Electromagnetismo - 2002 225

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4 Lneas de Transmisin 1 En este captulo introducimos las nociones bsicas de la propagacin de ondas por

lneas de transmisin. Las lneas de transmisin son estructuras de guiado de energa cuyas dimensiones,

salvo una, son pequeas frente a la longitud de onda de los campos electromagn-ticos. Es posible considerar a la lnea como una sucesin de cuadripolos de tama-o infinitesimal en cascada. Para cada cuadripolo entonces se puede aplicar laaproximacin cuasi-esttica. Esta descripcin circuital se conoce como de par-metros distribuidos.

En el caso de las lneas ideales no existen prdidas de energa y el cuadripoloexhibe solamente elementos reactivos. Resultan ecuaciones de onda para tensin ycorriente a lo largo de la lnea, que queda definida por dos parmetros: la veloci-dad de propagacin de las ondas y la impedancia caracterstica, que da la rela-cin entre las ondas de tensin y de corriente de una onda progresiva.

En el caso de las lneas reales se incorporan las prdidas en los conductores y enel dielctrico. Esto lleva, en el caso de ondas armnicas, a una constante de pro-pagacin compleja que indica la propagacin con atenuacin y a una impe-dancia caracterstica compleja. En la prctica son de inters las lneas de bajasprdidas.

Se presenta una descripcin de lneas de uso comn en la tcnica, entre ellas laslneas de cinta o de par trenzado.

Una lnea cargada generalmente presenta reflexin de potencia, y en el caso ideal,ondas estacionarias.

En general, modificando la impedancias de carga y la longitud de la lena es posi-ble obtener cualquier impedancia de entrada, lo que permite usar a las lneas co-mo elementos de circuito.

Para lneas de transmisin de energa o informacin, la reflexin de potencia eshabitualmente perjudicial, y est acompaada de sobretensiones y sobrecorrientesen la lnea que pueden daarla. El parmetro que define usualmente la importan-cia de la reflexin es la relacin de onda estacionaria (ROE).

Se presenta un coeficiente de reflexin generalizado que da la relacin de la ten-sin de la onda regresiva y la tensin de la onda incidente en cualquier punto de lalnea.

En el Apndice 5 se da una muy breve introduccin al comportamiento de ondas enuna dimensin.

Electromagnetismo - 2002 226

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Guas de ondas y lneas de transmisinUna gua de ondas es un dispositivo que se usa para transportar energa electro-magntica y/o informacin de un sitio a otro. Generalmente se usa el trmino lneade transmisin a la gua de ondas usada en el extremo de menor frecuencia delespectro. A estas frecuencias es posible utilizar un anlisis cuasiesttico. Para

frecuencias ms elevadas la aproximacincuasiesttica deja de ser vlida y se requiereun anlisis en trminos de campos, que es demayor complejidad. Veremos este tratamientoen el captulo de guas de ondas.Podemos pensar a una lnea de transmisinbsica como un par de electrodos que se ex-tienden paralelos por una longitud grande (enrelacin con la longitud de onda) en una dadadireccin. El par de electrodos se hallan car-gados con distribuciones de carga (variablesa lo largo de la lnea) iguales y opuestas, for-mando un capacitor distribuido. Al mismo

tiempo circulan corrientes opuestas (variables a lolargo de la lnea) de igual magnitud, creando campomagntico que puede expresarse a travs de unainductancia distribuida. La potencia fluye a lo largo dela lnea. Los ejemplos ms importantes de lneas detransmisin son el par bifilar, el coaxil y la microcinta.

Para usar un modelo cuasiesttico se representa a la lnea como una cascada decuadripolos. Cada cuadripolo representa un tramo de lnea de pequea longitudfrente a la mnima longitud de onda de la seal. Por lo tanto cada tramo se puede

modelizar como un circuito usando la aproximacin cuasiesttica, como veremos enla siguiente seccin.Esta descripcin corresponde a una lnea bifilar. En muchas aplicaciones es nece-sario considerar lneas multifilares, como por ejemplo en circuitos impresos e inte-grados. Para el anlisis circuital es necesario usar coeficientes de capaci-dad/induccin e inductancias parciales.

I

-I

Q

-Q

E

H

Q

-Q

Electromagnetismo - 2002 227

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Modelo circuital de la lnea bifilar idealEn una lnea de transmisin hay dimensiones, las transversales, que cumplen lacondicin cuasi-esttica (D

Electromagnetismo - 2002 228

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Esta ecuacin diferencial para la tensin v(z,t) se denomina ecuacin de ondas oecuacin de DAlembert. Es una ecuacin diferencial lineal homognea a deriva-das parciales, cuya solucin (Apndice 4) es cualquier funcin del tipo:

LCcctzftzv 1 )(),( == con

Esta funcin representa una onda que se propaga a lo largo del eje z con velocidadc, de comportamiento similar a las ondas en una cuerda vibrante.Si se toma el signo (-) de la doble determinacin, la onda se propaga en el sentidode +z (onda progresiva), mientras que si se toma el signo (+) la propagacin es se-gn -z (onda regresiva).Se obtiene una ecuacin idntica para la corriente i(z,t) a lo largo de la lnea.

Se observa entonces que la solucin a las ecuaciones del telegrafistaen una lnea ideal son ondas de tensin y corriente que se propagan alo largo de la lnea.

Adems las ondas de tensin y corriente estn vinculadas entre s.Consideremos una onda progresiva con: v(z,t) = f(z - ct) y i(z,t) = g(z - ct).

Entonces:

=

=

=

=

=

ugc

tu

ug

ti

uf

zu

uf

zv

tiL

zv

Luego: ugcL

uf

=

e integrando: )()( ctzg

CLctzf =

de donde: v(z,t) = Z0 i(z,t) con CLZ /0 =

La cantidad Z0 tiene dimensiones de impedancia y se llama impedancia caracters-tica de la lnea. Junto con la velocidad de propagacin de las ondas LCc /1=son los parmetros fundamentales que describen el comportamiento de la lnea co-mo dispositivo transmisor de energa.Si ahora tomamos el par de funciones correspondiente a una onda regresiva:v(z,t) = f(z + ct) y i(z,t) = g(z + ct) es fcil demostrar que: v(z,t) = - Z0 i(z,t) demodo que en general:

v(z,t) = Z0 i (z,t) con CLZ /0 =

donde el signo + corresponde a la onda progresiva y el signo - a la regresiva.

Electromagnetismo - 2002 229

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Lneas con prdidasEl modelo que hemos visto es un modelo ideal, es decir, sin prdidas de energa. Sinembargo, todos los sistemas reales tienen prdidas. En una lnea de transmisin lasprdidas se dan por: prdidas por efecto Joule en los conductores; prdidas dielctricas.El modelo circuital de cuadripolo precedente puede incorporar estas prdidas me-

diante una resistencia en serie, que mo-deliza las prdidas por efecto Joule debi-das a la circulacin de corriente en losconductores de la lnea y una conductan-cia en paralelo, que modeliza las prdidasdielctricas mediante una conductividadequivalente del material, como se ilustraen la figura.

Para obtener las ecuaciones del telegrafista para este modelo de la lnea con prdi-das, aplicamos nuevamente la primera ley de Kirchhoff al nodo A:

zzz tvCzvG

zi

tvdzCzvdzGzidzzi

=

=+ )( )()()(

Recorriendo ahora la malla que forma el circuito, por la segunda ley de Kirchhoff:

zzz tiLziR

zv

tidzLzidzRzvdzzv

=

=+ )( )()()(

Las ecuaciones diferenciales acopladas son las nuevas ecuaciones del telegrafis-ta. Para resolverlas nuevamente se desacoplan las ecuaciones a travs de las deri-vadas cruzadas para obtener:

2

22

22

2

2

)(

)(

tvC

tvG

tzi

tvCzvG

zi

ztiL

tvRCvRG

ztiL

ziR

zv

tiLziR

zv

zz

zz

=

=

+=

=

=

de donde: ( )

( ) 22

2

2

2

2

2

2

tiLC

tiLGRCiRG

zi

tvLC

tvLGRCvRG

zv

+

++=

+

++=

Estas son ecuaciones diferenciales de tipo ondulatorio. Quedan ecuaciones de ondade DAlembert si consideramos prdidas nulas (R = G = 0).No existe solucin general de estas ecuaciones como en el caso ideal. Sin embargocualquier forma de onda fsicamente realizable puede expresarse mediante una in-tegral de Fourier1 y la resolucin es simple para variaciones armnicas:

tis

tis ezitziezvtzv

)(),( )(),( ==en notacin fasorial. Con esta eleccin la ecuacin diferencial para la tensin queda:

( )[ ] 0 222

22

2

=+++= ss

ss v

dzvd

vLCLGRCiRGdz

vd

1 Esto surge de que el cuadrado de cualquier onda de tensin y/o corriente, integrado en el tiempo es proporcio-nal a la energa de la onda, que es acotada.

z

i(z,t) i(z+dz,t)

v(z,t) v(z+dz,t)

L dz

C dz

A R dz

G dz

Electromagnetismo - 2002 230

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con: ( )LGRCiRGLC += 2y se obtiene una ecuacin similar para la corriente. Estas son ecuaciones llamadasecuaciones de Helmholtz, donde el nmero de onda = - i es complejo, indi-cando una propagacin con atenuacin, causada por las prdidas. Las ondas detensin y corriente con nmero de onda complejo quedan:

)(0

)(0 ),( ),(

ztizztiz eeitzieevtzv ==donde se ve que las amplitudes decrecen a medida que la onda se propaga por la

atenuacin producida por las prdidas. En lafigura se observan dos ondas armnicas deigual frecuencia, una en una lnea ideal y laotra en una lnea real con 5/ = . La veloci-dad de propagacin de las ondas es la veloci-dad de propagacin de los planos de faseconstante o velocidad de fase:

= .ctezt =fv

En general, la relacin entre y es no lineal por la presencia de la raz cuadrada.Esto lleva a que la velocidad de las ondas (la velocidad de fase, en rigor, como sever en el Captulo 6) dependa de la frecuencia, fenmeno conocido como disper-sin de un paquete de ondas porque algunas componentes de Fourier viajan msrpido que otras.

Como ( )( )CGiLRiLCCiGLiR =++= 11))((si ( )LRiLCiCGLR === 1 y se ve que en este casola relacin entre y es lineal por lo que no hay dispersin. Las lneas que cum-plen esta condicin son entonces no dispersivas.

Si definimos: LiRZ += (impedancia serie por unidad de longitud)CiGY += (admitancia paralelo por unidad de longitud)

tenemos: ZY=Si vinculamos nuevamente las ondas de tensin y de corriente mediante las ecua-ciones del telegrafista podemos obtener la expresin de la impedancia caracterstica

de la lnea con prdidas: 000 ZiZCiGLiR

YZZ +=

++==

La impedancia caracterstica compleja indica que hay un desfasaje temporal entrela onda de tensin y la onda de corriente para el mismo z en la lnea.Anlogamente podemos demostrar que para una onda regresiva:

000)(

0)(

0 v ),( ),( iZeitzievtzvzktizkti === ++

La impedancia caracterstica de una lnea de transmisin es la im-pedancia (relacin entre la tensin y la corriente) que se medira enun plano de z = cte. sobre la lnea infinita para una onda progresiva.

En general Z0 es compleja, lo que seala un desfasaje entre las on-das de tensin y de corriente.

v(z)

z

ideal

real

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Lneas de bajas prdidasEn los casos prcticos, las lneas se usan para transmitir energa por medio de on-das guiadas. Por lo tanto es esencial minimizar las prdidas de propagacin.

Hablamos de una lnea de bajas prdidas cuando:R

Electromagnetismo - 2002 232

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f(kHz)

Z0

modo que es una lnea de bajas prdidas, y tenemos:

csmLCvmL

RmLC f 55.0/1067.11 00025.02 377.0 811

= 13.02

200 000 LZR

ZCLZ

En el caso c) hay prdidas conductoras y dielctricas. Usamos las frmulas generales:

=

===

+=+=

)08.0200(

56.0/1067.1 )105.3377.0(

0

814

iYZZ

csmvmiZYi

CiGYLiRZ

f

Se observa que las prdidas en b) y c) no introducen diferencias significativas en losvalores de los parmetros fundamentales de la lnea respecto del caso ideal.

Ejemplo 70: Graficar la variacin del mdulo de la impedancia caracterstica en funcin dela frecuencia para la lnea c) del Ejemplo previo.

El mdulo de la impedancia caracterstica es:

CiGLiRZ

++=0

En el caso b) no hay prdidas dielctricas, demodo que la impedancia queda indefinida para 0. Para , = 2000 CLZ En lagrfica de la izquierda se presenta en negro lavariacin de 0Z con la frecuencia. En el caso

c), para 0 316/0 GRZ . La grficaes el trazo en rojo. En alta frecuencia el valor es el mismo que en el caso b). En amboscasos 0Z decrece hacia el valor de alta frecuencia.

En estos ejemplos se pone en evidencia la fuerte dependencia del valory el comportamiento de los parmetros de una lnea con la frecuencia.

PotenciaLas ondas electromagnticas transportan energa, que puede describirse medianteel vector de Poynting: N(z,t) = E(z,t) H(z,t). Dado que los campos pueden relacio-narse con las ondas de tensin y corriente en la lnea, es ms sencillo derivar eltransporte de energa usando el cuadripolo del modelo circuital de la lnea. Podemoshallar un anlogo del teorema de Poynting a partir de las ecuaciones del telegrafista:

tiLiR

zv

tvCvG

zi

=

=

Multiplicamos la primera ecuacin por v y la segunda por i y sumamos miembro amiembro para obtener:

( )

+

+=

=

=

22222222

21

21)(

2 ,

2LiCv

tiRvGvi

ztiLiR

zvi

tvCvG

ziv

de donde se ve que el flujo de potencia vi se convierte en potencia disipada en loselementos activos G y R o se almacena en los elementos reactivos L y C.Al igual que en el caso de los campos, podemos calcular la potencia media trans-portada por la onda utilizando la notacin fasorial:

Electromagnetismo - 2002 233

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)Re(21 *iviv =><

En el caso de una lnea con prdidas la potencia va decayendo por la atenuacin amedida que se propaga:

( ) zzztizztiz ev

Zve

Zv

veeieeviviv 220

02

02*0

*0

0)(*

0)(

0*

2Re

21Re

21)Re(

21 =

===>< + iLLr PZV

ZV

Zv

ivP 20

2

0

2

0

2*

222Re

21

7 En alguna literatura tcnica el coeficiente de reflexin se denota con el smbolo .

(iv

z

Z0 ZL

Electromagnetismo - 2002 241

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Potencia transmitida: ( )2

*

** )Re(

21Re

21Re

21

L

LL

L

LLLLt Z

VZZVVIVP =

==> t0 , existiruna posicin z1 para la cual se vuelve a tener el mismovalor de la funcin f0. Esto ocurre cuando coinciden losargumentos: f(z0 , t0) = f(z1 , t1) z0 c t0 = z1 c t1de donde: z1 = z0 + c (t1 t0) z1 > z0.Este razonamiento se puede hacer para cada posicinoriginal z0, de manera que se observa que cada puntode la curva original se desplaza a la derecha una canti-dad uniforme c (t1 t0).Esto es equivalente a decir que la funcin misma se desplazahacia la derecha con velocidad constante c. Una magnitudfsica cuya funcin representativa se traslada se denomina

una onda.En el caso de la solucin ])([)(),( tczfctzftzf =+= se ve fcilmente que el com-portamiento es el mismo que el descripto, pero con una velocidad (-c). Por lo tanto esta so-lucin implica una onda que se propaga en el sentido decreciente de z.Convencionalmente se denomina onda progresiva a la que se propaga en el sentido elegi-do como positivo o de crecimiento de las posiciones y regresiva a la que se propaga en elsentido opuesto.

t0 f

z

f0

z0

t1 f

z

f0

z0 z1

c

Electromagnetismo - 2002 249

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RESUMEN Las lneas de transmisin son guas de onda donde se puede aplicar la aproxima-

cin cuasi-esttica de parmetros distribuidos.Se modelizan como cuadripolos en cascada deextensin infinitesimal. Las variables significa-tivas son la tensin y corriente a lo largo de lalnea.

Las lneas ideales no tienen prdidas de energa y el cuadripolo exhibe solamenteelementos reactivos. Resultan las ecuaciones del telegrafista para tensin y co-

rriente a lo largo de la lnea: zzzz t

iLzv

tvC

zi

=

que llevan a las ecuaciones de onda: 0 0 22

2

2

2

2

2

2

=

=

tiLC

zi

tvLC

zv

Estas ecuaciones tienen soluciones ondulatorias:

CLZLC

cZtzvtzictzftzv / , 1 /),(),( )(),( 00 ==== con

donde c es la velocidad de propagacin de las ondas y Z0 la impedancia caracte-rstica de la lnea.

En el caso de las lneas reales se incorporan las prdidas en los conductores y enel dielctrico. Esto lleva a ecuaciones de propagacin ms complicadas:

( ) ( ) 0 0 22

2

2

2

2

2

2

=+

=

+

iRG

tiLGRC

tiLC

zivRG

tvLGRC

tvLC

zv

En el caso de ondas armnicas es fcil resolver las ecuaciones de ondas. Se ob-tiene una constante de propagacin compleja que indica la propagacin conatenuacin y una impedancia caracterstica compleja:

YZZZYiCiGYLiRZ ==+=+=+= 0 ,

La velocidad de propagacin de la onda es la velocidad de fase: =fv

Esta velocidad depende generalmente de la frecuencia, lo que produce el fenme-no de la dispersin, que implica la distorsin de pulsos o paquetes de onda que sepropaguen por la lnea.En la prctica son de inters las lneas de bajas prdidas: R

Electromagnetismo - 2002 250

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Cuando hay prdidas la potencia va decreciendo a medida de que se propaga. Se

tiene en db/m: ( ) ( ) eevi

vi

z

z10

210

1

10 log20log10log10 ==

+

Una lnea cargada generalmente presenta reflexin de ondas. La relacin entrelas amplitudes de las ondas de tensin reflejada y la transmitida a la carga con laincidente son los coeficientes de reflexin y transmisin:

L

L

L

LL YY

YYZZZZ

VV

+

=+

==+

0

0

0

0 0

21

ZZZ

VV

L

LL

LL +

=+==+

y los coeficientes de reflexin y transmisin de potencia:2

202 L

L

L

i

tL

i

r

ZZR

PP

TPP

R =>