atributos a desarrollar en el bloque - zona emec … · magnitudes constantes y variables, ... las...

Resuelve ecuaciones cuadráticas I Unidades de competencia:

Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad. Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico. Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o

gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada

uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar

información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina

entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,

definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera

reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con

los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 10 horas

238 RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I

Secuencia didáctica 1. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

!Inicio

x +5

x

Actividad: 1

1. En la siguiente figura, ¿cuál es el valor de x, si con los datos se obtiene un área que mide 24cm2?

2. ¿Qué proceso utilizaste para resolver el problema anterior? 3. En la siguiente figura, ¿cuánto vale x, si el área mide 40 cm2?

4. Compara los dos problemas anteriores y explica qué dificultades encontraste para poder

resolverlos

II. Observa el ejemplo para que completes la siguiente tabla.II. Observa el ejemplo para que completes la siguiente tabla.II. Observa el ejemplo para que completes la siguiente tabla.II. Observa el ejemplo para que completes la siguiente tabla.

EcuaciónEcuaciónEcuaciónEcuación Factorización Factorización Factorización Factorización SoluciónSoluciónSoluciónSolución

012x8x2 =+− ( )( ) 02x6x =−− 6x = ó 2x =

016x2 =−

0x7x2 =+

025x10x2 =+−

03x2x2 =−+

04x7x2 2 =−+

9 x +9

x + 2

I. Analiza y responde las siguientes preguntas.

239

BLOQUE 9

EvaluaciónEvaluaciónEvaluaciónEvaluación

Actividad: 1 Producto: Complementación de la tabla. Puntaje:

SaberesSaberesSaberesSaberes ConceptualConceptualConceptualConceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal

Identifica la solución de una ecuación cuadrática expresada en factores.

Obtiene la solución de los factores que componen a una ecuación cuadrática.

Aprecia los conocimientos previos para identificar la solución de ecuaciones cuadráticas.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el

docente

"Desarrollo

Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita también son conocidas como ecuaciones cuadráticas, y su forma general es:

0cbxax2 =++ con 0a ≠

Sus componentes son:

Como te habrás dado cuenta en la tabla de la primera actividad, el término lineal puede excluirse, así como el término independiente, pero como su condición lo dice, no se puede prescindir del término cuadrático. La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas. Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mixtas. En el siguiente cuadro sinóptico visualizarás su estructura.

Completas: 0cbxax2 =++

Incompletas

Clasificación de las ecuaciones cuadráticas

Puras: 0cax2 =+

Mixtas: 0bxax2 =+

bx

c Término independiente

Término lineal

Término cuadrático 2ax



Actividad: 2 Producto: Complementación de la tabla. Puntaje:


Identifica ecuaciones completas e incompletas de segundo grado de una variable.

Distingue las ecuaciones completas e incompletas de segundo grado con una variable.

Aprecia los conocimientos de Álgebra que le facilitan realizar la actividad con eficiencia.


docente

Actividad: 2 Transforma las siguientes ecuaciones quitando los paréntesis y simplificando términos semejantes, para que las clasifiques en completas o incompletas (puras o mixtas).

Ecuación original Ecuación modificada Clasificación

( )( ) 115x5x =−+

( )( ) 32n92n6n +−=−−

( )( ) 19x3x2x +=+−

( )4x8x2

4x−

−=+

( ) ( ) ( ) 431x71x7x 222+−=++−

( ) ( ) 352yy5yy2 =++−

2a1a

3a23a

−

−=

−

−

241

BLOQUE 9

Pareciera que las ecuaciones que desarrollaste en la actividad anterior no tienen sentido práctico, a continuación se te presentarán algunos ejemplos aplicados, en donde la ecuación que los modela es muy parecida a alguna de ellas. Los siguientes ejemplos son ejercicios del libro Álgebra de Baldor. 1. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Hallar los números.

x : Primer número. x9 − : Segundo número. ( ) 53x9x 22 =−+

2. Un número positivo es los 53 de otro y su producto es 2160. Hallar los números.

y : Número mayor.

y53

: Número menor. 2160y53

y =

3. Antonio tiene 3 años más que Jaime y el cuadrado de la edad de Antonio, aumentado en

el cuadrado de la edad de Jaime, equivale a 317 años. Hallar ambas edades.

z : Edad de A. 3z − : Edad de B. ( ) 3173zz 22 =−+

4. Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los

números.

a : Número menor. a3 : Número mayor. ( ) 1800aa3 22

=− 5. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumentara en

4 m, el área sería el doble. Hallar las dimensiones de la sala.

x : Longitud de la sala. 4x − : Ancho de la sala. ( )( ) ( )( )[ ]4xx2x4x −=+

6. Un comerciante compró cierto número de sacos de azúcar por 1000 bolívares. Si hubiera

comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 5 bolívares menos. ¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno?

x : Número de sacos que compró.

10x + : Número de sacos que hubiera comprado.

x1000

: Costo de cada saco que compró.

5x

1000− : Costo de cada saco si hubiera comprado 10 más.

( ) 10005x

100010x =

−+


7. Un hombre compró cierto número de naranjas por $1.50. Se comió 5 naranjas y

vendiendo las restantes a 1 cvo. más de lo que le costó cada una, recuperó lo que había gastado. ¿Cuántas naranjas compró y a qué precio?

x : Número de naranjas.

5x − : Número de naranjas que le quedaron.

x150

: Precio de cada naranja en cvs.

1x

150+ : Precio de venta.

( ) 1501x

1505x =

+−

8. Se han comprado dos piezas de tela que juntas miden 20 m; el metro de cada

pieza costó un número de pesos igual al número de metros de la pieza. Si una pieza costó 9 veces lo que la otra, ¿Cuál era la longitud de cada pieza? x : Longitud de la primera pieza.

x20 − : Longitud de la segunda pieza. 2x : Costo total de la primera pieza.

( )2x20 − : Costo total de la segunda pieza.

( ) 22 x9x20 =−

Para resolver las ecuaciones cuadráticas se requiere aplicar algunos métodos algebraicos, los cuales varían, dependiendo del tipo de ecuación que se presente. Métodos algebraicos de resolución de ecuaciones de segundo grado. La solución de una ecuación cuadrática es el valor de la incógnita que al sustituirla en la ecuación la satisface, es decir, se cumple la igualdad. Por lo general una ecuación cuadrática tiene dos soluciones, y en ocasiones sólo una, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. La ecuación cuadrática 035x2x2 =−− tiene dos soluciones, 7x = ó 5x −= , porque al sustituirlas en la ecuación, ésta se satisface.

( ) ( )

00

0351449

035727

035x2x2

2

=

=−−

=−−

=−−

( ) ( )

00

0351025

035525

035x2x2

2

=

=−+

=−−−−

=−−

243

BLOQUE 9

Ejemplo 2. La ecuación cuadrática 09x6x2 =+− tiene una solución, 3x =

( ) ( )

00

09189

09363

09x6x2

2

=

=+−

=+−

=+−

A las soluciones también se les conoce como raíces de la ecuación. Para encontrar con exactitud las soluciones de una ecuación cuadrática, primero se estudiarán las raíces o soluciones de las ecuaciones incompletas por su simplicidad, y posteriormente las raíces de las ecuaciones completas. Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas.Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas.Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas.Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas. Recordando, las ecuaciones incompletas se dividen en puras y mixtas. Solución de ecuaciones puras. Las ecuaciones puras carecen de término lineal, por lo que se puede llevar a cabo el despeje de la ecuación, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo. Encontrar las raíces de la ecuación 016x2 =− Este tipo de ecuaciones se pueden resolver despejando la ecuación, dado que tenemos un sólo término con variable, por lo que el despeje se lleva a cabo de la siguiente forma.

4x

16x

16x

016x2

2

±=

±=

=

=−

Las raíces de la ecuación son: 4x1 = ó 4x2 −= Éstas también se pueden expresar como conjunto solución: { }4,4Cs −= El conjunto solución consiste en expresar las soluciones separadas por comas y encerradas entre llaves; no es necesario guardar orden entre los elementos del conjunto. A continuación se generalizará el método, partiendo de la forma que tienen las ecuaciones puras en general.

ac

x

ac

x

cax

0cax

2

2

2

−±=

−=

−=

=+


Las raíces de la ecuación resultarían:

ac

x1 −= ac

x 2 −−=

El conjunto solución se expresa:

−−−=ac

,ac

Cs

Solución de ecuaciones mixtas. Las ecuaciones mixtas carecen del término independiente, así que la opción de solución es la Factorización por factor común, como se muestra en el siguiente ejemplo. Para resolver la ecuación 0x7x3 2 =− , se factoriza la variable.

( ) 07x3x

0x7x3 2

=−

=−

Como el resultado de la Factorización es una multiplicación cuyo producto es cero, sólo pueden pasar dos cosas, que 0x = ó 07x3 =− . Como se observa, ya se tiene la primera solución, y la segunda se despeja de la ecuación lineal, como se muestra a continuación.

37

x

7x3

07x3

=

=

=−

Las raíces de la ecuación son:

0x1 = ó 3

7x 2 =

El conjunto solución es:

=37

,0Cs

Generalizando el proceso, se toma la ecuación mixta 0bxax 2 =+ y se lleva a cabo la Factorización.

( ) 0baxx0bxax 2

=+

=+

0x = ó

ab

x

bax

0bax

−=

−=

=+

Las raíces de la ecuación son: 0x1 = ó a

bx 2 −=

Y el conjunto solución queda expresado como:

−=ab

,0Cs

245

BLOQUE 9


Actividad: 3 Producto: Ejercicios. Puntaje:


Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas.

Aplica las técnicas algebraicas de despeje o extracción de factor común para resolver las ecuaciones incompletas.

Aprecia la utilidad de utilizar métodos específicos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.


docente

Actividad: 3 Resuelve las ecuaciones puras y mixtas que identificaste en la actividad 2, utiliza este espacio para que realices las operaciones.


A continuación, se elegirán las ecuaciones puras y mixtas de los problemas aplicados 2, 4 y 5, que se plantearon como ejemplos en el desarrollo de esta secuencia, con el objetivo de desarrollar los métodos y darles solución.

2. Un número positivo es los 5

3 de otro y su producto es 2160. Hallar los números.

y : Número mayor.

y53

: Número menor

.

( )( )

60y3600y

3600y3

10800y

3

52160y

2160y5

3

2160y5

3y

2

2

2

2

±=

±=

=

=

=

=

=

La solución de la ecuación es: 60y1 −= ó 60y 2 −= El problema aplicado descarta el número negativo, por lo tanto, el número mayor es 60 y el número menor es 36.

4. Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los números.

a : Número menor.

a3 : Número mayor.

( )

15a225a

225a8

1800a

1800a8

1800aa9

1800aa3

2

2

2

22

22

±=

±=

=

=

=

=−

=−

La solución de la ecuación es: 15a1 = ó 15a 2 −= En este caso no se tiene ninguna condición para los números, se toman ambas soluciones para analizarlas y descubrir la respuesta correcta. 1) Si se toma al número menor como 15 , el mayor sería 45 . Esta afirmación es verdadera. 2) Si se toma al número menor como 15− , el número mayor sería 45− . Esta afirmación es falsa, dado que

15− es mayor que 45− . Por lo tanto, los números buscados son 15 y 45 .

247

BLOQUE 9

5. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumentara en 4 m.

el área sería el doble. Hallar las dimensiones de la sala.

x : Longitud de la sala. 4x − : Ancho de la sala.

( )( ) ( )( )[ ]

( ) 012xx0x12x

0x8x2x4x

x8x2x4x

4xx2x4x

2

22

22

=+−

=+−

=+−+

−=+

−=+

Las soluciones de la ecuación son: 0x1 = ó 12x 2 = Como la sala no puede tener longitud cero, se descarta la primera solución, entonces, la longitud de la sala es 12 m y el ancho 8 m.

012x =+−

12x12x

=

−=−ó 0x =

Actividad: 4 En equipo, elaboren tres problemas aplicados que se planteen con ecuaciones cuadráticas puras, y tres problemas con ecuaciones cuadráticas mixtas.



Actividad: 4 Producto: Diseño de problemas. Puntaje:


Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas incompletas.

Diseña aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas incompletas.

Se compromete con el equipo para realizar la actividad. Escucha con atención las aportaciones de sus compañeros.

Coevaluación C MC NC Calificación otorgada por el

docente

Solución de ecuaciones cuadráticas completas.Solución de ecuaciones cuadráticas completas.Solución de ecuaciones cuadráticas completas.Solución de ecuaciones cuadráticas completas. Las ecuaciones cuadráticas completas, se pueden resolver por varios métodos que se derivan de la Factorización, por ello, es muy importante que repases el bloque de Factorización de trinomios. Los métodos son: 1. Factorización de trinomios. 2. Completar el trinomio cuadrado perfecto. 3. Fórmula general.

A continuación se desarrollarán cada uno de los métodos. Factorización de trinomios. Para utilizar este método se requiere que el trinomio sea factorizable, es decir, encontrar los números enteros que cumplan las condiciones del proceso de Factorización, como por ejemplo: Ejemplo 1. Para encontrar la solución de la ecuación 063x16x2 =++ , se pide encontrar dos números que multiplicados den 63 y sumados 16.

( )( ) 07x9x

063x16x2

=++

=++

Al igual que en el método de solución para ecuaciones mixtas, hay dos posibilidades cuando el producto de dos números es cero, cualquiera de los factores pueden ser cero, por lo tanto se tiene la siguiente separación:

9x09x−=

=+ ó

7x

07x

−=

=+

Las raíces de la ecuación son: 9x1 −= ó 7x 2 −= Y el conjunto solución se expresa como: { }7,9Cs −−=

249

BLOQUE 9

Ejemplo 2. Resolver la ecuación 015u23u14 2 =−+ Recuerda que para factorizar esta ecuación debes buscar la colocación exacta de una combinación de números, primero buscar los posibles números que multiplicados den 14 , y después los posibles números que multiplicados den 15− , para poder hacer las combinaciones.

015u23u14 2 =−+ ( )( ) 01u215u7 =−−

715

u

15u7

015u7

−=

−=

=+

ó

21

u

1u2

01u2

=

=

=−

Las raíces de la ecuación son: 7

15u1 −= ó

21

u2 =

Y el conjunto solución se expresa como:

−=21

,7

15Cs

Actividad: 5 Resuelve los problemas aplicados 1, 3, 6, 7 y 8 que se plantearon como ejemplos en el desarrollo de esta secuencia.



Actividad: 5 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:


Identifica el método de Factorización para problemas aplicados que se modelan con ecuaciones cuadráticas.

Aplica el método de Factorización para resolver problemas aplicados de ecuaciones cuadráticas.

Demuestra interés para resolver los problemas aplicados. Aprecia la importancia de los métodos de solución para solucionar problemas aplicados.


docente

Completar trinomio cuadrado perfecto. En la sección anterior se resolvieron ejemplos sencillos de Factorización, pero en ocasiones las ecuaciones son más complicadas de factorizar, es decir, no es tan sencillo encontrar las combinaciones de números enteros que cumplan con las condiciones debido a que frecuentemente no son números enteros, pero aún así, se pueden expresar como factores. Para resolver este tipo de ecuaciones se utilizará el método de completar trinomio cuadrado perfecto. Recordando, el trinomio cuadrado perfecto proviene de desarrollar un binomio al cuadrado, como se muestra a continuación. Entonces, si se desea hacer el proceso inverso (Factorizar), recuerda que se tienen que verificar las condiciones para que resulte un binomio al cuadrado, como lo viste en el bloque 4, por ejemplo:

Al factorizar 025y20y4 2 =+− , primero se verifica si es o no trinomio cuadrado perfecto. La ecuación anterior quedaría expresada como:

( ) 05y2

025y20y42

2

=−

=+−

El cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

( ) 9x12x43x2 22+−=−

Si cumple con la condición de ser el doble producto, y además, las raíces se deben elegir de signo contrario, para que el producto sea negativo.

y2± 5±

y20−

025y20y4 2 =+−

251

BLOQUE 9

Para resolverla se despeja la variable quitando primero el cuadrado, eso se logra al aplicar raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación, obteniéndose así:

( )

25

y

5y205y2

05y2

05y2 2

=

=

=−

±=−

=−

El ejemplo anterior sirvió para visualizar cómo se puede factorizar una ecuación que es un trinomio cuadrado perfecto, pero cuando no lo es, es más complicado de factorizar por los métodos anteriores; en estos casos, se recomienda completar el trinomio cuadrado perfecto, esto es, forzar al trinomio para que cumpla con ser cuadrado perfecto. A continuación se mostrarán ejemplos en los cuales la ecuación no cumple con ser trinomio cuadrado perfecto y hay que completarlo.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación 011x24x4 2 =+− Como se observa, el término independiente no tiene raíz cuadrada exacta, por lo que no cumpliría con ser trinomio cuadrado perfecto. Para hacerlo más sencillo, se divide la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático.

0411

x6x

40

411x24x4

2

2

=+−

=+−

Se envía el nuevo término independiente al segundo miembro de la ecuación.

411

x6x2 −=−

Aplicando la propiedad aditiva, se suma a ambos miembros de la ecuación un término que ayude a que el primer miembro sea un trinomio cuadrado perfecto. Para ello se suma la mitad del término lineal elevado al cuadrado a los dos lados de la igualdad, como se muestra a continuación.

425

9x6x

9411

9x6x

26

411

26

x6x

2

2

222

=+−

+−=+−

−+−=

−+−

El primer miembro de la ecuación ya es un trinomio cuadrado perfecto, debido a que cumple con que el doble producto de las raíces del término cuadrático e independiente es igual al término lineal, por lo que se puede expresar el binomio al cuadrado.

( )425

3x 2=−

Nicolás CopérnicoNicolás CopérnicoNicolás CopérnicoNicolás Copérnico (1473 – 1543)

“La tierra es el centro del Universo; el Sol, la Luna y los cinco planteas son

satélites que giran diariamente en torno a nuestra majestuosa tierra en un

círculo perfecto. Más allá se encuentran las estrellas fijas, que todo lo rodean.

Éstas son las verdades fundamentales que escribió el gran Claudio Tolomeo

hace más de mil quinientos años y que son evidentes para los sentidos”.


Una vez expresado el binomio al cuadrado, se despeja para encontrar la solución.

( )

25

3x

25

3x

425

3x

425

3x 2

±=

±=−

±=−

=−

Las soluciones de la ecuación son:

211

x

25

3x

1

1

=

+=

21

x

25

3x

2

2

=

−=


=2

1,

2

11Cs

Con el siguiente ejemplo se presentan, de forma más sintetizada, los pasos para completar el trinomio cuadrado perfecto, con el fin de observar mejor el proceso. Ejemplo 2. Para resolver la ecuación 08x5x3 2 =−− .

222

22

2

2

2

65

38

65

x35

x

235

38

235

x35

x

38

x35

x

038

x35

x

+=

+−

+=

+−

=−

=−−

611

65

x

611

65

x

36121

65

x

36121

65

x

3625

38

3625

x35

x

2

2

±=

±=−

±=−

=

−

+=+−

253

BLOQUE 9

Las soluciones de la ecuación son:

38

x

616

x

611

65

x

1

1

1

=

=

+=

1x66

x

611

65

x

2

2

2

−=

−=

−=


−= 1,38

Cs

Para comprobar la solución se sustituyen los valores en la ecuación y se verifica que se cumple la igualdad, otra forma de comprobación es desarrollar los factores que se forman con las soluciones, como se muestra a continuación:

( )

( )

08x5x3

08x8x3x3

0338

x38

xx3

038

x38

xx

01x38

x

2

2

2

2

=−−

=−−+

=

−−+

=−−+

=+

−

Actividad: 6 Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completando trinomio cuadrado perfecto. 1. 06x3x2 =−−

2. 09x2x3 2 =−+ 3. 02x3x2 2 =+−− 4. 07x5x3 2 =−−





Comprende el método de completar trinomio cuadrado perfecto para solucionar ecuaciones cuadráticas completas.

Utiliza el método de completar trinomio cuadrado perfecto para solucionar ecuaciones cuadráticas completas.

Aprecia la utilidad de utilizar el método de completar trinomio cuadrado perfecto para resolver ecuaciones cuadráticas.

Realiza con empeño la actividad.


docente

Fórmula general. Este método se deriva del anterior, debido a que se completa el trinomio cuadrado perfecto con la ecuación general de segundo grado, obteniéndose así la fórmula general, como se muestra a continuación.

a2ac4bb

x

a2ac4b

a2b

x

a2ac4b

a2b

x

a4ac4b

a2b

x

a4bac4

a2b

x

a4b

ac

a2b

x

a2b

ac

a2b

xab

x

2ab

ac

2ab

xab

x

ac

xab

x

0ac

xab

x

a0

acbxax

0cbxax

2

2

2

2

2

2

22

2

22

222

22

2

2

2

2

2

−±−=

−±−=

−±=+

−±=+

+−=

+

+−=

+

+−=

++

+−=

++

−=+

=++

=++

=++

255

BLOQUE 9

Ésta última es la llamada fórmula general, en la que sólo es necesario sustituir los coeficientes de la ecuación y se obtienen las soluciones utilizando aritmética.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación 025x20x4 2 =+− utilizando la fórmula general. Primero se identifican los coeficientes de los términos de la ecuación y después se sustituyen en la fórmula.

25c

20b

4a

=

−=

=

( ) ( ) ( )( )( )

25

x

820

x

8020

x

840040020

x

42

25442020x

a2ac4bb

x

2

2

=

=

±=

−±=

−−±−−=

−±−=

La solución de la ecuación es 25

x =

Ejemplo 2. Resolver la ecuación 08y5y3 2 =−−

8c

5b

3a

−=

−=

=

( ) ( ) ( )( )( )

6115

y

6

1215y

696255

y

32

83455y

a2ac4bb

y

2

2

±=

±=

+±=

−−−±−−=

−±−=

a2ac4bb

x2 −±−

=


Las soluciones o raíces de la ecuación son:

3

8y

6

16y

6

115y

1

1

1

=

=

+=

ó

1y6

6y

6

115y

2

2

2

−=

−=

−=

Ejemplo 3. Resolver la ecuación 04x7x2 2 =++

4c

7b

2a

=

=

=

( ) ( )( )( )

4177

x

432497

x

22

42477x

a2ac4bb

x

2

2

±−=

−±−=

−±−=

−±−=

Las soluciones o raíces de la ecuación son:

4177

x1

+−= ó

4177

x 2

−−=

Como habrás observado en los ejemplos anteriores, éstos tienen una o dos soluciones.

El tipo de solución de una ecuación cuadrática depende del término ac4b2 − , llamado discriminante. Analizando el discriminante, se tiene las siguientes opciones de solución. 1. Si 0ac4b2 >− se obtienen dos raíces reales diferentes. 2. Si 0ac4b2 =− se obtienen dos raíces reales iguales (una solución). 3. Si 0ac4b2 <− se obtienen dos raíces imaginarias diferentes. Pero, ¿que son las raíces reales e imaginarias? Las raíces reales son números que pertenecen al conjunto de los números reales, éstos se estudiaron en el bloque 2. Ejemplo de ellos son:

11,3,0,21,5,3 −

¿Sabías ¿Sabías ¿Sabías ¿Sabías que…que…que…que…

En 1777, Leonhard Euler

definió a 1− =i (por imaginario)

257

BLOQUE 9

Las raíces imaginarias son números que no son reales. Éstos provienen de raíces pares de números negativos. Como por ejemplo:

64 32,8,4,1 −−−−

Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo.

Los números complejos están formados por una parte real y una parte imaginaria, y tienen la siguiente forma.

Donde “a” es la parte real, y bi es la parte imaginaria, por lo tanto, las ecuaciones con discriminante negativo poseerán parte imaginaria.

Ejemplo 4. Resolver la ecuación 020x4x2 =+−

20c

4b

1a

=

−=

=

Las soluciones de la ecuación son dos números complejos.

ó

i 2= –1

a+bi

( ) ( ) ( )( )( )

42x2

84x

2644

x

280164

x

12

201444x

a2ac4bb

x

2

2

±=

±=

−±=

−±=

−−±−−=

−±−=

i

i

Leonard EulerLeonard EulerLeonard EulerLeonard Euler (1777 D C)

Matemático suizo simboliza la raíz cuadrada de -1 con la letra

i de imaginario.

i 42x1 += i 42x1 −=





Identifica raíces reales y complejas de ecuaciones cuadráticas.

Clasifica la naturaleza de las soluciones de ecuaciones cuadráticas.

Aprecia la utilidad de conocer con anticipación la naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática.


docente

Actividad: 7 Sin resolver las ecuaciones, determina la naturaleza de las raíces mediante el discriminante de éstas.

1. 036x5x2 =−− 2. 7x5x2 =+− 3. 08x3x2 =−− 4. 05x2x3 2 =+− 5. x1710x6 2 =+ 6. 012x11x5 2 =−− 7. 0 5x7x2 2 =−− 8. 01x5x3 2 =+− 9. 1 x5x5 2 +−= 10. x83x4 2 =−−

259

BLOQUE 9




Comprende el método de solución de la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

Aplica la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

Comenta la facilidad de la fórmula general para resolver cualquier tipo de ecuaciones cuadráticas.


docente

Actividad: 8 En equipo, resuelvan las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula general y verifiquen los resultados.

1. 246x2 2 =+ 2. 08x6x2 =++

3. 0x3x18 2 =+ 4. 032y12y2 =+−

5. 0147x3 2 =+ 6. 016m20m40 2 =+−

7. 020k10k 2 =−+ 8. 030tt2 =−−

9. 036x60x25 2 =++ 10. 018x

21

x2 =−+


Actividad: 9 Completa la tabla expresando los factores de la ecuación, y coloca en el paréntesis el número que corresponda a la ecuación correcta.

Raíces de la ecuación Factores Ecuación

1. 4x1 −= , 9x2 = ( )( ) 09x4x =−+ ( ) 0x7x2 =−

2. 32

x1 = , 1x2 −= ( ) 016x40x25 2 =++

3. 54

x −= ( ) 029x30x9 2 =+−

4. 0x1 = , 7x2 = ( ) 016x9 2 =−

5. i21x1 += , i21x2 −= ( ) 02xx3 2 =−+

6. 31x1 += , 31x2 −= ( ) 018xx4 2 =−−

7. i32

35

x1 += , i32

35

x2 −= ( ) 036x5x1 2 =−−

8. i234

x1 += , i234

x 2 −= ( ) 0x3x2 2 =+

9. 49

x1 = , 2x2 −= ( ) 02x2x2 =−−

10. 34

x1 −= , 34

x 2 = ( ) 05x2x2 =+−

11. 0x1 = , 23

x2 −= ( ) 052x24x9 2 =+−

12.

6x1 = , 7x2 = ( ) 042x13x2 =+−

261

BLOQUE 9


Actividad: 9 Producto: Completar la tabla. Puntaje sugerido:


Identifica raíces reales y complejas y escribe ecuaciones a partir de éstas.

Construye ecuaciones a partir de la solución de éstas.

Se interesa por realizar la actividad de forma efectiva.

Reconoce sus errores en los métodos algebraicos y busca solucionarlos.


docente

#Cierre

1 Los ejercicios 1-7, fueron tomados del libro Algebra Elemental de Gobran.

Sitios Web recomendados: Entra a este sitio para que compruebes los resultados que obtuviste al solucionar las ecuaciones cuadráticas. http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas-solucionador.html

Actividad: 10 En equipo, escriban la ecuación cuadrática que describe cada uno de los siguientes problemas1 y resuélvanlos por alguno de los métodos algebraicos. 1. La suma de dos números es 28 y la de sus cuadrados es 16 menos que el triple del

producto de los números. Encuentra los números.

2. Una excursión geológica costó $120 dólares. Si hubieran ido 3 estudiantes más, el costo por estudiante habría sido de $2 menos. ¿Cuántos estudiantes fueron a la excursión?


Actividad: 10 (continuación) 3. Un hombre pintó una casa por $800 dólares. El trabajo le llevó 20 horas menos de lo

que se suponía y entonces ganó $2 más por hora de lo previsto. ¿En cuánto tiempo se suponía que pintaría la casa?

4. Un hombre desea construir una caja metálica abierta. La caja debe tener una base cuadrada, los

lados de 9 pulgadas de altura y una capacidad de 5184 pulgadas cúbicas. Determine el tamaño de la pieza cuadrada de metal que debe comprar para construir la caja.

5. Un equipo de remeros puede recorrer 12 millas río abajo y regresar en un total de 5 horas. Si la

velocidad de la corriente es de 1 milla por hora, encuentre la velocidad a la que puede remar el equipo en aguas tranquilas.

263

BLOQUE 9

Actividad: 10 (continuación)

6. El porcentaje de utilidad de un traje fue igual al precio de costo en dólares. Si el traje se

vendió a $144, ¿Cuál fue el precio de costo del traje? 7. Encuentra las dimensiones de un terreno rectangular que tiene un perímetro de 858m y un área de

45200m2. 8. Se quiere cercar un terreno rectangular de 5376m2. ¿Cuántos metros de cerca de alambre se

necesitan para cercarlo, si su largo es el doble del ancho?



Actividad: 10 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:


Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas.

Representa y soluciona situaciones con ecuaciones cuadráticas.

Aprecia la aplicabilidad de las ecuaciones cuadráticas para representar y resolver diversas situaciones.

Reconoce la importancia de colaborar en equipo para la solucionar problemas prácticos.


docente


9. Determina las medidas de un rectángulo que en la base mide 4cm más que el ancho y su área es de 192m2.

10. Cuando Fátima se casó con Raúl, él tenía 6 años más que ella, si el cuadrado de la edad de Raúl

aumentado al cuadrado de la edad de Fátima equivale a 1476. ¿Qué edad tenían cuando se casaron?

265

BLOQUE 9

Secuencia didáctica 2. Funciones cuadráticas.

!Inicio

Actividad: 1

x y -2 -1 0 1 2 3

II.II.II.II. Analiza las funciones y sus gráficas, para que contestes las preguntas correspondientes.Analiza las funciones y sus gráficas, para que contestes las preguntas correspondientes.Analiza las funciones y sus gráficas, para que contestes las preguntas correspondientes.Analiza las funciones y sus gráficas, para que contestes las preguntas correspondientes.

( ) 42xy 2+−= ( ) 42xy 2

+−−=

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

xxxx

yyyy

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

xxxx

yyyy

I.I.I.I. Completa la tabla de valores para que grafiques la función Completa la tabla de valores para que grafiques la función Completa la tabla de valores para que grafiques la función Completa la tabla de valores para que grafiques la función ( ) 31x2y 2−−=

xxxx

yyyy


1. ¿Qué diferencia encuentras entre las dos funciones presentadas?

2. De acuerdo a esa diferencia, ¿qué sucede con sus gráficas?

3. ¿Cuál es el punto más bajo de la gráfica de la izquierda?, ¿cuál es el punto más alto de la gráfica de la derecha?

( ) 43xy 2−+= ( ) 43x4y 2

−+= ( ) 43x21

y 2−+=

4. ¿Qué diferencia encuentras entre las tres funciones presentadas?

5. De acuerdo a esa diferencia, ¿qué sucede con sus gráficas?

6. ¿Cuál es el punto más bajo de las tres gráficas?, ¿cómo se relaciona éste con las funciones?

7. Si te ubicas en el punto más bajo de cada una de las funciones y recorres una unidad a la derecha y a la

izquierda: a) ¿Cuántas unidades recorres hacia arriba en la primera gráfica, hasta encontrar un punto de la función?

b) ¿Cuántas unidades recorres hacia arriba en la segunda gráfica, hasta encontrar un punto de la función? c) ¿Cuántas unidades recorres hacia arriba en la tercera gráfica, hasta encontrar un punto de la función?

8. ¿Cómo relacionas los resultados de los incisos anteriores con las funciones?

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

xxxx

yyyy

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

xxxx

yyyy

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

xxxx

yyyy


267

BLOQUE 9


Actividad 1: Producto: Complementación de la tabla y cuestionario. Puntaje:


Identifica el efecto que tienen los parámetros en el ancho y concavidad de la parábola.

Distingue el comportamiento de las gráficas a través de los parámetros.

Aprecia a los parámetros como instrumento de análisis visual del comportamiento de funciones cuadráticas.


docente

"Desarrollo En el bloque 5 se definió el concepto de función, que en otras palabras, es la relación que existe entre los elementos de dos conjuntos, de tal manera que a cada elemento del primer conjunto se asocia o corresponde un elemento del segundo conjunto; si la relación se establece mediante una expresión de segundo grado, entonces se le llama función cuadrática, como se muestra a continuación.

cbxax)x(f 2 ++= ó cbxaxy 2 ++= con 0ac,b,a ≠ℜ∈ Una función cuadrática describe en su gráfica lo que se conoce como Parábola, a continuación se abordarán los tipos de graficación para que visualices la forma de la parábola. Gráfica de la función cuadrática. Existen varios métodos para graficar y visualizar el comportamiento de una función cuadrática, el método más conocido es la tabulación, es decir, la obtención de una tabla de valores correspondiente a la función. También está la forma paramétrica, que se basa en valores específicos que posee la función y por último, la intersección con los ejes, la cual es muy limitada cuando la función no se intersecta lo suficiente como para realizar la gráfica. Graficación por tabulación.Graficación por tabulación.Graficación por tabulación.Graficación por tabulación. Ejemplo 1.

Graficar la función 3x4xy 2 ++= Para trazar la gráfica de esta función, se encontrarán algunos puntos que servirán de guía para dibujarla, éstos se encontrarán sustituyendo valores en la variable independiente (x), para encontrar los correspondientes valores de la variable dependiente (y). Anteriormente se dijo que la variable independiente recibía su nombre porque los valores asignados son decisión de quien va a graficarla. Para encontrar los correspondientes valores de “y”, se sustituirán cada uno de los valores asignados a la variable independiente en la función, obteniéndose así, los puntos de guía para trazar la gráfica, como se muestra a continuación.

Apolonio de PergaApolonio de PergaApolonio de PergaApolonio de Perga (262 – 190 A C)

Fue conocido como “El gran geómetra”, su famoso libro

“Secciones Cónicas”, introdujo los términos

Parábola, Elipse e Hipérbola.


Utiliza tu calculadora para verificar que los datos de la tabla son correctos. La gráfica queda de la siguiente forma: - Ejemplo 2.

Para graficar la función x4xy 2 +−= , se toman los siguientes valores y la gráfica queda de la siguiente forma.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

xxxx

yyyy

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

xxxx

yyyy

x y –5 8 –4 3 –3 0 –2 –1 –1 0 0 3 1 8

x y –1 –5 0 0 1 3 2 4 3 3 4 0 5 –5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

xxxx

yyyy

269

BLOQUE 9

En la actividad 1 se plantearon algunas preguntas que tenían que ver con la ubicación y la dirección de la parábola, esto es, dónde se encontraban los puntos más altos y bajos, y hacia dónde estaba dirigida la parábola, hacia arriba o hacia abajo. Esto va encaminado a construir una forma más rápida de graficación, para ello, es necesario identificar algunos elementos importantes que se visualizarán en la siguiente figura.

El vértice es el punto por donde pasa el eje de simetría de la parábola; dependiendo de su concavidad, éste es el punto más alto o más bajo de la parábola. Al vértice se le asignan coordenadas especiales para poder distinguirlo de cualquier otro punto de la parábola, a la coordenada “x” se le asigna la letra “h”, y a la de “y” se le asigna la letra “k”.

)k,h(V Encontrar el vértice es una de las preguntas más concurridas en la aplicación de la parábola, como por ejemplo:

1. La trayectoria que sigue un proyectil al ser lanzado es una parábola. Aquí interesaría saber ¿cuál es la altura máxima a la que llega el proyectil?, ¿qué distancia tiene cuando toca el suelo? o preguntas particulares de la ubicación del proyectil en algún momento especial.

Vértice

Ramas de la Parábola

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

xxxx

yyyy


2. En el salto de un motociclista, éste tiene que calcular con mucha precisión la distancia que debe recorrer para

poder llegar al lugar deseado, para ello tiene que ubicar el punto más alto al que va a llegar, para saber qué distancia va a recorrer, por supuesto que también tiene que considerar la velocidad, el impulso, la inclinación de las rampas, entre otras más.

3. Los arquitectos diseñan puentes en forma de parábolas, porque además de lo estético, éstas tienen varias propiedades que favorecen a la resistencia de la construcción.

Son muchas las aplicaciones que se pueden dar a la parábola, pero requiere de un mayor conocimiento de sus elementos y propiedades. En asignaturas posteriores conocerás la parábola desde un punto de vista geométrico y conocerás todos sus elementos.

Las ramas de la parábola indican su orientación y ésta depende a su vez del signo del coeficiente cuadrático, como lo habrás notado en la actividad 1.

Tomando la función cuadrática en general cbxaxy 2 ++= , entonces: 1. Si 0a > , la parábola tiene las ramas hacia arriba, en este caso se dice que es cóncava hacia arriba. 2. Si 0a < , la parábola tiene las ramas hacia abajo, en este caso se dice que es cóncava hacia abajo.

Con la siguiente actividad irás conociendo más sobre la ubicación del vértice y las diferentes formas de la parábola.

271

BLOQUE 9

Actividad: 2

Observa el ejemplo para que completes la tabla.

Forma ordinaria De la forma ordinaria a

la forma general Tabla de valores

Gráfica Vértice

( ) 13x2y 2+−=

( ) 13x2y 2+−=

19x12x2y

118x12x2y

1)9x6x(2y

2

2

2

+−=

++−=

++−=

x y 1 9 2 3 3 1 4 3 5 9

V(3,1)

( ) 52xy 2−+=

x y

( )24x21

y +−=

x y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

xxxx

yyyy



Actividad 2: Producto: Complementación de la tabla. Puntaje:


Reconoce la gráfica de una función cuadrática. Ubica las coordenadas del vértice de una parábola a través de la gráfica.

Realiza la gráfica de una función cuadrática.

Se interesa por realizar la actividad con eficiencia.


docente


Forma ordinaria De la forma ordinaria

a la forma general Tabla de valores

Gráfica Vértice

( ) 11x3y 2+−=

x y

( ) 72x41

y 2++−=

x y

273

BLOQUE 9

Graficación por medio de parámetros.Graficación por medio de parámetros.Graficación por medio de parámetros.Graficación por medio de parámetros. Como te habrás dado cuenta en la actividad 2, la función cuadrática tiene dos formas, la forma ordinaria que es la que se expresa con el binomio al cuadrado y la forma general que es donde se explicita el trinomio.

Forma ordinaria: ( ) khxay 2+−=

Forma general: cbxaxy 2 ++= La forma ordinaria permite extraer las coordenadas del vértice (h, k) de forma directa. Si no te diste cuenta, compara las funciones ordinarias de la actividad 2 con el vértice que expresaste de la gráfica. Cuando se toma la forma ordinaria para graficar, se dice que se grafica mediante parámetros, porque se toman los valores de a, h y k como parámetros para determinar el comportamiento de la función y esbozar la gráfica. Con los siguientes ejemplos se explicará la graficación de la función cuadrática mediante parámetros. Ejemplo 1. Para graficar la función ( ) 54x2y 2

−−= , se analizan los parámetros y cómo influyen en la gráfica. 1. 2a = , eso significa que se abre hacia arriba por ser positivo. 2. 4h = , es la primera coordenada del vértice. 3. 5k −= , es la segunda coordenada del vértice.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

xxxx

yyyy

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

xxxx

yyyy

Para empezar a graficar, primero se coloca el vértice en el plano cartesiano.

Ubicándose en el vértice, se desplaza una unidad a la derecha y a la izquierda, para subir dos unidades en ambos lados, esto es, subir el valor del parámetro a.


Y finalmente se traza la gráfica.

Ejemplo 2.

Graficar la función ( ) 72x21

y 2++−=

1. 21

a −= , eso significa que se abre hacia abajo por ser negativo.

2. 2h −= , es la primera coordenada del vértice. 3. 7k = , es la segunda coordenada del vértice.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

xxxx

yyyy

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

xxxx

yyyy

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

xxxx

yyyy

A partir del vértice se desplaza una unidad a la derecha, una unidad a la izquierda y media unidad hacia abajo.

Se ubica el vértice.

¿Sabías que…¿Sabías que…¿Sabías que…¿Sabías que…

Las Olimpiadas Internacionales de

Matemáticas se iniciaron como

competencias en Hungría en 1894, se les

denominó "Competencias Eötuös",

quedando claro su carácter competitivo?

275

BLOQUE 9

Se traza la gráfica.

Como se ha visto en esta sección, la forma de graficar con parámetros depende de la forma ordinaria de la función, el problema está cuando se tiene que graficar una función cuadrática que esté expresada en su forma general. Para ello se requiere cambiar de trinomio a un binomio al cuadrado y eso sucede únicamente si éste es trinomio cuadrado perfecto, de no ser así, se tendrá que completar. Ejemplo 3.

Graficar la función 1x4xy 2 ++= Visualizando a la función como una ecuación de dos variables, el proceso de completar trinomio cuadrado perfecto sería el mismo.

Proceso de completar trinomio Proceso de completar trinomio Proceso de completar trinomio Proceso de completar trinomio cuadradocuadradocuadradocuadrado perfectoperfectoperfectoperfecto

DescripciónDescripciónDescripciónDescripción

1x4xy 2 ++= Se verifica que el coeficiente del término cuadrático sea 1, de no ser así, se divide toda la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático.

x4x1y 2 +=− Se pasa el término independiente al primer miembro de la ecuación.

4x4x41y 2 ++=+− Se suma a ambos miembros la mitad del término lineal elevado al cuadrado.

( )22x3y +=+ Se expresa el binomio al cuadrado en el segundo miembro, y a su vez se reducen términos semejantes en el primer miembro.

( ) 32xy 2−+=

Se despeja “y”, pasando el término independiente al segundo miembro, quedando así la forma ordinaria.

De la forma ordinaria se deduce que: 1a = y ( )3,2V −−

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

xxxx

yyyy


Por lo que la gráfica queda.

Para evitar todo este proceso, de la forma general de la función cuadrática se deducirá la forma ordinaria y así, obtener las fórmulas de las coordenadas del vértice.

a4b

ca2

bxay

a4bac4

a2b

xay

a4bac4

a2b

xay

a4bac4

a2b

xay

a2b

xa4

bac4ay

a2b

xa4

bac

ay

a2b

xab

xa2

bac

ay

2ab

xab

x2ab

ac

ay

xab

xac

ay

ac

xab

xay

acbxax

ay

cbxaxy

22

22

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

−+

+=

−+

+=

−+

+=

−+

+=

+=

−−

+=+−

++=

+−

++=

+−

+=−

++=

++=

++=

De aquí se deduce que a2b

h −= y a4

bck

2

−= , por lo que el vértice es:

−−

a4b

c,a2

bV

2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

xxxx

yyyy

¿Sabías que…¿Sabías que…¿Sabías que…¿Sabías que…

En Grecia en los años 500-000 A.C. se

adquiere en toda su pureza el concepto de número y se descubren los números irracionales por medio de un caso particular del célebre

Teorema de Pitágoras?

277

BLOQUE 9

Actividad: 3 Grafica las siguientes funciones utilizando los parámetros a, h y k.

1. 2x6y =

2. 5xy 2 +=

3. 9)1x(2y 2 +−=

4. 2)3x(61

y 2 −+−=

5. 6)4x(y 2 +−−=

6. 14x10x5y 2 −−−=

7. 40x16x2y 2 ++=

8. 32x12xy 2 ++=



Actividad 3: Producto: Ejercicios. Puntaje:


Comprende el método de graficación por parámetros de funciones cuadráticas en su forma general y ordinaria.

Emplea el método de graficación por parámetros para bosquejar la gráfica de funciones cuadráticas.

Aprecia la facilidad del método de graficación por parámetros para esbozar la gráfica de funciones cuadráticas.


docente

Graficación por intersección de ejes.Graficación por intersección de ejes.Graficación por intersección de ejes.Graficación por intersección de ejes. Para encontrar la intersección con el eje de las abscisas (X), debe cumplirse que 0y = . Y para ubicar el corte con el eje de las ordenadas (Y) forzosamente 0x = . Para graficar la función cuadrática utilizando la intersección con los ejes, se debe tomar en cuenta las siguientes opciones. 1. Cuando la función corta a los ejes en tres puntos.

2. Cuando la función corta a los ejes en dos puntos.

xxxx

yyyy

xxxx

yyyy

xxxx

yyyy

xxxx

yyyy

279

BLOQUE 9

3. Cuando la función corta a los ejes en un punto.

Al hacer 0x = ó 0y = , se transforma la función en una ecuación que habrá que resolver. Lo anterior se representará en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1.

Graficar 12x5x2y 2 −+= encontrando la intersección con los ejes. Primero se encontrarán las intersecciones con el eje de las abscisas (X). A éstas se les conocen como los ceros o raíces de la función. Si 0y = , entonces la función queda:

12x5x20 2 −+=

Obteniéndose una ecuación cuadrática, que por comodidad, se resolverá por la Fórmula General.

12c5b2a

−=

=

=

( ) ( ) ( )( )( )

4115

x

41215

x

496255

x

22

122455x

a2ac4bb

x

2

2

±−=

±−=

+±−=

−−±−=

−±−=

23

x

46

x

4115

x

1

1

1

=

=

+−=

4x416

x

4115

x

1

1

2

−=

−=

−−=

xxxx

yyyy

xxxx

yyyy


Las coordenadas de los puntos que intersectan al eje de las abscisas son:

0,

2

3 y ( )0,4−

Para encontrar la intersección con el eje de las ordenadas, se hará 0x = , por lo tanto se tiene:

( ) ( )12y

120502y 2

−=

−+=

Las coordenadas del punto que intersecta al eje de las ordenadas es: ( )12,0 −

Como te habrás dado cuenta, el vértice no se encuentra utilizando este método, tendrías que apoyarte en las fórmulas vistas en el método de completar trinomio cuadrado perfecto para hallar el vértice y poder determinar hasta dónde baja la función.

( )( )

( )

( )125.15,25.18

121,

45

V

245

12,225

V

a4b

c,a2b

V

2

2

−−=

−−

−−−

−−

Ahora se dibujan los puntos para trazar la gráfica.

-6 -4 -2 2 4 6 8 10

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2xxxx

yyyy

-6 -4 -2 2 4 6 8 10

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2xxxx

yyyy

281

BLOQUE 9

Ejemplo 2. Graficar la ecuación 36x24x4y 2 −+−= Cuando 0y = , se tiene que resolver la ecuación cuadrática.

36x24x40 2 −+−=

36c

24b

4a

−=

=

−=

( ) ( ) ( )( )( )

3x8

024x

857657624

x

42

36442424x

a2ac4bb

x

2

2

=

−

±−=

−

−±−=

−

−−−±−=

−±−=

Las coordenadas del único punto que corta al eje de las abscisas son ( )0,3 ; como no existe otro punto que corte con

el eje de las X, entonces, el punto ( )0,3 tiene que ser el vértice. Si 0x = , entonces se obtiene el resultado:

( ) ( )36y

3602404y 2

−=

−+−=

El punto donde se intersecta con el eje de las ordenadas es: ( )36,0 −

-12 -8 -4 4 8 12

-36

-32

-28

-24

-20

-16

-12

-8

-4

4xxxx

yyyy

Zenón de EleaZenón de EleaZenón de EleaZenón de Elea (490 – 430 A C)

Inventó la demostración llamada ad/absurdum (del Absurdo), que tomaba por

hipótesis las afirmaciones del adversario y que por medio

de hábiles deducciones conduce al adversario a

aceptar la tesis contradictoria.


Ejemplo 3.

Graficar la ecuación 18x8xy 2 ++= Haciendo 0y = , se tiene:

18x8x0 2 ++=

18c

8b

1a

=

=

=

( ) ( ) ( )( )( )

288

x

272648

x

12

181488x

a2ac4bb

x

2

2

−±−=

−±−=

−±−=

−±−=

Esto significa que sus raíces son complejas, con parte real e imaginaria, por lo que no existe un número real en el eje de las abscisas que pertenezca también a la función, en otras palabras, la función no corta al eje de las X.

Cuando 0x = , el valor encontrado es: ( ) ( )18y

18080y 2

=

++=

El punto de corte con el eje de las ordenadas es: ( )18,0

( )( )

( )

( )2,4V

148

18,12

8V

a4b

c,a2

bV

2

2

−

−−

−−

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

xxxx

yyyy

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

xxxx

yyyy

Con un punto no se puede trazar la gráfica de la parábola, por lo que se requiere conocer las coordenadas del vértice.

283

BLOQUE 9

Ejemplo 4.

Graficar 2x21

y =

Si 0y = , entonces:

x0x0

x21

0

2

2

=

=

=

Se ha encontrado el punto que corta a los dos ejes y coincide con ser el vértice, por lo que se debe apoyar en la graficación paramétrica o en la obtención de más puntos para poder graficarla.

Como notarás, el método para graficar funciones cuadráticas ubicando los cortes con los ejes, puede ser poco práctico, sin embargo, en problemas aplicados es donde tiene mayor utilidad.

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

xxxx

yyyy

Actividad: 4 En equipo, contesten las siguientes preguntas.

1. ¿Cómo se podría determinar el número de raíces o ceros de una función cuadrática sin graficarla?

2. Antonio encuentra que si su compañía produce x artículos diarios, el costo está dado por la ecuación 2x002.0x8.0420C +−= , ¿cuántos artículos se deben producir diariamente para que el costo sea

mínimo?, ¿cuál sería ese costo mínimo?



3. Una persona lanza verticalmente hacia arriba una pelota desde lo alto de un edificio, y la altura en cada instante de tiempo la describe la función

45t80t16H 2 ++−= . a) ¿Cuál es el tiempo en que la pelota tarda en alcanzar la altura máxima?

b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

c) ¿Cuál es la altura del edificio?

d) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en tocar el suelo?

e) Traza la gráfica de la altura de la pelota al trascurrir el tiempo.

4. La utilidad mensual en miles de dólares de una compañía se expresa mediante la función 37x24x2U 2 −+−= , donde x representa el número de artículos, en cientos, que se producen y

venden en un mes. a) ¿Cuál es la cantidad de artículos que la compañía debe producir y vender por mes para que la

utilidad sea máxima? b) ¿Cuál es el monto de la utilidad máxima?

285

BLOQUE 9


Actividad 4: Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:


Identifica la relación entre funciones y ecuaciones cuadráticas.

Representa y resuelve situaciones mediante ecuaciones y funciones cuadráticas.

Aprecia la importancia de la conexión entre funciones y ecuaciones cuadráticas, para examinar y solucionar situaciones. Escucha con atención las aportaciones de tus compañeros.

Coevaluación C MC NC Calificación otorgada por el

docente


c) ¿Con cuántos artículos producidos y vendidos no se tiene utilidad alguna?

d) Si se producen y venden 750 artículos mensuales, ¿cuánta utilidad se genera?

e) Traza la gráfica de la utilidad.


Aplicaciones de la función cuadrática. La utilidad de la función cuadrática es básicamente para encontrar puntos máximos o mínimos, y de algunas posiciones de puntos en particular. Como se muestra en el siguiente ejemplo. Un fabricante de cajas de cartón recibió un pedido para construir cajas abiertas de bases cuadradas con una altura de 5 cm, de tal manera que tengan diferente capacidad. El fabricante logra elaborar las cajas recortando cuadros de 5 cm de lado, en las esquinas de las hojas cuadradas de cartón. ¿Cuáles son los volúmenes de las cajas construidas con las hojas de cartón cuadradas de diferentes dimensiones de que dispone el fabricante?

El volumen de la caja es: (lado)( lado)(altura) La expresión algebraica que describe el volumen (y) es: ( )( )( )510x10xy −−=

( )100x20x5y 2 +−=

500x100x5y 2 +−= Ésta es una función que proporciona todos los posibles volúmenes de las cajas. La función proviene de un binomio al cuadrado, se puede aprovechar esta situación y plantear la forma ordinaria de la función cuadrática.

( )210x5y −= El vértice de la función cuadrática es )0,10(V y el coeficiente del término

cuadrático proporciona la abertura, el cual es 5a = La gráfica del volumen se visualiza de la siguiente forma:

! x

x

5 5

5

5

x – 10

x – 10 x – 10

x – 10

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-7-6-5-4-3-2-1

123456789

1011

xxxx

yyyy

287

BLOQUE 9

Conociendo la función y la gráfica, se pueden contestar varios cuestionamientos de interés como por ejemplo: 1. El volumen mínimo es cero, y no tiene volumen máximo. 2. La parte izquierda de la gráfica no tendría sentido, dado que “x” representa la longitud del cuadrado de cartón de

donde se elaborará la caja y como 10x − es el largo y ancho de la caja, las cantidades menores de 10 proporcionarían longitudes negativas, por lo que en el sentido práctico, sólo se tomaría la gráfica del vértice a la derecha.

3. Si se desea saber en particular el tamaño del cuadrado de cartón que el fabricante debe utilizar para una caja con volumen 8000 cm3, se sustituye este valor en la función y se despeja x, como se muestra a continuación.

( )

( )

( )

( )

x4010

10x1600

10x1600

10x5

8000

10x58000

10x5y

2

2

2

2

=±

−=±

−=

−=

−=

−=

50x

4010x

1

1

=

+=

30x

4010x

1

2

−=

−=

Por tratarse de una longitud la que se busca, se descarta el valor negativo, por lo tanto, la longitud del cuadrado que se utilizará para elaborar una caja de 8000 cm3, debe ser de 50 cm.

4. Si se desea conocer el volumen que contendrá una caja elaborada de un cuadro de 80 cm de longitud, se tendrá que resolver la siguiente ecuación. La cual se forma sustituyendo el valor deseado en x.

( )

( )

( )24500y

705y

10805y

10x5y

2

2

2

=

=

−=

−=

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-7-6-5-4-3-2-1

123456789

1011

xxxx

yyyy

El volumen que contendrá la caja es de 24500 cm3.

Jean-Victor Poncelet (1788 - 1867)

Ingeniero y matemático francés. Fundador de la moderna

geometría proyectiva.


Éstos son algunos ejemplos de las interrogantes que puedes encontrar en problemas que se modelan con funciones cuadráticas.

#Cierre

Actividad: 5 Plantea los siguientes problemas con una función cuadrática y resuelve las preguntas correspondientes.

1. Los cuadernos que produce Ricardo en su fábrica tienen un costo de $16 cada uno. Él calcula que si

vende a x pesos cada cuaderno, podrá vender aproximadamente x200− a la semana. a) ¿Cuál es la utilidad semanal máxima que Ricardo tendrá al vender a x pesos cada cuaderno? b) ¿Cuánta es la utilidad que tendrá?

2. Patricia desea construir un jardín de forma rectangular al pie de su ventana, ella posee 10 m de

alambre para cercarlo y sólo lo hará en tres de sus lados. a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el jardín tenga área máxima? b) ¿Cuál es el área máxima?

3. Santiago se encuentra sentado en las gradas del estadio de béisbol, él cachó una pelota y la devolvió

a los jugadores. La trayectoria de la pelota se describe mediante la función 7tt81

h 2 ++−= , donde h

es la altura medida en metros, y t el tiempo medido en segundos. a) ¿En cuánto tiempo tarda la pelota en alcanzar su altura máxima? b) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada? c) Si nadie la pudo cachar, ¿en qué momento toca el suelo? d) ¿A qué altura se hallaba Santiago?

289

BLOQUE 9


4. Don Saúl sembrará un poco de maíz en su parcela, y tiene 63 m de cerco para proteger la siembra del ganado, si el terreno en el que sembrará es de forma rectangular.

a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones que proporcionarán la mayor área de siembra? b) ¿Cuál es la máxima área?

5. Se cercará un corral rectangular con dos cercas interiores para que contenga 3 partes iguales, en las

que se colocarán tres tipos de ganado diferente. Si se tiene un total de 240 m de cerco, ¿cuáles son las dimensiones del corral para que su área sea máxima?

6. La suma de dos números es 24, encuentra dichos números con la condición de que su producto sea

máximo.



Actividad 5: Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:


Comprende la aplicación de las funciones cuadráticas para examinar y resolver situaciones.

Aplica las funciones y ecuaciones cuadráticas para plantear y resolver situaciones.

Pone en práctica los conocimientos adquiridos de las funciones cuadráticas y de los bloques anteriores, para plantear y resolver situaciones.


docente

Sitios Web recomendados: Entra a los siguientes sitios y utilízalos para enriquecer tus conocimientos. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/vertice.htm http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Marcela%20Martinez/funcion_cuadratica_caracteristicas_nuevo.htm http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Externos/fcuadraticas/paginas/aplicaciones1.htm

¿Sabías que…¿Sabías que…¿Sabías que…¿Sabías que… Los pueblos de

Babilonia, Sumeria, Egipto y Creta durante

los años 2500-1800 A.C. tuvieron las

siguientes aportaciones a la Aritmética: las

tablas matemáticas babilónicas que

contienen cuadrados, cubos, inversos y tablas

de multiplicación de números?

atributos a desarrollar en el bloque - zona emec … · magnitudes constantes y variables, ... las...

Documents