cap.7 líneas de transmisión

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TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA CAPÍTULO 7 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN. 7.1 Conceptos básicos. Las ondas planas uniformes, discutidas en el capítulo anterior son ejemplos de propagación de ondas sin guías (libremente), en el sentido de que una vez que se han propagado en una dirección, dentro de un bloque infinito de material, continúan propagándose en la misma dirección. De acuerdo con lo anterior, las líneas de transmisión (al igual que las guías de onda) se utilizan para guiar la propagación de la energía de un punto a otro. Así pues, una línea de transmisión se puede definir como un dispositivo para transmitir o guiar energía de un punto a otro. Usualmente se desea que la energía sea transportada con un máximo de eficiencia, haciendo las pérdidas por calor o por radiación lo más pequeñas posible. Las líneas de transmisión pueden ser de muchas formas y tamaños. Es conveniente clasificarlas en base a las configuraciones de sus campo E y H, es decir, en base a los modos que pueden transmitir. De esta manera, las líneas de transmisión se pueden dividir en dos grupos principales: 1) Las que son capaces de transmitir el modo Transversal ElectroMagnético (TEM). Del cual se desprenden las O.P.U.

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TEORA ELECTROMAGNTICA CAPTULO 7LNEAS DE TRANSMISIN.7.1 Conceptos bsicos.Las ondas planas uniformes, discutidas en el captulo anterior son ejemplos de propagacin de ondas sin guas (libremente), en el sentido de que una vez que se han propagado en una direccin, dentro de un bloque infinito de material, continan propagndose en la misma direccin. De acuerdo con lo anterior, las lneas de transmisin (al igual que las guas de onda) se utilizan para guiar la propagacin de la energa de un punto a otro. As pues, una lnea de transmisin se puede definir como un dispositivo para transmitir o guiar energa de un punto a otro. Usualmente se desea que la energa sea transportada con un mximo de eficiencia, haciendo las prdidas por calor o por radiacin lo ms pequeas posible. Las lneas de transmisin pueden ser de muchas formas y tamaos. Es conveniente clasificarlas en base a las configuraciones de sus campo E y H, es decir, en base a los modos que pueden transmitir. De esta manera, las lneas de transmisin se pueden dividir en dos grupos principales: 1) Las que son capaces de transmitir el modo Transversal ElectroMagntico (TEM). Del cual se desprenden las O.P.U. 2) Las que son capaces de transmitir nicamente modos de orden ms alto. En un modo TEM ambos, el campor elctrico y el campo magntico, son completamente a la direccin de propagacin. No hay componente ni de E, ni de H en la direccin de transmisin. Por ejemplo, si la direccin de transmisin es en Z, entonces las nicas posibilidades para la direccin de E y de H seran Ex y Hy Ey y Hx. La nica diferencia con las O.P.U. es que en el modo TEM E y H no necesariamente son independientes de su posicin en el plano formado por XY (el cual es transversal a Z). Mientras que en las O.P.U. E Y H s deben ser independientes de su posicin en estos planos (esto es la caracterstica de uniformidad).

Los modos de ms alto orden siempre tienen al menos una componente, de alguno de los campos en la direccin de transmisin. Todas las lneas de dos conductores como el cable coaxial o el cable de dos hilos son ejemplos de lneas que transmiten el modo TEM o simplemente de lneas TEM; mientras que las guas de onda huecas, de un solo conductor, son ejemplos de lneas de modos ms altos. En resumen: 1) Lnea modo TEM.- E y H son totalmente transversales a la direccin de transmisin. Ejemplos: todas las lneas de dos conductores. 2) Lnea modo de ms alto orden.- E H ambos tienen componentes en la direccin de transmisin. Ejemplos de modos de ms alto orden son el modo TM, el modo TE. Ejemplos de este tipo de lneas de transmisin son las guas de onda huecas de un solo conductor o las lneas trifsicas.

En el mbito electrnico el trmino "lnea" o "lnea de transmisin" usualmente se utiliza nicamente para hacer referencia a los dispositivos que pueden transmitir modo TEM, mientras que el trmino "gua" o "gua de onda" se utiliza para hacer referencia a los dipositivos que pueden transmitir modos de ms alto orden. A continuacin se muestra el smbolo o diagrama utilizado para representar una lnea de transmisin y en seguidas se mostrarn algunas analogas tiles entre las O.P.U. y las lneas de transmisin:

Figura 7.1

Donde

es el voltaje de entrada o voltaje de la fuente de alimentacin, Rc

es la impedancia intrnseca de la lnea de transmisin y sus unidades son ohms, es la impedancia de carga y puede ser un nmero complejo o un nmero real y sus unidades tambin son ohms, es el voltaje en la carga, es la corriente que pasa por la carga, L es la longitud de la lnea de transmisin en metros y se mide sobre el eje Z, d es la distancia de un punto determinado a la carga en metros, las otras dos variables sern definidas en la siguiente seccin en base a la distancia d. Las analogas entre las O.P.U. y las lneas de transmisin son las siguientes:

O.P.U. Lnea de Transmisin Amperes Rc A/m

volts V/m

7.2 Voltaje y corriente como funciones de la posicin.Las formas de onda del voltaje y la corriente en la lnea de transmisin son la combinacin de ondas que se desplazan hacia adelante y hacia atrs. Estas se combinan para producir ondas estacionarias en la lnea, de manera analga a como se observ en el captulo anterior en el estudio de la incidencia de ondas planas uniformes en fronteras planas. Para mostrar la existencia de ondas estacionaras en la lnea, vamos a escribir las expresiones para voltaje y corriente en la lnea, en trminos de un voltaje de carga = = definimos como: y una corriente de carga = = , a estas dos variables las

=

#9; (7.1a)

=

(7.1b)

El coeficiente de reflexin en un punto particular de Z se define como la razn de los voltajes:

(7.2) Tambin definimos una impedancia de entrada a la lnea en cualquier punto a lo largo de ella como la razn del voltaje total a la corriente total:

(7.3) Donde: = e Substituyendo (7.4) en (7.3): =( [ 1+ ] (7.4a) ] (7.4b)

/Rc)

[ 1-

(7.5) Si , L es la distancia de la entrada a la carga (la longitud de la lnea de transmisin), entonces podemos encontrar una impedancia en la carga =Rc[ (1+ )/(1)] (7.6) =

Donde es el coeficiente de reflexin en la carga siguiente manera (ecuacin 7.7):

=

y se define de la

= El cual en trminos de la impedancia de carga es:

(7.7)

=

(7.8)

Se puede demostrar que = Si en (7.1) se despeja (7.9)

y se substituye en (7.4) junto con (7.9)

=

Volts (7.10a)

=

Amperes (7.10b)

Ntese que estos resultados involucran la distancia a la carga, la cual definimos como LZ. As, si definimos d = L-Z , las ecuaciones en (7.10) quedan de la siguiente manera:

=

Volts (7.11a)

=

Amperes (7.11b)

Donde e son los fasores de voltaje y corriente, respectivamente, a una distancia d de la carga, como se muestra en la figura 7.1. El anlisis de las variaciones de las magnitudes del voltaje y la corriente a una distancia d de la carga es muy til y se realiza a continuacin, antes de eso es necesario obtener la magnitud de e a partir de las ecuaciones (7.11):

=

(7.12a)

=

(7.12b)

Ntese que la influencia de d (la distancia) est contemplada en los trminos y .

Hay varios casos de consideracin especial: 1.- La carga en corto circuito, =0: Para este caso, =-1 y el voltaje de carga cero. La ecuacin para la corriente de carga en (7.12b) se vuelve es

=

=

=

(7.13)

Para obtener la ecuacin (7.13) se utiliz la igualdad . Como =0, no es apropiado utilizar la ecuacin (7.12a) para analizar la magnitud del voltaje a lo largo de la lnea de transmisin, as que la ecuacin a utilizar es: = la magnitud de queda de la siguiente manera = Substituyendo =-1 en (7.15) tenemos = = Volts (7.15) Volts (7.14)

=

(7.16)

De esta manera, la magnitud del voltaje a lo largo de la lnea de transmisin vara con el seno de la distancia elctrica de la carga. Ntese que un mnimo y un mximo adyacentes estn separados por /4. De manera similar, los mximos adyacentes y los mnimos

adyacentes estn separados por /2. Por ejemplo, Si ocurre un mximo en d1 y un mnimo en d2, estos puntos deben estar separados por

(7.17) Resultados similares se aplican a la corriente mxima y mnima respectivamente. Ms adelante veremos que esto es un resultado general sin importar la impedancia de carga.

2.- La carga en circuito abierto,

= : Para este caso,

=+1 y la corriente en la carga

es cero. La ecuacin para el voltaje de carga en (7.12a) se vuelve

=

(7.18)

En este caso, la ecuacin (7.12b) no es correcta para analizar la corriente a lo largo de la lnea de transmisin, as que es necesario utilizar la siguiente forma:

(7.19)

Ntese que otra vez, un mximo y un mnimo adyacentes estn separados por /4. Tanto los mximos adyacentes como los mnimos adyacentes estn separados por /2. Ntese tambin que una lnea que tenga una longitud de un cuarto de y que termine en un circuito abierto aparecera como un corto circuito. A una distancia de un cuarto de longitud de onda ( ), el voltaje se va a cero, mientras que la corriente no, esto indicara que se trata de un corto circuito. Observaciones similares se aplican al caso de una lnea que tenga una longitud de un cuarto de lambda ( /4) y que termine en un corto circuito, a una distancia de un cuarto de longitud de onda de la carga (d= /4), la corriente es cero, mientras que el voltaje no, esto indicara que se trata de un circuito abierto.

3.-Carga resistiva,

RL: En el caso de alguna cargaresistiva

es real, as que

y el coeficiente de reflexin en la carga es un nmero real, es decir, . Para este caso los mnimos o mximos del voltaje y de la corriente van a ocurrir exactamente en la carga. Para RL> RC es positivo y en la carga ocurrir un mximo de voltaje y un mnimo de corriente. Para RL< RC es negativo y las propiedades antes mencionadas se invierten, es decir, en la carga ocurrir un mximo de corriente y un mnimo de voltaje. Ntese que estas propiedades se confirman para cargas en circuito abierto y encorto circuito respectivamente. Finalmente, si RL=RC se dice que la lnea est acoplada, es el caso ptimo y el que generalmente se desea que ocurra. Para esta caso =0 y no hay variacin en la magnitud del voltaje ni en la magnitud de la corriente a lo largo de la lnea.

4.-Carga compleja caso general,

: Para una carga reactiva general

los resultados

antes mencionados no cambian, con una sola excepcin: Para esta carga y esto da como resultado un coeficiente de reflexin en la carga complejo, lo cual ocasiona que ni los mximos, ni los mnimos de voltaje y de corriente ocurran en la carga. Excepto por esta diferencia se tienen las siguientes propiedades generales: (a) Un mximo y un mnimo, en la magnitud, de voltaje (o corriente) estn separados por /4. (b) Los puntos correspondientes en la magnitud del voltaje (y la corriente), en sus formas de onda, se repiten entre distancias separadas por mltiplos de /2. (c) El voltaje y corriente total (magnitud y fase) se repiten entre distancias separadas por mltiplos de .

7.3 Acoplamiento de lneas de transmisin.Como se mencion en el captulo anterior, el caso ideal u ptimo es tener una lnea de transmisin acoplada, esto significa que RL=RC. Cuando RL RC se dice que la lnea est desacoplada.

Siempre que sea posible se desea acoplar las lneas de transmisin para eliminar las reflecciones. Las lneas no acopladas (RL RC RC) ocasionan ecos (reflecciones), como se discuti en la seccin anterior estas reflecciones dan lugar a las ondas estacionarias. Esta situacin puede ser particularmente indeseable, por ejemplo, en los circuitos telefnicos. La tcnica de acoplamiento que se abordar en esta seccin ser la de las secciones acopladoras (stub-tuner) o espolones. La idea consiste bsicamente en determinar el valor de la impedancia de alguna red auxiliar, la cual cuando sea conectada a la lnea de transmisin provocar que =RC. Como se puede ver el caso ms general es cuando la impedancia de carga es compleja y debido a que la impedancia de la lnea es puramente real, entonces la impedancia de esta red auxiliar debe ser puramente compleja (reactiva) y cuyo valor debe ser igual al de la parte reactiva de la impedancia de carga. La base de esta idea se explica a continuacin, ver figura 7.2. Se puede encontrar un punto a lo largo de la lnea de transmisin de tal manera que la admitancia de entrada tenga una parte real igual a 1/RC y alguna parte imaginaria X, es decir =(1/RC)+j X (7.20)

Figura 7.20

Este hecho se puede ver fcilmente si notamos que la dmitancia normalizada a Rc de la ecuacin (7.20) es

=

Rc

=1 + jXRc (7.21) La siguiente pregunta que es necesario responder es "Qu estructura debe tener la red acopladora?". Como ya se ha mencionado antes, es claro que esta red debe proveer una admitancia que sea puramente reactiva (que no tenga parte real), la cualpodra ser capacitiva o inductiva puesto que X puede ser positivo o negativo. La manera ms obvia y ms simple de hacer esto es conectar en paralelo con la lnea, a la distancia adecuada, un capacitor o un inductor que tenga el valor adecuado de admitancia. El problema que conlleva esta solucin es que este tipo de elementos no se comportan como simples capacitores o simples inductores cuando son operados a frecuencias cercanas al rango de los Gigahertz. Abajo de este rango de frecuencias s sern adecuados para realizar el acoplamiento. Cuando la lnea va a operar en rangos de frecuencia ms altos para implementar la red acopladora se utiliza una seccin de lnea de transmisin que tenga las mismas caractersticas de sta, (impedancia intrnseca Rc constante de fase y una longitud L ) y que est cortocircuitada, es decir, que termine en corto circuito. A este pedazo de lnea se le conoce como stub o stub-tuner. tambin se podran utilizar stubs con terminacin en circuito abierto, pero son ms difciles de construir y son poco utilizados. En la figura 7.3 se muestra el diagrama de una lnea de transmisin con un stub-tuner conectado a ella.

Figura 7.3

Puesto que no siempre es posible acoplar una lnea exactamente, se desea tener una medida del grado de desacoplamiento. Esta medida se llama Razn de Voltaje de Onda

Estacionaria (VSWR) y se define como la razn de la magnitud del voltaje mximo en la lnea a la magnitud del mnimo voltaje en la lnea:

VSWR=

(7.22)

Ntese que en el caso acoplado la razn del voltaje mximo al voltaje mnimo de ntro de la lnea es igual a 1, es decir, VSWR=1 para y VSWR= para = 0 para = (7.24) =RC (7.23)

De esta manera, la VSWR nos da una medida del desacoplamiento de la lnea. Ntese que la VSWR siempre ser un nmero real positivo y que su valor va a estar entre 1e : 1 VSWR < (7.25)

Entre ms cerca est la VSWR de la unidad, mejor acoplada est la lnea Se puede determinar una frmula para la VSWR en trminos de Rc y (7.26a) (7.26b) Substituyendo las ecuaciones de (7.26) en la definicin de VSWR, ecuacin (7.22): .

VSWR=

(7.27)

Debido a que la magnitud del coeficiente de reflexin es constante en todos los puntos a lo largo de la lnea, entonces ser igual al inicio que en la carga:

Y (7.27) se puede escribir como:

VSWR=

(7.28)

Por otro lado, si se conoce la VSWR por mediciones o por algn otro medio, se puede calcular la magnitud del coeficiente de reflexin en cualquier punto de la lnea utilizando la siguiente ecuacin: =

=

(7.29)

7.4 La carta de Smith.En la seccin anterior requerimos numerosas operaciones algebricas con nmeros complejos (suma, resta, multiplicacin y divisin) para obtener ciertas cantidades de inters. La carta de smith es una ingeniosa tcnica grfica que virtualmente evita todas estas tediosas operaciones con nmeros complejos. Por ejemplo, se puede determinar la impedancia de entrada a una lnea de transmisin dad su longitud elctrica y su impedancia de carga. Considrese la lnea de transmisin uniforme y sin prdidas, con resitencia caracterstica Rc y constante de fase =2 / , ver figura 7.1. Como se discuti en la seccin anterior, la impedancia de entrada a la lnea en cualquier punto a lo largo de ella, determinar de la siguiente manera. El coeficiente del voltaje de refleccin , se puede

en cualquier punto Z en la lnea y la , se relacionan por

impedancia de entrada a la lnea en el mismo punto Z,

=

=Rc

(7.30)

Y el coeficiente del voltaje de refleccin en cualesquiera dos puntos de la lnea, Z1 y Z2, se relacionan por

(7.31)

donde la constante de fase est dada por

=

(7.32)

donde V es la velocidad de propagacin de la onda dentro de la lnea, asumiendo que el medio dentro de la lnea es homogneo y est caracterizado por las propiedades y ( ), es la frecuencia de operacin en radianes y es la longitud de onda en el medio, en metros Se cumple la relacin Hertz. , donde f es la frecuencia de operacin en

La clave para entender la carta de Smith (lo cual es importante para su efectivo y adecuado uso), radica en el hecho de que la carta de Smith relaciona, grficamente, la impedancia de entrada (7.30) en algn punto de la lnea y el coeficiente del voltaje de refleccin (7.31) en ese mismo punto. Lo primero que se debe hacer es determinar la impedancia de entrada normalizada a la impedancia de la lnea Rc. Para normalizar se realiza lo siguiente:

(7.33a) = r+j x (7.33b)

donde r y x son las partes real e imaginaria, respectivamente, de . De manera similar, el coeficiente de refleccin en este punto se puede escribir en trminos de su parte real y suparte imaginaria p y q, respectivamente:

= p + jq (7.34)

Substituyendo (7.34) en (7.33a) obtenemos:

=

(7.35)

Si igualamos (7.33b) con (7.35):

r+j x=

(7.36)

Si se iguala la parte real del lado izquierdo con la parte real del lado derecho en (7.36) y se iguala la parte imaginaria del lado izquierdo con la parte imaginaria del lado derecho en (7.36) y despus se hace cierta manipulacin algebrica, se obtiene:

, crculo de constante r (7.37a)

, crculo de constante x (7.37b)

Las ecuaciones (7.37) son las ecuaciones de dos crculos. En particular, (7.37a) es la ecuacin de un crculo de radio y centrada en el punto .

La ecuacin (7.37b) es la ecuacin de un crculo de radio .

y centrada en el punto

La Carta de Smith se forma con la combinacin grfica de estos dos crculos, representados por las cecuaciones (7.37),. El coeficiente de refleccin del voltaje se puede dibujar en el plano pq. La ecuacin (7.37a) da una relacin entre la parte real de , entre r, p y q. La ecuacin (7.37b) da la relacin entre la parte imaginaria de , entre x, p y q. Si se grafican las dos ecuaciones para distintos valores de r y x, y despus se superponen ambas grficas, se obtiene la Carta de Smith, la cual se muestra en la figura 7.4.

Figura 7.4

El resultado importante es el hecho de que el coeficiente de refleccin del voltaje y la impedancia de entrada a la lnea normalizada en el mismo punto de la lnea, estn relacionados por la carta de Smith (Fig. 7.4). En la parte exterior de la carta hay varias escalas. En la parte exterior de la carta est una escala llamada "ngulo del coeficiente de reflexin en grados", a partir de sta se puede obtener directamente el valor de . Un par de escalas de suma importancia son las que relacionan la longitud de la lnea de transmisin en s el inicio de estas dos escalas est en el lado izquierdo de la carta de Smith y una de ellas corre en el sentido de las manecillas del reloj, sta se denomina

"wavelengths toward generator" (longitudes de onda hacia el generador), esto indica que si se utiliza esta escala se estar avanzando hacia el generador, hacia la entrada de la lnea, en unidades de . La otra escala corre en sentido contrario de las manecillas del reloj y se denomina "wavelenghts toward load" (longitudes de onda hacia la carga), esto indica que si se utiliza esta escala se estar avanzando hacia la carga, hacia el final de la lnea, en unidades de . En el fondo de la carta hay un conjunto de varias escalas, una de las cuales est denominada "Reflection coeff. Vol" (Coeficiente de refleccin del voltaje). Si se mide la longitud del vector, trazado siempre desde el origen, se puede utilizar esta escala para conocer la magnitud del coeficiente de refleccin del voltaje, . El resto de las escalas deben ser explicadas en la clase. El punto importante es que la carta de Smith es una relacin grfica entre la impedancia de entrada normalizada y el coeficiente de reflexin del voltaje en el mismo punto de la lnea y utilizando la carta se pueden evitar los laborioso clculos con nmeros complejos para conocer la impedancia de entrada a la lnea o el coeficiente de refleccin. Otras aplicaciones de la carta de Smith son en el clculo del inverso de un nmero complejo, lo cual resulta muy sencillo, y en el acoplamiento de las lneas de transmisin.