CAPITULO IV

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CAPITULO IV

IV. LNEAS DE TRANSMISIN.

IV.1 Introduccin.

Las lneas de transmisin son los elementos constituyentes de un SEP a travs de los cules se transmiten grandes cantidades de potencia elctrica de un lugar a otro y lo cual debe de buscar realizarse en la mejor forma tcnica y econmicamente posible es decir hay que buscar hacerlo de manera ptima y para lograrlo hay que hacerlo a niveles de tensin de operacin adecuados de tal manera que se minimicen los costos de: inversin, amortizacin, operacin y mantenimiento. Actualmente las lneas de transmisin de potencia elctrica lo hacen en corriente alterna (ca) y en corriente directa (cd), aunque la gran mayora son de ca debido a sus ventajas tcnicas y econmicas sobre las de cd a los niveles de potencia que se transmite y de tensin de operacin que ms comnmente se utilizan, las de cd llegan a presentar ventajas sobre las de ca solo si transmiten grandes cantidades de potencia elctrica a muy altas tensiones, por lo que cuando se habla de disear lneas de transmisin en un SEP generalmente se refiere uno a las de ca. En ste captulo no se pretende tratar como se disea una lnea de transmisin, sino sealar las caractersticas bsicas ms relevantes, como son: indicar los fenmenos elctricos y magnticos que se presentan en ellas durante su operacin en el estado permanente, identificar y calcular los parmetros de resistencia, inductancia, conductancia y capacitancia, para que en base a ellos se calculen la impedancia en serie y la admitancia en derivacin por fase que presentan, y en base a estas ltimas se estructuren sus circuitos equivalentes y estos se utilicen para establecer las expresiones que permitan calcular las tensiones, corrientes y potencias que se transmiten a travs de las lneas de transmisin en el estado permanente equilibrado.

IV.1. Generalidades.

Este tema se iniciar haciendo referencia a los elementos que constituyen principalmente a las lneas de transmisin, los cules son: conductores, torres, aisladores, hilos de guarda, herrajes y contra-antenas.

Los conductores son los elementos a travs de los cules fluye la energa elctrica y para hacerlo adecuadamente deben de ser de una material que presente un valor bajo de resistencia a la circulacin de la corriente, los ms usados son el cobre y el aluminio, en lneas de transmisin de preferencia se utilizan conductores de aluminio, lo cual se debe a que tiene menor precio y peso que el cobre, lo cual permite utilizar apoyos (torres) menos robustos, pero presenta el inconveniente de tener baja resistencia a la tensin mecnica, lo cual obliga a localizar los apoyos a distancias menores. Los conductores que se utilizan en las lneas de transmisin que operan a tensiones altas actualmente son construidos a base de aluminio puro, aluminio con alguna aleacin, o el reforzado con alma de acero, en el mercado a los diferentes tipos de conductores se les identifica por las iniciales de su denominacin en ingls, como los casos siguientes:

AAC All Aluminium Conductor.

AAAC All-Aluminium-Alloy Conductors.

ACSR Aluminium Conductor Steel Reinforce

ACAR Aluminium Conductor Alloy_Reinforced.

Los conductores de las lneas son cables constituidos de varios alambres trenzados helicoidalmente en varias capas, donde una capa es enrollada en una sentido y la siguiente en sentido opuesto, lo cul se hace con el fin de que no se destrencen fcilmente y presenten buena flexibilidad para poder manipularse. Las diferentes caractersticas de los conductores las muestran los fabricantes de conductores en tablas que indican: el nombre con que se identifica al conductor, el nmero de alambres del material conductor y el nmero de alambres que se utilizan para reforzarlos, el rea en circular mils, el radio exterior, el valor de resistencia que presenta el conductor a la corriente directa y a la corriente alterna y para esta ltima se indica a que valor de temperatura de operacin se refieren y tambin para que valor de frecuencia, el valor de radio medio geomtrico, as como los valores de reactancia inductiva y capacitiva a un pie de separacin. (Se adicionar posteriormente una tabla donde se muestren las caractersticas de los conductores en un apndice al final del libro).

Las torres de las lneas de transmisin son grandes estructuras de acero que se utilizan como apoyos localizadas a determinadas distancias una de otra de tal manera que los conductores se localicen a una altura adecuada con respecto a la superficie del suelo y no presenten un riesgo alto de que los seres vivos sean sometidos a intensidades altas de campos elctricos y magnticos, que los afecten negativamente. Adems por supuesto, para que no vayan a ser expuestos a descargas elctricas en alta tensin que generalmente tiene consecuencias mortales. Por supuesto tambin para que los autos y camiones pasen libremente y de manera segura por debajo de las lneas.Los aisladores se disponen formando cadenas de longitudes adecuadas, para aislar y colgar los conductores de las torres que se encuentran conectadas a tierra. Se les construye a base de porcelana que es vidriada en su superficie, tambin los hay completamente de vidrio y otro tipo de ms reciente fabricacin son los hechos a base de resinas sintticas. En nuestro pas de preferencia se utilizan los de porcelana y en menor cantidad los de vidrio, en los pases desarrollados donde se tienen lneas que operan a tensiones muy altas se utilizan los hechos a base de resinas sintticas.

Los hilos de guarda son cables de acero que se localizan en las partes ms altas de las lneas de transmisin con la finalidad de proporcionar un blindaje a los conductores que transportan la energa elctrica y no incidan directamente sobre ellos los rayos producidos por las descargas elctricas de las nubes a tierra y sean un conducto para que la energa elctrica de la descarga se derive a tierra a travs de dichos hilos de guarda, las torres y la conexin a tierra que termina en las contra-antenas.

Las contra-antenas son electrodos a base de un material conductor como el acero que son enterrados en las bases de las torres y presentan diferentes arreglos de tal manera que propicien una conexin a tierra que minimice la resistencia y presente una trayectoria para que la energa elctrica de los rayos se derive a tierra y se disipe en sta. El diseo de las contra-antenas es funcin de la resistividad que presente el terreno.Los herrajes son hechos a base se acero y sirven para que los conductores se sujeten a las cadenas de aisladores y para que estas se sujeten a la vez a las torres que sirven de soportes.

IV.2. PARMETROS DE LAS LNEAS DE TRANSMISIN.

Como se indic anteriormente las lneas de transmisin tienen como objetivo principal el de ser un medio para transmitir potencia elctrica en grandes cantidades a grandes distancias, dicha potencia elctrica como se sabe es funcin de la tensin y de la corriente, por lo que para una lnea de transmisin trifsica en cada fase se aplica tensin entre fase y tierra que propicia la circulacin de corriente a travs de los conductores los cules presentan cierto valor de resistencia a la circulacin de dicha corriente, la cul es necesario cuantificar. Adems como la corriente es alterna senoidal origina lneas de campo magntico que se localizan alrededor de los conductores, lo cul da lugar al efecto inductivo que se representa por medio del parmetro de inductancia que se localiza en serie con la resistenacia, que tambin es necesario cuantificar. Por otra parte las tensiones que se aplican entre fase y tierra dan lugar a la presencia de corrientes que se fugan de la lnea hacia tierra y que circulan a travs de grandes valores de resistencia que presentan los aislamientos y que por estar en derivacin es ms conveniente representarlas como conductancias. Dichas tensiones originan lneas de campo elctrico que dan lugar a los campos elctricos intensos que se manifiestan como efectos capacitivos considerables, que se representan por capacitancias en derivacin que se localizan en paralelo con las conductancias, a travs de dichas capacitancias tambin se fuga corriente de la lnea hacia tierra y desde luego ser necesario cuantificar dichas capacitancias.

En resumen para el anlisis de las lneas de transmisin ser necesario calcular los parmetros de resistencia, inductancia, conductancia y capacitancia, que representan cuantitativamente los fenmenos elctricos y magnticos que se presentan en las lneas de transmisin solamente durante su operacin en el estado permanente equilibrado. La representacin de variables y parmetros de la lnea de transmisin se muestran en la Fig. 4.1.

IV.2.1. RESISTENCIA.

El parmetro de resistencia de una lnea de transmisin se refiere al que presenta el conductor de cada fase cuando circula por l corriente alterna senoidal a la frecuencia nominal de 60 Hz., dicho valor de resistencia depende de varios factores que son: la resistividad que presenta el material o los materiales de que es hecho el conductor, de las caractersticas de la corriente que circula por l, de la longitud, del rea de la seccin transversal y de la temperatura.

La resistencia de los conductores es necesario determinarla porque en base a ella se determinan en gran medida las prdidas de potencia activa en la lnea, y al estar conectada en serie con la reactancia inductiva colabora a la cada de tensin. El trmino de resistencia se refiere a la resistencia efectiva de un conductor, que se define as:

(4.1)

Donde la potencia esta en watts e |I| es el valor eficaz de la corriente en amperes. La resistencia efectiva es igual a la resistencia del conductor solo si la distribucin de la corriente a travs de l es uniforme. La resistencia que un conductor presenta a la corriente directa es dada por la frmula:

(4.2)

Donde:

( - resistividad del conductor.

- longitud del conductor.

A rea de la seccin transversal.

Cualquier conjunto consistente de unidades puede ser utilizado, en unidades inglesas se tiene que es dado en pies, A en circular mils (CM), y ( en ( - CM por pie. En el sistema internacional de unidades esta en metros, A en metros cuadrados y ( en ( - m. El circular mil es el rea de un circulo cuyo dimetro es de un milsimo de pulgada. La resistividad del aluminio a una temperatura de 200 C es de 2.83 x 10-8 ( - m ( 17.0 ( - CM / pie), que es el material que preferentemente se utiliza en los conductores de las lneas de transmisin.

La resistencia de los conductores metlicos varia proporcionalmente con la temperatura dentro de los rangos normales de operacin, tal y como se muestra en la Fig. 4.2.

En la grfica se aprecia el punto de interseccin de la recta con el eje de temperatura para un valor de resistencia cero, identificado por T, que es un valor constante para cada material, que puede tomar los valores siguientes.

T = 234.5 - para cobre con 100% de conductividad.

T = 241 - para cobre estirado en fro de 97.3 % de conductividad

T = 228 - para aluminio estirado en fro de 61% de conductividad

De acuerdo con la variacin lineal del valor de resistencia con la temperatura, se puede establecer la expresin siguiente.

(4.2)

El valor de resistencia calculado de acuerdo con la expresin (4.2) considera que la corriente es directa y que sta se distribuye uniformemente en el rea de la seccin transversal del conductor, pero el tipo de corriente que circula por los conductores de las lneas de transmisin en un SEP generalmente es corriente alterna cuya distribucin no es uniforme en el rea de la seccin transversal del conductor y dicha no uniformidad es debida al efecto piel el cual depende de la frecuencia de la corriente. La no uniformidad se manifiesta mediante una densidad de corriente que se incrementa progresivamente desde el centro del conductor hacia el exterior, provocando que la corriente alterna tienda a circular preferentemente por la periferia del conductor, razn por la cul a ste fenmeno se le conoce como efecto piel. Esto se debe a que la corriente alterna produce lneas de flujo magntico concntricas al conductor que parten desde el centro del mismo y se expanden tericamente hasta el infinito, de tal manera que la cantidad de lneas de flujo que eslabonan a la parte central del conductor son en mayor nmero y ste decrece conforme se desplaza hacia la periferia, de tal manera que la tensin inducida en la parte central del conductor es mayor provocando una oposicin mayor a la circulacin de la corriente en esa parte, la cual va decreciendo de la parte interna hacia la externa produciendo el efecto piel.

El clculo de la resistencia de los conductores considera los factores siguientes: la resistividad del material, la longitud y el rea de la seccin transversal del conductor, la temperatura, el efecto piel y adems el hecho de que los cables pueden estar constituidos de alambres del mismo material o de materiales diferentes, del mismo calibre o de calibres diferentes. Afortunadamente los fabricantes de conductores determinan los valores de resistencia y los proporcionan en tablas, en los cuales solo hay que consultarlos.Distancia Media Geomtrica Propia y Mutua.

Antes de mostrar como se determinan los parmetros de inductancia y capacitancia se van a establecer dos conceptos matemticos en los cules se basa la obtencin de ambos parmetros. Para establecerlos es necesario considerar que se tiene dos grupos de conductores uno constituido por n conductores y otro de m conductores, tal y como se muestra en la Fig. 4.3.

El concepto matemtico de distancia media geomtrica se puede aplicar a un grupo de elementos o a dos grupos de elementos, que en este caso son los grupos de conductores que se muestran en la Fig. 4.3. Primero se definir el concepto de Distancia Media Geomtrica Propia (DMGp), que es tambin conocida como Radio Medio Geomtrico (RMG), el cul en este caso se establece en relacin al grupo de conductores A de la Fig. 4.3, como la raz n-cuadrada-sima del producto de las distancias de cada conductor a s mismo y a los dems del mismo grupo, que matemticamente se expresa as:

(4.3)

Para el grupo de conductores B se tendra:

(4.4)

El concepto de Distancia Media Geomtrica Mutua entre dos grupos de conductores se define como la raz mn-sima del producto de las distancias de cada conductor de un grupo a cada uno de los conductores del otro grupo, que para el caso entre los grupos de conductores A y B se tiene lo siguiente:

(4.5)

Debido a la coincidencia entre los valores de las distancias entre ambos grupos de conductores, la DMG mutua de A a B es igual a la de B a A.

Distribuciones de los Campos Elctricos y Magnticos en la Lnea de Transmisin.

A las lneas de transmisin se les aplica simultneamente tensiones de fase a tierra y de fase a fase, as como corriente en cada fase para que transmitan potencia elctrica a travs de ellas, debido a las tensiones aplicadas se establecen campos elctricos que pueden ser representados por lneas de flujo elctrico dirigidas de cada conductor de fase hacia tierra y de un conductor hacia otro conductor tal y como lo muestran las lneas punteadas de la Fig. 4.4. La corriente que circula por cada conductor produce campos magnticos que son representados por lneas de flujo magntico que enlazan a los conductores por los que circula la corriente que los origin y adems puede ser que enlacen tambin a otro u otros conductores, lo cul tambin se muestra mediante las lneas continuas en la Fig. 4.4, que muestra la distribucin de los campos elctrico y magntico entre dos conductores de una lnea monofsica, que incluye tambin el efecto de la presencia de la tierra.

IV.2.2. INDUCTANCIA.

El parmetro de inductancia de la lnea de transmisin, es aquel que representa la cuantificacin del efecto magntico producido por la circulacin de la corriente alterna en cada uno de los conductores de las fases, as que la corriente en cada fase produce lneas de flujo magntico que eslabonan a la misma corriente que las produce y tambin una parte de ellas llegan a eslabonar las corrientes que circulan por los otros conductores que constituyen la lnea y como la inductancia es la relacin de la variacin del flujo magntico con respecto a la variacin de la corriente, entonces en la lnea se pueden establecer en general dos tipos de relaciones entre flujo y corriente, una que es la relacin del flujo producido por una determinada corriente a la misma corriente que lo produce a la cul se le identifica como inductancia propia y a la relacin del flujo que es producido por una determinada corriente pero que eslabona a una corriente que no lo produce se le identifica como inductancia mutua. Para considerar los efectos antes citados se establece una expresin para la inductancia por fase que los comprende ha ambos, lo cul se mostrar en esta seccin, que permitir poder calcular la reactancia inductiva que determina en proporcin mayoritaria la magnitud de la impedancia en serie por fase que presenta una lnea y por lo tanto de la magnitud de la cada de tensin , de la regulacin de la tensin, y desde luego tambin es parte importante de la magnitud de las prdidas reactivas inductivas.

De acuerdo con la Ley de Faraday la tensin inducida por la presencia de flujo magntico variable es dada por la expresin. , y la expresin de la tensin aplicada a una inductancia es:, por lo que si se igualan , se determina que: , que indica que el parmetro de inductancia en un circuito representa la relacin de la variacin de los eslabonamientos flujo magntico a la variacin de la corriente. El eslabonamiento de flujo, se debe interpretar como aquella lnea de flujo que eslabona a un conductor o ms precisamente a una corriente y dichos eslabonamientos de flujo son dados por la relaciones siguientes: , cuando la relacin de flujo a corriente es lineal. As que la inductancia se pude expresar como L = ( / i , donde i es la corriente instantnea en amperes y ( es el eslabonamiento de flujo en weber-vuelta.

El flujo creado por la corriente se expande en forma de lneas de flujo cerradas concntricas, partiendo desde la parte central del conductor hacia el exterior y tericamente hasta el infinito, de tal manera que habr lneas de flujo interiores y exteriores. As que el valor de la inductancia deber comprender los eslabonamientos de flujo internos que solamente eslabona a una fraccin de la corriente y los eslabonamientos de flujo externos que eslabonan a toda la corriente que transporta el conductor, es decir que la inductancia total de un conductor comprender la inductancia interna ms la inductancia externa.

IV.2.2.a. Inductancia Interna de un Conductor Cilndrico.

Para determinar la expresin de la inductancia interna de un conductor cilndrico como el que se ilustra en la Fig. 4.4, en el cul se considera que no hay ningn conductor cercano que influya en la distribucin de las lneas de flujo, sobretodo el conductor de retorno. Se parte de la Ley de Ampere, que establece que la fuerza magnetomotriz en ampere-vueltas alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a la corriente neta encerrada por la trayectoria. La fmm es igual a la integral de lnea alrededor de la trayectoria cerrada de la componente de la intensidad de campo magntico, que es tangente a la trayectoria y es dada por la ecuacin (4.6).

A-vueltas.(4.6)

Donde:

H Intensidad de campo magntico.

s Distancia a lo largo de la trayectoria de integracin.

I Corriente eslabonada.

El punto entre H y ds indica que el valor de H es la componente tangente a la trayectoria ds. Si se considera que la intensidad de campo magntico a una distancia de x metros desde el centro del conductor es Hx, el cul es constante en todos los puntos equidistantes desde el centro del conductor, de tal manera que la integracin indicada en (4.6) en la trayectoria circular concntrica, da como resultado la corriente Ix, como se muestra en la ecuacin (4.7).

(4.7)

Donde Ix es la corriente eslabonada, que en este caso es dada por la expresin siguiente.

2 ( x Hx = Ix(4.8)

Si se supone que la densidad de corriente es uniforme, se tiene:

(4.9)

Donde I es la corriente total. Sustituyendo (4.9) en (4.8), se obtiene.

(4.10)

Como: B = ( H, entonces:

(4.11)

Donde:

B Densidad de flujo magntico.

( - Permeabilidad del material del conductor.

En el elemento tubular de espesor dx el flujo d( es dado por el producto de Bx por el rea de la seccin transversal del elemento normal a las lneas de flujo, donde el rea es dada por dx veces la longitud axial. Por lo que el flujo por metro de longitud ser:

(4.12)

Los eslabonamientos de flujo d( por metro de longitud, que son producidos por el flujo en el elemento tubular, son dados por el producto del flujo por metro de longitud y la fraccin de corriente enlazada.

(4.13)

Integrando desde el centro del conductor hasta la superficie del conductor de radio r, se tiene:

(4.14)

Se sabe que: ( = (0 (rDonde: (r = 1 y (0 = 4 ( (10-7) H / m

Entonces se tiene que:

(4.15)

(4.16)

Esta ltima expresin es la inductancia interna por unidad de longitud de un conductor cilndrico.

IV.2.2.b. Inductancia Externa Entre Dos Puntos a un Conductor Cilndrico.

Para calcular la inductancia externa a un conductor cilndrico es necesario primero calcular los eslabonamientos de flujo externos entre dos puntos P1 y P2 localizados a una distancia D1 y D2 respectivamente a partir del centro de un conductor aislado que lleva una corriente I, que produce lneas de flujo concntricas, tal y como se muestra en la Fig. 4.7, en la cul se muestra un elemento tubular de espesor dx, localizado a x metros del centro del conductor, en donde la intensidad del campo magntico es Hx, de tal manera que la fmm alrededor del elemento es dada por la expresin (4.17).

(4.17)

La densidad de flujo en el punto x ser:

(4.18)

El flujo en el elemento tubular de espesor dx , es:

EMBED Equation.3

(4.19)

Los enlaces de flujo externos al conductor son iguales a el flujo exterior y enlazan a toda la corriente en el conductor solo una vez. Por lo que los enlaces de flujo entre P1 y P2, son:

(4.20)

Si (r = 1, entonces:

EMBED Equation.3 (4.21)

La inductancia debida al flujo entre P1 y P2, es:

EMBED Equation.3 (4.22)

IV.2.2.c. Enlaces de Flujo de un Conductor en un Grupo de Conductores.

Las lneas de transmisin en alta tensin utilizan como conductores a los cables que estn constituidos por grupos de alambres, as que cada a cable se le puede considerar como un grupo de n conductores y donde cada uno de ellos correspondientemente conduce la corriente I1, I2, I3,...., In. Las distancias de cada uno de estos conductores a un punto P se muestran en la Fig. 4.8, que se utiliza como referencia para determinar los enlaces de flujo en un conductor, que en ste caso es el conductor 1, cuando se consideran los enlaces de flujo internos y externos producidos por I1 y los enlaces de flujo sobre dicho conductor producido por cada una de las corrientes que circula por cada uno de los dems conductores del grupo, pero se excluye todo el flujo mas all del punto P.

Los eslabonamientos de flujo debidos a I1, son:

(4.23)

(4.24)

Los enlaces de flujo sobre el conductor 1 debidos a I2, pero que excluyen los que estn ms all del punto P, son:

(4.25)

Los enlaces de flujo totales sobre el conductor 1, pero excluyendo los que estn ms all del punto P, son:

(4.26)

Al expandir los trminos logartmicos y reagrupar, se obtiene.

(4.27)

Si la suma de las corrientes del grupo de conductores es cero.

, entonces: In = -( I1 + I2 + I3 +.In-1)

Sustituyendo la expresin para In en el ltimo trmino de (4.27) y reagrupando los ltimos n trminos de la misma ecuacin se obtiene:

(4.28)

Finalmente si se aleja el punto P hasta una distancia infinita, se igualarn las distancias D1p, D2p, e inclusive Dnp, por lo que los ltimos (n 1) trminos se hacen cero, quedando la expresin siguiente.

(4.29)

Al considerar que el punto P se aleja hasta el infinito se incluyen todos los enlaces de flujo sobre el conductor 1.

IV.2.2.d. Inductancia de Lnea Monofsica Constituida por Dos Cables.

Ahora se considera que se tiene una lnea monofsica constituida por dos grupos de conductores, uno de los cules esta formado por n hilos idnticos paralelos y se le identifica como el conductor A y el otro como el conductor B constituido por m hilos idnticos paralelos, tal y como se muestra en la Fig. 4.9.

Cada hilo del conductor A transporta una corriente de valor I / n, al cul se le considera el conductor de ida y cada hilo del conductor B, que es el de retorno se considera que transporta una corriente de valor -I /m. Al aplicar los conceptos que implic el establecimiento de la ecuacin (4.29) al hilo a del conductor A, se determinan los enlaces de flujo sobre el hilo a, cuya expresin es:

(4.30)

Que se puede expresar de la forma equivalente siguiente:

(4.31)

Si se divide la expresin anterior entre I/n, se determinar la inductancia del hilo a.

(4.32)

La inductancia del hilo b, ser:

(4.33)

La inductancia promedio de los hilos del conductor A, ser:

(4.34)

Si se considera que los n - hilos del conductor A estn en paralelo y cada uno tiene una inductancia igual al de la Lprom, entonces la inductancia del conductor A se determinar por medio de la siguiente expresin.

(4.35)

Si se sustituye cada una de las expresiones que corresponden a las inductancias en la expresin anterior y se reagrupan los trminos logartmicos, se obtiene:

4.36

Para darle a la expresin anterior una representacin homognea se han reemplazado los valores de ra, rb y rc por Daa, Dbb y Dcc respectivamente. Al numerador del argumento del logaritmo se le ha identificado como la Distancia Media Geomtrica Mutua (DMGm) entre dos grupos de conductores, tal y como se indic en la expresin (4.5) y al trmino del denominador se le identific como Radio Medio Geomtrico (RMG) de un grupo de conductores, tal y como se indic en las expresiones (4.3) y (4.4), por lo que la expresin (4.36), se puede expresar as:

(4.37)

Anlogamente, se tendr que:

(4.38)

Debido a que la corriente en cada conductor tiene direccin opuesta, las inductancias se suman y la inductancia de la lnea monofsica estar dada por la expresin siguiente.

Si se considera que la DMGm entre grupos de conductores es igual a la distancia D entre centros de grupos de conductores y que los dos grupos de conductores tienen conductores idnticos y el mismo nmero de conductores, lo que origina que: RMG =RMGA =RMGB, entonces la expresin anterior se simplifica a la forma siguiente.

(4.39)

Que es la expresin para la inductancia de una lnea monofsica constituida por dos cables de la mismas caractersticas.

IV.2.2.e. Inductancia de Una Lnea Trifsica con Disposicin Simtrica.

En ste caso se considera que el conductor de cada fase, que es un cable del mismo calibre, se localiza en los vrtices de un tringulo equiltero, tal y como se muestra en la Fig. 4.10. Donde la corriente en cada fase tiene forma de onda alterna senoidal, que en cada caso es representada por su fasor de corriente y las tres corrientes forman un conjunto de tres fasores equilibrados cuya suma es cero ( Ia + Ib + Ic = 0 ).

La ecuacin establecida para determinar los eslabonamientos de flujo sobre un conductor cuando est en un grupo de conductores, dada por la expresin (4.29), y que al aplicarse a ste caso da lugar a la expresin siguiente.

Como: Ia = - ( Ib + Ic ), entonces.

Por lo que la inductancia por fase de la lnea ser:

(4.40)

La inductancia para las fases b y c tendrn la misma expresin como la ecuacin (4.40), lo cul se debe a que para esta disposicin los eslabonamientos de flujo sobre cada conductor son iguales.

IV.2.2.f. Inductancia de una Lnea Trifsica con Disposicin Asimtrica.

En el caso de que los conductores de cada fase de una lnea trifsica sean dispuestos en los vrtices de un tringulo que no es equiltero los eslabonamientos de flujo sobre cada conductor sern diferentes, lo que ocaciona que la inductancia de cada uno de ellos sea diferente, lo cul no es deseable, por lo que se recomienda efectuar con ellos un ciclo de transposicin, que consiste en cambiar de posicin cada conductor cada tercera parte de la longitud total de la lnea, de tal manera que a lo largo del ciclo completo de transposicin cada conductor habr ocupado las tres posiciones en longitudes iguales, lo que propiciar que los eslabonamientos de flujo sobre cada conductor de fase en promedio ser igual y dar lugar a una inductancia igual para cada fase, esto se muestra en la Fig. 4.12, donde los conductores de las fases a, b y c ocupan las posiciones 1, 2 y 3 a lo largo de la lnea.

En realidad las lneas de transmisin es difcil que se transpongan a intervalos regulares y lo ms comn es que la transposicin se llegue a efectuar en las subestaciones o en algn lugar a lo largo de la lnea, que lo permita por las caractersticas del terreno y no necesariamente en un ciclo completo. Inclusive gran cantidad de lneas ni siquiera se transponen en algn lugar, pero independientemente de que la lnea se transponga o no desde el punto de vista analtico se considera que las lneas son transpuestas en un ciclo completo.

Para calcular los eslabonamientos de flujo promedio sobre cada conductor en una lnea que se supone est transpuesta, se determinan las expresiones de los eslabonamientos de flujo en cada posicin del ciclo de transposicin y luego se obtiene el valor promedio. De acuerdo con la Fig. 4.11 para la fase a, el primer tercio el conductor est en la posicin 1, el de la fase b en la posicin 2 y el de la fase c en la posicin 3. Los eslabonamientos de flujo sobre el conductor de la fase a se obtiene aplicando la expresin (4.29).

(4.41

Con a en la 2, b en la 3 y c en la 1, se tiene.

(4.42)

Con a en la posicin 3, b en la1 y c en la 2, se tiene.

(4.43)

El valor promedio de los eslabonamientos de flujo sobre el conductor a, son:

(4.44)

(4.45)

Si en la lnea trifsica se cumple que: Ia = - ( Ib + Ic ), entonces.

(4.46)

La inductancia promedio por fase es.

(4.47)

Donde:

(4.48)

Ejemplo 4.1.- Calcule la inductancia y la reactancia inductiva por Km. y por fase, de una lnea trifsica que tiene un conductor por fase el cul es del tipo ACSR, denominado Rail, cuyo RMG es de un valor de 0.0386 pies. La disposicin y distancias se muestran en la Fig. 4.12.

Solucin.

El RMG que esta expresado en pies es conveniente expresarlo en metros, as.

RMG = 0.0386 pies = 0.01176 metros

La inductancia se calcula con la expresin 4.47, por lo que es necesario determinar Deq, por medio de igualdad siguiente.

La reactancia inductiva si f = 60 Hz. es:

IV.2.2.g. Inductancia de Lneas Trifsicas de Varios Conductores por Fase

En las lneas trifsicas en alta tensin ha sido necesario incrementar las magnitudes de las tensiones de operacin, lo que ha ocasionado que las intensidades de campo elctrico en las vecindades de los conductores se incrementen tambin y esto ha provocado que la ionizacin del aire circunvecino a los conductores se incremente, manifestndose por medio del aumento de las prdidas por efecto corona y de los niveles de interferencia en las seales de radio, televisin y en general de comunicaciones. Estos efectos indeseables se pueden reducir si se utilizan varios conductores por fase debido a que se logra una mejor distribucin del campo elctrico, por lo que se utilizan varios conductores por fase que pueden ser dos, tres y hasta cuatro, en las disposiciones que se muestran en la Fig. 4.14.

Otras consecuencias positivas de utilizar grupos de conductores se debe a que el RMG del grupo de conductores se incrementa con el nmero de estos, lo cul se manifiesta con la reduccin de la inductancia del grupo de conductores comparada con la que se calcula para un solo conductor por fase.

La inductancia de las lneas que estn constituidas por grupos de conductores se determinan mediante la misma frmula que se estableci para el caso de un conductor por fase, pero con la diferencia de que en la frmula en lugar de utilizar el RMG del conductor se debe de utilizar el RMG del grupo de conductores, que en cada caso es igual a la expresin siguiente.

Para dos conductores por fase.

(4.49)

Para tres conductores por fase.

(4.50)

Para cuatro conductores por fase.

(4.51)

Donde: d es la distancia entre conductores del grupo, tal y como se muestra en la Fig. 4.14, RMG es el radio medio geomtrico de cada conductor del grupo que desde luego son iguales y RMGg es la distancia media geomtrica propia del grupo de conductores o radio medio geomtrico del grupo, que se obtiene aplicando los conceptos sealados anteriormente en las expresiones (4.3) y (4.4). Entonces la expresin para la inductancia para grupos de conductores es:

(4.52)

Ejemplo 4.2.- Calcule la inductancia y la reactancia inductiva por fase de una lnea trifsica con disposicin asimtrica que tiene tres conductores por fase, que se muestra en la Fig. 4.15. Se utilizan conductores ACSR denominados Dove, que tienen un RMG de 0.0314 pies, considere que f = 60 Hz. Las distancias entre centros de grupos de conductores son: D12 = D31 = 5 m. y D23 = 8.66 m. Adems calcule la reactancia inductiva total si la lnea tiene una longitud de 320 Km.

Solucin.De acuerdo con la expresin (4.48), se calcula Deq:

De acuerdo con la expresin (4.50), se calcula RMGg, cuando el RMG del conductor en metros es: RMG = 0.00957 m. y d = 0.25 m., por lo tanto:

La inductancia por fase de acuerdo con (4.52), es:

La reactancia inductiva por fase es:

La reactancia inductiva total por fase si la lnea tiene una longitud de 320 Km. es:

IV.2.3. CAPACITANCIA.

En la lneas de transmisin al aplicrseles voltajes entre fase y tierra y entre conductores se crean campos elctricos que se manifiestan por la presencia de lneas de campo elctrico que van desde las cargas positivas a las negativas, en el primer caso desde el conductor hacia tierra y en el segundo caso de un conductor hacia el otro, tal y como se ilustra en la Fig. 4.4, dichas lneas de flujo elctrico se propagan en un medio aislante que en el caso de las lneas areas es el aire el cul presenta una determinada constante de permitividad ((0 = 8.85 x 10-12 F/m), y como es sabido todo aislante bajo la aplicacin de un campo elctrico se polariza en la direccin del campo, formndose en el dipolos que se alargan almacenando energa potencial que en ste caso se manifiesta como energa elctrica. Entonces en las lneas de transmisin se aplica tensin entre dos electrodos que pueden ser un conductor y tierra, o un conductor y otro conductor, y que en ambos casos se localiza un aislante entre ellos que es el aire, que tiene la capacidad de almacenar carga elctrica, y si a la relacin de carga a voltaje se le conoce como capacitancia, entonces en las lneas de transmisin areas habr capacitancia entre conductor y tierra y entre conductores, los cules son parmetros que hay que cuantificar ya que afectan el comportamiento elctrico de las lneas de transmisin.

A la capacitancia se le ha identificado como la relacin de carga a voltaje, pero tambin se puede demostrar que depende geomtricamente de la forma y dimensiones de los electrodos, de la separacin entre estos, y del tipo de aislante que se localiza entre ellos, de tal manera que ste parmetro alcanza valores ms significativos a medida que las dimensiones de la lneas aumentan y como se sabe stas son funcin de la magnitud de la tensin que se les aplique, as que el efecto capacitivo es ms significativo en lneas de transmisin que operan a niveles de tensin mayores y que generalmente son las ms largas, debido a que el efecto capacitivo se localiza en derivacin y ste crece de manera proporcional con la longitud de la lnea.

El voltaje que se aplica a las lneas de transmisin tiene forma de onda senoidal y como ste tiene una relacin lineal con la carga entonces el comportamiento de la carga incrementar y decrecer con el incremento y decrecimiento del valor instantneo del voltaje en un punto determinado. Como se sabe a la variacin de la carga se le conoce como corriente, y si sta es producida por la carga y descarga de la lnea debido a la aplicacin de un voltaje alterno sobre la capacitancia en derivacin, provoca que dicha corriente fluya del conductor hacia tierra o hacia otro conductor y se manifieste como una corriente de fuga o de carga, sta corriente se fugar de la lnea aunque no halla carga conectada.

IV.2.3.a. Campo Elctrico y Voltaje en la Vecindad de un Conductor Cilndrico Slido.

Partiendo de considerar que se tiene un conductor cilndrico recto en el cul se localiza carga uniformemente distribuida alrededor de su periferia, que esta fuera de la influencia de otras cargas e inmerso en un medio aislante, tal y como se muestra en la Fig. 4.16, donde la circunferencia en lnea punteada representa puntos equipotenciales que tienen la misma densidad de flujo.

La densidad de flujo a x metros del centro del conductor puede ser calculada considerando una superficie cilndrica concntrica al conductor que tiene un radio de x metros. La densidad de flujo elctrico en la superficie del cilindro es igual a flujo por metro de longitud saliendo del conductor dividido por el rea de la superficie en una longitud axial de un metro, y la expresin es.

(4.53)

Donde:

q carga en el conductor en coulombs por metro de longitud.

x distancia en metros desde el centro del conductor al punto donde D es calculado.

Si se sabe que en un medio aislante lineal la relacin entre los vectores de densidad de flujo elctrico y el de intensidad de campo elctrico es dado por la expresin. D = ( E, entonces la intensidad de campo elctrico a una distancia x del centro del conductor es dada por la expresin.

(4.54)

La intensidad de campo elctrico es la fuerza que se aplica sobre la carga en un punto determinado del campo y la integral de lnea entre dos puntos de la fuerza que acta sobre una carga positiva es el trabajo hecho para mover la carga desde un punto de menor a uno de mayor potencial, es igual a la diferencia de potencial entre los dos puntos.

Para establecer la expresin de la diferencia de potencial entre dos puntos en la vecindad de un campo elctrico creado por una carga que se considera que esta uniformemente distribuida a lo largo de un conductor, que se puede reemplazar por una carga equivalente concentrada en el centro de dicho conductor de valor q [C/m], tal y como se muestra en la Fig. 4.17.

Los puntos P1 y P2 se localizan a las distancias D1 y D2 a partir del centro del conductor y la carga positiva sobre el conductor ejercer una fuerza de repulsin sobre las cargas positivas que se coloquen en el campo, por lo que en este caso como D2 es mayor que D1 se debe de realizar trabajo sobre una carga positiva para moverla de P2 a P1, ya que P1 esta a un mayor potencial que P2. Debido a que la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria que se siga, la forma ms simple de determinar la diferencia entre los dos puntos P1 y P2 ser mediante la integracin de la intensidad de campo en una trayectoria radial entre las superficies equipotenciales, por lo que:

(4.55)

La diferencia de potencial dada por la ecuacin (4.55) puede ser positiva o negativa dependiendo de si la carga q es positiva o negativa y de que si la diferencia de potencial se calcule desde el punto ms cercano a la carga hasta el ms alejado, o viceversa. Adems el trmino logartmico es positivo o negativo dependiendo de que D2 sea mayor o menor que D1.

IV.2.3.b. Capacitancia de una Lnea de Dos Alambres.

La capacitancia entre dos alambres se debe interpretar como la relacin de la carga sobre los conductores por unidad de diferencia de potencial entre ellos, por lo que la capacitancia por unidad de longitud se puede expresar as.

(4.56)

Donde:

q carga en la lnea en coulombs por metro.

v diferencia de potencial entre conductores en volts.

La capacitancia entre los dos alambres se puede determinar si se sustituye en (4.56) la expresin obtenida para v de la ecuacin (4.55), en ste caso para llevarlo a cabo se tomar como referencia la Fig. 4.18, donde el voltaje vab entre los dos alambres a y b se determinar aplicando el principio de superposicin considerando que es la suma de las cadas de voltaje causadas por la carga en cada conductor.

Entonces la expresin de la diferencia de potencial vab ocasionada por la presencia de las cargas qa y qb sobre cada conductor de acuerdo con la expresin (4.55) se determina as. Primero se considera el efecto de qa, donde ra representa a D1 y D representa a D2, luego se superpone el efecto de qb donde D representa a D1 y rb representa a D2, dando lugar a la expresin (4.57).

(4.57)

Como en este caso se cumple que: qa = - qb, entonces.

(4.58)

Que da lugar a la expresin.

(4.59)

De tal manera que la capacitancia ser dada por la expresin.

(4.60)

Generalmente se tiene que ra = rb = r, por lo que:

(4.61)

Esta expresin permite el clculo de la capacitancia entre los conductores a y b, en funcin de la cul se puede establecer una expresin que calcule la capacitancia al neutro o a tierra, cuya interpretacin se muestra en la Fig. 4.19.

(

Si la capacitancia entre conductores Cab de la ecuacin (4.60) es dividida entre Vab, la correspondiente para Can o Cbn de acuerdo a la Fig. 4.19(B) solo se le aplicar Vab/2, por lo que la expresin resultante ser.

(4.62)

IV.2.3.c. Capacitancia de una Lnea Trifsica con Disposicin en Tringulo Equiltero.

Cuando tres conductores de radio r se localizan en los vrtices de un tringulo equiltero y las cargas en cada uno de ellos se considera que estn uniformemente distribuidas, tal y como se muestra en la Fig. 4.20. Entonces el voltaje Vab debido a las cargas qa, qb y qc es dado por la expresin (4.63).

(4.63)

Determinando anlogamente el voltaje Vac, se tiene.

(4.64)

Hay que sealar que solo existen las tres cargas de los conductores y que el efecto de la tierra es ignorado, por lo que se cumple que: qa + qb + qc = 0, de tal manera que si se suman los voltajes Vab y Vac, se obtiene la expresin (4.65).

(4.65)

Como qb + qc = - qa, entonces se tiene.

(4.66)

Ahora se construye el diagrama fasorial con los voltajes de lnea y el voltaje al neutro de la fase a como se muestra en la Fig. 4.21.

La relacin entre los voltajes de lnea Vab y Vac, y el voltaje de fase a neutro Van de acuerdo a la Fig. 4.21, es la siguiente.

Sumando los voltajes de lnea anteriores, se obtiene.

Vab + Vac = 3 Van (4.67)

Sustituyendo (4.57) en (4.66), es obtiene.

(4.68)

Si la capacitancia es la relacin de carga a voltaje, la capacitancia al neutro, ser.

(4.69)

IV.2.3.d. Capacitancia de Lneas Trifsicas con Disposicin Asimtrica.

Cuando los conductores de las lneas de un conductor por fase se localizan en los vrtices de un tringulo que no es equiltero se dice que estn localizados en una disposicin asimtrica, tal y como se muestra en la Fig. 4.22.

En este caso las capacitancias al neutro de cada fase sern diferentes puesto que las diferencias de potencial entre cada par de conductores es diferente debido a que el campo elctrico global producido por la presencia de las cargas sobre los conductores no presenta una distribucin que propicie la igualdad de dichas diferencias de potencial, as que lo ms conveniente para aproximarse a que esto se de, se considerar que la lnea se transpone en un ciclo de transposicin, tal y como se consider anteriormente para calcular la inductancia.

Por lo que si se toma como referencia la Fig. 4.22, donde se considera que durante el primer tercio del ciclo de transposicin el conductor de la fase a esta en la posicin 1, el de la fase b en la posicin 2 y el de la fase c en la posicin 3: La expresin para Vab, ser.

(4.70)

Cuando el conductor de la fase a esta en la posicin 2, el de la fase b en la posicin 3 y el de la fase c en la posicin 1, se tiene que Vab, es.

(4.71)

Cuando el conductor de la fase a esta en la posicin 3, el de la fase b en la posicin 1 y el de la fase c en la posicin 2, se tiene que Vab, es.

EMBED Equation.3 (4.72)

Si se desprecia la cada de voltaje a lo largo de la lnea entonces el voltaje al neutro de una fase en una parte del ciclo de transposicin es igual en cualquier parte del ciclo y esto tiene como consecuencia que el voltaje entre cualquier par de conductores ser el mismo en cualquier parte a lo largo de la lnea. Respecto a la carga en un conductor esta es diferente cuando la posicin del conductor cambia con respecto a los otros conductores, pero con los espaciamientos y conductores usuales suficiente exactitud se obtiene si se considera que la carga por unidad de longitud es la misma en cada parte del ciclo de transposicin. Cuando sta ltima suposicin es asumida con relacin a la carga entonces el voltaje entre un par de conductores es diferente para cada parte del ciclo de transposicin, por lo que un valor representativo ser un valor promedio del voltaje entre conductores para cada parte del ciclo de transposicin y en funcin de este voltaje promedio se podr determinar un valor representativo para la capacitancia. Entonces el voltaje promedio entre los conductores a y b es.

(4.73)

Donde:

(4.74)

Anlogamente se determina que el valor promedio del voltaje entre los conductores a y c, es.

(4.75)

Ahora de acuerdo con la igualdad (4.67), se tendr que:

Debido a que: qa + qb + qc = 0, entonces:

Y la capacitancia al neutro ser:

F/m al neutro (4.76)

Esta es la expresin que se utiliza para calcular la capacitancia al neutro de una lnea trifsica con disposicin asimtrica tal y como se ilustra mediante el ejemplo siguiente.

Ejemplo 4.3.- Calcule la capacitancia y la reactancia capacitiva por Km. para la lnea trifsica cuyos datos se citan en el ejemplo 4.1 y cuyo radio del conductor es 1.165 pulg.

solucin.

Para calcular la capacitancia se hace por medio de la frmula (4.76), donde.

Sustituyendo en (4.76) se tiene.

La reactancia capacitiva ser:

IV.2.3.e. Capacitancia de Lneas Trifsicas con Varios Conductores por Fase.

Las lneas trifsicas pueden estar constituidas por uno, dos, tres y hasta cuatro conductores por fase, para las cuales se deben de establecer las ecuaciones para voltaje del conductor a al b como se hizo para la ecuacin (4.70), excepto que ahora se deben considerar las cargas en todos los conductores de los tres grupos de conductores. Por ejemplo si se considera una lnea trifsica de dos conductores por fase como la mostrada en la Fig. 4.23, donde se considera que la carga por grupo de conductores se divide igualmente entre cada conductor del grupo y que las distancias entre centros de grupos de conductores es mucho mayor que las distancias entre conductores de un mismo grupo o conductores de una fase. La exactitud en los resultados no se ve alterada por estas consideraciones de manera significativa.

Si la carga del conductor a es qa, cada uno de los conductores a y a tendrn una carga de qa/2 y similar divisin de carga es asumida para los otros conductores de las fases b y c, entonces.

(4.77)

Haciendo simplificaciones se llega a la expresin siguiente.

(4.78)

La ecuacin (4.78) es equivalente a la ecuacin (4.70) con la diferencia de que en lugar de r esta la cantidad . Por lo que si se considera que la lnea es transpuesta, se obtendr que la capacitancia es dada por la expresin (4.79).

(4.79)

El trmino es similar al trmino RMGg de la expresin (4.49) excepto que r reemplaza al trmino RMG, esto da lugar a que se concluya que el mtodo de la Distancia Media Geomtrica se aplique al clculo de la capacitancia, pero modificado debido a que en lugar de usar el RMG del conductor se utiliza el radio del conductor. Si se hace extensivo el mtodo a los casos de tres y cuatro conductores por fase se obtiene.

Para un grupo de dos conductores por fase se tiene.

(4.80)

Para tres conductores por fase se tiene.

(4.81)

Para cuatro conductores por fase, se tiene.

(4.82)

Por lo que la ecuacin general para la capacitancia tendr la forma.

(4.83)

Ejemplo 4.4.- Calcular la reactancia capacitiva al neutro en Ohm-Km por fase de una lnea trifsica de tres conductores por fase cuya disposicin es la mostrada en la Fig. 4.24, si los conductores de cada fase son bluejay y estn localizados en los vrtices de un tringulo equiltero. El dimetro del conductor es de 1.259 pulgadas.

Donde: d = 40 cm, D12 = D23 = 7.5 m, D13 = 15 m.

Solucin

El radio del conductor en metros es.

El radio medio geomtrico corregido es.

La Deq es:

La capacitancia al neutro por fase es:

Si la frecuencia es de 60 Hz., la reactancia capacitiva ser.

IV.3. ECUACIONES DE VOLTAJE Y DE CORRIENTE EN LNEAS DE TRANSMISIN.

Para el establecimiento de las ecuaciones de voltaje y de corriente de las lneas de transmisin en alta tensin es conveniente clasificarlas de acuerdo a su longitud en cortas, medianas y largas. Se considera como una lnea corta a la que tiene una longitud menor a 80 Km., a una lnea mediana la que tiene entre 80 y 240 Km. y una lnea larga aquella que tiene ms de 240 Km. Como se ha sealado anteriormente toda lnea de transmisin contiene los cuatro parmetros de resistencia, inductancia, conductancia y capacitancia, pero respecto a ellos prcticamente en cada caso se hacen algunas consideraciones para llevar a cabo su representacin y modelado, que se sealarn cuando se trate cada caso.

IV.3.1. LNEA DE TRANSMISIN CORTA.

En este caso debido a que los efectos de conductancia y capacitancia en derivacin llegan a tener valores muy pequeos se desprecian y por lo tanto solo se consideran la resistencia y la inductancia en serie que constituyen la impedancia en serie, por lo que la lnea se representa tal y como se muestra en la Fig. 4.24

La nomenclatura que se utilizar en el desarrollo de ste tema es la siguiente.

r resistencia por unidad de longitud.

l inductancia por unidad de longitud.

g conductancia por unidad de longitud.

c capacitancia por unidad de longitud.

z impedancia por unidad de longitud.

y admitancia por unidad de longitud.

l longitud total de la lnea.

R resistencia en serie total de la lnea.

L inductancia en serie total de la lnea.

G conductancia en derivacin total de la lnea.

C capacitancia en derivacin total de la lnea.

Z = z l - impedancia en serie total de la lnea.

Y = y l - admitancia en derivacin total de la lnea.

Donde:

Z = ( r + j ( l ) l = R + j ( L

Y = ( g + j ( c ) l = G + j ( C

Adems:

Vs voltaje de fase a neutro en la terminal transmisora de la lnea.

Is corriente en la terminal transmisora.

VR voltaje de fase a neutro en la terminal receptora.

IR corriente en la terminal receptora.

Como se puede apreciar en este caso la corriente en ambas terminales son iguales y los voltajes en ambas terminales difieren debido a la cada de tensin, por lo que las ecuaciones de voltaje y de corriente en este caso son:

Is = IR (4.84)

Vs = VR + Z IR (4.85)

Es conveniente en este caso construir los diagramas fasoriales para diferentes tipos de carga como son: resistiva, predominantemente inductiva y predominantemente capacitiva, las cuales se muestran en la Fig 4.25.

Los diagramas fasoriales de la Fig. 4.25 muestran el efecto de variar la magnitud y el factor de potencia de la carga, que para la carga resistiva la magnitud de voltaje en la terminal transmisora es ligeramente mayor que la de la terminal receptora (Vs(( (VR(, para la carga predominantemente inductiva se tiene que (Vs(((VR(, y para la carga predominantemente capacitiva se tiene que (Vs(( (VR(, que se le identifica a este ltimo como efecto Ferranti .

Regulacin de Voltaje.- Es conveniente establecer lo que se debe entender por regulacin de voltaje de una lnea de transmisin que es la elevacin en el voltaje en la terminal receptora expresada en por ciento del voltaje en la misma terminal a plena carga, cuando se remueve la plena carga y pasa a la condicin de no carga a un factor de potencia especfico mientras se mantiene constante el voltaje en la terminal transmisora. La expresin que comprende el concepto anteriormente citado es:

(4.86)

Donde:

VR,NC Voltaje en la terminal receptora cuando no hay carga. ( IR = 0 )

VR,PC Voltaje en la terminal receptora a plena carga.

IV.3.2. LNEA DE LONGITUD MEDIA.

En la lnea de longitud media se toman en cuenta los cuatro parmetros R, L, G y C, pero se considera que estn concentrados de tal manera que constituyen un circuito (, donde la impedancia en serie que comprende la resistencia y la inductancia se considera concentrada en la parte media de la lnea, y la admitancia en derivacin que comprende a la conductancia y la capacitancia en derivacin se considera que esta concentrada la mitad en el lado de la terminal transmisora y la otra mitad en el lado de la terminal receptora, tal y como se muestra en la Fig. 4.26.

Del circuito se observa que la expresin del voltaje en el extremo transmisor Vs es posible obtenerla en funcin del voltaje en el extremo receptor VR ms la cada de voltaje en la impedancia en serie que se da al circular por ella la corriente IR + VR Y/2, lo cual da lugar a la expresin siguiente:

(4.87)

Que da lugar a la expresin siguiente.

(4.88)

La expresin para la corriente en la terminal transmisora ser funcin de la corriente que circula a travs de la admitancia en derivacin de lado de dicha terminal VsY/2, ms la corriente que circula por la impedancia en serie, que se cit previamente, obtenindose la expresin siguiente.

(4.89)

Al sustituir la expresin (4.88) en la (4.89) y reordenarla se llega a la expresin siguiente.

(4.90)

En este caso la expresin para el por ciento de regulacin obtendr la forma siguiente.

(4.91)

Donde el primer trmino del numerador de la expresin anterior representa el voltaje en la terminal receptora cuando no hay carga VR,NC, que se obtiene en funcin de la expresin (4.88), despejando para VR y considerando que IR = 0, debido a que no hay carga. Desde luego la expresin (4.86) se toma como referencia.

Para ilustrar la aplicacin de las expresiones establecidas para las lneas corta y mediana se mostrar un ejemplo.

Ejemplo 4.5.- Una lnea de transmisin trifsica que opera a 60 Hz, que tiene una longitud de 150 Km, que presenta una impedancia en serie total de 32 + j 145 ( y una admitancia en derivacin de 915 x 10-6 (900 S. La cual suministra potencia a una carga trifsica de 50 MW a un factor de potencia en atraso de 0.88. Calcule el voltaje, la potencia activa en la terminal transmisora y el por ciento de regulacin considerando que: a) se trata de una lnea corta y b) que se trata de una lnea mediana.

Solucin.

a).- Cuando se trata de una lnea corta se desprecia la admitancia en derivacin y se cumple que:

Donde:

Por lo que la corriente en la terminal transmisora es:

Si el fasor de tensin de fase en la terminal receptora se toma como referencia, entonces:

La impedancia en serie por fase de la lnea es:

Sustituyendo valores en la ecuacin (4.88), se obtiene la tensin de fase en la terminal transmisora.

La tensin de lnea en la terminal transmisora es:

La potencia activa en la terminal transmisora ser:

En este caso el por ciento de regulacin de la lnea de acuerdo a la expresin (4.86) es.

Donde: ( VS (= (VR,NC(, cuando IR = 0

b).- En el caso de la lnea de longitud media las expresiones para calcular VS, IS y el %Reg son dadas por (4.88), (4.89) y (4.91) respectivamente. Empezando por calcular VS, primero se har el clculo correspondiente a (ZY/2 + 1).

As que la tensin de fase en la terminal transmisora por fase de acuerdo a (4.88), ser.

Para calcular IS, es conveniente calcular primero el trmino (ZY/4 + 1)Y.

Sustituyendo en la ecuacin (4.89), se obtendr la corriente en la terminal transmisora.

La tensin de lnea en la terminal transmisora es:

La potencia activa en la terminal transmisora es.

El por ciento de regulacin en este caso es dado por la expresin (4.91) y sustituyendo en ella se obtiene:

Comparando los resultados obtenidos en ambos casos se puede establecer que la tensin en la terminal transmisora en el caso (a) es mayor que en el caso (b) debido a que se produce una mayor cada de tensin cuando no hay corriente en derivacin, esto tambin lgicamente se refuerza al ver los valores de corriente en la terminal transmisora que es mayor en el caso (a) que en el (b) y en ste ltimo caso se le debe sumar la corriente que suministra el efecto capacitivo en derivacin. Por lo tanto las prdidas activas (PS PR) en el caso (b) son ligeramente mayores en el caso (a) que en el (b). El por ciento de regulacin es ligeramente mayor en el caso (b) que en el (a).

IV.3.3. LNEA DE TRANSMISIN LARGA.

En las lneas de transmisin largas se considera que sus parmetros de resistencia, inductancia, conductancia y capacitancia estn uniformemente distribuidos, aunque esto solo se cumple en gran medida en el caso de la resistencia y la inductancia en serie, pero no as con la conductancia y la capacitancia en derivacin. La representacin de la lnea se muestra la Fig. 4.27 donde un elemento diferencial de lnea de longitud dx se encuentra localizado a una distancia x, con respecto al extremo receptor y debido a que el voltaje y la corriente varan en funcin de la distancia x, al inicio del elemento diferencial tendrn respectivamente los valores de V + dV e I + dI y al final V e I, la diferencia lgicamente se debe en que en el elemento diferencial se presenta una variacin en la tensin dada por I zdx y una variacin en la de corriente en dada por V ydx.

La variacin de la tensin en elemento diferencial de lnea es dada por la expresin.

(4.92)

La variacin de la corriente en el elemento diferencial es dada por la expresin.

(4.93)

De (4.92) y (4.93) se establece respectivamente que:

(4.94)

(4.95)

Derivando ambas ecuaciones nuevamente con respecto a x, se obtiene:

(4.96)

(4.97)

Ahora sustituyendo (4.95) en (4.96) y (4.94) en (4.97), se obtiene.

(4.98)

(4.99)

Al observar las dos ltimas ecuaciones se aprecia que tienen la misma estructura, pero con la diferencia de que una se refiere a voltaje y otra a corriente y las soluciones deben ser expresiones que cuando se diferencian dos veces con respecto a x deben dar la expresin original propuesta como solucin, pero multiplicada por la constante yz. El tipo de solucin que satisface esta caracterstica es de la forma exponencial y como se trata de una ecuacin de segundo grado entonces debe tener dos constantes, que en este caso son A1 y A2, por lo que la solucin propuesta para el voltaje tiene la estructura siguiente.

(4.100)

Derivando dos veces la expresin anterior con respecto a x, se obtiene.

(4.101)

La cual es yz veces la solucin asumida para V, por lo que (4.100) es la solucin de (4.98). Ahora si se sustituye (4.100) en (4.94) y se despeja I, se obtiene.

(4.102)

Las constantes A1 y A2 se pueden determinar en base a considerar las condiciones en la terminal receptora, que son: x = 0, V = VR e I = IR, que al sustituirse en (4.100) y (4.102), se obtiene.

Estableciendo que la impedancia caracterstica de una lnea de transmisin se define como: , y resolviendo para A1 y A2, se obtiene.

Al sustituir las expresiones obtenidas para A1 y A2 en las ecuaciones (4.100) y (4.102), considerando que la constante de propagacin se define como , se obtiene.

(4.103)

(4.104)

La constante de propagacin ( es una cantidad compleja cuya parte real ( se le conoce como constante de atenuacin medida en nepers por unidad de longitud y la parte imaginaria ( se le conoce como constante de fase, que es medida en radianes por unidad de longitud, entonces.

(4.105)

Arreglando las expresiones (4.103) y (4.104)de la manera siguiente.

(4.106)

(4.107)

Si se sabe que las igualdades trigonomtricas para el seno y coseno hiperblico son:

(4.108)

Al considerar estas igualdades en (4.106) y (4.107), cada una toma la forma respectiva siguiente.

(4.109)

(4.110)

Cuando x = l de (4.109) y (4.110) se obtendrn las expresiones para el voltaje y la corriente en la terminal transmisora, cuyas expresiones son:

(4.111)

(4.112)

Debido a que ( l es una cantidad compleja, entonces las funciones trigonomtricas de seno y coseno son funciones hiperblicas de variable compleja, que pueden ser evaluadas auxilindose de alguna calculadora o una computadora, pero tambin se puede recurrir a las igualdades siguientes que estn expresadas en trminos de funciones circulares e hiperblicas de argumentos reales.

(4.113)

(4.114)

IV.3.3.a. Circuito ( Equivalente de una Lnea Larga.

Se ha indicado anteriormente que los parmetros en una lnea de transmisin larga se considera que estn uniformemente distribuidos y en base a estas consideraciones se llegaron a establecer las ecuaciones para voltaje y corriente en la terminal transmisora (4.111) y (4.112) y que el circuito ( equivalente para una lnea mediana tiene la estructura mostrada en la Fig. 4.26, cuyas ecuaciones para voltaje y corriente en la terminal transmisora son (4.88) y (4.90). Si se considera que es posible que un circuito cuya estructura es igual al de la lnea mediana pero con valores de sus componentes diferentes sea un circuito equivalente al de una lnea larga, sera posible solamente si se cambiarn las cantidades de Z y Y/2 por Z y Y/ 2 de las ecuaciones (4.88) y (4.90), de tal manera que en base a (4.88) se obtendra una nueva ecuacin cuya estructura es.

(4.115)

Y al comparar esta ecuacin con la (4.111) la equivalencia sera posible solo si los coeficientes respectivos de VR e IR de ambas ecuaciones fueran idnticos, y por lo tanto se tendra que.

(4.116)

(4.117)

En esta expresin se observa que la impedancia total en serie de la lnea es multiplicada por un factor que esta encerrado entre parntesis que hace que el circuito nominal ( para la lnea mediana de la Fig 4.26 se convierta a el equivalente ( para la lnea larga.

Para determinar el elemento en derivacin para el equivalente de la lnea larga se igualan los coeficientes de VR de las expresiones (4.88) y (4.111), obtenindose.

(4.118)

Sustituyendo (4.116) en (4.118), se tiene.

Despejando para Y/2, se tiene.

(4.119)

Si:

Entonces:

Que se puede adecuar de la forma siguiente.

(4.120)

Esta ecuacin muestra el factor de correccin por el cual se debe de multiplicar Y/2 para que el elemento en derivacin del circuito ( equivalente de la lnea mediana de lugar al elemento Y/2 del circuito ( equivalente de la lnea larga.

Por lo tanto en general se puede establecer que el circuito equivalente de una lnea de transmisin corta, mediana o larga tiene la forma general de un circuito ( , donde en el caso de la lnea corta el elemento en derivacin es nulo, en el caso de la lnea mediana la admitancia en derivacin se divide en dos partes iguales y concentrada cada una en cada terminal, y en el caso de la lnea larga sus elementos componentes son dados por las expresiones (4.117) y (4.120).

Ejemplo 4.6.- Se tiene una lnea de transmisin de 350 Km. de longitud que opera a la frecuencia de 60 Hz., cuyos parmetros son: resistencia de 0.115 (/Km., reactancia inductiva de inductancia 0.55 (/Km., y admitancia de 3.55 x 10-6 S/Km. La lnea alimenta una carga de 90 MW., cuyo FP = 0.85(-), a la cual le aplica una tensin de lnea de 230 KV. Determine:

a) La tensin, corriente y potencia activa en la terminal transmisora.

b) El por ciento de regulacin.

c) Los elementos que constituyen el circuito ( equivalente de la lnea larga.

Solucin.

Primero se calcularn los elementos que se necesitan para calcular las cantidades sealadas en el inciso a), que son los siguientes.

La impedancia en serie total.

La admitancia en derivacin total es.

La impedancia caracterstica es.

El producto del coeficiente de propagacin por la longitud total de la lnea es:

La corriente en la terminal receptora es.

Para calcular la tensin de fase a neutro en la terminal transmisora se recurre a la ecuacin (4.111), de la cual es conveniente primero evaluar las funciones hiperblicas por medio de las identidades (4.113) y (4.114), tal y como se muestra a continuacin.

Donde: , de tal manera que:

a).- Sustituyendo en la expresin para VS, que es la (4.111), se tiene.

La corriente en la terminal transmisora se calcular de acuerdo a la ecuacin (4.112) y sustituyendo en ella los valores previamente calculados se tiene.

La potencia activa en la terminal transmisora ser dada por la expresin siguiente.

Donde:

Entonces:

b).- El por ciento de regulacin de la lnea que en este caso es dado por la expresin siguiente.

Donde: , que se sustituye en la expresin (4.86) y sustituyendo valores se obtiene el resultado siguiente.

c).- Los elementos componentes que constituyen el circuito ( equivalente de esta lnea larga cuya estructura es igual al de la Fig.4.27, tendrn los valores que se calculan a continuacin.

La impedancia serie.

La admitancia en derivacin.

IV.3.4. Constantes Generalizadas de las Lneas de Transmisin.

Al observar la estructura de las ecuaciones para las lneas corta, mediana y larga de voltaje y corriente en la terminal transmisora, que son expresadas todas en funcin del voltaje y la corriente en la terminal receptora, como se puede apreciar en las ecuaciones respectivas (4.85), (4.84), (4.88), (4.90), (4.111) y (4.112). Estas expresiones se pueden representar en base a su estructura general de acuerdo a unas constantes que se les conoce como constantes generalizadas de las lneas de transmisin, denominadas A, B, C y D, dando las expresiones generales siguientes.

(4.121)

(4.122)

Por lo tanto para la lnea corta de acuerdo a las ecuaciones (4.85) y (4.84), se tiene.

A = 1 y B = Z

(4.123)

C = 0 y D = 1

Para la lnea mediana de acuerdo con las ecuaciones (4.88) y (4.90), se tiene.

(4.124)

Para la lnea larga de acuerdo con las ecuaciones (4.111) y (4.112), se tiene.

(4.125)

Finalmente en general el por ciento de regulacin de una lnea de transmisin se puede expresar as.

(4.126)

t

R

R1

R2

t1

t2

T

Fig. 4.2.- Variacin de la resistencia con la temperatura.

Conductor A

Conductor B

a

a

n

b

c

d

b1

a1

d1

c1

m

Fig. 4.3.- Dos grupos de conductores

Ra

La

Ga

Ca

Va

Ia

Rb

Lb

Lc

Rc

Gb

Gc

Ca

Cc

Fig. 4.1.- Parmetros de la lnea de transmisin.

r4

r

x

ds

dx

(

Fig. 4.6.- Seccin transversal del conductor cilndrico

D1

P2

x

D2

dx

Flujo

Fig. 4.7.- Eslabonamientos de flujo externos entre los puntos P1 y P2.

P1

P

1

2

3

n

D1p

D2p

D3p

Dnp

Fig. 4.8.- Grupo de n conductores, cuya suma de corrientes es cero

y alejados de un punto P.

Conductor A

Conductor B

a

n

b

c

1

m

3

2

Fig. 4.9.- Lnea monofsica, constituida por dos grupos de conductores.

a

b

c

D

D

D

Fig. 4.10.- Disposicin simtrica de los conductores de una lnea trifsica.

1

Posicin 1

Posicin 2

Posicin 3

2

3

D12

D23

D31

a

b

c

a

b

b

c

c

a

L/3

L/3

L/3

L

Fig. 4.11.- Ciclo de transposicin de una lnea trifsica.

5.66 m

3.5 m

3.5 m

Fig. 4.13.- Conductores de lnea trifsica de un conductor por fase.

d

d

d

d

d

d

d

d

Fig. 4.14.- Grupos de conductores por fase.

d = 25 cm.

d

d

1

3

2

Fig. 4.15.- Lnea trifsica asimtrica de tres conductores por fase.

+

-

Lneas de flujo magntico

Lneas de campo elctrico

Fig. 4.4.- Distribucin de campos elctricos y magnticos en una lnea monofsica.

D12

D31

D23

q

+

+

+

+

+

+

Fig. 4.16.- Lneas de flujo elctrico alrededor de un conductor cilndrico.

ra

rb

a

b

D

Fig. 4.18.- Dos alambres separados una distancia D.

a

b

Cab

a

b

Can

Cbn

Can = Cbn = 2 Cab

n

Fig. 4.19.- Representacin de capacitancia entre conductores (A) y al neutro (B).

(A)

(B)

qa

qc

qb

D

D

D

Fig. 4.20.- Disposicin equiltera de conductores de una lnea trifsica.

Vca

Vab

Vbc

Van

Fig. 4.21.- Diagrama fasorial de voltajes de lnea y al neutro.

P2

+q

D1

D2

P1

Trayectoria de

integracin.

Fig. 4.17.- Trayectoria de integracin entre dos puntos P1 y P2 de

dos superficies equipotenciales.

1

3

2

D12

D31

D23

Fig. 4.22.- Disposicin asimtrica de conductores en una lnea trifsica.

d

d

d

a

a

b

b

c

c

D12

D31

D23

Fig. 4.23.- Lnea trifsica de dos conductores por fase.

d

D12

D31

D23

Fig. 4.4.- Lnea trifsica de tres conductores por fase.

-

+

+

-

Vs

Is

R

L

IR

VR

Fig 4.24.- Representacin de una lnea de transmisin corta.

(c) carga predominantemente

capacitiva

IR

VR

R IR

Vs

Vs

XL IR

R IR

VR

IR

(a) carga resistiva

(b) carga predominantemente inductiva

Vs

XL IR

R IR

VR

IR

Fig. 4.25.- Diagramas fasoriales para una lnea de transmisin corta.

XL IR

IR

Y/2

Y/2

Z

+

+

Vs

-

VR

-

Is

Fig. 4.26.- Circuito ( equivalente de la lnea de longitud media.

V

V+dV

-

-

+

+

I

I+ dI

dx

x

IS

-

-

+

+

VS

IR

VR

Fig. 4.27.- Lnea de transmisin larga con parmetros uniformemente distribuidos.

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