parámetros distribuidos.La impedancia serie por unidad de longitud es zLa admitancia shunt por unidad de longitud es y



Z. Modelo de Líneas de Transmisión Largas (2)

)()()( xxIzxVxxV Δ+=Δ+ )()()( xxVxyxIxxI Δ+Δ+=Δ+

)()()( xzIx

xVxxV=

Δ−Δ+ )()()( xxyV

xxIxxI

Δ+=Δ

−Δ+

)()(0lim xzIdx

xdVxcuando =→Δ )()(0lim xyVdx

xdIxcuando =→Δ




xdIzxVd )()(2

=xdVyxId )()(2

=dx

zdx2 = dx

ydx2 =

))(()(2

xyVzxVd= ))(()(2

xzIyxId=

constante de propagación

))((2 xyVzdx

= ))((2 xzIydx

=

zyγ =


yγ



)( 22 xVd )()( 2

2 xVdx

xVd γ= xx eAeAV γγ −+= 21

))(( CjgLjrzyj ωωβαγ +++ ))(( CjgLjrzyj ωωβαγ ++==+=

)()()(1)( 2121xxxx eAeAzeAeAxdVxI γγγγγ −− −=−==

impedancia característica

)()()( 2121 eey

eezdxz

x

yzZC =C

)(1)( 21xx

C

eAeAZ

xI γγ −−=C

2+

=⇒0= 1CRR ZIV

Ax 22CRR ZIVA −

=




yzxCRRyzxCRR ZIVZIVV −−+

+)(

Funciones Hiperbólicas

yCRRyCRR eexV +=22

)(

yzxRCRyzxRCR eIZVeIZVxI −−−

+=

22)(

22

R

yzxyzx

CR

yzxyzx

IeeZVeexV22

)(−− −

++

=2

sinh

θθ

θθ

θ

−

−

+

−=

ee

ee

C 22

R

yzxyzx

R

yzxyzx

IeeVeeZ

xI22

1)(−− +

+−

=

2coshθ +

=ee

RRCZ 22

)(

RCR IyzxZVyzxxV )sinh()cosh()( +=

RRC

IyzxVyzxZ

xI )cosh()sinh(1)( +=


CZ


AA. Representación cuadripoloHaciendo l→x

RCRS IZVV )sinh()cosh( ll γγ +=

RRC

S IVZ

I )cosh()sinh(1ll γγ +=

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

= )cosh()sinh(1)sinh()cosh(

ll

ll

γγ

γγ CZABCD

⎥⎦

⎢⎣

)cosh()sinh( ll γγCZ

zyzZzy C ==γ



AB. Modelo π de una Línea de Transmisión LargaSe representa una línea de transmisión larga como modelo π para el análisis d i itde circuitosEl circuito:

E t l l d Z’ Y’Encontrar los valores de Z’ y Y’

RRS IZVYZV '2

''1 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += )sinh(' lγCZZ =2 ⎠⎝

RRS IYZVYZYI ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2''1

4''1'

⎠⎝⎠⎝ 24

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=−=

2tanh1

)sinh(1)cosh()1)(cosh(

'1

2' l

l

ll

γγ

γγZZZ

Y


⎠⎝ 2)sinh(2 lγ CC ZZZ


AC. Ondas viajeras (1)La tensión en cualquier punto a lo largo de la línea es:

xβxαxβxα eeAeeAxV −−21 +=)(

Transformando en el dominio del tiempo:

),(),(),( xtvxtvxtv 21 +=

)cos(),( xβwteAxtv xα +2= 11

)cos()( xβwteAxtv xα2= −

Onda incidente

Onda reflejada)cos(),( xβwteAxtv −2= 22 Onda reflejada

α Constante de atenuaciónβ Constante de fase



AC. Ondas viajeras (2)La longitud de onda o distancia x en la onda para una fase de 2π es:

La velocidad de propagación de la onda esβπλπλβ 2

=⇒2=

fd 2

βπKt

βwxπKxβwt 2

−=⇒2=+ βfπ

βwv

dtdx 2

===

Asumiendo g = 0, r = 0, entonces α = 0, también:

LCwβ = LCv 1=

LCfλ 1=

Suponiendo GMRL = GMRC

LC LCf

10×31 8 / V l id d d l l !

kmλ

smεμ

voo

5000=1

=1

≈

10×3=≈

8

8 / Velocidad de la luz !


εμf oo 10×3×60 8


AD. Potencia natural o SILAsumiendo g = 0, r = 0, entonces α = 0, también:

La potencia de Zc es llamada de potencia natural o SIL (Surge Impedance L di )

CLZC =

Loading)

C d l lí d l SIL tic

RZV

SIL23

=

Cuando la línea es cargada al SIL se tiene:La tensión y corriente en cualquier punto de la línea son constantes.

xβVxV R∠=)(

No existe potencia reactiva en la línea:

xβIxIxβVxV

R

R∠=∠=

)()(

0== RS QQp

El SIL es una medida útil de la capacidad de la línea de transmisión, indica el cargamento donde la línea necesita menos requerimientos de reactivos.

0RS QQ



Ejemplo 6 - Línea de Transmisión Larga (1)250 km, 500 kV la línea de transmisión tiene por fase

j /k j /kZ=0.045+j0.4 Ω/km Y=j4.0 μS/kmEncuentre ABCD para un modelo π de la línea de transmisión larga



Ejemplo 6 - Línea de Transmisión Larga (2)250 km, 500 kV la línea de transmisión tiene por fase

j /k j /kZ=0.045+j0.4 Ω/km Y=j4.0 μS/kmEncuentre ABCD para un modelo π de la línea de transmisión larga

400450 j 76.177.316104

4.0045.06 jj

yzZC −=

×+

== −

001267.010104.7)104)(4.0045.0( 56 jjzy +×=×+== −−γ

36988810)sinh(' jZZ +== lγ 36.9888.10)sinh( jZZ C +== lγ

0010080tanh1' jY=⎟

⎞⎜⎛=

lγ 001008.02

tanh2

jZC

=⎟⎠

⎜⎝

=



Ejemplo 6 - Línea de Transmisión Larga (3)

36988810' jZ +

001008.02' jY=

36.9888.10' jZ +=

2

0055.09504.02

''1 jYZDA +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

2 ⎠⎝

36.9888.10' jZB +==

00100.04

''1' jYZYC =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Calcular Z, Y y los parámetros ABCD del modelo de línea larga.Usar el programa en MATLAB Rlc2abcd.mComparar los resultados con un modelo de línea media.


Comparar los resultados con un modelo de línea media.


Ejemplo 7 – Resolver en clase (1)Línea de transmisión de 300 km, 550 kV, tiene por fase

/k /k /kr = 0.016 Ω/km L = 0.97 mH /km C = 0.0115 μF/km

++ Usando el programa lineperf.m (opción 1 en parámetros), calcular:

0) Impedancia característica Zc, constante de propagación γ = α + jβ.a) Determine las cantidades de envió cuando la carga de recepción es 800 MW,

0 8 factor de potencia en atraso y en 500 kV0.8 factor de potencia en atraso y en 500 kV.b) Determine las cantidades de recepción cuando el envío es 600 MW y 400

MVAr transmitidos en 525 kV desde el envió.c) Determine las cantidades de envió cuando la recepción es modelada como unac) Determine las cantidades de envió cuando la recepción es modelada como una

impedancia de carga de 290 ohms en 500 kV.d) Encuentre las tensiones de envió y recepción de la línea se esta está en vació y

es energizada con 500 kV en el extremo de envió. Determine la reactancia y MVA d h ifá i i l d l d ió dMVAr de un reactor shunt trifásico instalado en el extremo de recepción de manera de limitar la tensión en el extremo de recepción (sin carga) a 500 kV.

e) Encuentre las corrientes de envió y recepción cuando la línea es cortocircuitada en el extremo finalen el extremo final.



Ejemplo 7 – Resolver en clase (2)300 km, 550 kV la línea de transmisión tiene por fase

/k /k /kr = 0.016 Ω/km L = 0.97 H /km C = 0.0115 μF/km

Línea en vacio

Línea compensada con reactor shunt X 1519 hXL = 1519 ohms.

Valor para: VR = 500 kVVR 500 kV



300 km, 550 kV la línea de transmisión tiene por fase/k /k /k

Ejemplo 7 – Resolver en clase (3)

r = 0.016 Ω/km L = 0.97 H /km C = 0.0115 μF/km

Cargas menores que SIL se necesita reactores.

En SIL tensión en cualquier punto de la línea cte, V(x) = VS.

Cargas mayores que SIL

( )

se necesita capacitores (1000 MW)

SIL = 860 8 MW


SIL = 860.8 MW


300 km, 550 kV la línea de transmisión tiene por fase/k /k /k

Ejemplo 7 – Resolver en clase (4)

r = 0.016 Ω/km L = 0.97 H /km C = 0.0115 μF/km

El SIL es una medida útil de la capacidad de la línea de transmisiónla línea de transmisión.

Limites son definidos con valores múltiplos del SIL.del SIL.


b102 - clase 2 - líneas de transmisión

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