Ayudantıa 3: Valor actual con n perıodos

y eleccion bajo incertidumbre

ECO211 – Secciones 7 y 8

Profesor: Hector Martinovic

21 de agosto de 2015

1. Valoracion de un activo sin riesgo

Un bosque puede ser vendido a los 10 anos o mas adelante. Si se talaantes de los 10 anos, su valor es nulo. Despues de los 10 anos tiene unvalor de $1.000 y su valor se incrementa en $100 cada ano adicional. Unavez talado el bosque, el terreno puede venderse en $200, independiente delano de tala.

a) Si la tasa de interes es 10%, ¿cual sera el precio maximo al cual sepuede vender el terreno, con el bosque incluido, en el presente?

b) Si la tasa de interes es r, ¿cual sera el precio maximo al cual se puedevender el terreno, con el bosque incluido, en el presente?

Respuesta:

a) Para saber cuanto es el precio del bosque en el presente, se debe saberque momento es el optimo para talarlo, pues esto determina cual essu maximo valor actual. Aquı hay dos casos:

Caso 1: si se tala el ano n, con 0 ≤ n ≤ 9, su valor actual sera:

V A(n) =200

(1 + 0,1)n

En este caso, conviene que n sea lo mas pequeno posible, porlo tanto conviene talarlo inmediatamente (n = 0), en cuyo casoV A(0) = 200.

Caso 2: si se tala el ano n, con n ≥ 10, su valor actual sera:

V A(n) =200 + 1000 + 100(n− 10)

(1 + 0,1)n

Existen distintas formas de encontrar el n optimo en este segundocaso. Una de ellas es derivar V A(n) con respecto a n e igualar

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a cero, y despues ver cual de los enteros mas proximos entregaun mayor valor actual. Aquı se adoptara otra forma de solucionque hace uso de un razonamiento economico: conviene tener eldinero en la forma de bosque si la tasa de rendimiento del bosquees mayor que la tasa de rendimiento que tendrıa el dinero en elbanco (que es la tasa de interes). Por lo tanto, conviene talar elbosque en el ano en el cual la tasa de rendimiento del bosquecaiga por debajo de la tasa de interes bancaria.El valor del terreno con el bosque en el ano n es 200 + 1000 +100(n− 10). Del ano n al ano n+1 el valor del bosque aumentaen 100, ası que la tasa de rendimiento es:

100

1200 + 100(n− 10)

Ası que debemos cortar el bosque cuando la tasa de rendimientodel terreno mas bosque sea menor que la tasa de interes, esto es,para el n mas pequeno que cumpla

100

1200 + 100(n− 10)≤ 0,1

100 ≤ 120 + 10(n− 10)

80 ≤ 10n

n ≥ 8

Pero estamos analizando el caso n ≥ 10, por lo que ano optimode tala en este caso es n = 10, en cuyo caso el valor actual delbosque es:

V A(10) =1200

(1 + 0,1)10≈ 463

Por lo tanto, de los dos casos (n = 0 o bien n = 10), el bosque tieneun mayor valor (V A = 463) actual cuando se corta en el ano 10. Poresta razon, el precio maximo al cual se puede vender el terreno conel bosque en el presente es 463.

b) Esta parte corresponde a la generalizacion de la parte a) para el casoen que r ≥ 0 toma un valor cualquiera. El valor actual para el caso 1sigue dando el mismo valor (V A = 200 cuando se corta el bosqueen n = 0). Para el caso 2, se debe cortar el bosque para el n maspequeno que cumpla

100

1200 + 100(n− 10)≤ r

1

r≤ 12 + (n− 10)

n ≥1

r− 2

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Para r grande, se preferira cortar el bosque lo antes posible (n = 10).Para r pequeno, se preferira esperar (n > 10). La tasa de interescrıtica se calcula reemplazando n = 10 en la expresion anterior.

10 ≥1

r− 2

r ≥1

12≈ 0,083

Por lo tanto, con tasas de interes superiores a 8.3 % se preferira cortarel bosque a los 10 anos, en cuyo caso el valor actual sera

V A(10) =1200

(1 + r)10

Eventualmente, se puede preferir cortar el bosque inmediatamente(n = 0), en caso de que V A(0) ≥ V A(10), lo que se traduce en

200 ≥1200

(1 + r)10

(1 + r)10 ≥ 6

r ≥ 10√6− 1 ≈ 0,1962

Por lo tanto, con tasas de interes superiores a 19,62% se preferira cor-tar el bosque inmediatamente en vez de esperar a los 10 anos.

Finalmente, si la tasa de interes es menor que 8.3 %, se cortara el bos-que despues de los 10 anos. Omitamos el redondeo al entero siguiente,y por simplicidad de la expresion, asumamos que n ≈ 1/r − 2. Eneste caso el valor actual sera

V A(n > 10) =200 + 1000 + 100(1/r− 2− 10)

(1 + r)1/r−2=

100/r

(1 + r)1/r−2

Resumiendo:

Para r ≤ 0,083 es optimo cortar el bosque en el ano n = 1/r−2 >10, ası que su valor actual es

V A(n > 10) =100/r

(1 + r)1/r−2

Para 0,083 ≤ r ≤ 0,1962 es optimo cortar el bosque en el anon = 10, ası que su valor actual es

V A(10) =1200

(1 + r)10

Para 0,1962 ≤ r es optimo cortar el bosque inmediatamente,ası que su valor actual es

V A(0) = 200

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2. Eleccion bajo incertidumbre: diversificacion

Samuel Sendero se gana la vida vendiendo gafas de sol en el paseo marıti-mo de Vina del Mar. Si el sol esta radiante, Samuel gana 30 pesos, y siesta lloviendo, gana solamente 10 pesos. Para simplificar, supongamos quehay unicamente dos tipos de dıa, los soleados y los lluviosos.

a) El casino de Vina anuncia que aceptaran apuestas sobre si el dıasiguiente va a ser un dıa soleado o uno lluvioso. Venden “cupones delluvia” a un precio de 1 peso. Si al dıa siguiente esta lloviendo, entrega2 pesos por cada cupon de lluvia adquirido el dıa anterior, y si nollueve, el cupon no tiene ningun valor. En el grafico de abajo senalacon la letra D la “dotacion” de consumo contingente de Samuel enel caso de que no compre ningun cupon. (cs es el consumo en el casode sol y cl es el consumo en el caso de lluvia.)

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40cs

cl

En el mismo grafico, traza con color azul la recta presupuestaria querepresenta todas las demas combinaciones de consumo que Samuelpuede adquirir comprando cupones de lluvia. (Suponemos que puedecomprar fracciones de cupon, pero no cantidades negativas de cupon.)¿Cual es la pendiente de la recta presupuestaria de Samuel corres-pondiente a los puntos situados por encima y a la izquierda de sudotacion inicial?

b) Si la funcion de utilidad de Manuel con respecto al dinero seguro esu(c) = ln(c), y la probabilidad de lluvia es 0,5 ¿cuantos cupones delluvia comprara Manuel?

c) Supongamos que en vez de “cupones de lluvia”, el casino vende “cu-pones de sol” Estos cupones cuestan tambien 1 peso y el casino entre-ga 2 pesos si al dıa siguiente no esta lloviendo y 0 pesos si llueve. Enotro grafico, traza con color rojo la recta presupuestaria relativa a las

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combinaciones de consumo contingente que Samuel puede adquirir sicompra los cupones de sol.

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40cs

cl

d) ¿Cuantos cupones de sol comprara Samuel?

Respuesta:

a) Si Samuel compra x cupones de lluvia, los consumos contingentesseran:

cs = 30− x+ 0 = 30− x

cl = 10− x+ 2x = 10 + x

Por lo tanto:

x = 30− cs

x = cl − 10

Igualando las ecuaciones anteriores:

cl − 10 = 30− cs

cs + cl = 40

Esta recta presupuestaria se muestra en la figura 1 en la pagina siguiente.No se extiende hasta (40, 0) pues Samuel solamente puede comprarcupones de lluvia (x ≥ 0).

b) La funcion de utilidad de von Neumann-Morgenstern es:

uvnm(cs, cl, πs, πl) = πsu(cs) + πlu(cl)

= 0,5 ln(cs) + 0,5 ln(cl)

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0

10

20

30

40

0 10 20 30 40cs

cl

b D

Figura 1: Restriccion presupuestaria con cupones de lluvia

RMS = −∂uvnm/∂cs∂uvnm/∂cl

= −0,5/cs0,5/cl

= −clcs

Como la pendiente de la recta presupuestaria es −1/1, la condicionde tangencia de la canasta optima se puede expresar como:

RMS = −clcs

= −1

cs = cl

Reemplazando en la recta presupuestaria:

cs + cs = 40

c∗s = 20

Por lo tanto, c∗s = c∗l = 20, que equivale a x∗ = 10. Como estocorresponde a comprar cupones (x∗ ≥ 0), la canasta de consumocontingente calculada sı se encuentra dentro del conjunto presupues-tario.

c) Procediendo de manera analoga, pero ahora llamando y a los cuponesde sol comprados:

cs = 30− y + 2y = 30 + y

cl = 10− y + 0 = 10− y

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Por lo tanto:

y = cs − 30

y = 10− cl

Igualando las ecuaciones anteriores:

cs − 30 = 10− cl

cs + cl = 40

Esta recta presupuestaria se muestra en la figura 2. No se extiendehasta (0, 40) pues Samuel solamente puedn comprar cupones de sol(y ≥ 0).

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40cs

cl

b A

bD

Figura 2: Restriccion presupuestaria con cupones de sol

d) Como la recta presupuestaria cs+cl = 40 es la misma que con cuponesde lluvia, la condicion de tangencia conducira a la misma canastaoptima A = (20, 20) de la parte b). Pero esta canasta no se puedealcanzar comprando cupones de sol, pues serıa necesario que y = −10.Ası que la mejor canasta que se puede alcanzar en estas condiciones esD = (30, 10) que corresponde a no comprar cupones. (En la figura 2se muestran las curvas de indiferencia que reflejan este hecho.)

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